12/02/2014

Microéconomie IV
Economie de l’incertain & de l’information
Chapitre 5

Morgane Tanvé
Université Lille 1, L3, Semestre 6

ne pas parler

Résumé Partie Précédente
Les 4 séances précédentes nous ont permis d’introduire des instruments d’analyse des décisions dans un univers risqué (incertain probabilisable).
Nous appliquons désormais ces instruments à 2 types de décision :
- le choix de placement financier ou choix de portefeuille
- le choix d’une police d’assurance.

Chap.5
Partie 2 - Application des principes de choix en incertain Chapitre 5 - Choix de Portefeuille

Chap.5 - Intro (1/2)
Définition La théorie du choix de portefeuille correspond à l’étude du choix des actifs financiers sous la forme desquels un agent souhaite conserver sa richesse.
Intérêt Cette théorie n’est qu’une partie de la théorie plus générale des choix de consommation et d’épargne en univers incertain.
仲裁

Mais si on veut comprendre comment un individu arbitre entre sa consommation immédiate et son épargne dans un tel cadre il faut spécifier sur quoi porte l’incertitude.
Or, souvent l’incertitude porte sur le rendement de l’épargne.
En s’intéressant à la composition de l’épargne, on étudie ainsi la manière avec laquelle un individu se comporte sous cette incertitude.
Cette étude peut être considérée comme un préliminaire à l’arbitrage entre consommation immédiate et future, dans la mesure où le montant de l’épargne n’est pas indépendant de sa composition.

Chap.5 - Intro (2/2)
Objectifs On se concentre ici sur l’étude de la composition de l’épargne d’un individu en supposant que le montant de cette épargne est déterminé de manière exogène.
La décision que doit prendre le ménage est seulement de savoir sous quelle forme conserver son patrimoine. Pour ce faire, on suppose qu’il existe 2 types d’actifs, l’un certain, l’autre risqué.
Plan 1. Nous commençons par spécifier le cadre d’analyse.
2. Puis nous étudions les choix des agents selon leur attitude vis-à-vis du risque.
3. Finalement, on analyse comment les agents modifient leurs choix en fonction de l’environnement. Chap.5 - Cadre d’analyse (1/4)
On s’intéresse désormais aux choix de placement, i.e. à la constitution du portefeuille, d’un individu :
- ayant une richesse initiale w
- dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité élémentaire u (.).
Cet individu a le choix entre placer sa richesse sur :
- un actif risqué rapportant un rendement aléatoire Y
- un actif certain rapportant un rendement certain i.
On notera m la partie de w investie en actif certain et a la partie de w investie en actif risqué.

Chap.5 - Cadre d’analyse (2/4)
! La richesse aléatoire de cet individu est ainsi
W = m (1 + i) + a (1 + Y )

! Contrainte budgétaire
Cet individu est soumis à la contrainte budgétaire selon laquelle il ne peut placer plus que le montant de sa richesse initiale w, soit m+a=w Ainsi en choisissant a, on choisit également m.

Chap.5 - Cadre d’analyse (3/4)
La richesse aléatoire W de l’individu peut ainsi être réecrite comme une fonction de a W (a) = m (1 + i) + a (1 + Y )
= (w ! a) (1 + i) + a (1 + Y )
= w (1 + i) + a (1 + Y ! 1 ! i)
= w (1 + i) + a (Y ! i)
On supposera que l’individu ne peut ni emprunter (a > w), ni vendre à découvert
(a < 0) de l’actif risqué, soit a " [0, w]

