BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CODE EPRIUVE : 297 EDHECMATS

ECOLE DE HAUTES ETUDESCONIMERCIALESDU NORD

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES
L u n d i 7 m a i 2 0 0 7 .d e 8 h . à 1 2 h .

Lo présentotion, lisibilité,l'orthographe, quolitéde lo réduction clorté et la précision la lo des rqisonnemen1s ,lo entreront pour une port importcnfe dons l'opprécioiiondes copies. Les condidotssont invités à encodrendons lo mesuredu possibleles résuliots de leurs colculs. f ls ne doivent foire usaged'oucundocumenl : I'utilisotion de foute colculotrice et de tout mofériel électronigue est interdite. Seule l'utilisofion d'unerègle gnoduée est outorisée.

ExerciceI
(*n

Pourtout n de IN*, on poseun:

-=*

J or * _
l) Montrerquela suite(ar,),upestbien#n.rr..
2) Pourtout n de IN*, on posealorsy,?: I

|

rt

e-'

-

(*e L w n|: '-' 1 I to* J,r*;

I l* Jo'ni

a) Montrer : Vne [..]*,0 < *,. que

! . e e c) Donner la limite de la suite (a,). 3) On seproposede déterminerun équivalentde z, lorsquen est au voisinagede *oo. a) Montrer que l'inrégraleJ : .f _ il0 1-5 x dx estuneintégraleconvergente.

b) Montrer : Vne N *, v,Z 1 m1r* r;. que

b ) É t a b l i r q u e : v r e t N *f,' 0 t - ' - r ' a * s t . < I J, _r+ n
c) En déduireun encadrement v, valablepour tout r de N*. de d) Donnerenfin, en utilisant cet encadrement. équivalentsimple d,eun. un

Exercice2 de On considèreles matricessuivantes 9l+(lR) :

(o 0 ( i 0 - l -0 l ( r o o o )( o ' ? t 0 0 0 0l 0 0 0 l I t : ll o; ;I 0 0 ll ' r l: ll o o r l ' " l= l 0t 0 oI le t L = l 0 t o ; ; l 0

0 - 1 0

1)

0l

l o o o l

1 [ o o - 1 r ) l . o

ol

0

0)

\-l

0

0 0)

identitéde E. par vectoriel engendré (1,J, K, L) et.Id I'endomorphisme On note E le lR-espace tr: J + K. On pose 1) Montrer que (1,J, K, L) est une basede.E et donnerla dimensionde E. de 2) a) Exprimer J K, KL et LJ en fonction respectivement L, J et K. -L, LK : -J etJL : -K' b) CaiculerJt, K2 et Z2 puis en déduireque : KJ: c) En déduireque E est stablepour le produit matriciel. A-t en fonctionde,4. et 3) ialculer e2.eÀdéduire que Aèst inversible exprimer maintenantl'application rpl qui à toute matriceM de E associe: 4) On considère qe(lut):AMA-'. de a) Montrer gve gt est un endomorphisme E. de que çl estun automorphisme E. b) DéterminerKerrpspuis montrer 5) a) Écrire la matrice Qe de gt dansla base(1,J, K,I), puisjustifier gue Qt est diagonalisable' propresassociés. b) Donner les valeurspropresde q1 ainsique les sous-espaces On rappelleque I'application, notée/r, qui à toute matricede tl+(IR) associesa trace (c'est-à-direla sommede sesélémentsdiagonaux)est une applicationlinéairede ftq(lR) dansIR On rappelle égalementque I'application qui à tout couple (M, N de E x E associele réel noté (M I N) défini par (M I N): tr('MÀ) est un produit scalairesur E' E On munit désormais de ce produit scalaire. : 6) a) Montrer que, pour tout couple(P,Q) de Ex E, tr(P Q) tr(Q P). de syméJrique E. b) Établir alors que rp1estun endomorphisme orthogonaux dans E. (çe - Id) et Ker (çe + IrI) sont supplémentaires c) En déduire que Ker

Exercice3
On considèreune suite (X,),>r de variables aléatoiresdéfinies sur le même espaceprobabilisé de et (e, A,P), mutuellementindépendantes, qui suiventtoutesla loi exponentielle paramètre1. n S Onpose n: Z Xr. de et I'espérance la variance S,. Donner quelleestla loi suiviepar^S,. l) Rappeler < établirq"" de 2) À l'aide du théorème la limitecentrée, ,l]*P(S, ù: r e 3) End é d u i rIava l e ud e l i m rl io ," -',,r e- ' dt . n-++æ (n-1)! q* zn-te-n'dz pour précédent montrer 4) a) Utiliserle résultat Ij ,;.# ' i' k=l de b) On admet quenl -, JriTnnne-'. En déduireun nouveléquivalent J' zn-te-n' clz.

