1 Universidad de Puerto Rico, Recinto de Humacao Departamento de Matem´ticas a MATE 4031 – Tarea 3 – Prof. Alejandro V´lez e Apellidos: ´ Ultimos 4 d´ ıgitos # estudiante: Nombre: Secci´n: o

Instrucciones: Para obtener total cr´dito, muestre todo su trabajo. No se dar´ e a cr´dito a meras respuestas sin procedimiento. La tarea tiene un valor total de e 48 puntos (3 puntos de bono). 1. (8 puntos) Sea A ∈ Mn (F), y sean B = A + AT y C = A − AT .

(a) (4 puntos) Pruebe que B es sim´trica, y que C es antisim´trica. e e

(b) (4 puntos) Demuestre que toda matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una matriz sim´trica con una matriz antisim´trica. e e

2 2. (5 puntos) Sean A, B ∈ Mn (F). Si AB = A y B = I, pruebe que A es singular.

3. (5 puntos) Sean A, B ∈ Mn (R) y x ∈ Mn,1 (R), tales que x = 0 y Ax = Bx. ¿Ser´ a siempre cierto que A = B? De ser cierto, demu´strelo; de ser falso, provea un contraejemplo. e

3 4. (5 puntos) Sean A, B ∈ Mn (F), y sea C = AB. Demuestre que si B es singular, entonces C es singular.

5. (5 puntos) Halle todas las matrices A ∈ Mn (R) que satisfacen la ecuaci´n: AT A = 0. o Justifique su respuesta.

4  1 1 − i − 2i 2 . 6. (9 puntos) Si A =  i 2 + i 4 0 1 (a) (3 puntos) Encuentre det(A) (justificando su respuesta) 

(b) (3 puntos) Use el m´todo de eliminaci´n Gauss-Jordan para hallar A−1 e o

(c) (3 puntos) Calcule det(A−1 ) (justificando su respuesta)

5 7. (10 puntos) Sean A, B ∈ M3 (C) matrices invertibles. (a) (3 puntos) Pruebe que en general det(A + B) = det(A) + det(B) (basta con proveer un contraejemplo).

(b) (4 puntos) Si en adici´n A y B son matrices diagonales, encuentre una condici´n o o necesaria y suficiente para que det(A + B) = det(A) + det(B).

(c) (3 puntos) Provea (si existe) un ejemplo de dos matrices C, D ∈ M3 (R) invertibles, tales que det(C + D) = det(C) + det(D). Justifique su respuesta.