PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS FINANCIEROS
Contenido:

1. Introducción. 2. Fondos Mutuos. Rendimiento y Riesgo. 3. Parámetros estadísticos de un Portafolio de Tres Activos. a) El Retorno de un Portafolio. b) El Riesgo de un Portafolio. c) Esquema Generalizado del cálculo del Riesgo de un Portafolio. d) Determinación práctica del Riesgo de un Portafolio de Tres Activos. 4. La Frontera Eficiente para un Portafolio de Tres Activos. 5. Línea de Mercado y el Retorno del Mercado. 6. Determinación del Punto Tangente del Portafolio. 7. Determinación del Punto de Mínima Varia nza.

Sergio Bravo Orellana Profesor ESAN

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2

RESÚMEN En el documento “Determinación de Portafolios de Activos Financieros, la Frontera Eficiente y la Línea de Mercado” se presentaron los conceptos y técnicas para la conformación de portafolios en un mercado de dos acciones. Ese documento permitió conocer las herramientas que se utilizan para la formación de portafolios de activos financieros con riesgo, y la combinación de éstos con activos libre de riesgo. También se vio la conformación de la Frontera Eficiente y la Línea de Mercado y la determinación del punto T (punto tangente definido por la intersección entre la Línea de Mercado y la Frontera Eficiente). En este documento se generalizará los conceptos para la conformación de portafolios de “n” activos financieros y se detallará el procedimiento para el caso particular de un portafolio de 3 activos.

1. Introducción. En el mercado financiero existen unidades económicas que tienen superavit de efectivo y otras que necesitan estos r ecursos. Entre las primeras se pueden contar a inversionistas individuales (empresas o ahorristas) e inversionistas institucionales como los fondos de pensiones o los fondos mutuos, que captan los excedentes o el ahorro de los individuos y administran por ellos los recursos financieros. Todos ellos tienen capital que desean colocar en alguna alternativa de inversión. Las empresa tienen por momentos las dos posiciones, cuando invierten tiene necesidades de financiamiento y cuando sus proyectos maduran y no están inmersos en otros procesos de inversión pueden tener posiciones de inversionistas financieros colocando sus excedentes en el Mercado de Capitales. En el documento “Determinación de Portafolios de Activos Financieros, la Frontera Eficiente y la Línea de Mercado” presentamos el beneficio de la diversificación del riesgo, que supone que el inversionista optimiza su combinación de rentabilidad y riesgo de acuerdo a sus preferencias individuales. La diversificación permite formar portafolios con mayor rentabilidad y/o menor riesgo que los activos financieros tomados individualmente. Sin embargo, como se vio en el documento referido la tarea es especializada y compleja por los conceptos involucrados. En el presente documento se recogen datos del mercado y supondremos la siguiente situación: un gerente financiero de una empresa prevé que tendrá excedentes por un periodo extenso hasta que se programe una inversión de grandes dimensiones, los accionistas le han encargado que busque comparativamente la mejor alternativa de inversión temporal, sin asumir mayores riesgos, los activos financieros deben ser suficientemente líquidos de modo que puedan ser cancelados una vez que se programe la inversión. El gerente financiero tratará de maximizar el rendimiento para un determinado nivel de riesgo de dicho capital invertido estableciendo un portafolio de activos financieros. Para ello debe estudiar las alternativas que ofrece le mercado financiero y definir cuales son los instrumentos financieros en que la empresa está apta para invertir. El mercado ofrece una variedad de activos financieros en los cuales invertir como por ejemplo instrumentos de renta fija o de renta variable, instrumentos en moneda nacional o

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moneda extranjera, instrumentos locales, nacionales o internacionales, todos con distintas combinaciones de rentabilidad y riesgo. Esta amplia variedad es la que permite a la empresa reducir el riesgo total de sus colocaciones al invertir en un portafolio de activos financieros diversificado, en el que el nivel de riesgo sea aceptable para los accionistas de la empresa dada una rentabilidad esperada, o en el que la rentabilidad esperada sea aceptable dado un determinado nivel de riesgo. Podríamos hacer un ensayo de la conformación de un Portafolio de las diferentes alternativas de inversión. No obstante, con fines de presentación asumiremos que el gerente tiene la siguiente posición: 1. Los administradores de los fondos mutuos son profesionales que se dedican a la optimización de los Rendimientos y Riesgo de Portafolio de Activos Financieros. 2. Podría elegir un fondo y cumplir su objetivo, pero por mayor seguridad elige una combinación tres de los fondos de mayor tamaño para optimizar su inversión en dólares, que es la moneda de sus excedentes (lo cual evita exponerse a un riesgo adicional de tipo de cambio)1/.

