EKONOMSKI FAKULTET U SARAJEVU mart 2014
Sadržaj
UVOD 3 1 OBVEZNICE ISTE NOMINALNE VRIJEDNOSTI, KAMATA SE ISPLAĆUJE POMOĆU KAMATNIH KUPONA 5 1.1 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU PO NOMINALI 5 1.1.1 Zajam se amortizuje konstantno jednakim otplatama 5 1.1.2 Zajam se amortizuje konstantno jednakim anuitetima 9 1.1.3 Zajam se amortizuje zaokrugljenim anuitetima 13 1.1.4 Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj progresiji 20 1.1.5 Zajam se amortizuje pomoću anuiteta koji konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji 24 1.2 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S AŽIJOM 31 1.3 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S DISAŽIJOM 37 2 OBVEZNICE RAZLIČITIH NOMINALNIH VRIJEDNOSTI; KAMATA SE ISPLAĆUJE POMOĆU KAMATNIH KUPONA 39 3 OBVEZNICE SE AMORTIZUJU POMOĆU ANUITETSKIH KUPONA 41 ZAKLJUČAK 44 LITERATURA 45
* UVOD
Zajmovi podijeljeni na obveznice koriste se za pribavljanje sredstava, gdje se zajam dijeli na više manjih iznosa za koje se izdaje obveznica. Zapravo se radi o pismenoj ispravi kojom se potvrđuje prijem zajma i izjavljuje da će zajam kao i kamata biti isplaćeni po ugovorenoj kamatnoj stopi. Obveznice se izdaju samo u okruglim iznosima, apoenima.
Zajmovi mogu biti podijeljeni na obveznice istog i različitog nominalnog iznosa. U prvom slučaju, kada su obveznice istog nominalnog iznosa , radi se o podjeli na serije koje imaju isti broj obveznica. Kada se obveznice izdaju u različitim apoenima postoji više grupa različite nominalne vrijednosti.
Emisiju obveznica možemo izvršiti na direktan ili indirektan način gdje se pod direktnim načinom izdavanja misli na izdavaoca kao izvršitelja svojih operacija dok se kod indirektnog načina taj posao povjerava banci. Kako govorimo o emisiji obveznica jako je bitno spomenuti emisioni kurs koji predstavlja cijenu po kojoj se nude obveznice. Kurs može biti iznad, ispod i jednak nominalnoj vrijednosti.
Obveznice mogu glasiti na ime ili donosioca. Ako glase na ime znaći da sadrži ime korisnika dok kod obveznica na donosioca nemamo naznačeno ime korisnika.
Obveznice možemo podijeliti na one u užem smislu koje sadrže sve bitne elemente i one koje se sastoje od anuitetskih i kamatnih kupona zavisno od amortizacije obveznica. Ako se amortizacija vrši po unaprijed utvrđenom planu i otkupu dužnik će se odlučiti da otkupi obveznicu kada to za njega bude najpovoljnije.
Prije nego objasnimo amortizaciju uz kamatne i anuitetske kupone treba istaći da se sam zajam kao i anuitet sastoje od kamate i otplate. Kamata se obračunava na sve neamortizovane obveznice a dio anuiteta namijenjen za otplatu može se koristiti za potpunu isplatu nekih obveznica, čija je količina utvrđena amortizacionim planom. Koje su to obveznice utvrđujemo pomoću amortizacionog plana i tada se koriste kamatni kuponi za naplatu kamate dok se sama vrijednost obveznice naplaćuje njenom predajom. O drugom slučaju govorimo kada imaocu obveznice svakog roka pripada anuitet za svaku obveznice, koji ćemo ostvariti samo uz anuitetski kupon.
Isplaćivanje obveznice se može vršiti po nominali, iznad i ispod nje. Ako se radi o pozitivnoj razlici govorimo o ažiju dok se negativna razlika naziva disažijo, o čemu ćemo opširnije u nastavku.
Kamata se može obračunavati dekurzivno i anticipativno. Osvrnut ćemo se samo na naše pravo, koje dozvoljava i varijabilnu kamatnu stopu uslovljenu uspjehom poslovanja, gdjeo se kamata obračunava i plaća godišnje dekurzivno.
Kamata i otplata se mogu naplatiti od roka dospijeća do zastarjelosti. Nakon zastarijevanja imalac obveznice više ne može ostvariti svoja potraživanja. O svemu ovome ćemo u nastavku opširnije razmatrati.
OBVEZNICE ISTE NOMINALNE VRIJEDNOSTI, KAMATA SE ISPLAĆUJE POMOĆU KAMATNIH KUPONA
Zajam je podijeljen na određeni broj obveznica iste nominalne vrijednoti. Kamata se naplaćuje pomoću kamatnih kupona o njenom dospijeću a glavnica se isplaćuje kada obveznica bude izvućena za amortizaciju.
OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU PO NOMINALI
Prilikom amortizacije obveznice, njen imalac prima iznos nominalne vrijednosti.
Zajam se amortizuje konstantno jednakim otplatama
Zajam K podijeljen je na m obveznica po N nominalne vrijednosti i tada važi:
K=m*N
Iz koje slijedi: m=KN Otplata b se računa : b=Kn Broj obveznica za amortizaciju x se računa: x=bN ili x=mn
Sobzirom da je obveznica nedjeljiva, b i x mogu biti stvarne ili teorijske veličine.
Kamata se računa na ostatak zajma, ili jednostavnije, izračunamo iznos kamate po obveznici i pomnožimo s brojem obveznica:
I0=N*p100 In=I0*mn-1
Primjer 1.
