Т.Г. ТЮРНЕВА

ПРАКТИКУМ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ

Эконометрика – это наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. (Большой Энциклопедический Словарь – М., БРЭ, 1977) Эконометрические методы – это, прежде всего, методы статистического анализа конкретных экономических данных. Оценка результатов эконометрического моделирования достигается посредством решения качественной и количественной проблемы. Качественная составляющая заключается в установлении соответствия между построенной моделью и основополагающей экономической концепцией, а количественная – в точности аппроксимации имеющейся информации данными расчётов. С практической точки зрения к основным задачам эконометрики можно отнести: • построение эконометрических моделей – представление экономических моделей в математической форме, удобной для проведения эмпирического анализа. Данную проблему называют проблемой спецификации, которую можно решить несколькими способами; • оценку параметров построенной модели, позволяющую характеризовать адекватность модели реальными данными. Указанная задача решается на этапе параметризации; • проверку качества полученной модели в целом. Данная задача реализуется на этапе верификации; • использование построенной модели для прогнозирования. Модель парной линейной регрессии является частным случаем модели многомерной регрессии. Её исследование представляет самостоятельный интерес, так как она имеет многие характерные свойства общих многомерных моделей, но более наглядна и проста для изучения.

Расчетно-графическая работа по эконометрике

Модель парной линейной регрессии

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. 2. Рассчитайте параметры выборочного уравнения линейной регрессии с помощью МНК. 3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (выборочный коэффициент корреляции) и детерминации. 4. Используя критерий Стьюдента оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии и корреляции. 5. Постройте интервальные оценки параметров регрессии. Проверьте, согласуются ли полученные результаты с выводами, полученными в предыдущем пункте. 6. Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения в целом. 7. С помощью теста Гольдфельда – Квандта исследуйте гетероскедастичность остатков. Сделайте выводы. 8. В случае пригодности линейной модели рассчитайте прогнозное значение результата, если значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости [pic]=0,05. 9. Оцените полученные результаты, проинтерпретируйте полученное уравнение регрессии.

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Пусть имеется два ряда эмпирических данных X (x1, x2, …, xn) и Y (y1, y2, …, yn), соответствующие им точки с координатами (xi, yi), где i=1,2,…,n, отобразим на координатной плоскости. Такое изображение называется полем корреляции. Пусть по расположению эмпирических точек можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными X и Y. В общем виде теоретическую линейную парную регрессионную модель можно представить в виде:
Y=[pic] или yi=[pic], i=1,2,…,n;

где Y – объясняемая (результирующая, зависимая, эндогенная) переменная, Х – объясняющая (факторная, независимая, экзогенная) переменная или регрессор; [pic] - теоретические параметры (числовые коэффициенты) регрессии, подлежащие оцениванию; εi - случайное отклонение (возмущение, ошибка).
Основные гипотезы: 1. yi=[pic], i=1,2,…,n, - спецификация модели. 2. Х – детерминированная (неслучайная) величина, при этом предполагается, что среди значений xi – не все одинаковые. 3а. М εi=0, i=1,2,…,n. 3b. D εi=σ2, i=1,2,…,n. Условие независимости дисперсии ошибки от номера наблюдения называется гомоскедастичностью; случай, когда условие гомоскедастичности не выполняется, называется гетероскедастичностью. 3с. М(εi εj )=0 при i ≠ j , некоррелированность ошибок для разных наблюдений. В случае, когда это условие не выполняется, говорят об автокорреляции ошибок. 4. Возмущения являются нормально распределенными случайными величинами: εi ≈ N(0, σ2). Замечание. Для получения уравнения регрессии достаточно первых трех предпосылок. Для оценки точности уравнения регрессии и его параметров необходимо выполнение четвертой предпосылки.

Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным (xi, yi), i=1,2,…,n, для переменных X и Y получить наилучшие оценки неизвестных параметров [pic], т. е. построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии [pic], где [pic]оценка условного математического ожидания М(Y/ X=xi); [pic]оценки неизвестных параметров [pic], называемые эмпирическими коэффициентами регрессии. В каждом конкретном случае можно записать
[pic], i=1,2,…,n,

где отклонения еi – ошибки (остатки) модели, которые являются оценками теоретического случайного отклонения εi.

