ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
Под редакцией В.В. Федосеева
Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям
юн и т и
U N I T Y
Москва • 1999
ББК 65.050я73
Э40
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Ректор акад. А.Н. Романов
Председатель Научно-методического совета проф. Д.М. Дайитбегов
Коллектив авторов:
В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов,
И.В. Орлова, В.А. Половников
Рецензенты:
кафедра экономических информационных систем и информационных технологий Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) и канд. фш.-мат. наук, доц. А.Т. Ершов
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвшш
Экономико-математические методы и прикладные моЭ40 дели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш,
Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.:
ЮНИТИ, 1999. - 391 с.
ISBN 5-238-00068-5.
Изложена система экономико-математических методов и моделей для решения широкого класса прикладных задач экономического анализа и прогнозирования. Рассмотрение прикладных экономико-математических моделей сопровождается конкретными числовыми примерами.
Приведены вопросы и упражнения для контроля усвоения изучаемых тем. Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических спе циальностей, а также для практических работников в области финан совой и экономической деятельности.
ББК 65.050я73
I S B N 5-238-00068-5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие подготовлено в соответствии с програм мой дисциплины «Экономико-математические методы и прикладные модели», утвержденной Научно-методическим советом Всероссийского заочного финансово-экономического института для специальностей «Финансы и кредит», «Бух галтерский учет и аудит», «Менеджмент», «Маркетинг»,
«Государственное и муниципальное управление», «Экономи ка и социология труда» на основе Государственных образо вательных стандартов.
Круг вопросов, рассматриваемых в учебном пособии, вклю чает в себя основные темы таких изучаемых ранее дисцип лин, как «Исследование операций в экономике», «Экономи ко-математические методы и модели», «Финансовая матема тика». Основное содержание этих тем заключается в рас крытии понятий и методов математического моделирования социально-экономических систем и процессов; при этом в пособии рассматриваются прежде всего общесистемные при кладные экономико-математические модели, общие для всех перечисленных специальностей: оптимальные модели, в первую очередь модели линейного программирования; трендовые модели экономической динамики на основе одномер ных временных рядов; балансовые модели в статической и динамической постановке; эконометрические многофактор ные модели, главным образом линейные модели парной и множественной регрессии. Кроме того, в учебное пособие в соответствии с требованиями образовательных стандартов включены такие прикладные модели, как модели спроса и потребления, управления запасами, систем массового обслу живания, теории игр.
Выделенный круг вопросов определяет структуру посо бия и содержание его отдельных глав. В главе 1 «Основные понятия математического моделирования социально-эконо мических систем» раскрываются общие понятия системного
4
анализа и моделирования систем и процессов в экономике, рассматривается сущность основных этапов экономико-мате матического моделирования, приводится краткая классифи кация экономико-математических методов и моделей.
В главе 2 «Основы линейного программирования» дают ся примеры экономических задач, которые в процессе эконо мико-математического моделирования сводятся к задачам линейного программирования. Приводятся основные сведения о математическом аппарате линейного программирования.
Излагается геометрический метод решения простейших за дач линейного программирования. Основное внимание уде лено изложению алгоритмов симплексного метода решения задач линейного программирования, включая симплексный метод с искусственным базисом. Рассматриваемые методы и алгоритмы иллюстрируются на конкретных экономических задачах. Глава 3 «Оптимальные экономико-математические модели» посвящена вопросам применения методов математического программирования для решения ряда оптимизационных экономических задач. В § 3.1 рассматриваются вопросы применения теории двойственности линейного программиро вания для анализа оптимальных решений. В § 3.2 изучаются специальные задачи линейного программирования на при мере открытых и закрытых транспортных задач. Отдельные параграфы посвящены методам дискретного (целочисленного) программирования, задачам многокритериальной (векторной) оптимизации, основным понятиям нелинейного и динамиче ского программирования, сетевым моделям управления. При водится также ряд сведений о методах имитационного моде лирования. В главе 4 «Методы и модели анализа динамики экономи ческих процессов» изучаются основные понятия временных рядов экономических показателей на примере одномерных временных рядов. Рассматриваются методы выявления и устранения аномальных наблюдений, методы определения наличия тренда во временных экономических рядах. Иссле дуются методы механического сглаживания рядов, включая метод экспоненциального сглаживания. Приводятся форму лы и примеры расчета основных показателей динамики раз-
Предисловие
5
вития экономических систем. Особое внимание уделено анализу сезонности в экономических процессах, а также ис следованию явления автокорреляции во временных эконо мических рядах.