2. Fondos Mutuos. Rendimiento y Riesgo. Dada la posición asumida por el gerente de la empresa, el análisis se concentra a los tres fondos mutuos en moneda extranjera cuyos valor cuota se muestran en el cuadro siguiente.
Fondo CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ 30/09/1999 31/10/1999 30/11/1999 31/12/1999 31/01/2000 29/02/2000 31/03/2000 30/04/2000 31/05/2000 30/06/2000 31/07/2000 124,0677 125,017 125,7425 126,5013 127,1984 127,8849 128,5912 129,2977 130,0011 130,6585 131,3545 12,854 12,9537 13,0497 13,1468 13,2536 13,349 13,4392 13,5284 13,6209 13,7111 13,8003 110,0195 110,7544 111,4779 112,1779 112,9188 113,5312 114,2381 114,9534 115,7089 116,4292 117,1015

Esto no constituye una contradicción con la idea general de la cartera diversificada ya que el resultado será una combinación óptima de inversión en cada fondo mutuo, la cual será considerada como un nuevo activo, que a su vez podrá ser combinado con otros hasta formar eventualmente el portafolio total. En base al valor cuota de los últimos días de cada mes se calcula el rendimiento mensual de la inversión para los doce últimos periodos que se tienen datos disponibles por la CONSASEV. En este ejemplo se trabaja con datos mensuales, sin embargo para trabajos de mayor envergadura se debería trabajar con los valores semanales correspondientes a por lo menos tres años. Esto tiene una implicancia adicional: al aumentar el número de datos, el

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/ A pesar de la diversidad de la oferta de instrumentos financieros en el mercado, una empresa puede estar limitada a invertir en ciertos tipo de activos financieros, en virtud de la política de la empresa fijada por los accionistas a través del Directorio, por una autorización del ente regulador, (por ejemplo, según el Reglamento de la Ley del Sistema Privado de Pensiones Decreto Supremo Nº 004-98-EF, las AFP pueden invertir como máximo tres por ciento (3%) del valor del Fondo en cuotas de participación de un determinado fondo mutuo y quince por ciento (15%) del valor de cada emisión o serie de acciones emitidos por una empresa determinada) o por otras limitaciones como son el acceso a los mercados, el tamaño de las operaciones financieras o la experiencia y capacidad de sus gerentes.

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tratamiento estadístico corresponde al de una población (como se seguirá aquí) más que al de una muestra 2/. En el siguiente cuadro y en el gráfico se muestra el rendimiento mensual de cada uno de los tres fondos mutuos analizados para los últimos doce meses disponibles.
Fondo CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ Oct-99 0,765% 0,776% 0,668% Nov-99 0,580% 0,741% 0,653% Dic-99 0,603% 0,744% 0,628% Ene-00 0,551% 0,812% 0,660% Feb-00 0,540% 0,720% 0,542% Mar-00 0,552% 0,676% 0,623% Abr-00 0,549% 0,664% 0,626% May-00 0,544% 0,684% 0,657% Jun-00 0,506% 0,662% 0,623% Jul-00 0,533% 0,651% 0,577% Ago-00 0,549% 0,648% 0,610%

RETORNO DE FONDOS MUTUOS DE RENTA FIJA - DOLARES
1,00%

0,75%

0,50%
Retorno de Inversión en CREDIFONDO RF - $

0,25%

Retorno de Inversión WIESE R PREMIUM Retorno de Inversión SANTANDER HR $

0,00%
Oct-99 Nov-99 Dic-99 Ene-00 Feb-00 Mar-00 Abr-00 May-00 Jun-00 Jul-00 Ago-00 Sep-00

Los parámetros estadísticos básicos de Retorno Prom. Desviación Std. estas series de retornos de los fondos Ri σi mutuos, son el retorno medio y la CREDIFONDO RF - $ 0,569% 0,063% desviación estándar que representa el WIESE R PREMIUM 0,700% 0,056% riesgo individual. Sin embargo, para SANTANDER HR $ 0,623% 0,035% portafolios de activos, los términos de las covarianzas son más importantes para determinar su riesgo que las varianzas de los activos individuales. Con una rápida observación de estos resultados se puede llegar conclusiones simples y directas: si sólo se invierte en CREDIFONDO RF - $ y en SANTANDER HR $. Por tener mayor rentabilidad promedio y menor riesgo, la inversión debería ser 100% en SANTANDER HR $. La elección entre WIESE R PREMIUM y SANTANDER HR $ no es tan clara ya que el primero tiene mayor rentabilidad pero también presenta un mayor riesgo. Los parámetros de rentabilidad y riesgo de los activos financieros son insuficientes para estructurar un portafolio, se necesita tener la herramienta que nos permita ver el resultado de invertir en los tres o más activos.

