Universidad de Oviedo

BLOQUE II. MATEMÁTICA FINANCIERA.

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Universidad de Oviedo

BLOQUE II. Matemática Financiera
Tema 4. Fundamentos de la Matemática Financiera.
4.1. Capital Financiero. 4.2. Principio de proyección financiera. Equivalencia financiera y preferencia financiera. 4.3. Leyes financieras de valoración:  Leyes financieras de capitalización  Leyes financieras de descuento. 4.4. Operación financiera. Principio de equivalencia financiera. 4.5. Tipos de interés efectivos equivalentes. Tipo de interés nominal.
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Dpto. Economía Cuantitativa

Universidad de Oviedo

BLOQUE II. Matemática Financiera
Tema 4. Fundamentos de la Matemática Financiera.
4.6. Reserva matemática de una operación financiera. 4.7. Características comerciales de una operación financiera: unilaterales y bilaterales. 4.8. Coste y rentabilidad de una operación financiera. 4.9 Teoría de rentas:  Rentas: definición, elementos conceptuales, clasificación.  Rentas constantes: valoración 4.10. Valor actual neto (VAN). Tasa interna de retorno o rentabilidad (TIR).
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Dpto. Economía Cuantitativa

Universidad de Oviedo Dpto. Economía Cuantitativa

BLOQUE II. Matemática Financiera
Tema 5. Operaciones Financieras Básicas.

5.1. Depósitos bancarios a plazo 5.2. Descuento comercial. 5.3. Préstamos.  Préstamo simple (pago único)  Préstamo amortizable mediante pagos constantes (método francés)
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Objetivo de la matemática financiera
Proporcionar modelos matemáticos capaces de reflejar los intercambios de activos reales o financieros entre los distintos agentes económicos. Es necesario valorar los activos financieros que se harán efectivos en momentos de tiempo distintos. ¿Qué se prefiere 1.000€ hoy o 1.000€ dentro de un año? A igual cantidad y calidad siempre se preferirán bienes presentes frente a bienes futuros La valoración de un bien económico no sólo depende de su cuantía sino también del momento en el que está disponible.

Regla básica 1: No se pueden sumar capitales con vencimiento en distintos momentos de tiempo.
5

CAPITAL FINANCIERO
Definición Se define capital financiero (C, t) como la medida de un bien económico referida al momento de su disponibilidad o vencimiento. Es una magnitud bidimensional. (C, t) momento de disponibilidad o vencimiento medida del bien expresada en unidades monetarias ¿Cómo comparar capitales financieros con distintos vencimientos?  (1.000, 0) y (1.000, 2)  (1.000, 2) y (1.300, 2) preferible el 1º. preferible el 2º.

 (1.000, 0) y (1.300, 2)

??

6

PRINCIPIO DE PROYECCION FINANCIERA
El Principio de Proyección Financiera permite, dado un capital financiero cualquiera (C,t), obtener la cuantía V del capital sustituto con vencimiento en otro momento de tiempo (anterior o posterior a t ).

Esto es, para comparar capitales con distintos vencimientos, lo que se hace es comparar sus proyecciones en un momento de tiempo determinado. En base al Principio de Proyección Financiera se establecen:  Relación de Equivalencia Financiera.

 Relación de Preferencia Financiera.
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PRINCIPIO DE PROYECCION FINANCIERA
Relación de Equivalencia financiera en p:

C

Dados dos capitales financieros (C1,t1) y (C2,t2), se dice que son equivalentes financieramente en un determinado momento n, cuando ambos tienen la misma proyección en ese momento n (V1=V2)

V1 = V2

V2 = V1

(C2,t2)
(C1,t1)
(C2,t2) equivalente a (C1,t1)

t n
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PRINCIPIO DE PROYECCION FINANCIERA
Relación de Preferencia financiera en p: Dados dos capitales financieros (C1,t1) y (C2,t2), se dice que (C1,t1) es preferible a (C2,t2), si la proyección del primero en un determinado momento de tiempo, es mayor a la proyección del segundo en ese mismo momento (V1>V2).

C

V1

V1 > V2

(C1,t1)
(C2,t2)

V2

(C1,t1) preferible a (C2,t2)

t n
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LEYES FINANCIERAS
Para realizar la proyección financiera de un capital tenemos... LEYES FINANCIERAS.
Concepto:
Se denomina ley financiera a la expresión matemática del principio de proyección financiera. Se trata de una función cuya finalidad es obtener capitales financieros equivalentes con vencimiento en distintos momentos de tiempo.

Clasificación de las leyes financieras:  Leyes Financieras de Capitalización.  Leyes Financieras de Descuento.
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LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN
Dado un capital financiero (C0, 0) permiten determinar la cuantía del capital equivalente Cn disponible en un momento de tiempo (n) posterior a 0

Cn C0 0 n
Interés

Al capitalizar se suman intereses al capital inicial, por lo que:

C0  Cn

 Cn  C0  intereses

Dpto. Economía Cuantitativa

Intereses: cantidad de dinero que se percibe como compensación o precio por diferir la disponibilidad de un capital.
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Universidad de Oviedo

LEYES FINANCIERAS DE DESCUENTO
Dado un capital financiero (Cn, n) permiten determinar la cuantía del capital equivalente disponible en un momento de tiempo anterior a “n”.