2. Рассчитайте параметры выборочного уравнения линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). В методе наименьших квадратов оценки [pic] параметров модели строятся так, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок модели по всем наблюдениям. Таким образом, критерий наименьших квадратов записывается в виде:
[pic]
Необходимым условием существования минимума функции S(b0 ,b1) является равенство нулю её частных производных по неизвестным b0 и b1 (для краткости опустим индексы суммирования у знака суммы Σ ):
[pic][pic] [pic] Данная система уравнений называется системой нормальных уравнений для коэффициентов регрессии. Решая эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, например, методом подстановки, получим: [pic] где [pic]выборочные средние значения переменных Х и Y. [pic]. С геометрической точки зрения минимизация суммы квадратов отклонений означает выбор единственной прямой (из всех прямых с параметрами), которая ближе всего «прилегает» по ординатам к системе выборочных точек (xi, yi), i=1,2,…,n.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (выборочный коэффициент корреляции) и детерминации. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существует несколько видов формулы линейного коэффициента корреляции, основные из них:
[pic].
Корреляционная связь между переменными называется прямой, если rxy.>0, и обратной, если rxy 0 – корреляционная связь между переменными называется прямой, а при rxy < 0 – обратной.

Для характеристики силы связи можно использовать шкалу Чеддока.
|Показатель | | | | | |
|тесноты связи |0,1 – 0,3 |0,3 – 0,5 |0,5 – 0,7 |0,7 – 0,9 |0,9 – 0,99 |
|Характеристика | | | | |Весьма высокая |
|силы связи |Слабая |Умеренная |Заметная |Высокая | |

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции rxy2, называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации обозначим R2, т. о. имеем R2 = rxy2. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака Y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Соответственно величина 1- R2 характеризует долю дисперсии Y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели факторов. Замечание. Вычисление R2 корректно, если константа включена в уравнение регрессии.

4. Используя критерий Стьюдента оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии и корреляции. Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Очевидно, что коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии b0 и b1 с некоторыми теоретически ожидаемыми значениями [pic] этих коэффициентов. Данный анализ осуществляется по схеме статистической проверки гипотез. Для проверки гипотезы Н 0 : b1 = β1, Н 1: b1 ≠ β1 используется статистика [pic], которая при справедливости гипотезы Н0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы df = n – 2, где [pic] - стандартная ошибка коэффициента регрессии b1, [pic]. Наиболее важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели является задача установления наличия линейной зависимости между Y и X. Эта проблема может быть решена проверкой гипотезы Н 0 : b1 = 0, Н 1: b1 ≠ 0. Гипотеза в такой постановке обычно называется гипотезой о статистической значимости коэффициента регрессии. При этом если принимается нулевая гипотеза, то есть основания считать, что величина Y не зависит от Х – коэффициент b1 статистически незначим (он слишком близок к нулю). При отклонении Н 0 коэффициент считается статистически значимым, что указывает на наличие определённой линейной зависимости между Y и X. Используемая в этом случае t – статистика имеет вид: [pic] и при нулевой гипотезе имеет распределение Стьюдента с (n -2) степенями свободы. Если вычисленное значение t – статистики - |tфакт| при заданном уровне значимости α больше критического (табличного) t табл , т.е.
|tфакт| > t табл = t(α ; n-2), то гипотеза Н 0 : b1 = 0, отвергается в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости. Это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии b1. Если |tфакт| < tтабл = t(α; n-2), то гипотеза Н0 не отвергается. Критическое значение t табл = t(α;n-2), при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы n -2 находится по таблицам 2 Приложения. По аналогичной схеме на основе t – статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента b0 :
[pic],
где [pic] и [pic]- стандартная ошибка коэффициента регрессии b0 .

5. Постройте интервальные оценки параметров регрессии. Проверьте, согласуются ли полученные результаты с выводами, полученными в предыдущем пункте. Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид: [pic], [pic], которые с надёжностью (1 – α) накрывают определяемые параметры [pic]. Если в границы доверительных интервалов попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр признается статистически незначимым.

6. Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения в целом. Проверить значимость уравнения регрессии – значит, установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, имеющимся данным и достаточно ли включённых в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной. Оценка значимости уравнения в целом дается с помощью F – критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. H0 : β1=0, следовательно, фактор не оказывает влияния на результат. Непосредственному расчету F – критерия предшествует анализ дисперсии результативного признака Y. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения [pic] на две части – «объясненную» и «остаточную» («необъясненную»):

[pic] = [pic] + [pic]
Общая сумма квадратов Сумма квадратов Остаточная сумма отклонений = отклонений, объясненная + квадратов регрессией отклонений

Обозначим SSобщ =[pic], SSR =[pic] и SSост =[pic]. Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df (degree of freedom), т.е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной парной регрессии составляет n - 2 , общей суммы квадратов – n -1 и число степеней свободы для факторной суммы квадратов, т. е. объясненной регрессией равно единице. Имеем равенство: n – 1 = 1+ (n – 2). Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы.
[pic];
[pic];
[pic].

