课程简介
• 预修课程： 数学分析，概率统计 • 学分：3 • 主讲人：谢树香 E-Mail: xieshuxiang@gmail.com • 助教：潘文亮 E-Mail: tottijordan@126.com

《现代精算风险理论》 Modern Actuarial Risk Theory
• 教材： 《现代精算风险理论》 R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐， M.狄 尼特著 唐启鹤，胡太忠，成世学译， 科学出版社。

• 参考书： 1. 《数学风险论导引》，汉斯. U. 盖伯著， 世界图书出版公司。 2. 《风险理论》， N.L.鲍尔斯等著， 上海科学技术出版社。

保险入门参考书
1、 保险学，王绪瑾 等著，经济管理出版 社，1999年7月； 2、 保险学，孙祁祥 著，北京大学出版 社，1996年12月； 3、 保险学，魏华林 林宝清 主编，高等教 育出版社，1999年6月；

保险入门参考书
• 风险管理与保险（第八版），（美）C.小 阿瑟.威廉斯 迈克尔.L.史密斯 彼得.C.. 扬 著，马从辉 刘国翰 译，马从辉 校， 经济科学出版社，2000年5月； • 风险管理与保险，（美）特瑞斯.普雷切 特 琼.丝米特 海伦.多平豪斯 詹姆斯.艾瑟 林 著，孙祁祥 等译，孙祁祥 校，中国社 会科学出版社，1998年5月；

保险入门参考书
• 风险管理与保险， Scott E.Harrington Gregory R.Niehaus 著，陈秉正 王Jun 周伏平 译，清华大学出 版社，2001年10月； • 英汉精算学词汇，谢志刚 朱仁栋 编，上 海科学技术出版社，2000年6月； • 英汉保险词典，张栓林 编著，中国金融出 版社，2000年9月；

金融入门参考书
• Futures, Options and other derivatives John Hull. 《期权、期货和其他衍生品》 被誉为“华尔街的圣经” • Arbitrage theory in continuous time Tomas Bjork. 这本书非常适合数学/物理背 景的人读，注重数学理论。

金融入门参考书
• Financial calculus for finance II— Shreve 仔细，适合数学背景，但是比较 厚。Shreve@CMU。 • Brownian motion and stochastic calculus--Shreve& Karasatz 搞研究的 话，或者读phd, 这是必须的。但是书比较 难，要有心理准备。 Karasatz@哥大。

金融入门参考书
• Concepts and practice of Mathematical Finance--Mark Joshi @ RBS工作。 适合作 为入门学习，实用. • Monte Carlo methods in fianncial engineering.-- Paul Glasserman@哥大。 • Monte Carlo in finance.--Peter Jackel @ABN Amro伦敦。实用.

• 教材内容： 1. 经典的风险理论，如期望效用模型，个 体风险模型，聚合风险模型等； 2. 与精算实务息息相关的研究方法，如保 费原理，IBNR模型，汽车保险保单的评估, 广义线性模型、信度理论等等。 3. 现代精算风险理论的一些热点研究，如 风险排序。

主要内容
1. 效用理论与保险 期望效用模型； 效用函数族； 停止损失再保险的最优性。

主要内容
2. 个体风险模型 混合分布和风险； 卷积；变换；近似； 应用：最优再保险。

主要内容
3. 聚合风险模型 复合分布；理赔次数的分布； 复合泊松分布；Panjer递推； 复合分布的近似； 个体和聚合风险模型； 几个理赔额分布和参数族； 停止损失保险与近似； 方差不等情形下的停止损失保费。

主要内容
4. 破产理论 风险过程；指数型上界； 破产概率和指数型理赔；离散时间模型； 再保与破产概率； Beekman卷积公式； 破产概率的一些解析表达式； 破产概率的近似计算。

主要内容
5. 保费原理 利用上下方法计算保费； 各种保费原理； 保费原理的性质； 保费原理的刻画； 通过共保来降低保费。

主要内容
6. 奖惩系统 奖惩系统的一个例子； 马尔可夫分析。

主要内容
7.信度理论 平衡Buhlmann模型； 更一般的信度模型； Buhlmann-Straub模型； 关于汽车保险理赔次数的负二项模型。

主要内容
8. 广义线性模型 广义线性模型； 若干传统的估计方法与广义线性模型； 偏差与比例偏差； 列联表分析； 广义线性模型的随机分量。

主要内容
9. IBNR技巧 一个包容不同IBNR方法的广义线性模型； 若干IBNR方法的数值说明。

主要内容
10. 风险排序 较大风险； 更危险的风险； 应用；不完全信息； 相依随机变量之和。

考试方式及要求
• 期末闭卷考 60% • 平时作业 30% • 随机考勤 10%

作业要求
• 作业满分30分 • 要求 务必独立完成； 按时上交，过期不收； 累计N未按时交作业扣2N分； 累计N次抄袭或被抄袭扣3N分。

考勤要求
• • • • • 全勤满分10分； 随机部分点名或随机提问； 迟到或私事请假每次扣1分; 特殊原因请假不扣分； N次旷课扣2N分。

第1章

效用理论与保险

1.1引言
• 例：我们有这样的二种选择： • A：0.1%的机会得到2000元钱，99.9% 的机会什么也得不到。 • B：100%的机会得到2元。 • 选择A？或B？