В главе 5 «Прогнозирование экономических процессов» рассматриваются методологические вопросы экономического прогнозирования, в том числе такие принципы разработки прогнозов, как системность, адекватность и альтернативность.
Исследуются проблемы экономического прогнозирования на основе принципов экстраполяции с использованием кривых роста; при этом анализируются основные типы кривых роста, методы выбора наилучших из них, описывается порядок оп ределения параметров кривых роста на основе одномерных временных рядов экономических показателей. Особое вни мание уделено оценке адекватности и точности трендовых моделей на основе кривых роста. Отдельный параграф по священ вопросам составления точечных и интервальных прогнозов экономической динамики на базе рассматривае мых трендовых моделей. Приводятся также основные сведения об адаптивных методах и моделях прогнозирования.
Глава 6 «Балансовые модели» посвящена проблеме при менения балансовых методов в экономико-математическом моделировании. Рассмотрены основные понятия балансового метода в экономических исследованиях, описана принципиаль ная схема межотраслевого баланса. Изучается экономикоматематическая модель межотраслевого баланса в статиче ской постановке, описывается порядок расчета на ее основе коэффициентов прямых, косвенных и полных материальных затрат. Приводятся примеры использования балансовых моде лей для анализа экономических показателей, а также кратко обсуждаются вопросы разработки и применения динамических межотраслевых балансовых моделей.
В главе 7 «Эконометрические модели» рассмотрены общие понятия об эконометрических моделях, параметры которых оцениваются с помощью методов математической статистики.
Изучаются такие наиболее распространенные эконометриче ские модели, как регрессионные факторные модели. Описан порядок решения основных задач регрессионного анализа
(установление формы связи результативного признака с влияю-
6
щими факторами, определение тесноты этой связи, анализ влияния отдельных факторов) на примере линейных моделей.
Рассмотрены конкретные примеры решения этих задач с ис пользованием линейных моделей парной и множественной регрессии. Глава 8 «Некоторые прикладные модели экономических процессов» посвящена рассмотрению ряда прикладных задач маркетинга, менеджмента и других областей управления в экономике: моделирование спроса и потребления, научное управление запасами, аналитическое моделирование систем массового обслуживания, принятие решений на основе тео рии игр.
Глава 9 «Применение оптимальных экономико-математи ческих моделей для решения производственных задач» иг рает роль приложения. На примере разработки экономикоматематических моделей оптимизации планирования орга низационно-технических мероприятий по экономии расхода материалов в машиностроении раскрывается конкретное содержание этапов и методов экономико-математического мо делирования, рассмотренных в предыдущих главах данного пособия. Учебное пособие подготовлено авторским коллективом в составе преподавателей кафедры экономико-математических методов и моделей Всероссийского заочного финансовоэкономического института:
В. В. Федосеев, доц. — гл. 1, 3 (кроме § 3.1, 3.5), 4 (кроме
§ 4.4), 5 (кроме § 5.4), б, 7, 8;
A. Н. Гармаш, доц. — гл. 2, § 3.5;
Д. М. Дайитбегов, проф. — гл. 9;
И. В. Орлова, проф. — § 3.1, 5.4;
B. А. Половников, проф. — § 4.4.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
• Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования
• Этапы экономико-математического моделирования
• Классификация экономико-математических методов и моделей
1.1. Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования
Использование в данном учебном пособии термина «со циально-экономическая система» требует, строго говоря, не которого предварительного обсуждения. Если понятие «эко номическая система» более или менее сложилось и в широ ком смысле трактуется как система общественного произ водства и потребления материальных благ, то социальные аспекты жизни общества весьма многогранны и не всегда доступны для детального анализа, моделирования и прогно зирования. Вместе с тем некоторые социальные проблемы являются объектом исследования для практических работников тех специальностей финансово-экономического профиля, на ко торые ориентировано это учебное пособие. В качестве при мера можно привести проблему анализа и прогнозирования покупательского спроса в маркетинге, задачу анализа рас пределения работников по уровню заработной платы в эко номике и социологии труда и др. Многие из такого рода проблем могут быть решены с использованием экономикоматематических методов и моделей, и именно такие проблемы имеют в виду авторы пособия, используя термин «социальноэкономическая система».