Cn descuento Al descontar se restan intereses (descuento) al capital final, por lo que:

C0
Dpto. Economía Cuantitativa

0

n

C0  Cn

 Cn  C0  descuento

Descuento: importes pagados por anticipar la disponibilidad de un bien. También se define como la rebaja que sufre una cantidad de dinero al ser abonada antes de su vencimiento.
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LEYES FINANCIERAS CLÁSICAS
1) Ley Financiera de Capitalización Simple. 2) Ley Financiera de Capitalización Compuesta. 3) Ley Financiera de Descuento Simple Racional. 4) Ley Financiera de Descuento Simple Comercial. 5) Ley Financiera de Descuento Compuesto. Se diferencian en la forma en que se estipula el devengo de los intereses: Régimen simple: los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial. Régimen compuesto: los intereses de cada periodo se acumulan al capital inicial para generar nuevos intereses en los periodos siguientes. Los intereses son productivos.
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Es una fórmula matemática que dado un capital C0 con vencimiento en el momento 0, permite obtener el capital equivalente al mismo con vencimiento n periodos después.

Cn
C0 Interés La hipótesis fundamental es que solamente el capital inicial produce intereses.

0

n

Cn  C0 (1  n.i)

C0= capital inicial (vencimiento en 0) Cn= capital final (vencimiento en n) n= número de periodos i= tanto de interés (compuesto)

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Deducción de la expresión matemática de la ley
Sea un capital inicial C0, que se invierte durante n periodos a un tipo de interés simple i. En régimen simple solo C0 produce Cn intereses

C0

C1

C2

C 0 1 2 ·········· n

1

=C

+ I = C + C i = C (1 +i ) 0 1 0 0 0

C2  C0  I1  I 2  C0  C0 i  C0 i  C0 (1  2 i)

n = número de periodos en que se han generado intereses. Debe estar referido a la misma unidad de tiempo que i.

Cn  C0 (1  in)

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Fórmula matemática que, dado un capital C0 con vencimiento en 0, permite obtener el capital equivalente al mismo con vencimiento n periodos después. La hipótesis fundamental los intereses que se van generando se Cn acumulan al capital inicial para producir, a su vez, nuevos intereses

C0
0

Interés

n

C n  C 0 (1  i) n

C0= capital inicial (vencimiento en 0) Cn= capital final (vencimiento en n) n= número de periodos (tiempo) i= tanto de interés (compuesto)

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Deducción de la expresión matemática de la ley
Sea un capital inicial C0, que se invierte durante n periodos a un tipo de interés compuesto i.

Cn
C0
C1

En régimen compuesto los intereses se acumulan al capital y generan nuevos intereses

C2

C1  C 0  I 1  C 0  C 0 i  C 0 (1  i)
·········· n

C2  C1  C1 i  C1 (1  i)  C0 (1  i )(1  i)  C0 (1  i) 2
C n  C 0 (1  i) n

0

1

2

n e i deben estar referidos a la misma unidad de tiempo

COMPARATIVA DE LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN
Estudiar la evolución de un capital de 100.000€ colocado a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 años, en capitalización simple y en capitalización compuesta.

 En Cap. Simple el montante aumenta linealmente.
 En Cap. Compuesta el montante

aumenta exponencialmente.

 Para n=1 Cn simple=Cn compuesto
 Si n<1 Cn simple > Cn compuesto  Si n>1 Cn compuesto > Cn simple
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LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE RACIONAL
Se obtiene a partir de la fórmula de la capitalización simple. A partir de un capital Cn disponible en n, permite obtener un capital equivalente al mismo, C0, con vencimiento en 0.

Cn C0  1  n.i

Cn

C0 0 n

Al tratarse de una ley simple, el momento de proyección escogido influye en la valoración.

Dpto. Economía Cuantitativa

En las operaciones de descuento se hace coincidir con el momento inicial de la operación El descuento que experimenta un capital Cn por anticiparse n periodos es

Cn D  Cn  C0  Cn  1  n.i
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Universidad de Oviedo

LEY FINANCIERA DE DESCUENTO COMPUESTO RACIONAL
Se obtiene a partir de la fórmula de la capitalización COMPUESTA. A partir de un capital Cn disponible en n, permite obtener un capital equivalente al mismo, C0, con vencimiento en 0.

Cn

C0 

1  i 

Cn

; n

C0  Cn 1  i 

n

C0 0 n

Dpto. Economía Cuantitativa

Se trata de una ley compuesta y por tanto el momento de proyección escogido NO influye en la valoración. Por tanto, se puede plantear la equivalencia financiera el cualquier momento de tiempo. El descuento que experimenta un capital Cn por anticiparse “n” periodos es

D  Cn  C0  Cn  Cn 1  i 

n
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LEY FINANCIERA DE DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE
Esta ley se aplica en la práctica comercial cuando se descuenta un efecto comercial o una remesa de efectos. A diferencia de las restantes leyes, utiliza un tanto d de descuento que representa la disminución experimentada por una unidad monetaria al anticipar su vencimiento un periodo.
El descuento experimentado por un capital Cn es proporcional al importe del capital y al tiempo que se anticipa

D  Cn  C0  Cn .d .n

Dpto. Economía Cuantitativa

C0  Cn .(1  n.d )

Al tratarse de una ley simple, el momento de proyección escogido influye en la valoración. En las operaciones de descuento se hace coincidir con el momento inicial de la operación

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OPERACIONES FINANCIERAS
Definición: intercambio no simultáneo de capitales financieros, efectuado entre personas físicas o jurídicas de acuerdo a una ley financiera previamente establecida y acordada por las partes.

