Distribuciones continuas
Distribución uniforme
Sea x una variable aleatoria con función de densidad f(x), se dice que x tiene una distribución uniforme con parámetros α,β, si y solo si f(x) es:

1/( β-α) α β x f(x)
1/( β-α) α β x f(x) f(x)= 1/(β-α), α<x<β

0, resto de x

α,β ϵ R f(x)= 1/(β-α), α<x<β

0, resto de x

α,β ϵ R

Probabilidad=αβfxdx
Valor esperado μ(x)= (α+β)/2

Valor esperado μ(x)= (α+β)/2

Varianza v(x)= (β- α)^ 2 /12

Varianza v(x)= (β- α)^ 2 /12

Función Generadora de Momentos M(x) = [ (e^ βt- e^ α t ]/ t. (β- α)
Función Generadora de Momentos M(x) = [ (e^ βt- e^ α t ]/ t. (β- α)

Ejemplos: 1) En un trayecto urbano hay dos semáforos consecutivos de modo que 2.5 minutos después de que el primero se ponga verde se pone rojo el segundo. Ambos se cierran cada 2 minutos, permaneciendo cerrados 30 segundos.
Un conductor se ha detenido en el primero y el tiempo en recorren la distancia entre ambos semáforos es una x(1,4). ¿Cuál es la probabilidad de que se pare en el segundo? 2) El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada. 3) El experimento de lanzar un dado ¿Cuál es la probabilidad de que salga un dos en el primer lanzamiento?

Distribución gamma
Sea una variable aleatoria continua, se dice que tiene distribución Gamma, si y solo si la función de densidad está dada por: [ (x^α-1 . e^ -x/β ]/ Γ(α).β^ α , x >0
0, resto de x

f(x)= [ (x^α-1 . e^ -x/β ]/ Γ(α).β^ α , x >0
0, resto de x

f(x)=

Probabilidad=0∞fxdx
Función Gamma Γ (α)= (α -1). Γ(α -1)

Función Gamma Γ (α)= (α -1). Γ(α -1)

Valor esperado μ(x)= α.β

Valor esperado μ(x)= α.β

Varianza v(x)= α . β^ 2

Varianza v(x)= α . β^ 2

Función Generadora de Momentos M(x) = (1- β.t)^-α
Función Generadora de Momentos M(x) = (1- β.t)^-α

Observación: Su aplicación es generalmente para definir el tiempo de vida.

Ejemplos: 1) Suponiendo que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo a más de dos desviaciones por encima de la media. 2) El tiempo de horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución gamma α =3 y β=2, encuentre la probabilidad de que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas. 3) La corrección gamma en fotografía, televisión y pantallas de ordenador. Gamma es el exponente en una relación entre valores de vídeo o píxeles y el brillo mostrado. En fotografía es la pendiente de la curva de la densidad de la película fotográfica (log(opacidad)) frente al log de la exposición (curva de Hurter-Driffield).

Distribución Exponencial

Gamma (α=1) [ e^ -x/β ]/ β , x >0
0, resto de x

f(x)= [ e^ -x/β ]/ β , x >0
0, resto de x

f(x)=

Probabilidad=0∞fxdx
Valor esperado μ(x)= β

Valor esperado μ(x)= β

Varianza v(x)= β^ 2

Varianza v(x)= β^ 2

Función Generadora de Momentos M(x) = (1- β.t)^-1
Función Generadora de Momentos M(x) = (1- β.t)^-1

Ejemplos:

1) El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en ciencia para la dilatación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14. 2) El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente. 3) En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempos iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. El tiempo que transcurrimos entre que sufrimos dos veces una herida importante.

Distribución Beta
Sea x una variable aleatoria continua, se dice que tiene una distribución beta, si y solo si su función de densidad está dada por: [ (x^α-1 . (1-x)^(β-1) ]/ B(α,β) , 0≤x≤1

0, resto de x

f(x)= α,β >0 [ (x^α-1 . (1-x)^(β-1) ]/ B(α,β) , 0≤x≤1

0, resto de x

f(x)= α,β >0

x f(x) 0
1
x f(x) 0
1

Probabilidad=01fxdx
Valor esperado μ(x)= α / (α+β)

Valor esperado μ(x)= α / (α+β)

Varianza v(x)= (α . β) / [(α+β)^2 .(α+β+1)]

Varianza v(x)= (α . β) / [(α+β)^2 .(α+β+1)]

Función Generadora de Momentos M(x) = No está definida
Función Generadora de Momentos M(x) = No está definida

Observación: Sus límites están entre 0 y uno en el eje x, y su aplicación general está basada para causas de proporciones, tasas, porcentajes e índices.

Ejemplos:

1) En el presupuesto familiar, la porción que se dedica a salud sigue una distribución Beta (2,2). ¿Cuál es la probabilidad de que se gaste más del 25% del presupuesto familiar en salud? ¿Cuál será el porcentaje medio que las familias dedican a la compra de productos y servicios de salud? 2) La fracción de cierto mineral presente en muestras geológicas sigue una distribución beta de parámetros α=0.34 y β=7.63. Se quiere saber qué cantidad de dicho mineral se espera encontrar en una muestra de 500 g, así como la probabilidad de que la proporción supere el 3%. 3) El tiempo diario que la gente dedica a observar la televisión.

Distribución Normal
Sea x una variable aleatoria continúa, se dice que tiene una distribución normal con media μx y varianza σx, si y solo si su densidad está dada por: e e
(x- μx)^2
(x- μx)^2

f(x)= -00 < x < +00 f(x)= -00 < x < +00
2.(σx)^2
2.(σx)^2

(2.π)^(1/2) . σx
(2.π)^(1/2) . σx

μx x f(x) μx x f(x) Probabilidad=-∞+∞fxdx

Observación: Es una distribución simétrica. Para su aplicación universal se utiliza la distribución normal estándar, el cual implica por medio de tablas llegar a una aproximación deseada sin necesidad de solucionar integrales complejas.
Ejemplos:
1) Los pesos de los individuos de una población se distribuye normalmente con media 70 kg y desviación típica de 6 kg. De una población de 2000 personas, cuantas personas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 kg? 2) La duración media de un televisor es de ocho años y su desviación típica 0,5 años. Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al adquirir un televisor dure más de nueve años? 3) Se supone que la estancia de los enfermeros en un hospital sigue un distribución normal de media 8 días y desviación típica de 3. Calcular la probabilidad de que la estancia de un enfermero: sea inferior a 7 días, sea superior a 3 días y comprendido entre 10 y 12 días.