Universidad Iberoamericana

Cálculo Vectorial Avanzado

“Modelo de Black-Scholes y las Opciones Europeas”

Mtra. Teresa Martínez Palacios

Luisa Adame Elías

México, D.F., a 8 de mayo de 2012.
Modelo de Black-Scholes y las Opciones Europeas

Resumen

La finalidad de este trabajo es entender el Modelo de Black-Scholes-Merton. Este método es el que se utiliza con mayor frecuencia para la valuación de opciones europeas en el mercado de derivados. Para poder comprender de mejor manera explicaremos de manera básica el mercado de derivados así como las opciones europeas. Conoceremos parte de la historia del método de Black-Scholes, obtendremos su ecuación diferencial parcial y conoceremos como aplicarla. También veremos un aplicación práctica donde alguna empresa muestra la manera en que llego a utilizar este tipo de opciones.

Introducción

Un derivado es un instrumento financiero que asegura el precio a futuro de la compra o venta sobre un activo (llamado activo subyacente), para prevenir o adelantarse a las posibles variaciones al alza o a la baja del precio que se generen sobre éste.

Su principal característica es que son dependientes al valor del activo subyacente. Por ejemplo, el precio del oro, del petróleo (en el caso de commodities), o de acciones, índices bursátiles, tasa de interés, valores de renta fija, etc. (en el caso de instrumentos financieros). Entre los derivados más utilizados en el mercado se encuentran los contratos forwards, los futuros y las opciones.

El mercado de derivados puede verse como un seguro. Los seguros tienen por obligación contar con el dinero en caso de requerirse la obligación. El contrato de derivados se cumple hasta que éste llegue a su fin. Al existir fluctuación diaria en cualquiera de estos activos, se vuelve necesario para las empresas asegurar sus precios sobre insumos de producción, adquiriendo un producto derivado, el cual hace las veces de un seguro, según menciona el MexDer (Mercado Mexicano de Derivados), que inicio sus operaciones desde diciembre de 1998.

Una opción de compra es un acuerdo legal entre dos partes. A una parte se le obliga vender un activo financiero, mientras que al comprador se le da la opción de comprar el activo a un precio establecido en una fecha futura. De este modo, el comprador cuenta con la posibilidad de obtener una ganancia ilimitada, conociendo de antemano la posible pérdida. El vendedor, a cambio del riesgo recibirá una comisión. Operar opciones te permite obtener ganancias siempre y cuando acertemos con previsiones y cálculos las condiciones futuras del mercado.

Las opciones se dividen en americanas y europeas. Las opciones americanas son aquellas que se pueden ejercer en cualquier momento hasta la fecha de expiración del contrato. Las opciones europeas, que son en las que nos enfocaremos en este trabajo, sólo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento.
Los factores que determinan el precio de una acción son:

El precio de las acciones (St) en el tiempo (t) El precio de ejercicio (K) El tiempo hasta el vencimiento (T) La volatilidad del precio de las acciones (σ) El tipo de interés libre de riesgo (r) Los dividendos esperados durante la vida de la opción.

Las aseveraciones respecto de cada uno de los parámetros que determinan el precio de una opción son hechos bajo el supuesto de que los demás parámetros permanecen constantes.

Los orígenes de los modelos para la valoración de derivados financieros se encuentran en la ecuación de difusión creada por Joseph Fourier. Fourier, quien desde 1807 había presentado el primer trabajo sobre la conducción del calor, publicó la Théorie Analitique de la Chaleur en 1822.

A través de los años, varios matemáticos y científicos hicieron estudios que se acercaban o ayudaban al método de Black-Scholes. Pero fue hasta 1973, que Fisher Black y Myron Scholes, bajo el supuesto de equilibrio general, desarrollaron un modelo para valuar una opción europea sobre una acción que no paga dividendos, cuyo precio es conducido por un movimiento geométrico Browniano. El movimiento geométrico Browniano describe un proceso estocástico en el que el logaritmo natural de una variable aleatoria sigue un proceso Weiner generalizado, que es un proceso estocástico en el que los cambios en la variable durante períodos cortos de tiempo están normalmente distribuidos con una media y una varianza que son proporcionales al plazo de tiempo en cuestión. Estos procesos estocásticos se utilizan ampliamente para modelar la evolución de precios a lo largo del tiempo y, por lo tanto, forman la base para muchos modelos de valoración estocástica.

