Majandusmatemaatika
1. Gaussi meetod
e. elimineerimise meetod täpselt määratud süsteemi korral (võrrandite arv=tundmatute arv): maatriksisjäätakse kõik peadiagonaali elemendid 1ks, kõik ülejäänud elemendid muudetakse 0ks. Selleks valitakse igast reast ja veerust ühe korra juhtelement. Ühest reast või veerust mitu korda juhtelementi valida ei saa. Juhtelemendi rida lahutatakse või liidetakse teistele ridadele, et ülejäänud ridadest saada samasse veergu kus juhtelemend asub nullid.
N: -1 2 1 1 ! 7
1 3 -1 1 ! 4
1 8 1 1 ! 13
1 1 1 1 ! 6
Mittestabiilse süsteemi korral:
Kasutusele tuleb Crameri valem. X1
=x1(maatriks)/kogumaatriks
Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea.
Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis).
Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit.
Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1
=A-1
*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A!E)-
>Gaussi teisend->(E!A-1
).
N: 2 4 8
-2 0 2
4 6 8
2. Leontjevi staatiline mudel
1 2 lõpptoodang y kogutoodang x
1 100=x11 160=x12 240 500
2 275 40 85 400 sisemine tarbimine
Leontjevi mudel aitab leida samasugust tabelit järgmise aasta jaoks, kui uus lõpptoodang y=(200, 100)
Otsekulude maatriks A, aij=xij/xj (1)
100/500 160/400
A= 275/500 40/400
Ax+y=x (2) – tasakaaluvõrrand sisemise tarbimise, lõpp- ja kogutoodangu vahel
Teades lõpptoodangu uut vektorit same koostada sarnase tabeli järgmise aasta jaoks. Selleks teisendame valemit 2. x-Ax=y (E-A)x=y x=(E-A)-1 y=By (3) –B on täiskulude maatriks.
Leiame E-A ning selle pöördmaatriksi ning same uue kogutoodangu maatriksi:
Uusx=By
a
11=0,2=uusx11/uusx1
=uusx11/440, uusx11=0,2*440=88
Esimese toote kogutoodang peab selle võrra suurenema, et saaks teist toodet müüa ühe ühiku võrra rohkem.
Staatilise Leontjevi mudeli puuduseks on investeeringute arvestamine lõpptoodangu hulka. Dünaamilises
Leontevi mudelis arvestatakse investeeringuid eraldi maatriksina.