Chap.5 - Cadre d’analyse (4/4)
Objectif Quel est le montant a optimal ?
Autrement dit, quel est le montant optimal a# que l’individu doit placer en actif risqué pour maximiser l’utilité U (W (a)) qu’il dégage de sa richesse W (a) ?
Pour ce faire, on cherche le montant a solution du programme de maximisation suivant :
M ax U [W (a)] = E [u (w (1 + i) + a (Y ! i))] a s.c. 0 " a " w
Et on discute de la résolution de ce programme selon l’attitude vis-à-vis du risque des individus. Chap.5 - Optimum pour un agent neutre (1/2)
Un agent neutre au risque est tel que E [u (W )] = u (E (W )).
Ainsi, pour un tel agent, il est équivalent de maximiser l’espérance d’utilité E [u (W )] et l’espérance de gain E (W ) (puisque u fonction croissante).
Le programme de cet agent s’écrit donc
M ax E [W (a)] = w (1 + i) + a (E [Y ] ! i) a s.c. 0 " a " w

下页将讲到:
E(Y)-i >0, a*=w
E(Y)-i <0, a*=0
E(Y)-i =0, a*=n'importe quel valeur (0,w)

Chap.5 - Optimum pour un agent neutre (2/2)
Solutions 1. Si E (Y ) < i alors a# = 0.
2. Si E (Y ) > i alors a# = w.
3. Si E (Y ) = i alors a# peut prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle [0, w].
$ L’investisseur neutre au risque a un comportement "extrême", aucune diversification de son portefeuille d’actifs.

Comportement de "tout ou rien".

Chap.5 - Optimum pour un agent risquophile (1/6)
Le programme d’un tel agent s’écrit
M ax E [u (W (a))] = E [u (w (1 + i) + a (Y ! i))] a s.c. 0 " a " w

Comment résoudre ce programme ?
Si une solution intérieure existe, i.e. 0 < a# < w, elle est donnée par la Condition du Premier Ordre (CPO) suivante
CP O

!E (u [W (a)])
|a=a# = 0
!a

Mais comment calculer cette dérivée ?

Chap.5 - Optimum pour un agent risquophile (2/6)
! La règle de Leibniz
La dérivée d’une intégrale par rapport à une variable a (qui n’est ni la variable d’intégration, ni une des bornes) est l’intégrale de la dérivée par rapport à a. Soit
!
!a

!"

b

b

#

g (a, x) dx =

" b
!g (a, x) b !a

dx

Ainsi, si g (a, x) = u(a, x)f (x) avec f la fonction de densité d’une variable aléatoire
X , on obtient alors
!

!Eu (X )
!u (X )
=E
!a
!a

#

Chap.5 - Optimum pour un agent risquophile (3/6)
En utilisant la règle de Leibniz, on obtient
!

#

!Eu (W (a))
!u (W (a))
= E
!a
$ % !a
%
= E u (W (a)) .W % (a)

La condition du premier ordre (CPO) devient ainsi
&

E u% (w (1 + i) + a (Y ! i)) . (Y ! i)

'

=0

La Condition du Premier Ordre (CP O ) permet de déterminer le montant a qui est un extremum de la fonction d’utilité. On a néanmoins besoin de "qualifier" cet extrêmum, i.e. de savoir si ce montant a maximise ou minimise l’utilité.
On s’intéresse alors à la Condition du Second Ordre (CSO) pour qualifier cet extremum.

Chap.5 - Optimum pour un agent risquophile (4/6)
! La Condition du Second Ordre (CSO) s’écrit
! 2E (u [W (a)])
!a2

Pour qualifier l’extremum, on étudie le signe de la CSO
! 2E (u [W (a)])
Si
|a=a# < 0 alors a# est un maximum
!a2
! 2E (u [W (a)])
Si
|a=a# > 0 alors a# est un minimum
!a2

Chap.5 - Optimum pour un agent risquophile (5/6)
Dans le cas d’un agent risquophile, la CSO est égale à
(

)
+

/
0

E *u%% (w (1 + i) + a (Y ! i))(Y ! i)21 > 0
,>0 par hyp.

.+

,>0

.

car les préférences d’un agent risquophile sont représentées par une fonction d’utilité croissante et convexe, soit u%% > 0.
La CSO d’un tel agent est positive, ce qui signifie que
- la solution de la CPO si elle existe, correspond à un minimum d’utilité.
- il n’existe donc pas de solution intérieure qui maximise l’utilité d’un individu risquophile.
On en déduit donc que seule une solution au bord maximise son utilité, à savoir soit a# = 0 soit a# = w. Mais laquelle ?

