‫کد گذاری شبکه امنیت دو الیه یا ‪2-LSNC‬‬
‫نویسنده : مهدی حسن زاده , محمد روان بخش و ‪yvind Ytrehus‬‬ ‫مترجم :شهرزاد امیررحیمی‬ ‫شماره دانشجویی :890110162‬
‫‪( min-cut‬برش کمینه) از جریان شبکه از منبع به هریک از‬ ‫گیرنده ها بسنده میکند .‬ ‫در {3} , ‪Cai‬و ‪ Yeung‬یک مشکل مهم امنیتی را ارائه کردند‬ ‫که میتوان با کد گذاری شبکه کاهش یابد. آنها مدلی برای امنیت‬ ‫کد گذاری شبکه خطی معرفی کردند که میتواند عالی ترین امنیت‬ ‫اطالعات را در مقابل جاسوسان ,کسانی که میتوانند تعداد‬ ‫محدودی از لینک های شبکه را استراق سمع کنند ,داشته باشد .‬ ‫روش آنها بر پایه تلفیق کردن ایده ی اشتراک محرمانه با‬ ‫محدودیت اندازه فیلد ها برای امنیت کد گذاری شبکه است .‬ ‫محدودیت ها بر پایه توپولوژی شبکه میباشد. محدوده اساسی‬ ‫برای این روش در اندازه فیلد الزم برای امنیت کد گذاری شبکه‬ ‫نهفته است . با توجه به شرایط الزم برای اندازه بزرگ فیلد , این‬ ‫مدل محاسباتی غیرعملی است. در ادامه مقاله , ما به نام مدل‬ ‫‪ C&Y‬از این مدل یاد میکنیم .‬ ‫در {4}, . ‪ feldman et al‬نشان داد که پیدا کردن یک ماتریس‬ ‫برای ساختار مطلوب کد گذاری امن شبکه معادل پیدا کردن یک‬ ‫کد خطی با برخی از خواص فاصله عمومی است .عالوه بر آن,‬ ‫آنها کران پایین انداره فیلد را بهبود دادند. آنها نشان دادند که اگر‬ ‫ما مقداری کمی از ظرفیت کلی را از دست دهیم , یک منبع‬ ‫تصادفی کد گذاری شبکه با اندازه فیلد کوچکتر از مدل ‪C&Y‬‬ ‫قابل دست یابی است .در این مدل نتیجه افزایش سطح امنیت, نیاز‬ ‫به اندازه فیلد را باال میبرد. این خاصیت باعث میشود که این مدل‬ ‫در عمل ناکارآمد باشد.‬ ‫در {5} , ‪ Lima et al‬روشی دیگر برای دست یابی به امنیت کد‬ ‫گذاری شبکه را در نظر میگیرد. آنها نشان دادند که کد گذاری‬ ‫شبکه خطی هنگامی که شبکه با محدودیت های در گره های‬ ‫ورودی ساخته شده باشد , برای راه اندازی طرح امنیت کد‬ ‫گذاری شبکه کافی است . بعالوه ,آنها نشان داند که امنیت این‬ ‫مدل به طور کامل به توپولوژی شبکه بستگی دارد , که یکی از‬ ‫نقاط ضعف آن است {5} . همچنین در این مدل , باال بردن سطح‬ ‫کلمات کلیدی :کد گذاری شبکه, امنیت کد گذاری شبکه , اشتراک‬ ‫محرمانه .‬ ‫چکیده _ دو مشخصه مهم برای کاربران شبکه امنیت و هزینه‬ ‫بهربرداری از منابع میباشد. از دید هزینه , کدگذاری شبکه‬ ‫نویدی سودمند تر در مقایسه با مسیریابی معمولی میدهد. در این‬ ‫مقاله , الگویی جدید برای امنیت کد گذاری شبکه بیان میشود. این‬ ‫الگو کد گذاری شبکه امنیت دو الیه یا ‪ 2-LSNC‬نام دارد.‬ ‫مزیت های الگوی جدید ما در سه بخش مطرح میشود : 0) تعداد‬ ‫لینک های الزم برای انکه جاسوسان بتواند رمز را خارج کنند‬ ‫بهبود یافته . 8) برای انکه مقیاس پذیری را بررسی کنیم یک‬ ‫سیستم متریک به نام سطح امنیت ایجاد کردیم , و نشان دادیم که‬ ‫مدل ما با این استاندارد متریک مقیاس پذیر است . 3) مقایسه بین‬ ‫هزینه و سطح امنیت مورد بررسی قرار گرفت . در مدل ما , این‬ ‫هزینه کمتر از مدل مطرح شده ‪ Cai‬و ‪ Yeung‬است. {3}‬ ‫هنگامی که اندازه شبکه و تعداد سینک ها به نقطه بحرانی‬ ‫میرسند. دست یافته ما در مقایسه با دیگر مدلها به وسیله ی شبیه‬ ‫سازی است .‬