喜好风险

• 例：我们有这样的二种选择： • A：0.1%的机会失去2000元钱，99.9% 的机会不损失。 • B：100%的机会夫去2元。 • 选择A？或B？

厌恶风险

• 例：我们有这样的二种选择： • A：0.1%的机会失去2000元钱，99.9% 的机会不损失。 • B：100%的机会失去4元。 • 选择A？或B？

1.2 期望效用模型

假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？

• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。

因为这么大的损失一但发生可以导致破 产。 结论：可以付出比期望值高的费用为风险 投保。

例 1.2.1(圣彼得堡悖论)

以价格 P 元参与如

下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为 止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益 就可以获得
⎛1⎞ 2n ⎜ ⎟ = ∞ ．然而，除非 是∑ 2 ⎝ ⎠ n =1
∞ n

P 很小，否则很少有人会

参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望 收益．

在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和 摩根斯特恩（Morgenstern）于 1947 年引入的模型描 述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择． 一个评估财富 w 的效用函数 u ( ⋅) ， 决策基于期望 E ⎡u ( w − X ) ⎤ ⎣ ⎦ 如果有二个损失 X，Y，比较 E ⎡u ( w − X ) ⎤ 与 ⎣ ⎦

E[u ( w − Y )] 的大小来决定

为比较X 和Y，效用函数与其线性变换 au ( x ) + b 是等价的，即无论选择哪个效用函数会得出相同的 决策。

当且仅当

u ( x )与 au ( x ) + b

是等价的。

效用函数的确定
• 效用函数是存在的。但很难给出一个明 确的解析式。 • 可以向决策者提出大量的问题，通过他 对这些问题的回答来决定该决策都的效 用函数。 • 如“为了避免以概率q损失1个单位货币， 你愿意支付多少保费这P？”

例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 临两种选择： A． 以概率 1/2 损失 b 元， B． 仅支付固定的 b/2 元． 他的决策是这样的： 当 b = 1 时，他选择 A； 当 b =4 时，他选择 B； 当 b =2 时，两种选择等价．

假设一个拥有资

本 w 的个体使用效用函数 u ( ⋅) 衡量其财富的价值．他面

这个人喜欢一定程度的冒险，但他又害怕大的损失。 （这样的人会购买火灾保单，同时愿意参与抽奖的活动． ） 对于这样的决策，效用函数 u ( ⋅ ) 应该具有怎样的形式？

选择 w=0．假设 u ( 0 ) = 0 和 u ( −1) = −1 ．
当b = 1 时，他选择A； u (− 1 ) < 1 [u (0) + u (−1)]
2 2

1 当b =4 时，他选择B； u ( −2) > [u (0) + u (−4)] 2
当b =2 时，两者等价．
这既不是凸函数也不是凹函数。

• 有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 • 被保险人是风险厌恶者。 • 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减 u ' ( x) ≥ 0 ； 2． 凹函数 u ' ' ( x) ≤ 0 。

定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果 v(x) 是一个凸函 数，Y 是一个随机变量，则

其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有

被保险人方面：

现在，假设一个厌恶风险型的被保险人拥有财富 w，使用效用函数是 u X 的保险保障．如果

( ⋅ ) ，他以保费 P 获得对损失

如果上面的不等号成立，那么他会提高期望效用． 如果 P + 代表被保险人愿意支付的最大保费， 它是以 下效用均衡方程的解

如果 u ( ⋅) 是一个非减的连续函数，则有 P ≤ P + 。

保险人方面：

设保险人的效用函数为 U ( ⋅ ) ，资本为 W． 如果 损失 X 。
E ⎡U (W + P − X ) ⎤ ≥ U (W ) ⎣ ⎦

,那么保险人将以保费 P 承保

如果上面的不等号成立，那么他会提高期望效用． 可从反映保险人 如果 P 表示保险人要求的最小保费， 状况的效用均衡方程中解出：
−

如果 U (x) 是一个非减的连续函数，则有 P ≥ P 。

−

P+ ≥ P− ，那么交易会同时增加保险人与被保险 如果

人双方的期望效用。

买卖成功！

• 实际风险是中性的，即对于任意的风险X，有期望 保费EX就够了。 • 由大数定律可知：

X1 + X 2 + n

Xn

→ EX

风险厌恶系数：效用函数 u (x) 在财富 W 处的风险厌
恶系数 r (w) 为 r ( w) = − u ' ' ( w) u ' ( w)

知识回顾
• 期望效用模型的两个基本假设： （1）理性人； （2）风险厌恶型。 • 理性人——效用函数非减——钱越多越好 • 风险厌恶型——Jensen不等式——效用函 数为一个凹函数

定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果 v(x) 是一个凸函 数，Y 是一个随机变量，则

风险厌恶型——凹的效用函数
• 由此不等式可以得到，对于一个凹的效用 函数，有

被保险人的效用均衡方程

保险人的效用均衡方程

术语

我们即将探讨……
• 风险厌恶系数 ——通过一个算例来解释； • 效用函数族 ——指数保费；平方效用函数； ——不可保风险； • 停止损失再保险(第三周) ——概念；最优性。

例 1.2.4 给定效用函数 算风险 X 最大保费 P

u (x)
+

， 我们如何近似计

？

例 1.2.4 给定效用函数 算风险 X 最大保费 P
记 μ 和σ
2

u (x)
+

， 我们如何近似计

？

分别表示 X 的均值与方差．

在后面式子的两边同时取期望，得到

P+

因此，风险X 的最大保费 P

+

近似为

于是风险X 的最大保费 P 近似为

+

风险厌恶系数：效用函数u(x) 在财富 W 处的风险厌
恶系数r(w) 为 u' ' (w) r(w) = − u' (w)