Zajam od 500 000 KM, podijeljen je na obveznice po 500KM, treba amortizovati za 4 godine jednakim godišnjim otplatama. Kamata se obračunama i plaća godišnje po stopi od 7%. Treba izraditi i provjeriti amortizacioni plan.
Elementi: K=500 000KM; N=500KM; n=4god; p=7%
Kamata po obveznici:
I0=500*7100=35
Broj emitovanih obveznica: m=500 000500=1000
Otplata:
b=500 0004=125 000
Broj obveznica za jednogodišnju amortizaciju: x=10004=250 Na kraju prve godine:
a)kamata
I1=m*I0=1000*35=35 000
b)Amortizovane obveznice x=250 c)otplata b=125 000
d)anuitet
a1=b+I1=125 000+35 000=160 000
e)neamortizovane obveznice m1=m-x=1000-250=750 Ovako se mogu računati pojedinosti za svaki otplatni period, ali se brže i lakše računa u samom amortizacionom planu.
Kontrola: a) Zbir amortizovanih obveznica treba biti jednak broju emitovanih obveznica ( 1000=1000) b) Zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (500 000=500 000) c) Zbir anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata ( 500 000+87 500=587 500)
d) Posljednji ostatak neamortizovanih obveznica treba da bude jednak broju obveznica koje se amortizuju svakog perioda ( 250=250) e) Kamata na zbir neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka zbiru kamata ( 2500*35= 87 500)
Ukoliko želimo izračunati broj neamortizovanih obveznica za konkretan perion obračuna koristimo formulu: mk=x(n-k) gdje je k broj minulih perioda a mk broj neamortizovanih obveznica.
Primjer2.
Zajam od 100 000 KM podijeljen na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati za: a)7 i b)9 godina jednakim godišnjim otplatama. Treba izračunati stvarni iznos otplate i stvarni broj obveznica za jednogodišnju amortizaciju.
Možemo i direktno računati broj neamortizovanih i amortizovanih obveznica u određenom roku, na primjer te veličine na kraju 5 godine za prošli šrimjer: m5= 14,2857(7-5)= 28,5714
Budući da je obveznica nedjeljiva neamortizovane obveznice zaokružujemo na viši iznos a to je 29, odnosno da je ostatak duga 29 000KM. Ako se traži broj amortizovanih obveznica onda se zaokružuje na niže. U ovom primjeru na dan petog izvačenja: 14,2857*5= 71,4285 što znači 71. b) K= 100 000; N=1000; n=9 m= 100 000:1000= 100 b= 100 000:9= 11 111,1111 x= 11 111,1111:1000=11,1111
U ovom slučaju možemo odmah vidjeti da će prvih osam godina stvarni broj otplaćenih obveznica biti 11 a devetu godnu 12, zato što je 0.1111*9= 0.9999, što nam dodaje stvarnu obveznicu na zadnjoj godini.
Zajam se amortizuje konstantno jednakim anuitetima
Ukoliko se zajam amortizuje konstantno jednakim anuitetima za računanje teorijskog anuiteta koristimo formulu: a= KVnp
Za računanje teorijske otplate (b1) koristimo formulu:
B1= a-I1
Primjer:
Zajam od 500 000 KM, podijeljen na obveznice po 500 KM, treba amortizovati u toku 5 godina jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se obračunava i isplaćuje godišnje po 4%. Treba izraditi amortizacioni pla,.
K= 500 000
N= 500 n= 5 p=4% Koristit ćemo iste formule kao iz prethodnog primjera uz neke promjene koje će biti naznaćene. broj emitovanih obveznica (m) m= 1000 kamata po obveznici
I0= N*i =20
Prije nego pristupimo izradi plana treba izračunati opšti teorijski anuitet: a=KV45= 112 313,55
Stanje na kraju prve godine: 1. Teorijski anuitet ( jednak je opštem anuitetu) a= 112 313,55 2. Kamata (I1)
I1= m*I0= 1000*20= 20 000 3. Teorijska otplata (b1) b1=a1-I1= 112 313,55-20 000= 92 313,56 4. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x1) x1= b1/N= 184,62 5. Amortizovane obveznice
Za amortizaciju obveznice uzimamo cio broj jer se dio obveznice ne može amortizovati. x1'=184 6. Stvarna otplata (b1') b1'= x1'*N= 92 000 7. Neamortizovane obveznice (m1) m1= m-x1'= 816 8. Stvarni anuitet (a1')
Radi se o iznosu koji dužnik treba obezbijediti za svoje obaveze. a1'= b1'+I1= 112 000 9. Ostatak anuiteta s kamatom (o1) jeste razlika između teorijskog i stvarnog anuiteta,koju treba ukamatiti . a1= 112 212,55 a1'= 112 000,00 313,55 neiskorištena razlika
I1'= 12,54 ( 313,55*0,04) o1= 326,09
Stanje na kraju druge godine: 1. Teorijski anuitet (a2) jeste zbir opšteg anuiteta i ostatka anuiteta s kamatom prethodne godine. a= 112 313,55 o1= 326,09 a2= 112 639,64 2. I2= 16 320 3. b2= 96 319,64 4. x2= 192,63928 5. x'2=192 6. b'2= 96 000 7. m2=624 8. a'2= 112 320 9. 10. a2= 112 639,64 a'2=112 320,00 o2=319,64*1,04= 332,4256
Posljednje tri godine radimo po istom principu kao i do sada. Sve izračunate elemente ćemo prikazati amortizacionom planu.