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/

Para fines prácticos, la diferencia está en el denominador de la desviación estándar, con lo que se logra parámetros insezgados, con tendencia a no ser mi mayores ni menores que el valor verdadero lo que afecta los valores de las varianzas y covarianzas (para una muestra el denominador es “n-1” y para una población es “n”).

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3. Parámetros estadísticos de un Portafolio de Tres Activos. Los parámetros estadísticos que se necesitan para trabajar con más de una serie de datos al mismo tiempo son los Coeficientes de Correlación (ρ ij ), tomando las series de datos de dos en dos. Los Coeficientes de Correlación, presentados en r1 r2 r3 el siguiente cuadro (Matriz de Correlaciones), se r1 ρ11 ρ12 ρ13 utilizan para determinar la forma como covarían r2 ρ21 ρ22 ρ23 los retornos de un activo frente a otro. Si los r3 ρ31 ρ32 ρ33 retornos de la Acción 1 y la Acción 2 ascienden y descienden al mismo tiempo se dice que tienen una correlación positiva o covarían positivamente. Si cuando una asciende la otra desciende, se dice que tienen una correlación negativa o covarían negativamente. Sucede que los retornos de la acción 1 frente a la acción 2 varían sin ningún orden observable, entonces se dice que tienen un índice de correlación cero o no tienen covarianza. La matriz de correlación se establece según la estructura mostrada por una ρ ij = ρ ji lógica de trabajo. Como se observa en la primera columna y la primera fila se señalan los retornos del activo 1, 2 y3 respectivamente. En la intersección de la ρ ii = 1 acción por ejemplo 2 (fila) y 3 (columna) se tendrá el índice de correlación ρ 23, que es similar al índice encontrado en la fila 3 y columna 2, ρ 32. Así el ρ 11 es igual a 1 porque está indicando el índice de correlación del activo 1 frente a sí mismo y es igual a 1. En términos generales denotamos el índice de correlación como ρ ij , donde i representa la fila y j la columna 3/.
Matriz de correlaciones CREDIFONDO RF - $ CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ 1 0,518118428 0,462484322 WIESE R PREMIUM 1 0,476193568 SANTANDER HR $

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Adicionalmente la Herramienta de Análisis de r1 r2 r3 Datos puede producir una Matriz de Covarianzas r1 σ11 σ12 σ13 de las poblaciones. La Covarianza (σ ij ) también r2 σ21 σ22 σ23 es una medida de la relación entre dos rangos de r3 σ31 σ32 σ33 datos y se calcula como el σ ij = σ i σ j ρ ij promedio del producto de desviaciones de puntos de datos de las medias respectivas. La principal diferencia entre el Coeficiente de Correlación y la σ ij = σ ji Covarianza está en que la primera es independiente de la unidad de 2 medida. La relación entre el Coeficiente de Correlación y la Covarianza se σ ii = σ i muestra en el cuadro, junto con dos propiedades útiles de la Covarianza.
Matriz de covarianzas CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ CREDIFONDO RF - $ 4,0093E-07 1,82144E-07 1,02097E-07 WIESE R PREMIUM 3,08251E-07 9,21761E-08 SANTANDER HR $

1,21553E-07

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/ En MS Excel 2000 se cuenta con una Herramienta de Análisis de Datos que produce directamente una Matriz de Correlación como la que se, a partir de s eries de datos. 6

Dada una participación relativa de activos financieros, el portafolio resultante tiene sus propios parámetros estadísticos calculados a partir de los parámetros individuales de cada activo y los coeficientes de correlación (y/o covarianzas). a) El Retorno de un Portafolio. El retorno esperado del portafolio, (Rp) resulta del promedio ponderado, por las participaciones relativas (w i), de los retornos individuales (Ri). n Retorno de un portafolio de n activos:

Rp = ∑ wi R i i =1

Retorno de un portafolio de tres activos: El cuadro siguiente ilustra el cálculo para un portafolio de tres activos con participaciones relativas de 20%, 25% y 55%.