注意到 u ( x ) 用 au ( x ) + b 替换时，r ( w) 并没有改 变．从（1.18) ，我们可以看到风险厌恶系数真正 反映了风险厌恶的程度：

对风险厌恶程度越高， 准备支付的保费也越大．
当

r 趋于0时，最大保费趋于纯保费

１.３效用函数族

其他常用的风险厌恶效用函数
•

（1）常相对风险厌恶效用函数CRRA （替代弹性不变）：

⎧ c 1− γ , 对于 γ > 0 , 且 γ ≠ 1 ⎪ u ( c ) = ⎨1 − γ ⎪ ln c , 对于 γ = 1 ⎩

1 u ′( c ) σ (c ) ≡ − = c u ′′ ( c ) γ

其他常用的风险厌恶效用函数
（2）常绝对风险厌恶效用函数CARA（替代 弹性可变）： • 1 −α c u (c ) = − e (α > 0 ) • α •
1 u ′( c ) σ (ct ) ≡ − = c u ′′ ( c ) ac

•

γ 被称为相对风险厌恶系数； α 被称为绝

对风险厌恶系数。

其他常用的风险厌恶效用函数
• 更应一般的风险厌恶类效用函数还有线性 和双曲型的：
⎞ 1 − γ ⎛ βc ⎜ u (c ) = ⎜ 1 − γ + η ⎟ , ( β > 0 , γ < 1) ⎟ γ ⎝ ⎠
1 u ′( c ) η = + σ (ct ) ≡ − c u ′′ ( c ) 1 − γ βc γ 其他常用的风险厌恶效用函数

lim u ( c ) = β c , ( β > 0 ) γ →1

u ( c ) = − (η − β c ) , ( β > 0 )
1 2 2

γ =2

γ → −∞

lim u ( c ) = exp( − β c ), ( β > 0 ) β =1,η = 0

lim u ( c ) γ →1

=

ln c

例1.3.1（指数保费） 假设一保险人使用参 数为 α 的指数效用函数，对于风险X ，最小
P − 应为多少？ 保费

U ( x) = −αe−α x 代入均衡方程（1.11）得 把

mx (α ) = E ⎡ eα x ⎤ 是X 其中 ⎣ ⎦

的矩母函数．

（留为作业）

作业 第1.2节习题3,5; 第1.3节习题1-3。

备注：请用活页纸，写上学号姓名。

作业

知识回顾
• 风险厌恶系数 ——通过一个算例来解释； • 效用函数族 （1）指数保费 ——与保险人当前财富独立；

下面我们将学习
• 效用函数族 （2）平方效用函数 ——优点：便于计算； ——缺点：不太适合风险厌恶决策者。 • 不可保风险 • 一个悖论——期望效用理论失效

本节涉及到的相关概率论问题： 1.如何计算连续型随机变量的矩母函 数？ 2.指数效用函数与指数型随机变量的密 度函数的区别在哪里？ 3.指数分布的期望、方差和矩母函数分 别是什么？

本节涉及到的相关概率论问题： 4. 伽玛分布的密度函数、期望、 方差、矩母函数的表达式如何？ 5.伽玛函数的主要性质有哪些？ 6.计算 数。 对应的期望和矩母函

假设损失X 服从 E x p ( β )分布，其中 E x p ( β 表示参数为 β 的指数分布．令 β ＝0.01 ，则 EX=100． 如果被保险人的效用函数是参数为 α = 0.005 的指数效用函数，

)

138.6>100
因此被保险人愿意在纯保费 E [ X ] 之上 附加相当数量的额外保费．

由例1.2.4中近似式(1.18)得

显然，近似表达式(1.22)随α 递增。

如果X 是方差有限的非负随机变量，则(1.20) 所决定的保费也是递增的，具体证明如下。 令

由Jensen 不等式知

取 Y = exp ( γ X ) 则 v (Y ) = exp (α X ) 且

对任意 γ > α 有

例 1.3.2 （平 方 效 用 函 数 ） 假 设 被 保 险 人 的 效 用 函 数 为 u( x) = 10w − w2 , w < 5 ， 对损失额为 1， 以概率 1 / 2 发生的风险

进行承保的保单， 其最大保费

P 作为 w(w ∈[0,5]) 的函数是何

+

种形式？如果 w 增加，保费会如何变化？

由方程(1.10)．发生损失X 之后的期望效用为 （注：随机损失——期望效用）

以及支付保费P之后的效用为（注：确定损失）

请验证（1.28）（1.29）。

由均衡方程（1.10）知，（1.28）和 （1.29）右边相等，从而， 近似的最大保费：
⎛ 11 ⎞ 1 P = ⎜ − w ⎟ + − (5 − w), ⎝2 ⎠ 4
2

w ∈ [0.5]

将作为作

例1.3.3（不可保的风险） 某决策者使用风 险厌恶系数为 α > 0的指数效用函数，他想 对分布为 Γ ( n,1)的风险进行投保，其中 Γ ( n,1) 表示参数为a, b的伽玛分布．确定 P + 并证 明 P + > n ，何时 P + = ∞此时说明了什么？