‫0. معرفی‬
‫کد گذاری شبکه توسط ‪ Ahlswede et al‬معرفی شد . در این‬ ‫الگوی ارتباطی , گره های نه تنها اجاره میدهند بسته های اصالح‬ ‫نشده به جلو فرستاده شوند , درحالی که در مسیریابی کالسیک‬ ‫ذخیره و ارسال به جلو شبکه محدود شده است , بلکه بسته های‬ ‫دریافت شده را برای ارسال به جلو , اصالح و ترکیب میکنند‬ ‫.در {8} . ‪ . Li et al‬ثابت شده که کد گذاری شبکه خطی به‬ ‫ارسال چند پخشی اطالعات از یک منبع واحد به یک دریافت‬ ‫کننده ثابت در یک نرخ یکسان تا حداقل( برتمامی گیرنده ها )‬

‫هدف نشست چند پخشی این است که رشته ای از اطالعات نمادی‬ ‫تولید شده در یک منبع را به یک سری ‪ T‬از گره ها( بهتر است‬ ‫بگویم سری از سینک های ) برسانند. ماکزیمم تعداد انتقال مستقیم‬ ‫بین منبع و یک سینک در گراف مستقیم به عنوان جریان بیشینه‬ ‫(‪ )max-flow‬شناخته میشود ,که, تئوری معروف ‪max-flow‬‬ ‫همانند ‪ min- cut‬بین منبع و سینک برقرار میشود. در یک‬ ‫چندپخشی جای که یک گره منبع اطالعات را به تمام سینک گره‬ ‫ها ارسال میکند ؛ امکان دارد با بکار بردن کد گذاری جریان‬ ‫شبکه به جریان بیشینه هر سینک دست بیابیم{0}. بدون کدگذاری‬ ‫شبکه این امکان همیشه وجود ندارد.‬ ‫در کد گذاری شبکه گره های میانی نه تنها نسخه برداری و ارسال‬ ‫به جلوی بسته های دریافتیشان را انجام میدهند بلکه میتوانند آنها‬ ‫را باهم ترکیب کنند. ایجاد یک کد شبکه از پیش تعیین شده شامل‬ ‫دو گام است : 0) یک زیرگراف برای انتقال جریان بیشینه‬ ‫اطالعات , و 8) اختصاص دادن روش رمزگشایی به این زیر‬ ‫گراف ؛ این اطالعات تهیه شده برای هر گره باید بسته های‬ ‫گرفته شده و لینک های خروجی را ترکیب کند . در {2} یک‬ ‫روش جبری برای رمزگشایی اراده شده و در {6} این الگوریتم‬ ‫با توسعه دوره تناوب زیرگراف ها(جریان دوره تناوب) انجام‬ ‫میشود .‬ ‫ب) اشتراک گذاری محرمانه‬ ‫در رمز نویسی ( ‪ , )cryptography‬اشتراک گذاری محرمانه‬ ‫اشاره دارد به هر روشی که برای دسته بندی یک رمز (با وجود‬ ‫دالل) میان گروهی از ‪ n‬شرکت کننده (بازی کننده ), که به هر‬ ‫کدام سهمی از رمز اختصاص داده شده است .در یک‬ ‫(‪)n,tss‬آستانه روش اشتراک محرمانه , رمز تنها زمانی میتواند‬ ‫بازسازی شود که حداقل در نقطه پایان ‪ tss‬سهم های با یکدیگر‬ ‫ترکیب شوند .اشتراک محرمانه در سال 6760توسط‬ ‫‪ }01{A.Shamir‬و ‪ }00{G.Blakley‬مستقالنه ایجاد شد .‬ ‫هدف از اشتراک محرمانه این است که رمز ‪ S‬درون ‪n‬سهم‬ ‫1‪ sn....,s‬تقسیم گردد بدین صورت که :‬ ‫0) شناسای هر ‪ tss‬یا ‪ si‬های بیشتر کاری میکند ‪ S‬آسان تر‬ ‫قابل تخمین زدن باشد‬

