MÓDULO IV. TEORÍA DE CONGESTIÓN
DE SISTEMAS DE PROCESAMIENTO
(TEORÍA DE COLAS)
Unidad Curricular
Técnicas Administrativas
Profesora Raquel Da Silva

CLASE 1 (2 horas)

Contenido
• Definición Modelo de colas
• Ejemplos de sistemas de colas
• Características y elementos de un Modelo de Colas
• Tipos de los Modelos de colas básicos
• Nomenclatura

• Desempeño de los Modelos de Colas
• Medidas del desempeño
• Canal Único
• Múltiples canales
• Análisis económico de los Modelos de Colas

Definición Modelo de colas
Es un sistema en el que los clientes o los productos llegan a una estación, esperan en una fila (o cola), obtienen algún servicio y luego salen del sistema
Se refiere al estudio matemático de dichas colas, permitiendo así el análisis de varios procesos como: llegada, espera en la cola etc.

Definición Modelo de colas
Algunos ejemplos:
 Los clientes llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un

servicio de uno de los cajeros, y después salen del banco
 Las partes de un proceso de producción llegan a una estación de

trabajo particular desde diferentes estaciones, esperan en un compartimiento para ser procesadas por una máquina, y luego son enviadas a otra estación de trabajo
 Después de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las

cajas, esperan a que el cajero les cobre y luego salen de la tienda
 Las llamadas telefónicas llegan a un centro de reservaciones de una

aerolínea esperan al agente de ventas disponible, son atendidas por ese agente y dejan el sistema cuando el cliente cuelga.

Ejemplos

Sitio

Sitio

Colas formadas por Prestador de servicio Servicio

Supermercado

Compradores

Cajera

Pago en cajas

Peaje

Vehículos

Cobrador de peaje Pago de peaje

Consultorio

Pacientes

Doctor

Consulta

Compañía de teléfono Llamadas

Operador

Efectuar comunicación Banco

Clientes

Cajero

Depósitos y cobros Taller especializado Máquinas dañadas Mecánico

Reparación

Muelle

Barcos

Personal de muelle Carga y descarga

Definición Modelo de colas
Entre los tipos de problemas que podemos analizar con los
Modelos de colas tenemos:

Problemas de análisis: cuyo objetivo es saber si un sistema dado está funcionando satisfactoriamente
Problemas de diseño: consiste en diseñar las características de un sistema que logre un objetivo general. Definición Modelo de colas
Algunas de las preguntas clave que se hacen los administradores son las siguientes:
 ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser

atendido?
 ¿Qué fracción del tiempo ocupan los servidores en atender a un cliente o en procesar un

producto?
 ¿Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila?
 ¿Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable?
 ¿Deberán los clientes esperar en una sola fila (como se hace en muchos bancos) o en

diferentes filas (como en el caso de los supermercados)?
 ¿Deberá haber una estación de trabajo separada que maneje las cuestiones 'especiales"

(como el caso del acceso a primera clase en el mostrador de una aerolínea o atención a la tercera edad en un banco)
 ¿Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o los productos puedan esperar?.

Definición Modelo de colas
Como gerentes nos enfrentamos a un proceso de toma de decisiones donde debemos decidir:
 Emplear más gente
 Agregar una estación de trabajo adicional para mejorar el nivel de

servicio
 Aumentar el tamaño del área de espera
 Que tipo de Modelo de cola debo emplear.

Características y elementos de un Modelo de colas

Servidores
Clientes que esperan

Proceso de llegada

Población de clientes

Proceso de salida

Proceso de colas
Proceso
de servicio
Sistema

Características y elementos de un Modelo de colas
Población de clientes: Conjunto de todos los posibles clientes de un modelo de colas
Proceso de llegada: La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio
Proceso de colas: está formado por la forma en que los clientes esperan para ser atendidos, el número de espacios de espera en cada fila y la disciplina de colas, que es la forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles el servicio
Proceso de servicio: Forma y rapidez con que son atendidos los clientes.
Los elementos que lo conforman son el arreglo y la cantidad de servidores; y el tiempo de servicio.
Proceso de salida: Forma en que los productos o los clientes abandonan un modelo de colas.

