Ett exempel p˚ samband mellan variabler a c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Vilka data har vi?

Antag tv˚ variabler X och Y som antar v¨rdena a a x1 , x2 , . . . , xn , samt y1 , y2 , . . . , yn .
Om vi ritar dem i ett spridningsdiagram s˚ markerar vi de ordnade a paren
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) i figuren. Vi uppfattar dessa par som ett stickprov.

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Korrelation

Vi definierar stickprovskorrelationskoefficienten som r= Kovariansen mellan X och Y
.
(Standardavvikelsen f¨r X ) (Standardavvikelsen f¨r Y ) o o

I t¨ljaren har vi den s˚ kallade stickprovskovariansen mellan X och a a
Y . I n¨mnaren produkten av stickprovsstandardavvikelserna f¨r X a o och Y .

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Korrelation
¨
Overs¨tter vi denna definition i formler har vi a stickprovskorrelationskoefficienten som n i =1 (xi

1 n −1

r=
1
n−1

n i =1 (xi

− x ) (yi − y )

− x )2

1 n−1 n i =1 (yi

− y )2

Det ovanst˚ende st¨mmer v¨l med definitionen f¨r tv˚ a a a oa stokastiska variabler X och Y , vilken ¨r a Corr (X , Y ) =

Cov (X , Y )
Var (X )

Var (Y )

.

F¨r materialet ovan har vi o r = 0.44151.

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a .

Stickprov fr˚n en bivariat normalf¨rdelning a o
Vi kan t¨nka oss att a (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) a a a ¨r observationer fr˚n en tv˚dimensionell stokastisk variabel (X , Y ).
L˚t oss anta att (X , Y ) f¨ljer en bivariat normalf¨rdelning. Det ¨r a o o a tv˚ normalf¨rdelningar i kors p˚ samma g˚ng. En s˚dan f¨rdelning a o a a a o
2
2 beror p˚ fem parametrar µX , µY , σX , σY , samt ρ. Eftersom vi har a tv˚ stokastiska variabler kan vi tala om korrelationen mellan dem. a Den ges av parametern ρ = Corr (X , Y ).
D˚ kan vi testa a H0 : ρ = 0 mot H1 : ρ = 0.
Under H0 f¨ljer o √ r n−2 t=√ 1 − r2 en t -f¨rdelning med n − 2 frihetsgrader. o c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Korrelationsanalys av v˚rt stickprov a F¨rkasta H0 , om o √
√
r n−2 r n−2
√
< −tn−2,α/2 eller √
> tn−2,α/2 .
1 − r2
1 − r2
Naturligtvis ¨r tn−2,α/2 α/2 kvantilen i en t -f¨rdelning med n − 2 a o frihetsgrader. D˚ n = 60 och r = 0.44151 blir a √
√
3.36244 r n−2
(0.44151) 58
√
=
= 3.75.
=
0.8972563
1 − r2
1 − (0.44151)2
Kvantilen t58,0.025 saknas bak i boken s˚ vi anv¨nder a a t60,0.025 = 2.000. Vi f¨rkastar nollhypotesen (med besked). o c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Enkel linj¨r regression a Man kan t¨nka sig m˚nga typer av samband, men vi studerar ett a a linj¨rt samband. a Yi = β0 + β1 xi + εi ,

i = 1, 2, . . . , n.

Den skattade linjen yi = b0 + b1 xi + ei ,

i = 1, 2, . . . , n.

Det predicerade v¨rdet ges av a yi = b0 + b1 xi ,
ˆ

i = 1, 2, . . . , n.

och residualerna av ei = yi − yi ,
ˆ

i = 1, 2, . . . , n.

Lite senare redovisar vi antaganden f¨r feltermerna εi . o c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a (1)

Enkel linj¨r regression a V˚r modell a Yi = β0 + β1 xi + εi ,

i = 1, 2, . . . , n

inneh˚ller tv˚ parametrar β0 och β1 . D¨rtill har vi ¨ven variansen a a a a f¨r feltermerna o Var (εi ) = σ 2 .
Vi ¨nskar skatta de tre parametrarna o β0 , β1 , σ 2 .
De skattade parametrarna betecknas
2
b0 , b1 , σ 2 = Se .
ˆ

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Enkel linj¨r regression a De tv˚ f¨rsta β0 och β1 skattar vi med minstakvadratmetoden. ao Feltermernas varians skattar vi p˚ annat s¨tt. a a
Minstakvadratmetoden g˚r ut p˚ att minimera summan av a a kvadraterna p˚ residualerna av a ei = yi − yi ,
ˆ

i = 1, 2, . . . , n.

