Ekonometria Klase Praktikoak

EKONOMETRIARAKO SARRERA PRAKTIKAZKO KLASEAK EKONOMIA
Ekonomia Aplikatua III (Ekonometria eta Estatistika) Saila Universidad del Pa´s Vasco—Euskal Herriko Unibertsitatea ı
E48015 BILBAO

2008

Egileak: Pilar Gonz´lez Casimiro a Susan Orbe Mandaluniz Beatriz Goitisolo Lezama Inmaculada Gallastegui Zulaica

Bilduma honen erreprodukzioa eta baita bere kopien banaketa baimenik gabe egitea ere, debekaturik dago. Halaber beste eskubide infrakzioak egitea ere. Publikatze eskubide guztiak UPV/EHUko Ekonomia eta Enpresa Zientzia Fakultateko Ekonometria eta Estatistikaren Sailak ditu. c P. Gonz´lez, S. Orbe, B. Goitisolo, I. Gallastegui 2008 a

Aurkibidea
1. Ariketak 3

2. Azterketak 25 2.1. Ebaluazio jarraia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Azken azterketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3. Informatika Laborategia 65 3.1. Proposatutako ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2. Gretl-rako Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1

2

1 Ariketak

3

4

Ekonometriarako Sarrera

Ariketa 1. Perfume salmenten jokaera analizatu nahi da publizitate gastuaren menpean. Horretarako arlo horretako 5 enpresei dagozkien ondorengo datuak eskuragarri daude: Salmentak (Si ) Publizitate Gastua (P Gi ) 4 7 2 3 3 1 9 5 17 9

Salmentak milioi kaxetan neurtuta daude eta publizitate gastua ordea, milioi eurotan. A. Hurrengo erregresio eredu lineala kontsideratuz: Si = β 1 + β 2 P Gi + u i i = 1, . . . , 5. (1.1)

¯ G). 1. Irudika ezazu (Si , P Gi ) t = 1, 2, . . . , 5 puntu hodeia eta batazbestekoen puntua (S, P¯ 2. Lor ezazu ondorengo optimizazioaren ekuazio normalen sistema:
5

M inβ1 ,β2 ˆ ˆ i=1 ˆ ˆ (Si − β1 − β2 P Gi )2

Ordezkatu itzazu lagin balioak lortutako sisteman. 3. Estima itzazu (1.1) ereduko koeﬁzienteak KTAn bitartez. 4. Marraztu ezazu lagin erregresio zuzena aurretik irudikatuta duzun graﬁkan. 5. Kalkula itzazu hondarrak, ui ˆ direla:
5 i=1

i = 1, 2, . . . , 5, eta konproba itzazu ondorengoak betetzen
5

ui = 0 ˆ 6. Marraztu itzazu hondarrak, ui ˆ

eta i=1 P G i ui = 0 ˆ
5 i=1

i = 1, 2, . . . , 5, i-ren funtzioan. Kalkula ezazu

u2 . ˆi

¯ 7. Kalkula itzazu karratu totalaren batura, 5 (Si − S)2 eta karratu azalduaren batura, i=1 5 ˆi − S)2 . Egiazta ezazu beraien diferentzia e) atalean lortutako 5 u2 dela. ¯ i=1 (S i=1 ˆi 8. Kalkula ezazu mugatze koeﬁzientea eta interpreta ezazu lortutako doikuntza. 9. Estima ezazu perturbazioen bariantza. 10. Estima ezazu β2 estimatzailearen bariantza. B. Demagun ondorengo eredua: Si∗ = β1 + β2 P Gi + ui non Si = 10Si i = 1, 2, . . . , 5 den. i = 1, . . . , 5 (1.2)

1. (1.2) ereduko aldagai azaldua zeintzu unitatetan dago neurtuta? Eta aldagai azaltzailea? 2. Estima itzazu (1.2) ereduko koeﬁzinteak KTAn bidez.

Ariketak 3. Irudika ezazu (Si , P Gi ) i = 1, 2, . . . , 5 puntu hodeia eta doitutako erregresio zuzena. 4. Kalkula ezazu hondar karratuen batura. 5. Kalkula ezazu mugatze koeﬁzientea eta interpreta ezazu lortutako doikuntza. 6. Estima ezazu perturbazioen bariantza. 7. Estima ezazu α2 estimatzailearen bariantza. Konpara itzazu emaitza guztiak A atalean lortutakoekin. C. Kontsidera dezagun ondorengo erregresio zuzena β1 = 0 murrizketarekin batera: Si = β1 + β2 P Gi + ui

5

(1.3)

1. Zer adierazten du murrizketak? Idatz ezazu murrizketa hau ezartzean lortzen den eredua. 2. Lor ezazu lehen ordenako baldintzatik eratortzen den ekuazio normala:
5

M inβ2 ˆ i=1 ˆ (Si − β2 P Gi )2

ˆ Ordezkatu itzazu lagin balioak eta lor ezazu β2 -ren estimazioa. ¯ G) 3. Irudika ezazu doitutako erregresio zuzena. Zuzena (S, P¯ batezbestekoen puntutik pasatu behar da? ˆ 4. Kalkula itzazu Si , eta ui ˆ ¯ ¯ ˆ a) S = S b) c)
5 i=1 5 i=1

i = 1, 2, . . . , 5 balioak. Ondorengo berdintzak betetzen al dira?

ui = 0 ˆ X i ui = 0 ˆ

Konproba itzatzu lagin datuak erabiliz ea betetzen diren. 5. Aurreko atalean lortutako hondarrak erabiliz, kalkula ezazu lortu al daiteke? 6. Froga ezazu kasu honetan
5 5 5 5 i=1

u2 . Beste eraren batean ˆi

¯ (Si − S)2 − i=1 i=1

ˆ ¯ (Si − S)2 = i=1 u2 ˆi

dela. Zure ustez, zergatik ematen da? 7. Kalkula ezazu R2 =
5 ˆ i=1 (Si 5 i=1 (Si

¯ − S)2 . ¯ − S)2

Lortzen den emaitza, A atalean lortutakoarekin bat al dator? Konparagarriak al dira bi balio hauek? Zergatik?

6

Ekonometriarako Sarrera

D. Kontsidera dezagun ondorengo erregresio zuzena β2 = 0 murrizketarekin batera: Si = β1 + β2 P Gi + ui (1.4)

1. Zer adierazten du erabilitako murrizketak? Idatz ezazu murrizketa hau (1.4) ereduan inposatzean ateratzen den eredua. 2. Lor ezazu lehen ordenako baldintzatik eratortzen den ekuazio normala:
5

M inβ1 ˆ i=1 ˆ (Si − β1 )2

ˆ Ordezkatu itzazu lagin balioak eta lor ezazu β1 -ren estimazioa. ¯ ¯ 3. Irudika ezazu doitutako erregresio zuzena. (S, GP ) batazbestekoen puntutik pasatu behar da? ˆ 4. Kalkula itzazu Si , eta ui ˆ ¯ ¯ ˆ a) S = S b) c)
5 i=1 5 i=1

i = 1, 2, . . . , 5 balioak. Ondorengo berdintzak betetzen al dira?

ui = 0 ˆ P Gi u i = 0 ˆ

Konproba itzatzu lagin datuak erabiliz ea betetzen diren. 5. Aurreko atalean lortutako hondarrak erabiliz, kalkula ezazu 6. Kalkula ezazu R2 =
5 ˆ i=1 (Si 5 i=1 (Si 5 i=1

u2 . ˆi

¯ − S)2 . ¯ − S)2

Lortzen den emaitza, A atalean lortutakoarekin bat al dator? Konparagarriak al dira bi balio hauek? Zergatik? Ariketa 2. Hurrengo taulan 2003:01 eta 2005:06 bitarteko kontsumo (C) eta errenta (R) aldagaien datuak (mila eurotan) aurkezten dira (DATUAK-B karpetako kontsumo.gdt datuﬁtxategia),
Beh. R C Beh. R C 1 12 7,9 16 20 13,3 2 17 17,2 17 19 8,4 3 15 12,0 18 17 16,3 4 19 13,0 19 15 12,3 5 18 10,8 20 15 12,4 6 13 8,9 21 18 12,9 7 10 8,8 22 16 13,5 8 16 13,3 23 24 15,4 9 20 14,2 24 26 20,2 10 22 14,7 25 23 17,7 11 25 22,8 26 12 12,2 12 21 13,6 27 14 15,2 13 23 16,1 28 14 12,9 14 11 10,9 29 16 11,1 15 12 11,8 30 17 10,8

1. Kalkula itzazu errenta eta kontsumo aldagaien lagin batezbestekoa eta lagin bariantza. Kalkula ezazu beraien arteko koerlazio koeﬁzientea. 2. Proposa ezazu aldagai biak linealki erlazionatzen duen eredu bat.

Ariketak 3. Idatz itzazu karratu txikienen arruntetako ekuazio normalak proposatutako datuentzat. 4. Lor itzazu ereduko koeﬁzienteen KTAko estimazioak. 5. Kalkula ezazu doikuntzaren neurriren bat.

7

6. Interpreta itzazu lortutako emaitzak: koeﬁziente estimatuak zer adierazten duten, doikuntza neurriaren iterpretazioa,... Ariketa 3. Autoen salmenten jokaeran interesaturik gaude. Salmenta hauek autoen prezioen eta enpresak egindako publizitate gastuen menpekoak direla pentsatzen da. Auto sektoreko sei enpresen ondorengo datuak eskuragarriak dira. Vt = Salmentak Pt = Prezioa Gt = Publizitate gastua A. Ondorengo ereduan oinarrituz: Vt = α + γPt + ut 1. Estima itzazu (1.5) ereduko koeﬁzienteak. 2. Lor itzazu ereduko hondarrak. 3. Estima ezazu perturbazioaren bariantza, σu . ˆ2 ˆ ˆ 4. Estima itzazu α eta γ -ren bariantzak eta baita beraien arteko kobariantza. 5. Kalkula ezazu R2 . 6. Zer adierazten du estimatutako ereduak? Interpreta itzazu lorturiko emaitzak. 7. Kontsidera ezazu aldagai azaltzailearen ondorengo eskala aldaketa: Pt = 1 Pt . 10
2 ut ∼ N I(0, σu )

10 8 7 6 10 11 13 12 9 12 12 11

13 6 7 9 9 10

(1.5)

Analiza itzazu eskala aldaketa honen ondorioak parametroen estimazioan. B. Ondoren proposatzen den eredua honakoa da:

Vt = β1 + β2 Pt + β3 GT + vt 1. Estima itzazu ereduko koeﬁzienteak.

2 vt ∼ N I(0, σv )

(1.6)

2. Lorturiko α eta β1 koeﬁzienteen estimazioak berdinak dira? Eta γ eta β2 koeﬁzienteen estimazioak? Zergatik? Arrazona ezazu erantzuna ekuazio normaletan oinarrituz. 3. Lor itzazu ereduaren hondarrak. ˆ2 ˆ2 ˆ2 4. Estima ezazu perturbazio berriaren bariantza, σv . Berdinak al dira σu eta σv ? Zergatik? 5. Estima ezazu β1 , β2 eta β3 KTAko estimatzaileen bariantza eta kobariantza matrizea.

8

Ekonometriarako Sarrera 6. Kalkula ezazu HKB (Hondar Karratuen Batura) eta konpara ezazu (1.5) eredukoarekin. Emaitza hau espero zen? 7. Kalkula ezazu mugatze koeﬁzientea, R2 , eta konpara ezazu (1.5) ereduarentzat lortutakoarekin. Emaitza hau espero zen? 8. Konpara itzazu (1.5) eta (1.6) ereduak. Daukazun informazioan oinarrituz, hoberena zein den erabaki al dezakezu?

C. Erantzun ezazu: 1. Kontrasta ezazu Prezioa aldagaiaren esanguratasuna (1.5) ereduan. Froga ezazu ereduaren multzoko esanguratasunaren kontrastea eta Prezioa aldagaiaren banakako esanguratasunaren kontrastea berdinak direla. 2. Aurreko (1.6) ereduan oinarrituz: a) b) c) d) Lor itzazu β1 eta β2 koeﬁzienteen %99eko konﬁdantza tartea. Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen banakako esanguratasuna (α = %5). Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen baterako esanguratasuna (α = %5). Kontrasta ezazu ea prezioaren eragina eta publizitate gastuaren eraginak salmentaren gain, berdinak baina aurkako ikurrekoak diren (α = %5). e) Kontrasta ezazu ea publizitate gastua handitzean salmentaren gain sorterazten duen igoera, publizitate kostuaren gehikuntza estaltzen duen (α = %5). f ) Nola kontrastatu dezakezu publizitate gastuaren aldagaiaren banakako esanguratasuna (1.5) ereduko emaitzak erabiliz.

3. Konpara itzazu (1.5) eta (1.6) ereduak. Interpreta itzazu emaitzak orainarte duzun informazio guztian oinarraituz. Daukazun informazioarekin, eredurik egokiena zein den erabaki al dezakezu? Ariketa 4. Herri desberdinei dagozkien Y (eskaria, mila eurotan), X1 (familiako batezbesteko aberastasuna, mila eurotan) eta X2 (prezioa, eurotan) aldagaien 30 behaketa eskuragarri daude (DATUAK-B karpetako eskaria.gdt datu-ﬁtxategia):
Beh. X1 X2 Y Beh. X1 X2 Y Beh. X1 X2 Y 1 12 150 72,4 11 25 131 101,2 21 18 156 70,1 2 17 143 90,2 12 21 156 73,2 22 16 151 76,8 3 15 127 104,6 13 23 144 82,7 23 24 162 65,3 4 19 169 54,4 14 11 149 77,5 24 26 149 86,0 5 18 138 89,9 15 12 140 90,0 25 23 147 85,9 6 13 152 71,0 16 20 142 82,6 26 12 155 70,6 7 10 129 98,9 17 19 146 85,7 27 14 142 89,5 8 16 130 102,2 18 17 158 67,1 28 14 145 83,5 9 20 147 82,3 19 15 154 72,0 29 16 152 73,2 10 22 153 75.5 20 15 156 70,1 30 17 147 78,9

Ariketak 1. Estima itzazu hurrengo ereduko koeﬁzienteak. Yt = δ0 + δ1 X1t + ut . 2. Estima itzazu honako ereduaren koeﬁzienteak ere. Yt = γ0 + γ1 X2t + vt . 3. Azkenik, estima ezazu ondorengo eredua Yt = β0 + β1 X1t + β2 X2t + εt .

9

(1.7)

(1.8)

(1.9)

4. Azal ezazu zergatik (1.7) eta (1.8) ereduko koeﬁziente estimatuak ez diren (1.9) ereduko koeﬁziente estimatuekin bat etortzen. 5. Aurreko (1.9) ereduan: a) X1 eta X2 aldagaiak banaka nabariak al dira? Zergatik? b) Kontrasta ezazu honako hipotesia: Ho : β1 = β2 = 0 Ha : β1 = 0 eta/edo β2 = 0 6. Interpreta itzazu lorturiko emaitzak. Ariketa 5. Hotelen okupazio maila (Y ), eskeiniko zerbitzuen kalitatea (X1 ), gelako batezbesteko prezioa (X2 ) eta dagokion urteko “Guia de Hoteles” zerrendan lorturiko puntuazioaren (X3 ) funtzioan aztertzeko ondorengo eredua proposatu da: Yt = β0 + β1 Xit + β2 X2t + β3 X3t + ut (1.10)

Eredu honen Karratu Txikienen Arruntetako estimazioaren emaitzak 20 hotelentzat ondorengoak dira: ˆ Yt = 66431, 018 − 100, 143X1t − 3649, 113X2t + 0, 8882X3t ˆ Yt = 98116, 978 + 4038, 84X1t + 10798, 901X2t ˆ Yt = 60071, 404 + 192, 823X1t + 0, 8882X3t ˆ Yt = 67310, 275 − 3503, 14X2t + 0, 8717X3t R2 = 0, 9876

Aurreko estimazioaz gain ondorengo erregresio laguntzaileak ezagutzen dira: R2 = 0, 7335 R2 = 0, 9776 R2 = 0, 9874

Emandako informazioan oinarrituz kontrasta itzazu (1.10) ereduan ondorengo hipotesiak: 1. Ho : β1 = 0 2. Ho : β2 = 0 3. Ho : β3 = 0 4. Ho : β1 = β2 = β3 = 0 Interpreta itzazu lortutako emaitzak.

10 Ariketa 6. Demagun honako erregresio orokorreko eredu lineala Yt = β0 + β1 X1t + β2 X2t + ut Ondorengo hipotesi huts bakoitzarentzat: 1. H0 : β1 = β2 = 0,5 2. H0 : β1 = β2 3. H0 : β1 = 10β2 + 2 4. H0 : 2β0 + 2β1 = 50 β1 = β2 t = 1, 2, . . . , T

Ekonometriarako Sarrera

ut ∼ N ID(0, σ 2 ).

(1.11)

ˆ 1. Idatz itzazu R, r, q, R(X X)−1 R , u, eta β hurrengo estatistikoarentzat: ˆ ˆ (Rβ − r) [R(X X)−1 X)R ] uu ˆˆ
−1

ˆ (Rβ − r) T − K q

2. Idatz ezazu eraldatutako eredua eta azal ezazu nola lortuko zenituzke (1.11) ereduko koeﬁzienteen estimazioak goiko hipotesi hutsen murrizketak inposatzerakoan. Ariketa 7. Ikertzaile batek, legatzaren eskaria oilasko eta bere prezioaren menpean analizatzeko ondorengo eredua proposatzen du: Qt = β1 + β2 Ot + β3 Lt + ut non Qt : eskatutako legatz kantitatea den, Ot : oilaskoaren prezioa den eta Lt : legatzaren prezioa den merkatu desberdinetan. Laginak 20 behaketa izanik: Beh. Q M P 1 3 6 3 2 1 5 1 3 8 6 5 4 3 5 2 5 5 4 3 6 6 4 2 7 9 3 4 8 8 4 3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 6 8 7 4 6 7 9 8 6 5 7 5 7 6 5 8 7 6 7 6 4 5 5 4 5 5 4 3 4 5 6 5 6 3 3

A. Zehazpena eta estimazioa 1. Zein balizko egin beharko zenituzke erregresioaren elementu ezberdinei buruz, KTAko estimatzailea lineala, alboragabea eta bariantza txikienekoa izan dadin? 2. Estima ezazu eredua aurreko ataleko hipotesien menpe. 3. Proposa ezazu perturbazioen bariantzarentzat estimatzaile alboragabe bat. Kalkula ezazu bere balioa daukazun laginarentzat. 4. Estima ezazu KTAko estimatzailearen bariantz-kobariantz matrizea. 5. Estimatzaileen egiazko bariantza eta kobariantza matrizea ezaguna izango balitz, estimatuarekin bat etorriko litzateke? Zergatik? 6. Analiza ezazu ereduaren doikuntzaren ontasuna.