Rp = w1 R1 + w2 R2 + w3 R3 = ∑ wi Ri i =1 wi 55,0% 20,0% 25,0% Ri 0,569% 0,700% 0,623% Rp wi x Ri 0,313% 0,140% 0,156% 0,609%

3

CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $

b) El Riesgo de un Portafolio. El cálculo de la desviación estándar del portafolio (σp) es un poco más complicado que el cálculo del retorno y obedece a la siguiente fórmula general para un Portafolio de n Activos:

σP =

∑∑ w w i =1 j =1 i

n

n

j

ρ ij σ i σ

j

Para este caso de un Portafolio de tres Activos (n=3), la desviación estándar es:
2 2 2 σ P = w12σ 12 + w2 σ 2 + w 3σ 32 + 2 w1 w2 ρ12σ 1σ 2 + 2 w1 w3 ρ13σ 1σ 3 + 2w 2 w3 ρ 23σ 2σ 3

equivalente a:

σP =

∑∑ w w ρ i =1 j =1 i j

3

3

i, j

σ iσ j

c) Esquema Generalizado del cálculo del Riesgo de un Portafolio. La varianza de los retornos del portafolio es el cuadrado de la desviación estándar y en valor es la suma de los términos de la matriz de covarianzas ponderada por las posiciones relativas de cada activo del portafolio.

σ P = W ∑W La matriz de covarianzas ponderada se puede obtener de: donde W es la matriz de las posiciones relativas (nx1: n filas por una columna), W´es la matriz de posiciones relativas transpuesta (1xn: una fila por n columnas) y Σ es la matriz de covarianzas del portafolio.
2 ´

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Para el caso de tres activos:

W ´ = [w1 w2
 w1  W =  w2     w3   

w3 ]

;

σ 11 ∑ = σ 21  σ 31 

σ 12 σ 22 σ 32

σ 13  σ 23   σ 33  

y

de donde

σ P = [w1
2

w2

σ 11 σ 12 w3 ]σ 21 σ 22  σ 31 σ 32 

σ 13   w1  σ 23   w2    σ 33   w3   

Es decir, multiplicando:
2  w1 σ 11  = w 2 w1σ 21  w3 w1σ 31 

y simplificando se obtiene:

σP

2

w1 w2 σ 12 2 w 2 σ 22 w3 w2 σ 32

w1 w3σ 13   w 2 w3 σ 23  w32σ 33  

σP

2

2  w1 σ 1 2  = w 2 w1σ 2σ 1 ρ 21  w3 w1σ 3 σ 1 ρ 31 

w1 w2 σ 1σ 2 ρ 12 2 2 w2 σ 2 w3 w 2σ 3 σ 2 ρ 32

w1 w 3σ 1σ 3 ρ 13   w2 w3 σ 2 σ 3 ρ 23  2 2  w3 σ 3 

w1 w2 w3 La matriz de covarianzas ponderadas, σ1 σ2 σ3 para el caso de tres activos, se puede w1 obtener prácticamente en la siguiente σ1 ρ11 ρ12 ρ13 w2 tabla multiplicando cada elemento de la σ2 ρ21 ρ22 ρ23 matriz de correlaciones por los w3 σ3 ρ31 ρ32 ρ33 correspondientes elementos de las dos primeras filas y de las dos primeras columnas, donde se encuentran los valores de las participaciones relativas y las desviaciones estándar de cada activo del portafolio.
Alternativamente, la matriz de covarianzas ponderadas, para el caso de tres activos, se puede obtener prácticamente en la siguiente tabla multiplicando cada elemento de la matriz de covarianzas por el correspondiente elemento de la primera fila y de la primera columna, donde se encuentran los valores de las participaciones relativas.

w1 w1 w2 w3 σ11 σ21 σ31

w2 σ12 σ22 σ32

w3 σ13 σ23 σ33

d) Determinación práctica del Riesgo de un Portafolio de Tres Activos. A continuación se ilustra cómo los dos métodos prácticos explicados anteriormente para obtener la matriz de correlaciones ponderada para un portafolio de tres activos financieros, dada la participación relativa de cada uno y conocidas las desviaciones estándar. Cada método parte de la matriz completada, ya sea de la matriz de correlaciones o la matriz de covarianzas para llegar a un mismo resultado la matriz de covarianzas ponderadas: wi σi CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ 55,0% 0,063% CREDIFONDO RF - $ 1 0,51812 0,46248 20,0% 0,056% WIESE R PREMIUM 0,51812 1 0,47619 25,0% 0,035% SANTANDER HR $ 0,46248 0,47619 1

wi 55,0% 20,0% 25,0%

σi 0,063% 0,056% 0,035%

8

wi wi 55,0% 20,0% 25,0% CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $

55,0% CREDIFONDO RF - $ 4,0093E-07 1,82144E-07 1,02097E-07

20,0% WIESE R PREMIUM 1,82144E-07 3,08251E-07 9,21761E-08

25,0% SANTANDER HR $ 1,02097E-07 9,21761E-08 1,21553E-07

Matriz de covarianzas ponderadas CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ CREDIFONDO RF - $ 1,21281E-07 2,00359E-08 1,40384E-08 WIESE R PREMIUM 2,00359E-08 1,233E-08 4,6088E-09 SANTANDER HR $ 1,40384E-08 4,6088E-09 7,59706E-09