AB

C1 t1 t’1 C’1

C2 t2 t’2 C’2

Cn tn t’n C’n

BA

Origen: (t1) momento de disponibilidad o vencimiento del primer capital. Final: (t´n) momento de disponibilidad o vencimiento del último capital. Duración: el tiempo que media entre origen y fin (t´n – t1).

Acreedor: la persona o parte que entrega el primer capital (A). El conjunto de capitales que entrega será la prestación.

C1 ,t 1 , C2 ,t 2 ,..., Cn , t n 

Deudor: la persona o parte que recibe el primer capital (B). El conjunto de capitales que entrega será la contraprestación.

C '1 , t '1 , C '2 , t '2 ,...,C 'n , t 'n 

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O POSTULADO DE EQUIVALENCIA FINANCIERA.
Las dos partes, acreedor y deudor acuerdan intercambiar dos conjuntos de capitales financieros (prestación y contraprestación) tales que, los capitales que forman prestación y contraprestación sean equivalentes de acuerdo con una ley financiera previamente elegida por las partes.

Toda operación financiera se basa en el … PRINCIPIO

Valor prestación = Valor contraprestación
De acuerdo a la ley financiera establecida por las partes

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CLASIFICACIÓN DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS
•
Según la naturaleza de los capitales:

 ciertas: cuando todos los capitales que intervienen son ciertos  aleatorias: cuando al menos uno de los capitales es aleatorio (cálculo actuarial).

•

Atendiendo a la duración:

 corto plazo: operaciones con una duración máxima de un año.
 largo plazo: operaciones cuya duración es de más de un año. • Según el número de capitales que constituyen la prestación y la contraprestación:

 simples: cuando tanto la prestación como la contraprestación están formados por un único capital.  compuestas: cuando prestación y/o contraprestación es múltiple.
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TANTOS DE INTERÉS EQUIVALENTES
Son tantos o tipos de interés equivalentes, aquellos que referidos a distintos períodos de tiempo, cuando se aplican a un mismo capital y durante un mismo plazo de tiempo, dan lugar al mismo capital final, produciendo los mismos intereses.

Denotamos: i = tanto de interés del periodo (generalmente, tanto anual) ik = tanto de interés del k-ésimo de periodo (subperiodo) k= frecuencia de capitalización i: tanto anual i2: tanto semestral

i3:tanto cuatrimestral
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TANTOS EQUIVALENTES
C0 0
1 2

Cn n

0 1/k

2/k ..

1

Capitalización simple: Considerando un tanto i Considerando un tanto ik Igualando y operando: Capitalización compuesta: Cn=C0(1+n.i) Cn=C0(1+n.k.ik)

i  i( k )  k
Cn=C0(1+i)n Cn=C0(1+ik)n.k

Dpto. Economía Cuantitativa

Considerando un tanto i Considerando un tanto ik Igualando y operando:

1  i   1  ik 

k
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TANTOS NOMINALES Y EFECTIVOS
En las operaciones financieras es frecuente utilizar un tipo de interés referido al año pero realizando la capitalización de los intereses k veces en el año.

Por ejemplo: a) préstamo con un 6% de interés que se pagarán o devengarán mensualmente b) préstamo con un 6% de interés pagadero o devengable trimestralmente.

Los tantos anteriores no son tantos efectivos; son tantos nominales NO SE PUEDEN USAR DIRECTAMENTE EN LAS LEYES FINANCIERAS
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TANTOS DE INTERÉS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Llamamos Jk al tipo de interés nominal capitalizable por k-ésimo de periodo.

Es un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización k por el tanto efectivo ik.

J ( k )  k  ik

(1  i)  (1  i( k ) )  (1  k J(k ) k

)

k

i( k )  (1  i )  1

1 k

J ( k )  (1  i ) k  1) k
28



1



TANTOS DE INTERÉS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
INTERPRETACIÓN DEL TIPO DE INTERÉS NOMINAL Supongamos que cierta persona invierte un capital de 100 euros a un año a un tipo de interés del 8 anual con percepción de intereses cada seis meses (J2 =8%). La operación supone el abono de un 8% al año, pero en 2 fracciones iguales, y por tanto un 4% cada semestre (i2 =4%). Gráficamente:
100 0 4 1/2 4 1

Comparemos esta alternativa con la percepción de un tipo de interés del 8% anual (i=0,08):
100 0

8
1

La primera alternativa es preferible a la segunda, ya que los 4€ que se perciben al finalizar el primer semestre pueden ser reinvertidos hasta final de año. Los rendimientos a final de año serían: (4+4*(0,08/2))+4 = 4,16 + 4 = 8,16

