Res´men de clase: Econometr´ u ıa Formas cuadr´ticas e interacciones en las variables a explicativas
Basadas en Cap. 6 de Wooldridge (2009) y Cap. 8 de Stock y Watson

Profesor del curso: Nieves Vald´s e
Escuela de Gobierno Universidad Adolfo Ib´nez a˜

Nieves Vald´s (UAI) e

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Formas cuadr´ticas en las variables explicativas a
Para incluir en los modelos emp´ ıricos efectos marginales crecientes o decrecientes se usan las formas cuadr´tics en las variables explicativas. a En el ejemplo m´s simple y depende de un solo factor observado x, pero en a forma cuadr´tica: a y = β0 + β1 x + β 2 x 2 + u Ahora β1 ya no mide el efecto de la variable x sobre la variable y porque no tiene sentido mantener fijo x2 . Escribimos al ecuaci´n estimada como: o ˆ ˆ y = β0 + β1 x + β2 x 2 ˆ ˆ El efecto de x sobre y depende del nivel de x: δy ˆ ˆ ˆ = β1 + 2 β2 x δx
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Ejemplo: efecto de la experiencia sobre el salario

log(wage) = 1.30 + 0.046 exper − 0.001 exper2
(0.049) 2 (0.006) (0.0001)

n = 526, R = 0.104, F = 30.35 Esta ecuaci´n muestra que la experiencia tiene un efecto positivo pero decreciente o sobre el ingreso. El cambio porcentual en el ingreso al adquirir un a˜o adicional de experiencia si se n tienen 10 a˜os de experiencia es 100(0.046 + 2 × (−0.001) × 10) = 2.6. n El cambio porcentual en el ingreso al adquirir un a˜o adicional de experiencia si se n tiene 1 a˜os de experiencia es 100(0.046 + 2 × (−0.001) × 1) = 4.4. n

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Cuando el coeficiente de x es positivo y el coeficiente de x2 es negativo, el efecto de x sobre y puede graficarse como una par´bola. a Siempre habr´ un valor positivo de x para el cual el efecto de x sobre y es a igual a cero; antes de este punto x tiene un efecto positivo sobre y, despu´s e de este punto el efecto de x sobre y es negativo. El punto en el que cambia la direcci´n del efecto (el valor m´ximo de o a log(wage)) es: ˆ ˆ x∗ = |β1 /2β2 | En el ejemplo, el valor de experiencia para el que cambia la direcci´n del o efecto es 23 a˜os. Para edades inferiores a 23 a˜os el efecto es positivo, n n para edades mayores de 23 a˜os el efecto es negativo. Con 23 a˜os de n n experiencia el efecto es cero. Probablemente este resultado est´ sesgado pues en el error del modelo a quedan muchos factores que pueden estar correlacionados con la experiencia.
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Ejemplo: efecto de la poluci´n sobre el precio de las o viviendas

log(price) = 13, 39 − 0, 902log(nox) − 0, 087log(dist) − 0, 545rooms
(0,57) (0,115) 2 (0,043) (0,165)

+ 0, 062rooms − 0, 048stratio
(0,013) 2 (0,006)

n = 506, R = 0, 603 Esta ecuaci´n muestra que el n´mero de habitaciones tiene un efecto negativo pero o u creciente sobre el precio de la vivienda. El punto de cambio de direcci´n se produce en 4,4 habitaciones, pero solo el 1% o de las observaciones tienen 4,4 habitaciones o menos. Por esto podemos descartar la parte decreciente y quedarnos con la creciente. Pasar de 4 a 5 habitaciones genera un incremento en el precio de 7,5%, y pasar de 6 a 7 habitaciones incrementa el precio en 19,9%.
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Si los coeficientes de la variable en nivel y al cuadrado tienen el mismo signo, entonces no existe un valor de x para el cual la direcci´n del efecto de o x sobre y cambia. Si β1 y β2 son ambos positivos, el valor ajustado m´s bajo de y se dar´ para a a x = 0, y al aumentar x, y aumentar´ de manera creciente. a Si β1 y β2 son ambos negativos, el valor ajustado m´s alto de y se dar´ para a a x = 0, y al aumentar x, y disminuir´ de manera creciente. a Tambi´n se pueden incluir variables en otras formas polin´micas, como e o incluir x3 . La interpretaci´n se puede obtener usando derivadas. o

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Interacciones entre variables explicativas
En algunos casos, es l´gico pensar que el efecto parcial de una variable x1 o sobre la variable y depende del valor de otra variable explicativa x2 . Por ejemplo en el modelo del precio hed´nico de la vivienda: o price = β0 + β1 sqrf t + β2 bdrms + β3 sqrf t.bdrms + β4 bthrms + u el efecto parcial del n´mero de habitaciones sobre el precio depende del u tama˜o de la vivienda: n δprice = β2 + β3 sqrf t δbdrms En los modelos con interacciones hay que ser cuidadosos al interpretar los coeficientes. En el ejemplo β2 es el efecto del n´mero de habitaciones sobre u el precio para una vivienda que mide cero metros cuadrados! En general, estos efectos se presentan evaluados en valores interesantes de la variable explicativa x2 como puede ser el valor m´ ınimo en la muestra, el m´ximo, la media y/o la mediana. a
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