Como se indicó, la suma de todos los términos de la matriz de covarianzas ponderada es la varianza de los retornos de portafolio 0,0000219% Varianza del Portafolio (Sp)2 y su raíz cuadrada es la desviación Desv. Std. Portafolio (Sp) 0,0468% estándar, ambos son indicadores de riesgo.

4. La Frontera Eficiente para un Portafolio de Tres Activos. Se ha obtenido hasta el momento la rentabilidad y riesgo de una determinada combinación de los tres activos financieros que conforman este portafolio particular. Cada combinación da lugar a un portafolio posible con su propio retorno promedio y desviación estándar. Las combinaciones son ilimitadas. Una de esas combinaciones dará lugar al portafolio óptimo y otra combinación dará el portafolio de mínima varianza. Ambos portafolios están formados por participaciones relativas (aún desconocidas) de los tres activos financieros. Para encontrar la totalidad de los portafolios posibles, bastaría con variar aleatoriamente las posiciones relativas de las inversiones en cada uno de los tres activos, asegurándose que el total sume 100%, y calcular los parámetros para cada portafolio: la rentabilidad (retorno esperado) y el riesgo (desviación estándar) con los métodos explicados anteriormente. Sin embargo esta “técnica” crearía un gran caos y montañas de data inútil. Recordando que en el caso de dos activos financieros, el conjunto de portafolios posibles se representaba por una curva de rentabilidad y riesgo llamada la Frontera Eficiente, se puede llegar ala conclusión que en este caso de un portafolio de tres activos, la Frontera Eficiente toma la forma de la envolvente a una Familia de curvas de rentabilidad y riesgo. Sobre la parte superior de dicha envolvente todavía hay una infinidad de portafolios en los que la rentabilidad aumenta con el riesgo y cualquiera de ellos podría ser aceptable para distintos inversionistas. Se puede obtener una imagen gráfica de dicha la familia de curvas procediendo de la siguiente manera: se mantiene constante la participación de uno de los activos en el portafolio haciendo variar los otros dos de tal manera que se obtendrá una de las curvas, luego se toma un nuevo valor para la constante obteniendo otra curva y así sucesivamente.

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En los cuadros y gráficos siguientes se presentan dos elementos de la familia de curvas que corresponden a los casos particulares en los que la participación relativa de la inversión en uno de los fondos mutuos permanece primero en 25% y luego en 75% del total del portafolio mientras que la participación de los otros dos activos varía4/.
% Inversión WIESE R PREMIUM % Inversión en CREDIFONDO RF - $ % Inversión SANTANDER HR $ Desv. Std. Portafolio (Sp) Retorno Promedio del Portafolio (Rp) 55% 25,0% 0,0468% 0,609% 0% 75% 25,0% 0,0521% 0,583% 5,0% 70% 25,0% 0,0506% 0,589% 10,0% 65% 25,0% 0,0491% 0,596% 15,0% 60% 25,0% 0,0479% 0,602% 20,0% 55% 25,0% 0,0468% 0,609% 25,0% 50% 25,0% 0,0458% 0,615% 30,0% 45% 25,0% 0,0450% 0,622% 35,0% 40% 25,0% 0,0444% 0,628% 40,0% 35% 25,0% 0,0440% 0,635%

45,0% 30% 25,0% 0,0437% 0,641%

50,0% 25% 25,0% 0,0437% 0,648%

55,0% 20% 25,0% 0,0439% 0,655%

60,0% 15% 25,0% 0,0442% 0,661%

65,0% 10% 25,0% 0,0448% 0,668%

70,0% 5% 25,0% 0,0455% 0,674%

75,0% 0% 25,0% 0,0464% 0,681%

80,0% -5% 25,0% 0,0475% 0,687%

85,0% -10% 25,0% 0,0487% 0,694%

90,0% -15% 25,0% 0,0501% 0,700%

95,0% -20% 25,0% 0,0516% 0,707%

100,0% -25% 25,0% 0,0532% 0,713%

% Inversión WIESE R PREMIUM % Inversión en CREDIFONDO RF - $ % Inversión SANTANDER HR $ Desv. Std. Portafolio (Sp) Retorno Promedio del Portafolio (Rp)