Población de clientes - Elementos
Población de clientes: Conjunto de todos los posibles clientes de un modelo de colas

El tamaño de la población puede ser:
Infinito (ilimitado): ejemplo un banco o un supermercado
Finito (limitado): un grupo de máquinas en una empresa que requieren servicio de reparación en un taller especializado.

Población de clientes - Elementos

Tamaño de la
Población de
Clientes

Infinito

Finito

Proceso de llegada - Elementos
Proceso de llegada: La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio. La característica más importante de este proceso es el tiempo entre llegadas
Tiempo entre llegadas: intervalo de tiempo que existe entre dos llegadas sucesivas de clientes a un modelo de colas

Proceso de llegada – Elementos
Existen dos clases básicas de tiempos de llegada:
Determinístico (programado): en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Ejemplos: en una línea de ensamblaje, en donde las piezas llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo y en un consultorio donde llega un paciente cada
30 minutos

Probabilístico (aleatorio): en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Se describen mediante una distribución de probabilidad. Ejemplo: la espera en un banco o supermercado. Proceso de llegada – Elementos

Tiempos de llegada Determinístico
(Programado)

Probabilístico
(Aleatorio)

Tiempos entre llegadas - Probabilístico
Función Exponencial
La determinación de la distribución real del proceso de llegada es difícil de determinar, por ello se supone una distribución exponencial, la cual ha probado ser confiable en muchos problemas prácticos
• La forma algebraica de la distribución exponencial es:

≤ = 1 − −λ∗
• Donde: ≤ = la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades de tiempo a partir de la llegada anterior
• T (Tiempo) = representa una cantidad expresada de tiempo (horas, minutos, etc.)
•  (Tasa media de llegadas) = es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo • e = es un número irracional llamado número de Euler = 2,718281828
•

Tiempos entre llegadas - Probabilístico
Función Exponencial
P(T)
1

≤ = 1 − −λ∗

0

(T)Tiempo

Tiempos entre llegadas - Probabilístico
Características de la Función Exponencial:
• La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para

tiempos entre llegadas mayores
• Se considera que las llegadas son aleatorias
• La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la

siguiente.

Tiempos entre llegadas - Probabilístico
Función Exponencial – Ejemplo:
Los clientes llegan a un banco con una tasa media de llegada de  = 20 por hora, y si un cliente acaba de llegar se desea calcular la probabilidad de que el siguiente llegue dentro de los próximos diez minutos, es decir T= 1/6 de hora.

≤ = 1 − −λ∗
−20∗

≤ 1/6 = 1 − (2,71828)

1
6

≤ 1/6 = 0,964
Existe una probabilidad de 96,4% de que el siguiente cliente llegue dentro de los próximos 10 minutos.

Tiempos entre llegadas - Probabilístico
Otra forma de describir el proceso de llegadas consiste en utilizar la distribución de probabilidad del número de llegadas
Distribución de Poisson:
Distribución que describe la probabilidad de que se presenten un número dado de llegadas en un intervalo dado de tiempo, cuando el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial
• La forma algebraica de la distribución Poisson es:

−∗ (∗T) = =
!
• Donde:
• = = la probabilidad de que k número de clientes lleguen dentro de T unidades de tiempo
• T (Tiempo) = representa una cantidad expresada de tiempo (horas, minutos, etc.)
• k (número de clientes) = número dado de llegadas en un intervalo dado de tiempo
•  (Tasa media de llegadas) = es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo
• e es un número irracional llamado número de Euler = 2,718281828

Tiempos entre llegadas - Probabilístico
Distribución de Poisson:
P

0

Llegadas por unidad de tiempo

Tiempos entre llegadas - Probabilístico
Distribución de Poisson - Ejemplo:
Calcular la probabilidad de que k=2 clientes lleguen dentro de los diez minutos siguientes,  = 20 por hora y T= 1/6 de hora
• La forma algebraica de la distribución Poisson es:

−∗ (∗T) = =
!
1

(6 ℎ=2)=

1
−20∗( )
6 (

20/6)2

2!

