Opgave 15
Den med et blomsterbed, hvis areal er bestemt ved:
A(v) = hvor 200v (v + 2)2
v
måles i radianer.
Sådan en type opgave har altid noget med dierentialkvotienter at gøre, derfor vil jeg nde dierentialkvotienten til
A(v)
og sætte den lig nul for at nde arealfunktion A's ekstrema.
A (v) =
200v (v + 2)2
Denne problemstilling kan løses med brøkreglen ved dierention:
f (x) g(x)
=
f (x) · g(x) − f (x) · g (x) (g(x))2
Anvendes denne regel på den aktuelle problemstilling, får vi:
A (v) =
200v (v + 2)2
A (v) =
(200v) · (v + 2)2 − 200v · (v + 2)2 ((v + 2)2 )2 200 · (v + 2)2 − 200v · 2(v + 2) (v + 2)4
A (v) = A (v) = A (v) =
200 · (v 2 + 4 + 4v) − (400v 2 + 800v) (v + 2)4
(200v 2 + 800 + 800v) − (400v 2 + 800v) (v + 2)4 200v 2 + 800 + 800v − 400v 2 − 800v (v + 2)4 A (v) = A (v) = A (v) = −200v 2 + 800 (v + 2)4 −200(v 2 − 4 (v + 2)4
A (v) =
−200(v + 2)(v − 2) (v + 2)4 −200(v − 2) (v + 2)3
A (v) = fortsættes næste side
1
Nu sættes
A (v)
lig med nul for at bestemme ekstrema, idet det forudsættes at
v > 0.
A (v) = 0 −200(x − 2) =0 (v + 2)3
For at en brøk kan give nul, skal tælleren give nul, - derfor:
−200(v − 2) = 0 −200v + 400 = 0 −200v = −400 v = 2 rad
Dette betyder jo, at funktionen En fortegnsundersøgelse med
A(v) har et ekstrema ved v = 2 A (v) for en værdi over og under denne 200 −200(1 − 2) = 3 (1 + 2) 27 −200(3 − 2) −8 = 3 (3 + 2) 5
v-værdi vil afsløre om
det er et minumum eller maksimum.
A (1) =
(> 0)
A (3) =
Hvilket betyder, at funktionen
(< 0) v = 2.
A(v)
har et globalt maksimum ved
Jeg vil lige nævne, at tegner man grafen for
A(v)
i et grafprogram som fx GeoGebra, så
sker der noget for v mindre end nul, men det betyder vel ikke noget, da vil fastsatte et areal. Hvis man ønsker at vide værdien for det optimale areal, beregnes det således:
v ≥ 0.
En negativ vinkel giver ikke mening i dette tilfælde, hvor det handler om noget praktisk som