5% 75,0% 0,0347% 0,636%

0% 25% 75,0% 0,0363% 0,609%

5,0% 20% 75,0% 0,0355% 0,616%

10,0% 15% 75,0% 0,0350% 0,623%

15,0% 10% 75,0% 0,0348% 0,629%

20,0% 5% 75,0% 0,0347% 0,636%

25,0% 0% 75,0% 0,0350% 0,642%

30,0% -5% 75,0% 0,0354% 0,649%

35,0% -10% 75,0% 0,0361% 0,655%

40,0% -15% 75,0% 0,0370% 0,662%

45,0% -20% 75,0% 0,0382% 0,668%

50,0% -25% 75,0% 0,0395% 0,675%

55,0% -30% 75,0% 0,0410% 0,681%

60,0% -35% 75,0% 0,0426% 0,688%

65,0% -40% 75,0% 0,0443% 0,694%

70,0% -45% 75,0% 0,0462% 0,701%

75,0% -50% 75,0% 0,0482% 0,708%

80,0% -55% 75,0% 0,0503% 0,714%

85,0% -60% 75,0% 0,0525% 0,721%

90,0% -65% 75,0% 0,0547% 0,727%

95,0% -70% 75,0% 0,0570% 0,734%

100,0% -75% 75,0% 0,0594% 0,740%

Diagrama de Rentabilidad y Riesgo (SANTANDER HR $ : Fijo)
0,75%

Retorno Promedio portafolio (Rp)

0,73% 0,71% 0,69% 0,67% 0,65% 0,63% 0,61% 0,59% 0,57% 0,034%

SANTANDER HR $ : 75% SANTANDER HR $ : 25%

0,039%

0,044%

0,049%

0,054%

0,059%

Desv. Std. Portafolio (Sp)

4

/

MS excel 2000 ofrece el comando Tabla del menú Datos, que permite llenar una tabla de resultados en función de la variación de uno de los datos. La extensión y detalle de la tabla de resultados sólo está limitada por la amplitud de la variación del dato original. En este caso la participación relativa de la inversión en uno de los activos se ha variado desde 0 hasta 100% en tramos de 5%

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5. La Línea de Mercado y el Retorno de Mercado. Un portafolio formado por un activo libre de riesgo y un activo Rp = w R x (1 − w ) Rf i i i i con riesgo tiene un intercambio lineal de rentabilidad y riesgo, como se vio en documento anterior. Suponiendo que la σ Rpi = wi σ i inversión en uno de los activos es excluyente, se puede formar con cada uno de los tres activos financieros (fondos mutuos) y el activo libre de riesgo un portafolio cuya rentabilidad esperada y su desviación estándar cumplen las fórmulas indicadas en el cuadro adjunto. La siguiente gráfica se construye usando los datos presentados anteriormente y una tasa libre de riesgo (Rf) que es considerada en este caso en 5,56% efectiva anual o 0,452% Retorno Prom. Desviación Std. mensual. Cada punto de una misma recta Ri σi representa una combinación diferente de CREDIFONDO RF - $ 0,569% 0,063% WIESE R PREMIUM 0,700% 0,056% las participaciones relativas de un activo SANTANDER HR $ 0,623% 0,035% con riesgo y del activo libre de riesgo.
Rf 0,452% 0,000%

Diagrama de Rentabilidad y Riesgo Portafolios de un activo con Riesgo y un Activo Libre de Riesgo

Retorno Promedio Portafolio (Rp)

0,70% 0,65% 0,60% 0,55% 0,50% 0,45% 0,40% 0,000%

CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ Portafolio 55-20-25

0,005%

0,010%

0,015%

0,020%

0,025%

0,030%

0,035%

0,040%

Desv. Std. Portafolio (Sp)

Se observa que la recta del portafolio formado con inversiones en SANTANDER HR $ y en el activo libre de riesgo tiene mayor pendiente que las rectas de los otros dos portafolios. Esta sería la mejor decisión de inversión independiente porque para un mismo nivel de riesgo el portafolio ofrece mayor rentabilidad y para una determinada rentabilidad, el riesgo es menor (para todas las participaciones relativas del activo con riesgo en el portafolio). En el mismo gráfico se observa sin embargo, una recta de mayor pendiente: la recta que representa el portafolio formado por el activo libre de riesgo y un activo con riesgo formado a su vez por una determinada combinación de las participaciones relativas de los tres activos con riesgo en las proporciones de 55%, 20% y 25%. De aquí se puede deducir que otros portafolios (distintas combinaciones de los tres activos) podrán tener mayor pendiente y por lo tanto ser una mejor alternativa de inversión.