‫امنیت بستگی به افزایش اندازه فیلد و تعداد پروسه های تصادفی‬ ‫دارد. مشابه مدل قبلی این خاصیت باعث میشود که این مدل در‬ ‫عمل ناکارآمد باشد {5} .و مدل بیان شده در {5} در ایجاد امنیت‬ ‫در شبکه های حسگر استفاده میشود {7}.‬ ‫در این مقاله , مدل جدیدی برای امنیت شبکه ارائه میگردد . این‬ ‫مدل کد گذاری شبکه امنیت دو الیه یا ‪ 2- LSNC‬نام دارد. با‬ ‫این مدل , ما تعداد لینک های که یک جاسوس الزم دارد تا به‬ ‫رمز پیام دست بیابد , سطح امنیت و هزینه افزایش سطح ایمنی را‬ ‫بهبود داده ایم .مدل ما مقیاس پذیر است , بدین معنی که با رشد‬ ‫اندازه شبکه بهره وری بهبود می یابد.ما از شبیه سازیمان این‬ ‫خاصیت که در روش های قبلی نبود را مشاهده کردیم.بهبود‬ ‫امنیت در {3} و {5} تابعی از اندازه فیلد است. به معنای دیگر ,‬ ‫پایداری در مقابل جاسوسان قدرتمند با استفاده از اندازه فیلد‬ ‫بزرگتر امکان پذیر است. هرچند, روش ما محدودیتی روی‬ ‫اندازه فیلد ندارد و تنها الزم است یک فیلد که بتواند راه حلی‬ ‫عملی برای کد گذاری شبکه ارائه دهد, استفاده شود .‬ ‫مقاله بدین صورت ترتیب بندی شده است : بخش 8 با معرفی کد‬ ‫گذاری و اشتراک محرمانه آغاز میشود . این بخش با جزئیاتی در‬ ‫مورد مدل ‪ C&Y‬ادامه می یابد. یک مدل جدید برای اشتراک‬ ‫گذاری محرمانه در بخش 3 معرفی میشود . مدل امن کد گذاری‬ ‫شبکه ی ما در بخش 4 ام مطرح میشود . بخش 5 ام نتایج شبیه‬ ‫سازی را نشان میدهد. این مقاله در بخش 9 نتیجه گیری میشود .‬

‫8. مقدمه‬
‫الف ) مدل کدگذاری شبکه‬ ‫ما شبکه ارتباطی را با یک گراف جهت دار ‪) V,E( =G‬‬ ‫بازنمایی میکنیم , جای که ‪ V‬به جای گره ها ( یک منبع‬ ‫,مسیریاب , و سینک ها / گیرنده ها ) و ‪ E‬جای کران ها یا لینک‬ ‫ها است. تمام گره ها با رنجی از اعداد که از 1 (که برای گره‬ ‫منبع استفاده میشود) تا 1-|‪ |V‬مشخص میشوند. هر لینک (‪)i.j‬‬ ‫نمایشگر یک لینک نقطه به نقطه بدون از دست دادن اطالعات از‬ ‫نود ‪ i‬به نود ‪ j‬است . )‪ TI(i‬و )‪ TO(i‬به تعداد لینک های که از‬ ‫نود‪ i‬داخل و خارج میشود اشاره دارد.‬