Ariketak

11

7. Interpreta itzazu lorturiko emaitzak. B. Inferentzia 1. Kontrasta ezazu legatz prezioaren unitate baten hazkunde batek, eskatutako legatz kantitatea sei unitatetan jeitsierazten duelaren hipotesia. 2. Atera ezazu β2 -ren konﬁdantza tartea eta interpreta ezazu lortutako emaitza. Erlaziona ezazu emaitza hau aurreko atalean lortutakoarekin. 3. Kontrasta ezazu eskatutako legatz kantitatearen gain, prezioek duten eragina kantitate berekoa dela, baina aurkako ikurra daukatelaren hipotesia. 4. Aurreko ataleko erantzuna emanik, ba al dago koeﬁziente estimatuen bariantza txikiago bat lortzeko aukerarik? 5. Kontrasta ezazu oilaskoaren prezioak ez duela eskatutako legatz kantitatearen gain eragiten. 6. Prezio bien balioak 10 pezetatakoak izanik, lor itzazu eskatutako legatz kantitatearen puntuzko eta tartezko aurresanak. 7. Dendari batek, legatz prezioa 5 pezetetakoa eta oilaskoarena 2koa izango balira ez litzatekela legatzarik salduko, dio. Iritzi hau arrazoizkoa al da? Ariketa 8. Taulan ematen den informazioan, enplegua (E, langile kopurua bezala neurtuta), Barne Produktu Gordina (PIB, mimlioi pesetetan neurtua) eta Kapital Pribatuen Stocka (CPri, milioi pesetetan neurtua) aldagaien arteko erlazioa ematen da 1965 eta 1999 bitarteko epearentzat. 1. Idatz ezazu estimatzen ari den erregresio linealeko eredua.

12 2. Idatz ezazu dagokion lagin erregresio eredua.

Ekonometriarako Sarrera

3. Lor ezazu mugatze koeﬁzientea. Zer adierazten du? Nola interpretatzen da bere balioa? 4. Interpreta itzazu koeﬁziente estimatuen balioen zentzu ekonommikoa eta komenta itzazu lortutako emaitzak. 5. Proposa ezazu perturbazioaren bariantzarentzat estimatzaile alboragabe bat eta kalkula ezazu bere balioa. 6. Kontrasta ezazu erregresoreen multzoko/baterako esanguratasuna (α = %5). 7. Kontrasta itzazu malda-koeﬁzienteak estatistikoki zero direla (α = %5). 8. Idatz ezazu koeﬁzienteen KTAko estimatzaileen bariantza eta kobariantza matrize estimatua. 9. Kalkula ezazu (X X)−1 matrizea. Ariketa 9. Etxebizitzen prezioa azaltzeko asmoarekin, 321 etxebizitzei dagozkien ondorengo aldagaien balioak eskuragarriak dira: Prezioa (Pt ): etxebizitzen salmenta prezioa U.S.A.-ko dolarretan. Adina (Et ): etxebizitzak dituen urte kopurua Gelak (Gt ): gelen kopurua Area (At ): etxebizitzaren azalera Komunak (Bt ): komunen kopurua Autopista (APt ): etxebizitzatik autopistara dagoen distantzia Erregresio lineal orokorreko ereduko estimazio emaitzak ondoren aurkezten dira.
2~SACDOM )|T| > t(borP2 ** *** ** *** *** 108010,0 10000,0 < 027930,0 296300,0 731000,0 731355,0 19,5167 = )CIB( zrawhcS ed onaiseyaB nóicamrofni ed oiretirC 92,3957 = )CIA( ekiakA ed nóicamrofni ed oiretirC )10000,0 < p rolav( 5288,74 = )513 ,5( F ocitsídatsE 218224,0 = odigerroc odardauc-R 138134,0 = odardauc-R 3,83823 = soudiser sol ed acipít nóicaivseD 110+e28693,3 = soudiser sol ed sodardauc ed amuS 7,32234 = etneidneped .rav al ed .T.D 7,00169 = etneidneped .rav al ed aideM 465,2552,8 560,2 529,2 168,3495,0T.DATSE 779152,0 29,7133 0996150,0 66,9562 1246,56 9,41931 .PÍT.VSED aoizerp :etneidneped elbairaV 123-1 senoicavresbo 123 sal odnazilitu ETNEICIFEOC 251646,07,09372 077601,0 50,0877 634,35203,1628atsipotua kanumok arelaza kaleg anida tsnoc ELBAIRAV OCM senoicamitse :1 oledoM

Ariketak 1. Idatz ezazu erregresio lineal orokorraren eredua. 2. Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa.

13

3. Gainontziko ezaugarriak konstante mantenduz, gela gehigarri bategatik, 8000$ ordaintzeko prest daudelaren lagin ebidentziarik al dago? 4. Kontrasta ezazu baterako esanguratasuna. 5. Komenta ezazu lehen ereduko (“Modelo 1”) hondarren graﬁkoa.
Residuos de la regresin (= prezioa observado - ajustado) 150000

100000

50000

residuo

0

-50000

-100000 0 50 100 150 index 200 250 300

Bigarren taulan erakusten diren estimazio emaitzetan oinarrituz, erantzun itzazu ondorengo galderei:
1~SACDOM

6. Zein da estimatzen ari den eredua? 7. Lehen ereduarekin konparatuz, zein da barneratzen ari den murrizketa? 8. Prezioa zehaztekotan, zein aukeratuko zenuke “Modelo 1” edo “Modelo 2”? Zergatik?

)|T| > t(borP2

*** *** ** *** ***

10000,0 < 995800,0 426220,0 10000,0 < 583200,0

6,3267 = )CIB( zrawhcS ed onaiseyaB nóicamrofni ed oiretirC 47,4067 = )CIA( ekiakA ed nóicamrofni ed oiretirC )10000,0 < p rolav( 9433,45 = )613 ,4( F ocitsídatsE 700004,0 = odigerroc odardauc-R 705704,0 = odardauc-R 8,08433 = soudiser sol ed acipít nóicaivseD 110+e42245,3 = soudiser sol ed sodardauc ed amuS 7,32234 = etneidneped .rav al ed .T.D 7,00169 = etneidneped .rav al ed aideM

T.DATSE

749,11 446,2192,2 773,5260,3-

37,8531 647652,0 6375250,0 0937,26 2,85811

.PÍT.VSED

aoizerp :etneidneped elbairaV 123-1 senoicavresbo 123 sal odnazilitu ETNEICIFEOC 5,23261 868876,0344021,0 263,7332,31363kanumok+kaleg atsipotua arelaza anida tsnoc ELBAIRAV

OCM senoicamitse :2 oledoM

14 Ariketa 10.

Ekonometriarako Sarrera Kamera digitalen prezioen gain eragiten dituzten faktoreak.

10.1. Ekonomiako ikasle bat argazkiak egiteko makina bat erostekotan dabil eta bere ezaguera ekonometrikoak erabili ahal dituela pentsatzen du kameren prezioen gain eragiten dituzten faktoreak analizatzeko. Hasieran, kameren prezioa (P ) bakarrik bere bereizmenaren (R) menpekoa dela kontsideratzen du eta horretarako ondorengo eredu lineala proposatzen du: Pi = β1 + β2 Ri + ui i = 1, 2, . . . , 5 (1.12)

Eredu honetako koeﬁzienteak estimatzeko asmoz, dendaz-denda doa hurrengo lagina lortuz: Kamera Prezioa (eurotan) Bereizmena (megapixeletan) 1 2 209 370 5,9 10 3 264 4,9 4 172 5 5 209 5,9

¯ ¯ 1. Irudika ezazu puntu hodeia eta (P , R) batezbestekoen puntua. 2. Kalkula itzazu estatistiko interesgarri batzuk: prezio eta bereizmenaren arteko lagin koerlazio koeﬁzientea eta bereizmenraen lagin bariantza. 3. Lor itzazu ekuazio normalak ondorengo optimizaziotik:
5

M inβ1 ,β2 ˆ ˆ i=1 ˆ ˆ (Pi − β1 − β2 Ri )2

eta ordezkatu itzazu lagin balioak. ˆ ˆ 4. Askatu itzazu ekuazio normalak β1 eta β2 estimatzaileentzat eta lor itzazu bere estimazioak. 5. Irudikatu ezazu lagin erregresio zuzena. 6. Kalkula itzazu hondarrak eta konprobatu ezazu ondorengo berdintzak betetzen direla:
5 5

ui = 0 ˆ i=1 i=1

ui R i = 0 ˆ

7. Konproba ezazu ea karratuen baturaren deskonposaketa betetzen den: KT B = KAB + HKB 8. Kalkula ezazu mugatze koeﬁzientea eta interpreta ezazu bere balioa. 9. Konproba ezazu (1.12) erregresio eredu lineal bakunean honakoa betetzen dela:
2 R 2 = rP R .

10. Konproba ezazu (1.12) ereduko β1 eta β2 koeﬁzienteen KTAko estimazioak eta honako ereduaren estimazioak ez direla berdinak Ri = β1 + β2 Pi + ui . Azal ezazu emaitza.

Ariketak Figura 1.1: Datuen taula
Argazkikamera Bereizmena (megapixeletan) R megapixelak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 5.9 8 5.9 5.9 10 4.9 5 5.9 6.1 5.9 8 5.9 3.9 4.9 6.1 5 7.1 7.1 5.9 8 4.9 35 - 105 35 - 105 38 - 114 35 - 140 35 - 105 38 - 114 38 - 114 38 - 116 32 - 96 36 - 108 35 - 140 36 - 126 37 - 222 39 - 156 35 - 105 36 - 108 37 - 111 36 - 432 36 - 432 36 - 432 38 - 190 35 - 350 Distantzia fokala min-max DF mm 70 70 76 105 70 76 76 78 64 72 105 90 185 117 70 72 74 396 396 396 152 315 I I I I I I I I II I II II II II II II II III III III III III PS gr 170 160 189 192 177 166 134 178 215 192 230 200 260 210 197 198 202 510 495 560 235 270 xD SD MS SD SD SD SD SD MS xD SD SD SD SD SD xD SD MS SD SD SD SD 329 420 335 399 169 341 249 165 199 359 245 367 199 139 138 188 147 478 435 477 389 330 429 469 405 499 249 399 279 179 219 399 299 379 270 169 177 199 169 555 499 549 399 420 Bolumena Pisua (gramotan) Memoria-txartelaren mota Prezioa (eurotan) 2006ko urria min-max P euroak 379 444.5 370 449 209 370 264 172 209 379 272 373 234.5 154 157.5 193.5 158 516.5 467 513 394 375

15

10.2. Bost behaketako lagin bat oso txikia denez, ikasleak behaketa gehiago bilatzen ditu. Honela kontsumo errebista batean, argazkiak egiteko makina digitalei buruzko artikulu bat aurkitzen du non 22 argazki-kameren prezioak eta dituzten ezaugarriak agertzen diren. Lortutako datuekin ondorengo taula eraikitzen du: 1. Idatz itzazu KTAko erregresioaren ekuazio normalak emandako datuentzat. 2. Lor itzazu (1.12) ereduko koeﬁzienteen KTAko estimazioak. 3. Interpreta itzazu estimatutako koeﬁzienteak. 4. Irudikatu ezazu lagin erregresio zuzena. 5. Lor itzazu KTAko hondarrak lehen 10 behaketentzat eta errepresenta itzazu graﬁkoki. 6. Kalkula ezazu ereduaren doikuntza neurriren bat eta interpreta ezazu bere balioa. 7. Estima eazu perturbazioen bariantza. ˆ 8. Estima ezazu β2 estimatzailearen bariantza. 9. Lor ezazu β2 koeﬁzientearen %99ko konﬁdantza tartea. 10. Kontrasta ezazu Bereizmen aldagaiaren banakako esanguratasuna %1eko esangura mailarekin. Konproba ezazu ateratako emaitza aurreko konﬁdantza tartearekin lortzen denarekiko berdina dela. 11. Konproba ezazu erregresioaren multzoko esanguratasuna eta Bereizmen aldagaiaren banakako esanguratasuna bat direla. Zergatik ematen da emaitza hau?

16

Ekonometriarako Sarrera

OHARRA: Aurkeztu den 1 taulan agertzen diren datuak DATUK-B karpetako kamera.gdt ﬁtxategian dituzue. Software aproposa erabiliz, konproba itzazu ariketaren zehar lorturiko emaitzak. 10.3. Bigarren etapa batean ikasleak, kameren preioak (P ) bereizmenaren (R) eta daukaten pisuaren (P e) menpekoak direla suposatzen duen eredu bat zehazten du: Pi = β1 + β2 Ri + β3 P ei + ui i = 1, 2, . . . , 22 (1.13)

Aurreko 1 taulako datuak erabiliz honakoak kalkulatu dira: Pi = 7055, 5 P e2 = 1588966 i Ri = 138, 3 P ei = 5340
2 Ri = 912, 15

Pi2 = 2570605, 92 Pi P ei = 1881618, 5

Ri P ei = 33775  (X X)−1 =  1, 1246

Pi Ri = 46221, 65 −0, 143558 0, 0234735  −0, 0007279 −0, 0000165  0, 00000343

1. Idatz ezazu X X matrizea. 2. Estima itzazu ereduko koeﬁzienteak KTAn bidez eta idatz ezazu lagin erregresio funtzioa. 3. Interpreta itzazu estimatutako koeﬁzienteak. 4. Kontsidera ezazu laginaren lehen kamera. Ereduan oinarrituz, zein da bere estimatutako prezioa? Zein da dagokion hondarra? 5. Lor ezazu mugatze koeﬁzientea, R2 , eta interpreta ezazu bere balioa. 6. Estima ezazu perturbazioaren bariantza. 7. Estima ezazu estimatzaileen bariantza eta kobariantza matrizea. 8. Konpara itzazu (1.12) eta (1.13) ereduak estimatzean lortu dituzun emaitzak. Zeintzuk dira beraien arteko ezberdintasunak eta zergatik? 9. Demagun aldagai biak, bereizmena eta pisua, kamera baten prezioan eragiten dutela, a) Goiko (1.12) eredua ondo zehaztuta legoke? b) Orduan, (1.12) ereduko koeﬁzienteen KTAko estimatzaileen propietateak zeintzuk lirateke? 10. Lor itzazu β2 eta β3 koeﬁzienteen %95eko konﬁdantza tarteak. 11. Kontrasta itzazu aldagaien banakako esanguratasunak (α = %5). 12. Kontrasta ezazu aldagaien baterako esanguratasuna (α = %5).

Ariketak

17

13. Aurreko k) eta l) ataleetako emaitzak emanik, ereduaren estimazioan arazoren bat egon daitekela uste duzu? 14. Merkatura 12 megapixeledun eta 175 gramoko kamera berri bat atera dela esaten dizute. Kameren prezioak zehazteko duzun ereduan oinarrituz eta %95eko konﬁdantza erabiliz, zein litzateke kamera horren estimatutako prezioa?

10.4. Kamera aditu batek, memoria-txartela mota eta kameraren bolumena (I = txikia, II = ertaina, III = handia) prezioa zehazteko aldagai nabariak izan daitezkela esaten dio ikasleari. 1. Kalkula itzazu lagin balio interesgarri batzuk: batezbesteko prezioa, xD txartela-mota dutenen batezbesteko prezioa, SD txartela-mota dutenen batezbesteko prezioa, MS txartelamota dutenen batezbesteko prezioa eta kamera txikien, ertainen eta handien batezbestekoak. 2. Zehaz ezazu kameren prezioa zehazteko erregresio eredu lineal bat, bereizmen, pisua, bolumena eta txartela-motaren funtzioan. 3. Interpreta itzazu proposatu duzun ereduaren koeﬁzienteak. 4. Estima ezazu eredua KTAn bidez eta interpreta itzazu emaitzak. 5. Zein da xD txartela-motaduneko kamera txiki baten prezio estimatua? 6. Zein da kamera txiki eta handi baten, ceteris paribus, arteko diferentzia estimatutako prezioaren gain?, eta handia eta ertain baten artean?, eta txiki eta ertain baten artean? 7. Zein da xD eta SD txartela-motadun kameren, ceteris paribus, arteko diferentzia estimatutako prezioaren gain?, eta xD eta MS dutenen artean?, eta SD eta MS dutenen artean? 8. Kontrasta itzazu tarjeta-mota eta bolumen aldagaien banakako esanguratasunak. 9. Kontrasta ezazu tarjeta-mota eta bolumen aldagaien baterako esanguratasuna. 10. Emaitza hauek emanik, zein da kameren prezioak zehazteko proposatzen duzun eredua?, zergatik? 11. %95eko konﬁdantzarekin, zenbat balioko luke 9 megapixeledun, SD txartela eta 200 gramotako kamera txiki batek?

18 Ariketa 11.

Ekonometriarako Sarrera NIHON.SA enpresan lan-bereizketarik existitzen ahal da?