1 ℎ = 2 = 0,1977
6
Existe una probabilidad de 19,77% de que 2 clientes lleguen en los próximos 10 minutos. Proceso de llegada – Elementos
Tiempos
de llegada

Determinístico
(Programado)

Probabilístico
(Aleatorio)

Función
Exponencial

Distribución de
Poisson

Proceso de colas - Elementos
Proceso de colas: que está formado por la forma en que los clientes esperan para ser atendidos, el número de espacios de espera en cada fila y la disciplina de colas, que es la forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles el servicio

Proceso de colas - Elementos

Proceso de cola Forma de espera Espacios en espera Disciplina de colas Proceso de colas - Elementos
Tipos de forma para esperar el servicio:
• Modelos de cola de una sola fila: los clientes esperan en una sola fila para tener acceso al siguiente prestador de servicio disponible, como en un banco
1

2
Clientes que esperan 3
Servidores

Proceso de colas - Elementos
• Modelos de colas de filas múltiples: los clientes pueden elegir una

de varias filas en la que deben esperar a ser atendidos, como en las cajas de un supermercado

1
Clientes que esperan 2

3
Servidores

Proceso de colas - Elementos
Proceso de cola Forma de espera Una sola fila Espacios en espera

Filas múltiples Disciplina de colas

Proceso de colas - Elementos
El número de espacios de espera en cada fila, es el número de clientes que pueden esperar para ser atendidos en cada línea. Existen dos tipos:
 Infinito: cuando el número es bastante grande y no significa ningún

problema práctico, ejemplo un banco
 Finito: cuando el número es limitado, ejemplo un sistema telefónico

que puede mantener solamente un número finito de llamadas.

Proceso de colas - Elementos

Proceso de cola

Forma de espera Una sola fila Filas múltiples Espacios en espera

Infinito

Disciplina de colas

Finito

Proceso de colas – Elementos
Disciplina de colas, es la forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles el servicio, existen tres tipo:
• Primero en entrar, primero en salir (PEPS): los clientes son

atendidos en el orden en que van llegando a la fila. Ejemplo: Banco y supermercado • Último en entrar, primero en salir (UEPS): el cliente que ha llegado

más recientemente es el primero en ser atendido. Ejemplo: Proceso de producción donde los productos llegan a una estación de trabajo y son apilados uno en cima del otro, el último en llegar es el primero que se toma para el siguiente proceso
• Selección de prioridad: a cada cliente que llega se le da una

prioridad y se elige según ésta para brindarle el servicio. Ejemplo: la emergencia en una clínica.

Proceso de colas - Elementos

Proceso de cola

Forma de espera Una sola fila

Filas múltiples Espacios en espera

Infinito

Disciplina de colas

Finito

PEPS

UEPS

Prioridad

Proceso de servicio - Elementos
Proceso de servicio: Forma y rapidez con que son atendidos los clientes. Los elementos que lo conforman son el arreglo y la cantidad de servidores; y el tiempo de servicio. Proceso de servicio - Elementos

Proceso de servicio Arreglo y cantidad de servidores Tiempo de servicio Proceso de servicio - Elementos
En cuanto al arreglo y la cantidad de servidores, existen dos tipos:
• Modelos de colas de canal múltiple: modelos donde existen más

de una estación en el sistema en donde se ofrece el servicio requerido. Ejemplo: ventanillas bancos y cajas supermercados.
Servidor
Llegadas
Cola

Servidor

Salidas

Salidas

Salidas
Servidor

Proceso de servicio - Elementos
• Modelo de cola de canal sencillo: modelo en el cual los clientes

que llegan pasan por una estación de trabajo. Ejemplo un proceso de producción Llegadas
Cola

Servidor

Salidas

Proceso de servicio - Elementos
Proceso de servicio Arreglo y cantidad de servidores Canal múltiple Canal sencillo Tiempo de servicio Proceso de servicio - Elementos
Un indicador importante es la cantidad de tiempo que se requiere para llevar a cabo el servicio, ya que mientras más dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan
Este tiempo puede ser:
Determinístico: cada cliente requiere precisamente la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido
Probabilístico: con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad, y por la experiencia se aproxima a la distribución exponencial.