Este modelo también es conocido como Black-Scholes-Merton, pues Robert Merton fue quien a formalizó y extendió, en una serie de artículos seminales, la metodología de Black-Scholes. Gracias a todas estas contribuciones se estableció lo que hoy llamamos matemáticas financieras modernas. En 1997, este modelo fue acreedor del Premio Nobel y fue recibido por Myron Scholes y Robert Merton. Desgraciadamente, Fisher Black ya había fallecido para ese entonces.

En atención a las contribuciones de Merton es por lo que en algunas ocasiones este modelo es conocido como Modelo de Black.Scholes-Merton, aunque hay quienes piensan que debería de llamarse Merton-Black-Scholes ya que las aportaciones que hizo Robert a la teoría financiera en el más alto nivel, fueron bastantes y de muy buena calidad.
Cuerpo Teórico

La ecuación diferencial parcial de Black-Scholes se obtiene cuando el precio del activo subyacente (acción) es conducido por un movimiento Browniano, ya antes explicado. Esta ecuación diferencial es de segundo orden, es decir, es una ecuación parabólica y su solución determina el precio de una opción europea cuando la condición final es el valor intrínseco del instrumento. Esta ecuación es comúnmente utilizada para valuar varios productos derivados, ya que sus soluciones representan los precios de los distintos derivados financieros que se encuentran en el mercado.

Anteriormente habíamos aclarado que una opción se determina en base a 6 factores:

El precio de las acciones (St) en el tiempo (t) El precio de ejercicio (K) El tiempo hasta el vencimiento (T) La volatilidad del precio de las acciones (σ) El tipo de interés libre de riesgo (r) Los dividendos esperados durante la vida de la opción.

El modelo de Black-Scholes se encuentra bajo varios supuestos básicos:

El activo subyacente no debe pagar dividendos durante la vida del contrato; El precio del activo subyacente es conducido por el movimiento Browniano, es decir, se distribuye de manera normal y puede ser modelado por la ecuación diferencial estocástica; La volatilidad del precio del activo subyacente se mantiene constante a través del tiempo; Las ventas en corto del subyacente son permitidas e ilimitadas; El mercado es líquido y divisible, es decir, el subyacente puede venderse y comprarse en cualquier fracción de unidad; No hay costos de transacciones (comisiones e impuestos); El mercado opera de manera continua; Existe un sistema bancario en el que se puede comprar y vender a una tasa constante a todos los plazos y libre de riesgo de incumplimiento; Los mercados están en equilibrio, es decir, no hay arbitraje alguno. Todos cuenta con la misma información, es decir la información es simétrica.

Dinámica del precio del subyacente

El precio del activo subyacente al tiempo t,S_t, es conducido por el movimiento Bowniano:

dS_t= μS_t dt+σS_t W_t

En esta ecuación μ pertenece a los reales y representa el rendimiento medio esperado mientras que σ debe ser mayor a 0 y representa la volatilidad por unidad de tiempo.

Lema de Itô

Considere una función f(St, t) donde St es una acción y t es el tiempo. Al sustituir la función en su forma diferencial, obtenemos:

(dS_t)/dt= µdt + σ dW_t

Mediante una aplicación de expansión en serie de Taylor se tiene que:

dy= ∂f/(∂S_t ) ∂St + ∂f/∂t dt + 1/2 ((∂^2 f)/(∂〖S_t〗^2 ) (〖dS_t) 〗^2+2 (∂^2 f)/(∂S_t ∂t ) (dS_t )(dt)+(∂^2 f)/(∂t^2 ) (〖dt)〗^2)

Al sustituir la ecuación del movimiento Browniano geomñetrico en su forma diferencial de dS_t= μS_t dt+σS_t dW_t, y después de aplicar las reglas de diferenciación estocástica enunciadas, se tiene que dy=

= ∂f/∂t dt + ∂f/(∂S_t ) [μS_t dt + σ S_t dW_t ] + 1/2 ⌊(∂^2 f)/(∂〖S_t〗^2 ) [μ^2 〖〖S_t〗^2 〖dt〗^2 +2μS_t σ S_t dtdW_t+σ^2 〖S^2〗^ 〗_t 〖dW_t〗^2 ] +2 (∂^2 f)/(∂S_(t ) ∂t) [μS_t 〖dt〗^2+ σS_t dtdW_t ] +(∂^2 f)/(∂t^2 ) dt^2 ⌋