11.1. NIHON.SA enpresan lanpostu jakin bateko langileen alokairua (S) analizatu nahi da heziketa mailaren, F (hezkuntza urteetan neurtuta) eta bere lan esperientziaren, E (lanpostu horretan egindako urte kopuruetan neurtua) funtzioan. Alokairua zehazteko proposatu den erregresio eredu lineala ondorengoa da: Si = β1 + β2 Fi + β3 Ei + ui i = 1, 2, . . . , 100 (1.14)

Enpresako 100 langiletaz osoturiko lagin1 batek ondorengo datuak eskeintzen ditu: Si = 2489, 017 Ei2 = 695 Fi = 288 Fi Ei = 329  Ei = 119 Fi2 = 2090 Si2 = 64870, 3 Si Ei = 3921, 297

Si Fi = 7869, 098

(X X)−1

 0, 01928 −0, 00231 −0, 00221 0, 00079 0, 00002  =  −0, 00231 −0, 00221 0, 00002 0, 00181

1. Interpreta itzazu (1.14) erregresio eredu linealeko koeﬁzienteak. 2. Karratu Txikienen Arruntetako irizpidean oinarrituz, zein da (1.14) ereduko koeﬁzienteak estimatzeko minimizatu behar den helburu funtzioa? 3. Lor itzazu ekuazio normalen sistema eta ordezkatu itzazu lagin balioak. 4. Idatz ezazu X X matrizea eskuragarri dauden lagin datuekin. 5. Estima itzazu ereduko koeﬁzienteak KTAn bidez eta idatz ezazu lagin erregresio zuzena. 6. A langileak B langileak baino urte bi gehiago daramatza lanean lanpostu berean. Ereduan oinarrituz, zein izango litzateke beraien alokairuen arteko diferentzia estimatua? 7. C langileak D langileak baino urte bi gehiago daramatza lanean baina heziketa bezala 5 urte gehiago ditu, zein izango litzateke beraien alokairuen arteko diferentzia estimatua? 8. Langile batek 12 urte heziketan eta hiru urte badaramatza enpresan lanean, zein da ereduaren arabera bere estimatutako alokairua? 9. Kalkula ezazu doikuntzaren neurriren bat eta interpreta ezazu bere balioa. 10. Estima ezazu KTAko estimatzaileen kobariantza matrizea. 11. Interpreta itzazu lorturiko emaitzak: zer neurtzen dute estimaturiko koeﬁzienteak?, zer neurtzen du mugatze koeﬁzienteak?,...?
1

G. Koop, Analysis of Economic data, Wiley, 2000 liburutik ateratako datuak.

Ariketak

19

OHARRA: Laginaren datuak DATUAK-B karpetako nihon.gdt ﬁtxategian dituzue. Software aproposa erabiliz, konproba itzazu ariketaren zehar lorturiko emaitzak. 11.2. Demagun alokairua zehazteko aurreko ariketan estimatu eta analizatu den eredua proposatzen jarraitzen dela: Si = β1 + β2 Fi + β3 Ei + ui i = 1, 2, . . . , 100 (1.15)

1. Eraiki itzazu β1 , β2 eta β3 koeﬁzienteen %95eko konﬁdantza tarteak. 2. Kontrasta itzazu aldagai azaltzaileen banakako esanguratasunak (α = %5). 3. Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen baterako esanguratasuna (α = %5). 4. Ezagun batek NIHON.SA enpresan lan egiten duela esaten dizu eta bere urteko alokairua 45 mila eurotakoa dela diotsu. Zure ezagunak enpresan urte bat lanean daramatzala eta heziketa bezala 10 urte dituela dakizu, arrazoizkoa deritzozu berak esan dizuna? 5. Enpresako kudeatzaileak, alokairuaren gain heziketak duen eragina (ceteris paibus) eta esperientziak duen eragina berdinak direla dio. a) Kudeatzaileak dioenean oinarrituz, zein da (1.15) erregresio eredu linealeko koeﬁzienteen gain ezarri behar den murrizketa? b) Estima itzazu aurreko murrizketari loturiko koeﬁzienteak. c) Nola deitzen da aurreko atalean erabili duzun estimatzailea? Zeintzuk dira bere propietateak? d ) Kontrasta ezazu kudeatzailearen hipotesia %5eko esangurarekin. e) Aurreko atalean lortutako emaitzetan oinarrituz, alokairua zehazteko zein eredu proposatzen duzu?, zergatik?

11.3. NIHON.SA enpresako Batzordeak alokairuaren gain sexu bereizkeria dagoela pentsatzeko arrazoiak dituzte. Egite hau analizatzeko, alokairua zehazteko aurretik garatu den eredua erabili nahi du baina aldagai azaltzaile berri bat barneratuz: sexua. Aldagai koalitatibo hau Si ﬁkziozko aldagaiaren bitartez barneratu daiteke, zeinak 1 balioa hartzen duen langilea emakumezkoa bada eta zero bestelako kasuan. Enpresako 100 langiletaz osoturiko laginaren datuak DATUAK-B karpetako nihon.gdt ﬁtxategian dituzularik: 1. Kalkula itzazu lagin balio interesgarri batzuk: batezbesteko alokairua, emakumeen batezbesteko alokairua eta gizonen batezbesteko alokairua. Honetarako jakin ezazu lagineko lehen 31 banakoek gizonezkoak direla. 2. Estima ezazu alokairua eta sexua (S) erlazionatzen duen eredu lineal bakuna. a) Konpara itzazu estimazio honen emaitzak lehen atalean lortutako emaitzekin. b) Sexu aldagaia nabaria al da?

20

Ekonometriarako Sarrera c) Azken emaitza honetan bakarrik oinarrituz, alokairuaren gain sexu bereizkeria dagoela baieztatu dezakezu?

3. Idatz ezazu alokairua, heziketa, esperientzia eta sexuaren funtzioan zehazten duen erregresio eredu lineal bat. 4. Interpreta itzazu proposatu duzun ereduaren koeﬁzienteak. 5. Estima ezazu eredua KTAn bidez. a) Zein da emakume baten estimatutako alokairua? b) Zein da bost urteko esperientzia eta 10 urteko heziketa dituen gizon baten estimatutako alokairua? c) Zein da gizon eta emakume baten arteko estimatutako alokairu diferentzia? d ) Zein da esperientziaren eragina, ceteris paribus, alokairuaren gain?, eta emakune batentzat?, eta gizon batentzat? 6. Interpreta itzazu lorturiko emaitzak eta idatz ezazu enpresako Batzordearentzat alokairuaren gain sexu bereizkeriari buruzko konklusioak biltzen duen txosten bat. 11.4. Enpresako Batordeak zuk aurkeztutako txostena eta aurreko ariketaren bigarren ataleko emaitzak aztertu ondoren, oraindik alokairuaren gain sexu bereizkeria dagoelaren arraztak daudela pentzatzen jarraitzen du. Aldagai azaltzaileen koerlazio matrizea begiratu ondoren, honako eredua estimatzea proposatzen dizu: Si = β1 + β2 Fi + β3 Ei + β4 Si + β4 (Ei × Si ) + ui i = 1, 2, . . . , 100 (1.16)

1. Kalkula ezazu aldagai azaltzaileen koerlazio matrizea. Zergatik uste duzu eredu hau proposatu dela? 2. Azal ezazu (1.16) eredua: zeintzu aldagai eragiten dute alokairuaren gain?, nola eragiten dute?, sexu bereizkeria analizatzeko posibilitatea barneratrik dago?, nola? 3. Estima ezazu eredua KTAn bidez eta interpreta itzazu bere koeﬁzienteak. 4. Zein da emakume baten estimatutako alokairua? 5. Zein da bost urteko esperientzia eta 10 urteko heziketa dituen gizon baten estimatutako alokairua? 6. Zein da gizon eta emakume baten arteko estimatutako alokairu diferentzia? 7. Zein da alokairuaren gain esperientziak, ceteris paribus, duen eragina?, eta emakume batentzat?, eta gizon batentzat? 8. Kontrasta ezazu sexu arrazoiengatiko bereizkeria alokairuaren gain. Azal ezazu NIHON.SA enpresako Batzordeari sexu bereizketaren existentziari buruz lortu dituzun konklusioak.

Ariketak

21

Ariketa 12. “La Limpia, S.A.” enpresak Speed, garbigarri likido baten marka, fabrikatzen du. Enpresak garbigarriaren botila handiko eskaria aurresateko eredu bat eskuragarri izan nahi du, bere produkzioa antolatzeko eta lehengaien beharrak edota gordeketa beharrak estimatzeko asmoz. Enpresako adituak Speed-en salmentak (mila botilatan) ondorengo aldagaien bitartez determinaturik daudela uste du: - Pt : fabrikako salmenta prezioa (eurotan). - P Ot : merkatuan existitzen diren ondasun ordezkarien batezbesteko prezioa (eurotan). - P Gt : publizitate gastua (mila eurotan). - EHIt : Ekonomia Hazkunde Indizea ( %). 1997 urteko urtarrilatik eta 1999 urteko ekainerarteko hilabeteroko datuak datuak eskuragarri izanik, adituak eredu bat KTAn bidez estimatu du ondorengo emaitzak lortuz: Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 30 observaciones 1997:01–1999:06 Variable dependiente: SALMENTAK Variable Coeﬁciente Desv. t´ ıpica Estad´ ıstico t const 35,4796 14,4554 2,4544 P -9,7393 3,75967 -2,5905 PO 2,94274 1,72602 1,7049 PG -0,866389 0,745161 -1,1627 EHI 0,316146 0,0295461 10,7001 valor p 0,0214 0,0158 0,1006 0,2559 0,0000

Media de la var. dependiente 10,0360 D.T. de la variable dependiente 3,21442 Suma de cuadrados de los residuos 47,8175 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 1,38300 2 R 0,840418 F (4, 25) 32,9149 Estad´ ıstico de Durbin–Watson 0,436375 Coef. de autocorr. de primer orden. 0,762991 Log-verosimilitud -49,561 Criterio de informaci´n de Akaike o 109,122 Criterio de informaci´n Bayesiano de Schwarz 116,128 o Criterio de Hannan–Quinn 111,363

22 Matriz de covarianzas de los coeﬁcientes const 208, 958 P −51, 435 14, 1351

Ekonometriarako Sarrera

PO PG EHI 6, 60644 −6, 5692 −0, 0312705 −3, 3056 1, 79806 0, 00609227 2, 97914 −0, 937614 0, 00149150 0, 555265 −0, 00169008 0, 000872971

const P PO PG EHI

12.1 Erantzun itzazu honako galderei: a) Idatz ezazu adituak proposaturiko errgresio lineal orokorreko eredua. b) Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa. c) Interpreta itzazu PG (publizitate gastua) eta EHI aldagaiei laguntzen dizkien koeﬁziente estimatuak. Estimatutako koeﬁzienteak eerotako zeinuak dituzte? d) Kontrasta ezazu %5eko esangura mailarekin, ea publizitate gastuak salmentetan eragiten duten. e) Komenta ezazu Modelo 1 ereduko hondarren graﬁkoa. Figura 1.2: Modelo 1 ereduko hondarrak
3 2.5

2

1.5

hondarrak

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 1997 1998 1999

12.2 Aurreko KTAko hondarren graﬁkan (ikus 1.2 Figura) ikusten den jokaera oinarrituz, enpresako adituak salmententzat beste eredu alternatibo bat estimatzen du hurrengo emaitzak lortuz: Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 30 observaciones 1997:01–1999:06 Variable dependiente: SALMENTAK

Ariketak Variable Coeﬁciente Desv. t´ ıpica Estad´ ıstico t valor p const 6,91651 2,65513 2,6050 0,0155 P -2,1513 0,692632 -3,1061 0,0048 PO 1,54954 0,298190 5,1965 0,0000 PG 0,551523 0,136179 4,0500 0,0005 EHI -0,324318 0,0227156 -14,2773 0,0000 2 EHI 0,0206302 0,000713479 28,9149 0,0000 Media de la var. dependiente 10,0360 D.T. de la variable dependiente 3,21442 Suma de cuadrados de los residuos 1,33433 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 0,235791 R2 0,995547 ¯ 2 corregido R 0,994619 F (5, 24) 1073,10 Estad´ ıstico de Durbin–Watson 1,82775 Coef. de autocorr. de primer orden. 0,0720796 Log-verosimilitud 4,12332 Criterio de informaci´n de Akaike o 3,75335 Criterio de informaci´n Bayesiano de Schwarz 12,1605 o Criterio de Hannan–Quinn 6,44288

23

Figura 1.3: Modelo 2 ereduko hondarrak
0.5

0.4

0.3

0.2

hondarrak

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4 1997 1998 1999

a) Idatz ezazu estimatua izan den eredu teorikoa. b) Modelo 2 eredua zehazterakoan, adituak nola konpondu du Modelo 1 ereduan zuen arazoa? Modelo 2 ereduak betetzen al du oinarrizko hipotesiak eskatzen duen linealtasuna?, zergatik? c) Zein da salmentetan espero den gehikuntza Ekonomi Hazkunde Indizea puntu batean igotzean eta gainontzeko aldagaiak konstante mantentzen direnean? Konstantea al da? d) Ereduko aldagai azaltzaileak batera nabariak dira?

24

Ekonometriarako Sarrera

e) Kontrasta ezazu ea publizitate gastuak ondasunaren salmentaren gain positiboki eragiten duelaren hipotesia f) Lorturiko emaitzak ikusiz, arazoren bat al zuen Modelo 1 ereduak?, Zeintzuk dira Modelo 1 ereduko KTAko estimatzailearen propietateak? Salmenten portaera azaltzerako, proposaturiko bi ereduetatik zein aukeratuko zenuke?, zergatik? g) Lor ezazu 1999 urteko urrian izango den salmentaren puntuzko aurresana ondorengo aldagai azaltzaileen balioak izanik: P PO PG EHI Urria 3,65 euro 4,10 euro 7000 euro 31 %

2 Azterketak

25

26

Ekonometriarako Sarrera

2.1.

Ebaluazio jarraia

Idatizko Froga (2007ko urriaren 15)
Lan honen zehar ebaluatuko diren gaitasunak:
1. Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlaziok zehaztu ahal izateko 2. Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko 3. Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko

WOOHOUSE higiezin agentziak eskuragarri dituen etxebizitzen prezioarengan (P) eragiten dituzten faktoreak analizatu nahi ditu, prezioen politika bat ezartzeko nahaian. Horretarako, ondorengo aldagaie buruzko informazioa du: Pi : etxebizitzaren prezioa mila dolarretan (ibiltartea 111 - 425) Hi : etxebizitzaren gela kopurua (ibiltartea 2 - 4 ) Si : etxebizitzaren azalera oin karratuetan (ibiltartea 1171 - 2205)

i 1 2 3 4 5 Pi 219 225 255 306 230 Hi 2 2 2 2 3 Si 1185 1421 1478 2205 1171 ˆ Pi 236, 74 241, 42 301, 14 216, 21 ui ˆ −11, 74 13, 57 4, 85 13, 78
N N N

... 11 12 13 14 15 ... 195 425 240 253 111 ... 3 3 3 3 4 ... 1448 1502 1536 1536 1535 . . . 238, 96 243, 40 246, 19 246, 19 246, 11 . . . −43, 96 181, 59 −6, 19 6, 80 −135, 11
N N

Pi = 3600 i=1 N i=1

Hi = 42 i=1 N

Si = 21909 i=1 Pi Si = 5322245 i=1 N

Si2 = 32780493

¯ (Si − S)2 = 780207, 6 i=1 i=1

¯ (Pi − P )2 = 62766, 03 i=1 ¯ ¯ (Si − S)(Pi − P ) = 64085

1. Zein da lagin tamainua?, zenbat balio du laugarren etxebizitzak?, zenbat gela ditu?

Eskuragarri dagoen informazioarekin ondorengo erregresio eredua estimatu nahi da: Pi = α + βSi + ui i = 1, . . . , N (2.1)

Azterketak

27

2. Zein da eredu honen aldagai azaldua?, zein da eredu honen aldagai azaltzailea? Zeintzu elementu dira aleatorioak? Interpreta ezazu S aldagaiari laguntzen dion koeﬁzientea. 3. Idatz ezazu (2.1) eredua karratu txikienen arrunten bitartez estimatzeko minimizatu behar den helburu funtzioa. Deriba itzazu ekuazio normalak eta ordezkatu itzazu agertzen diren lagin momentuak beraien balioengatik. 4. Estima ezazu (2.1) eredua KTAn bidez eta idatz ezazu lagin erregresio eredua. 5. Lor itzazu laginaren lehen etxebizitzari dagokion prezio estimatua eta hondarra. 6. Marraztu ezazu puntu hodeiaren lehen eta azken puntuak eta baita balio estimatuak ere. Erantsi itzazu graﬁkoan batezbestekoen puntua eta lagineko zuzena.

400

300

P
200 100 1000

1200

1400

1600 S

1800

2000

2200

Ondoren enpresako kudeatzaileak, etxebizitzaren prezioa zehazteko gelen kopurua garrantzitsua dela pentsatzen du. Aldagai hau barneratuz lortzen diren estimazio emaitzak honakoak dira: ˆ Pi = 238, 808 − 33, 968Hi + 0, 065Si R2 = 0, 161 (2.2)

1. Idatz ezazu estimatu den populazio erregresio funtzioa. 2. Zein da datu matrizearen ordena? Idatz itzazu matrize honen lehen bost errenkadak.        X=        .................................   ................................. .................................                

28

Ekonometriarako Sarrera

3. Idatz ezazu estimatzailearen adierazpena batukarietan oinarrituz.         =        −1                                               

βKT A

4. Interpreta ezazu H aldagaiari dagokion koeﬁziente estimatua, zein da espero den zeinua?, zergatik? 5. Idatz ezazu mugatze koeﬁzientearen adierazpena eta interpreta ezazu bere balioa.

Idatizko Froga (2007ko azaroaren 19)
Lan honen zehar ebaluatuko diren gaitasunak:
1. Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlaziok zehaztu ahal izateko 2. Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko 3. Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko

Enpresa bat bere langileen soldataren zehazpenari buruzko ikerketa bat egiten ari da. Horretarako, bere 474 langilei dagozkien informazioa1 biltzen du ondorengo aldagaientzat buruz: Si : i langilearen gaur egungo soldata (mila euotan) HSi : i langilearen hasierako soldata (mila eurotan) Ai : i langilearen antzinatasuna (hilabeteetan) Ei : i langilearen aurretiko esperientzia (hilabeteetan)

1

Datuak C´sar P´rez L´pez, M´todos estad´ e e o e ısticos avanzados con SPSS (2005) liburutik jaso dira.