Proceso de servicio - Elementos
Proceso de servicio Arreglo y cantidad de servidores Canal múltiple Canal sencillo Tiempo de servicio Determinístico

Probabilístico

Proceso de servicio - Elementos
Tiempo de servicio probabilístico: Se aproxima a la distribución exponencial y su función es la siguiente: s(T)=(1/μ)∗e−μ∗ Donde: s(T) = Probabilidad de que el servicio se cumpla en un tiempo específico
T (Tiempo) = representa una cantidad expresada de tiempo (horas, minutos, etc.) μ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un servidor 1 μ = tiempo promedio invertido en atender un cliente

Proceso de servicio - Elementos
Proceso
de servicio Arreglo y cantidad de servidores Canal múltiple Canal sencillo Tiempo de servicio Determinístico

Probabilístico

Distribución exponencial Otras

Proceso de salida - Elementos
Proceso de salida: Forma en que los productos o los clientes abandonan un sistema de colas. Existen dos tipos:
1) Sistema de colas de un paso: Sistema en el cual los productos o los clientes abandonan el sistema después de ser atendidos en un solo centro o estación de trabajo 1

2
Llegada
Clientes que esperan 3
Cajeros

Salida

Proceso de salida - Elementos
2) Red de colas: Sistema en el que un producto puede proceder de una estación de trabajo y pasar a otra antes de abandonar el sistema

B

D

A

Llegada
C

Salida

Proceso de salida - Elementos

Proceso de salida

Un paso

Red de colas

Características y elementos de un Modelo de colas

Características y elementos de un Modelo de colas

Características y elementos de un Modelo de colas

Características y elementos de un Modelo de colas

Características y elementos de un Modelo de colas

Resumen Fórmulas
Objetivo del cálculo Fórmula

Aproximación matemática Proceso del modelo Probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades de tiempo a partir de la llegada anterior

≤
= 1 − −λ∗

Distribución exponencial Proceso de llegada Probabilidad de que k número de clientes lleguen dentro de T unidades de tiempo = −∗ (∗T)
=
!

Distribución de
Poisson con una distribución exponencial para el tiempo entre llegadas

Proceso de llegada Probabilidad de que el servicio se cumpla en un tiempo específico

s(T)=(1/μ)∗e−μ∗

Distribución exponencial Proceso de servicio Tiempo promedio invertido en atender un cliente 1 μ •

T (Tiempo) = representa una cantidad expresada de tiempo (horas, minutos, etc.)
•  (Tasa media de llegadas) = es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo
• e = es un número irracional llamado número de Euler = 2,718281828
• k (número de clientes) = número dado de llegadas en un intervalo dado de tiempo
• μ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un servidor

Proceso de servicio Actividad Grupal
Una empresa de servicio tiene un representante en un centro de servicio para atender las preguntas de los clientes. El número de llamadas telefónicas que llegan al centro sigue una distribución de Poisson con una tasa promedio de aproximadamente diez por hora. El tiempo necesario para responder a cada llamada sigue una distribución exponencial con un promedio de cuatro minutos. Utilice la relación entre la distribución de Poisson y exponencial para responder las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una segunda llamada entre dentro de los tres minutos posteriores a la llamada anterior?

Actividad Grupal - Respuesta
a. ¿Cuál es el número promedio de llamadas que un representante puede atender durante una hora?
1
Tiempo promedio invertido en atender un cliente
= 4 minutos, si lo μ pasamos a horas

1
15

Quiero calcular el μ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un servidor
1
μ

=

1
15

μ = 15
El número promedio de llamadas atendidas en una hora por un representante es de 15.

Actividad Grupal - Respuesta
b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora? Datos: k=5 llamadas,  = 10 por hora y T= 1 hora
• La forma algebraica de la distribución Poisson es:

−∗ (∗T) = =
!
−10∗(1) (10∗1)5 1 ℎ = 5 =
5!
1 ℎ = 5 = 0,037833
Existe un 3,78% de probabilidad de que existan 5 llamadas en una hora.

Actividad Grupal - Respuesta
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una segunda llamada entre dentro de los tres minutos posteriores a la llamada anterior?

