METODE NUMERIK
INTEGRAL NUMERIK

http://maulana.lecture.ub.ac.id

Definisi


mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan total f(x) f(x) b  f (x )dx

a a 

b

x

Mengapa ada integrasi numerik?
Karena integrasi numerik digunakan untuk menyelesaikan integral yang sulit diselesaikan secara analitik

Jenis integral Numerik










Newton-Cotes
Trapesium
Simpson
Romberg
Fox-Romberg
Gauss-Legendre
Gauss-Chebyshev
Gauss-Hermite
Double Exponential

Definisi


Contoh :

x 2 e 2 x 1
 x  1 dx
0

2

 sulit diselesaikan secara analitis (dengan teori kalkulus yang ada)

Cara Penyelesaian


Melalui pendekatan kurva x f(x)

0

.....

0,25

.....

0,5

.....

0,75

.....
.....
.....

2

.....

Semakin kecil selang, hasil semakin teliti karena semakin besar selang, kesalahan semakin besar

Cara Penyelesaian


Alternatif pemecahan (jika tidak dengan penyelesaian analitis)






Memplot grafik tersebut pada kertas berpetak segi empat (dijumlah luas setiap kotak)
Membuat segmen-segmen vertikal (mirip diagram batang), menjumlah (luas setiap segmen vertikal).
Integrasi numerik

Integrasi Newton Cotes




Perhitungan integrasi numerik yang paling umum adalah formula Newton Cotes.
Strategi dari formula ini adalah mengganti yang rumit atau data yang hilang dengan beberapa fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan. Integrasi Newton Cotes


Jika diketahui suatu f(x) pada interval [a,b], b nilai integral s   f ( x )dx a 

bisa didekati dengan Newton Cotes orde n.
Bentuk umum Newton Cotes orde n  f (n)  a0  a1 x  a2 x 2    an1 x n1  an x n

Integrasi Newton Cotes f2 x   a0  a1 x  a2 x 2

f (n)  a0  a1 x

a

a

b

f3 x   a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3

b

Integrasi Newton Cotes





Semakin tinggi orde Newton yang digunakan sebagai pendekatan perhitungan, akan semakin kecil kesalahan yang dihasilkan.
Pendekatan Newton Cotes orde ke-n
 perlu (n+1) titik.
Dalam formula Newton Cotes



Metode tertutup  batas awal dan batas akhir diketahui Metode terbuka  batas integrasi diperluas di luar rentangan (ekstapoksi)

Metode Trapesium


Metode ini adalah bagian dari metode integrasi Newton tertutup dengan menggunakan aproksimasi polinomial orde 1, sehingga dengan aturan trapesium. b I   f1 x dx

 Newton Cotes orde 1

a

f a  f b 
I  b  a
2

 Rumus ini berpadanan dengan rumus geometri dari trapesium, dengan lebar sebesar (b–a) dan tinggi rata-rata f a  f b 
2

Metode Trapesium


Besarnya kesalahan untuk aturan trapesium tunggal adalah :

1
3
a   f b  a
12
f  adalah nilai rata-rata dari turunan ke-2 yang dirumuskan sebagai b f " x 


f  

a

ba

Metode Trapesium (Ex.)


Diketahui suatu fungsi f x   x  1e x


Hitung nilai analitis dari

2

 f x dx

0





Hitung nilai integral di atas dengan aturan trapesium tunggal pada batas x = 0 sampai dengan x = 2
Hitung nilai t dan a

Metode Trapesium (Ex.)
2

x  1e x dx


0



2

 u.v   v.du

Secara eksak

dv = ex.dx e x dx  e x v= 

u=x+1 du = dx

2

 x  1e dx  x  1.e   e dx ]
0
x

x

x

0

2

 x  1e  e ] x x

0



 

 2  1.e 2  e 2  0  1.e 0  e 0

 3.e 2  e 2  0
2
 2.e = 14,778



Metode Trapesium (Ex.)


Dengan aturan trapesium tunggal f a  f b 
; b = 2; a = 0
I  b  a
2

f a  f 0  0  1.e 0  1 f b   f 2  2  1.e2  3.e2  22,167
1  22,167  23,167
I  2  0
2

Metode Trapesium (Ex.)


Kesalahan
14,778  23,167
t 
 100%  56,767%
14,778

t (tidak dalam persen)
t = |14,778 – 23,167| = 8,389

Metode Trapesium (Ex.)


a = ? f x   x  1.e x f x   e x  x  1.e x  x  2.e x f x   e x  x  2.e x  x  3.e x
2

x  3.e x .dx


f  
2

0

2  0

Metode Trapesium (Ex.)
2

x  3.e x .dx  u.v   v.du


0

dv = ex.dx

u=x+3 du = dx
2

v   e x .dx  e x
2

 x  3.e .dx  x  3.e   e .dx ]
0
x

x

x

0

2

 x  3.e  e ] x x

0



 

 2  3.e2  e2  0  3.e 0  e 0



 5.e2  e2  2  4e2  2  27,556

Metode Trapesium (Ex.)
27,556
f  
 13,778
2  0
1
3
a  
.f b  a
12

1
3
 
13,7782  0
.
12
  9,185
 9,185

References
Resource:
 http://www2.math.umd.edu/~dlevy/classes/amsc466/lectur e-notes/integration-chap.pdf  http://www.mathcs.emory.edu/~haber/math315/chap5.pdf
 http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MATINF1100/h11/kompendiet/chap12.pdf
Comparation :


http://www.hvks.com/Numerical/webintegration.html

Check hasil integrasi