因为log (1 + x ) < x, ∀x > −1, x ≠ 0 , 我们有log (1− α ) < −α . 因而 P + > E [ X ] = n 所以，计算出的保费大于纯保 费．如果 α ≥ 1 ，则 P + = ∞ ，这表明决策者愿 意支付任何有限的保费．按照效用理论，如果 风险厌恶系数为 α ≥ 1 .那么承保该风险的保险 人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因 为 P − = ∞．对于这些保险人来说，这种风险是 不可保的．

请问，你会选择X，还是Y？

X>Y >

请问，你会选择V，还是W？

W>V <

1.4

停止损失再保险的最优性

再保险合同通常只承保保险人的一部分 风险．停止损失(再）保险承保损失超出指定 免赔额的超额部分． 它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假 设 X ≥ 0 ) . 则理赔支付为

对于停止损失保险合同，其纯保费 E ⎡( X − d )+ ⎤ ⎣ ⎦ 称为停止损失保费，记为

F 在离散情形， X ( x ) 为阶梯函数，其在x 处的 F 跳为 fX ( x) ；在连续情形，X ( x )有导函数 fX ( x) 两种情形下的停止损失保费都可由下式给出

为 什 么 ？

定理1.4.l （停止损失再保险的最优性）用I ( X ) 记当损失为 X ( X ≥0) 时，某再保险合同约定的理 赔支付．假设 0 ≤ I ( x ) ≤ x 对于任意 x ≥ 0成立,则

证明

因为

E ⎡V ( X ) ⎤ = E ⎡W ( X ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

，所以只需证明

上式成立的一个充分条件是 V ( X ) − d 以概率1 成立． 当 X ≥ d 时， W ( X ) ≡ d ．显然成立； 当 X < d 时, 我们有W ( X ) ≡ X ，有

≥ W

(X )− d

• 停止损失保费不仅使自留风险的方差达 到最小，而且还使被保险人的期望效用 达到最大。

例1.4.2 （比例再保险的最优性） 假设保险人 收取保费 (1 + θ ) E [ X ] ,正寻求最有利的再保险 I ( X) 满足 0 ≤ I ( X ) ≤ X ，且自留风险的方差给定如 下：

我们用两种方法计算再保险公司收取的再保费．第一 种情形（A） ，再保险公司按保险人原保险合同条款收 取相同的再保费，因此，再保费等于 (1+ λ) E ⎡I ( X )⎤ ⎣ ⎦

我们必须使再保险公司的期望利润达到最小

问题B 容易解决一些

因为右边的前两项是固定的，所以左边的最小化等价 于协方差项的最大化．因为 X 和 X
− I (X

) 的方差是给

定的，所以可以取 I ( x ) = γ + β x 使得 X 和 X − I ( X ) 完全线 性相关．由 0 ≤ I ( x ) ≤ x 得 γ = 0 和 0 ≤ β ≤ 1 ．再由（1.42） 得

(1 − β ) = V / Var [ X ]
2

.因此，如果给定自留风险的方差，

且再保险公司采用方差原则，则比例再保险 I ( X ) = β X 是最优的，其中 β =1− V /Var[ X]

．

对于情形 A ，我们利用定理 1.4.1．通过对 d 求导，

可以证明（见习题 1.4 第 3 题） 及 σ2 ( d) =Var ⎡X −( X −d)+ ⎤ ⎣ ⎦

μ( d) = E⎡X −( X −d)+ ⎤ ⎣ ⎦

以

是 d 的连续函数．注意 和 σ 2 ( ∞ ) = Var [ X ]

μ ( 0) =σ 2 ( 0) = 0, μ ( ∞) = E[ X ]

.

先来看一个小故事.
• 假如你有几亩地的使用权, 准备这上面建造 一些运动设施。 • 但它的表面是非常不平整的, 有小土丘, 还 有小池塘等。 • 你打算怎样安排这块土地的用法？

• 方案一: 把整块地填平, 建一个标准的跑道, 注意填充时只允许把高的地方的土填到低 的地方, 不允许从外面运土进来, 或者将这 里的土运出去. • 方案二: 把整块地分成好几个小区域, 把每 块小区域填平. 填充的方法还是类似, 只是 每块小区域的土还是保持不变的. 例如原来 是池塘, 就改造成游泳池. 这样可以比方案 一要节省一些工作量.

这跟条件数学期望有什么联系?

• 方案一: 把整块地填平, 建一个标准的跑道, 注意填充时只允许把高的地方的土填到低 的地方, 不允许从外面运土进来, 或者将这 里的土运出去. ——对整块地求平均, 也就是期望。

• 方案二: 把整块地分成好几个小区域, 把每 块小区域填平. 填充的方法还是类似, 只是 每块小区域的土还是保持不变的. 例如原来 是池塘, 就改造成游泳池. 这样可以比方案 一要节省一些工作量. ——划分为几个小区域, 也就是一个分拆, ——然后在每块小区域求平均, 这样得到的是 相对的平均, 也就是条件期望

