-------------------------------------------------
Eksamenstræning – differentialregning (hjerter ni)

Hvad er differentialregning?

* Man bestemmer hvor hurtigt funktioner vokser og aftager * Man ønsker at bestemme hældningen af tangenten i et bestemt punkt

Differentialkvotient

Differentialkvotienten: * Tangentens hældning i et bestemt punkt * Den røde linje er sekanten. En sekant er en ret linje, der skærer grafen for en funktion i to punkter. * Sekantens hældning er differenskvotienten: Forskellen i vores funktion delt med forskellen i x-værdien:

fx0+h-f(x0)x0+h-x0=fx0+h-f(x0)h

* Figur 1 – tangentens hældning

Figur 1 – tangentens hældning

Den blå tangent må kun røre et sted på grafen * Jo mindre h bliver, ned mod uendeligt lille, så vil sekanten til sidst blive næsten lig med vores tangent til grafen i ét bestemt punkt * Man siger at differentialkvotienten er grænseværdien af differenskvotienten for h gående mod 0 (den afledede i f(x0))

Figur 2 – afledede funktioner

Figur 2 – afledede funktioner

Den afledte funktion

* Man bruger ikke tretrinsreglen hver gang, man skal differentiere en funktion. Der er derfor nogle regler, man kan bruge. De er alle sammen udledt vha. tretrinsreglen (reglerne til højre

Eksempler på afledede funktioner:

Eksempel 1
Regneregel: fx=xn↔f'x=nxn-1

Man vil differentiere

fx=x7

Man trækker potensen ned foran og trækker 1 fra, oppe i potensen:

f'x=7x7-1=7x6

f'x=7x6

Eksempel 2
Regneregel: fx=ekx↔f'x=k·ekx

gx=e5x

g'x=5e5x

Tretrinsmetoden

Funktion: fx=x * Den er differentiable i intervallet ]0;∞[ med den afledede funktion f'x=12x * Den er differentiable for alle positive x0, da der der bliver en ret linje

Forudsætninger:

1. Regneregel med differens af to kvadratrødder: a-b·a-b=a2-b2=a-b

2. Kvadratrodsfunktionen fx=x er kontinuert i alle punkter af x0. Betyder at funktionsværdien i nabopunktet f(x0+h) tæt ved x0 vil nærme sig funktionsværdien i x0 når h går mod 0: fx0+h→f(x0) når h→0⇔x0+h→x0 når h→0

Trin 1: Find funktionstilvæksten

* Starter med at finde f(x0+h) - sætter det ind på x’s plads * Bruger formlen: ∆y=fx0+h-f(x0) * ∆y= funktionstilvæksten

fx0+h-fx0=x0+h-x0

Trin 2: Find differenskvotienten (sekantens hældning)

* Deler vores funktionstilvækst med tilvæksten i x: ∆y∆x * Jeg dividerer med h fordi det er differensen mellem funktionsværdierne * Man ser om sekanthældningerne går mod en bestemt hældning, ser at både tæller og nævner går mod 0. Man kan derfor ikke vide hvad grænseværdien er.

∆y∆x=fx0+h-fx0h=x0+h-x0h=

* Så omskriver vi – bruger regneregel * Ganger i tælleren med de to kvadratrødders sum og så skal man gange med det samme i nævneren

x0+h-x0·x0+h+x0x0+h+x0

* Jeg har stadig h, så den ganger jeg med igen

x0+h-x0·x0+h+x0h·x0+h+x0

* De to kvadratrødder ganget sammen giver x0+h-x0

=x0+h-x0h·(x0+h+x0

* x0 og xo går ud med hinanden i nævneren

=hh·x0+h+x0

* h og h går ud med hinanden i tæller og nævner * hh=1

Differenskvotienten:
=1x0+h+x0

Trin 3: Find differentialkvotienten

h kommer så tæt på 0 som muligt

* Nu går tæller og nævner ikke længere begge to mod 0, for tælleren går mod 1 når h går mod 0

limh→01x0+h+x0

* x0 afhænger ikke af h, så den går mod x0 * x0+h er kontinuert i x0, så den går mod x0

⇕1x0+x0

* Hvis man har en grænseværdi for hvert led, så går summen mod summen af grænseværdierne * Derfor kan x0 og x0 lægges sammen til 2x0

12x

* Når differensen mellem de to funktionsværdier går mod 0, så kommer de to punkter tættere og tættere på hinanden – til sidst vil det kun skære i et punkt, så kan man finde tangentens hældning i et bestemt punkt
Konklusion: x er differentiabel i x0 med differentialkvotienten 12x0 fordi der fandtes en grænseværdi. Nu er x0 behandlet, så det gælder for alle x0, at de er positive i intervallet ]0;∞[