Datos:  = 10 por hora y T= 3 minutos, es decir T= 0,05 horas (ó 1/20 horas)
La forma algebraica de la función exponencial es:

≤ 0,05 = 1 − −λ∗ ≤ 0,05 = 1 − −10∗ 0,05 ≤ 0,05 = 0,3934
Existe una probabilidad de 39,34% de que la siguiente llamada llegue dentro de los próximos 3 minutos.

Desempeño del Modelo de colas
Para diseñar y poner en operación un modelo de colas debemos considerar:
•

El nivel de servicio que recibe un cliente

•

El uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa.

2

Estado del Modelo de colas
• En principio el sistema está en un estado inicial
• Se supone que el sistema de colas llega a una

condición de estado estable (nivel normal de operación) • Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.) • Analizaremos el estado estable.

Estado del Modelo de colas
Tiempo de espera Número de clientes (en orden de llegada) Fase transitoria Fase de estado estable Medidas del desempeño del Modelo de colas
Son los valores numéricos que se utilizan para evaluar un Modelo de colas en un estado estable
• Tiempo promedio de espera (Wq): es el tiempo promedio que un

cliente que llega tiene que esperar en la cola antes de ser atendido

• Tiempo promedio en el sistema (W): es el tiempo promedio que un

cliente invierte desde su llegada hasta su salida de un modelo de colas • Longitud media de la cola (Lq): número promedio de clientes que

se encuentran esperando en la fila para ser atendidos

• Número medio en el sistema (L):número promedio de clientes que

se encuentran en el sistema a cualquier tiempo dado.

Medidas del desempeño del Modelo de colas
• Probabilidad de bloqueo (pw): probabilidad de que un cliente que

llega tenga que esperar a ser atendido
• Utilización (U): fracción de tiempo, en promedio, que un servidor

está ocupado
• Distribución de probabilidad de estado ( ): probabilidad de que

se encuentren n clientes en el modelo de colas cuando está en estado estable
• Probabilidad de negociación de servicio (pd): probabilidad de que

un cliente que llega no pueda entrar al sistema debido a que la cola está llena.

Relaciones entre medidas del desempeño
Parámetros de los procesos de llegada y de servicio:
•  = es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo

• μ = es el número promedio de clientes atendidos por unidad de

tiempo en una servidor
Conociendo  y μ, se cumplen las siguientes relaciones:
1
= Wq+ μ Las fórmulas de las = *W
Lq=  ∗ Wq

medidas de desempeño depende de la clase específica de modelo de colas que se trabaje

Tipos de los Modelos de cola básicos
Para denotar los Modelos de cola se usa una nomenclatura, Ejemplos: M/M/1, M/M/c, M/M/c/K
• El proceso de llegada. Este símbolo describe la distribución de tiempo entre llegadas, que es uno de los siguientes: D para denotar que el tiempo entre llegadas es determinístico
b) M para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución exponencial
c) G para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución general diferente a la exponencial. a)

Tipos de los Modelos de cola básicos
• El

proceso de servicio. Este símbolo describe la distribución de tiempos de servicio, que es uno de los siguientes: D para definir un tiempo de servicio determinístico
b) M para denotar que los tiempos de servicios son probabilísticos y siguen una distribución exponencial
c) G para denotar que los tiempos de servicios son probabilísticos y siguen una distribución general diferente a la exponencial
a)

• El proceso de servicios. Un número c, que representa

cuántos servidores existen en el modelo.

Tipos de los Modelos de cola básicos
• Cuando el espacio de espera es finito, se agrega un

símbolo adicional:
• Un número K que representa el número máximo de clientes que

pueden estar en el sistema en cualquier momento, ya sea en servicio o en espera en la fila. Este número es igual al número de estaciones paralelas más el número total de clientes que pueden esperar para ser atendidos.