• 假如你刚把方案二做完, 但由于特殊要求, 这块地要用来做跑道, 这时你再把整个地填 平。 ——也就是把条件期望再求期望 ——等同于方案一对整个区域求期望

条件分布与条件期望

一、离散型随机变量的条件期望 二、连续型随机变量的条件期望

• 定义 若随机变量 ξ 在条件"η = b j " 下的条件 分布列为 pi / j 又 ∞

离散型随机变量条件数学期望

∑

称 ∑ ai pi / j 为 ξ 在 η =bj 条件下的条件数学期望 i =1

∞

i=1

ai pi/

j

< ∞

记作： E {ξ / η = b j }

例2 某射手进行射击，每次设计击中目标的 概率为p(0 0 的所有 x 求和．

连续型的随机变量
分布函数为：

F ( x) =

−∞

∫ f (t )dt

x

f ( x ) 称为概率密度函数．同样 f ( x ) ≥ 0 ，且 ∫ f ( x ) dx = 1 ．

• 在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离 散型要么为连续型，几乎无一例外． • 然而保险领域却不总是这样．许多被用来模拟 保险理赔支付的分布函数有连续增长的部分， 同时也有离散的、正的跳跃部分．

设Z 代表某个保单的理赔支付，则有三 种情况： • 保单合同无理赔，因此Z=0 . • 保单合同的索赔数额大于最大的保险金额 M ，则Z =M . • 保单合同产生正常的索赔数额，则0 0 .

为了计算 Z 的矩、矩母函数

E ⎡etZ ⎤ ⎣ ⎦

E⎡ Z −d ⎤ 和停止损失保费 ⎣( )+ ⎦ 等等，

首先计算 Z 函数的期望．为此，我们用条件期望的平滑公式：

取公式中的 W = g ( Z ) ，并用 I 代替 V ，其中 g ( ⋅ ) 是某
⎣ ⎦ 个函数．再引入 h ( i ) = E ⎡ g ( Z ) | I = i ⎤ ，我们得到

= ∑ g ( z )[ F ( z ) − F ( z − 0)] + z ∞

−∞

∫ g ( z ) F ' ( z )dz

• Riemann-Stieltjes积分 • 混合随机变量的分布 对于混合随机变量 Z = IX + (1 − I )Y 其分布为：FZ ( z ) = qFX ( z ) + (1 − q) FY ( z )

例 2.2.3（自行车被盗险）考虑自行车保单：在保险事故“自行车被 盗”发生时，赔付 b 给被保险人，同时保险人的保险责任终止． 正如大多数寿险保单一样， 这种保单的赔付次数为 0 或 1 ， 且 事先知道赔付额 b．假设保险事故发生的概率为 q． 可以用 X = Ib 理赔支付， 其中 I 为 Bernoulli(q)示性随机变量， I = 1 表示自行车被盗，I = 0 表示未被盗．可以把 X 重新表示为
X = Ib + (1 − I ) 0

.

现在， 假设自行车未锁而被盗， 保险人赔付一半． 在荷兰， 许多自行车被盗保单不区分这种理赔数额的差别． 保险人在理 赔调查时，只要求被保险人在索赔时呈交所有的原始关键材 料．于是 X = IB ，其中 B 代表随机赔付额．

假设理赔支付X = 400和X = 200 的概率分别为0.05 和0.15 ， 则有

因此

P r [ I = 1 ] = 0 .2 , P r [ I = 0 ] = 0 .8

例2.2.4（有索赔，且索赔额服从指数分布） 假设 风险X有如下分布：

（1）X 的均值是多少？ （2）对于风险厌恶系数为a=0.01且具有指数效用 函数的人，愿意为风险X 支付的最大保费为多少？

（1 ）

（2）如果被保险人使用的是参数为a = 0.01 的指数效用函 数，则由（1.21）得到最大保费 P
+

：

例 2.2.5（有最大保险金额的责任险） 考虑承包责任损失为 S 的保

单．我们希望得到这个保单理赔支付 X 的均值、方差和分布，其中

免赔额为 100 ，最大理赔支付为 1000 ．即：如果 S ≤ 100 ，则 X＝

0; 如果 S ≥ 1100 ，则 X = 1000 ；否则， X = S − 100 . 假设发生理赔（ S > 100 ）的概率是 10 % ，发生大额损失

( S ≥ 1100) 的概率是 2 %． 给定 100 < S < 1 100 , S 服从 U 100 , 1100） （

分布．

同样的，X 可以表示成X = IB ，其中I 表示理赔支付次数 (0或l ) , B 代表理赔支付．因此，

Pr[ B = 1000 | I = 1] = 0.2 Pr[ B ∈ ( x, x + dx) | I = 1] = cdx,

0 < x < 1000

x ∈ (0,1000) ⇒ c = 0.0008

为求X的分布函数F ，我们有

由此得

利用如下众所周知的方差分解准则，形如IB 的 风险方差可以通过给定I , B 的条件分布来计算：

q = Pr [ I = 1] , μ = E [ B ] 和 σ 2 = Var [ B ] ， 记

则有 E [ X | I = 1] = μ 和 E[ X | I =0] =0． 得 E [ X | I = i ] = μ i ， i = 0,1, Var [ X | I = i ] = σ 2i ． 类似有

2.3 卷 积
在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单 总理赔S 的分布：

首先来计算X +Y 的分布函数：

连续形式的 全概率公式

如果 X 和 Y 是离散型的，则有

其中求和是取遍所有使得 f X ( x ) > 0 的 x。

如果X 和Y 是连续型的，则

为求X + Y + Z的分布函数，我们在做卷积运算时所 采用的卷积次序无关紧要

n 个独立同分布的随机变量之和的分布函数是共同 边际分布F 的n 重卷积，记为

例 2.3.l （两个均匀分布的卷积） 设 X ~ U (0,1) 和
Y ~ U (0,2) 相互独立，求 X + Y 的分布函数

．

一个集合A 的示性函数定义为

对任意x , X 的分布函数可以表达为

对任意y , Y 的分布函数可以表达为

FY ( y ) = yI [ 0, 2 ) ( y ) + I [ 2,∞ ) ( y )
1 又 FY′ ( y ) = I[0,2) ( y ) , ∀y ，进而有 2

