Partialbruchzerlegung
Hier soll das in der Vorlesung angegebene Verfahren zur Partialbruchzerlegung noch einmal zusammengefasst und um der Fall reell unzerlegbarer Faktoren des Nenners erga ̈nzt werden.
Es geht um die Aufspaltung von gebrochen rationalen Ausdru ̈cken S(x) in eine Summe von Q(x)
Partialbru ̈chen. S(x) und Q(x) sind dabei Polynome.
1 Vorbereitung: Polynomdivision
Mit Polynomdivision wird die gegebene gebrochen rationale Funktion in einen ganzrationalen (=polynomialen) und eine echt gebrochen rationalen Summanden zerlegt.
Ab jetzt wird nur noch der zweite Teil betrachtet.

2 Bestimmung der Nullstellen des Nenners

Hilfsmittel sind hier z.B. Hornerschema, p-q-Formel oder Moivre-Formel.
3 Faktorisierung
Ist an der Leitkoeffizient von Q und sind x1 m1-fache, x2 m2-fache, . . . , xk mk-fache (reelle oder komplexe) Nullstelle, so ist
Q(x)=an(x−x1)m1(x−x2)m2 ···(x−xk)mk.
Reelle Polynome n-ten Grades haben zwar insgesamt n Nullstellen in C, aber die nichtreellen
Nullstellen treten in Paaren auf, die sich zu quadratischen Faktoren zusammenfassen lassen:
Ist Q reelles Polynom und z = u+iv komplexe (nichtreelle) Nullstelle (dann ist auch z = u−iv Nullstelle), so ist (x − z)(x − z) = x2 − 2ux + (u2 + v2) reell unzerlegbarer quadratischer Faktor. Ist an der Leitkoeffizient und sind x1 m1-fache, x2 m2-fache, . . . , xk mk-fache reelle Nullstelle, x2 + a1x + b1 n1-facher,. . . ,x2 + alx + bl nl-facher reell unzerlegbarer quadratischer Faktor, so ist
Q(x)=an(x−x1)m1 ···(x−xk)mk(x2 +a1x+b1)n1 ···(x2 +alx+bl)nl. 4 Ansatz fu ̈r die Partialbruchzerlegung

Es ist natu ̈rlich mo ̈glich, eine vollsta ̈ndige komplexe Partialbruchzerlegung durchzufu ̈hren und bei Bedarf die Partialbru ̈che zu konjugiert komplexen Nullstellen wieder zusammenzufu ̈hren. Rechnerisch ist es aber oft einfacher, eine rein reelle Rechnung durchzufu ̈hren.
Der Nenner Q habe die Zerlegung
Q(x)=an(x−x1)m1 ···(x−xk)mk(x2 +a1x+b1)n1 ···(x2 +alx+bl)nl.
1
Dann macht man fu ̈r die Partialbruchzerlegung den Ansatz P(x) = A11 + A12 +···+ A1m1
Q(x) x−x1 (x−x1)2 (x−x1)m1 + A21 +···+ A2m2 +···
x−x2 (x−x2)m2
+ B11x+C11 +···+ B1n1x+C1n1 +···
x2 +a1x+b1 (x2 +a1x+b1)n1 + Bl1x+Cl1 +···+ Blnlx+Clnl . x2 +alx+bl (x2 +alx+bl)nl
• Eine einfache Nullstelle x0 gibt einen Summanden mit dem Nenner x − x0,
• eine k-fache Nullstelle x0 gibt die k Summanden mit den Nennern x − x0, . . . , (x − x0)k,
• ein quadratischer Term x2 + ax + b gibt einen Summanden mit dem Nenner x2 + ax + b,
• ein k-facher quadratischer Term (x2 + ax + b)k gibt die k Summanden mit den Nennern x2 +ax+b,...,(x2 +ax+b)k.
Kontrolle: Hat Q den Grad n, so mu ̈ssen es insgesamt n Unbekannte sein.
5 Bestimmung der Koeffizienten