AMORTIZACIONI PLAN
Za zajam od 500 000 KM Obveznice Ostatak anuiteta | Na kraju godine | Neamo-rtizovane obveznice(2-3) | Amortizovane obveznice | Kamata, 6% (d)(2*I0) | Otplata(3*N) | Stvarni anuitet(5+4) | Iznos | S kamatom (7*r) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 0 | 1000 | | | | | | | 1 | 816 | 184 | 20 000 | 92 000 | 112 000 | 313,55 | 326,09 | 2 | 624 | 192 | 16 320 | 96 000 | 112 320 | 319,64 | 332,42 | 3 | 424 | 200 | 12 480 | 100 000 | 112 480 | 165,97 | 172,61 | 4 | 216 | 208 | 8 480 | 104 000 | 112 480 | 6,15 | 6,39 | 5 | | 216 | 4 320 | 108 000 | 112 320 | | | | 3080 | 1000 | 61 600 | 500 000 | 561 600 | 805,31 | 837,51 |
Za provjeru tačnosti plana trebaju biti zadovoljeni sljedeći uslovi: 1. Zbir amortizovanih obveznica treba da bude jednak broju emitovanih obveznica (1000=1000) 2. Zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (500 000=500 000) 3. Posljednja količina neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka posljednjoj količini amortizovanih obveznica ( 216=216) 4. Zbir stvarnih anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata ( 500 000+61 600= 561 600). 5. Zbir kamate treba da bude jednak kamati na zbir neamortizovanih obveznica ( 3080*20=61 600) 6. Proizvod sume ostatka anuiteta i dekurzivnog kamatnog faktora treba da bude jednak zbiru ostatka anuiteta s kamatom ( 805,31*1,04=837,5)
Za direktno utvrđivanje broja neamortizovanih obveznica npr. na kraju 2 godine koristi se formula: m2=112 313,55*IV43500=624
Za direktno utvrđivanje broja obveznica za amortizaciju koristi se formula: x1=m(Vpn- i ) x1=1000V45-0,04=184,6271 X2= 184,6271*1.04= 192,0122
X3=192,0122*1,04=199,6926
X4=199,6926*1,04= 207,6803
X5=207,6803*1,04=215,9875
Na osnovu teorijskih ćemo utvrditi stvarne količine obveznica za amortizaciju svakog perioda.
| Na kraju godine | Neamortizovane obveznice | Amortizovane obveznice | Kamata | Otplata | Stvarni anuitet | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1000 | | | | | 1 | 816 | 184 | 20 000 | 92 000 | 112 000 | 2 | 624 | 192 | 16 320 | 96 000 | 112 320 | 3 | 424 | 200 | 12 480 | 100 000 | 112 480 | 4 | 216 | 208 | 8 480 | 104 000 | 112 480 | 5 | | 216 | 4 320 | 108 000 | 112 320 | | 3080 | 1000 | 61 600 | 500 000 | 561 600 |
Broj neamortizovanih obveznica na kraju druge godine možemo izračunati po formuli: m2 =184,6271III44-III4 1=623,3606
Stvarni broj neamortizovanih obveznica zaokružuje se na više. Iz toga slijedi da stvarni broj iznosi 624.
Zajam se amortizuje zaokrugljenim anuitetima
Iako danas postoje tehnička sredstva i bezgotovinsko plaćanje koja nam olakšavaju izračun svih faza amortizacije zajma kad je anuitet podijeljen na stote dijelove valute, ipak se u nekim slučajevima koriste zaokrugljeni anuiteti. Anuiteti mogu biti zaokrugljeni na više načina: a) Anuitet se izražava postotkom od zajma b) Neposrednim isticanjem iznosa anuiteta c) Ugovaranjem na koji način se treba zaokrugliti anuitet dobijen pomoću V tablice složenih kamata
Ovo ćemo ilustrovati jednostavnim primjerima: a) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati godišnjim dekurzivnim anuitetima čiji je pojedinačni iznos 25% zajma. a=0.25*100 000=25 000 b) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati godišnjim dekurzivnim anuitetima po 25 000 KM. a=25 000 c) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati u toku 5 godina godišnjim dekurzim anuitetima zaokrugljenim na više na započetu hiljadu, kamataiznosi 7% i obračunava se i plaća godišnje. a=K*Vpn=100 000*V75=24389,06 a=25 000
Za izračun teorijskog anuiteta (a) i teorijskog anuitetskog ostatka (ao) mogu se koristiti obrasci koji se koriste i kod pojedinačnog zajma:
K=aIVpn-1+aoIIpn
ao=K-aIVpn-1*Ipn ili ao=KIpn-aIIIpn-1
Amortizacioni plan se može raditi za svaku godinu pojedinačno ili direktnim putem.
Primjer:
Zajam od 2 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM. Ovaj zajam treba amortizovati godišnjim 20% anuitetima. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 7% (d). Izvučene obveznice se plaćaju po nominali. Treba izraditi amortizacioni plan.
Elementi računa:
K= 2 000 000; N= 1000; n= 5; p=7% (d); p'=20%
Broj emitovanih obveznica (m) m= K : N= 2 000 000 : 1000= 2000
Kamata po obveznici (I0)
I0=N * I= 1000 * 0,07= 70
Teorijski zaokrugljeni anuitet (a) a= 2 000 000 * 0,25= 500 000
Broj anuiteta (vrijeme amortizacije n)
IVpn=Ka
IV7n=2 000 000500 000=4
4<n<5
Zajam se amortizuje sa 5 anuiteta.