Problème par naturel supérieur égal 2. Ondésigne n un entier ou à
On disposede deux urnes U et V, I'ume U contenant une boule blancheet (n - I ) boules noires et - 1) boulesblanches. une boule noire et.(n I'ume V contenant Un joueur choisit une urne au hasardpour le premier tirage puis il effectuedes tirages d'une boule avec remise de cette boule dans l'urne dont elle provient, selon trois protocolesétudiés dans les trois partiesde ce problème. Pour tout i de IN*, on note,Bll'événement< on obtient une boule blancheau iè" tirage >. On noteX le numéro du tirage où l'on obtient,pour la premièrefois, une boule noire et )'le numéro du tirage où I'on obtient, pour la premièrefois, une boule blanche.On admet que X et X sont deux probabilisé(Q, A, P). variablesaléatoires définies sur le même espace Pour finir, on note U l'événement< le premier tiragea lieu dansI'urne U >. Partie l Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans l'ume qui a été choisie au premiertirage. 1) a) DéterminerP(X: 1). (X b) Pour tout entier k supérieurou égal à 2, écrire l'événemenT : fr) à I'aide de certainsdes événements ou B, . puis montrerque : B,

* - tn - 1 + 1 n - l ) o - '1 ) v k > 2 .p ç x : k ) : : ( t 1 l ' n 2 ' n n n '
Vérifier que cetteformule restevalablepour k: 1. Z1 Établir queXpossède une espérance donnersa valeur. et 3) Montrer queX et )'suivent la même loi. 4) On décidede coder l'événementU par I et l'événementU par 0. On rappelle que la fonction random renvoie, pour un argumentfr de type integer (avec fr > 1) un entieraléatoirecompris entre 0 et k-l (ceci de façon équiprobable). Compléterle programmesuivantpour qu'il permettele calcul et l'affichage de la valeur prise par Ia variablealéatoireX lors de I'expériencedécritedanscettepartie. Programedhec_2007 ; Var x, n,tiragq hasard: integer ; Begin Randomize ; Readln(r) ; hasard: : random(2) ; x : : 0 ; If hasard: 0 then Repeatx : : x+l ; tirage : : random(n); until (tirage : 0) -------- ; tirage: : -------- ;until -------- ; Else Repeat Writeln(x); End. Partie 2 Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans I'urne U si le tirage précédenta donné une boule blanche et dans I'urne Z sinon. l) a) DonnerP(X: l). b) En procédantcomme dans la partie 1, montrer que : 1 n-l V k > 2 , P 1 Y : f r )= l ( . )o-' 2 ' n ' n

2) Etablir queXpossède une espérance donnersa valeur. et 3) Montrer queX et I/ suiventla mêmeloi. 4) Avec les mêmes conventions et les mêmes notations que celles de la partie 1, écrire un programmepermettantle calcul et I'affichage de la valeur prise par la variable aléatoireX lors de l'expériencedécrite danscettepartie. Partie 3 Dans cette partie, chacun des tirages suivant le premier tirage a lieu dans la même urne que le tirage qui le précèdesi ce derniera donnéune boule blancheet dansl'autre ume dansle cas contraire. 1) a) DonnerP(X= 1). b) Toujours selon la mêmeméthode, montrerque :

: (n l)*-'"+n 7. vk>2, P(x: 1r; 2n"
Vérifier que la formule précédente restevalablepour k: l. 7 c) ÉtablirqueXpossèdeune espérance montrerque E(8 : = ".'- ,". puis 2 ( n- l \ 2) a) En procédant commeà la question 1b),montrerque :

p v i e r N * ,( y : 2 i ) : ( 4 1 ' - t n' que : b) Montrer également

n 2- 2 n + 2
2n'

.

V i eI N *P ( Y : 2 i + 1 ) :1 f .
Vérifier que cetteformule restevalablepour i: 0.
2n

'

2' nt

,t \' .
2n+l

c ) O n p o s e : V n e l N *z , ( \ = l f E, k=l P ( Y = Ë )e t V n e \ E z * ( D :

I k=l kp(y=k).

Montrer que la suite (Ezr(l)),up conv€rgeet donnersa limite. Montrerque la suite(Ez,*r(4),.N converge a la mêmelimite que (Ezn(Y)),uw. et En déduireque )'possède une espérance que E(Y): et "f * "

3) a) MontrerqueX et Y suiventla mêmeloi lorsquen:2. Quelleestcetteloi ? b) Commentpouvait-onjustifier, sanscalcul, les deux résultats ci-dessus ? 4) Montrer queE(Y) < E(n avecégalitési et seulement n = 2. si 5) Écrire un prograrnme permettantle calcul et I'affichage de la valeur prise par la variable aléatoire Xlors de I'expériencedécritedanscettepartie.