Simplificando, agrupando y utilizando las reglas de diferenciación estocáticas:

llegamos a que el lema de Ito es:

∂f/(∂S_t ) (S_(t ) μdt+σS_(t ) dW_t ) + ∂f/∂t dt +1/2 ((∂^2 f)/(∂〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt)

Dinámica del precio de la opción

El valor de una opcion dependerá de las propiedades del activo subyacente tales como: su precio, S_t , rendimiento esperado, µ , y volatilidad, σ, la tasa de interés, r. por lo anterior se puede escribir el valor de una opcion como: C= c(S_t, t; K,T, σ, µ, r)

Podemos notar que S_t, el precio de la acción, y t, el tiempo, son la variables relevantes por lo que las otras variables las dejaremos aparte. De este modo simplificamos el valor de la opción como c = c(S_t ,t)

Observe que cuando t cambia a t+dt, el activo cambia de S_t a S_t+dS_t, por lo tanto el precio de la accion cambia de c = c(S_t ,t) a c+dc mediante el lema de Ito, obteniendo:

dc_t= dc/(dS_t ) (S_t μdt + σS_t dW_t )+dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt)

Dinámica de un portafolio combinado del subyacente y su opción de compra

Ahora consideremos un portafolio de inversión constituido con w_1 unidades del activo subyacente y w_2 unidades de una opción de compra sobre el subyacente precio c(S_t ,t). Por lo tanto:

π_t=w_1 S_t+ w_2 c(S_t ,t);

donde π es el valor actual del portafolio.

Cuando el tiempo cambia, de t a t+dt el valor del portafolio también cambia de la misma manera, es decir, de π a π+dπ_t:

dπ_t=w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

Anteriormente ya se había calculado el valor de 〖dS〗_t y el valor de dc por lo que ahora las sutituiremos en la última fórmula calculada:

dπ_t=w_1 (μS_t dt+σS_t W_(t) )+w_2 (dc/(dS_t ) (S_t μ_t dt +σS_t dW_t )+dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt))

Ahora agruparemos esta fórmala de tal manera que la ecuación contenga dos tipos de términos:

dπ_t=(w_1+w_2 dc/(dS_t ))μS_t dt+(w_1+w_2 dc/(dS_t ))σS_t 〖dW〗_t+w_2 (dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt))

Los dos tipos de términos son aquellos multiplicados por dt y aquel multiplicado por 〖dW〗_t, quien modela el riesgo de mercado del portafolio. Es posible eliminar el riesgo si se eligen, de manera adecuada, las cantidades de los activos (w_1,w_2).

Administración de riesgo de mercado

Para eliminar el término estocástico de la ecuación anterior, debemos elegir w_1,w_2 y eliminar el riesgo de mercado, esto es posible ya que el valor de la acción y la opción estan directamente relacionados. Para eso:

w_1+w_2 dc/(dS_t )=0

Claramente existen infinitas soluciones para la ecuación anterior. Utilizaremos un ejemplo: si w_2=1 y 〖 w〗_1=-dc/(dS_t )=-∆ .
La ecuación anterior es dinámica ya que la cantidad dc/(dS_t ) cambia con S_t y t.
Ésta elección de cantidad de activos es muy común y se refieren a ella como cobertura Delta. La cobertura Delta es aplicable solamente durante el instante dt, ya que al transcurrir el tiempo la cobertura se deteriora poco a poco y pierde su efectividad. Por lo tanto, se emplea esta cobertura en:

dπ_t=w_1 〖dS〗_t+ w_2 d;

y se obtiene:
〖〖dπ〗_t〗^((∆))=c-∆S_t *

Cuenta Bancaria

Uno de los supuestos básicos del modelo de Black-Scholes (supuesto 8), dice que existe un mercado de crédito libre de riesgo de incumplimiento. Esto se refiere a que los participantes del mercado pueden prestar o pedir prestado a una tasa constante, r, a todos los plazos y libre de riesgo de mercado.