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F –отношения или F – критерий, статистика которого F при нулевой гипотезе
[pic] ~ F(1,n-2) распределена по закону Фишера со степенями свободы (1, n-2). Если вычисленное значение F –отношения - F факт при заданном уровне значимости α больше критического (табличного) F табл , т.е.
F факт > F табл = F(α;1,n-2), то гипотеза Н0 : β1=0 отвергается, признаётся статистическая значимость уравнения регрессии, т.е. связь между рассматриваемыми признаками есть и результаты наблюдений не противоречат предположению о её линейности. Если F факт < F табл = F(α;1,n-2), то гипотеза Н0 не отвергается, уравнение регрессии считается статистически незначимым. Критическое значение F табл = F(α;1,n-2), при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы 1; n -2 находится по таблицам 1 Приложения.

Оценка значимости уравнения регрессии обычно дается в виде таблицы дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ результатов регрессии
| | | | |F - отношение |
|Источники |Число степеней |Сумма квадратов |Дисперсия на одну степень свободы| |
|вариации |свободы |отклонений | | |
| | | | |фактиче- |таблич- |
| | | | |ское |ное |
| |1 |[pic] |[pic] |[pic] |
|Объясненная | | | | |
| |n– 2 |[pic] |[pic] | |
|Остаточная | | | |F табл = F(α;1,n-2) |
| |n– 1 |[pic] | | |
|Общая | | | | |

Величина F – критерия связана с коэффициентом детерминации R2. Значение F – критерия можно выразить следующим образом:
[pic].
Для расчёта коэффициента детерминации можно использовать формулу:
[pic].
Максимальное значение коэффициента R2 равно единице. Это происходит в том случае, когда линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, так что [pic]для всех i и все остатки равны нулю. Если в выборке отсутствует видимая связь между X и Y, то коэффициент детерминации будет близок к нулю. Легко показать, что принцип минимизации суммы квадратов остатков при выполнении определённых условий эквивалентен минимизации дисперсии остатков, следовательно, автоматически максимизируется коэффициент детерминации. 7. С помощью теста Гольдфельда – Квандта исследуйте гетероскедастичность остатков. Сделайте выводы. Гетероскедастичность остатков – это свойство остатков, которое заключается в том, что их дисперсии или разбросы для каждого фиксированного Х являются неоднородными или неодинаковыми. Для обнаружения гетероскедастичности остатков используется визуальный анализ графика зависимости Y от Х, линии тренда и остатков. При малом объёме выборки для оценки гетероскедастичности используют тест Гольдфельда-Квандта, разработанный в 1965г. М.Г. Гольдфельд и Р.Э. Квандт рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора, остатки распределены нормально и не подвержены автокорреляции. ✓ упорядочить все n наблюдений по величине Х; ✓ исключить из рассмотрения «с» центральных наблюдений; ✓ оценить МНК отдельные регрессии для первых n1=[pic] и последних n2=[pic]наблюдений; Замечание. Мощность критерия зависит от выбора значения n1 и n2 по отношению к n. Обычно выбирают n1 = n2 таким образом, чтобы вся совокупность разделилась на три равные части. Однако М.Г. Гольдфельд и Р.Э. Квандт уточняют это правило и рекомендуют брать значения n1 = n2=11, если n=30 и n1 = n2=22, если n=60 [1]. Выдвигается основная гипотеза H0 об отсутствии гетероскедастичности и формируется статистика критерия F, которая в случае справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора соответственно со степенями свободы числителя и знаменателя n2 -2 и n1 -2. ✓ рассчитать значение критерия Фишера [pic], где [pic] и [pic] - дисперсии остатков регрессий для первой и последней групп наблюдений соответственно; ✓ принять статистическое решение: если F факт > F табл = F(α; n2-2, n1-2), то гипотеза H0 отвергается и с вероятностью 1-α утверждается, что гетероскедастичность остатков является достоверной, в противном случае наличие гетероскедастичности является недоказанной.