Teorijski anuitetski ostatak (ao) ao=K-aIVpn-1*Ipn=2 000 000-500 000 IV74 I75=429 733,9607 a) Izrada pomoću teorijskih anuiteta
Plan je dobro urađen ako se konačnom kontrolom potvrde sljedeći uslovi: 1. zbir amortizovanih obveznica treba da bude jednak broju emitovanih obveznica (2000=2000) 2. zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (2 000 000 = 2 000 000) 3. posljednja količina neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka posljednoj količini amortizovanih obveznica (402 = 402) 4. zbir stvarnih anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata
(2 429 800 = 2 000 000 + 429 800)
5. zbir kamate treba da bude jednak kamati na zbir neamortizovanih obveznica
(429 800 = 6 140 * 70) 6. proizvod sume iznosa ostatka anuiteta i dekurzivnog kamatnog faktora treba da bude jednak zbiru ostatka anuiteta s kamatom ( 1009,52 = 943 * 1,07)
Kada je poznat anuitet, anuitetski ostatak, kamatna stopa i broj amortizacionih perioda, ostatak duga se može računati po obrascu:
Rm=aIVpn-m-1+a0IIpn-m
Ako ovaj izraz podijelimo sa N, dobit ćemo obrazac za računanje teorijskog broja neamortizovanih obveznica: mk=aNIVpn-k-1+a0NIIpn-k Ovaj broj treba zaokružiti na cijeli i to samo naviše pa će se dobiti stvarni broj neamortizovanih obveznica (mk').
Broj neamortizovanih obveznica u urađenom primjeru nakon trećeg izvlačenja je: m3= 500 0001000IV75-3-1+429 733,961000II75-3=842,6360
m3=843 b) izrada plana direktnim utvrđivanjem broja obveznica za amortizaciju
Za izradu plana direktnim načinom uvrđivanja broja obveznica za omortizaciju koristimo sljedeći obrazac: m=x11+IIIpn-2+xn Bilo koja veličina iz ove jednadžbe se može izračunati ako su ostale poznate. Tako je: x1=m-xn1+IIIpn-2 Sređivanjem jednadžbe dobivamo:
x1=m-xnVpn-1-i
U našem primjeru: x1=2000-402V74-0,07=359,92360 Poslije toga se utvrđuju teorijske količine obveznica za amortizaciju u ostalim periodima: x1 = 360 x2 = x1 * r = 360 * 1,07 = 385,2 x3 = x2 * r = 385,2 * 1,07 = 412,164 x4 = x3 * r = 412,164 * 1,07 = 441,01548 1598,37948 x5 = 401,62052 = 2000 – 1598,37948
Teorijski broj obveznica za amortizaciju posljednjeg perioda (xn) može se računati direktno iz prethodnog obrazca.
Način utvrđivanja stvarnog broja obveznica za amortizaciju se računa kao i u prethodnim podnaslovima: n | Teorijski broj obveznica | Stvarni broj obveznica | Ostatak | 1 | 360 | 360 | 0,000 | 2 | 385,2 | 385 | 0,200 | 3 | 412,164 | 412 | 0,164 0,364 | 4 | 441,01548 | 441 | 0,01548 0,37948 | 5 | 401,62052 | 401+1 | 0,62052 1 | | 2000 | 2000 | 0 |
Nakon dobivanja ove tabele sa stvarnim brojem obveznica za amortizaciju izradimo amortizacioni plan popunjavajući ga kao i u ranijim primjerima.
Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj progresiji
Kod zajma koji se amortizuje anuitetima koji konstanto rastu ili opadaju po aritmetičkoj progresiji, prvi teorijski anuitet izračunavamo po obrascu:
a1 =KVpn± 100dp 1-n (Vpn-p100 )
Ostale anuitete računamo dodavanjem odnosno oduzimenjem razlike (d) kao i iznos ukamaćenog ostatka : ak = a1 ± k-1d+ok-1
Primjer:
Zajam od 4 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM. Amortizacija se vrši 4 godine godišnjim anuitetima koji konstantno : 1. Rastu 2. Opadaju za 100 000 KM.Kamata je 7%.Treba izraditi amortizacioni plan.
K=4 000 000
N=1000
n=4 p=7% d=100 000
Broj emitovanih dionica m= 4000
Kamata po obveznici
I0= 70 a) Izrada plana pomoću teorijskih anuiteta
Izračunat ćemo teorijski anuitet koji raste po prethodno navedenoj formuli: a1 = 1 039 358,79
Nakon što smo dobili iznos teorijskog anuiteta pristupamo računanju stanja u naredne četiri godine po formulama koje smo već ranije koristili.
Stanje na kraju prve godine a1= 1 039 358,79
I1= 280 000 b1= 759 358,79 x1 = 759,35879 x'1 =759 b'1 = 759 000 m= 3241 a'1 = 1 039 000 o1 = 358,79*1,07= 383,9
Stanje na kraju druge godine
U ovom slučaju anuitet računamo po drugoj formuli ak =a1 ± k-1d+ ok-1
Uvršavanjem u ovu formulu dobit ćemo da je teorijski anuitet treće godine 1 139 742,69.