应用卷积公式得

感兴趣的区间是 0 ≤ s < 3 ． 把该区间分为区间 [0,1) , [1, 2 ) 和 [ 2,3) 得

例2.3.2 （离散分布的卷积）

例2.3.3 ( iid 均匀分布的卷积）

例2.3.4(泊松分布的卷积) 设 X ~ Poission (λ ) 和 Y ~ Poission ( μ ) 相互独立．

第四节预备知识 • 通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算 随机变量的数字特征。 • 数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的 增高，矩的计算总是较麻烦的。 • 由于随机现象错综复杂，一个随机现象往 往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨 论一列随机变量依某种意义的收敛。

• 只利用分布函数和密度函数，求独立随机 变量的和的分布都是较麻烦的。 —— 要计算密度函数的卷积

回顾：分布函数的卷积

分布函数的卷积

矩母函数的简单乘积

• 要解决复杂的多的问题，没有更优越的数 学工具是不行的！ • 在学习数学分析时我们就知道富里埃变换 （Fourier analysis） • 它在数学中是非常重要而有效的工具 • 能把卷积运算变成乘法运算

• 把富里埃变换引入到概率之中来，就产生 了“特征函数” • 概率统计自从引进了特征函数以后，就把 理论的研究推进到一个新的台阶。

2.4 变换
对一个非负随机变量X ，其矩母函数定义为 其中h 为某个常数．因为我们特别要用到矩母函数 在0 点附近的小区间里的取值，所以要求h > 0 ．

随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。
如果X 和Y 相互独立，则

对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其 矩母函数不存在．

对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其 矩母函数不存在．但是特征函数总是存在的．特 征函数定义为

计算特征函数则需要进行复数求和或 作实变量复值函数的积分。 作积分时有时会用到复变函数中的残 数理论

特征函数总是存在的．特征函数定义为

利用展开式可以得到

随机变量的特征函数与分布函数一一对

所以X 的k 阶矩等于

概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变 量，定义为

累积量母函数（cgf）其定义为

tk κ X (t ) 关于 0 点的 Taylor 展开式的前几项 ( k = 1, 2,3) 的系 k!
⎡ ( X − E [ X ] )3 ⎤ ． 由这种方式得 数分别为 E [ X ] , Var [ X ] 和 E ⎣ ⎦
到的量是 X 的半不变量，记为 κ k 。

随机变量X 的偏度定义为 μ = E [ X ] , σ 2 = Var [ X ] 其中

累积量母函数、概率母函数、特征函数和矩母函数之 间有如下的关系：

作业： P32-33：习题2.3第3题；习题2.4第5题。

预备知识：中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量，它们是由 大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的， 而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的 作用都是微小的。这类随机变量往往近似地服 从正态分布。在概率论中，论证随机变量和的 极限分布是正态分布的一系列定理统称为中心 极限定理。下面介绍常用的三个中心极限定理。

定理1

（同分布的中心极限定理）设随机 相互独立，服从同一分布

变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n ,⋅ ⋅ ⋅

并且具有有限的数学期望和方差； E ( X i ) = μ ,
D( X i ) = σ ≠ 0 (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅). 则随机变量
2

Yn =

∑X i =1

n

i

− nμ

分布函数 Fn ( x ) 对任意 x ，满足

nσ

⎫ ⎧ n t2 ⎪ ⎪ ∑ X i − nμ x 1 −2 ⎪ ⎪ i =1 lim Fn ( x ) = lim P ⎨ ≤ x⎬ = ∫ e dt .(1) −∞ n→ ∞ n→ ∞ nσ 2π ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

证明略。 作为定理 1 的推广，我们有下面的定理。

定理2 （李雅普诺夫定理）设随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n ,⋅ ⋅ ⋅ 相互独立，且具有有限的数 2 学期望和方差： E ( X i ) = μ , D( X i ) = σ i ≠ 0

(i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅).

记

2 Bn = ∑ σ i2 , i =1

n

若存在正数 δ ，使得当 n → ∞ 时，
1 B
2+δ i =1 n

∑E X n i =1

n

i

− μi i 2+δ

→ 0.

则随机变量

Zn =

∑ X −∑μ i =1

n

i

Bn

的分布函数 Fn ( x ) 对任意的 x ，满足

n ⎧ n ⎫ ⎪ ∑ X i − ∑ μi ⎪ x 1 −t2 ⎪ i =1 ⎪ i =1 e 2 dt.(2 ) ≤ x⎬ = ∫ lim Fn ( x ) = lim P ⎨ −∞ n →∞ n →∞ Bn 2π ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 证略。

定理 2 表明，在定理的条件下，随机变 量 Z n ，当 n 很大时，近似地服从标准正态 分布 N（0，1）。由此可知，当 n 很大时，随 机变量 ∑ X i = Bn Z n + ∑ μ i i =1 i =1 n n

近似地服从正态分

⎛ n 2 N ⎜ ∑ μ i , Bn 布 ⎜ ⎝ i=1

2 条件，那么它们的和 ∑ X i 当 n 很大时，就 i =1

X i (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ) 具有怎样的分布，只要满足定理 n ⎞ ⎟ . 这表明，不论各个随机变量 ⎟ ⎠

