Trabajo de investigación I: métodos numéricos de integración

Resumen
Se explican y comparan tres métodos numéricos para resolver integrales definidas: Las reglas de punto medio, trapecios y Simpson. Estos métodos fueron aplicados para calcular 1211+x4 dx y 134-x dx. Los resultados obtenidos para la integral 1211+x4 dx , con fueron: 0.20431486, 0.204314861 y 0.203145784 en la regla del punto medio, trapecios y Simpson respectivamente. Esta segunda integral no se resolvió de manera exacta; sin embargo se observa que al redondear a un solo decimal el resultado sería el mismo en los tres métodos. El cálculo de 134-x dx, con arrojó respectivamente 2.793061334, 2.793061334 y 2.79733546 para las reglas de punto medio, trapecios y Simpson. Se observa que al redondear a un solo decimal el resultado sería el mismo en los tres métodos, sin embargo el que método que más se aproxima es el de Simpson.

Índice
Introducción ................................................................................................. 3
La regla del punto medio ............................................................................. 4
Regla del trapecio ........................................................................................ 5
Regla de Simpson ........................................................................................ 6
Conclusiones ................................................................................................ 8
Cálculos del ejercicio 1................................................................................... 9
Cálculos del ejercicio 2................................................................................... 10
Bibliografia ..................................................................................................... 11

Introducción
Ec. 1
Como sabemos existen integrales que no están definidas y otras que lo están. Es en la evaluación de estas últimas en lo que nos enfocaremos. Sabemos que existen muchos métodos para evaluar una integral pero también sabemos que no siempre podemos evaluar una integral definida con algunos de los métodos pasados. Un método numérico de integración se refiere a la forma de calcular una integral definida. Es decir:

abfxdx

A continuación mostraremos tres métodos de aproximación numérica, el primero es la regla del punto medio, el segundo la regla del trapecio y el tercero la regla de Simpson. A partir de la investigación hecha, se ejemplificaran los métodos ya mencionados y se mostraran los resultados obtenidos para observar sus variaciones.

La regla del punto medio
Fig 1
Es uno de los casos en los que la suma de Riemann funciona como un método de aproximación de una integral definida. Consiste en dividir el área de la función en rectángulos iguales. Su altura es equivalente al valor de la función pasando justo en el punto que pasa por la mitad de cada rectángulo. Esto se ejemplifica en la siguiente figura: ec.2 El área de la curva se calcula sumando el área de cada uno de los rectángulos. Para llevar a cabo este método es necesaria contar con una tabla de datos, ésta puede que nos la den o que nosotros la tengamos que elaborar utilizando la función dada y evaluándola en un intervalo. Se calcula con la siguiente fórmula:
Área del i-ésimo rectángulo= fa+b2n (b-a)
Ec.3
El error “c” dentro del intervalo está dado por la formula:
Error= b-a3 24n2f'' (c)

Regla del trapecio
Fig.2
Es uno de los métodos cerrados de newton cotes. Este es un método que consiste en la integración de un polinomio para que sea más fácil. Para éste se halla la integral mediante un polinomio de primer grado. Consiste en aproximar el área que se encuentra bajo la curva en un intervalo determinado mediante la división de la misma en diferentes secciones. Posteriormente se unen los puntos que se encuentran en cada subintervalo mediantes segmentos de manera que se van formando trapecios. Cada división tiene el mismo espacio sobre el eje de las x.

Ec.4
La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton. La suma de todas las áreas de los trapecios, será la aproximación del área bajo la curva. Entre mayor sea el numero de intervalos, la aproximación será más precisa. Como sabemos el área de un trapecio es:
Ai = h2 [fxi-1+fxi]

Sin embargo debemos tomar en cuenta que Ai también puede ser negativa dentro de un intervalo por lo tanto esta fórmula se modifica para la utilización de este método quedando de la siguiente manera:
Ec. 5 fX=b-a2 (fa+f(b)) ec.6 La fórmula para calcular el error “c” dentro del intervalo es:
Error= - b-a3 12n2f'' (c)
Regla de Simpson
Ésta es otra formulada cerrada de Newton Cotes. A diferencia de la regla del trapecio en esta se utilizan polinomios de segundo y tercer grado. También es llamada la regla de la parábola, como su nombre lo indica se utilizan segmentos parabólicos para aproximar la curva.
Fig.3

Ec. 7
Consiste en dividir el intervalo [a, b] en un número par de intervalos. Sabemos que la formula de la parábola es:
Ai = h3 [c+4d+e]

ec. 8
Para efectos de esta regla se hace una aproximación dada por la siguiente fórmula: fX=b-a3n (fa+4a+b2+f(b)) ec. 9
La fórmula para calcular el error “c” dentro del intervalo es:
Error= -(b-a)5 180n4 f4(c)

Conclusiones:
Existen diferentes formas para calcular el valor de una integral definida. Sin embargo, como podemos observar en los ejemplos, el valor varía dependiendo el método que se utilice (punto medio, trapecio o Simpson). Además como se menciono en la investigación, cada método puede tener un error. Por las dos razones anteriores podemos reafirma que estas reglas únicamente sirven para darnos una idea del valor de la integral, es decir que nos permite llegar a una aproximación de la integral definida
También podemos decir que el método que más se acerca al valor real de la integral es el se Simpson y basándonos en los otros dos métodos, en ambos ejercicios, no obtuvimos una variación entre los resultados.