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RESERVA MATEMÁTICA
La Reserva matemática o saldo financiero de una operación es el capital que en cada momento cuantifica la diferencia entre las cantidades entregadas por el acreedor y el deudor. Por tanto, la reserva matemática es el capital que en determinado momento restablece el equilibrio financiero de la operación. Supongamos que tenemos una operación financiera definida de la siguiente forma: Prestación: C0 , 0 ; C2 , 2 ; (C5 , 5)



Contraprestación:

  C1,1 ;  C4 , 4) 



Supongamos que queremos calcular la reserva o saldo de la operación en el momento 3

30

MÉTODOS DE CÁLCULO DE LA RESERVA
Método retrospectivo: diferencia en el momento de cálculo entre los capitales ya entregados por la prestación menos los ya entregados por la contraprestación. Método prospectivo: diferencia en el momento de cálculo entre los capitales pendientes de entregar por la contraprestación menos los pendientes de entregar por la prestación. Método recurrente: calcular el valor de la reserva en un determinado momento a partir del conocimiento de la reserva matemática en un momento de tiempo anterior.

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RESERVA MATEMÁTICA
Prestación (acreedor)

C0
0

C2 C’1
1 2 3

C5 C’4
4 5 Contraprestación (deudor)

Usaremos el método retrospectivo para calcular la reserva en 3 considerando los capitales de la prestación y contraprestación que ya han vencido. La reserva será la diferencia entre esos capitales en 3. Si suponemos que la ley que rige la operación es la de capitalización compuesta, la reserva se calculará:

Dpto. Economía Cuantitativa

Prestación vencida: C0 1  i   C 2 1  i 
3

Contraprestación vencida: C´1 (1  i ) 2 R 3  Prestación vencida-Contraprestación vencida

Universidad de Oviedo

RESERVA MATEMÁTICA
Prestación (acreedor)

C0
0

C2 C’1
1 2 3

C5 C’4
4 5 Contraprestación (deudor)

Usaremos el metódo prospectivo para calcular la reserva en 3, considerando los capitales pendientes de entregar. Calculamos el capital equivalente con vencimiento en 3 de los capitales de contraprestación y prestación que están pendientes de vencimiento.

Dpto. Economía Cuantitativa

Contraprestación pendiente : C'4 (1  i) 1 Prestación pendiente: C5 1  i 
2

R 3  Contraprestación pendiente Prestación pendiente

RESERVA MATEMÁTICA
 Si la reserva es positiva significa que lo entregado hasta este momento por el acreedor es mayor que lo entregado por el deudor. Si se quiere restablecer el equilibrio financiero será el deudor el que tiene que entregar la cuantía indicada por la reserva.

 Si es negativa será al revés y será el acreedor el que tiene que entregar la cuantía para restablecer el equilibrio financiero.

 Si la reserva es igual a 0, en ese momento existe el equilibrio financiero.

RESERVA MATEMÁTICA
La Reserva matemática o saldo financiero de una operación financiera, es el capital financiero que en cada momento cuantifica la diferencia entre las cantidades entregadas por una y otra parte.

¿Qué ocurre si un capital vence en el momento de calcular la reserva?
La reserva matemática en  es el capital que en ese momento restablece el equilibrio financiero de la operación. Si en  vence algún capital distinguimos: R  , R 
 

R   R   C

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CARACTERÍSTICAS COMERCIALES DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA: UNILATERALES Y BILATERALES

En una operación financiera, además de los capitales que componen prestación y contraprestación, suelen originarse otros desembolsos llamados características comerciales de la operación.

Pueden ser de dos tipos:
 Bilaterales: son capitales que se intercambian acreedor y deudor, pero que no se tienen en cuenta a la hora de establecer la equivalencia financiera de la operación pura. Ejemplo: las comisiones de apertura, gastos de estudio.  Unilaterales: son capitales necesarios para llevar a cabo la operación, pero que se intercambian entre una de las partes (acreedor o deudor) y una tercera persona ajena a la operación. Ejemplo: gastos notariales.

COSTE Y RENTABILIDAD DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA
Coste efectivo de la operación: es aquel tipo de interés efectivo anual que en capitalización compuesta establece la equivalencia financiera entre los efectivos realmente entregados y recibidos por el deudor. Rentabilidad de la operación: es aquel interés efectivo anual que en capitalización compuesta establece la equivalencia financiera entre los efectivos realmente entregados y recibidos por el acreedor.
En general el coste o rentabilidad de una operación financiera no coincide con el tipo de interés al que ha sido pactada dicha operación (tipo de interés contractual), dado que suelen originarse desembolsos adicionales que no intervienen en la equivalencia financiera. Si solo existen características comerciales bilaterales, el coste y rendimiento efectivos de la operación coinciden entre si.
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Universidad de Oviedo