Azterketak i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... ... Si HSi 21,90 9,75 22,50 9,75 16,20 9,75 19,65 9,75 16,65 9,75 21,90 9,75 18,15 9,75 24,60 10,05 17,10 10,20 27,45 10,20 18,45 10,20 16,50 10,20 19,80 10,20 22,35 10,20 16,20 10,20 Ai 98 94 92 90 88 86 86 92 85 85 85 84 83 82 82 Ei 0 36 0 229 412 156 72 44 72 101 228 288 75 48 0 i ... ... 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 Si HSi Ai Ei

29

70,00 51,45 61,88 65,00 92,00 69,25 75,00 70,88 100,00 110,63 86,25 66,00 66,75 103,50 135,00

35,04 36,24 36,75 37,50 39,99 42,48 42,51 43,50 44,10 45,00 45,00 47,49 52,50 60,00 79,98

67 78 80 88 96 85 65 83 66 96 66 86 83 73 96

75 149 199 264 175 134 54 156 128 120 50 150 258 150 199

Figura 2.1: Behaketa batzuk

LEHEN ZATIA Ikerketa bat egiteko kontratatutako aditu batek gaur egungo soldata hasierako soldataren menpean erlazionatzen duen eredu bakun bat estimatzen hasten da: Si = β1 + β2 HSi + ui Ondorengo lagin informazioa erabiliz,
474 474

i = 1, . . . , N

(2.3)

Si = 16314,875 i=1 474 i=1 474

¯ (Si − S)2 = 137916,495 ¯ (HSi − HS)2 = 29300,905 i=1 474

HSi = 8065,625 i=1 474

Si HSi = 333563,929 i=1 i=1

¯ ¯ (Si − S)(HSi − HS) = 55948,605

1. Idatz ezazu proposatutako ereduaren lagin erregresio funtzioa. 2. Interpreta ezazu hasierako soldatari (HS) dagokion koeﬁzientea. 3. Komenta ezazu (1) ereduaren hondarrak. 4. Perturbazioei dagozkienez zeintzu balizko dira beharrezkoak KTAko estimatzailea alboragabea eta bariantza minimodunekoa izateko? Eta zeintzu balizko dira beharrezkoak kontrasteak burutzeko? 5. Zein izango litzateke lagin erregresio funtzioa baldin eta S eta HS aldagai biak eurotan neurtuta egongo balira?

30
Hondarrak (= benetakoak - estimatutakoak Soldata) 50000 40000 30000 20000 hondarrak 10000 0 -10000 -20000 -30000 -40000 20000 40000 60000 S 80000 100000 120000

Ekonometriarako Sarrera

6. Goiko 2.1 ﬁguran, laginaren lehen eta azken behaketak aurkitzen dira. Eredua hamabost behaketekin estimatu beharra bazenu, hobeago litzateke lehenengoko hamabost behaketekin edo azkeneko hamabost behaketekin egitea edo berdina izango litzateke?, zergatik? Ohartu zaitez laginaren behaketak hasierako soladatarekiko (HS) ordenatuta daude. BIGARREN ZATIA Adituak eskuragarria den informazio guztia erabiltzea erabakitzen du, hau da, antzinatasuna eta aurretiko esperientzia aldagaiak ereduan barneratzea. Lortutako estimazio emaitzak ondorengoak dira: Eredua 2: KTA estimazioak 474 behaketak erabiliz 1–474 Aldagai azaldua: S Aldagaia const HS A E Koeﬁzientea −10266, 1,92732 173,203 −22,509 Desb. Tipikoa 2959,84 0,0443723 34,6771 3,33860 t-estatistikoa −3,4686 43,4353 4,9947 −6,7422 p-balioa 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000

Aldagai azalduaren batezbestekoa 34419,6 Aldagai azalduaren Desb. Tip. 17075,7 Hondar Karratuen Batura 2,70486e+10 Hondarren desbiderazio tipikoa (ˆ ) σ 7586,19 2 R 0,803877 F (3, 470) 642,151 1. Idatz ezazu proposatu den eredu lineal orokorra. 2. Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa. 3. Idatz itzazu X Y matrizearen lehen bi balioak. 4. Interpreta ezazu langilearen antzinatasun aldagaiari dagokion koeﬁzientea. 5. Idatz ezazu mugatze koeﬁzientearen adierazpena eta interpreta ezazu. 6. Zein da 2 Ereduaren arabera, laginako lehen langilearen gaur egungo soldata estimatua?

Azterketak

31

7. A langileak B langileak baino 60 hilabete gehiagoko antzinatasuna du baina esperientzia eta hasierako soldata berdinarekin sartu ziren lanean. Zein da beraien gaur egungo soldataren arteko diferentzia estimatua? 8. Kontrasta ezazu langilearen antzinatasun aldagaiaren banakako esanguratasuna. 9. Kontrasta ezazu 2 Ereduko aldagai azaltzaileen baterako kontrastea. 10. Ondorengo kasu bakoitzean estimazio arazoren bat izango al zenuke?, zein?, zergatik?, zein izango litzateke konpontzeko erarik hoberena? A-kasua) Eredua lehenengoko zazpi behaketekin estimatzea erabakitzen baduzu. B-kasua) Eredua azkeneko bi behaketekin estimatzea erabakitzen baduzu. 11. Adituak aurretiko esperientziak eta antzinatasunak duten eragina gaur egungo soldataren gain berdinak direla pentsatzen du eta informazio hau ereduan barneratzea erabakitzen du zeren bariantza txikiaduneko estimatzaileak lortuko bait lituzte, hau da, hobeagoak. a) Lor ezazu adituak proposatzen duen murriztutako eredua. b) Ondorengo informazioa emanik:
474

Si
(desb)

= 5, 37927 + 1, 92131 HSi − 0, 0206410 (Ai + Ei )
(1,0312) (0,045775) (0,003428) i=1

u2 = 28863, 6 ˆi

Zuzena da bere arrazonamendua?, zergatik?

32

Ekonometriarako Sarrera

Praktikazko Froga (2007ko abenduaren 10)
Proba honekin ebaluatuko diren gaitasun espeziﬁkoak ondorengoak dira:
1. Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlazioak zehaztu ahal izateko. 3. Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko. 4. Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko.

Etxebizitzen salmenta prezioak zehazten dituzten faktoreak analizatu nahi dira. Horretarako 14 etxebizitzei dagozkien datuak (prezioa, azalera, etab.) eskuragarri daude. Datu hauek etxeak-KZ.gdt ﬁtxategian dituzue. Nola lortu datu-ﬁtxategia? Konekta zaitez eKASI-ra eta jeitsi ezazu euskerazko taldearen barnean dagoen Datuak-B karpetako etxeak-KZ.gdt datu ﬁtxategia.

a) Zehaztu eta estima ezazu etxebizitza salmenta prezioarentzat eredu egoki bat. Arrazona eta azal itzazu azken zehazpenera heldu arte jarraitu dituzun pausu guztiak. Laguntza: Hasi zaitez eredu orokor batetik eta ondoren burutu itzazu aproposak iruditzen zaizkizun kontrasteak zure azken zehazpenera heldu arte. b) Interpreta itzazu azken eredua estimatzerakoan lortu dituzun emaitza guztiak. c) Demagun 1, 3, 8, 11 eta 12. etxebizitzek igerilekua dutela dakigula. c1) Azal ezazu nola barneratuko zenuke aldagai berri hau proposatu duzun ereduan. c2) Eraiki ezazu igerilekua izatea edo ez jasotzen duen aldagaia. c3) Estima ezazu aldagai hau barneratzen duen eredua bat eta interpreta itzazu lorturiko emaitzak. c4) Etxebizitzak igerilekua izateak positiboki eragiten du bere salmenta prezioaren gain?

Azterketak

33

Idatizko Froga (2008ko urtarrilaren 29)
Proba honekin ebaluatuko diren gaitasun espeziﬁkoak ondorengoak dira:
1. Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlazioak zehaztu ahal izateko. 3. Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko. 4. Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko.

New Orleans-en kokatutako SXF elkarteak bere langileen soldatak beraien ezaugarrien funtzioan nola zehazten diren jakin nahi du. Ikerketaren helburua sindikatuen errebindikazioei erantzutea da zeren soldataren gaineko sexu bereizkeria dagoela salatu baitute. Horretarako 49 langilei dagozkien hileroko soldata Si (dolarretan neurtua) eta ondorengo ezaugarriei buruzko datuak2 ditu: Hezkuntza, derrigorrezko hezkuntzaren gaineko hezkuntza urteetan neurtua, HEZi . Esperientzia, enpresan lan egindako urteetan neurtua, ESPi . Sexua (Gizona edo Emakumea). Ondorengo ereduan soldata zehaztu da hezkuntza, esperientzia eta sexuaren funtzioan: 1 Eredua: KTA estimazioak 49 behaketak erabiliz 1–49 Aldagai azaldua: S Aldagaia const HEZ ESP GIZ Koeﬁzientea 434,821 133,551 34,4543 470,460 Desb. Tipikoa 258,871 31,5081 12,1316 144,870 t-estatistikoa 1,6797 4,2386 2,8401 3,2475 p-balioa 0,0999 0,0001 0,0067 0,0022

Aldagai azalduaren batezbestekoa 1820,20 Aldagai azalduaren Desb. Tip. 648,269 Hondar Karratuen Batura 1,10894e+07 Hondarren desbiderazio tipikoa (ˆ ) σ 496,417 R2 0,450263 ¯ Zuzendutako R2 0,413614 F (3, 45) 12,2858 non GIZi ﬁkziozko aldagaiak bat balioa hartzen duen gizonezkoa bada eta zero emakumea bada. LEHEN ZATIA
Datuak Introductory Econometrics with Applications de R. Ramanathan, South Western Thomson Learning, 2002 (5 ed.) libukoak atera dira.
2

34 1.a) Idatz itzazu populazio eta lagin erregresio zuzenak. 1.b) Interpreta itzazu 34,4543 eta 470,460 koeﬁziente estimatuak.

Ekonometriarako Sarrera

1.c) Idatz ezazu ereduaren doikuntzaren neurriaren adierazpena eta interpreta ezazu. 1.d) Sexu bereizkeriarik ba al dago soldatetan?

BIGARREN ZATIA Enpresako kudeatzaileak 1 Ereduko estimazioan lortutako ondorioekin ez dago ados. Bere ustez, soldata zehazterakoan funtsezkoa litzateken lanpostu mota aldagai azaltzailea ez da kontuan hartu. Lanpostu motak tailerrekoak, mantenimendukoak, administrariak eta teknikoak dira. Aurreko aldagai azaltzailez gain lanpostu mota aldagaia barneratzerakoan lortzen diren estimazio emaitzak honakoak dira: 2 Eredua: KTA estimazioak 49 behaketak erabiliz 1–49 Aldagai azaldua: S Aldagaia const HEZ ESP GIZ ADM TAI TEK Koeﬁzientea 502,034 63,9771 29,2516 528,154 248,672 382,987 1110,05 Desb. Tipikoa 239,845 26,9073 9,57726 151,238 212,599 164,408 203,871 t-estatistikoa 2,0932 2,3777 3,0543 3,4922 1,1697 2,3295 5,4449 p-balioa 0,0424 0,0221 0,0039 0,0011 0,2487 0,0247 0,0000

Aldagai azalduaren batezbestekoa 1820,20 Aldagai azalduaren Desb. Tip. 648,269 Hondar Karratuen Batura 5,62031e+06 Hondarren desbiderazio tipikoa (ˆ ) σ 365,810 2 R 0,721382 F (6, 42) 18,1240 non ADMi ﬁkziozko aldagaiak bat balioa hartzen duen langilea administraria bada eta zero bestela; T AIi ﬁkzio-aldagaiak bat balioa hartzen du langilea tailerretan lan egiten badu eta zero bestela eta T EKi ﬁkzio-aldagaiak bat balioa hartzen du baldin eta langilea teknikoa bada eta zero bestela. 2.a) Idatz ezazu proposatu den erregresio eredu orokorra. 2.b) Azal ezazu zehaztasunez nola barneratu den lanpostu mota aldagai azaltzailea 2 Ereduan. 2.c) Kudeatzaileak arrazoia al du soldatak zehaztean lanpostu mota aldagai azaltzaile nabari bat dela baieztatzean?

Azterketak

35

2.d) Aurreko 2.c) atalean lortutako konklusioan oinarrituz, zeintzuk dira 1 Ereduko KTAko estimatzaileen propietateak? 1.d) atalean burututako kontrastea ﬁdagarria da? Benetan soldataren gaineko sexu bereizkeriarik dago? 2.e) 2 Ereduko estimazio emaitzak izanik, zein da hezkuntza maila berdina duten emakumezko bi administrarien arteko estimatutako soldataren diferentzia batak 3 urteko esperientzia eta besteak 4 urtekoa badute? 2.f) Soldaten arteko diferentzia handiena, beste ezaugarri guztiak berdinak izanik, tekniko eta mantenimendu langileen artean ematen da. Ihaz enpresak, diferentzia hau 1000 dolarrekoa ez izatearen konpromezua hartu zuen. 2 Ereduko estimazio emaitzak izanik, enpresak bere hitza bete du?

HIRUGARREN ZATIA (3,5 puntu) Sindikatuetako aditu batek, soldataren gaineko sexu bereizkeria ez dela bakarrik emakumeek baldintza berdinetan gutxiago irabazten dutelako ematen, baizik eta urte gehigarri bateko esperientziagatik gizonei gehiago ordaintzen zaielako ere ematen dela dio. Enpresari ondorengo erregresioko estimazio emaitzen bitartez frogatzen dio: 3 Eredua: KTA estimazioak 49 behaketak erabiliz 1–49 Aldagai azaldua: S Aldagaia const HEZ ESP GIZ ADM TAI TEK ESP × GIZ Koeﬁzientea 739,825 67,1281 −8,1917 52,1988 237,551 446,348 1301,35 53,7363 Desb. Tipikoa 240,696 25,1391 16,5544 226,481 198,455 155,238 203,149 19,9972 t-estatistikoa 3,0737 2,6703 −0,4948 0,2305 1,1970 2,8752 6,4059 2,6872 p-balioa 0,0038 0,0108 0,6234 0,8189 0,2382 0,0064 0,0000 0,0104

Aldagai azalduaren batezbestekoa 1820,20 Aldagai azalduaren Desb. Tip. 648,269 Hondar Karratuen Batura 4,77868e+06 Hondarren desbiderazio tipikoa (ˆ ) σ 341,399 2 R 0,763104 3.a) Idatz ezazu estimatu den eredua. Oinarrizko hipotesi guztiak betetzen ditu? Bereziki linealtasunaren hipotesia betetzen du? 3.b) Baldintza berdinetan, zein da gizon eta emakume baten soldataren arteko diferentzia estimatua? 3.c) Zein da esperientzia urte bat gehiago izatean soldatan ematen den gehikuntza estimatua? 3.d) Interpreta ezazu 53,7363 koeﬁziente estimatua.

36

Ekonometriarako Sarrera

3.e) “Urte gehigarri bateko esperientzia gizon batentzat eta emakume batentzat era desberdinean baloratzen delaren” Sindikatoen hipotesiaren aldeko lagin ebidentziarik ba al dago? 3.f) Azal ezazu zehaztasunez nola kontrastatuko zenukeen 3 Ereduan, SXF enpresan soldataren gaineko sexu bereizkeriarik dagoen ala ez. 3.g) Ondorengo graﬁkoan 3 Ereduko hondarrak esperientzia aldagai azaltzailearekiko erakusten dira. Komenta ezazu. Oinarrizko hipotesiren bat ez dela betetzen uste duzu?
1000

800

600

400

hondarrak

200

0

-200

-400

-600 5 10 ESP 15 20

Azterketak

37

2.2.

Azken azterketak

2006ko otsailaren 8
Eraikuntza enpresako agente batek Houstoneko etxebizitzen salmenta prezioarengain zeintzu faktoreek eragiten duten analizatu nahi du. Horretarako 321 etxebizitzez osaturiko lagin bat du ondorengo aldagaiei buruzko datuak izanik: Pt : Etxebizitzaren salmenta prezioa USAko mila dolarretan. At : Etxebizitzaren adina urteetan. St : Etxebizitzaren azalera metro karratuetan. Bt : Komun kopurua. LEHEN ZATIA Ondorengo taulan etxebizitzen salmenta zehazteko erabili den eredu orokor baten estimazio emaitzak erakusten dira: Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 321 observaciones 1–321 Variable dependiente: P Variable const A S B Coeﬁciente 8,76 −0,31 0,33 12,25 Desv. t´ ıpica 6,26 0,06 0,04 3,21 Estad´ ıstico t 1,41 −5,41 9,17 3,82 valor p 0,16 0,00 0,00 0,00

Media de la var. dependiente 96,10 D.T. de la variable dependiente 43,22 Suma de cuadrados de los residuos 281066 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 29,78 2 R 0,5299 ¯ 2 corregido R 0,5254 F (3, 317) 119,096 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const 39, 14 A S B −0, 14 −0, 05 −9, 93 const 0, 003 −0, 0005 0, 08 A 0, 001 −0, 08 S 10, 29 B

38

Ekonometriarako Sarrera

(1.a) Idatz ezazu agenteak proposaturiko erregresio linealeko eredu orokorra (Modelo 1). (1.b) Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa. (1.c) Gainontzeko ezaugarriak konstante mantenduz, zenbat dolarretan estimatzen da komun gehigarri bat izatearen balioa?, zergatik? (1.d) Idatz ezazu mugatze koeﬁzientearen espresioa. Zein da bere balioa? Interpreta ezazu. (1.e) Kontrasta ezazu aldagaien baterako esanguratasuna. (1.f) Kontrasta ezazu adina aldagaiaren (A) banakako esanguratasuna. (1.g) Gainontzeko ezaugarriak konstante mantenduz, metro karratu gehigarri bategatik, 500 dolar ordaintzeko prest egotea posiblea da? (1.h) Proposa ezazu perturbazioren bariantzaren estimatzaile alboragabe bat. Kalkula ezazu. (1.i) Agenteak, salmenta prezioarengain adinak duen eragin negatiboa eta azalera gehitzerakoan ematen den eragina konpentsatu egiten direla pentsatzen du. Emandako informazioa izanik, agentea oker al dago? (1.j) Aurreko atalean lorturiko emaitza emanik, salmenta prezioa zehazteko beste ereduren bat proposatuko zenuke?, zergatik? (1.k) Komenta ezazu Modelo 1 ereduko hondarren graﬁkoa. Oinarrizko hipotesiren bat bete gabe gelditzen al da?
Residuos de la regresin (= precio observado - ajustado) 150

100

50

residuo

0

-50

-100

-150 0 50 100 150 index 200 250 300

BIGARREN ZATIA Erabilitako laginean 1980 eta 1981 urteetan saldutako etxebizitzen prezioak eskuragarri dira. Lehen 179 behaketak 1980 urtean saldutakoak dira eta gainontzekoak 1981 urtean. Izatez 1981 urtean, etxeen ingurunean zabor errausketa bat martxan jarri zen, berarekin batera autopista berri bat eraiki zen eta hortaz, inguruneko komunikabideen hobekuntza ekarri zuen. Arrazoi honegatik, agenteak 1980 eta 1981 urteetan saldutako etxebizitzen prezioetan desberdintasunak daudelaren teoria mantentzen du.