8
Глава 1
Рассмотрим ряд основных понятий, связанных с систем ным анализом и моделированием социально-экономических систем, чтобы с их помощью более полно раскрыть суть такого ключевого понятия, как экономико-математические методы.
Термин экономико-математические методы понимается в свою очередь как обобщающее название комплекса экономи ческих и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.
Под социально-экономической системой будем понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватываю щую процессы производства, обмена, распределения и по требления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т. е. систем управляемых.
Рассмотрим прежде всего понятия, связанные с такими сис темами и методами их исследования.
Центральным понятием кибернетики является понятие
«система». Единого определения этого понятия нет; возмож на такая формулировка: системой называется комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между элементами и между их атрибутами. Исследуемое множест во элементов можно рассматривать как систему, если выяв лены следующие четыре признака:
• целостность системы, т. е. принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее эле ментов; • наличие цели и критерия исследования данного множе ства элементов,
• наличие более крупной, внешней по отношению к дан ной , системы, называемой « средой »;
• возможность выделения в данной системе взаимосвязан ных частей (подсистем).
Основным методом исследования систем является ме тод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и ис пользование моделей. При этом под моделью будем пони мать образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (т. е. описанный знаковыми средства ми на каком-либо языке), отражающий существенные свой ства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в
рсновные понятия математического моделирования
9
ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изуче ния реального объекта не непосредственно, а через рассмот рение подобного ему и более доступного объекта, его модели.
В дальнейшем мы будем говорить только об экономико-матема тическом моделировании, т. е. об описании знаковыми мате матическими средствами социально-экономических систем.
Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:
• анализ экономических объектов и процессов;
• экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;
• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.
Следует, однако, иметь в виду, что далеко не во всех слу чаях данные, полученные в результате экономико-математи ческого моделирования, могут использоваться непосредст венно как готовые управленческие решения. Они скорее мо гут быть рассмотрены как «консультирующие» средства.
Принятие управленческих решений остается за человеком.
Таким образом, экономико-математическое моделирование является лишь одним из компонентов (пусть очень важным) в человеко-машинных системах планирования и управления экономическими системами.
Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствия модели мо делируемому объекту или процессу. Адекватность модели — в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико-математического моделирования. При моделиро вании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для ис следования. Проверка адекватности экономико-математиче ских моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность измерения экономических величин.
Однако без такой проверки применение результатов модели рования в управленческих решениях может не только ока заться мало полезным, но и принести существенный вред.
10
Глава 1
Социально-экономические системы относятся, как правило, к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно гово рить об адекватности построенной экономической модели.
Важнейшие из этих свойств:
• эмерджентность как проявление в наиболее яркой форме свойства целостности системы, т.е. наличие у экономиче ской системы таких свойств, которые не присущи ни од ному из составляющих систему элементов, взятому в от дельности, вне системы. Эмерджентность есть результат возникновения между элементами системы так называе мых синергических связей, которые обеспечивают увели чение общего эффекта до величины, большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо.
