ECO301 – Econom´ Matem´tica ıa a
Control 2
Profesor: H´ctor Martinovic e 23 de abril de 2013
No abras el control hasta que se te indique que puedes hacerlo.
Est´ prohibido contestar al reverso de las hojas. No se corregir´ nada que est´ en ese lugar. a a e Contesta cada pregunta en el espacio asignado para cada una de ellas. No se corregir´n respuestas que a est´n en el espacio asignado a otras respuestas. e Las preguntas pueden ser contestadas con l´piz pasta o grafito. a El control tiene 60 puntos, por lo que la nota se calcular´ de la siguiente manera: a Nota = 1 + 6 ×

Puntaje
60

Preg. 1:

de 15

Preg. 2:

de 25

Preg. 3:

de 20

Total:

de 60

Nota:

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Control 2

1. (15 puntos) Considera la siguiente funci´n f : R2 → R. o f (x, y) = xy +

1
1
+ x y

a) (5 puntos) Encuentra sus puntos cr´ ıticos, es decir, los que cumplen las condiciones de primer orden del problema de optimizaci´n no restringida. o b) (10 puntos) Determina si son m´ ınimos, m´ximos u otra cosa (puntos silla, puntos de inflexi´n) a o
Respuesta:
a) La condici´n de primer orden es ∇f (x, y) = (0, 0), por lo tanto: o ∂f
=y−
∂x
∂f
= x−
∂y

1
=0
x2
1
=0 y2 Para que estas derivadas parciales existan, se requiere que x = 0 y que y = 0. Esto conduce al siguiente sistema de ecuaciones:
1
1 y= 2 x= 2 x y
Reemplazando el valor de y de la primera ecuaci´n en la segunda se tiene que: o x=

1
1
= x2 1/x2 x = x2
1=x

En el ultimo paso se us´ el hecho de que x = 0. El valor de y se puede obtener como:
´
o y= 1
1
= 2 =1 x2 1

Por lo tanto, el unico punto cr´
´
ıtico es (x, y) = (1, 1).
b) La matriz hessiana de esta funci´n es: o Hf (x, y) =

2/x3
1

1
2/y 3

Si evaluamos esta matriz en el punto cr´ ıtico se llega a:
2/13
1

Hf (1, 1) =

1
2/13

=

2
1

1
2

Como el primer t´rmino de la matriz hessiana es a1,1 = 2, el determinante de la primera submatriz e principal es positivo, y el de la segunda es igual a:
|Hf (1, 1)| =

2
1

1
= 2·2−1·1 = 3> 0
2

Las condiciones a1,1 > 0 y |Hf (1, 1)| > 0 nos garantizan que Hf (1, 1) es una matriz definida positiva y, por lo tanto, el punto (1, 1) es un m´ ınimo de f (x, y).

1

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2. (25 puntos) Considera la funci´n π = pf (x)−wx, con p > 0, w > 0 y x ≥ 0. Ella representa los beneficios o de una empresa tomadora de precios en el mercado del producto y en el mercado de los insumos (o factores productivos). La funci´n f (x) corresponde a su funci´n de producci´n, que expresa la cantidad o o o de producto que puede fabricar con una cantidad x de insumo, y cumple que la productividad marginal es positiva (f ′ (x) > 0). Las variables p y w representan los precios del producto y del unico insumo,
´
respectivamente.
a) (5 puntos) Encuentra las condiciones de primer y de segundo orden del problema de maximizaci´n o de beneficios de esta empresa: m´x π(x) = pf (x) − wx a x

A partir de ellas, determina qu´ condici´n debe cumplir la funci´n f (o sus derivadas) para que e o o este problema tenga soluci´n. o b) (10 puntos) En adelante, asume que se cumplen las condiciones determinadas en la parte anterior.
Considera la condici´n de primer orden del problema de maximizaci´n anterior como una ecuaci´n o o o que define impl´ ıcitamente la cantidad ´ptima de insumo x∗ en funci´n de los precios p y w. o o
Encuentra una expresi´n para ∂x∗ /∂w en funci´n de p, w y f (o sus derivadas), y determina si o o esta derivada parcial es positiva o negativa.
c) (5 puntos) Encuentra una expresi´n para ∂x∗ /∂p en funci´n de p, w y f (o sus derivadas), y o o determina si esta derivada parcial es positiva o negativa. d ) (5 puntos) La funci´n de oferta de esta empresa es y ∗ (p, w) = f (x∗ (p, w)). Encuentra una expresi´n o o para ∂y ∗ /∂p en funci´n de p, w y f (o sus derivadas), y determina si esta derivada parcial es o positiva o negativa.
Respuesta:
a) La condici´n de primer orden es: o π ′ (x) = pf ′ (x) − w = 0 w f ′ (x) = p Y la de segundo orden es: π ′′ (x) = pf ′′ (x) < 0
Por lo tanto, se requiere que f ′ (x) = w/p tenga soluci´n (llamemos la x∗ ), y que f ′′ (x∗ ) < 0. o b) Expresemos la condici´n de primer orden como pf ′ (x∗ ) − w = 0. Si definimos la funci´n g como o o g(p, w, x∗ ) = pf ′ (x∗ ) − w = 0 entonces podemos aplicar el teorema de la funci´n impl´ o ıcita a la ecuaci´n g(p, w, x∗ ) = 0, pues la o condici´n de segundo orden de la parte anterior nos garantiza que ∂g/∂x∗ = 0: o ∂g/∂w
∂x∗
=−
=−
∂w
∂g/∂x∗
1
= ′′ ∗ < 0 pf (x )