RENTAS
CONCEPTO: Una renta es un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes en el tiempo. Para que exista una renta se tienen que dar los siguientes requisitos: • Existencia de varios capitales, al menos dos. • Periodicidad constante entre los capitales C1 t1 C2 t2 C3 Cn tn

to

t3

tn-1

Dpto. Economía Cuantitativa

En cada uno de los subintervalos en que se ha dividido (t0,tn) se devenga o genera un capital.
A los capitales C1 C2 … Cn se les denomina términos de la renta. Cada uno de ellos está asociado a un subintervalo que se denomina periodo de maduración en el que se entiende generado o producido.
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Universidad de Oviedo

ELEMENTOS DE UNA RENTA
Origen de la renta: es el punto to, extremo inferior del primer subintervalo Final: tn, extremo superior del último subintervalo se le denomina fin de la renta Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta ( tn - to ) Términos de la renta C1 C2 t2 C3 t3 tn-1 Cn tn

Dpto. Economía Cuantitativa

to

t1

Períodos de maduración Origen de la renta Fin de la renta
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Universidad de Oviedo

Valor de una renta
Se denomina valor de una renta en un determinado instante de tiempo a la suma de los valores que en dicho momento tienen los términos que la constituyen. Es el resultado de trasladar financieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo (t). La valoración se puede hacer en cualquier t (incluso anterior al origen o posterior al fin)

Dpto. Economía Cuantitativa

Vt C1 to t1 C2 t2 t tn-1 Cn tn
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Universidad de Oviedo

VALORACIÓN DE RENTAS
Valor actual (Vo): resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento inicial Valor final (Vn): resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento final
C1 to t1 C2 t2 C3 t3 tn-1 Cn tn Vn

Dpto. Economía Cuantitativa

V0

Teóricamente la valoración se puede hacer con cualquier ley financiera si bien … usaremos la LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACION COMPUESTA (y su conjugada, el descuento compuesto)

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Universidad de Oviedo

CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS
 Según la cuantía de sus términos:  Rentas constantes: cuando las cuantías de todos sus términos son iguales C0 = C1 = ...= Cn  Rentas variables: cuando las cuantías de sus términos no son iguales  Variables en progresión aritmética: Cs=Cs-1+d C1=C, C2=C1+d C3=C2+d=C +2d ... Cn=C+ (n-1)d

Dpto. Economía Cuantitativa

 Variables en progresión geométrica: Cs=Cs-1.q

C1=C,

C2=C1.q

C3=C2.q=C1..q2

...

Cn=C1..qn-1
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Universidad de Oviedo

CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS

 Según el punto del intervalo en que vencen los términos:

 Renta pre-pagable: cuando todos los vencimientos de los capitales tienen lugar al principio de cada periodo. (Ej:alquileres)
C1 C2 C3 t2 Cn to V0 t1 t3 tn-1 tn Vn

Dpto. Economía Cuantitativa

 Renta post-pagable: cuando todos los vencimientos de los capitales tienen lugar al final de cada periodo. (Ej: sueldos)
C1
to V0 t1

C2 t2 C3 t3 tn-1 tn

Cn

Vn
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Universidad de Oviedo Dpto. Economía Cuantitativa

 Según la duración de la renta:  Renta temporal: cuando la duración de la renta es finita  Renta perpetua: cuando la duración de la renta no es finita  Según la posición que ocupa el punto de valoración de la renta:  Renta inmediata: el momento de valoración coincide con el origen o el final de la renta  Renta diferida: el momento de valoración es anterior al origen de la renta  Renta anticipada: el momento de valoración es posterior al final la renta
C1 origen=to diferida t1 C2 t2 tn-1 Cn tn=fin anticipada
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CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES: UNITARIA, INMEDIATA TEMPORAL, POSPAGABLE

1 0 1

1 2

1 3

1 n-1

1 n

Dpto. Economía Cuantitativa

Valor actual: Se llevan los términos de la renta, uno a uno, al origen utilizando la ley de capitalización compuesta / descuento compuesto al tanto de la renta. El valor actual de una renta unitaria y pospagable se denota por an|i donde n indica la duración o número de términos de la renta e i es el tanto de interés efectivo en capitalización compuesta utilizado para la valoración

an i  1 (1  i ) 1  1 (1  i ) 2  1 (1  i ) 3  1 (1  i )  n

 1 (1  i )  ( n1)

Universidad de Oviedo

Valor actual RENTA CONSTANTE POSPAGABLE

an i  1 (1  i ) 1  1 (1  i ) 2  1 (1  i ) 3  1 (1  i )  n

 1 (1  i )  ( n1)

Suma de los términos de una progresión geométrica a1  an r 1 r  (1  i) S 1 r

Dpto. Economía Cuantitativa

1  (1  i )  n (1  i )  (1  i ) (1  i ) (1  i ) an i  an i  1 1  (1  i ) (1  i ) i
1 n 1

Generalizando:

V0  C (1  i)1  C (1  i)2 

 C (1  i)  ( n1)  C (1  i)  n
46

V0  C.an i

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES:

UNITARIA, INMEDIATA TEMPORAL, POSPAGABLE

1

1

1

1

1

0

1

2

3

n-1

n

Dpto. Economía Cuantitativa

Valor final: Se llevan los términos de la renta al final utilizando la ley de capitalización compuesta. El valor final de una renta unitaria y pospagable se denota por sn|i donde n indica la duración o número de términos de la renta e i es el tanto de interés efectivo en capitalización compuesta utilizado para la valoración