‫8) شناسای هر 1-‪ tss‬یا تعداد کمتر ‪ si‬اجازه میدهد ‪ S‬به طور‬ ‫کامل غیرقابل دسترس (نامعین) شود .‬

‫3. آستانه پیوسته ی اشتراک گذاری محرمانه‬
‫در این بخش ما نوع جدیدی از اشتراک گذاری محرمانه را معرفی‬ ‫میکنیم. این توسط سلایر های الحاقی طرح جزئی و طرح دیگر‬ ‫آستانه طراحی میشود. یک رمز ‪ S‬اول تقسیم شده به ‪ n‬سهم‬ ‫(‪ )s1,s2,…,sn‬با استفاده از روش رمز اشتراک گذاشته شده‬ ‫(‪ , )n,n‬پس یک کاربر الزم است به تمام سهم ها‬ ‫(‪ )s1,s2,…,sn‬برای دوباره سازی رمز ‪, S‬دست یابد.‬ ‫در این مرحله , هر کدام از سهم های ‪ si‬تقسیم شده به ‪ mi‬سهم با‬ ‫استفاده از یک روش اشتراک گذاری محرمانه آستانه‬ ‫)‪.(mi,t ss,i‬پارامتر ‪ mi‬و ‪ tssi‬میتواند برای هر سهم ‪ si‬متفاوت‬ ‫باشد ولی برای سادگی میتوان آنها را به ترتیب عددی ثابت و‬ ‫برابر ‪ m‬و ‪ tssi‬دانست. به همین سبب,سهم های ‪ nt ss‬برای باز‬ ‫سازی رمز ‪ S‬الزم است و سری سهم های ‪ t ss‬باید از ‪ si‬مشابه‬ ‫دریافت شود.ما از این مدل با عنوان )‪ -(n,m,tss‬اشتراک‬ ‫گذاری پیوسته سطح آستانه یا ‪ CTSS‬یاد میکنیم. چهارچوب‬ ‫‪ CTSS‬آن را برای مدل ما , در قسمت ساخت امنیت کد گذاری‬ ‫شبکه که در بخش 4 ارائه شده ؛ قابل استفاده کرده است. این‬ ‫نشان میدهد روش ‪ CTSS‬سطح امنیت را در مقایسه با مدل‬ ‫‪ C&Y‬بهبود داده است.‬ ‫(0)‬ ‫در {10} یک نمونه (‪-)n,tss‬آغازگر روش پایه بر درون یابی چند‬ ‫جمله ای ارائه شده است . چند جمله ای میتواند جایگزین هر کدام‬ ‫از مجموعه تابع که برای ارزیابی آسان تر هستند,گردد. با در‬ ‫نظر گرفتن این مورد بدیهی روش (‪)n,n‬آستانه ؛ ‪ tss .e ,i‬برابر‬ ‫است با ‪ .n‬در این روش , 1-‪ n‬عددی تصادفی (1-‪)r1,….,rn‬‬ ‫بعنوان سهم های 1-‪ n‬ایجاد شدند و برای سهم اخر ما خواهیم‬ ‫داشت : ‪ , rn−1 ⊕ . . . ⊕ r2 ⊕ r1 ⊕rn= S‬جای‬ ‫که ⊕ از هر فرمول بعالوه جدا است . این واضح است که ‪S‬‬ ‫میتواند با داشتن تمام سهم ها بدست آید,در حالی که هیچ زیرشبکه‬ ‫ای از 1-‪ n‬یا سهم کمتر نمیتواند رمز ‪S‬را بازیابی کند .‬‫ج) توصیف مدل ‪Cai‬و ‪Yeung‬‬ ‫در این زیر مجموعه ؛ مدل ‪ C&Y‬توصیف میشود. در نظر‬ ‫بگیرید یک جاسوس به تعداد محدودی از لینک های توسط ‪μ‬‬ ‫مشخص شده است ,دست رسی پیدا کرده باشد .از آنجای که‬ ‫جاسوس به زیرشبکه توسط ‪ μ‬لینک , دست رسی پیدا کرده است‬ ‫, به طور مشخص, نمادهای ‪ h =R – μ‬میتوانند به طور ایمن‬ ‫انتقال یابند , جای که‬ ‫})‪R=min t∈ T{max-flow(t‬‬