Eftersom yi = b0 + b1 xi kan vi skriva
ˆ
n

n

i =1

n

(yi − yi )2 =
ˆ

ei2 = i =1

(yi − b0 − b1 xi )2 . i =1

Detta ¨r en funktion av b0 och b1 som vi kallar H (b0 , b1 ). a Summan av kvadraterna p˚ residualerna betecknas ¨ven med SSE. a a

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Minstakvadratskattning n n

(yi − b0 − b1 xi )2 .

ei2 =

SSE = H (b0 , b1 ) = i =1

∂ SSE
H (b0 , b1 )
=
=
∂ b0
∂ b0

i =1

n

2 (yi − b0 − b1 xi ) (−1) = 0. i =1

Multiplicera med −(1/2) p˚ b¨gge sidor. Anv¨nder vi aa a r¨knereglerna f¨r summor har vi a o n n

yi − nb0 − b1 i =1

xi = 0. i =1

Nu flyttar vi ¨ver b0 och b1 med tillh¨rande multiplikativa o o konstanter i v¨nsterledet: a n

b0 n + b1

n

xi = i =1

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o yi . i =1

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a (2)

P˚ v¨g mot b0 och b1 aa ∂ SSE
H (b0 , b1 )
=
=
∂ b1
∂ b1

n

2 (yi − b0 − b1 xi ) (−xi ) = 0. i =1

Multiplicera ekvationen med 1/2 och multiplicera ihop resten. n −xi yi + b0 xi + b1 xi2 = 0. i =1

Anv¨nd r¨knereglerna som ovan: a a n −

n

x i y i + b0 i =1

n

xi2 = 0.

xi + b1 i =1

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o i =1

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a (3)

Normalekvationerna
Vi har allts˚ ett ekvationssystem att l¨sa fr˚n (2) och (3) a o a n

nb0 +

n

xi

b1 =

i =1 n n

xi

xi2

b0 +

i =1

yi i =1 n i =1

b1 =

xi yi i =1

Detta ¨r tv˚ ekvationer i tv˚ obekanta: b0 och b1 . aa a
Ekvationssystemet kallas normalekvationerna.
Dividerar vi den ¨vre ekvationen med n har vi o b0 + xb1 = y

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o ⇔

b0 = y − xb1 .

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Normalekvationerna
Substituera uttrycket f¨r b0 in i den nedre ekvationen o n

n

xi

n

xi2

(y − xb1 ) +

b1 =

i =1

i =1

xi yi i =1

och l¨s f¨r b1 . Skriv allt som enskilda termer oo n

n

xi − xb1

y i =1

n

xi + b1 i =1

n

xi2 i =1

=

xi yi i =1

Bryt ut b1 i v¨nsterledet och flytta ¨ver resten i h¨gerledet: a o o n

b1

−x

n

i =1

n

xi2

xi + i =1

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o n

xi yi − y

= i =1

xi i =1

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a (4)

Normalekvationerna
Uttrycket inom parantesen i (4) skriver vi n xi2 − x i =1

n n n

n

xi2 − n(x )2 .

xi = i =1

i =1

1

Nu p˚st˚r jag att aa n

n

(xi − x )2 = i =1

xi2 − n(x )2 . i =1

Dessutom att h¨gerledet i (4) ¨r lika med: o a n n

(xi − x ) (yi − y ) = i =1

xi yi − nx y . i =1

Dessa likheter bevisar ni p˚ ¨vning 1. ao c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Normalekvationerna
Allts˚ kan vi skriva (4) som a n

n

(xi − x )2

b1 i =1

eller b1 =

(xi − x ) (yi − y ) ,

= i =1

n i =1 (xi − x ) (yi − n 2 i =1 (xi − x )

y)

.

Multiplicerar vi med (1/n)/(1/n) p˚ b¨gge sidor ser vi att vi kan aa t¨nka p˚ b1 som: a a b1 =

Stickprovskovariansen mellan X och Y
.
Stickprovsvariansen f¨r X o c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a ANOVA-tabl˚n a Vi unders¨ker nu noggrannheten hos den skattade o regressionsekvationen. Vi kan skriva yi − yi = yi − y − (ˆi − y ).
ˆ
y
Kvadrera b¨gge sidor och summera ¨ver samtliga observationer a o n n

y
{(yi − y ) − (ˆi − y )}2

(yi − yi )2 =
ˆ
i =1

i =1 n (yi − y )2 + (ˆi − y )2 − 2(yi − y )(ˆi − y ) y y

= i =1 n n

(yi − y )2 +

= i =1

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o n

(ˆi − y )2 − 2 y i =1

(yi − y )(ˆi − y ) y i =1

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a ANOVA-tabl˚n a Vi f¨rs¨ker g¨ra oss av med den tredje termen. Om vi substituerar oo o in uttrycket f¨r b0 = y − xb1 i (1), d v s yi = b0 + b1 xi o ˆ yi = (y − xb1 ) + b1 xi = y + b1 (xi − x )
ˆ

i = 1, 2, . . . , n.