S n i  1 (1  i ) n1  1 (1  i ) n2  1 (1  i ) n3   1 (1  i )  1
1
47

Universidad de Oviedo

Sn i  (1  i )

Valor final RENTA CONSTANTE POSPAGABLE n2 n 1 n 3

 (1  i )

 (1  i )

 ...  (1  i )1  1

Suma de los términos de una progresión geométrica

r  (1  i)1 S  n 1 1

a1  an r 1 r

1 (1  i )  1 (1  i) 1  i Sn i  1  (1  i ) 1 1 i
Dpto. Economía Cuantitativa

(1  i )  1 Sn i  i n Generalizando:

Vn  C (1  i )  C.Sn i

n 1

 C (1  i )

n2

 ...  C (1  i )  C 
1
48

Vn  C.Sn i

Universidad de Oviedo

Relación entre valor actual y final de una renta pospagable an i
0 1 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n

an|i es un capital con vencimiento en 0 que sustituye a la renta 1 1 1 1 1 sn i 0 1 2 3 n-1 n y del mismo modo sn|i (con vencimiento en n) es equivalente a la renta. Entre ambos existe una relación y puedo obtener sn|i a partir de an|i esta forma an|i (1+i)n= sn|i Por tanto, son capitales financieramente equivalentes (an i ,0) ( S n i , n) ~

Dpto. Economía Cuantitativa

49

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES: UNITARIA, INMEDIATA, TEMPORAL y PREPAGABLE.

1 0

1 1

1 2

1 3

1 n-1 n

Dpto. Economía Cuantitativa

Valor actual: Se llevan los términos de la renta al origen. Al ser prepagable el origen coincide con el vencimiento del primer capital. Notación: an i valor actual de una renta unitaria y prepagable n = duración o número de términos de la renta i= tanto de interés efectivo en capitalización compuesta utilizado para la valoración

an i  1  1(1  i)  1(1  i) 

1

2

 1(1  i)

 ( n 1)

50

Universidad de Oviedo

Valor actual RENTA CONSTANTE PREPAGABLE an i  1  1(1  i)1  1(1  i)2  an i  (1  i )  (1  i ) 

 1(1  i)  ( n1)
 1(1  i )

Tomo la expresión de anIi y multiplico ambos miembros por 1 2(1+i) (n)

an i (1  i ) 1  (1  i ) 1  (1  i ) 2 

 1(1  i )  n 1

an i (1  i )  an i
Dpto. Economía Cuantitativa

Generalizando: si la renta es constante no unitaria (términos de cuantía C) su valor actual se obtiene:

V0  C an i

51

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES: UNITARIA, INMEDIATA, TEMPORAL y PREPAGABLE.

1
0

1
1

1
2

1
3

1 n-1 n

Valor final: Se llevan los términos de la renta al final Al ser prepagable, el final es un periodo después del vencimiento del último capital.
Dpto. Economía Cuantitativa

Notación:

sn i
 1 (1  i)1
52

Sn i  1(1  i)n  1 (1  i) n1  1 (1  i) n2 

Universidad de Oviedo

Valor final RENTA CONSTANTE PREPAGABLE Sn i  1(1  i)n  1 (1  i) n1  1 (1  i) n2   1 (1  i)1
Multiplico ambos miembros por (1+i)-1

(1  i )n  (1  i ) n1  ...  (1  i )1  Sn i (1  i )  (1  i )  
1 1

Sn i (1  i )1  (1  i )n1  (1  i ) n2  ...  (1  i) 1   
Dpto. Economía Cuantitativa

Sn i  Sn i (1  i )
Generalizando: si la renta es constante no unitaria (términos de cuantía C) su valor actual se obtiene:

Vn  C Sn i

53

Universidad de Oviedo

Valor actual y final de una renta prepagable an i
1 0 1 1 1 2 1 3 1 n-1 n

El valor actual es un capital que sustituye a la renta y su vencimiento coincide con el primer capital

Sn i

Valor final capital equivalente a la renta cuyo vencimiento se sitúa un periodo después del último capital

Valor actual y final de una renta pospagable
0
1 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n

Dpto. Economía Cuantitativa

an i

sn i
54

El valor actual: un periodo antes del primer capital

El valor final: cuando vence el último capital

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES y PERPETUAS (pospagable)
Renta perpetua: cuando la duración de la renta no es finita

0

1 1

1 2
1

1 3

…
2

…

a i  1 (1  i )
Dpto. Economía Cuantitativa

 1 (1  i )

 1 (1  i )

3



a i

1  (1  i )  n 1  lim an i  lim  n n i i

Generalizando:

V0  i

1 C i
55

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES y PERPETUAS (prepagable)
En el caso de una renta unitaria prepagable se tiene:

1

1

1

1

… …

0

1

2

3

Dpto. Economía Cuantitativa

a i  (1  i )a i

1  (1  i ) i

V0  i

1  C (1  i ) i
56

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES DIFERIDAS Y ANTICIPADAS
 Renta diferida: el momento de valoración es anterior al origen de la renta  Renta anticipada: el momento de valoración es posterior al final la renta C1 C2 t2 tn-1 Cn tn=fin anticipada