‫4. پیشنهاد مدل کدگذاری امن شبکه‬
‫در این بخش , ما مدلی برای کدگذاری امن شبکه ارائه میکنیم که‬ ‫میتواند برای هر شبکه ای که بتواند راه حلی برای کد گذاری‬ ‫شبکه عملی سازد ,مطرح گردد. به معنی دیگر , هیچ شرط‬ ‫اضافه ای به شبکه تحمیل نشده برای آنکه وجود راه حل عملی را‬ ‫ضمانت کند . ما ثابت خواهیم کرد که مدل جدید در مقایسه با‬ ‫مدل ‪ C&Y‬با نسبت به سطح امنیت مطرح شده در بخش ‪V_B‬‬ ‫مطلوب تر است. ما روش ‪ CTSS‬معرفی شده در بخش 3 را به‬ ‫کار گرفته ایم. از آنجای که روش جدید اشتراک گذاری محرمانه‬ ‫از دو گام اشتراک گذاری رمز در گره منبع و همسایگانش‬

‫تفسیر : برای سینک گره ‪, t ∈ T‬اگر کانالهای ‪ μ‬در شبکه‬
‫استراق سمع شوند , تعداد " مسیرهای امن " از منبع به گره ‪T‬‬

‫( هرچند کاربران شبکه نمیدانند کدام مسیر‬

‫هنوز ‪h=R- μ‬‬

‫امن است.) در نتیجه , یک بردار از نماد های )‪x=(x1,…xh‬‬ ‫میتواند با امنیت به هر مقصد فرستاده شود . از این رو , ‪μ‬‬

‫مستقل ارقام تصادفی (‪ )r1,….r μ‬ایجاد میشوند و پیوند میخورد‬ ‫تا بردار )‪ y=(x1,…,xh,r1,… rμ‬را بسازد . در اخر , گره‬ ‫منبع با استفاده از ماتریس ‪ M‬بردار ‪ c=My‬را میسازد و بردار‬ ‫‪ c‬را برای تمام گره های سینک به وسیله کد گذاری شبکه ارسال‬ ‫میکند .‬