Azterketak

39

2.a) Zehaz ezazu zabor errausketa martxan jartzeak salmenta prezioaren zehazpenean izan dezakeen eragina kontuan hartzen duen erregresio eredu bat. Eragin hau jasotzeko asmoarekin ereduan barneratuko zenukeen aldagai berriaren ezaugarriak zeintzuk dira? Deﬁnitu ezazu zehaztasunez. Zein da aldagai honen lagineko lehen behaketaren balioa?, eta azkenekoarena? 2.b) Zabor errausketa martxan jartzearen eragina jasotzeko, aurreko atalean deﬁnitu duzun aldagaia, IN C bezala berizendatuko dugu. Ondorengo taulan aldagai berri hori barneratzen duen ereduaren estimazio emaitzak aurkezten dira: Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 321 observaciones 1–321 Variable dependiente: P Variable const A S B INC Coeﬁciente −3,96 −0,21 0,24 17,41 35,78 Desv. t´ ıpica 5,20 0,05 0,03 2,65 2,82 Estad´ ıstico t −0,76 −4,50 8,07 6,58 12,70 valor p 0,45 0,00 0,00 0,00 0,00

Media de la var. dependiente 96,10 D.T. de la variable dependiente 43,22 Suma de cuadrados de los residuos 186078 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 24,27 2 R 0,6888 ¯ R2 corregido 0,6848 F (4, 316) 174,820 Interpreta ezazu IN C aldagaiari dagokion koeﬁzientea. Esperotako ikurra du? (2.c) Kontrasta ezazu errausketa martxan jartzeak salmenta prezioarengain eragin dezakelaren hipotesia. (2.d) Komenta ezazu Modelo 2 ereduko hondarren graﬁkoa. Konpara ezazu graﬁko hau eta Modelo 1 ereduko hondarren graﬁkoa. Zure ustez zergatik ematen da desberdintasuna?

40
Residuos de la regresin (= precio observado - ajustada) 200

Ekonometriarako Sarrera

150

100

residuo

50

0

-50

-100 0 50 100 150 index 200 250 300

HIRUGARREN ZATIA Ondoren agenteak adinak etxebizitzen salmenta prezioengain duen eragina ondo zehaztuta dagoen zalantzan jartzen du. Hurrengo taulan agenteak proposatzen duen ereduaren estimazio emaitzak erakusten dira, non A2 (adina karratura) aldagai azaltzailea barneratu den: Modelo 3: estimaciones MCO utilizando las 321 observaciones 1–321 Variable dependiente: P Variable const A A2 S B INC Coeﬁciente 12,93 −0,70 0,0033 0,24 12,08 36,33 Desv. t´ ıpica 6,83 0,14 — 0,03 2,96 2,77 Estad´ ıstico t 1,89 −5,03 — 8,16 4,08 13,14 valor p 0,06 0,00 — 0,00 0,00 0,00

Media de la var. dependiente 96,10 D.T. de la variable dependiente 43,22 Suma de cuadrados de los residuos 178257 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 23,79 R2 0,7018 ¯ R2 corregido 0,6971 F (5, 315) 148,294 (3.a) Idatz ezazu proposaturiko eredu lineal orokorra. Zein da Modelo 2 ereduarekiko duen desberdintasuna? Zer da aldagai berri honekin jaso nahi dena? (3.b) Erregresio linealeko eredu orokorreko hipotesiren bat bete gabe uzten al du?, zergatik? (3.c) Nola kontrastatuko zenuke adina aldagaiaren esanguratasuna Modelo 3 ereduan? Azal ezazu zehaztasunez hipotesi hutsa, aurkakoa, kontrasterako estatistikoa eta erabaki araua.

Azterketak

41

(3.d) Etxebizitzaren adina urte batean igoko balitz beste guztia konstante mantenduz, zenbatekoa da etxebizitzaren batezbesteko salmenta prezioaren aldakuntza estimatua? Eta etxebizitzak 5 urteko adina balu? Eta etxebizitzak 50 urteko adina balu? (3.e) Eskuragarri duzun informazioarekin, agenteak etxebizitzaren salmenta prezioa eta bere adinaren arteko erlazioa lineala ez dela dioenean, adoz al zaude? (3.f) Aurreko ataleko emaitzan oinarrituz, zein eredu aukeratuko zenuke etxebizitzen salmenta prezioa zehazteko?, zergatik? Zeintzu arazo dituzte aukeratu EZ dituzun ereduek? Arrazona ezazu zure erantzuna eta azal itzazu aukeratu ez dituzun ereduetan erabilitako estimatzaileen propietateak. (3.g) Zu zeu agente bezala, inguruko etxebizitzen salmenta prezioak zehazteko duzun teoria herriko agintariei azaldu beharra bazenu, egin duzun analisiaren zeintzu ezaugarri azpimarratuko zenituzke? Zergatik?

42

Ekonometriarako Sarrera

2006ko maiatzaren 31
Eraikuntza enpresako agente batek 70.hamarkadan Bilboko etxebizitzen prezioarengain eragin zuten faktoreak analizatu nahi ditu. Horretarako, 265 etxebizitzez osaturiko lagin batean ondorengo aldagaiei buruzko datuak bildu dira: Pt : Etxebizitzaren salmenta prezioa mila eurotan. Ht : Logela kopurua. Bt : Komun kopurua. St : Etxebizitzaren azalera metro karratuetan. LEHEN ZATIA Ondorengo taulan etxebizitzen salmenta zehazteko erabili duen eredu lineal orokor baten estimazioaren emaitzak laburtzen dira: Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 265 observaciones 1–265 Variable dependiente: P Variable const H B S Coeﬁciente Desv. t´ ıpica Estad´ ıstico t valor p 0,442 0,805 0,000 0,000

−10,968 14,249 −0,769 0,655 2,660 0,246 17,134 3,672 4,665 0,304 0,041 7,354 Media de la var. dependiente 93,0936 D.T. de la variable dependiente 41,3082 Suma de cuadrados de los residuos 234507,00 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 29,9749 R2 0,479429 ¯ R2 corregido 0,473445 F (3, 261) 80,1240 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const H B S 203,059 -33,3136 8,66392 0,00105675 const 7,07734 -3,84501 -0,0226378 H 13,4856 -0,0777654 B 0,00170926 S

(1.a) Idatz ezazu agenteak proposaturiko erregresio lineal eredu orokorra (Modelo 1) eta lagin erregresio funtzioa. (1.b) Gainontzeko ezaugarriak konstante mantenduz, metro karratu bat gehiago izatea zenbat eurotan estimatzen da?, zergatik? (1.c) Idatz ezazu mugatze koeﬁzientearen adierazpena. Zein da bere balioa? Interpreta ezazu.

Azterketak (1.d) Kontrasta ezazu aldagaien baterako esanguratasuna. (1.e) Kontrasta ezazu logela kopurua aldagaiaren (H) banakako esanguratasuna.

43

(1.f) Ereduko aldagai azaltzaileak kontuan hartuz, azal ezazu arrazonatuz aurreko ataleko emaitzaren zergatia. (1.g) Gainontzeko ezaugarriak konstante mantenduz, komun bat gehiago izateagatik, posiblea al zen 17000 euro gehiago ordaintzeko prest egotea? (1.h) Lagin erregresio funtzioan oinarrituz, zenbatean estimatzen duzu lau logela eta bi komun zituen 100 m2 ko etxebizitza baten balioa? (1.i) Zure lagun batek, 75000 euro ordainduz aurreko atalean idatzitako ezaugarriak zituen etxebizitza bat erosi zuen. Nola sinestaraziko zenioke ez ziotela iruzurrik sartu? (1.j) Komenta ezazu Modelo 1 ereduko ondorengo hondarren graﬁkoa. Oinarrizko hipotesiren bat bete gabe gelditzen al da?
Residuos de la regresin (= priceM observada - ajustada) 150

100

50

residuo
0 -50 -100 0 50 100 index 150 200 250

BIGARREN ZATIA Erabilitako laginak Bilboko hiru gune desberdineko etxebizitzen datuak biltzen ditu. Lehen 90 behaketak San Inazion kokaturiko etxebizitzei dagozkie, hurrengo 87 behaketak Indautxukoak dira eta gainontzeko 88 behaketa Santutxukoak. Agenteak etxebizitzen prezioetan dauden desberdintasunak kokapen desberdinegatik delaren teoria mantentzen du. Ondorengo taulan kokapen aldagai berria barneratzen duen ereduaren estimazioaren emaitzak aurkezten dira: Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 265 observaciones 1–265 Variable dependiente: P Variable const H B S SAN T SIN A Coeﬁciente 24,510 1,919 16,414 0,227 −43,851 −37,114 Desv. t´ ıpica 11,522 2,086 2,902 0,032 3,630 3,617 Estad´ ıstico t 2,127 0,919 5,654 6,894 −12,077 −10,259 valor p 0,034 0,358 0,000 0,000 0,000 0,000

44

Ekonometriarako Sarrera Media de la var. dependiente 93,0936 D.T. de la variable dependiente 41,3082 Suma de cuadrados de los residuos 141896,00 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 23,4065 2 R 0,685011 ¯ 2 corregido R 0,678930 F (5, 259) 112,650 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const H B S SAN T SIN A 132, 76 −20, 25 4, 58 −0, 011 −10, 8524 −5, 063 const 4, 35 −2, 27 −0, 014 −0, 104 −0, 64 H 8, 42 −0, 048 0, 78 −0, 83 B 0, 00108 0, 015 0, 024 S 13, 18 6, 64 SAN T 13, 08 SIN A

non SAN T aldagaiak bat balioa hartzen duen etxebizitza Santutxun baldin badago eta zero bestela, eta SIN A aldagaiak bat balioa hartzen du baldin eta San Inazion badago eta zero bestela. (2.a) Idatz ezazu agenteak proposatu duen eredua (Modelo 2). Azal ezazu aldagai berria ereduan nola sartu duen. (2.b) Interpreta itzazu SAN T eta SIN A aldagaiei dagozkien estimatutako koeﬁzienteak. Zeintzuk dira aldagai hauen lagineko lehen behaketaren balioak?, eta ehungarrena?, eta azkena? Lehen behaketa 100. behaketa Azken behaketa 0 0 1 1 0 0

SAN Tt SIN At

(2.c) Kontrasta ezazu kokapenak salmenta prezioaren gain eragiten duelaren hipotesia. (2.d) Komenta ezazu Modelo 2 ereduko ondorengo hondarren graﬁkoa. Konpara ezazu graﬁko hau eta Modelo 1 ereduko hondarren graﬁkoa. Zure ustez zergatik ematen da desberdintasuna? (2.e) Aurreko ataleko erantzuna kontuan izanik eta Modelo 1 ereduko hondarren graﬁkoa xehetasunez begiratu ondoren, agenteak etxebizitzen prezioetan dagoen desberdintasuna kokapenagatik dela susmatzen du, baina desberdintasun hau Indautxuko etxebizitzen eta gainontzekoen artean bakarrik ematen dela. Eskuragarri duzun informazioan oinarrituz, agentea oker al dago? (2.f) Aurreko atalean lorturiko ondorioa kontuan izanik, salmenta prezioa zehazteko beste ereduren bat proposatuko zenuke?, zergatik?

Azterketak
Residuos de la regresin (= priceM observada - ajustada) 200

45

150

100

residuo

50

0

-50

-100 0 50 100 index 150 200 250

HIRUGARREN ZATIA Demagun agentea kokapen aldagaiak Indautxu eta kanpoaldea (San Inazio + Santutxu) bakarrik bereizten dituelaren konklusiora heldu dela. Halaere, agenteak kokapenak etxebizitzen salmenta prezioaren gain duen eragina ondo zehaztuta dagoen zalantzan jartzen du. %newpage Ondorengo taulak agenteak proposaturiko eredu berriaren estimazio emaitzak aurkezten ditu: Modelo 3: estimaciones MCO utilizando las 265 observaciones 1–265 Variable dependiente: P Variable const H B S Kanpoaldea Kanpoaldea∗S Coeﬁciente 3,826 2,468 17,275 0,297 −17,029 −0,114 Desv. t´ ıpica 13,866 2,078 2,859 0,046 10,960 0,051 Estad´ ıstico t 0,276 1,187 6,041 6,359 −1,553 −2,230 valor p 0,782 0,236 0,000 0,000 0,121 0,026

Suma de cuadrados de los residuos 141100,00 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 23,3407 2 R 0,686779 (3.a) Idatz ezazu proposaturiko erregresio lineal orokorraren eredua. Zein da Modelo 2 ereduarekiko duen desberdintasuna? Zer da elementu berri honekin jaso nahi duena? (3.b) Etxebizitzaren azalera metro karratu batean handituko balitz, gainontzeko ezaugarri guztiak konstante mantenduz, zenbatekoa da etxebizitzaren batezbesteko salmenta prezioaren aldakuntza estimatua? Eta etxebizitza Indautxukoa balitz?, eta Santutxukoa balitz? (3.c) Kontrasta ezazu Modelo 3 ereduan kokapen aldagaiaren esanguratasuna. (3.d) Eskuragarri duzun informazioarekin, metro karratu gehigarri baten balioa, beste guztia konstante mantenduz, Indautxun eta kanpoaldean berdina zela uste duzu? (3.e) Aurreko ataleko erantzunaren arabera, zein eredu aukeratuko zenuke etxebizitzaren prezioa zehazteko?, zergatik? Zeintzu arazo dituzte aukeratu EZ dituzun ereduek? Arrazona ezazu zure erantzuna eta azal itzazu aukeratu EZ dituzun ereduetan erabilitako estimatzaileen propietateak.

46

Ekonometriarako Sarrera

2007ko urtarrilaren 17
Galizian kokaturiko “Dolfo” enpresa itsaskien bilketa eta salmentara aritua, bere salmenten jokabidea analizatu nahi du aldagai batzuen funtzioan. Helburu honetarako, 1999 urteko lehen hiruhilabetik eta 2004 urteko hirugarren hiruhilabeterarteko epeko hiruhilabeteko datu base bat biltzen du ondorengo aldagaientzat: - Vt : Enpresak saldutako itsaski kantitatea t hiruhilabetean (mila kilogramotan). - Mt : Enpresak eskeinitako itsaskien batezbesteko prezioa t hiruhilabetean (kilogramoko eurotan). - Ct : Konpetentziako enpresak eskeintzen duten itsaskien batezbesteko salmenta pezioa t hiruhilabetean (kilogramoko eurotan). - St : Lekuko langileen batezbesteko soldata t hiruhilabetean (ehundaka eurotan). LEHEN ZATIA Ondorengo taulan erregresio lineal orokorreko eredu baten estimazio emaitzak aurkezten dira: Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 23 observaciones 1999:1–2004:3 Variable dependiente: V Variable const M C S Coeﬁciente 33,7991 −0,2223 0,0249 0,0129 Desv. t´ ıpica 4,28653 0,12618 0,05908 0,00503 Estad´ ıstico t 7,8849 −1,7618 0,4229 2,5770 valor p 0,0000 0,0942 0,6771 0,0185

Media de la var. dependiente 39,6696 D.T. de la variable dependiente 7,37295 Suma de cuadrados de los residuos 105,657 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) 2,35816 σ R2 0,911653 ¯ 2 corregido R 0,897703 F (3, 19) 65,3533

Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const 18, 3744 M −0, 439939 0, 0159228 C −0, 100117 −0, 00121894 0, 00349152 S 0, 0149171 −0, 000166764 −0, 000266486 2, 53566e-05 const M C S

(1.a) Idatz ezazu gerenteak proposaturiko erregresio linealeko eredu orokorra.

Azterketak (1.b) Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa.

47

(1.c) Idatz ezazu mugatze koeﬁzientearen adierazpena bere baliorekin batera. Interpreta ezazu. (1.d) Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen baterako esanguratasuna. (1.e) Kontrasta ezazu ereduko aldagai azaltzaileen banakako esanguratasunak. Lorturiko emaitzak arrazoizkoak al dira? (1.f) Gainontzeko ezaugarriak konstante mantenduz eta lagin erregresioan oinarrituz, populazioaren batezbesteko soldata 100 eurotan gutxituko balitz, zenbat kilotan estimatzen da enpresaren itsaskien salmentaren aldakuntza?, zergatik? (1.g) Komenta ezazu Modelo 1 ereduko hondarren graﬁkoa. Oinarrizko hipotesiren bat bete gabe gelditzen dela uste al duzu?
Residuos de la regresin (= Salmenta observada - estimada) 4 3

2

1

residuo

0

-1

-2

-3

-4 1999 2000 2001 2002 2003 2004

(1.h) Gerenteak, lekuko langileen batezbesteko errentaren aldagaiak (R) itsaskien salmenta azaldu ahal duela uste du. Idatz ezazu aldagai hau beste aldagaiekin batera jasotzen duen erregresio lineal orokorreko eredu bat. Batezbesteko soldatarekin (S) duen lagin koerlazio koeﬁzientea altua dela kontuan izanik, koer(R, S) = rR,S = 0,98, gerenteak eredua estimatzeko orduan arazoren bat izan ditzakela uste al duzu?, zein?, zeintzuk dira erabilitako estimatzailearen propietateak? BIGARREN ZATIA Hondarren graﬁkoa ikusirik, gerenteak 2000 urteko hirugarren hiruhilabetetik 2003 urteko laugarren hiruhilabeterarte enpresak bere ondasunen aldeko publizitate kanpaina gogorra egin zuela gogoratzen du. Publizitateak salmentan gaineko izan zuen eragina jasotzeko P U B aldagaia eraikitzen du zeinak bat balioa hartzen duen baldin eta dagokion hiruhilabetean publizitatea egin bazen eta zero bestelako kasuan. Aldagai berri hau barneratzean lortzen diren emaitzak honakoak dira: Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 23 observaciones 1999:1–2004:3 Variable dependiente: V Variable const PUB M C S Coeﬁciente 31,0580 4,2235 −0,2754 0,0687 0,0103 Desv. t´ ıpica 1,47311 0,34863 0,04307 0,02038 0,00172 Estad´ ıstico t 21,0834 12,1147 −6,3954 3,3720 6,0018 valor p 0,0000 0,0000 0,0000 0,0034 0,0000

48

Ekonometriarako Sarrera Media de la var. dependiente 39,6696 D.T. de la variable dependiente 7,37295 Suma de cuadrados de los residuos 11,5427 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) 0,800787 σ R2 0,990348 ¯ 2 corregido R 0,988204 F (4, 18) 461,742 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const 2, 17004 PUB −0, 0788814 0, 121546 M −0, 0497389 −0, 00152991 0, 00185540 C −0, 0123623 0, 00125932 −0, 000156414 0, 000415674 S 0, 00176931 −7, 57169e-05 −1, 82774e-05 −3, 15144e-05 2, 97118e-06 const PUB M C S