Erster Schritt ist stets das Aufstellen der Hauptgleichung:
Der Ansatz fu ̈r die Partialbruchzerlegung von P(x) wird mit dem Nenner Q(x) durchmultipli-
Q(x)
ziert. Q ist dabei in der faktorisierten Form und die Nenner der einzelnen Summanden ku ̈rzen sich heraus.
Danach gibt es zwei wichtige Mo ̈glichkeiten:
Kommen in der Zerlegung von Q nicht nur quadratische Faktoren vor, so werden zuna ̈chst die Nullstellen von Q eingesetzt. Dabei erha ̈lt man direkt die Koeffizienten von Summanden, die von einfachen Nullstellen von Q herkommen und von mehrfachen Nullstellen jeweils die mit dem ho ̈chsten Exponenten.
Die restlichen Koeffizienten bestimmt man durch Koeffizientenvergleich:
Die rechte Seite der Hauptgleichung wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x zusammen- gefasst.
Auf linker und rechter Seite werden die Koeffizienten von xk verglichen. Das ergibt ein Glei- chungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten. das man z.B. mit dem Gauß-Algorithmus lo ̈sen kann.
2
Beispiele
2x3 −5x2 −26x+15
x2 −2x−15
1l Da der Za ̈hlergrad gro ̈ßer als der Nennergrad ist, wird eine Polynomdivision vorgenommen: 2x3 −5x2 −26x+15 = 2x−1+ 2x x2 −2x−15 x2 −2x−15
2lund 3lx2 −2x−15=(x−+3)(x−5) 4lAnsatz fu ̈r den echt gebrochen rationalen Anteil:
2x =A+B (x+3)(x−5) x+3 x−5
5lDie Hauptgleichung entsteht durch Multiplikation mit (x + 3)(x − 5): 2x = A(x − 5) + B(x + 3)
Einsetzen von x = −3 ergibt −6 = −8A, also A = 3/4. Einsetzen von x = 5 ergibt 10 = 8A, also B = 5/4.
Damit ist
2x3 −5x2 −26x+15 = 2x−1+ 3/4 − 5/4 x2 − 2x − 15 x + 3 x − 5
2x3 +7x+2
(x2 + 4)2
Der Nenner hat keine reellen Nullstellen. 4l2x3 +7x+2 = Ax+B + Cx+D
(x2 +4)2 (x2 +4) (x2 +4)2 5lDie Hauptgleichung ist
2x3 +7x+2=(Ax+B)(x2 +4)+(Cx+D)=Ax3 +Bx2 +x(4A+C)+(4B+D) Daraus liest man der Reihe nach A = 2, B = 0, C = −1 und D = 2 ab. Also ist
2x3 +7x+2 = 2x + −x+2 (x2 +4)2 x2 +4 (x2 +4)2
3lDer Nenner hat die Faktorisierung x3 − 6x2 + 12x − 8 = (x − 2)3. Daher ist der Ansatz 4lx2−6x+11= A + B + C
(x−2)3 x−2 (x−2)2 (x−2)3 5lDie Hauptgleichung ist x2 −6x+11=A(x−2)2 +B(x−2)+C. 3
x2 −6x+11
x3 −6x2 +12x−8

Einsetzen von x = 2 ergibt sofort C = 3. Der Koeffizientenvergleich fu ̈r x2 ergibt A = 1 (das ist gu ̈nstig, da x2 nur bei A vorkommt). Scließlich ergibt der Vergleich der konstanten Glieder 11 = 4A − 2B + C, also 11 = 4 − 2B + 3, B = −2. Damit ist x2−6x+11 = 1 − 2 + 3 . x3 −6x2 +12x−8 x−2 (x−2)2 (x−2)2
3lDer Nenner ist x3 + 3x2 + 7x = x(x2 + 3x + 7), und der zweite Faktor hat keine reellen Nullstellen.

3x2 + 7 x3 +3x2 +7x
4lDaher ist der Ansatz 5lDie Hauptgleichung ist
3x2 + 7 = A + Bx + C x3 +3x2 +7x x x2 +3x+7
3x2 +7=A(x2 +3x+7)+(Bx+C)x
Einsetzen von x = 0 ergibt A = 1. B und C werden duch Koefizientenvergleich ermittelt:
Beixsteht0=3A+CunddamitC=−3.Beix2 steht3=A+BunddamitB=2.Alsoist 3x2+7 =1+ 2x−3 . x3 +3x2 +7x x x2 +3x+7
3lDer Nenner ist (x2 + 1)(x2 + 2). Daher ist der Ansatz 4lx3 −x2 +2x−1 = Ax+B + Cx+D.
(x2 +1)(x2 +2) x2 +1 x2 +2 5lDie Hauptgleichung ist x3−x2+2x−1 = (Ax+B)(x2+2)+(Cx+D)(x2+1) = x3(A+C)+x2(B+D)+x(2A+C)+(2B+D) Man sieht, dass sich das in zwei Gleichungsgruppen aufteilt:
A + C = 1 und B + D = −1 2A + C = 2 2B + D = −1
Daraus folgt im ersten Gleichungssystem A = 1 und C = 0 und im zweiten B = 0 und D = −1.

x3 −x2 +2x−1 x4 +3x2 +2
Daher ist x3−x2+2x−1= x + −1 .
x4 + 3x2 + 2 x2 + 1 x2 + 2