Dpto. Economía Cuantitativa

origen=to diferida

t1

57

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES DIFERIDAS
Renta pospagable y diferida p periodos
C p diferida 0 1 C 2 p C n-1

C n

Valor actual V0

/ V  V0 (1  i )(  p )

Renta prepagable y diferida p periodos
C p diferida p C
1

C
2

C n-1 n

Dpto. Economía Cuantitativa

0

Valor actual

V0  (1  i )V0
58

/ V  V0 (1  i )

( p)

Universidad de Oviedo

RENTAS CONSTANTES ANTICIPADAS
Renta pospagable y anticipada p periodos
C
0 1

C
2

C n-1 C n n+1 n+2

... p n+p

Valor final Vn

p

/ V( n )  Vn (1  i )

Renta prepagable y anticipada p periodos
C C
1

C
2

C n-1 n n+1 n+2

Dpto. Economía Cuantitativa

0

...

n+p

Valor final p Vn p p
59

/ Vn  Vn (1  i )  Vn (1  i ).(1  i )

VALOR ACTUAL NETO (VAN)
Consiste en valorar en el momento actual todos los flujos de caja que se deriven del proyecto de inversión.
-A 0 Q1 1 Q2 2 Q3 3 Qn-1 n-1 Qn n

VAN   A 

Q3 Qn Q1 Q2    ...  (1  k1 ) (1  k1 )(1  k2 ) (1  k1 )(1  k2 )(1  k3 ) (1  k1 )...(1  kn )
Siendo ki el coste del capital del periodo i.

Si el coste del capital (k) es constante,

VAN   A   t 1

n

Qt (1  k )t

Un proyecto es financieramente interesante si su VAN>0

Un proyecto A es mejor que otro B si VANA > VANB
60

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
La TIR se define como aquel tipo de actualización o descuento que hace igual a cero el valor actual neto de una inversión.
-A 0 Q1 1 Q2 2 Q3 3 Qn-1 n-1 Qn n

Será el tipo r, tal que:

n Q3 Qn Qk Q1 Q2 A    ...   0   A  0 2 3 n k 1  r (1  r ) (1  r ) (1  r ) k 1 (1  r )

Se escogerán aquellos proyectos con TIR> k

Entre dos proyectos se escoge el de mayor TIR
61

VAN Y TIR. Ejemplo
Dado el siguiente proyecto de inversión, calcular el VAN, al tipo de interés anual del 10%, y la TIR.
-100 0 30 1 50 2 60 3

VAN TIR

100 

30 50 60    13, 67 1  0,1 (1  0,1)2 (1  0,1)3

30 50 60 100     0  r  16, 79% 2 3 1  r (1  r ) (1  r )

EL VAN es positivo y la TIR es mayor que el coste de capital (r=16,79%>k=10%)

El proyecto es rentable
62

Universidad de Oviedo Dpto. Economía Cuantitativa

Tema 5. Operaciones Financieras Básicas.
5.1. Depósitos bancarios a plazo 5.2. Descuento comercial. 5.3. Préstamos.  Préstamo simple (pago único)  Préstamo amortizable mediante pagos constantes (método francés)

63

DEPÓSITOS A PLAZO
 Son contratos de depósito en una entidad bancaria con una remuneración más elevada que la de los depósitos en una cuenta corriente, cuya disponibilidad queda limitada al cumplimiento de una plazo previamente fijado (mes, semestre, etc.)  Normalmente se movilizan a través de cuentas corrientes o de ahorro: de ellas se obtienen los importes de las imposiciones y a ellas se dirigen los intereses y los importes de las imposiciones en el momento de su vencimiento  Los intereses se calculan en interés simple (a partir de un interés nominal), dado que al abonarse los intereses en otra cuenta distinta, no vuelven a generar nuevos intereses.
64

EJEMPLO

DEPÓSITOS A PLAZO

En una imposición de 10.000 € a plazo fijo de un año al 1% trimestral. Determinar los intereses brutos y netos que percibiría el ahorrador. Solución:

Intereses brutos trimestrales

Intereses trimestrales  10.000  0,01  100
Intereses netos trimestrales
Retenciones

100(1  0,21)  79
65

DESCUENTO COMERCIAL
CONCEPTO: Se trata de una operación financiera a corto plazo, por la cual, una entidad financiera entrega a un cliente (empresa) el valor actual de uno o varios capitales futuros representados mediante efectos de comercio (letra, pagaré fundamentalmente).
Librador (cobra la letra) 5-3-200X Vta. 100.000€ Librado (paga la letra)

Empresa A Vende Mercancías

Empresa B Acepta letra 100.000€Compra Mercancías

5-4-200X

5-6-200X

Banco
66

DESCUENTO COMERCIAL
Ley de VALORACIÓN: se utiliza la ley de descuento simple comercial, tomando a efectos de cálculo el año comercial de 360 días.
 n.d  C0  Cn 1    360 

Componentes de coste Descuento o interés: importe que cobra la entidad financiera por anticipar al cliente un capital.