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Pero, en el acápite anterior se llegó a la conclusión que el portafolio óptimo pertenecía a la Frontera Eficiente. Por lo tanto, para que también pertenezca a la recta de máxima pendiente (que parte del punto de riesgo cero y rentabilidad Rf) el portafolio óptimo deberá estar representado por el punto tangente entre una recta (llamada la Línea de Mercado) y la parte superior de la envolvente a la familia de curvas de rentabilidad y riesgo (la Frontera Eficiente). A dicho punto se le conoce como el Retorno del Mercado y representa la mejor combinación de rentabilidad y riesgo para un portafolio formado por una combinación de participaciones relativas de los tres activos con riesgo y un activo libre de riesgo. El Retorno del Mercado representa la inversión más eficiente que el mercado puede escoger realizando un balance de rentabilidad y riesgo. El concepto es el mismo que para el caso de un portafolio de dos activos financieros.

Diagrama de Rentabilidad y Riesgo
0,80%

Línea de Mercado Punto Tangente: Retorno del Mercado

Envolvente: Frontera Eficiente

Retorno Promedio Portafolio (Rp)

0,75% 0,70% 0,65% 0,60% 0,55% 0,50% 0,45% 0,40% 0,000%

Rf
0,010% 0,020% 0,030% 0,040%

Desv. Std. Portafolio (Sp)

SANTANDER HR $ : 75% SANTANDER HR $ : 25% 0,050% CREDIFONDO RF - $0,060% WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ Portafolio 55-20-25

Una vez determinado el punto T, y por lo tanto conocidas las participaciones relativas de cada activo con riesgo en el portafolio optimo y la pendiente de la Línea de Mercado, el inversionista podrá escoger, de acuerdo a sus preferencias de rentabilidad y riesgo, cualquier combinación de ese portafolio optimo y del activo libre de riesgo, prestando o pidiendo prestado a la tasa libre de riesgo (desplazándose sobre la Línea de mercado). 6. Determinación del Punto Tangente del Portafolio. Recordando que la Línea de Mercado está formada por la inversión en un activo libre de riesgo y un activo con riesgo (en este caso el portafolio de tres activos), se puede demostrar que el Retorno del Mercado se encontrará 2 al determinar las posiciones relativas de σ 1 w1 + σ 1σ 2 ρ 12 w 2 + σ 1σ 3 ρ 13 w 3 = R1 − R f cada activo financiero del portafolio 2

σ 2 σ 1 ρ 21 w1 + σ 2 w2 + σ 2σ 3 ρ 23 w3 = R 2 − R f 2 σ 3σ 1 ρ 31w1 + σ 3σ 2 ρ 32 w 2 + σ 3 w 3 = R3 − R f

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óptimo con la solución simultánea del siguiente juego de ecuaciones: En este sistema de tres ecuaciones, las tres incógnitas son las participaciones relativas. Los coeficientes de las incógnitas se encuentran en la matriz de covarianzas Σ del portafolio y los términos de la derecha de las ecuaciones son las restas de las rentabilidades promedio de los activos financieros y la tasa libre de riesgo (Rf) que es considerada en este caso en 5,56% efectiva anual o 0,452% mensual.
Matriz de covarianzas CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ CREDIFONDO RF - $ 4,0093E-07 1,82144E-07 1,02097E-07 WIESE R PREMIUM 1,82144E-07 3,08251E-07 9,21761E-08 SANTANDER HR $ 1,02097E-07 9,21761E-08 1,21553E-07

Sistema de Ecuaciones:
4,0093E-07 w1 + 1,8214E-07 w1 + 1,021E-07 w1 + 1,82144E-07 w2 + 3,08251E-07 w2 + 9,21761E-08 w2 + 1,02097E-07 w3 = 0,569% 9,21761E-08 w3 = 0,700% 1,21553E-07 w3 = 0,623% 0,452% 0,452% 0,452% = = = 0,117% 0,248% 0,171%

El sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se podría resolver por el método de sustitución, pero resuelve más eficientemente por el método de los determinantes, que en pocas líneas consiste en armar las tres matrices adicionales que se muestran a continuación, reemplazando sucesivamente en la matriz de covarianzas, los términos de la derecha del sistema de ecuaciones por los coeficientes de cada incógnita. La determinante 5/ de una matriz de tercer grado se calcula de acuerdo a la formula siguiente:

 a1 a  2 a 3 

b1 b2 b3

c1  c 2  = a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − a2 (b1c 3 − b3c1 ) + a3 (b1c2 − b2 c1 )  c3  