Tipos de los Modelos de cola básicos
• Modelos de cola de un solo servidor M/M/1

Un solo servidor

Los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución exponencial Los tiempos de servicios son probabilísticos y siguen una distribución exponencial

Tipos de los Modelos de cola básicos
• Modelos de cola de servidores múltiples con M/M/c

Servidores
Múltiples
Los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución exponencial Los tiempos de servicios son probabilísticos y siguen una distribución exponencial

Tipos de los Modelos de cola básicos
• Modelo de cola con una distribución de tiempo de servicio

general y servidores múltiples M/G/c

Servidores
Múltiples
Los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución exponencial Los tiempos de servicios son probabilísticos y presentan una distribución general

Tipos de los Modelos de cola básicos
• Modelos de cola de servidores múltiples con capacidad

de espera limitada M/M/c/K

Servidores
Múltiples

Los tiempos entre llegadas son probabilísticos y siguen una distribución
Los tiempos de exponencial servicios son probabilísticos y siguen una distribución exponencial

Capacidad de espera limitada

Tipos de los Modelos de cola básicos
Esta tipificación se utilizan para clasificar un sistema de modo que se puedan aplicar los análisis matemáticos adecuados para evaluar el desempeño del sistema
• Modelos de cola de un solo servidor M/M/1
• Modelos de cola de servidores múltiples con M/M/c

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor
M/M/1

Sistema de colas

Llegadas

Cola

Servidor

Salidas

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 Características
Población de clientes: Una población de clientes infinita
Proceso de llegada: en el que los clientes se presentan de acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa promedio de λ clientes por unidad de tiempo
Proceso de colas: que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar primero en salir

Proceso de servicio: que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial con un promedio de μ clientes por unidad de tiempo

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 Características
Condición para que el sistema planteado alcance una condición de estado estable, μ que es el número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un servidor, debe ser mayor a la tasa media de llegadas, ,.

μ>
La fórmulas para el cálculo de las medidas de desempeño se expresan en términos de la intensidad de tráfico (ρ), que es el cociente de  sobre μ.

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 –
Medidas de desempeño
Medida de Desempeño

Fórmula General

Intensidad de tráfico (ρ)

ρ=

λ

μ

Número promedio en la fila ( )
Tiempo promedio de espera en la cola ( )
Tiempo promedio de espera en el sistema (W)

Número promedio de clientes en el sistema (L)

ρ2

=
1−ρ

= λ W=

+

L= λ*W

1

μ

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 –
Medidas de desempeño
Medida de Desempeño

Fórmula General

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema (0 )

0=1-ρ

Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( )

= 1 − 0=ρ

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( )

= ρ ∗ 0

Utilización (U)

U=ρ

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 –
Medidas de desempeño
• Recuerden:
•  (Tasa media de llegadas) = es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo

• μ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un servidor
• Condición de estado estable

>

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 –
Medidas de desempeño – Estudio de Caso
La Autopista Regional del Centro tiene un número de estaciones para el pesado de camiones para verificar que el peso de los vehículos cumple con las regulaciones. En la figura se observa una de las estaciones: Báscula

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 –
Medidas de desempeño – Estudio de Caso
La empresa responsable de la administración de la Autopista Regional del Centro está considerando mejorar la calidad del servicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de las instalaciones como modelo a estudiar, antes de instrumentar los cambios.
El gerente de operaciones de la empresa determino que el sistema actual cumple con las características de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1, adicionalmente posee los siguientes datos:
 (Tasa media de llegadas) = número promedio de camiones que llegan por hora = 60 μ = número promedio de camiones que pueden ser pesado por hora =
66
Importante se cumple la condición μ >  para que el sistema planteado alcance una condición de estado estable Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/1 –
Medidas de desempeño – Estudio de Caso
El gerente de operaciones calculará las siguientes medidas de desempeño del sistema para tomar las decisiones adecuadas para la mejora del servicio:

b.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema (0 )
Número promedio en la fila ( )

c.

Tiempo promedio de espera en la cola ( )

d.

Tiempo promedio de espera en el sistema (W)
Número promedio de clientes en el sistema (L)
Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( )
Utilización (U).

a.

e.
f.
g.

Estudio de Caso - Resultados
Intensidad de tráfico ():

λ ρ= μ

=

60
66

= 0,9091

a. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema ( ):
0=1-ρ= 1-0,9091=0,0909
Lo que significa que 9% del tiempo un camión que llega no tiene que esperar por el servicio, dicho de otra forma el 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar

Estudio de Caso - Resultados
b. Número promedio en la fila ( ):

ρ2 (0,9091)2 =1−ρ=1−0,9091 = 9,0909
Lo que significa que la estación de pesado puede tener aproximadamente nueve camiones esperando para obtener el servicio, sin incluir el que se está pesando c. Tiempo promedio de espera en la cola ( ):

=

9,0909
= 60 =0,1515 λ Este valor indica que en promedio un camión tiene que esperar 0,1515 horas, es decir aproximadamente 9 minutos, en la fila antes de que sea atendido.