Chap.5 - Optimum pour un agent risquophile (6/6)
Pour déterminer le montant optimal a# qui maximise l’utilité d’un agent risquophile, on compare l’utilité de l’agent pour les 2 solutions envisageables, soit E [u (W (0))] et E [u (W (w))].
Ainsi,
- si E [u (W (0))] > E [u (W (w))], alors l’utilité de l’agent est maximale pour la valeur minimale de a soit a# = 0
- si E [u (W (0))] < E [u (W (w))], alors l’utilité de l’agent est maximale pour la valeur maximale de a soit a# = w.
- si E [u (W (0))] = E [u (W (w))], alors a# = 0 ou a# = w.
$ Aucune diversification et comportement "encore plus extrême" (car a# tjs aux bornes) que pour un individu neutre au risque.
$ Bien qu’il aime le risque, un risquophile peut placer tout son avoir en actif certain.

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (1/10)
Le programme et la condition du premier ordre (CPO) sont les mêmes que pour un agent risquophile.
On se concentre sur la condition du second ordre (CSO)
(

)
+

/
0

E *u%% (w (1 + i) + a (Y ! i))(Y ! i)21 < 0
,<0 par hyp.

.+

,>0

.

car les préférences d’un agent risquophobe sont représentées par une fonction d’utilité croissante et concave, soit u%% < 0.
Autrement dit, la solution de la CPO est bien une solution intérieure correspondant à un maximum. Et cette solution a# vérifie
&

E u% (w (1 + i) + a# (Y ! i)) . (Y ! i)

'

=0

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (2/10)
! Que peut-on dire de a# ?
On s’intéresse d’abord au signe de a# puis à son montant.
$ Signe de a#, a-t-on a# = 0 ou a# > 0 ?
Si au point a = 0, l’espérance d’utilité de l’agent decroît avec a, alors a# = 0.
2
!E [u (W (a))] 2
2
2
2
!a

= a=0 &

E u% (w (1 + i)) . (Y ! i)

'

= u% (w (1 + i)) . (E (Y ) ! i)

Ainsi,
- si E (Y ) " i alors a# = 0
- si E (Y ) > i alors a# > 0 $ diversification possible.
Le signe du montant optimal d’actif risqué a# dépend de la di!érence entre l’espérance du taux risqué et le taux certain.

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (3/10)
Rq1 - dire qu’une solution intérieure existe ne signifie pas que a# correspond toujours à une solution intérieure, 0 < a# < w. La solution optimale peut être égale à 0 et ce dès que E (Y ) " i.
Rq2 - Un agent risquophobe place une partie positive de sa richesse w dans un actif risqué si et seulement si l’espérance du taux de rendement de l’actif risqué E (Y ) est strictement supérieur au taux de rendement de l’actif certain i.
Rq3 - Dès que E (Y ) > i, l’individu risquophobe prend le risque de placer une partie de son avoir en actif risqué.
$ Un risquophobe peut donc prendre un risque !
$ L’aversion au risque n’implique pas l’insensibilité à l’espérance de la richesse.

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (4/10)
$ Montant de a#.
Un risquophobe place une partie positive de sa richesse sur un actif risqué dès que
E (Y ) > i. Mais quel montant a# place-t-il ?

Pour connaître ce montant, on écrit la CP O sous une forme économiquement interprétable, en repartant de la définition de la prime de risque. u [E (W (a)) ! " (W (a))] = E (u (W (a)))

Ainsi, il est équivalent de maximiser :
- l’espérance d’utilité de l’individu E (u (W (a)))
- u [E (W (a)) ! " (W (a))]
- et E (W (a)) ! " (W (a)) car u est une fonction croissante.
$ L’individu va ainsi chercher à maximiser la di!érence entre l’espérance de gain de la richesse E (W (a)) et la prime de risque " (W (a)).