Si B_0 es el depósito que se hace continuamente (capitalizable) entonces el saldo de la cuenta se definiria como:

B_t= B_0 e^rt

Por lo tanto esta ecuación satisface a la ecuación diferencial:

〖dB〗_t=rB_t dt

Ahora juntemos los dos últimos incisos vistos. Si el valor del portafolio resultante es el depósito que se esta haciendo periodicamente, entonces se satisface:

〖dπ〗_t= π_t r_t dt

Donde π era el valor del portafolio y r es la tasa de interés del banco.

Recordemos que el supuesto 9 del modelo de Black-Scholes dice que el mercado se encuentra en equilibrio, es decir, no hay oportunidades de arbitraje. Por lo tanto se tiene que:

〖〖dπ〗_t〗^((∆))=〖〖dπ〗_t〗^((r))

Ó

dπ_t= π_t r_t dt

Esto sucede ya que si la tasa de rendimiento del portafolio fuera mayor que el interés que paga el banco, entonces se pediría prestado en el banco la cantidad de -∆S_t+c para invertirla en el portafolio. Después, se le pagaría al banco los intereses mas el capital y el restante sería una ganancia libre de riesgo. De la otra maner, es decir, si el rendimiento del portafolio es menor que los intereses que paga el banco, no tendría sentido invertir en el portafolio.

Ecuación diferencial de Black-Scholes

A lo largo de este trabajo hemos calculado varias ecuaciones. Recordemos la que calculamos en el inciso Dinámica de un portafolio combinado del subyacente y su opción de compra, cuando el valor del portafolio cambiaba al mismo tiempo que el tiempo cambiaba:

dπ_t=w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

Esta ecuación es equivalente a 〖〖dπ〗_t〗^((∆)), por lo que ahora sustituiremos esta fórmula en la fórmula calculada anteriormente:

π_t r_t dt= w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

En el mismo inciso calculamos el valor de un portafolio:

π_t=w_1 S_t+ w_2 C_t

Podemos notar que en esta ecuacion nos dan el valor de π_t, por lo que lo sustituiremos en la fórmula:

〖(w〗_1 S_t+ w_2 C_t)r_t dt= w_1 〖dS〗_t+ w_2 dc

En el inciso de Administración de riesgo de mercado, concluimos que w_2=1 y 〖 w〗_1=-dc/(dS_t ) datos que de la misma manera podemos sutituir en la ecuacion anterior en ambos lados:

(-dc/(dS_t ) S_t+ 1C_t ) r_t dt=(-dc/(dS_t ) 〖)dS〗_t+ 1dc_t

En el inciso de Dinámica del precio de la opción calculamos dc_t y en el inciso de Dinámica del precio del subyacente calculamos 〖dS〗_t, que de igual manera sustiuiremos en la fórmula anterior:

(-dc/(dS_t ) S_t+ 1C_t ) r_t dt

=(-dc/(dS_t ) 〖)(μS_t dt+σS_t W_t ) 〗_

+ (dc/(dS_t ) (S_t μdt + σS_t dW_t )+dc/dt dt+1/2 ((d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt))

Recordemos las reglas de diferenciación estocástica aplicadas en el Lema de Ito:

De esta manera eliminamos y el resultado lo igualamos a 0 obteniendo:

1/2 (d^2 c)/(d〖S_t〗^2 ) σ^2 〖S_t〗^2 dt+dc/dt dt-C_t r_t dt+dc/(dS_t ) S_t r_t dt=0

Esta es la ecuacion diferencial parcial de 2do orden de Black-Scholes para una opcion europea.

Para tener una solución concreta es ncesario aplicar soluciones de fronter:

C_t (0,t)=0
C_t (S_t,T)=max{S_t-k,0}

donde k es el precio (strike price). Aplicación Práctica

Grupo Bimbo:
El principal insumo utilizado por Grupo Bimbo en los procesos productivos es la harina de trigo, que se adquiere principalmente de molinos locales. Grupo Bimbo mantiene contratos de suministro a largo plazo a fin de asegurar un abastecimiento oportuno del producto.
La cotización de la harina de trigo toma como referencia el precio de los futuros del trigo en las Bolsas de Chicago, Kansas y Minneapolis, en EE.UU. y de Buenos Aires, en Argentina.
Con el objetivo de mantener un suministro oportuno de harina de trigo y de compensar la volatilidad en su precio, Grupo Bimbo cuenta con políticas definidas de compra y cobertura, las cuales incluyen el seguimiento sistemático de las condiciones diarias del mercado y la consulta a especialistas en la materia, entre otras. Las coberturas de precio de algunos insumos del Grupo se realizan en aquellos países en que el mercado local lo permite, como México, EE.UU., Brasil y Argentina. Grupo Bimbo estima que se encuentra cubierto de manera razonable ante posibles variaciones en el precio del trigo que pudiera afectar su operación. Sin embargo, Grupo Bimbo no puede garantizar la estabilidad del precio del trigo u otras materias primas en el futuro ante las muchas variables que afectan su comportamiento.
La Compañía principalmente utiliza swaps de tasa de interés para administrar su exposición a las fluctuaciones de tasas de interés y de moneda extranjera de sus financiamientos; así como futuros y opciones para fijar el precio de compra de materias primas, entre ellas el trigo y algunos energéticos. La Compañía documenta formalmente todas las relaciones de cobertura, en donde describe los objetivos y estrategias de la administración de riesgos para llevar a cabo transacciones con derivados. La negociación con instrumentos derivados se realiza sólo con instituciones de reconocida solvencia y se han establecido límites para cada institución.

Los instrumentos financieros derivados que utiliza La Compañía son principalmente:

a) Futuros de materias primas
b) Opciones sobre futuros de materias primas
c) Opciones de compra sobre divisas (Calls)
d) Contratos de precio adelantado (Forwards) de divisas y tasas de interés
e) Contratos mediante los cuales se establece la obligación bilateral de intercambiar flujos de efectivo en fechas futuras preestablecidas, sobre un valor nominal o de referencia (Swaps) 1) De tasas de interés (Interest Rate Swaps) para equilibrar la mezcla de tasas de sus pasivos financieros entre tasas fija y tasas variables. 2) De monedas (Cross Currency Swaps) para transformar la moneda en la que se encuentra denominado tanto el capital como los intereses de un pasivo financiero.
*Datos recolectados de la página oficial de Grupo Bimbo
Con los datos que se encuentran en la parte superior podemos ver un caso práctico donde una de las empresas más importantes de México utiliza la compra de derivados para asegurar la compra de la materia prima de sus productos.
Nunca de menciona en los reportes financieros ni en la página de internet el uso del modelo de Black-Scholes. Pero podemos suponer que en el uso de varios modelos para calcular el precio de las opciones se encuentre este modelo ya que es el más utilizado en el área financiera.

Conlusiones

Las finanzas es un campo basado en puras fórmulas matemáticas. Con estas fórmulas se han ido creando distintos tipos de instrumentos financieros y mecanismo de inversión y de la misma manera se han creado modelos para calcular el valor de estos instrumentos.

Este trabajo habla principalmente del modelo de Black-Scholes creado en 1973 y es uno de los modelos más utilizados, principalmente para calcular el valor de una opcion europea.

Pero para poder utilizar la formula de Black-Scholes para calcular el precio de una opción, se deben de tomar en cuenta muchas variables como lo es el llamado “strike price” de la opción, las tasas de interés, volatilidad, etc.

El tiempo es uno de los principales factores por el cual se ve afectado el precio de una opción, ya que al mismo tiempo afecta el precio de la prima de la acción y el valor del portafolio combinado. Cada cambio marginal en el tiempo afecta directamente a todas las variables.

Los supuestos básicos del modelo de Black-Scholes son supuestos que la verdad son muy dificiles que sucedan en la vida real. Por ejemplo, es difícil que los mercados se encuentren realmente en equilibrio y generalmente es posible la obtención de información privilegiada, lo que permite ganancias extraordinarias, esto muestra una eficiencia débil de mercado.

El objetivo de tener este tipo de herramientas como la que es la famosa fórmula de Black-Scholes, es ayudar a los inversionistas a tener mayores ganancias y/o minimizar sus pérdidas.

Bibliografía

http://www.cnnexpansion.com/economia/derivados-bftoxicos-o-medicinales/bfque-es-un-mercado-de-derivado (consultado el 4 de mayo a las 17:00)

Venegas Martínez, Francisco, “Riesgos financieros y económicos; productos derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre” Segunda ed. 2008 pp. 203- 206.
Martínez Palacios María Teresa Verónica, Un Análisis Comparativo de Diversas Metodologías para la Valuación de Opciones, Facultad de ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, páginas 83-89