‫در نگاهی کلی , رمز ‪ S‬تقسیم شده به ‪ nΓO‬سهم و با ارسال‬ ‫چندپخشی به وسیله کد گذاری شبکه به تمام سینک ها ارسال شده‬ ‫است . هر سینک میتواند رمز ‪ S‬را از ‪ ntss‬سهم بازسازی کند‬ ‫. باید در نظر گرفت که نه همه ی سری ‪ ntss‬سهم میتواند رمز‬ ‫را بازسازی کنند. تنها اگر هر سینک حداقل ‪ tss‬سهم از هر گره‬ ‫در الیه دوم دریافت کند , رمز ‪ S‬قابل استخراج است.این بدین‬ ‫معنی است که حتی اگر جاسوسان بتوانند ‪ ntss‬سهم را بگیرند ,‬ ‫این سری گرفته شده تنها اگر دقیقا مربوط به ‪ n‬اصلی الیه اول‬ ‫باشد قابل استفاده است ,پس امنیت شبکه بهبود یافته است. ما‬ ‫نشان خواهیم داد که کد گذاری شبکه میتوان ضمانت کند د هر‬ ‫سری از ‪ tss‬سهم الیه دوم بتوانند به گره انتقال به هر سینک در‬ ‫الیه دوم برسند .‬ ‫جریان بیشینه (‪ )R‬بین منبع و هر سینک باید بزرگتریا برابر‬ ‫‪ ntss‬باشد . برای ایمنی , این مورد الزم است )‪.(ntss >= μ‬‬ ‫ب) بهینه سازی گراف‬ ‫در روش ‪ , 2-LSNC‬مجموعه های متفاوتی از جریان اطالعات‬ ‫باید به گره های الیه دوم ارسال شود. هر کدام از این جریان ها‬ ‫باید به هر یک از گره های سینک شده روی مسیری مجزا‬ ‫فرستاده شود. با مسیریابی , مشکل پیدا کردن محل مجزا روی‬ ‫درخت اشتاینر است {30},که به عنوان ‪ NP-hard‬شناخته‬ ‫میشود؛ و نتیجه نسبت به منبع شبکه نسبتا بی فایده است .حتی‬ ‫برای تعداد متوسطی از سینک گره ها , امکان دارد غیرممکن‬ ‫باشد که بتوانیم همچین درختی را به خود اختصاص دهند. واضح‬ ‫است تنها روش جایگزین استفاده از کد گذاری شبکه میباشد. در‬ ‫این زیر بخش ,ما تو توضیح میدهیم چگونه گراف ارسال چند‬ ‫پخشی کد گذاری شبکه را بهبود دهیم .‬ ‫در پایه کار ‪ , }08{lun et al‬ما یک برنامه خطی استفاده‬ ‫کردیم تا هزینه را حداقل برسانیم و بتوانیم هدف خود را ایجاد‬ ‫کنیم. هدف این است که گراف با جریان الزم و حداقل هزینه را‬ ‫پیدا کنیم. یک هزینه ثابت و ظرفیت واحد برای هر لینک در نظر‬ ‫گرفته شده.‬ ‫‪ CTSS‬برای دست آورد ما (‪ )2-LSNC‬برای تعدادی از لینک‬ ‫های خروجی از گره منبع استفاده شد (‪n‬خروجی ) تا اولین قدم‬‫اشتراک گذاری محرمانه صورت گیرد. هر گره در الیه دوم به‬

‫تشکیل شده است , ما از این مدل جدید به عنوان کدگذاری شبکه‬ ‫امنیت دو الیه یا ‪ 2-LSNC‬یاد میکنیم.‬ ‫در زیر بخش 4-الف ما توضیح میدهیم چگونه از روش ‪CTSS‬‬ ‫در مدل جدید استفاده کرده ایم. سپس در رابطه با بهینه سازی‬ ‫پردازش در دو الیه امن کد گذاری شبکه در زیربخش 4-ب بحث‬ ‫میکنیم.‬ ‫الف ) آستانه متنی پیوسته اشتراک گذاری محرمانه برای‬ ‫‪2-LSNC‬‬ ‫از حاال به بعد, اولین الیه شبکه به گره منبع اشاره دارد که با 0‬ ‫اندیس گذاری شده , در حالی که الیه دوم اشاره دارد به تمام گره‬ ‫های که از مستقیما از منبع اطالعات ورودی را دریافت میکنند.‬ ‫گره های الیه دوم از 0 تا )‪ ΓO(i‬اندیس گذاری شده اند . ما‬ ‫فرض میگیریم که لینک ها )‪ (0, i‬برای )‪ i = 1. . . ΓO(i‬امن‬ ‫هستند . این فرضیه در بسیاری از شبکه ها عملی است و در‬ ‫مقایسه ی ما در بخش 5 تمام روش ها در نظر گرفته شده است.‬ ‫برای راحتی , ما در نظر گرفتیم )‪ ΓO(i‬برای تمام نود های در‬ ‫الیه دوم یکسان است .) ‪.(∀ i : ΓO(i) = ΓO‬‬ ‫یک روش ‪ CTSS‬با پارامتر های )‪ (n, ΓO, tss‬در دو الیه از‬ ‫شبکه استفاده میشود , جای که گره منبع نقش دالل را بازی میکند‬ ‫و تمام شرکت کنندگان را سینک میکند. به معنای دیگر , یک‬ ‫رمز ‪ S‬در الیه اول تقسیم شده به ‪ n‬سهم )‪(s1, s2, . . . , sn‬‬ ‫جای که ‪ ΓO(0) λ‬با افزایش ‪μ‬‬ ‫وکاهش ‪ λ‬رشد میکند . در نتیجه ,‪ Φ‬از فرمول زیر بدست میآید‬ ‫:‬ ‫بر پایه شکل 5 و 6 مشاهده میکنیم که برای تعداد کوچکی از گره‬ ‫ها یا سینک ها , مدل ‪ C&Y‬هزینه کارامدتری از مدل جدید‬ ‫دارد. هرچند مدل جدید مقایس بهتری دارد و در شبکه با تعداد‬ ‫گره ها و سینک ها باال کارامد تر است.‬