Поэтому социально-экономические системы необходимо исследовать и моделировать в целом;
• массовый характер экономических явлений и процессов.
Закономерности экономических процессов не обнаружи ваются на основании небольшого числа наблюдений. По этому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения;
• динамичность экономических процессов, заключающаяся в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды (внешних факторов);
• случайность и неопределенность в развитии экономиче ских явлений. Поэтому экономические явления и про цессы носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение экономико-матема тических моделей на базе теории вероятностей и мате матической статистики;
• невозможность изолировать протекающие в экономиче ских системах явления и процессы от окружающей сре ды, чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде;
• активная реакция на появляющиеся новые факторы, спо собность социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и мето дам их воздействия.
Основные понятия математического моделирования
11
Выделенные свойства социально-экономических систем, естественно, осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделиро вания, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами практического использования результатов моделирования.
1.2. Этапы экономико-математического моделирования
Процесс моделирования, в том числе и экономико-мате матического, включает в себя три структурных элемента: объект исследования; субъект (исследователь); модель, опо средующую отношения между познающим субъектом и по знаваемым объектом. Рассмотрим общую схему процесса моделирования, состоящую из четырех этапов.
Пусть имеется некоторый объект, который мы хотим исследовать методом моделирования. На п е р в о м этап е мы конструируем (или находим в реальном мире) дру гой объект — модель исходного объекта-оригинала. Этап построения модели предполагает наличие определенных све дений об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели определяются тем, что модель отображает лишь не которые существенные черты исходного объекта, поэтому любая модель замещает оригинал в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих определен ные стороны исследуемого объекта или характеризующих его с разной степенью детализации.
На в т о р о м э т а п е процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. На пример, одну из форм такого исследования составляет про ведение модельных экспериментов, при которых целена правленно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели.
Третий
э т а п заключается в переносе знаний с мо дели на оригинал, в результате чего мы формируем множе-
12
Глава 1
ство знаний об исходном объекте и при этом переходим с языка модели на язык оригинала. С достаточным основани ем переносить какой-либо результат с модели на оригинал можно лишь в том случае, если этот результат соответствует признакам сходства оригинала и модели (другими словами, признакам адекватности).
На ч е т в е р т о м э т а п е осуществляются практиче ская проверка полученных с помощью модели знаний и их использование как для построения обобщающей теории реального объекта, так и для его целенаправленного преоб разования или управления им. В итоге мы снова возвраща емся к проблематике объекта-оригинала.
Моделирование представляет собой циклический про цесс, т. е. за первым четырехэтапным циклом может после довать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально постро енная модель постепенно совершенствуется. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможно сти самосовершенствования.
Перейдем теперь непосредственно к процессу экономикоматематического моделирования, т. е. описания экономиче ских и социальных систем и процессов в виде экономикоматематических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппара том и средствами моделирования. Поэтому целесообразно бо лее детально проанализировать последовательность и содер жание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов: постановка экономиче ской проблемы, ее качественный анализ; построение мате матической модели; математический анализ модели; подго товка исходной информации; численное решение; анализ численных результатов и их применение. Рассмотрим каж дый из этапов более подробно.
1. Постановка экономической проблемы и ее качествен ный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допу щения. Необходимо выделить важнейшие черты и свой ства моделируемого объекта, изучить его структуру и
Основные понятия математического моделирования
13
взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это этап формали зации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функ ций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.
Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитыва ются агрегированно и приближенно. Оправдано стремле ние построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать не которого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта.
Однако возможна и такая ситуация, когда формализа ция проблемы приводит к неизвестной ранее математи ческой структуре.
3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важ ным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, ка кие переменные могут входить в решение, в каких пре делах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объек тов с большим трудом поддаются аналитическому ис следованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап мо делирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъяв-
14
Глава 1
ляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиаль ную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации использу ются методы теории вероятностей, теоретической и ма тематической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку ал горитмов численного решения задачи, подготовку про грамм на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов; при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят много вариантный характер. Многочисленные модельные экс перименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому бы стродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического ис следования, а для многих моделей является единствен но возможным.