Det kan vi skriva som yi − y = b1 (xi − x )
ˆ

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a (5)

ANOVA-tabl˚n a Substituera n y
(yi − y )(ˆi − y )

−2 i =1 n = −2

(yi − y )b1 (xi − x ) i =1 n = −2b1

(yi − y ) (xi − x ) i =1 n n i =1 (xi n i =1 (xi

(yi − y ) (xi − x )

= −2b1 i =1

− x )2
− x )2

1

= −2b1

n i =1 (yi − y ) (xi − n 2 i =1 (xi − x )

x)

n

(xi − x )2 i =1

b1 c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a ANOVA-tabl˚n a n

=

2
−2b1

(xi − x )2 i =1

n
2
b1 (xi − x )2

= −2 i =1 n (b1 (xi − x ))2

= −2 i =1 n (ˆi − y )2 y = −2 i =1

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a ANOVA-tabl˚n a n

n

n

(yi − yi )2 =
ˆ

n

(yi − y )2 +

i =1

i =1

(ˆi − y )2 −2 y i =1

(yi − y )(ˆi − y ) y i =1
−2

n
2
y i =1 (ˆi −y )

n

n

(yi − y )2 −

=

(ˆi − y )2 y i =1

i =1

Vi m¨blerar om, s˚ o a n n

i =1
Total variation i y

n

(yi − yi )2
ˆ

(yi − y )2 = i =1

i =1

Of¨rklarad variation i y o c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o (ˆi − y )2 y +

Av regressionen f¨rklarad variation i y o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a .

ANOVA-tabl˚n a Slutligen kan vi st¨lla upp tabl˚n: a a
Source
Regression

Sum of Squares n 2 y i =1 (ˆi − y )

About regression
About mean

n i =1 (yi n i =1 (yi

− yi )2
ˆ
− y )2

df
1
n−2 n−1 Mean Square
MSR
2
Se =

n
ˆ2
i =1 (yi −yi )

n−2

F¨rkortningen df betyder ‘’degrees of freedom” (frihetsgrader). o Source
Regression
Minitab har andra namn p˚ variationsk¨llorna: a a
Residual Error
Total
Source
Model
SAS anv¨nder: a Error
Corrected Total c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Antaganden f¨r feltermerna εi o E (εi ) = 0 (st¨rningsantagandet); modellen ¨r i genomsnitt o a korrekt. Var (εi ) = E ε2 = σ 2 (homoskedasticitetsantagandet); i feltermerna har samma ¨ndliga varians. a De stokastiska variablerna εi ¨r oberoende. (feltermerna a korrelerar ej med varandra).
Cov (εi , εj ) = E (εi εj ) − E (εi ) E (εj ) = E (εi εj ) = 0. εi ∼ N (0, σ 2 ); feltermerna εi ¨r normalf¨rdelade. a o

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Egenskaper hos punktskattningarna
Vi vet fr˚n ovan att skattningen av β1 ges av formeln a b1 =

n i =1 (xi − x ) (yi − n 2 i =1 (xi − x )

y)

.

Punktskattningen ¨r en stokastisk variabel som har samma a utseende: n (xi − x ) Yi − Y
.
b1 = i =1 n
2
i =1 (xi − x )
Vi har bytt ut de observerade v¨rdena yi mot stokastiska variabler a Yi . Eftersom
(xi − x ) Yi − Y

= (xi − x ) Yi − (xi − x ) Y

s˚ kan vi skriva t¨ljaren som a a n n

(xi − x ) Yi − Y

(xi − x ) Yi −

= i =1

i =1 c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o n

(xi − x ) Y i =1

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Egenskaper hos punktskattningarna
Eftersom Y ¨r en konstant (den beror inte p˚ i ), s˚ kan vi skriva a a a om den sista termen till n n

(xi − x ) Y

(xi − x )

=Y i =1

i =1

0

Det sista p˚st˚endet skall ni visa p˚ ¨vning 1. aa ao
D¨rf¨r kan vi skriva uttrycket f¨r b1 som ao o b1 =

n i =1 (xi − x ) Yi n 2 i =1 (xi − x )

n

(xi − x )

=

d¨r a ai =

i =1

n i =1 (xi

(xi − n i =1 (xi

− x )2

x)
− x )2

n

Yi =

ai Yi , i =1

.