Matriz de covarianzas 4,0093E-07 1,82144E-07 1,82144E-07 3,08251E-07 1,02097E-07 9,21761E-08 Matriz w1 0,117% 1,82144E-07 0,248% 3,08251E-07 0,171% 9,21761E-08 Matriz w2 4,0093E-07 0,117% 1,82144E-07 0,248% 1,02097E-07 0,171% Matriz w3 4,0093E-07 1,82144E-07 1,02097E-07 1,82144E-07 3,08251E-07 9,21761E-08

1,02097E-07 9,21761E-08 1,21553E-07 1,02097E-07 9,21761E-08 1,21553E-07 1,02097E-07 9,21761E-08 1,21553E-07 0,117% 0,248% 0,171%

Determinante MC Determinante w1 Determinante w2 Determinante w3

7,79832E-21 -2,26997E-17 4,8735E-17 9,17097E-17

Dividiendo cada determinante wi por la determinante de la matriz de covarianzas se obtiene los pesos relativos de cada activo financiero en el portafolio más eficiente en cuanto a balance de rentabilidad y riesgo. Para llevar estos r sultados a porcentajes se dividen e por la suma y se multiplica por cien.

w1 = w2 = w3 =

-2910,84048 6249,425407 11760,19302 15098,77795

-19,28% 41,39% 77,89% 100%

5

/

MS Excel 2000 ofrece la fórmula MDETERM(matriz) para solucionar este paso numérico.

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Con esto nuevos valores de la participación relativa se calcula el retorno y la desviación estándar del portafolio óptimo. wi -19,3% 41,4% 77,9% Ri 0,569% 0,700% 0,623% Rp wi x Ri -0,110% 0,290% 0,485% 0,665%

CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $

Varianza del Portafolio (Sp) Desv. Std. Portafolio (Sp)

2

0,0000118% 0,0343%

El primer activo (en este caso resulta ser el de menor rentabilidad y riesgo intermedio) tiene una participación relativa negativa, lo que significa que se toma una posición “corta” (se vende un activo que no se posee para invertir en los otros dos, para lo cual es necesario prestarse los valores de alguien más; para cerrar la posición corta, se deberá recomprar el activo y devolverlo al dueño original). Se produce un efecto de apalancamiento al vender en corto el activo con menor rentabilidad para comprara activos de mayor rentabilidad .El segundo activo de mayor rentabilidad tiene una participación menor que el tercer activo, lo que aparentemente sería un resultado sorprendente, pero debemos recordar que en este caso el segundo activo también es el de mayor riesgo. 7. Determinación del Punto de Mínima Varianza. Cabe resaltar que el portafolio óptimo hallado no es σ 1 w1 + σ 1σ 2 ρ 12 w 2 + σ 1σ 3 ρ 13 w 3 = 1 el portafolio de mínima varianza (mínimo riesgo) el 2 cual se encuentra resolviendo el siguiente sistema de σ 2 σ 1 ρ 21 w1 + σ 2 w 2 + σ 2 σ 3 ρ 23 w 3 = 1 2 ecuaciones, en el que los términos de la derecha son σ 3σ 1 ρ 31 w1 + σ 3σ 2 ρ 32 w3 + σ 3 w3 = 1 una misma constante para cada ecuación. En este caso se ha asignado 1 al valor de la constante. Esta constante no es muy importante en sí mismo ya que luego los pesos relativos se llevarán a un porcentaje.
2

Determinante MC Determinante w1 Determinante w2 Determinante w3

7,79832E-21 1,56089E-15 7,22141E-15 5,73685E-14

W1 = W2 = W3 =

200157,6946 926020,7757 7356526,143 8482704,613

2,36% 10,92% 86,72% 100%

CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $

wi 2,4% 10,9% 86,7%

Ri 0,569% 0,700% 0,623% Rp

wi x Ri 0,013% 0,076% 0,540% 0,630%

Varianza del Portafolio (Sp) Desv. Std. Portafolio (Sp)

2

0,0000141% 0,0376%

Los inversionista que son extremadamente adversos al riesgo puede seleccionar el portafolio de mínima varianza cuando el activo libre de riesgo no se encuentran disponible para invertir en él riesgo (actualmente esta situación se da cada vez con menor frecuencia dada la tendencia mundial de libre movimiento de capitales).

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