Curs 2014-2015.

Matemàtiques II.

Llista 2 de problemes per entregar.

Normes pel lliurament del treball
• El nombre d'estudiants per grup de treball ha d'estar format per un mínim de 3 alumnes i un

màxim de 6.

• S'ha de lliurar abans de les 23:55 del 14 d'abril. NO s'avaluaran els treballs entregats després

d'aquesta data.

• El treball s'ha d'enviar en format PDF per e-mail al Campus Virtual. NO s'acceptaran entregues

en format paper ni en cap altre format.

• Heu de posar clarament, dins del document, el grup al que esteu matriculats, codi del grup de

treball (els que en tinguin) i els noms de tots els membres del grup de treball.

• El nom del document que heu d'enviar pel CV ha de ser el codi de grup de treball, el grup en el

que esteu matriculats i els cognoms dels tots els components del grup de treball.

• Els treballs NO s'avaluaran si no respecteu aquestes normes.
• Respecte al contingut del treball, expliqueu tots els passos que feu, raonant-los el millor possible.

1. [8 punts] Un quiosc ven woks amb x grams de patates fregides i y grams de bacallà. La utilitat d'un consumidor mitjà satisfà x y

u(x, y) =

si x ≤ y
.
si y ≤ x

(a) Determineu, matemàtica i gràcament, els conjunts de nivell C(2) i C(4) de combinacions
(x, y) que realitzen nivells d'utilitat u = 2 i u = 4. De manera molt breu, descriviu les preferències d'aquest client per la relació entre les patates fregides i el bacallà.
(b) Un client te un pressupost de R = 600 u.m. El preu de les patates fregides és px = 1
u.m. per gram, el preu del bacallà és py = 3 u.m.per gram. Determineu el conjunt B de combinacions de patates fregides i bacallà (x, y) que el client es pot permetre amb el seu pressupost i representeu-lo gràcament. [Recordeu que el consum no pot ser negatiu i que el consumidor pot gastar qualsevol quantitat inferior o igual a 600 u.m.].
(c) Sabent que la funció u(x, y) és contína en B, expliqueu perquè existeix una combinació preferida de patates fregides i bacallà (xmax , y max ) en B . Determineu (xmax , y max ).
Solució
(a) El conjunt C(2), corba de nivell dos, ve donat per:
U (x, y) = 2 ⇔ U (x, y) =

x = 2 si 2 ≤ y
⇔ min {x, y} = 2 y = 2 si 2 ≤ x

El conjunt de nivell dos és: C(2) = (x, y) ∈ R2 /min {x, y} = 2 .
Pel mateix raonament, el conjunt de nivell quatre és: C(4) = (x, y) ∈ R2 /min {x, y} = 4 .
1

Gràcament:

ϳ ϲ ϱ ϰ ϯ
Ϯ

сϮ
сϰ

ϭ ϭ Ϯ ϯ ϰ ϱ ϲ ϳ

ZĞƉƌĞƐĞŶƚĂĐŝſ ŐƌăĨŝĐĂ ĚĞ ůĞƐ ĐŽƌďĞƐ ĚĞ ŶŝǀĞůů  с Ϯ ŝ  с ϰ

Segons aquest resultat, el consumidor no obté major satisfacció per molt que augmenti un dels dos béns i l'altre es mantingui constant. En poques paraules, el consumidor no té satisfacció positiva de la carn o dels deus en excés.
(b) B = (x, y) ∈ R2 /x ≥ 0, y ≥ 0, px x + py y ≤ R = (x, y) ∈ R2 /x ≥ 0, y ≥ 0, x + 3y ≤ 600 .
B és el conjunt dels punts interiors i frontera del triangle limitat pels eixos d'ordenades i x d'abscisses i la recta y = 200 − .
3

Gràcament:

ϮϬϬ

 ϲϬϬ ŽŶũƵŶƚ ƉƌĞƐƐƵƉŽƐƚĂƌŝ 

(c) Sabem, per l'enunciat d'aquest l'apartat, que la funció U (x, y) és contínua en B. Per una
2

altra banda, el conjunt B és compacte: és tancat ja que conté tots els seus punts frontera i, a més, és tat perquè tot ell es pot encerclar per una circumferència.
Per tant, pel teorema de Weierstrass, podem armar que la funció U (x, y) assoleix un màxim absolut en B .
Gràcament:

ZĞĐƚĂ LJ с dž
ŽƌďĂ ĚĞ ŶŝǀĞůů ϭϱϬ

sĂůŽƌ ŵădžŝŵ ĞŶ y с ϭϱϬ͕ z с ϭϱϬ ŐƌĂŵƐ
ϮϬϬ
 с ϭϱϬ

ϭϱϬ

 ϲϬϬ ϭϱϬ

ŽŶũƵŶƚ ƉƌĞƐƐƵƉŽƐƚĂƌŝ  ŝ ƉƵŶƚ ŽŶ ĞƐ ƚƌŽďĂ Ğů ǀĂůŽƌ ĚĞ ŵădžŝŵĂ ƵƚŝůŝƚĂƚ

Numéricament, aquest valor màxim és la intersecció de les rectes y = x i la pressupostària: y=x x + 3y = 600

⇒4x = 600 ⇒

a xm`x = 150 m`x a y = 150

Així, el consumidor obtindrà la màxima satisfacció quan gasta tot el seu pressupost en un wok amb 150 grams de patates fregides i 150 grams de bacallà.

2. [2 punts] Donada la funció g(x, y) =

5y 2 − 3xy 3 x2 + y 2

(a) Comproveu, utilitzant trajectòries rectilínies, que g(x, y) no té límit al punt (0, 0). [Recordeu que abans de fer un límit s'ha de simplicar!]
(b) Si denim g(0, 0) = k, justiqueu que no existeix cap valor de k ∈ R que faci la funció g(x, y) contínua en (0, 0), és a dir, que la funció mai pot ser contínua al (0, 0).
Solució
(a) Les trajectòries rectilínies que passen pel punt (0, 0) són: x = my , m ∈ R.
5y 2 − 3myy 3 lim g(x, y) = lim g(my, y) = lim
= [simplif icant per y 2 ] = y→0 y→0 m2 y 2 + y 2
(x, y) → (0, 0) x = my
5 − 3my 2
5
lim
= 2 y→0 m2 + 1 m +1

3

També podíem haver utilitzat les trajectòries rectilínies: y = mx , m ∈ R.
5m2 x2 − 3xm3 x3 lim g(x, y) = lim g(x, mx) = lim
= [simplif icant per x2 ] = x→0 x→0 x2 + m 2 x2
(x, y) → (0, 0) y = mx
5m2 − 3m3 x2
5
lim
=
2 x→0 1+m
1 + m2
Obtenim per cada valor de m ∈ R un límit direccional diferent ⇒ tenim innits candidats a límit de la funció g(x, y) en (0, 0) . Com el límit d'una funció, si existeix, és únic podem dir que no existeix el límit de g(x, y) al punt (0, 0) .

(b) Per tal que una funció sigui contínua en un punt necessitem que existeixin la imatge del punt, el límit de la funció en dit punt i, a més, han de ser iguals. Hem comprovat a l'apartat anterior que g(x, y) no té límit al punt (0, 0), així que la funció g(x, y) mai podrà ser contínua en el punt (0, 0) encara que tinguem denida la imatge del (0, 0). És a dir, no existeix cap valor de k ∈ R que faci la funció g(x, y) contínua en (0, 0).

4