Za računanje neamortizovanih obveznica direktnim putem koristimo formulu: m k=(a1±kd)N IVpn-k±100dNp IVp n-k-n-kIIpn-k
b) Izrada plana direktnim utvđivanjem broja obveznica za amortizaciju
Ako anuiteti rastu:
Teorijski broj obveznica na kraju prvog perioda ćemo dobiti na osnovu sljedećeg obrasca: x1 =4000V7 4- 0,07- 100*100 0001000*7 1-4(V7 4- 0,07≈759,3587837
Dalje računamo : x2 = x1 r+d', gdje je d'=dN=100
X2 = 912,513
X3 =1076,3897
X4= 1251,7370
Sada možemo izračunati stvarne količine obveznica za amortizaciju n | Teorijski broj obveznica | Stvarni broj obveznica | ostatak | 1 | 759,3587 | 759 | 0,3587 | 2 | 912,5138 | 912 | 0,5138 | 3 | 1076,3897 | 1076+1=1077 | 0,3897 1,2622 | 4 | 1251,7370 | 1251+1=1252 | 0,26220,7370 1,0000 | | 4000,0000 | 4000 | 0,0000 |
Ukoliko anuiteti opadaju
Teorijski broj obveznica ćemo dobiti na isti način samo što će se mijenjati predznaci : x1 =4000 V7 4- 0,07+ 100*100 00070001-4(V74-0,07)=1042,466097
X2 =x1 r- d' = 1015,438
X3 =986,518
X4 = 955, 574
Na osnovu teorijskog ponovno računamo stvarni broj obveznica: n | Teorijski broj obveznica | Stvarni broj obveznica | ostatak | 1 | 1042,466 | 1042 | 0,466 | 2 | 1015,438 | 1015 | 0,438 | 3 | 986,518 | 986+1=987 | 0,518 1,422 | 4 | 955,574 | 955+1=956 | 0,4220,574 1,000 | | 4000,0000 | 4000 | 0,0000 |
Zajam se amortizuje pomoću anuiteta koji konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji
Teorijski anuitet za prvi amortizacioni period se računa po obrascu koji se koristio za računanje prvog anuiteta pojedinačnog zajma: a1=Krnr-qrn-qn ili a1=Krnq-rqn-rn u zavisnosti od toga da li je vece r ili q.
U ostale teroijske anuitete uklućuje se iznos ukamaćenog ostatka anuiteta: a2 = a1 * q + o1 a3 = a2 * q + o2 = a1 * q2 + o2 a4 = a3 *q + o3 = a1 * q3 + o3
. . . . . . . . . . . . ak = a1 * qk-1 + ok-1
Iz poznate relacije a1=b1+I1 slijedi da je b1= a1-I1 pa kad uvedemo zamjenu, to će biti b1=Krnr-qrn-qn-Kp100 b1=Krnr-qrn-qn-p100 ili b1=Krnq-rqn-rn-p100
Diobom ovih jednadžbi sa N se dobiva teorijski broj obveznica za amortizaciju: x1=mrnr-qrn-qn-p100 ili x1=mrnq-rqn-rn-p100
Teorijske otplate se računaju: b1 = a1 – I1 = a1 + Ki = a1 - Ki b2 = a2 – I2 = a2 + (K – b1) i = a1 q – Ki + b1i b3 = a3 – I3 = a3 + (K – b1 –b2 ) i = a1 q – Ki + b1i + b2i b4 = a4 – I4 = a4 + (K – b1 – b2 – b3 ) i =a1q – Ki + b1i + b2i + b3i
Kvantitativni odnos dvije vremenski sukcesivne otplate se može izračunati: 1. b2 – b1 = a1q – Ki + b1i – a1 + Ki b2 = b1r + a1 (q – 1) 2. b3 – b2 = a1q – Ki + b1i + b2i – a1q – Ki + b1i b3 = b2r + a1 (q – 1) q 3. b4 – b4 = a1q – Ki + b1i + b2i + b3i - a1 q – Ki + b1i + b2i b4 = b3r+ a1 (q – 1) q2
Na osnovu utvrđenih odnosa može se izvesti opći odnos: bk=bk-1r+ a1 q-1qk-2
Dijeljenjem ove jednadžbe sa N dobivamo obrazac za direktno računanje teorijskog broja obveznica za amortizaciju krajem svakog prerioda: xk= xk-1r+a1(q-1)qk-2N-1
Primjer:
Zajam od 2 000 000 KM podijeljen na obveznice po 1000 KM treba amortizovati za 4 godine godišnjim anuitetima koji konstantno (1) rastu (2) opadaju za 10%. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 8% (d). Treba izraditi amortizacioni plan.
Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; s = 10%; p = 5% (d); r = 1,05
Broj emitovanih obveznica (m) m= K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000
Kamata po obveznici (I0)
I0 = N * i = 1000 * 0,05 = 50
Količnik (q)
1 q=1+s100=1+10100=1,1
2 q=1-s100=1-10100=0,9
a) izrada plana pomoću teorijskih anuiteta
Zbog toga što će postupak izrade plana biti jasan i objašnjen izradom samo jedne varijante (anuitet raste ili opada) izradit ćemo samo plan amortizacije zajma anuitetima koji rastu.
a0 = 244 476,4299 a0 = 244 476,4299
AMORTIZACIONI PLAN zajma od 1 000 000 KM
Na kraju god. | Obveznice | Kamata 5%(2*I0) | Otplata(3*N) | Stvarni anuitet(5+4) | Ostatak anuiteta | | Neamortizovane (2-3) | Amortizovane | | | | Iznos | S kamatom(7*r) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 0 | 1 000 | | | | | | | 1 | 806 | 194 | 50 000 | 194 000 | 244 000 | 476,4299 | 500,251395 | 2 | 577 | 229 | 40 300 | 229 000 | 269 300 | 124,3243 | 136,4051 | 3 | 310 | 267 | 28 850 | 267 000 | 295 850 | 97,0202 | 101,87121 | 4 | 0 | 310 | 15 500 | 310 000 | 325 500 | 0 | 0 | | 2693 | 1000 | 134 650 | 1 000 000 | 1 134 650 | 697,7744 | 732,66312 |
Kontrola se vrši na isti način kao i kod prethodnih primjera.