(2.a) Idatz ezazu proposaturiko erregresio lineal orokorraren eredua. Zein da aurreko ereduarekiko duen desberdintasuna? (2.b) Interpreta ezazu P U B aldagaiaren koeﬁziente estimatua. (2.c) Publizitate kanpainak salmentetan eragin positiboa izan duelaren ebidentziarik ba al dago? (2.d) Zer esan dezakezu itsaskien batezbesteko salmenta prezio aldagaiaren (M ) banakako esanguratasunari buruz? Konpara ezazu emaitza hau (1.e) atalean lortutakoarekin. Zein izan daiteke aldaketa honen arrazioa? (2.e) Gerenteak, konpetentziako prezioaren jeitsiera bat enpresako prezioaren kantitate bereko jeitsiera batekin konpentsatu dezakeelaren lagin ebidentziarik badago? (2.f) Aurreko (2.c) atalean lortutako emaitza emanik, gerenteak 2004ko azkeneko hiruhilabetei zuzenduriko publizitate kanpaina bat antolatzen du. Aldagai azaltzaileen ondorengo balioak eskuragarriak izanik, zenbatekoa da estimatzen duen salmentaren kantitatea? M 30 euro C 32 euro S 25000 euro

(2.g) Konpara ezazu Modelo 2 ereduko hondarren graﬁkoa aurrekoarekin. Ze ondorioztatzen duzu?
Residuos de la regresin (= Salmenta observada - estimada) 2 1.5

1

0.5

residuo
0 -0.5 -1 -1.5 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Azterketak HIRUGARREN ZATIA

49

Bildutako datuak hiruhilabeterokoak direlako eta azken hiruhilabeteko itsaskien salmenta nagusiagoa delako, gerenteak Modelo 2 ereduan estazionalitatea kontuan hartu beharko delaren susmoa du. (3.a) Zehaz ezazu, zehaztasun osoz, estazionalitate efektua biltzen duen ereduren bat. (3.b) Idatz itzazu X datu matrizeko lehen zortzi errenkadak ezagunak diren balio guztiak ordezkatuz. (3.c) Azal ezazu zehaztasunez nola kontrastatuko zenuke estazionalitateak itsaskien salmentarengan eragiten duela. (3.d) Azal ezazu zehaztasunez nola kontrastatuko zenuke bakarrik azken hiruhilabeteko batezbesteko salmentak direla gainontzeko hiruhilabeteikiko desberdinak. (3.e) Goiko (3.c) ataleko hipotesi hutsa baztertu baina (3.d) ataleko hipotesi hutsa ez baztertzearen kasuan, itsaskien salmenta zehazteko (3.a) atalean proposatu duzunarekiko beste eredu alternatiboren bat proposatuko zenuke?, zein?, zergatik?

50

Ekonometriarako Sarrera

2007ko ekainaren 8
LEHEN ZATIA Ikasle talde bat Ekonometriarako Sarrera irakasgaiarentzat lan bat egiten ari dira. Taldekide bat argazkiak egiteko makina bat erosteko nahian dagoenez, irakasgaian ikasitakoari probetxua atera nahi dio makinen prezioa aztertzeko. Horretarako makinaren prezioa (P) honako aldagaien menpekoa dela kontsideratzen dute: bereizmena (R), distantzia fokala (DF) eta pisua (PS). Kontsumoari buruzko errebista batean, argazkiak egiteko makina digitalei buruzko artikulu bat aurkitzen dute non 22 argazki-kameren prezioak eta dituzten ezaugarriak agertzen diren (ikus Figura 1). Distantzia fokala eta prezioa aldagaiak tartetan agertzen direnez, ikasleek aldagai bi hauen ibiltartea erabiltzen dute distantzia fokala eta argazki-kameraren prezioaren neurri bezala.

Figura 2.2: Datuen taula
Argazkikamera Bereizmena (megapixeletan) R megapixelak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 5.9 8 5.9 5.9 10 4.9 5 5.9 6.1 5.9 8 5.9 3.9 4.9 6.1 5 7.1 7.1 5.9 8 4.9 35 - 105 35 - 105 38 - 114 35 - 140 35 - 105 38 - 114 38 - 114 38 - 116 32 - 96 36 - 108 35 - 140 36 - 126 37 - 222 39 - 156 35 - 105 36 - 108 37 - 111 36 - 432 36 - 432 36 - 432 38 - 190 35 - 350 Distantzia fokala min-max DF mm 70 70 76 105 70 76 76 78 64 72 105 90 185 117 70 72 74 396 396 396 152 315 I I I I I I I I II I II II II II II II II III III III III III PS gr 170 160 189 192 177 166 134 178 215 192 230 200 260 210 197 198 202 510 495 560 235 270 xD SD MS SD SD SD SD SD MS xD SD SD SD SD SD xD SD MS SD SD SD SD 329 420 335 399 169 341 249 165 199 359 245 367 199 139 138 188 147 478 435 477 389 330 429 469 405 499 249 399 279 179 219 399 299 379 270 169 177 199 169 555 499 549 399 420 Bolumena Pisua (gramotan) Memoria-txartelaren mota Prezioa (eurotan) 2006ko urria min-max P euroak 379 444.5 370 449 209 370 264 172 209 379 272 373 234.5 154 157.5 193.5 158 516.5 467 513 394 375

Ikasleek argazki-kameren prezioa zehazteko erregresio eredu lineal bat proposatzen dute eta dituzten datuekin estimatzerakoan lortzen dituzten emaitzak ondorengoak dira:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 22 observaciones 1–22 Variable dependiente: P Variable const R DF PS Coeﬁciente −18,8350 43,3677 0,7749 −0,1782 Desv. t´ ıpica 91,3078 12,5284 0,4478 0,4463 Estad´ ıstico t −0,2063 3,4616 1,7303 −0,3993 valor p 0,8389 0,0028 0,1007 0,6944

Azterketak Media de la var. dependiente 320,614 D.T. de la variable dependiente 121,181 Suma de cuadrados de los residuos 119010, Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 81,3122 2 R 0,6141 ¯ 2 corregido R 0,5498 F (3, 18) 9,5472 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const R DF PS 8337, 120 −909, 310 13, 446 −17, 427 const 156, 961 0, 594 −0, 667 R 0, 201 −0, 188 DF 0, 199 PS Aldagaien arteko lagin koerlazio matrizea R DF PS 1, 0000 0, 0189 0, 0582 1, 0000 0, 9407 1, 0000 P 0, 5147 R 0, 5976 DF 0, 5629 PS 1, 0000 P

51

1-a) Idatz ezazu proposatu duten erregresio lineal eredu orokorra. 1-b) Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa. 1-c) Interpreta ezazu Bereizmen (R) aldagaiari dagokion koeﬁziente estimatua. 1-d) Interpreta ezazu doikuntzaren ontasuna. 1-e) Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen baterako esanguratasuna. BIGARREN ZATIA Aurreko ‘Modelo 1’ ereduan lorturiko emaitzak analizatuz, ikasleek bereizmena (R) aldagai nabari bat dela egiaztatzen dute baina beste aldagaiekin, distantzia fokala (DF) eta pisua (PS), arazoak daudela pentsatzen dute. A EREDUA: Pi = −34, 4263 + 42, 7713 Ri + 0, 6066 DFi
(desb)
(80,69) (12,161) (0,14767)

R2 = 0, 6107

u2 = 120064 ˆi

B EREDUA: Pi = −70, 7862 + 41, 0713 Ri + 0, 5489 PSi
(desb)
(90,643) (13,095) (0,1582)

R2 = 0, 5499

u2 = 138806 ˆi

C EREDUA: Pi = 45, 8131 + 43, 7138 Ri
(desb)
(104,85) (16,284)

R2 = 0, 2649

u2 = 226697 ˆi

Emandako informazio gehigarriaren laguntzarekin,

52

Ekonometriarako Sarrera

2-a) Kontrasta ezazu distantzia fokala (DF) eta pisua (PS) aldagaien banakako esanguratasuna ‘Modelo 1’ ereduan. 2-b) Kontrasta ezazu distantzia fokala (DF) eta pisua (PS) aldagaien baterako esanguratasuna ‘Modelo 1’ ereduan. 2-c) Orainarte eskuragarri duzun informazio guztiarekin eta aurretik lortutako emaitza guztietan oinarrituz, zein uste duzu dela ‘Modelo 1’ ereduaren estimazioan dagoen arazoa? 2-d) Aurrekoa ikusirik, zeintzuk dira ‘Modelo 1’ ereduko estimatzaileen propietateak?, zergatik? 2-e) Eta zeintzuk dira C Ereduko estimatzaileen propietateak?, zergatik? HIRUGARREN ZATIA Hilabete bat pasa ondoren, irakasgaian ereduan aldagai koalitatiboak barneratzea posiblea dela ikasten dute. Hau dela eta, kameraren bolumena eta memoria-txartela mota prezioa zehazteko aldagai nabariak izan daitezkela pentsatzen dute. Artikuluan bolumerai buruz aurkitzen dituzten datuetan oinarrituz, honako aldagaiak deﬁnitzen dituzte: - Si = 1 i kamera txikia (I Bolumena) bada eta 0 bestela. - Mi = 1 i kamera ertaina (II Bolumena) bada eta 0 bestela. - Li = 1 i kamera handia (III Bolumena) bada eta 0 bestela. eta memoria-txartela motari dagokionez hurrengo aldagaiak deﬁnitzen dira: - SDi = 1 i− kameraren txartela SD bada eta eta 0 bestela. - XDi = 1 i− kameraren txartela XD bada eta eta 0 bestela. - MSi = 1 i− kameraren txartela MS bada eta eta 0 bestela. Aurreko ereduan bi aldagai hauen informazioa gehituz ‘Modelo 2’ eredua estimatzen dute: Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 22 observaciones 1–22 Variable dependiente: P Variable const R DF M L XD MS Coeﬁciente 69,9479 32,5846 0,6141 −98,7820 −35,6250 16,9353 2,20409 Desv. t´ ıpica 91,5332 12,4551 0,3140 37,7843 89,2484 48,2897 47,8567 Estad´ ıstico t 0,7642 2,6162 1,9561 −2,6144 −0,3992 0,3507 0,0461 valor p 0,4566 0,0195 0,0693 0,0195 0,6954 0,7307 0,9639

Azterketak Media de la var. dependiente 320,614 D.T. de la variable dependiente 121,181 Suma de cuadrados de los residuos 80880,6 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 73,4305 2 R 0,7377 ¯ 2 corregido R 0,6328 F (6, 15) 7,0319 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const 8378, 33 R −1044, 20 155, 13 DF −12, 03 0, 66 0, 10 M −1345, 80 124, 74 −1, 25 1427, 65 L 2346, 88 −170, 67 −24, 66 955, 89 7965, 27 XD −40, 09 −89, 30 0, 94 119, 22 242, 96 2331, 89 MS 747, 53 −145, 14 −1, 60 −98, 57 280, 53 376, 46 2290, 27

53

const R DF M L XD MS

3-a) Idatz ezazu ‘Modelo 2’ ereduari dagokion populazio erregresio funtzioa. Azal ezazu nola barneratu izan diren memoria-txartela mota eta bolumen aldagai berriak ereduan. 3-b) Zer adierzten dute lortutako −98, 7828 eta 2, 2041 estimazioek? 3-c) Kontrasta ezazu memoria-txartela mota eta bolumen aldagaien baterako esanguratasuna. 3-d) Eskuragarri duzun informazioan oinarrituz, SD txartela izan beharrean XD txartela duen kamera bategatik 30 euro gehigarri ordaintzeko prest ba al dago norbait, gainontzeko ezaugarriak konstante mantenduz? LAUGARREN ZATIA ‘Modelo 2’ ereduaren emaitzak aztertzerakoan prezioa aztertzeko memoria-txartela mota aldagai nabari bat ez dela ikusten dute eta ondorioz, kameraren prezioa bereizmena, distantzia fokala eta kameraren bolumenarekin zehaztea posiblea dela. Haatik, kamera aditu batek distantzia fokalak prezioarengan duen eragina bolumenaren menpekoa dela esaten die. Hipotesi hau kontrastatzeko, ikasleek ondorengo eredua estimatzen dute: Modelo 3: estimaciones MCO utilizando las 22 observaciones 1–22 Variable dependiente: P Variable const R DF M L DF x M DF x L Coeﬁciente −164,56 34,8383 3,5177 151,606 182,754 −3,1746 −2,8984 Desv. t´ ıpica 199,227 11,4489 2,2623 189,825 208,024 2,35449 2,28067 Estad´ ıstico t −0,8260 3,0429 1,5549 0,7987 0,8785 −1,3483 −1,2709 valor p 0,4217 0,0082 0,1408 0,4370 0,3935 0,1976 0,2231

54

Ekonometriarako Sarrera Media de la var. dependiente 320,614 D.T. de la variable dependiente 121,181 Suma de cuadrados de los residuos 72725,1 Desviaci´n t´ o ıpica de los residuos (ˆ ) σ 69,6300 2 R 0,7642 ¯ 2 corregido R 0,6699 F (6, 15) 8,1009 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea

const 39691, 3

R −1098, 60 131, 08

DF −413, 82 2, 98 5, 12

M −33316, 00 338, 16 396, 56 36033, 70

L DF x M −30791, 00 412, 67 36, 85 −2, 84 389, 71 −5, 11 30577, 30 −438, 13 43273, 80 −389, 67 5, 54

DF x L 408, 85 −2, 38 −5, 10 −395, 02 −425, 23 5, 10 5, 20

const R DF M L DF x M DF x L

4-a) Idatz ezazu ‘Modelo 3’ ereduari dagokion populazio erregresio funtzioa. Eredu honek oinarrizko hipotesiren bat ez du betetzen?, zergatik? 4-b) ‘Modelo 3’ ereduan, distantzia fokala 1mm handitzen bada eta bereizmena konstante mantentzen bada, zein da prezioan espero den gehikuntza? Konstantea da? Zeren menpekoa da? 4-c) Azal ezazu zehazki nola kontrastatuko zenuken adituaren hipotesia, hau da, bereizmen ﬁnko batentzat distantzia fokalak prezioarengain duen eragina kameraren bolumenaren menpekoa dela. 4-d) Bereizmen eta distantzia fokala ﬁnkatuz, ba al dago bolumenak kamera prezioarengain eragiten duelaren lagin ebidentziarik? 4-e) Kamera erosteko interesaturik dagoen ikasleak artikulua irakurri ondoren, errebistak ematen duen gomendazioa jarraituz, 1 Figuran agertzen den lehen kamera erostea erabakitzen du. ‘Modelo 3’ ereduan oinarrituz, zein da kamera horren estimatutako prezioa? Zein da errebistak adierazten duen prezioarekiko duen diferentzia? Zein da diferentzia honi ematen zaion izena ekonometrian? 4-f) Beste ikasle batek, ihaz 7,1 megapixeldun eta 35-105ko distantzia fokaleko (70mm-ko DF) kamera txiki bat 487 eurogatik erosi zuela dio. ‘Modelo 3’ ereduan oinarrituz, zehaz ezazu zehazki nola konprobatuko zenuken ordaindutako prezioa gaur egun arrazoizkoa litzateken edo ez.

Azterketak

55

Idatzizko azken azterketa (2008ko urtarrilaren 29)
Praktika honekin ebaluatuko diren gaitasun espeziﬁkoak ondorengoak dira:
1 Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlazioak zehaztu ahal izateko. 3 Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko. 4 Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko.

San Diegoko Gas eta Elektrizitatea elkarteak bere eremuko egoileen elektrizitatearen banako kontsumoa, (C, milioi orduko-kilowatioetan neurtua) zehaztu nahi du. Horretarako 1972. urteko bigarren hiruhilabetetik, 1993. urteko laugarren hiruhilabeterarteko hiruhilabeteko datuak3 ditu. Elkarteak soldata zehazterakoan ondorengo aldagaiak nabariak direla kontsideratzen du: 1) Rt : banako errenta dolarretan neurtua (termino errealetan). 2) Pt : orduko-kilowatioaren batezbesteko prezioa, dolarraren zentimoetan neurtua (termino errealetan). 3) Tenperaturaren eragina zeren neguan berogailua pizten baita eta udan aire girotua. Zentzu honetan ondorengo aldagai biak eraiki dira: GGt : t hiruhilabetean batezbestekoaren gainetik pilatutako gradu kopurua. GAt : t hiruhilabetean batezbestekoaren azpitik pilatutako gradu kopurua.

Figura 2.3: Lehenengoko behaketak Beh 1972:2 1972:3 1972:4 1973:1 1973:2 1973:3 1973:4 1974:1 1974:2 1974:3 1974:4 . . .
3

C 1,275504 1,339663 1,478731 1,690786 1,362907 1,328210 1,446012 1,553898 1,265778 1,320144 1,445462 . . .

R 3,491793 3,511691 3,530117 3,549366 3,542667 3,514920 3,539654 3,537573 3,490653 3,444054 3,421634 . . .

P 6,15764 5,96745 6,32236 6,05541 6,35110 6,25928 6,25960 6,54314 7,58579 7,65881 7,69943 . . .

GG 75,335 581,389 103,646 0,435 57,923 410,773 117,642 0,374 40,035 514,421 140,399 . . .

GA 285,451 3,015 402,203 833,673 397,441 6,798 365,674 826,140 325,475 5,572 328,867 . . .

Datu hauek Ramanathan liburutik hartu dira.