Fr˚n ovan vet vi att a E (Yi ) = E (β0 + β1 xi + εi ) = β0 + β1 xi + E (εi ) c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o 0

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Punktskattningen b1 ¨r v¨ntev¨rdesriktig aa a n E (b1 ) = E

ai Yi i =1

n

=

ai E (Yi ) i =1 n =

ai (β0 + β1 xi ) i =1 n = β0

n

ai + β1 i =1

ai xi i =1

= β1 , eftersom n

n

ai = 0 i =1

ai xi = 1.

¨
(Ovning 1 (igen!))

i =1 c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Variansen f¨r punktskattningen b1 o D˚ a Var(Yi ) = Var (β0 + β1 xi + εi ) = 0 + 0 + Var (εi ) = σ 2 har vi att n Var(b1 ) = Var

ai Yi i =1

n

=

Var (ai Yi )

(Yi oberoende)

i =1 n ai2 Var (Yi )

= i =1 n = i =1 c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o 2

(xi − x ) n i =1 (xi

2

− x)

σ2.

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Variansen f¨r punktskattningen b1 o n i =1 (xi

Var(b1 ) =

− x )2

n i =1 (xi

=

2

− x)

σ2 n i =1 (xi

− x )2

2

σ2, ⇔

.

2
2
Betecknas ¨ven med σb1 i NCT. Eftersom Se skattar σ 2 a v¨ntev¨rdesriktigt s˚ kan vi skatta variansen f¨r punktskattningen a a a o med 2
Se
2 sb1 = n
.
(xi − x )2 i =1

Denna formel ger allts˚ medelfelet f¨r b1 , det som ben¨mnes a o a standard error i datorutskrifterna. c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Skattningen av interceptet β0
Skattningen av β0 ges av b0 = y − b1 x och som stokastisk variabel av b0 = Y − b1 x
E (b0 ) = E Y − b1 x
= E Y − E (b1 x )
= E Y − xE (b1 )
= E Y − x β1

Vi m˚ste ber¨kna E Y for att komma vidare. a a
¨
c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Punktskattningen b0 ¨r v¨ntev¨rdesriktig aa a
F¨rst bildar vi Y av v˚r modell: o a
Yi = β0 + β1 xi + εi ,

i = 1, 2, . . . , n.

Summera ¨ver samtliga observationer o n

n

Yi

=

i =1

(β0 + β1 xi + εi ) i =1 n =

n

β0 + i =1

β1 xi + i =1 n = nβ0 + β1

εi i =1

n

xi + i =1

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o n

εi i =1

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Punktskattningen b0 ¨r v¨ntev¨rdesriktig aa a
Dividera med n: n i =1 Yi

n vilket vi skriver som

=

nβ0 β1
+
n

n i =1 xi

n

+

n i =1 εi

n

,

Y = β0 + β1 x + ε.
D˚ ε1 , ε2 , . . . , εn samtliga har E (εi ) = 0, s˚ blir a a
E (ε) = E

ε 1 + ε2 + · · · + εn n 1
E (ε1 + ε2 + · · · + εn ) n 1
=
[E (ε1 ) + E (ε2 ) + · · · + E (εn )] n 1
=
[0 + 0 + · · · + 0] n = 0.
=

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Punktskattningen b0 ¨r v¨ntev¨rdesriktig aa a

Allts˚ blir a EY

= E (β0 + β1 x + ε)
= E (β0 + β1 x ) + E (ε)
= β0 + β1 x

Detta f¨rser oss med resultatet o E (b0 ) = E Y − x β1
= β0 + β1 x − x β1
= β0 .

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Variansen f¨r punktskattningen b0 o Variansen ges av (minns att x ¨r ett fixt tal) a Var(b0 ) = Var Y − b1 x
= Var Y + (−b1 x )
= Var Y + Var (−b1 x ) + 2Cov Y , −b1 x b1 stokastisk

Y och b1 stokastiska

2

= Var Y + x Var (b1 ) − 2x Cov Y , b1

P˚ ¨vning 1 bevisar vi att ao Cov Y , b1 = 0.
D˚ vi k¨nner Var (b1 ) beh¨ver vi endast ber¨kna Var Y . a a o a c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Variansen f¨r punktskattningen b0 o D˚ ε1 , ε2 , . . . , εn ¨r oberoende, s˚ ¨r Y1 , Y2 , . . . , Yn oberoende, d¨r a a aa a
Yi = β0 + β1 xi + εi
Var Y

= Var

och

Var (Yi ) = σ 2 ,

i = 1, 2, . . . , n.