Na osnovu obrasca
Rm =a1qm*rn-m-qm-nrn-mr-q ili Rm =a1qm*qn-m-rm-nqn-mq-r koji je izveden kod amortizacije pojedinačnog zajma anuitetima koji konstantno rastu (opadaju), dijeljenjem sa N dobivamo obrazac za izračunavanje teoretskog broja obveznica za amortizaciju:
RmN=mk
mk=a1qkN*rn-k-qn-krn-kr-q ili mk=a1qkN*qn-k-rn-krn-kq-r u zavisnosti da li je r > q ili q > r.
Zaokrugljivanjem ovog broja, i to samo naviše, dobiva se broj neamortizovanih obveznica.
Obrazac ćemo provjeriti na zadnjem primjeru: m3=244 476,4299*1,131000*1,14-3-1,054-31,054-31,1-1,05=309,9029792 310
Ovaj broj se poklapa sa onim u amortizacionom planu. b) Izrada plana direktnim utvrđivanjem broja obveznica za amortizaciju
Kod ovog načina izrade plana ne pojavljuje se anuitetski ostatak što znači da će plan imati manje kolona. Budući da se ništa drugo neće primijeniti, mi ćemo izračunati samo teorijski broj obveznica za amortizaciju rastućim i opadajućim anuitetima.
Elementi: K = 1000 000; N = 1000; n = 4; s = 10%; p = 5%; m= 1000 x1=mrnr-qrn-qn-i ili x1=mrnq-rqn-rn-i (1) Anuiteti rastu x1=10001,0541,1-1,051,14-1,054-0,05=194,4764299 Godišnji prirast anuiteta po obveznici računamo:
Jedan od načina da zajmotražac poveća atraktivnost svojih obveznica jeste da ih prilikom amortizacije isplaćuje iznad nominalne vrijednosti. Razlika između nominalne vrijednosti i isplaćenog iznosa se naziva ažija. Ažija može biti izražena u apsolutnom iznosu ili postotku. Pored plaćanja nominalnog iznosa s ažijom, on plaća i kamatu, ali samo na nominalni iznos duga po ugovorenoj kamatnoj stopi. Zato, možemo reći da je anuitet zbir otplate, kamate po ugovorenoj stopi i ažije na amortizovane obveznice. Ako se ažija za period k obilježi sa Ak onda je: ak=bk+Ik+Ak Svi modeli zajma podijeljenog na obveznice se mogu javiti i kod obveznica koje se isplaćuju a ažijom, mi ćemo se dotaći primjera amortizacije zajma konstantno jednakim otplatama i uraditi primjer amortizacije zajma konstantno jednakim anuitetima.
Kod amortizacije zajma jednakim otplatama dovoljno je uraditi primjer prvog perioda da se sazna kako se radi amortizacioni plan.
Primjer:
Zajam od 1 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati u toku 4 godine jednakim godišnjim otplatama. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 5% (d). Obveznice se isplaćuju sa 200 KM ažije po jednom komadu.
Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; p =5%; α=200
Broj emitovanih obveznica (m): m = K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000
Otplata (b): b = K : n = 1 000 000 : 4 = 250 000
Broj obveznica za jednogodišnju amortizaciju (x): x = b : N = 250 000 : 1000 = 250
Kamata po obveznici (I0):
I0 = N * i = 1000 * 0,05= 50
Iznos ažije na zajam (A):
A= m* α = 1000 * 200 = 200 000
Na kraju prve godine: 1. Kamata
I1 = m * I0 = 1000 * 50 = 50 000 2. Amortizovane obveznice x=250 3. Otplata b1 = x * N = 250 * 1000 = 250 000 4. Ažija
A1 = x * α = 250 * 200 = 50 000 5. Anuitet a1 = b1 + I1 + A1 = 250 000 + 50 000 + 50 000 = 350 000 6. Neamortizovane obveznice m1 = m – x = 1000 – 250 = 750
Amortizacioni plan ovog modela otplate zajma će se razlikovati od plana amortizacije jednakim otplatama po nominali u tome što će imati dodatnu kolonu, ažiju. Konačna kontrola je proširena sa dva nova uslova: a) zbir ažije treba biti jednak ažiji na zajam b) zbir anuiteta treba biti jednak sumi zbirova otplata, kamate i ažije
Kod zajma koji se amortizuje jednakim anuitetima, anuitet se računa kao i kod prethodnih modela pomoću izvedenog obrasca: a=KVpn Kada dužnik preuzme obavezu da osplaćuje i ažiju, iznos što se treba amortizovati tijekom perioda nije K nego K+A, kojeg ćemo obilježavati sa K'. Iznos kamate ostaje isti jer se ona isplaćuje na nominalni iznos duga, bez ažije, po ugovorenoj kamatnoj stopi. Ista kamata od sad veće glavnice ( K+A) dobiva se primjenom ekvivalentne stope (p'). To znači da je
K*p100=K'*p'100
iz koje je p'=K*pK' također imamo i jednakost p'=N*pN' gdje je N' oznaka za iznos obveznice s ažijom.
Novi obrazac za računanje anuiteta je a=K'Vp'n Primjer:
Zajam od 1 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati u toku 4 godine jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 5% (d). Obveznice se isplaćuju sa 200 KM ažije po jednom komadu.
Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; p =5%; α=200
N' = N + α = 1000 + 200 = 1200 m = K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000
A = m * α = 1000 * 200 = 200 000
K' = K + A = 1 000 000 + 200 000 = 1 200 000 ili K' = m * N' = 1000 * 1200 = 1 200 000 p'=NpN'=1000*51200=4,1667 I0=Np100=1000*5100=50
a) Izrada plana pomoću teorijskih anuiteta a=K'Vp'n a=1 200 000V4,11674=1200 0001,04166741,041667-11,0416674-1 a=331 887,8034
b) izrada plana direktnim utvrđivanjem teorijskog broja obveznica za amortizaciju
Broj obveznica za amortizaciju u jednom periodu treba računati pomoću ekvivalentne stope jer se pomoću nje računa i anuitet. Teorijski broj obveznica: x1=mVp'n-p'100 x1=1000V4,16674-4,1667100=10001,04166741,041667-11,0416674-1-0,041667 x1=234,9062 x1 = 234,9062 x2 = x1 * r = 234,9062 * 1,041667 = 244,6940 x3 = x2 * r = 244,6940 * 1,041667 = 254,8897 x4 = x3 * r = 254,8897 * 1,041667 = 265,5102 Stvarni broj obveznica n | Teorijski proj obveznica | Stvarni broj obveznica | Ostatak | 1 | 234,9062 | 234 | 0,9062 | 2 | 244,6940 | 244+1 | 0,6940 1,60020,6002 | 3 | 254,8897 | 254+1 | 0,8897 1,48990,4899 | 4 | 265,5102 | 265+1 | 0,5102 1,00011,00000 | | 1000 | 10000 | 0 | Kad se utvrdi koliko se obveznica stvarno amortizuje svakog perioda, ostali elementi se računaju aritmetički. Na kraju god. | Obveznice | Kamata 5%(2*I0) | Otplata(3*N) | Ažija(3*α) | Stvarni anuitet(4+5+6) | | Neamortizovane(2-3) | Amortizovane | | | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1000 | | | | | | 1 | 766 | 234 | 50 000 | 234 000 | 46 800 | 330 800 | 2 | 521 | 245 | 38 300 | 245 000 | 49 000 | 332 300 | 3 | 266 | 255 | 26 050 | 255 000 | 51 000 | 332 050 | 4 | 0 | 266 | 13 300 | 266 000 | 53 200 | 332 500 | | 2553 | 1000 | 127 650 | 1 000 000 | 200 000 | 1 327 650 |
Konačna kontrola: a) Zbir amortizovanih obveznica jednak broju emitovanih ( 1000 = 1000) b) Zbir otplata jednak iznosu zajma ( 1 000 000 = 1 000 000 ) c) Posljednja količina neamortizovanih obveznica jendnaka posljednjoj količini amortizovanih obveznica ( 266 = 266) d) zbor stvarnih anuiteta jednak zbiru sume otplata, sume kamata i sume ažija
(1 327 650 = 1 000 000 + 127 650 + 200 000) e) zbir ažije jednak ažiji na zajam ( 200 000 = 200 000)
Ostatak duga izražen brojem neamortizovanih obveznica može se izračunati pomoću obrasca: mk=x1IIIp'n-1-IIIp'k-1 Rezultat je teorijski broj neamortizovanih obveznica. Stvarni broj ćemo dobiti zaokrugljivanjem ovog broja ali samo naviše. Izračunat ćemo teorijski broj neamortizovanih obveznica iz posljednjeg primjera na kraju drugog perioda: m2=234III4,16673-III4,16671 m2=2341,0416671,0416673-11,041667-1-1,0416671,041667-11,041667-1 m2=520,3998954 Stvarni broj neamortizovanih obveznica na kraju drugog perioda je 521, što se poklapa sa iznisim u amortizacionom planu.
OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S DISAŽIJOM
Disažija predstavlja razliku između nominalnog i iznosa kojim se obveznice stvarno isplaćuju. * Osnovica za računanje anuiteta (K') jeste razlika između zajma i ukupne disažije odnosno :
K'= K – D * Ekvivalentna kamatna stopa se računa po obrascu:
P'= Np/ N' gdje je N' iznos kojim se obveznica efektivno isplaćuje.
Iz ovog zaključujemo da se anuitet račuma po formuli: a=K-DVp'n Prikazat ćemo to na konkretnom primjeru:
Zajam od 1 000 000 KM, podijeljen je na obveznice po 1000 KM i treba ga amortizovati za 4 godine jednakim godišnjim anuitetima.Kamata iznosi 3,61%, a obveznice se isplaćuju po 361 KM.
Elementi:
K= 1 000 000, N=1000, n= 4, p= 3,61% i N'= 361 m=1000 p'=3% prema prethodnoj formuli
Ukupna disažija se računa po obrascu:
D=m(N-N')= 639 000
Io= Np100=36,1
I1= m*Io= 36 100
Ukupni anuitet po spomenutoj formuli iznosi : a= 98579,01005
Količina emitovanih obveznica se može izračunati na dva načina: 1. x1 =a-I1N'=173,07205
OBVEZNICE RAZLIČITIH NOMINALNIH VRIJEDNOSTI; KAMATA SE ISPLAĆUJE POMOĆU KAMATNIH KUPONA
Vrlo često se u praksi dešava slučaj korištenja zajmova različite nominale. Tokom odluke o broju grupa obveznica treba se uvažavati iznos zajma kao i finansijska snaga potencijalnih povjerilaca.