56 LEHEN ZATIA

Ekonometriarako Sarrera

Elkarteak kontratatutako adituak kontsumoa prezioarekin erlazionatzen duen erregresio lineal bakun bat estimatzen hasi da: Ct = β1 + β2 Pt + ut Ondorengo lagin informazioa erabiliz,
87 87

t = 1, . . . , T. ¯ (Ct − C)2 = 1,13125

(2.4)

Ct = 121,087 t=1 87 t=1 87

Pt = 763,689 t=1 87 t=1 87

¯ (Pt − P )2 = 250,122 ¯ ¯ (Ct − C)(Pt − P ) = −3,87222 t=1 Ct Pt = 1059,03 t=1 1. Idatz ezazu proposatutako ereduaren lagin erregresio funtzioa. 2. Interpreta ezazu P aldagaiari laguntzen dion koeﬁziente estimatua. 3. Komenta ezazu 1 Ereduko hondarren graﬁkoa.
Hondarrak (= benetakoak - estimatutakoak C) 0.4

0.3

0.2 hondarrak

0.1

0

-0.1

-0.2 1975 1980 1985 1990

4. Perturbazioei dagokienez, zeintzu balizko dira beharrezkoak KTAko estimatzailea alboragabea eta bariantza minimodunekoa izateko? Eta zeintzu balizko dira beharrezkoak kontrasteak burutzeko? 5. Zein izango litzateke lagin erregresio funtzioa baldin eta prezioa dolarretan neurtuta egongo balitz? 6. 1 Eredua estimatzeko ondorengo hiru laginak izango bazenitu, zein aukeratuko zenuke?, zergatik?
T T

1 Lagina: t=1 T

Pt = 763,689 t=1 T

¯ (Pt − P )2 = 250,122 ¯ (Pt − P )2 = 250, 122 t=1 T

2 Lagina: t=1 T

Pt = 1528, 72 Pt = 763,689 t=1 t=1

3 Lagina:

¯ (Pt − P )2 = 1427,53

Azterketak BIGARREN ZATIA

57

Adituaren ustez eskuragarri dagoen informazio guztia erabili beharko litzateke, hau da, R, GG eta GA aldagai azaltzaileak barneratu behar direla. Gainera, urtealdien eragina ere dagoela uste duenez, eragin hau ere barneratzea proposatzen du. Lortutako emaitzak ondorengoak dira: 2 Eredua: KTA estimazioak 87 behaketak erabiliz 1972:2–1993:4 Aldagai azaldua: C Aldagaia const P R GG GA T1 T2 T3 Koeﬁzientea Desb. Tipikoa t-estatistikoa p-balioa 0,0000 0,0000 0,6343 0,0000 0,0001 0,0723 0,0000 0,0050

1,51245 0,185656 8,1465 −0,0183643 0,00367426 −4,9981 −0,0237213 0,0496714 −0,4776 0,000315050 6,66471e-05 4,7271 0,000271690 6,67348e-05 4,0712 0,0618902 0,0339737 1,8217 −0,101471 0,0174882 −5,8023 −0,0969562 0,0335817 −2,8872 Aldagai azalduaren batezbestekoa 1,39180 Aldagai azalduaren Desb. Tip. 0,114691 Hondar Karratuen Batura 0,224640 Hondarren desbiderazio tipikoa (ˆ ) 0,0533249 σ R2 0,801423 F (7, 79) 45,5472 Koeﬁzienteen kobariantza matrizea const 0, 0344680 P −0, 000259498 1, 35002e-05 R −0, 00897920 3, 97556e-05 0, 00246725 GG −1, 93970e-06 −5, 24712e-08 3, 86567e-07 4, 44184e-09 GA −1, 32220e-06 4, 27576e-08 −1, 46828e-07 6, 86680e-10 4, 45354e-09 const P R GG GA T1 T2 T3

const P R GG GA

T1 6, 88406e-05 −2, 88999e-05 0, 000142998 5, 18844e-07 −1, 81807e-06 0, 00115421

T2 −0, 000432298 −3, 96267e-06 6, 37452e-05 4, 56362e-07 9, 56454e-08 0, 000171641 0, 000305836

T3 0, 000199087 3, 14452e-05 −0, 000176668 −1, 51230e-06 1, 00700e-06 −0, 000589067 −1, 88856e-05 0, 00112773

non T it i = 1, 2, 3 bat balio hartzen duen baldin eta t behaketa i hiruhilabetekoa bada eta zero bestela. 1. Idatz ezazu proposatutako erregresio eredu lineal orokorra. 2. Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa.

58 3. Idatz itzazu X matrizearen lehen zortzi errenkadak.

Ekonometriarako Sarrera

4. Zenbat aldagai azaltzaile daude ereduan? Zeintzuk dira? Zein da bakoitzarekin jaso nahi den eragina? 5. Interpreta ezazu T 1 aldagaiari laguntzen dion koeﬁziente estimatua. 6. Idatz eta interpreta ezazu doikuntzaren neurriren bat. 7. Zein da 2 Ereduaren arabera, 1972. urteko hirugarren hiruhilabeteko kontsumo estimatua? 8. Kontrasta ezazu prezioa aldagaiaren banakako esanguratasuna. 9. Kontrasta ezazu 2 Ereduko aldagai azaltzaileen baterako esanguratasuna. 10. Eskuragarri dagoen lagina emanik, arrazoizkoa litzateke elektrizitate-energiaren kontsumoaren gain hotz eta bero gehiegiren eraginak berdinak direlaren ondoriora iristea? HIRUGARREN ZATIA Adituak, kontsumoaren gain prezioak duen eragina urtealdien menpekoa izan daitekela usten du eta ereduan barneratzea proposatzen du ondorengo emaitzak lortuz: 3 Eredua: KTA estimazioak 87 behaketak erabiliz 1972:2–1993:4 Aldagai azaldua: C Aldagaia const P R GG GA T1 T2 T3 P×T1 P×T2 P×T3 Koeﬁzientea 1,44868 −0,0110979 −0,0165127 0,000280920 0,000209866 0,223897 −0,0417493 −0,103249 −0,0169892 −0,00776086 0,000123345 Desb. Tipikoa 0,159515 0,00352413 0,0421661 5,74401e-05 5,83634e-05 0,0398565 0,0285825 0,0361301 0,00305297 0,00301563 0,00297833 t-estatistikoa 9,0818 −3,1491 −0,3916 4,8907 3,5958 5,6176 −1,4607 −2,8577 −5,5648 −2,5735 0,0414 p-balioa 0,0000 0,0023 0,6964 0,0000 0,0006 0,0000 0,1482 0,0055 0,0000 0,0120 0,9671

Hondar Karratuen Batura 0,153731 Hondarren desbiderazio tipikoa (ˆ ) 0,0449752 σ R2 0,864105 F (10, 76) 48,3257 1. Interpreta ezazu ereduaren estimazioan lortutako -0,00776086 balioa. 2. Zein da, ceteris paribus, prezioaren dolarraren zentimo gehigarri baten eragina batezbesteko kontsumoaren gain? Konstantea delaren lagin ebidentziarik ba al dago? 3. Nola kontrastatuko zenuke energia elektrikoaren kontsumoan urtealdiak eragiten duen?

Azterketak

59

Praktikazko azken azterketa (2008ko urtarrilaren 29)
Praktika honekin ebaluatuko diren gaitasun espeziﬁkoak ondorengoak dira: 1. Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlazioak zehaztu ahal izateko. 2. Iturri estatistiko nabarienak antzeman, aldagai ekonomikoen informazio estatistikoa antolatzeko eta sistematizatzeko. 3. Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko. 4. Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko. PRAKTIKA: Praktika honetan erabili behar dituzuen datuak4 DATUAK-C karpetaren barnean duzuen Soldatak-AZT.gdt ﬁtxategian dituzue. ﬁtxategiko

NIHON.SA enpresak bere langileen soldata (S) zehazten duten aldagaiak ezagutu nahi ditu soldataren gaineko sexu bereizkeriarik dagoen ala ez aztertzeko. Analisi honen arduradunek langileen soldata sexuaren, heziketa mailaren, (F , hezkuntza urteetan neurtuta) eta duten lan esperientziaren, (E, lanpostu berdinean egindako urte kopuruan neurtua) funtzioan egon behar dela pentsatzen dute. Gainera heziketak eta esperientziak soldataren gain duten eragina sexuaren menpekoa dela susmatzen dute. 1. Soldataren gain sexu bereizkeriarik dagoen ala ez analizatzeko eta arduradunen susmoa kontrastatzeko, zehaz eta estima ezazu langileen soldata eskuragarri dituzun aldagaien menpean. Arrazona eta azal itzazu azken zehazpenera heldu arte jarraitu dituzun pausu guztiak, kontrasteetan eta erabilitako estimatzaileen propietateetan oinarrituz. 2. Idatz ezazu proposatu duzun azken eredua eta interpreta itzazu estimazio emaitza guztiak. 3. Aukeratu duzun zehazpenean oinarrituz, erantzun itzazu ondorengo galderak: a) A pertsonak B pertsonak baino bi urte gehiago daramatza lanean lanpostu berean. Ereduan oinarrituz, zein izango litzateke beraien soldataren arteko diferentzia estimatua?, eta biak gizonezkoak izango balira? b) Pertsona batek 12 urteko heziketa eta hiru urte enpresan lanean badaramatza, zein da ereduaren arabera bere estimatutako soldata?, eta gizonezkoa izango balitz? c) Zein da gizon eta emakume baten arteko estimatutako soldata diferentzia? d ) Zein da esperientziaren estimatutako eragin estimatua, ceteris paribus, soldataren gain?, eta emakume batentzat?, eta gizon batentzat?

4

G. Koop, Analysis of Economic data, Wiley, 2000 liburutik ateratako datuak.

60

Ekonometriarako Sarrera

Idatzizko azken azterketa (2008ko ekainaren 4)
Proba honekin ebaluatuko diren gaitasun espeziﬁkoak ondorengoak dira:
1 Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlazioak zehaztu ahal izateko. 3 Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko. 4 Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko.

Etxez etxeko zerbitzua eskeintzen duen Italiar jatetxe baten jabeak bere eremuko egoileen urteroko pizza kotsumoa (Ci , eurotan) azaldu nahi du. Horretarako, bere bezeroetatik berrogei enkesta bat egin die5 . Jabearen iritziz ondorengo aldagaiak nabariak lirateke urteroko kontsumoa azaltzeko: 1) Ri : urteroko errenta mila eurotan. 2) Ai : adina, urteetan. 3) Sexua (gizona edo emakumea) 4) Ikasketa maila, zeina lau kategorietan banatua agertzen den (ikasketarik gabe, lehen mailakoak, bigarren mailakoak eta goi mailako ikasketak). Cuadro 2.1: Lehen behaketak Beh. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 . . . Ci Ri 109 15 0 30 0 12 108 20 220 15 189 30 64 12 262 12 64 28 35 22 94 44 71 10 403 222 . . . . . . Ai 45 20 28 25 35 40 22 30 21 40 21 45 36 . . . Sexua Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea Emakumea . . . Ikasketa maila Ikasketarik gabe Ikasketarik gabe Ikasketarik gabe Ikasketarik gabe Lehen mailakoak Lehen mailakoak Lehen mailakoak Lehen mailakoak Lehen mailakoak Bigarren mailakoak Bigarren mailakoak Bigarren mailakoak Goi mailakoak . . .

LEHEN ZATIA (2,75 puntu)
5

Iturria: Hill, Griﬃths eta Judge (2001) “Undergraduate Econometrics”, Wiley.

Azterketak

61

Ikerketa burutzeko jabeak kontratatu duen adituak, kontsumoa errentaren menpean zehazten duen eredu lineal bakun batekin hasten da: Ci = β1 + β2 Ri + ui Ondorengo lagin informazioa erabiliz:
40 40

i = 1, . . . , 40.

(2.5)

Ci = 7662 i=1 40 i=1 40

¯ (Ci − C)2 = 947651, 9 ¯ (Ri − R)2 = 6041478 i=1 40

Ri = 17170 i=1 40

Ci Ri = 4169550 i=1 i=1

¯ ¯ (Ci − C)(Ri − R) = 880636, 5

1. Idatz ezazu proposatutako ereduaren lagin erregresio zuzena. 2. Interpreta ezazu errenta (R) aldagaiari dagokion koeiziente estimatua. 3. Kalkula ezazu kontsumoa eta errentaren arteko lagin koerlazio koeﬁzientea. Zein da mugatze koeﬁzientearekin duen erlazioa? Kalkula eta interpreta ezazu mugatze koeﬁzientea. 4. Komenta ezazu 1 Ereduaren hondarren graﬁkoa.
Hondarrak (= benetakoak - estimatutakoak C) 400

300

200

hondarrak

100

0

-100

-200

-300 0 5 10 15 20 25 30 35 40

5. Zeintzuk dira beharrezkoak diren oinarrizko hipotesiak KTAko estimatzailea alboragabea izan dadin? 6. Kontsidera ezazu ondorengo eredua: Ri = α1 + α2 Ci + vi i = 1, . . . , 40. (2.6)

α2 eta β2 -ren estimazioak berdinak dira? (2.5) eta (2.6) ereduko mugatze koeﬁzienteak berdinak dira?, zergatik? BIGARREN ZATIA (3,5 puntu) Adituaren ustez eskuragarri duen informazio guztia erabili beharko luke, hau da, 2.1 Taulako aldagai azaltzaile guztiak. Honela bada, ondorengo eredua estimatzen du.

62

Ekonometriarako Sarrera 2 Eredua: KTA estimazioak 40 behaketak erabiliz 1–40 Aldagai azaldua: C

Aldagaia const R A E LM BM GM

Koeﬁzientea 439,872 0,283674 −8,8409 −181,85 73,1179 −6,4715 −48,752

Desb. Tipikoa 56,2518 0,0428834 1,49434 25,8175 37,1903 40,2046 59,1766

t-estatistikoa 7,8197 6,6150 −5,9163 −7,0438 1,9661 −0,1610 −0,8238

p-balioa 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0578 0,8731 0,4159

Hondar Karratuen Batura 215476, Hondarren desbideratze tipikoa (ˆ ) 80,8059 σ R2 0,772621 F (6, 33) 18,6887 non Ei bat balioa hartzen duen baldin eta bezeroa emakumezkoa bada eta zero bestela; LMi bat balioa hartzen duen baldin eta bezeroak lehen mailako ikasketak baldin baditu eta zero bestela; BMi bat balioa hartzen duen baldin eta bezeroak bigarren mailako ikasketak baldin baditu eta zero bestela; eta GMi bat balioa hartzen duen baldin eta bezeroak goi mailako ikasketak baldin baditu eta zero bestela. 1. Idatz ezazu proposatu duen eredua. Zenbat aldagai azaltzaile daude ereduan?, zeintzuk dira? 2. Idatz ezazu lagin erregresio funtzioa. 3. Interpreta ezazu LM aldagaiari dagokion koeﬁziente estimatua. 4. Interpreta ezazu (439, 872 − 181, 85) koeﬁziente estimatuen batura. 5. 2 Ereduan oinarrituz, zein da goi mailako ikasketak dituen bezero baten kontsumo estimatua? 6. Kontrasta ezazu sexu aldagaiaren banakako esanguratasuna. 7. Eskuragarri duzun informazioarekin emakumeek gizonek baino, ceteris paribus, 200 euro gutxiagoko pizza kontsumoa dutela baieztatzea arrazoizkoa litzateke? 8. Nola kontrastatuko zenuke ikasketa maila aldagaiaren banakako esanguratasuna?

HIRUGARREN ZATIA (2,75 puntu) Adituaren ustez, errentak kontsumoaren gain duen eragina sexuaren menpekoa izan daiteke. Ondorioz, eragin hau barneratzea proposatzen du ondorengo estimazio emaitzak lortuz: 3 Eredua: KTA estimazioak 40 behaketak erabiliz 1–40 Aldagai azaldua: C

Azterketak Aldagaia const R A E LM BM GM R× E Koeﬁzientea 398,164 0,395667 −8,9736 −115,72 71,7391 −11,153 −56,106 −0,00152513 Desb. Tipikoa 56,3474 0,0645538 1,41315 38,4135 35,1439 38,0446 56,0092 0,000684368 t-estatistikoa 7,0662 6,1293 −6,3501 −3,0126 2,0413 −0,2932 −1,0017 −2,2285

63 p-balioa 0,0000 0,0000 0,0000 0,0050 0,0495 0,7713 0,3240 0,0330

Hondar Karratuen Batura 186528, Hondarren desbideratze tipikoa (ˆ ) 76,3479 σ 2 R 0,803168 F (7, 32) 18,6536 1. Idatz ezazu proposatu den eredua. 2. Zein da, ceteris paribus, errentaren 1000 euroko igoera baten eragina batezbesteko kontsumoaren gain? Konstantea delaren segurtasunik badago? 3. Zein da goi mailako ikasketak dituen bezero baten estimatutako konstumoa? 4. Nola kontrastatuko zenuke sexu aldagaiaren esanguratasuna? 5. Idatz ezazu estimatutako ereduari dagokion X matrizearen lehen hamar errenkadak. 6. Laginean bakarrik lehen hamar behaketa hauek izenez gero, zeintzuk lirateke lorturiko emaitzak?

64

Ekonometriarako Sarrera

Praktikazko azken azterketa (2008ko ekainaren 49)
Praktika honekin ebaluatuko diren gaitasun espeziﬁkoak ondorengoak dira:
1. Eredu ekonometrikoen oinarrizko elementuak era zorrotz batean analizatu, zehazpen ekonometrikoaren logika ulertzeko eta aldagai ekonomikoen arteko kausazko erlazioak zehaztu ahal izateko. 2. Iturri estatistiko nabarienak antzeman, aldagai ekonomikoen informazio estatistikoa antolatzeko eta sistematizatzeko. 3. Ekonometria eta estatistikako metodo aproposak eta eskuragarri dauden informatikazko tresnak menperatu, eredu ekonometrikoak estimatzeko. 4. Lorturiko emaitzak era egoki batean interpretatu txosten ekonomikoak egiteko.

PRAKTIKA: Praktika honetan erabili behar dituzuen datuak6 DATUAK-C karpetaren barnean duzuen Liburuak-azt.gdt ﬁtxategian dituzue.

ﬁtxategiko

Argitaletxe batek, bere salmentetan eragiten duten aldagaiak ezagutu nahi ditu. Horretarako, 1992:1-2001:4 epeari dagokion salmenta (S, mila eurotan), publizitate gastua (P G, eurotan), batezbesteko prezioa (P , eurotan) eta batezbesteko lehia-prezioaren (LP , eurotan) hiruhilabeteroko datuak eskuragarri ditu. Ikerketa honen arduradunek, salmentak aldizkako joera bat dutela susmatzen dute. Eskuragarri duzun informazio guztian oinarrituz, susmo honen aldeko segurantzarik dago? 1. (4 ptu) Zehaz eta estima ezazu liburuen salmenta azaltzen duen eredu bat aurreko galderari erantzuteko asmoarekin. Arrazona eta azal itzazu azken zehazpenera heldu arte jarraitu dituzun pausu guztiak, kontrasteetan eta erabilitako estimatzaileen propietateetan oinarrituz. 2. (3 ptu) Idatz ezazu proposatu duzun azken eredua eta interpreta itzazu estimazio emaitza guztiak. 3. (2 ptu) Aukeratu duzun zehazpenean oinarrituz, erantzun itzazu ondorengo galderak: a) Zenbatean estimatzen duzu 1998 urteko lehen hiruhilabetearen salmentak? Zein da benetako salmentarekiko duen diferentzia? Zein da diferentzia honek jasotzen duen izena? b) 2002 urteko lau hiruhilabetei dagozkien prezioak eta publizitate gastuak eskuragarri izanik: Prezioa 17,71 19,85 19,99 21,02 Lehia-prezioa 20,54 22,67 23,01 24,37 Publizitate gastuak 3573 2887 3339 3852

2002:1 2002:2 2002:3 2002:4

1) Lor ezazu 2002 urteko hirugarren hiruhilabeteko salmentaren puntuzko aurresana. 2) Lor ezazu 2002 urteko salmenta totalaren puntuzko aurresana.
6

Iturria: Econometr´ Alonso Fern´ndez Gallastegui (2005), Prentice Hall. ıa, a

3 Informatika Laborategia

65

66

Ekonometriarako Sarrera

3.1.