近似地服从正态分布。 在很多问题中，所考虑的随机变量，都可 表示成若干独立的随机变量之和。它们往往近 似地服从正态分布。

作为定理 1 的特殊情况，我们给出下面的定理。 定理3 （德莫佛—拉普拉斯定理）设随机 变量Yn (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ) 服从参数为 n, p(0 < p < 1)的 二项分布，则对于任意区间 (a, b] 恒有 t2 ⎧ ⎫ b Yn − np 1 −2 ⎪ ⎪ ≤ b⎬ = ∫ e dt. lim P ⎨ a < a n→∞ 2π np (1 − p ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

( 3)

证明

Yn可以看作为 n 个相互独立，服从

相同（0-1）分布的随机变量 X1,X2,…,Xn 之和

即

Yn = X 1 + X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + X n .
P ( X i = 0) = 1 − p = q. n 其中 X i (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅n ) 的分布列为
P ( X i = 1) = p ,

由于 E ( X i ) = p, D( X i ) = pq(i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 则定理1中的

∑X i =1

i

− nμ

nσ

Yn − np 化为 npq

，

故由定理 1 可得上述结论。

定理3 表明，在概率意义下，二项分布收 敛于正态分布”。在实际应用中，若 Yn ~ B (n, p ) 当 n 较大时，有
⎛ k 1 − np Y n − np k 2 − np ⎞ ⎟ P (k 1 < Y n ≤ k 2 ) = P ⎜ < ≤ ⎜ npq npq npq ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ Yn − np = P⎜ a < ≤ b ⎟ ≈ Φ (b ) − Φ (a ) 。 ⎜ ⎟ npq ⎝ ⎠

其中

k1 − np k 2 − np a= , b= . npq npq

下面举两个关于中心极限定理的应用的例子。 例1 在每组射击中，命中目标的炮弹数的 数学期望为 2 ，均方差为1.5，求在 100 组射击 中由 180 到 220 发炮弹命中目标的概率。 设 X i 表示第 i 组命中目标的炮弹数 i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅,100. 由题设 E ( X i ) = 2, D( X i ) = 1.5 2 . 则 Y100 = 解

∑X i =1

100

i

− 200 =

∑X i =1

100

i

− 200

近似

100 ×1.5

15

~ N (0, 1)

100 ⎞ ⎛ 于是 P ⎜ 180 ≤ ∑ X i ≤ 220 ⎟ ⎟ ⎜ i =1 ⎠ ⎝ 100 ⎞ ⎛ ⎜ ∑ X i − 200 220 − 200 ⎟ ⎜ 180 − 200 ≤ i =1 ⎟ ≤ =P ⎟ ⎜ 15 15 15 ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ = P(− 1.33 ≤ Y100 ≤ 1.33)

1 1.33 = ∫−1.33e dt 2π = Φ (1.33) − Φ (− 1.33) = 0.8164.

t2 − 2

例2 设一货轮在某海区航行，已知每遭 受一次波浪的冲击，纵摇角度大于 6 的概率
1 为 p = 。若货轮在航行中遭受了90000 次波 3

浪冲击，问其中有 29500 至 30500 次纵摇角 度大于 6 的概率是多少？ 解 可将货轮每遭受一次波浪冲击看作 是一次试验，并认为实验是独立的。在 90000 次波浪冲击中，纵摇角度大于6˚的次数记为 X，

则 X 为一随机变量，它服从 n = 90000, 1 p= 的二项分布，其分布列为 3 k 90000−k ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ k P( X = k ) = C90000⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , k = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅,90000. ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ 所求概率为 k 90000 − k 30500 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ k P (29500 < X ≤ 30500 ) = ∑ C 90000 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ k = 29501 显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫 佛—拉普拉斯定理来求它的近似值。即有

P (29500 < X ≤ 30500 ) ⎛ 29500 − np = P⎜ < ⎜ np (1 − p ) ⎝ X − np 30500 − np ⎞ ⎟ ≤ np (1 − p ) np (1 − p ) ⎟ ⎠

⎛ 29500 − np ⎞ ⎛ 30500 − np ⎞ ⎟. ⎜ ⎟ − Φ⎜ ≈ Φ⎜ ⎜ np (1 − p ) ⎟ np (1 − p ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ P(29500 < X ≤ 30500) ≈ Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ − ⎟ = 0.9995. 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

1 将 n = 90000, p = 3

代入有

复习中学数学概念
• ①、组合（Combination）:从个n元素中抽取x个 元素组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数 记为
⎛n⎞ n! ⎜ ⎟= ⎝ k ⎠ k !(n − k )!
⎛n⎞ k 或Cn ⎜ ⎟ ⎝k ⎠

⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =1 ⎝0⎠ ⎝0⎠

⎛ 3⎞ 3! (3)(2)(1) = =3 ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 2!(3 − 2)! (2)(1)(1)
⎛10 ⎞ 10! (10)(9)(8)(7)(6)5! = = 252 ⎜ ⎟= ⎝ 5 ⎠ 5!(10 − 5)! 5!(5)(4)(3)(2)(1)

(n! 为的阶乘, n!=1*2*……*n, 0!=1)

• ②、牛顿二项展开式：

( a + b ) = a + 2 ab + b
2 2
3 3 2 2

2
3

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b n n n 0 0 n n n n 1 1 n−1 n 2 2 n−2

(a +b) = ( ) a b +( ) a b +( ) a b +... +( n n−1

(a + b) = ?+ ?+ ?+ ? .............