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (5/10)
On s’intéresse donc désormais au programme
M ax E [W (a)] ! " a s.c. 0 " a " w

L’utilité est donc maximale lorsque la di!érence entre l’espérance de la richesse finale et la prime de risque est maximale.
Ainsi
- à espérance donnée, le risquophobe préfère la richesse pour laquelle la prime de risque est la plus faible
- une variation de a augmente l’utilité si elle augmente l’espérance de la richesse plus qu’elle n’augmente la prime de risque.

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (6/10)
Afin de résoudre ce programme de maximisation, i.e. de trouver le montant a à placer en actifs risqués, on détermine
1. la Condition du Premier Ordre (CP O ) qui permet de déterminer le montant a# qui est un extremum de la fonction d’utilité. On a dE [W (a)] d" = da da
&
Em = "m
$ A l’optimum, on a égalité entre l’espérance de gain marginale (Em) et prime de risque marginale ("m).
$ L’optimum n’est ainsi caractérisé que par les conditions marginales.

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (7/10)
On "fait parler" cette égalité Em = "m.
L’expression de l’espérance de gain marginale est dE [W (a)]
Em =
= E (Y ! i) = E (Y ) ! i da L’expression de la prime de risque est
#2
" ' W IAAR (E [W (a)])
2
avec # 2 = V ar [W (a)] = V ar [w (1 + i) + a (Y ! i)] = a2# 2
W
Y d’où a2 # 2
Y IAAR (E [W (a)])
"'
2

Rq - Si a = 0 alors la prime de risque " et la prime de risque marginale sont nulles.

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (8/10)
On s’intéresse à "m = d"/da en étudiant l’impact d’une augmentation de a sur " .
Cette augmentation a 2 e!ets opposés :
1. !+a entraîne une augmentation de la variance de la richesse # 2 = a2# 2 donc
W
Y une augmentation de " .
2. !+a entraîne une augmentation de E [W (a)] si E (Y ) > i donc une baisse de
" si la condition dIAAR < 0 est respectée. dw On peut montrer que le premier e!et l’emporte toujours sur le second, de sorte que plus a est élevé, plus l’agent considère que sa richesse W (a) est risquée et plus il est prêt à payer pour se débarrasser du risque, soit
"m =

d"
>0
da

On peut aussi montrer que d"m d2"
=
>0 da da2 d’où " est une fonction croissante et convexe de a.

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (9/10)
Représentation Graphique pour E (Y ) > i

· " passe par 0 pr a = 0 psq " attachée à une richesse certaine est nulle et est str. positive pour toutes les richesses risquées puisque cptt risquophobe.

· E (W ) a pour ordonnée à l’origine w (1 + i) et pente (E (y ) ! i) $ drte (te ou )te en fonction de (E (y ) ! i).
$ a# au point où pente des 2 courbes est la même, i.e. où di!érence entre l’espérance de la richesse et la prime est maximale

Chap.5 - Optimum pr un agent risquophobe (10/10)
A l’optimum, on a donc "m = E (Y ) ! i

Chap.5 - Montant Optimal d’un Risquophobe (1/2)
On a le programme
M ax E [W (a)] ! " = a s.c. 0 " a " w

a2 # 2
[w (1 + i) + a (E (Y ) ! i)] ! 2 Y IAAR (w)

Pour trouver le montant optimal, on détermine la CPO, soit
CP O

(E (Y ) ! i) ! a# 2 IAAR (w) = 0
Y

d’où a# =

E (Y ) ! i
1
IAAR (w)
#2
Y

Chap.5 - Montant Optimal d’un Risquophobe (2/2)
Ce montant peut s’interpréter en décomposant 3 termes :
1. E (Y ) ! i correspond au surplus de rentabilité du produit risqué par rapport à celle de l’actif sans risque i.
$ Lorsque cette prime augmente, le montant d’actif risqué augmente cet. par..
2. # 2 est la variance du rendement risqué ou une indication de la quantité de risque.
Y
$ Lorsque la quantité de risque augmente, l’individu diminue le montant de son épargne placé sur l’actif risqué.
3. IAAR (w) est le coe"cient d’aversion absolue pour le risque.
$ Plus l’aversion pour le risque est grande et moins il y a d’actif risqué dans le portefeuille. Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (1/9)
Nous allons maintenant étudié comment la composition du portefeuille d’un individu risquophobe varie lorsque
1. sa richesse initiale certaine w varie
2. le taux de rendement de l’actif sans risque i varie.
Pour cela nous nous servirons du résultat suivant
Si dIAAR > 0 alors " et "m augmentent avec w dw Si dIAAR < 0 alors " et "m diminuent avec w dw Rappel -