Proposatutako ariketak

JARRAIBIDE OROKORRAK GRETL programa erabiliko dugu Erregresio Lineal Orokorreko Eredua aztertzeko. GRETL programara atzitzeko: Pantalla de INICIO: Gretl-basque ikonoan pintxatu (klik bikoitza) Saioaren zehar sortzen duzuen informazioa (graﬁkoak, ereduen estimazioak, datuak etab) gordetzeko partekatutako direktorio bat gaitu zaizue: Mi P C C : \Documents and Settings\All users\Documentos Compartidos\GRET L

Partekatutako direktorio bat denez, ordenagailu berbera erabiltzen duten guztientzat gaituta dago, hau da, edonork erabili dezaken direktorioa da. Arrazoi honegatik hurrengo pausuak jarraitu beharrekoak dira: Klasea hasterakoan direktorio honetan sartu eta bertan dagoen guztia (zerbait baldin badago) ezabatu. Saioan zehar Gretlekin lan egiterakoan sortzen diren ﬁtxategiak hemen gorde. GRETL saioa amaitzerakoan: • Direktorio honetako eduki guztia zuen diskette edo pen-drive barnean gorde. • Direktorio barneko eduki guztia ezabatu hurrengo erabiltzaileak garbi aurki dezan.

Ariketa 13. GRETL PROGRAMARAKO SARRERA FITXATEGIA Lan ekonometriko bat aurrera eramateko eredu ekonometrikoaz (helburua) gain, aldagaien datuak behar dira analisia aurrera eramateko. GRETL programan datu ﬁtxategiak izateko hiru aukera dituzue: 1. Datu ﬁtxategia eraiki. Kontsidera dezagun daukazuen “Ariketa 4”. Ariketa honetan hiru aldagaien datuak behar ditugu: aldagai azaldua (Y) eta bi aldagai azaltzaile (X1 eta X2). Fitxategia −→ Datu-ﬁtxategi berria −→ Behaketen kopurua −→ Gurutzatutakoak Behin sartuta daudenean: Fitxategia −→ Gorde datuak −→ izena.gdt 2. Eraikita dagoen datu ﬁtxategi bat irakurri. Formatua Gretl, Excel,.. delarik. Fitxategia −→ Ireki datuak −→ Erabiltzaile ﬁtxategia −→ ····· 3. GRETL berak eskeinitakoak. Testu-liburuetako datu ﬁtxategi batzuk barneraturik dauzka. Fitxategia −→ Ireki datuak −→ Lagindegi ﬁtxategia −→ ····

Informatika-laborategia

67

Demagun Ramanathan liburuko 7.12 data ﬁtxategia ireki nahi dugula. Fitxategi honek aldagai multzo bat dauka. Hauetatik batzuk bakarrik erabiltzea interesatzen bagaitu, Orduan hoiek beste ﬁtxategi batean gordetzeko aukera dago: Fitxategia −→ Gorde datuak honela −→ Gretl −→ ······ TRESNAK Hemen gauza desberdinak aurkitu daitezke: banaketen taulak, p-balioak, . . . DATUAK 1. Erakutsi balioak 2. Editatu balioak 3. Gehitu behaketak IKUSI (aukeratu aldagai bat) 1. X-Y graﬁkoa ESKUMAKO BOTOIA: Gorde postscript bezala−→ ········ Gorde arbelan −→ ········ Word(adibidez) Gorde ikono bezala saioan −→ ····· Gorde arbelan −→ ········ Word(adibidez) Imprimatu −→ ········ Editatu −→ ······ 2. 3D graﬁkoak eta graﬁko anizkoitzak BERDINA: 3. Estatistikoen laburpena 4. Koerlazio matrizea GEHITU 1. Aukera desberdinak 2. Deﬁnitu aldagai berria LAGINA (aurreraro ikusiko dugu) ALDAGAIA 1. Erakutsi balioak 2. Estatistikoen laburpena 3. Maiztasunen banaketa 4. Maiztasunen graﬁkoa EREDUA 1. Karratu Txikienen Arruntak

OHARRA: EGITEN DUZUEN GUZTIA GORDE!! BESTELA DENA GALTZEN DUZUE

68

Ekonometriarako Sarrera

Ariketa 14. Daukazuen ﬁtxategian Y , X1 eta X2 aldagaien 30 behaketa dituzue. Demagun: • Y → S: A ondasunaren salmentak, mila eurotan • X1 → P G: publizitatean egindako gastua, mila eurotan • X2 → P : prezioa eurotan Horrela izendaturik ez badauzkazuez, aldaketa egiteko: 1. Datu ﬁtxategia ireki 2. Aldagai bat aukeratu 3. Arratoiaren eskumako botoia pintxatu 4. Ezaugarriak editatu Aldagaiari izena aldatu, deskribapena jarri,... 5. Beste aldagaientzat aurreko pausuak errepikatu A atala Estima ezazu ondorengo eredu bakuna: Si = β1 + β2 P Gi + ui (3.1)

A.0 Egin ezazu P G-rekiko Sren graﬁka eta komenta itzazu emaitza. Zein da espero duzun zeinua β1 koeﬁzientearentzat? A.1 Estima ezazu eredua KTAn bitartez Eredua → Karratu Txikienen Arruntak Gorde eredua saioan ikono bezala: Modelo menuan: Fitxategia → Gorde ikono bezala saioan A.2 Irteeraren interpretazioa Lehen ereduaren estimazio pantailan menu bat daukagu: - Balioen taula: benetakoak, estimatutakoak eta hondarrak Analisia → Erakutsi benetakoak, estimatutakoak, hondarrak - KTAko estimataileen bariantza eta kobariantza matrizea Analisia → Koeﬁzienteen konﬁdantza tarteak - Interesgarriak diren aldagaiak (estimatutako balioak, hondarrak...) datu-ﬁtxategian gordetzeko: Gorde → Estimatutako balioak - Graﬁka: hondarrak Graﬁkoak → Hondarren graﬁkoa

Informatika-laborategia - Graﬁka: benetako balioak vs estimatutakoak Graﬁkoak → Estimatutakoa vs benetakoa B atala Estima ezazu ondorengo eredu bakuna: S i = β 1 + β 2 P i + ui B.1 Errepikatu ezazu aurreko ataleko pausuak B.2 Konpara itzazu lorturiko emaitzak aurreko atalean lortutakoekin C atala Estima ezazu ondorengo eredu orokorra: Si = β1 + β2 Pi + β3 P Gi + ui C.1 Errepikatu ezazu aurreko guztia C.2 Konpara itzazu (3.1), (3.2) eta (3.3) ereduetako emaitzak

69

(3.2)

(3.3)

D atala Aldagai guztak unitate berdinetan izateko asmotan, prezio aldagaia mila eurotara pasatzen dugu: Pi = D.1 Estima ezazu berriro (3.3) eredua D.2 Zeintzu ondorio izan ditu? E atala Demagun prezioaren eragina eta publizitate gastuaren eragina berdinak baina kontrako ikurrekoa dela BAIEZTATZEN dizutela: E.1 Zein da dagokion murrizketa? E.2 Estima ezazu (3.3) eredua murrizketa hau kontuan izanik Ariketa 15. North Andoverren (Massachusetts) zabor errausketa bat eraikitzen hasi ziren 1981. urtean. Higiezin agente batek, inguruko etxeen prezioarengan eraiketa honek sorterazitako efektua analizatu nahi du. Analisi honetarako ondorengo aldagaiak ditu1 : • P S (price): etxebizitzaren salmenta prezioa USA dolarretan • D (distantzia): etxebizitzatik zabor errausketara dagoen distantzia oinetan • A (inst): etxebizitzatik autopistara dagoen distantzia oinetan (feet) • S (area): etxebizitzaren bizigarritasun azalera oin karratuetan (feet)
1

Pi 1000

Wooldridge 6.8 ariketa

70 • F (land): lursailaren azalera oin karratuetan (squared feet)

Ekonometriarako Sarrera

Etxebizitzen salmentei dagozkien 321 datuak Wooldridge- KIELMC ﬁtxategian aurkitzen dira. Fitxategi honek aldagai asko dituenez, lanean hasi baino lehen aparteko ﬁtxategia irekitzen dugu (P , D, A, S, F , Y 81 eta year) aldagaiekin. Eraikitako ﬁtxategi hau gorde. Higiezin agenteak ekonometriari buruz ez dakienez adituei laguntza eskatzen diete. A ATALA Aditu batek ondorengo eredua estimatzea propoatzen dio: lnPi = β1 + β2 lnDi + ui Ze zeinu espero duzu β2 koeﬁzientearentzat? Interpreta itzazu ereduko koeﬁzienteak Koeﬁzienteen Interpretazioa Aurreko (3.4) eredua koeﬁzienteekiko lineala da baina ez aldagai azaltzaileekiko. Ondorioz koeﬁzienteen interpretazioa ez da ohikoa: Betiko eredu bakunean: Yi = β1 + β2 Xi + ui ∂E(Yi ) = β2 ∂Xi Baina aldagaiak logaritmoetan neurturik daudenean: lnYi = β1 + β2 lnXi + ui E(Yi /Xi = 0) = β1 E(lnYi /lnXi = 0) = E(lnYi /Xi = 1) = β1 ∂E(lnYi ) ∂lnXi = β2 ∂Xi ∂Xi Beraz: −→ 1 ∂E(Yi ) 1 = β2 Yi ∂Xi Xi i = 1, ..., 321

∂E(Yi ) Yi = β2 ∂Xi Xi denez, X unitate batean handitzean, Y -ren batazbesteko gehikuntza ez da konstante mantentzen, X eta Y datuen menpean dago. Baina β2 askatuz: ∂E(Yi ) Xi ∂E(Yi )/X β2 = = ∂Xi Yi ∂Xi /Yi → β2 Y ren Xrekiko elastikotasuna da, hau da, X %1ean handitzean Y ren batazbesteko gehikuntza %β2 da B ATALA Estima ezazu eredua KTAn bitartez Horretarako, aldagaiak logaritmoetan jarri behar dituzue: Gehitu → Aukeratutako aldagaien logaritmoak

Informatika-laborategia Interpreta itzazu lortutako emaitzak: koeﬁziente estimatuak, mugatze koeﬁzientea,... C ATALA

71

Beste aditu batek, salmenta prezioak azaltzeko aldagai azaltzaile gehiago kontuan hartu behar direla dio. Beste honek proposatzen duen eredua honakoa da: lnPi = β1 + β2 lnDi + β3 lnAi + β4 lnFi + ui Estima ezazu eredua KTAk erabiliz Interpreta itzazu lorturiko emaitza guztiak Interpreta ezazu hondarren graﬁka D ATALA Hirugarren aditu batek, datuak begiratzerakoan, 1981 urtean eta arinago saldutako etxebizitzen datuak laginean barneraturik daudela konturatzen da. Zabor erruaskinaren efektua analizatzeko, zer-nolako lagina beharko genuke? Estima ezazu (3.4) eredua Y 81 aldagaia barneratuz, nolakoa da aldagai hau? Begira itzazu bere balioak urteekin (year aldagaia). Interpreta itzazu emaitzak eta baita hondarren graﬁka ere E ATALA Demagun aurretiko ikerketetan oinarrituz, etxebizitzaren bizigarritasun azalerak eta lursailaren efektuak berdinak direla uste dugula. Zein da dagokion koeﬁzienteen murrizketa? Estima ezazu eredua Murriztutako Karratu Txikienen Arrunten bitartez Konpara itzazu emaitzak F ATALA Erabili diren aldagai batzuk ”oinetan´´ neurturik daude, unitate hauetara ohituta ez dagoenez, higiezin agenteak metroetara pasatzea eskatzen du (oin bat = 0,30477999 metro): Eraldatu itzazu beharrezkoak diren aldagaiak Gehitu → Deﬁnitu aldagai berria Estima ezazu (3.4) eredua erldutako aldagaiekin Komenta lortutako emaitzak i = 1, ..., 321

OHARRA: EGITEN DUZUEN GUZTIA GORDE!! BESTELA DENA GALTZEN DUZUE

72

Ekonometriarako Sarrera

Ariketa 16. Familiek oporretako ibilbideetan egindako distantzia estimatzeko asmoarekin, Chicago-ko 200 familiei dagozkien hurrengo aldagaien datuak jaso dira2 : • Di : i familiak oporretan egindako ibilbidearen distantzia, miliatan neurtua. • Ri : i familiaren urteroko batezbesteko errenta, US-ko mila dolarretan neurtua. • Ai : i familiako pertsona helduen batezbesteko adina. • Hi : i familiako umeen kopurua Analisia aurrera eramateko honako eredua proposatzen da: Di = β0 + β1 Ri + β2 Ai + β3 Hi + ui 1. Estima ezazu (3.4) eredua KTAk erabiliz. 2. Kontrasta ezazu aldagai azaltzaile bakoitzaren banakako esanguratasuna. 3. Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen baterako esanguratasuna. 4. Estima ezazu honako eredua KTAn bitartez eta konpara itzazu lortutako emaitzak hasierako (3.4) ereduko emaitzekin. Di = α0 + α2 Ai + α3 Hi + ui (3.5) (3.4)

5. Estima ezazu honako eredua KTAn bitartez eta konpara itzazu lortutako emaitzak hasierako (3.4) ereduko emaitzekin. Di = γ0 + γ1 Ri + γ3 Hi + ui (3.6)

6. Estima ezazu honako eredua KTAn bitartez eta konpara itzazu lortutako emaitzak hasierako (3.4) ereduko emaitzekin. Di = δ0 + δ3 Hi + ui (3.7)

Ariketa 17. (Hill et al. liburuko

3

ariketa.)

Demagun Gutbusters Pizza enpresako ekonomistak garela eta pizza kontsumoaren gain errentak duen eragina analizatu nahi dugula. Horretarako adin nagusiko 40 indibiduoetako lagin aleatorio bat eskuratu da zeinetan beraien urteroko pitza kontsumoa eurotan (Ci ), urteroko errenta eurotan (Ri ) eta adinari (Ai ) buruzko informazioa bildu den. Hurrengo erregresio lineal orokorreko eredua proposatzen da: Ci = β0 + β1 Ri + β2 Ai + ui
2 3

(3.8)

Hill, R.C., W.E. Griﬃths eta G.E. Judge (2001) “Undergraduate Econometrics”, 2. edizioa, Wiley. Hill, R.C., W.E. Griﬃths eta G.E. Judge (2001) “Undergraduate Econometrics”, 2. edizioa, Wiley.

Informatika-laborategia a) b) c) d) Interpreta itzazu ereduko koeﬁzienteak. Estima ezazu (3.8) eredua KTAn bidez. Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen banakako esanguratasuna. Kontrasta ezazu aldagai azaltzaileen baterako esanguratasuna.

73

Aurreko (3.8) ereduan, errenta euro batean gehitzerakoan pitza kontsumoan espero den gehikuntza β1 eurotakoa dela suposatzen ari gara, indibiduoaren edozein adinarentzat. 1 HIPOTESIA: Indibiduoaren urteroko errenta euro batean gehitzerakoan pitza kontsumoaren gain duen eragina indibiduoak une horretan duen errentaren menpekoa da. Baliteke arrazoiazkoa pentsatzea indibiduoaren errenta handitzean, euro gehigarri horren zati txikiago bat pitza kontsumora zuzentzea. Eragin hau barneratzeko era bat ondorengo eredua zehaztea litzateke:
2 Ci = γ0 + γ1 Ri + γ2 Ri + γ3 Ai + u2i

(3.9)

Zehaztutako (3.9) ereduan: a) Zein da urteroko pitza kontsumoaren batezbesteko gehikuntza indibiduoaren urteroko errenta euro batean handitzean? Eta bere urteroko errenta 15000 eurotakoa balitz? Eta bere urteroko errenta 45000 eurotakoa balitz? b) Estima ezazu (3.9) eredua KTAn bidez. c) Kontrasta ezazu errentaren esanguratasuna. d ) Kontrasta ezazu kontsumoa eta errentaren arteko erlazioa lineala delaren hipotesia. 2 HIPOTESIA: Indibiduoaren urteroko errenta euro batean gehitzerakoan pitza kontsumoaren gain duen eragina indibiduoaren adinaren menpekoa da. Baliteke arrazoiazkoa pentsatzea indibiduoa zenbat eta zaharragoa izatean, pitza kontsumoaren propentsio marginala txikitzea, hau da, euro gehigarri horren zati txikiago bat pitza kontsumora zuzentzea. Laburtuz, sinesgarriagoa litzateke errenta handitzean pitza kontsumoaren gain duen eragina indibiduoaren adinaren menpekoa izatea: elkareragin bat existitzea. Eragin hau barneratzeko era bat ondorengo eredua zehaztea litzateke: Ci = α0 + α1 Ri + α2 Ai + α3 (Ri × Ai ) + u1i (3.10)

a) Zehaztutako (3.10) ereduan: 1) Zein da urteroko pitza kontsumoaren batezbesteko gehikuntza indibiduoaren urteroko errenta euro batean handitzean? 2) Zein da adinaren efektu marginala batezbesteko pitza kontsumoaren gain? b) Estima ezazu (3.10) eredua KTAn bidez. c) Kontrasta ezazu “errentaren gehikuntzaren eragina batezbesteko pitza kontsumoaren gain indibiduoaren urteroko errentaren menpekoa da” hipotesia. d ) Kontrasta ezazu errenta aldagaiaren esanguratasuna.

74

Ekonometriarako Sarrera

3.2.

Gretl-rako Sarrera

Ekonometria Klase Praktikoak

Similar Documents

Popular Essays