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адек ватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны быть произведены верификация и валидация модели) 1 . При менение численных результатов моделирования в эко номике направлено на решение практических задач
(анализ экономических объектов, экономическое про1
Верификация модели — проверка правильности структуры (логики) модели; валидация модели — проверка соответствия данных, получен ных на основе модели, реальному процессу.
Основные понятия математического моделирования
15
гнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).
Перечисленные этапы экономико-математического моде лирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, мо гут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе по строения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной ма тематической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необ ходимость возврата к предшествующим этапам моделирова ния возникает на этапе подготовки исходной информации.
Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы при способиться к доступной исследователю информации.
Выше уже сказано о циклическом характере процесса моделирования. Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах моделирования, устраняются в по следующих циклах. Однако результаты каждого цикла име ют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно получить полезные ре зультаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точные математические зависимости.
1.3. Классификация экономико-математических методов и моделей
Суть экономико-математического моделирования заклю чается в описании социально-экономических систем и про цессов в виде экономико-математических моделей. В § 1.1 кратко рассмотрен смысл понятий «метод моделирования» и «модель». Исходя из этого экономико-математические ме тоды следует понимать как инструмент, а экономико-мате матические модели — как продукт процесса экономико-ма тематического моделирования.
Рассмотрим вопросы классификации экономико-матема тических методов. Эти методы, как отмечено выше, пред-
16
Глава 1
ставляют собой комплекс экономико-математических дис циплин, являющихся сплавом экономики, математики и ки бернетики. Поэтому классификация экономико-математиче ских методов сводится к классификации научных дисцип лин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классифи кация этих дисциплин пока не выработана, с известной сте пенью приближения в составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:
• экономическая кибернетика: системный анализ эконо мики, теория экономической информации и теория управляющих систем;
• математическая статистика: экономические прило жения данной дисциплины — выборочный метод, дис персионный анализ, корреляционный анализ, регресси онный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов и др.;
• математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория эконо мического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространствен ный анализ, глобальное моделирование и др.;
• методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объ емный раздел, включающий в себя следующие дисцип лины и методы: оптимальное (математическое) програм мирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, программно-целе вые методы планирования и управления, теорию и мето ды управления запасами, теорию массового обслужива ния, теорию игр, теорию и методы принятия решений, теорию расписаний. В оптимальное (математическое) программирование входят в свою очередь линейное про граммирование, нелинейное программирование, динами ческое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, дробно-линейное программирование, параметрическое программирование, сепарабельное про граммирование, стохастическое программирование, гео метрическое программирование;
Основные понятия математического моделирования
17
• методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для ры ночной (конкурентной) экономики. К первым можно отнести теорию оптимального функционирования эконо мики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снаб жения и др. Ко вторым — методы, позволяющие разра ботать модели свободной конкуренции, модели капита листического цикла, модели монополии, модели индика тивного планирования, модели теории фирмы и т. д.
Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в усло виях рыночной экономики;
• методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспери ментов, методы машинной имитации (имитационное мо делирование), деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению.
Перейдем теперь к вопросам классификации экономикоматематических моделей, другими словами, математических моделей социально-экономических систем и процессов.
Единой системы классификации таких моделей в настоя щее время также не существует, однако обычно выделяют более десяти основных признаков их классификации, или классификационных рубрик. Рассмотрим некоторые из этих рубрик.
По о б щ е м у ц е л е в о м у н а з н а ч е н и ю эконо мико-математические модели делятся на теоретико-анали тические, используемые при изучении общих свойств и за кономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления. Различные типы прикладных экономико-математических моделей как раз и рассматриваются в данном учебном пособии.
По с т е п е н и а г р е г и р о в &м и я о б ъ е к т о в мо делирования модели разделяются на макроэкономические и
18
Глава 1
микроэкономические.