Cálculos del ejercicio 1

b= | 2 | a= | 1 | n= | 8 | f(x)= | 1+ (x^4) |

| 0.125 | | | | | REGLA DEL PUNTO MEDIO | | x0= | 1 | | f(x0)= | 0.5 | | (f(x0)+f(x1))/2= | 0.442174158 | | x1= | 1.125 | | f(x1)= | 0.38434832 | | (f(x1)+f(x2))/2= | 0.337463602 | | x2= | 1.25 | | f(x2)= | 0.29057889 | | (f(x2)+f(x3))/2= | 0.254591894 | | x3= | 1.375 | | f(x3)= | 0.2186049 | | (f(x3)+f(x4))/2= | 0.191776677 | | x4= | 1.5 | | f(x4)= | 0.16494845 | | (f(x4)+f(x5))/2= | 0.145186662 | | x5= | 1.625 | | f(x5)= | 0.12542487 | | (f(x5)+f(x6))/2= | 0.110887068 | | x6= | 1.75 | | f(x6)= | 0.09634927 | | (f(x6)+f(x7))/2= | 0.08560085 | | x7= | 1.875 | | f(x7)= | 0.07485243 | | (f(x7)+f(x8))/2= | 0.066837981 | 0.125 | x8= | 2 | | f(x8)= | 0.05882353 | | | 1.634518891 | 0.204314861 |

REGLA DEL TRAPECIO | | REGLA DE SIMPSON | f(x0)= | 0.5 | | | f(x0)= | 0.5 | | 2f(x1)= | 0.768696631 | | | 4f(x1)= | 1.53739326 | | 2f(x2)= | 0.581157775 | | | 2f(x2)= | 0.58115778 | | 2f(x3)= | 0.437209799 | | | 4f(x3)= | 0.8744196 | | 2f(x4)= | 0.329896907 | | | 2f(x4)= | 0.32989691 | | 2f(x5)= | 0.250849741 | | | 4f(x5)= | 0.50169948 | | 2f(x6)= | 0.192698532 | | | 2f(x6)= | 0.19269853 | | 2f(x7)= | 0.149704867 | | | 4f(x7)= | 0.29940973 | | f(x8)= | 0.058823529 | 0.0625 | | f(x8)= | 0.05882353 | 0.04166667 | | 3.269037782 | 0.204314861 | | | 4.87549882 | 0.20314578 |

Cálculos del ejercicio 2:

b= | 3 | a= | 1 | n= | 4 | f(x)= | √4-x |

| 0.5 | | | | | REGLA DEL PUNTO MEDIO | | x0= | 1 | | f(x0)= | 1.73205081 | | (f(x0)+f(x1))/2= | 1.656594819 | | x1= | 1.5 | | f(x1)= | 1.58113883 | | (f(x1)+f(x2))/2= | 1.497676196 | | x2= | 2 | | f(x2)= | 1.41421356 | | (f(x2)+f(x3))/2= | 1.319479217 | | x3= | 2.5 | | f(x3)= | 1.22474487 | | (f(x3)+f(x4))/2= | 1.112372436 | 0.5 | x4= | 3 | | f(x4)= | 1 | | | 5.586122668 | 2.793061334 |

REGLA DEL TRAPECIO | | REGLA DE SIMPSON | f(x0)= | 1.732050808 | | | f(x0)= | 1.73205081 | | 2f(x1)= | 3.16227766 | | | 4f(x1)= | 6.32455532 | | 2f(x2)= | 2.828427125 | | | 2f(x2)= | 2.82842712 | | 2f(x3)= | 2.449489743 | | | 4f(x3)= | 4.89897949 | | 2f(x4)= | 1 | 0.25 | | f(x4)= | 1 | 0.16666667 | | 11.17224534 | 2.793061334 | | | 16.7840127 | 2.79733546 |

Bibliografía
(s.f.). Recuperado el 17 de noviembre de 2010, de http://personales.gestion.unican.es/martinji/Archivos/MetIntegracion.pdf
Becerra, B. (1 de diciembre de 2008). UNAM. Recuperado el 17 de noviembre de 2010, de www.matematicas.unam.mx/gfgf/sc091/.../IntegracionNumerica.pdf
Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
IPN. (18 de noviembre de 2004). Instituto Politecnico Nacional. Recuperado el 16 de noviembre de 2010, de Instituto Politecnico Nacional: http://www.aplicaciones.esimeazc.ipn.mx/MatDesc/Licenciatura/METODOSNUMERICOS/Metodos/Integracion%20y%20Diferenciacion%20Numerica/Metodos%20de%20Newton%20Cotes.htm
UAM. (s.f.). Recuperado el 16 de noviembre de 2010, de http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/intrectang.pdf

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[ 1 ]. Ec 1 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
[ 2 ]. Fig 1 obtenida de http://www.ing.unlp.edu.ar/fismat/imapec/Soft/matb_maple/html/talleres/01_sumas_riemman.htm
Ec. 2. obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
Ec 3 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
[ 3 ]. Fig. 2 obtenida de http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/trapecio.htm
Ec 4 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
[ 4 ]. Ec 5 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
Ec 6 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
Fig 3 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
Ec 7 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
[ 5 ]. Ec 8 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.
Ec 9 obtenida de Edwin J. Purcell, D. V. (2007). Cálculo. México: Pearson.