概率论与数理统计 公式（全） 2011-1-1

第1章 n Pm 

随机事件及其概率
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

（1）排列 组合公式 n Cm 

m! (m  n)!

m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m  n)!

（2）加法 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 和乘法原 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 理 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） （3）一些 对立事件（至少有一个） 常见排列 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， （4）随机 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 试验和随 验。 机事件 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： （5）基本  事件、样本 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 空 间 和 事 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用  表示。 一个事件就是由  中的部分点（基本事件  ）组成的集合。通常用大写字母 件 ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n

A，B，C，„表示事件，它们是  的子集。  为必然事件，Ø 为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， A 发生必有事件 B 发生） （ ：

A B
如果同时有 A  B ， B  A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B。 （6）事件 A、B 中至少有一个发生的事件：A  B，或者 A+B。 的关系与 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可 运算 表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。

A、B 同时发生：A  B，或者 AB。A  B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1

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 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率： i 1

A A i i 1





i

A B  A B， A B  A B

设  为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1 （7）概率 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A 2 ，„有 的公理化    P  Ai   P ( Ai ) 定义  

 i 1





 i 1

常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1°    1 ,  2  n ，  2° P(1 )  P( 2 )   P( n )  （8）古典 概型

设任一事件 A ，它是由 1 ,  2  m 组成的，则有

1 。 n

P(A)= (1 )  ( 2 )    ( m ) = P(1 )  P( 2 )    P( m )



m A所包含的基本事件数  基本事件总数 n

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 （ 9 ） 几 何 概型。对任一事件 A， 概型 L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 P( A) 

L ()

（10）加法 公式 （11）减法 公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B  A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称

P( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P( A) （12）条件 P( AB) 概率 件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A)  。 P( A)
2

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条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1  P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB)  P( A) P( B / A) （13）乘法 公式 更一般地，对事件 A1 ，A2 ，„An ，若 P(A1 A2 „An-1 )>0，则有

P( A1 A2 „ An)  P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) „„ P( An | A1 A2 „
An  1) 。
①两个事件的独立性 设事件 A 、B 满足 P( AB)  P( A) P( B) ， 则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A)  0 ，则有

P( B | A) 

P( AB) P( A) P( B)   P( B) P( A) P( A)

（14）独立 性

若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独 立。 必然事件  和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P( Bi )  0(i  1,2,, n) ，

（15）全概 公式

2° 则有

A   Bi i 1

n

，

P( A)  P( B1) P( A | B1)  P( B2) P( A | B2)    P( Bn) P( A | Bn) 。
设事件 B1 ， B 2 ，„， Bn 及 A 满足 1° B1 ， B 2 ，„， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i  1，2，„， n ， n 2° 则 （16）贝叶 斯公式

A   Bi i 1

， P( A)  0 ，

P( Bi / A) 

P( Bi ) P( A / Bi )

 P( B j 1

n

，i=1，2，„n。

j

) P( A / B j )

此公式即为贝叶斯公式。

P( Bi ) ， i  1 ， 2 ，„，n ） （ ，通常叫先验概率。 P( Bi / A) ， i  1 ，2 ，„， （ n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。 （17）伯努 利概型 我们作了 n 次试验，且满足  每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； 3

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n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；  每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1  p  q ，用 Pn(k ) 表 示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0  k  n) 次的概率，

Pn(k )  C n p k q nk ， k  0,1,2,, n 。 k 第二章
（1）离散 型随机变 量的分布 律

随机变量及其分布

设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk (k=1,2,„)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk )的概率为 P(X=xk )=pk ，k=1,2,„， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：

X x1, x 2,, xk , | P( X  xk ) p1, p 2,, pk , 。
显然分布律应满足下列条件： （1） pk  0 ， k  1,2, ， （2） k 1 （2）连续 型随机变 量的分布 密度

p



k

1
。

设 F (x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有

F ( x)   f ( x)dx


x

，

则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°

f ( x)  0 。







f ( x)dx  1

。

（3）离散 与连续型 随机变量 的关系

P( X  x)  P( x  X  x  dx)  f ( x)dx
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X  xk )  pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。

4

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（4）分布 函数

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数

F ( x)  P( X  x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a  X  b)  F (b)  F (a)

可以得到 X 落入区间 (a, b] 的概率。分布

函数 F (x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°

0  F ( x)  1,

   x   ；

F (x) 是单调不减的函数，即 x1  x 2 时，有 F ( x1)  F ( x2) ；

F ()  lim F ( x)  0 ， x 

F ()  lim F ( x)  1 ； x 

F ( x  0)  F ( x) ，即 F (x) 是右连续的； P( X  x)  F ( x)  F ( x  0) 。 xk  x x 对于离散型随机变量， F ( x) 

p

k

；

对于连续型随机变量， F ( x)  （5）八大 分布 二项分布 0-1 分布



 f ( x)dx

。

P(X=1)=p, P(X=0)=q

在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。 k P( X  k )  Pn(k )  C n p k q n  k

，

其

中

q  1  p,0  p  1, k  0,1,2,, n ，
则 称 随 机变 量 X 服 从 参数 为 n ， p 的 二 项分 布。 记 为

X ~ B(n, p) 。
当 n  1时， P( X  k )  p q k 1 k

， k  0.1 ，这就是（0-1）分

布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

5

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泊松分布

设随机变量 X 的分布律为

P( X  k ) 

k k! e  ，   0 ， k  0,1,2 ，

则称随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，记为 X ~  ( ) 或 者 P(  )。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ ，n→∞） 。 超几何分布 k n C M  C N kM k  0,1,2  , l  P( X  k )  , n l  min( M , n) CN

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布

P( X  k )  q k 1 p, k  1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数

均匀分布

1 ，即 ba a≤x≤b 其他，

 1 ,  f ( x)   b  a 0, 

则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为 0， xb。

1，

当 a≤x1