8. В случае пригодности линейной модели рассчитайте прогнозное значение результата, если значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости [pic]=0,05. Построенная адекватная модель может использоваться для прогнозирования. ▪ Точечный прогноз по уравнению регрессии. Если известно значение независимой переменной хр, то прогноз зависимой переменной осуществляется подстановкой этого значения в полученное эмпирическое уравнение регрессии [pic]. Показателем точности прогноза служит его дисперсия (чем она меньше, тем точнее прогноз):[pic][pic] Подставив вместо [pic] её несмещённую оценку [pic], получим выборочную исправленную дисперсию рассматриваемой случайной величины. Очевидно, что чем больше объем выборки, тем точнее прогноз. При фиксированном объёме выборки прогноз тем точнее, чем больше вариация выборочных данных и чем ближе значение независимой переменной хр к среднему выборочному значению. ▪ Интервальный прогноз среднего значения по уравнению регрессии. Доверительный интервал для М(Y/X=xр) имеет вид: [pic][pic] ▪ Интервальный прогноз индивидуальных значений зависимой переменной. Интервал [pic] определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 100α% точек наблюдений при Х=хр. Данный доверительный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания.
9. Оцените полученные результаты, проинтерпретируйте полученное уравнение регрессии. Существуют два этапа интерпретации уравнения регрессии. Первый этап состоит в словесном истолковании уравнения так, чтобы это было понятно человеку, не являющемуся специалистом в области статистики. На втором этапе необходимо решить, следует ли ограничиться этим или провести более детальное исследование зависимости. Интерпретация линейного уравнения регрессии. Можно сказать, что увеличение х на одну единицу (в единицах измерения переменной х) приведёт к увеличению значения y на b1 единиц (в единицах измерения переменной y). Постоянная b0 дает прогнозируемое значение у (в единицах у), если х=0. Это может иметь или не иметь ясного смысла в зависимости от конкретной ситуации.

Решение с помощью ППП Excel

1. Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры выборочного уравнения линейной регрессии [pic].
Порядок вычисления: 1) введите исходные данные; 2) выделите область пустых ячеек 5х2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики, которая будет выводиться в порядке, указанном в следующей таблице:

|Значение коэффициента b1 |Значение коэффициента b0 |
|Стандартная ошибка |Стандартная ошибка |
|коэффициента b1 – [pic] |коэффициента b0 –[pic] |
|Коэффициент детерминации R2 |Стандартная ошибка регрессии – [pic] |
|[pic] | |
|F - статистика [pic] |Число степеней свободы |
|Регрессионная сумма квадратов – |Остаточная сумма квадратов – |
|SSR =[pic] |SSост =[pic] |

3) в главном меню выберите ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ; 4) в окне Категория выберите СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК; 5) заполните аргументы функции: Известные_ значения_ у – диапазон, содержащий данные результативного признака; Известные_ значения _ х – диапазон, содержащий данные факторного признака; Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 0, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 1, то свободный член равен 0. Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу (Статистика =1) или нет (Статистика =0). Щелкните по кнопке ОК; 6) чтобы раскрыть таблицу 5х2, нажмите на клавишу , а затем – на комбинацию клавиш ++.

Выборочное уравнение регрессии нужно записать в общепринятом виде (под коэффициентами в скобках указать их стандартные отклонения).

2. С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий: 1) в главном меню выберите СЕРВИС/ АНАЛИЗ ДАННЫХ / РЕГРЕССИЯ. Щелкните по кнопке ОК; 2) заполните диалоговое окно ввода данных: Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака; Входной интервал Х – диапазон, содержащий данные факторного признака; Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет; Константа – ноль – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет; и параметров вывода. Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК;

По окончанию расчета на рабочий лист выводится три группы результатов.

Первая группа, Регрессионная статистика, включает в свой состав:

» Множественный R – коэффициент множественной корреляции; » R- квадрат – множественный коэффициент детерминации; » Нормированный R- квадрат – скорректированный коэффициент детерминации; » Стандартная ошибка – стандартная ошибка регрессии; » Наблюдения – количество наблюдений.

Вторая группа результатов – Дисперсионный анализ, здесь использован ряд общепринятых сокращений: df – степени свободы (degree of freedom); SS – сумма квадратов отклонений (Sum of squares); MS – средний квадрат отклонения (Mean square); F – отношение дисперсий; Значимость F – критическое значение квантиля распределения Фишера, на котором отвергается нулевая гипотеза отсутствия влияния фактора. Построчно в таблице выводятся показатели, характеризующие изменчивости: присущую модели и случайную.