Primjer:
Zajam od 2 000 000 KM podijeljen je na 2000 obveznica po 500 KM, 3000 obveznica po 200KM i 4000 obveznica po 100KM. Zajam se amortizuje 4 godine po kamati od 5%.
Elementi:
K= 2 000 000 KM, a= 2000 N1=500KM, b=3000 N2= 200KM, c=4000 N3=100KM, n=4 i p= 5%
I GRUPA
K1 = 2000*500= 1 000 000
II GRUPA
K2=3000 * 200= 600 000
III GRUPA
K3=4000*100=400 000
Prvo ćemo izračunati teorijski broj svake grupe obveznica za amortizaciju:
I GRUPA a) a= 1 000 000 V6 4=282 011,83 b) I1 = K1 *i=50 000 c) x1 = a-I1N1=464,02366 ili x1 =a Vp n- i= 464, 02366
II GRUPA a) a=K2 Vpn=169207,098 b) I2= 30 000 c) y1 = a- I2N2=666, 03549 ili y1 =b Vp n- i = 666,03549
III GRUPA a) a=K3 Vpn=112804,732 b) I3= 20 000 c) z3 = a-I3N3=928,04732 ili z3 =cVp n-i=928,04732
Naravno, za svaku grupu ćemo izračunati stvarni broj obveznica:
Za provjeru plana trebaju biti zadovoljeni sljedeći uslovi: 1. Zbir stvarnih otplata jednak je iznosu zajma 2. Posljednja otplata jednaka je posljednjem ostatku duga 3. Zbir svake grupe obveznica jednak je broju obveznica iste nominale 4. Zbir svih otplata i kamata jednak je zbiru anuiteta 5. Kamata na zbir ostatka duga jednaka je zbiru kamata 5 122 800*5100=256 140
OBVEZNICE SE AMORTIZUJU POMOĆU ANUITETSKIH KUPONA
Specifičnost ovog načina otplate zajma je taj što se svaka obveznica amortizuje u svakom periodu, preko anuitetskih kupona, do njene potpune amortizacije. On plaća i kamatu, na neotplaćeni iznos obveznice po ugovorenoj stopi. Anuitet čine otplata i kamata. Imalac obveznice prima iznos anuiteta kada dužniku preda anuitetski kupon, a može se realizirati sve do zastarjelosti.
Način izrade amortizacionog plana kod ovog modela je kao i kod pojedinačnog zajma, jer je sa matematičke strane, svaka obveznica kao pojedinačni zajam. Uradit ćemo primjer za ilustrovanje.
Primjer:
Zajam od 7 000 000KM je podijeljen na 4000 obveznica po 1000 KM, 5000 po 500 KM i 2500 obveznica po 200 KM nominalne vrijednosti. Zajam treba amortizovati za 4 godine jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se plaća godišnje po 5% (d). Obveznice se isplaćuju po nominali. Anuiteti se realizuju anuitetskim kuponima. Koliki je anuitet za zajam i kakva je njegova struktura?
Elementi: K = 7 000 000; f = 4000; N1 = 1000; g = 5000; N2 = 500; h = 2500; N3 =200; p = 5% a=KVnp a=7 000 000*V54 a=1 974 082,81
Ovim anuitetom se godišnje isplaćuje f+g+h=11 500 anuitetskih kupona, po jedan kupon svake emitovane obveznice.
Pošto se obveznice isplaćuju po nominali, anuitet po obveznici iznosi: a1=N1Vpn=1000*V54=282,01183 a2=N2Vpn=500*V54=141,005915 a3=N3Vpn=200*V54=56,402366 a anuitet za grupu obveznica:
4000 * 282,01183 =1 128 047,32
5000 * 141,005915 = 705 029,575
2500 * 56,402366 = 141 005,915
Ukupno 1 974 082,81
Budući da je svaka obveznica s matematičkog gledišta poseban zajam i ona može imati svoj amortizacioni plan. Uradit ćemo radi ilustracije primjer plana amortizacije za obveznicu od 1000 KM.
AMORTIZACIONI PLAN Redni broj kupona | Glavnica | Otplata | Kamata 5% | Iznos anuitetskog kupona | 1 | 1000 | 232,12 | 50 | 282,12 | 2 | 767,88 | 243,73 | 38,39 | 282,12 | 3 | 524,15 | 255,91 | 26,21 | 282,12 | 4 | 268,24 | 268,24 | 13,41 | 282,12 | | 2560,27 | 1000 | 128,01 | 1128,48 |
Razlike koje se pojavljuju na decimalnim mjestima kod poređenja suma elemenata su se pojavile zbog zaokrugljivanja decimalnih brojeva na dva mjesta radi preglednije tabele.
Kontrola se vrši postupcima kao i u prethodnim primjerima.
* ZAKLJUČAK
Sa stajališta zajmotrašca, emitenta obveznica, vrlo je važno uskladiti model vraćanja zajma sa svojim finansijskim mogućnostima i planovima. Razlike između pojedinih modela su značajne i imaju veliki uticaj na financijske tokove kompanije.
Također, sa stajališta investitora, zajmodavca, različiti modeli vraćanja zajma podijeljenog na obveznice daju različite novčane prilive tijekom vremena, te treba ih znati prepoznati i uskladiti sa svojim inicijalnim željama i potrebama pri investiranju.
* LITERATURA
Branko Trklja (2008.) Finansijska matematika, treće izdanje, Sarajevo: Ekonomski fakultet u Sarajevu Izdavačka djelatnost