Comisión por gestión: Se trata de un porcentaje que se aplica sobre el nominal del efecto. Otros gastos: gastos de correo, fax etc Coste efectivo para el cliente: Es aquel tipo de interés efectivo anual que en capitalización compuesta iguala el líquido realmente recibido con los capitales realmente entregados.

n D  Cn  d  360

67

Una empresa presenta al descuento, el día 12 de marzo de 2013, la siguiente remesa de efectos: Nominal Vencimiento 350 24-03-2013 600 06-04-2013 1.550 15-05-2013 El banco aplica un tipo de descuento del 4%. Asimismo, cobra unas comisiones del 4‰ y unos gastos de correo de 0,18 € por efecto. Calcular el líquido a cobrar por esta empresa.

EJEMPLO

68

Solución: Negociación de la Remesa
 12    Liquido  350 1  0, 04   350  0, 004  0,18   360      25     600 1  0, 04 360   600  0, 004  0,18       64    1.550 1  0, 04  1550  0, 004  0,18  2.476, 30   360    
Fecha de liquidación: 12 de Marzo

Nominal
350 600 1550 2500

Vcto
24-mar 06-abr 15-may

Días
12 25 64

Dcto.
0,47 1,67 11,02 13,16

Comisión
1,40 2,40 6,20 10,00

Gastos
0,18 0,18 0,18 0,54

Efectivo  2500  13,16  10  0 ,54  2476 ,30
69

Una empresa presenta al descuento, el día 12 de marzo de 2013, la siguiente remesa de efectos: Nominal Vencimiento 350 24-03-2013 600 06-04-2013 1.550 15-05-2013 El banco aplica un tipo de descuento del 4%. Asimismo, cobra unas comisiones del 4‰ y unos gastos de correo de 0,18 € por efecto. Calcular el líquido a cobrar por esta empresa.

EJEMPLO

Plantear el tipo de interés negociación de los efectos.

efectivo,

al

que

resulta

la

70

Solución: Coste efectivo

Coste efectivo para el cliente:

Liquido   N (1  ie )
2.476,3  350(1  ie )
 12 365



n 365
 64 365

 600(1  ie )



25 365

 1.550(1  ie )

ie  7,6235%

71

OPERACIONES DE PRESTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE PAGO ÚNICO Un préstamo es una operación financiera en la que una de las partes (prestamista o acreedor) se compromete a entregar a la otra parte (prestatario o deudor) un capital (C0,t0) y éste se compromete a reembolsarlo en el periodo (t0, tn) junto con sus intereses. Préstamo amortizable mediante pago único. El prestamista entrega un capital al prestatario y éste se compromete a devolver el mismo conjuntamente con los intereses devengados, mediante un único pago en el plazo de tiempo pactado.
Prestación C0 to t1 t2 t3 tn-1 Contraprestación an tn

Ejemplo: Préstamo pago único
Préstamo de 10.000 euros amortizable en 4 años mediante un pago único de capital e intereses al 10% anual.

10000

a4

0

1

2

3

4

10.000  a4 (1  0,10)

4

a4  14.641

Ejemplo (para una operación de préstamo):
Cierta persona solicita un préstamo de cuantía 20.000 euros a amortizar mediante un único pago al cabo de 2 años. Tipo de interés contractual pactado 10 % efectivo anual. Comisión de apertura 2% y gastos notariales del 0,3%. Se pide: (a) calcular el tipo de interés efectivo del prestatario o cliente, (b) tipo de interés efectivo del prestamista

Pago que amortiza el préstamo = 20.000 ( 1+ 0,10)2 = 24.200 euros Comisión apertura= 0,02 * 20.000 = 400 euros Gastos notariales = 0,003 * 20.000 = 60 euros

(a) Tipo de interés efectivo del prestatario o cliente ¿ “i” efectivo del prestatario?
Realmente entregado = 24.200 euros Realmente recibido = 20.000 – 400 -60 = 19.540 euros

19.540 (1+i)2 = 24.200 id  11,54%

(b) Tipo de interés efectivo del prestamista ¿ “i” efectivo del prestamista?
Realmente recibido = 24.200 euros Realmente entregado = -20.000 + 400 = 19.600 euros

19.600 (1+i)2 = 24.200 ia  11,11%
¿ Por qué no coinciden?

En resumen:
 Tipo de interés efectivo del prestatario = 11,54%
Tipo de interés efectivo del prestamista = 11,11%  Tipo de interés efectivo contractual = 10% Por la existencia de características comerciales.

Por la existencia de características comerciales unilaterales ( gastos notariales de 60 euros)

Universidad de Oviedo

MÉTODO DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS

En este método los términos amortizativos son constantes y el tipo de interés permanece constante durante toda la operación. Cs C0 a a a a 0 1 2 …
Se ha de cumplir el principio de equivalencia financiera. Si la planteamos en el origen: V0 prestación = V0 contraprestación

n

s-1

s…

n-1

C0  a  an i

C0 a an i

Dpto. Economía Cuantitativa

Cs será la reserva matemática Rt+ y se calcula como: M. Retrospectivo M. Prospectivo

Cs  C0 1  i   a  S s i s Cs  a  an  s i
76