Третья группа результатов включает в свой состав значения коэффициентов регрессии, а также статистики, на основании которых проверяется значимость влияния фактора для каждого коэффициента, включенного в модель. Коэффициенты – значения коэффициентов; Стандартная ошибка – стандартная ошибка коэффициентов; t-статистика – значение статистики критерия; Р – значение – уровень значимости отклонения гипотезы равенства коэффициентов нулю; Нижние 95% - нижняя граница доверительного интервала, в котором находится значение коэффициента генеральной совокупности; Верхние 95% - верхняя граница доверительного интервала, в котором находится значение коэффициента генеральной совокупности. При необходимости есть возможность вывести таблицу стандартных и простых остатков, где для каждого значения ряда выводится предсказанное значение, с которым сопоставляется остаток, представляющий разность между прогнозным и реальным значением ряда. Кроме вывода табличной информации, есть возможность просмотреть графики остатков, что позволяет визуально проконтролировать качество подбора модели и отсутствие закономерности в остатках. При построении графика регрессии используем Мастер диаграмм ППП Excel в следующем порядке. ➢ В окне ТИП выберите Точечную диаграмму, позволяющую сравнить пары значений. Щелкните по кнопке Далее. ➢ Заполните диапазон данных и укажите, что ряды находятся в столбцах (строках). Щелкните по кнопке Далее. ➢ Заполните параметры диаграммы на разных закладках: названия диаграммы и осей, значения осей, линии сетки. Щелкните по кнопке Далее. ➢ Укажите место размещения диаграммы и нажмите кнопку Готово. Для более наглядного представления результатов можно добавить линию тренда. Для этого: 1) Выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите ДИАГРАММА\ ДОБАВИТЬ ЛИНИЮ ТРЕНДА; 2) В поле ЛИНИЯ ТРЕНДА на вкладке ТИП выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. В качестве дополнительной информации на диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и коэффициент детерминации, установив соответствующие флажки на закладке ПАРАМЕТРЫ. Щелкните по кнопке ОК

Литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998. 2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – 7-е изд., испр. – М.: Дело, 2005. 3. Скрипченко И.А. Анализ данных в Мicrosoft Excel: учебное пособие. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1999. 4. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие/ И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. 5. Эконометрика: Учебник/ И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М: Финансы и статистика, 2005.

СТАТИСТИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

1. Таблица значений F – критерия Фишера при уровне значимости [pic]

|k2[pic] |1 |2 |3 |
|1 |6,3138 |12,706 |63,657 |
|2 |2,9200 |4,3027 |9,9248 |
|3 |2,3534 |3,1825 |5,8409 |
|4 |2,1318 |2,7764 |4,6041 |
|5 |2,0150 |2,5706 |4,0321 |
|6 |1,9432 |2,4469 |3,7074 |
|7 |1,8946 |2,3646 |3,4995 |
|8 |1,8595 |2,3060 |3,3554 |
|9 |1,8331 |2,2622 |3,2498 |
|10 |1,8125 |2,2281 |3,1693 |
|11 |1,7959 |2,2010 |3,1058 |
|12 |1,7823 |2,1788 |3,0545 |
|13 |1,7709 |2,1604 |3,0123 |
|14 |1,7613 |2,1448 |2,9768 |
|15 |1,7530 |2,1315 |2,9467 |
|16 |1,7459 |2,1199 |2,9208 |
|17 |1,7396 |2,1098 |2,8982 |
|18 |1,7341 |2,1009 |2,8784 |
|19 |1,7291 |2,0930 |2,8609 |
|20 |1,7247 |2,0860 |2,8453 |
|21 |1,7207 |2,0796 |2,8314 |
|22 |1,7171 |2,0739 |2,8188 |
|23 |1,7139 |2,0687 |2,8073 |
|24 |1,7109 |2,0639 |2,7969 |
|25 |1,7081 |2,0595 |2,7874 |
|26 |1,7056 |2,0555 |2,7787 |
|27 |1,7033 |2,0518 |2,7707 |
|28 |1,7011 |2,0484 |2,7633 |
|29 |1,6991 |2,0452 |2,7564 |
|30 |1,6973 |2,0423 |2,7500 |
|40 |1,6839 |2,0211 |2,7045 |
|60 |1,6707 |2,0003 |2,6603 |
|120 |1,6577 |1,9799 |2,6174 |
|∞ |1,6449 |1,9600 |2,5758 |

-----------------------
k1