1. 互不同构的18阶群
1. 互不同构的18阶Abel群
设A为18阶的Abel群，则[pic]。
由Sylow定理可以确定A的Sylow子群阶数分别是：[pic]和[pic]。
从而得到A的初等因子有（2,3,3）和（2,9）。
所以18阶Abel群有两个：[pic]和[pic]。
（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以[pic]。
（2,9）化为不变因子是（18），所以[pic]。
从而确定互不同构的18阶Abel群有两个：[pic]和[pic]。

2. 互不同构的18阶非Abel群
设G为18阶非Abel群。
由Sylow定理可知，G必有9阶的Sylow-3子群，不妨记为S。
2.1 S是循环群：
则[pic]，再取G中2阶元b [pic]，则有[pic]。
设[pic]，
则[pic]，故[pic]。
由[pic]可解得[pic]，即[pic]。
所以，[pic]。
2.2 S不是循环群：
则必有[pic]，再取G中2阶元c[pic]，则有[pic]。
设[pic]。则有：
[pic][pic]
[pic][pic]
所以可以得到如下的同余方程组：
[pic] 其中[pic]
而且，在解这个同余方程组的时候，应当注意到如下的事实：
即若方程组有一解为[pic]，则还有对应的另一解[pic] 但是这两组解从本质上讲是一样的，这是因为只要交换下第一组解的a和b的位置，就能的到第二组解，所以，这两组解只算作一组解。从而我们可以得到如下7组方程组的解：
⑴[pic] 即 [pic]
⑵[pic] 即 [pic]
⑶[pic] 即 [pic]
⑷[pic] 即 [pic]
⑸[pic] 即 [pic]
⑹[pic] 即 [pic]
⑺[pic] 即 [pic]
下面再来探究这几组解的性质：
首先，因为G非Abel群，所以(2)不合条件，舍去。
对于(3)：有[pic]；
即在(1)中用[pic]代替a，用a代替b，可见(3)和(1)同构。
对于(4)：有[pic]；
即在(1)中用[pic]代替a，用[pic]代替b，可见(4)和(1)同构。
对于(5)：有[pic]；
即在(1)中用[pic]代替a，b保持不变，可见(5)和(1)同构。
对于(6)：有[pic]；
即在(1)中a保持不变，用[pic]代替b，可见(6)和(1)同构。
对于(7)：可证明(7)与(1)不同构：
反证法：若(7)与(1)同构， 则存在(7)中的[pic]，可以代替（1）中a的位置。 但[pic]， 即在(1)中[pic]，这与[pic]矛盾。 所以(7)与(1)不同构。
故剩余的是：[pic]；
[pic]。

所以，互不同构的18阶非Abel群有：
[pic]；
[pic]；
[pic]；

2. 互不同构的20阶群
1. 互不同构的20阶Abel群
设B为20阶的Abel群，则[pic]，
由Sylow定理可以确定B的Sylow子群阶数分别是：[pic]和[pic]。
从而得到B的初等因子有（2,2,5）和（4,5），
所以20阶Abel群有两个：[pic]和[pic]。
（2,2,5）化为不变因子是（2,10），所以[pic]；
（4,5）化为不变因子是（20），所以[pic]；
从而确定互不同构的20阶Abel群有两个：[pic]和[pic]。

2. 互不同构的20阶非Abel群
设G为20阶非Abel群。
由Sylow定理可知，G必有5阶的Sylow-5子群和4阶的Sylow-2子群。
Sylow-5子群的个数满足：[pic]，只有唯一解[pic]，记这唯一的Sylow-5子群[pic]。
Sylow-2子群个数满足：[pic]，则[pic]或[pic]。
当[pic]时，G是Abel群，所以，[pic]。
这时，G有5个相互共轭的4阶Sylow-2子群，不妨记其中一个为K。
2.1 K是循环群：
则[pic]。
设[pic]，则[pic]，
所以[pic]，即[pic]，i可取1,2,3,4。
⑴[pic]，则G是Abel群，舍去。
⑵[pic]，则[pic]，此时[pic]。
⑶[pic]，则[pic]，此时[pic]，与⑵同构。
⑷[pic]，则[pic]，此时[pic]。
2.2 K不是循环群：
则[pic]。
设[pic]，
则有[pic]，
所以[pic]，即[pic]。i可取1,4；j可取1,4。
⑴[pic]，则G是Abel群，舍去。
⑵[pic]，则[pic]，
此时[pic]。
⑶[pic]，则显然与⑵同构。
⑷[pic]，则[pic]，
此时[pic]，
所以与⑵同构。

所以，互不同构的20阶非Abel群有
[pic]
[pic]
[pic]

3. 结论
18阶Abel群：[pic]，[pic]；
18阶非Abel群：[pic]； [pic]； [pic]。
20阶Abel群：[pic]，[pic]；
20阶非Abel群：[pic]； [pic]； [pic]。