a2 # 2
" ' 2 Y IAAR (w).

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (2/9)
! E!et d’une augmentation de la richesse w sur a#.
On cherche
!a#
!a#
!IAAR
=
.
!w
!IAAR
+ ,- . + !w .
,<0

#0

1. Si IAAR (w) est une fonction décroissante de la richesse ( !IAAR < 0) alors
!w
!a# >
!w

0 (a# augmente avec w), i.e. l’actif risqué est un bien supérieur, c’est-à-dire un bien dont la quantité demandée varie dans le même sens que la richesse.
2. Si IAAR (w) est une fonction croissante de la richesse ( !IAAR > 0) alors l’actif
!w
# diminue avec w ). risqué est un bien inférieur (a
3. Si IAAR (w) est une fonction constante de la richesse ( !IAAR = 0) alors a# est
!w
indépendant de w.

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (3/9)
! E!et d’une augmentation de la richesse w sur a#/w.
Les résultats précédents ne portent que sur le niveau absolu de l’investissement en actif risqué a#. Or, il est intéressant de savoir comment évolue la part de l’investissement en actif risqué dans le budget a/w lorsque la richesse w augmente.
Pour cela il faut déterminer si l’élasticité, notée $w# , de a# par rapport à w est a supérieure à 1 ou non.
$w#
a

da#/a# w da#
=
= # dw/w a dw
+,-.+,-.
$1 #0

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (4/9)
On peut montrer que
#

1. Si IAAR (w) est une fonction décroissante de la richesse alors !a > 0 et on en
!w
déduit que l’actif risqué est un bien de luxe ($w# > 1), c’est-à-dire un bien dont la a quantité demandée croît plus que proportionnellement à l’augmentation du revenu.
!a# <
!w

2. Si IAAR (w) est une fonction croissante de la richesse alors
0 de sorte que $w# < 1 a %$ La part de la richesse investie en actif risqué diminue avec la richesse w, .
3. Si IAAR (w) est une fonction constante de la richesse alors $w# = 1 a %$ La part de la richesse investie en actif risqué est constante.

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (5/9)
! E!et d’une augmentation du taux de rendement de l’actif certain i sur a#.
Une augmentation de i a deux e!ets sur a#
1. E!et substitution - !+i fait diminuer l’espérance de gain marginale Em =
E (Y ) ! i.
%$ L’actif sûr étant mieux rémunéré, l’individu a intérêt à substituer de l’actif sûr à l’actif risqué $ baisse de a#.
2. E!et revenu - !+i augmente le revenu de l’individu W (a) ce qui a!ecte " et
"m. Comment ?
Si IAAR (w) est décroissante avec w, alors " et "m baissent de sorte que !+i cela entraîne une augmentation de a#.
Ces deux e!ets (ES et ER) peuvent donc être opposés.
Pour connaître l’e!et final de i sur a#, il faut déterminer quel est l’e!et qui l’emporte sur l’autre.

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (6/9)
Représentation Graphique - Situation initiale.

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (7/9)
Représentation Graphique - E!et Substitution.

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (8/9)
Représentation Graphique - E!et Revenu.

Chap.5 - Statique Comparative Risquophobie (9/9)
On peut montrer que :
- l’e!et substitution domine toujours l’e!et revenu si l’aversion partielle pour le risque
IAP R de l’individu est inférieure à 1.
Ainsi, si IAP R (w, a) < 1 pour toutes valeurs de w et de a " [0, w] alors a# décroît avec i.