Estudio de Caso - Resultados
d. Tiempo promedio de espera en el sistema (W):
1
1
W= + = 0,1515+
= 0,1666 μ 66

Lo que significa que en promedio un camión invierte 0,1666 horas, es decir aproximadamente 10 minutos, desde que llega hasta que sale
e. Número promedio en el sistema (L):
L= λ*W=60*0,1666=9,996
Es decir que en promedio existe un total de 10 camiones en la estación de pesado, ya sea en la báscula o esperando a ser atendidos.

Estudio de Caso - Resultados
f. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( ):

= 1 − 0 =ρ=0,9091
Igual que en el resultado de la pregunta a, indica que aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar g. Utilización (U):
U=ρ=0,9091

Indica que el 91% del tiempo las instalaciones de pesado están en uso, también se puede decir que el 9% del tiempo la estación está sin funcionar. Estudio de Caso - Resultados
Con los resultados obtenidos de la evaluación del sistema actual el
Gerente de Operaciones considera que muchas medidas de rendimiento están dentro de los intervalos aceptables, por ejemplo, un tiempo promedio de espera de =9 minutos para que el chofer pueda pasar por el proceso de pesado es algo razonable. Se tiene también que un promedio de =9 camiones esperando para ser pesados es aceptable, pues la rampa de salida de la carretera tiene una capacidad de 15 camiones, sin embargo en algunas ocasiones la cola llega hasta la autopista. El Gerente de Operaciones sabe que en un futuro cercano deberá evaluar nuevamente el sistema tomando en cuenta nuevas aproximaciones para garantizar la condiciones futuras.

Análisis de un Modelo de colas de servidores múltiples
M/M/c
Sistema de colas
Servidor
Llegadas

Cola

Servidor
Servidor

Salidas

Salidas
Salidas

3

Análisis de un Modelo de colas de servidores múltiples M/M/c Características
Población de clientes: Una población de clientes infinita
Proceso de llegada: en el que los clientes se presentan de acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa promedio de λ clientes por unidad de tiempo
Proceso de colas: que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar primero en salir

Proceso de servicio: que consiste en c servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial, con un promedio de μ clientes por unidad de tiempo.

Análisis de un Modelo de cola de servidores múltiples M/M/c –
Características
Condición para que el sistema planteado alcance una condición de estado estable, la tasa total promedio de servicio, ∗ μ, debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegadas 

∗ μ >
La fórmulas para el cálculo de las medidas de desempeño se expresan en términos de la intensidad de tráfico (ρ), que es el cociente de  sobre μ.

Análisis de un Modelo de colas de servidores múltiples
M/M/c – Medidas de desempeño
Medida de Desempeño

Fórmula General

Intensidad de tráfico (ρ)

ρ=

λ

μ

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema (0 )

0 =

1
−1 ρ

ρ

σ −1 ) +( ∗( ) ρ ρ
=0 !
)+ ! ∗ (−ρ )
(෍
!
−ρ
!
=0

Análisis de un Modelo de colas de servidores múltiples
M/M/c – Medidas de desempeño
Medida de Desempeño

Fórmula General

Número promedio en la fila ( )

ρ +1
1
=
*
*
−1 ! (−ρ)2 0

Tiempo promedio de espera en la cola ( )
Tiempo promedio de espera en el sistema (W)
Número promedio en el sistema (L)

=

W=

λ

+

L= λ*W

1 μ Análisis de un Modelo de colas de servidores múltiples
M/M/c – Medidas de desempeño
Medida de Desempeño

Fórmula General

Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( )

=

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( ) con n<

∗ ρ ∗
!

=

ρ
!