−1 pf ′′ (x∗ )

La desigualdad final se debe a que p > 0 y f ′′ (x∗ ) < 0.
Observaci´n: Esta desigualdad quiere decir que la demanda por el factor productivo x de una o empresa tomadora de precios y maximizadora de beneficios, cumple la “ley de demanda” (a mayor precio, menor cantidad demandada).
2

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c) De manera an´loga a la parte anterior: a ∂x∗
∂g/∂p
=−
=−
∂p
∂g/∂x∗

f ′ (x∗ ) pf ′′ (x∗ )

>0

La desigualdad final se debe a que f ′ (x∗ ) > 0, p > 0 y f ′′ (x∗ ) < 0. d ) Usando regla de la cadena para derivar y ∗ (p, w) = f (x∗ (p, w)) con respecto a p, se llega a:
∂x∗
∂y ∗
= f ′ (x∗ ) ·
∂p
∂p
−f ′ (x∗ )
= f ′ (x∗ ) · pf ′′ (x∗ )
2

=

− (f ′ (x∗ ))
>0
pf ′′ (x∗ )

La desigualdad final se debe a que p > 0 y f ′′ (x∗ ) < 0.
Observaci´n: Esta desigualdad quiere decir que la oferta de una empresa tomadora de precios y o maximizadora de beneficios, cumple la “ley de oferta” (a mayor precio, mayor cantidad ofrecida).

3

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3. (20 puntos) Considera el sistema de n ecuaciones y de 2n variables definido por:
F (y) − x = 0 donde x, y, 0 ∈ Rn y F : Rn → Rn .
a) (5 puntos) Explica qu´ propiedades debe cumplir la funci´n F para que exista una funci´n difee o o renciable H : Rn → Rn , tal que y = H(x). Justifica tu respuesta.
b) (10 puntos) Determina una expresi´n para la matriz jacobiana DH(x). o c) (5 puntos) Explica qu´ relaci´n existe entre la funci´n F (y) y la funci´n H(x). Justifica tu rese o o o puesta.
Respuesta:
a) Si definimos G(x, y) como:
G(x, y) = F (y) − x = 0 podemos hacer uso del teorema de la funci´n impl´ o ıcita para saber si podemos despejar y en funci´n o de x. De acuerdo con este teorema, se requiere que:
i) G(x, y) = F (y) − x sea diferenciable una vez. Pero como la funci´n identidad I(x) = x es o diferenciable, para que se cumpla esta condici´n basta con que F (y) sea una vez diferenciable. o ii) DGy (x, y) = DF (y) sea invertible, o equivalentemente, que el determinante de la matriz DF (y) sea distinto de cero.
b) De acuerdo con el teorema de la funci´n impl´ o ıcita:
DH(x) = −(DGy )−1 DGx
Pero estos jacobianos son
DGy = Dy (F (y) − x) = DF (y)
DGx = Dx (F (y) − x) = −Dx = −In donde In es la matriz identidad de n × n. Por lo tanto
DH(x) = −(DF (y))−1 (−In ) = (DF (y))−1 evaluado en y = H(x).
Observaci´n: Las condiciones deducidas en la parte a) nos garantizan que la matriz DF (y) existe o y es invertible.
c) Si y = H(x), entonces
F (y) − x = 0
F (H(x)) − x = 0
F (H(x)) = x
Por lo tanto, H(x) es la funci´n inversa de F (y). o Observaci´n: Entonces, el resultado de la parte b) nos indica que el jacobiano de la funci´n o o inversa F −1 es la matriz inversa del jacobiano de la funci´n F , evaluado adecuadamente. o 4