Y1 + Y2 + · · · + Yn n 1 n 2

=

1 n 2

=

1 n 2

=

1 n 2

=
=

σ2 n Var (Y1 + Y2 + · · · + Yn )
[Var (Y1 ) + Var (Y2 ) + · · · + Var (Yn )] σ2 + σ2 + · · · + σ2 nσ 2
(Ett generellt resultat. Se NCT s 270.)

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Variansen f¨r punktskattningen b0 o Allts˚ blir a Var(b0 ) = Var Y + x 2 Var (b1 ) − 2x Cov Y , b1
=

σ2
+ x2 n = σ2

1
+
n

σ2 n i =1 (xi

− x )2

x2 n i =1 (xi

− x )2

.

2
Eftersom Se skattar σ 2 v¨ntev¨rdesriktigt s˚ kan vi skatta a a a variansen f¨r punktskattningen med o 2
2
sb0 = Se

1
+
n

x2 n i =1 (xi

− x )2

.

Denna formel ger allts˚ medelfelet f¨r b0 , det som ben¨mnes a o a standard error i datorutskrifterna. c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Punktskattningarna ¨r normalf¨rdelade stokastiska a o variabler Om vi antar att feltermerna εi ¨r normalf¨rdelade, s˚ ¨r b˚de b0 a o aa a och b1 normalf¨rdelade: o b0 ∼ N

β0 , σ 2

x2

1
+
n

n i =1 (xi

samt b1 ∼ N β1 ,

− x )2

σ2 n i =1 (xi

− x )2

,

.

Vi skattar feltermernas varians σ 2 genom
2
Se

1
=
n−2

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o n

(yi − yi )2 .
ˆ
i =1

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Hypotespr¨vning f¨r β1 : t -test o o
Man kan bevisa att t= b1 − β 1
1
n−2

n
ˆ2
i =1 (yi −yi ) n 2 i =1 (xi −x )

∼ t (n − 2).

Vi ¨nskar testa o H0 : β1 = 0 mot H1 : β1 = 0.
D˚ H0 f¨ljer testvariabeln t en t -f¨rdelning med n − 2 frihetsgrader. a o o F¨rkasta H0 , om o t < −tn−2,α/2 eller t > tn−2,α/2 .

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Konfidensintervall f¨r β1 o Ett 100(1 − α)%-igt konfidensintervall f¨r β1 ges av o b1 ± tα/2 (n − 2)

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o 1 n−2 n i =1 (yi

− yi )2
ˆ
. n 2 i =1 (xi − x )

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Hypotespr¨vning f¨r β1 : F -test o o

Ett alternativ till att testa
H0 : β1 = 0 mot H1 : β1 = 0 a a o ¨r att anv¨nda F -f¨rdelningen. Man kan bevisa att kvoten mellan medelkvadraterna i ANOVA-tabl˚n f¨ljer en F -f¨rdelning med 1 ao o frihetsgrad i t¨ljaren och n − 2 frihetsgrader i n¨mnaren. a a
F¨rkasta H0 , om o F > Fα (1, n − 2) .
Fα (1, n − 2) ¨r ett tabellv¨rde. a a

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Exempel
Vi ber¨knar f¨rst de n¨dv¨ndiga kvadratsummorna. a o oa x
1
2
3
4
5
6
21

y
5
0
1
7
3
8
24

x2
1
4
9
16
25
36
91

xy
5
0
3
28
15
48
99

P˚ detta vis erh˚ller vi a a n (xi − x ) (yi − y ) = 99 − i =1

samt

n

(xi − x )2 = 91 − i =1 c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o 1
· 21 · 24 = 15,
6

1
35
· 212 = .
6
2

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Exempel

D¨rf¨r blir ao b1 =

n i =1 (xi − x ) (yi − n 2 i =1 (xi − x )

y)

=

15
35
2

6
=.
7

Slutligen har vi b0 = y − b1 x =

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o 24 6 21
−
= 1.
6
76

Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a Exempel

Ett 95%-igt konfidensintervall f¨r β1 ges av o b1 ± tn−2, α sb1 .
2
D˚ n = 6 och α = 0.05, ska vi anv¨nda t4,0.025 = 2.776. Intervallet a a ges allts˚ av a 6
± (2.776)(0.7478)
7
eller −1.219 till 2.933. Vi ¨r allts˚ 95% s¨kra p˚ att β1 befinner a a a a sig i intervallet (−1.219, 2.933).

c J¨rgen S¨ve-S¨derbergh o a o Finansiell statistik, v˚rterminen 2011 a