* 0

−ρ

∗ 0

ρ =
∗
! ∗ − 0

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( ) con n>

Utilización (U)

1

U=1- 0 +

−1

∗ 1 +

−2

∗ 2+⋯+

1

∗ −1

Análisis de un Modelo de colas de servidores múltiples
M/M/c – Medidas de desempeño
• Recuerden:
•  (Tasa media de llegadas) = es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo

• μ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un servidor
• c = Número de servidores
• n = número de clientes.

Análisis de un Modelo de cola de servidores múltiples M/M/c –
Medidas de desempeño – Estudio de Caso
La empresa responsable de la administración de la Autopista Regional del Centro está considerando construir una segunda báscula para el pesado de camiones para mejorar la calidad del servicio
El gerente de operaciones de la empresa determinó que el sistema planteado cumple con las características de un Modelo de cola de servidores múltiples M/M/c

Báscula 1

Báscula 2

Estación de pesado Análisis de un Modelo de cola de servidores múltiples M/M/c –
Medidas de desempeño – Estudio de Caso
Adicionalmente posee los siguientes datos:
 (Tasa media de llegadas) = 70 camiones por hora μ = 40 camiones por hora en cada báscula
Se verifica que el sistema alcanza una condición de estado estable ya que: ∗ μ >
2*40 > 70

80 > 70

Análisis de un Modelo de cola de un solo servidor M/M/c –
Medidas de desempeño – Estudio de Caso
Se desea calcular las siguientes medidas de desempeño para el sistema planteado:
a) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema (0 )
b) Número promedio en la fila ( )
c)

Tiempo promedio de espera en la cola ( )

d)

Tiempo promedio de espera en el sistema (W)
Número promedio en el sistema (L).

e)

Análisis económico de los modelos de colas
Mientras más servidores se tengan, mejor será el servicio a los clientes, sin embargo, cada servidor implica costo de operación, por lo que se debe evaluar el equilibrio entre el nivel de servicio y costo Análisis económico de los modelos de colas
Para evaluar un modelo de colas se necesitan las siguientes estimaciones:
 El costo por servidor por unidad de tiempo ( )
 El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema ( )
 El número promedio de clientes en el sistema
()
 El número de servidores (c).

Análisis económico de los modelos de colas
Para cada alternativa que implique c servidores, calcule el siguiente costo:
Costo total por unidad de tiempo en c servidores = ∗ + ∗

Se debe seleccionar la alternativa que ofrezca el costo total mínimo por unidad de tiempo.

Análisis económico de los modelos de colas

Análisis económico de los modelos de colas Ejemplo
Una planta manufacturera de telas, que posee un gran número de máquinas tejedoras que con frecuencia se atascan. Las máquinas son reparadas basándose en el procedimiento de la primera en entrar, la primera en ser revisada, por uno de los siete mecánicos. Se quiere determinar el número de mecánicos más apropiado para mejorar el nivel de servicio actual al menor costo posible.

Análisis económico de los modelos de colas Ejemplo
(c)

( )

( )

()

El costo por
El costo por unidad
El número
Número de servidor por unidad de tiempo por promedio de servidores de tiempo ($) cliente esperando en clientes en el
(mecánicos)
el sistema ($) sistema 7
8
9
10
11

50
50
50
50
50

100
100
100
100
100

12
8
7
6
6

∗ + ∗
Costo total por unidad de tiempo
1.560
1.174
1.129
1.146
1.183

Análisis económico de los modelos de colas Ejemplo
(c)

( )

( )

()

El costo por
El costo por unidad
El número
Número de servidor por unidad de tiempo por promedio de servidores de tiempo ($) cliente esperando en clientes en el
(mecánicos)
el sistema ($) sistema 7
8
9
10
11

50
50
50
50
50

100
100
100
100
100

12
8
7
6
6

∗ + ∗
Costo total por unidad de tiempo
1.560
1.174
1.129
1.146
1.183

Se debe seleccionar la alternativa que ofrezca el costo total mínimo por unidad de tiempo.
Con 9 mecánicos se reduce el costo por hora de 1.560$ a 1.129$, un ahorro de $430 por hora, mayor que la cantidad de 100$ que es lo que cuesta dos mecánicos adicionales por hora.

¡ MUCHAS GRACIAS POR SU
ASISTENCIA !
Profesora Raquel Da Silva racedasilva@gmail.com