=Σ

n n k=0 k

) a b +( ) a b ( )a b n−1 1 k n−k

n 0

一、Bernoulli试验
毒性试验：白鼠 临床试验：病人 临床化验：血清 事件 死亡——生存 治愈——未愈 阳性——阴性

成功（A）——失败（非A）

这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试 验。

二、Bernoulli试验序列 n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。 特点（如抛硬币）： (1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之 一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变。即每次试验中，结 果A发生的概率不变，均为 π 。 (3)各次试验独立。即一次试验出现什么样的 结果与前面已出现的结果无关。

若 一 个 随 机 变 量 X的 可 能 取 值 是 k = 0 , 1 , … , n， 且 相 应 的 取 值 的 概 率 为 ：

X = k ) = (n )π k (1−π )n−k P( k

则 称 此 随 机 变 量 X 服 从 以 n、 π 为 参 数 的 二 项 分 布 ， 记 为 X ～ B ( n, π ) 。

二、二项分布的正态近似 1. 当 π=0.5 时 ， 图 形 对 称 ； 当 π≠ 0.5 时 ， 图 形 呈 偏 态 ， 但 随 n 的 增大，图形逐渐对称。

2 . nπ ≥ 5,且n(1−π) ≥ 5( n 大 ， π 不 接 近 0 、 1 ) 时 ， 近似正态分布。

补充：Poisson分布及其应用 一、Poisson分布及其特征 Poisson分布(Poisson distribution) 是一种离散分布。常用于研究单位 时间或单位空间内某罕见事件发生 次数的分布。

•Poisson(泊松)分布 •取名于法国数学家
SD Poisson(1781-1840)

泊松分布的概念
• 当二项分布中n很大，p很小时,二项分布 就变成为Poisson分布，所以Poisson分 布实际上是二项分布的极限分布。 • 由二项分布的概率函数可得到泊松分布的 概率函数为：

e μ P{ X = x} = x = 0,1, 2, x! μ为大于0的常数，X 服从以μ为 x −μ

参数的Poisson分布 X ~ P( μ )

一、Poisson分布及其特征
Poisson分布(Poisson distribution) 是一种离散分布。常用于研究单位时 间或单位空间内某罕见事件发生次数 的分布。

Poisson分布主要用于描述在单位 时间(空间)中稀有事件的发生数
例如： 1. 放射性物质在单位时间内的放射次数； 2. 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 3. 野外单位空间中的某种昆虫数等。

常见的Poisson分布现象还有： 每滴海水中浮游生物数量的分布；用 显微镜观察片子上每一格子上细菌繁 殖数的分布；某些野生生物或昆虫数 在单位空间中的分布；某种患病率或 死亡率很低的非传染性疾病的患病人 数或死亡人数的分布等。

(一)Poisson分布的定义 如果在足够多的n次独立Bernouli试验 中，随机变量X所有可能的取值为0， l ， 2 ， … ， 取 各 个 取 值 的 概 率为

(5.14)

则称X服从参数为μ的Poisson分 布，记为X~P(μ)。其中X为单位时 间(或面积、容积等)某稀有事件发 生数，e= 2.7183，μ是Poisson分 布的总体均数。

例5.11

若某非传染性疾病的患病率

为18／万，试根据Poisson分布原 理求1 000人中发生 k=0，1，2阳性 数概率。

μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8

(二)Poisson分布的图形

由图可见，Poisson分布图形形 状完全取决于μ的大小。当 μ=10时，图形基本对称，随着 μ增大，图形渐近于正态分布

(三)Poisson分布的性质 1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。 2. Poisson分布的可加性。对于服从 Poisson分布的 m个相互独立的随机 变量之和X1+X2+…+Xm也服从 Poisson分布，且均数为m个随机变 量的均数之和。

例5.12 某放射性物质每0.1 s放射粒子数服 从均数为2.2的Poisson分布，现随机取3 次观测结果为2，3及4个粒子数，请问每 0.3 s放射粒子数为多少? 利用Poisson分布的可加性原理得到， Xl+X2+X3=2+3+4=9个 均值为2.2+2.2+2.2=6.6 每0.3s放射粒子数为9个。

(四)Poisson分布与二项分布及正 态 分布的关系 1.Poisson分布可视为二项分布的特 例 若某现象发生率π小，而样本例 数多时，则二项分布逼近Poisson分 布。

2. Poisson分布的正态近似 一般在实际应用中，当μ≥20 时，Poisson分布近似正态分 布。

二、Poisson分布的应用
(一)总体均数的估计 1. 点估计 直接用单位时间(空间或人 群)内随机事件发生数X(即样本均数) 作为总体均数μ的估计值。

2.

区间估计

（1）正态近似法（X>50） 当Poisson分布的观察单位为n=1 时，

当Poisson分布的观察单位为n>l时

例 用计数器测得某放射物质半小时 内发出的脉冲数为360个，试估计该 放射物质每30min平均脉冲数的95 ％可信区间。

即该放射物质每30min平均脉冲数(个) 的95％可信区间为(322.8，397.2)。

例5.15 对某地区居民饮用水进行卫 生学检测中，随机抽查1 mL水样， 培养大肠杆菌2个，试估计该地区水 中平均每毫升所含大肠杆菌的95％ 和99％可信区间。 本例，X=2