Хотя между ними и нет четкого раз граничения, к первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с та кими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.
По к о н к р е т н о м у п р е д н а з н а ч е н и ю , т. е. по цели создания и применения, выделяют балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оп тимизационные модели, предназначенные для выбора наи лучшего варианта из определенного числа вариантов произ водства, распределения или потребления; имитационные модели, предназначенные для использования в процессе ма шинной имитации изучаемых систем или процессов и др.
По т и п у и н ф о р м а ц и и , используемой в модели, экономике-математические модели делятся на аналитичес кие, построенные на априорной информации, и идентифи цируемые, построенные на апостериорной информации.
По у ч е т у ф а к т о р а в р е м е н и модели подразде ляются на статические, в которых все зависимости отнесе ны к одному моменту времени, и динамические, описываю щие экономические системы в развитии.
По у ч е т у ф а к т о р а н е о п р е д е л е н н о с т и мо дели распадаются на детерминированные, если в них ре зультаты на выходе однозначно определяются управляющи ми воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные резуль таты в зависимости от действия случайного фактора.
Экономико-математические модели могут классифициро ваться также по х а р а к т е р и с т и к е математиче с к и х о б ъ е к т о в , включенных в модель, другими сло вами, по т и п у математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелиней ного программирования, корреляционно-регрессионные модели,
Основные понятия математического моделирования
19
модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.
Наконец, по т и п у подхода к изучаемым социально-экономическим системам вы деляют дескриптивные и нормативные модели. При деск риптивном (описательном) подходе получаются модели, предназначенные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений; в качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При норма тивном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определен ных критериев. В частности, все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; другим примером могут служить нормативные модели уровня жизни.
Рассмотрим в качестве примера экономико-математиче скую модель межотраслевого баланса (ЭММ МОБ). С учетом приведенных выше классификационных рубрик это приклад ная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, де терминированная, балансовая, матричная модель; при этом су ществуют как статические, так и динамические ЭММ МОБ.
Вопросы и задания
1. В чем заключается смысл системного подхода к анализу социальноэкономических систем и процессов?
2. Сформулируйте понятия «модель» и «метод моделирования».
3. Каковы важнейшие особенности социально-экономических систем как объектов моделирования?
4. Дайте характеристику этапов экономико-математического моде лирования. 5. Укажите основные научные дисциплины и методы, входящие в состав экономико-математических методов.
6. Назовите основные классификационные признаки экономикоматематических моделей и приведите примеры моделей, входя щих в ту или иную классификационную рубрику.
Глава 2
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
•
•
•
•
•
Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования
Формы записи задачи линейного программирования и ее эконо мическая интерпретация
Математический аппарат
Геометрическая интерпретация задачи
Симплексный метод решения задачи
2 . 1 . Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования
Линейное программирование — это частный раздел опти мального программирования. В свою очередь оптимальное
(математическое)
программирование — раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реали-зации принципа оптимальности в планировании и управлении.
Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию и управлению (принципа опти мальности) является гибкость, альтернативность производст венно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых прихо дится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производствен ной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутиза ция, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).
Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение X = (xi, Х2 хп), где
Ху, (у = 1. я ) — его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.
21
Основы, линейного программирования
Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор неко торого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономиче ского показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традици онные критерии оптимальности: «максимум прибыли», «ми нимум затрат», «максимум рентабельности» и др.
Слова «учитывало бы внутренние возможности и внеш ние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) на кладывается ряд условий, т.е. выбор X осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; эту область называют также областью определения задачи.
Таким образом, реализовать на практике принцип опти мальности в планировании и управлении — это значит ре шить экстремальную задачу вида: max(min)/(x), XeD,
(2.1)
(2.2)
где м^Ч — математическая запись критерия оптималь ности — целевая функция. Задачу условной оптимизации
(2.1), (2.2) обычно записывают в виде:
Найти максимум или минимум функции
(2 3)