‫9. نتیجه گیری‬ ‫مدل جدید , دو الیه کد گذاری امن شبکه ( ‪ , )2-LSNC‬در بسیاری از پارامترهای امنیتی نسبت به روش های قبلی بهبود یافته است. این‬ ‫پارامتر ها شامل ماکزیمم توان مقابله با جاسوسان, سطح امنیت و هزینه سطح امنیت هستند.‬ ‫مدل ما در مقابل جاسوسان قوی تر , پایدار تر است ,و هزینه افزایش سطح امنیت در مقایسه با مدل ‪Cai‬و ‪ Yeong‬در زمانی که اندازه شبکه‬ ‫و تعداد سینک ها به نقطه بحرانی میرسند , کمتر است. نتیجه شبیه سازی ما این بهبود ها را تایید میکند .‬

: ‫منابع‬
}0{ R. Ahlswede, N. Cai, S.-Y. R. Li, and R. W. Yeung, “Network Information Flow”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 46, April 2000, pp. 1204-1216. }8{ S.-Y. R. Li, R. W. Yeung, and N. Cai, “Linear network coding”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 49, February 2003, pp. 371-381. }3{ N. Cai, and R. W. Yeung, “Secure network coding”, Proceedings of IEEE Symposium on Information Theory, 2002 }4{ J. Feldman, T. Malkin, R. A. Servedio, and C. Stein, “On the Capacity of Secure Network Coding”, Proc. 42nd Annual Allerton Conference on Comunication, Control and Computing, September 2004. }5{ L. Lima, M. Medard, and J. Barros, “Random linear network coding: a free cipher?”, Proceedings of IEEE Symposium on Information Theory, 2007 }6{ T. Ho, M. Medard, J. Shi, M. Effros, and D.R. Karger, “On randomized network coding”, Proc. 41st Annual Allerton Conference on Comunication, Control and Computing, Oct. 2003. }7{ F. Lu, L. Geng, L. Chia, and Y. Liang, “Secure Multi-path in Sensor Networks”, Proc. the 5th international conference on Embedded networked sensor systems, 2007. }2{ S. Jaggi, P. Sanders, P.A. Chou, M. Effros, S. Egner, K. Jain and L.M.G.M. Tolhuizen,“Polynomial Time Algorithms for Multicast Network Code Construction”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 51, June 2005, pp. 1973-1982. }6{ A´ . Barbero and Ø. Ytrehus, “Cycle-logical Treatment of ’Cyclopathic’ Networks”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, June 2006, pp. 2795-2805. }01{ A. Shamir, “How to share a secret”, Communications of the ACM, Vol. 22(1), 1979, pp. 612-613. }00{ G. R. Blakley, “Safeguarding cryptographic keys”, Proc. the National Computer Conference, Vol. 48, 1979, PP. 313-317. }08{ D. S. Lun, N. Ratnakar, M. M´edard, R. Koetter, D. R. Karger, T. Ho, E. Ahmed, and F. Zhao “Minimum-Cost Multicast over Coded Packet Networks”, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, Issue 6, June 2006, pp. 2608– 2623. }03{ P. Winter, “Steiner problem in networks: A survey,”, Networks, vol. 17, Wiley-Interscience New York, 1987, pp. 129-167.