Integrales impropias y eulerianas
La idea de integral de…nida, asociada al área de una …gura curvilínea, se re…ere a funciones acotadas sobre intervalos acotados. Cuando al menos una de estas dos condiciones deja de cumplirse, se dice que la integral de…nida es impropia, y el cálculo del área correspondiente debe efectuarse mediante un proceso de paso al límite, que describiremos en un par de ejemplos a continuación.

1.
1.1.

Integrales impropias sobre intervalos no acotados
Introducción

Ejemplo 1 Obtener el área de la …gura de…nida por las desigualdades x 1; 0 y 1 x2

Se trata de obtener el área comprendida por la vertical x = 1; la horizontal y = 0 y la curva y = 1=x2 : Como no hay limitación por la derecha, la …gura no es acotada, es decir, se extiende hasta el in…nito. Lo cual no quiere decir que su área sea in…nita, como vamos a ver.

Area parcial en [1,2]

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

1

¿Cómo calculamos el área pedida? No podemos aplicar directamente la regla de Barrow porque el intervalo no tiene extremo superior (decir que es “in…nito” es sólo una forma descriptiva de hablar, pero no sirve de nada a efectos de operaciones numéricas). Una primera posibilidad es rehacer completamente la teoría de la integral admitiendo que las particiones tengan in…nitos intervalos. Esa teoría existe, pero queda fuera de nuestras posibilidades. La forma más sencilla de abordar el problema es dividirlo en dos partes: 1. Obtener el área correspondiente al intervalo [1; M ]; donde M > 1 es arbitrario. Estas áreas (llamadas área parciales, pero que no son otra cosa que la función de área F (M )) corresponden a integrales de…nidas usuales: Z M 1 dx Área parcial relativa a [1; M ] = x2 1 y su valor es Z M M 1 1 1 +1 dx = = 2 x x 1 M 1 2. Hacer tender M a in…nito, es decir, obtener Z M 1 1 lm dx = l m +1 = M !1 1 M !1 x2 M 1 +1=0+1=1 M !1 M lm

Luego, aunque la …gura pedida es imilitada, su área es …nita y vale 1. Ejemplo 2 Obtener el área de la …gura de…nida por las desigualdades 1 x 1; 0 y x 1. Areas parciales (o función de área): Z M 1 F (M ) = dx = ln xjM = ln M ln 1 = ln M 1 x 1 2. Paso al límite M ! 1 :
M !1

l m F (M ) = l m ln M = 1
M !1

Por tanto, esta …gura tiene área in…nita. Nota 1 Dado que las grá…cas de las curvas y = 1=x, y = 1=x2 son muy parecidas, no va a ser posible ver a simple vista si el área comprendida entre cada una de ellas y el eje x es …nita o in…nita. Lo único que se puede decir en general es que el carácter …nito o in…nito de dicha área depende de la rapidez con la cual la grá…ca se va “pegando” al eje x a medida que x crece. En el caso de las potencias inversas 1=x ; cuanto mayor sea r; más crece x y, por tanto, más rápido decrece 1=x cuando x ! 1: Aun así, esto no basta para explicar el valor “frontera” = 1 que separa los casos de convergencia y los de divergencia: para ello es necesario conocer las funciones primitivas exactas para poder aplicar el teorema de Barrow. Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 2

1.2.

Conceptos generales
R1
a

De…nición 1 Dada una función f (x) de…nida para todo x a , la “integral impropia” se de…ne como Z M Z 1 def f (x)dx = l m [G(M ) G(a)] = G(1) G(a) f (x)dx = l m a M !1 a M !1 x!1

f (x)dx

donde G(x) es una primitiva cualquiera de f (x) y G(1) designa l m G(x) si este límite existe1 . Si el límite es un número, se dice que la integral impropia es …nita o que es convergente. Si el límite es 1; se dice que la integral impropia es in…nita o que es divergente.

Si no existe límite (ni …nito ni in…nito), se dice que la integral no existe, o que no está de…nida, o que es oscilante. Nota 2 Para indicar que una integral impropia de este tipo es convergente o …nita se suele emplear la notación simbólica Z 1 f (x)dx < 1: a Nota 3 Si una función es Racotada para x a y b > a; es claro que elRcarácter convergente o R1 1 b divergente de las integrales a f y b f es el mismo, pues sólo di…eren en a f; que es un número. Procediendo como en los ejemplos anteriores se obtienen las siguientes integrales impropias asociadas a potencias, que aparecen con gran frecuencia en las aplicaciones prácticas: Teorema 1 (Integrales de potencias negativas) Para todo Z Demostración. El caso
1

> 0 se tiene:

1

= 1 ya lo vimos antes. Para 6= 1 tenemos Z Z 1 x1 dx = x dx = x 1 Z
M

1 dx = : x

8 <

1 1 1 si

si

>1 1

y, por tanto, las áreas parciales son F (M ) =
1

1

1 x1 dx = x 1

M

=
1

M1 1

1 1

Si no existe, G(1) no signi…ca nada, como 0=0:

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

3

Para calcular el límite cuando M ! 1; el signo del exponente de M es fundamental, ya que 8 < l m M = 1 si > 0 Por ejemplo, M
1=3

=

a 1 cuando M ! 1: En nuestro caso, el exponente

p 1 1 4 = p tiende a 0 cuando M ! 1: Sin embargo, M 5=4 = M 5 tiende 3 1=3 M M es 1 =1 =1 ; y tenemos > 0 si < 0 si 1

: l m M = 0 si
M !1

M !1

0:
0

En efecto, F (M ) =
0

ya que e = 1: Recordando la grá…ca de la función exponencial y = ex :

Z

M

e

x

dx =

e

x M

=
0

e

M

+

1

0

y

20 15 10 5

-3

-2

-1

0

1

2

x

3

Grá…ca de y = ex Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 4

es claro que l m ex = 0, y como > 0); vemos que l m e Z
M !1 1 x! 1 M

M !

1 cuando M ! 1 (pues estamos suponiendo que
M

= 0: Por tanto, lm e 1 = 1 + 1 = 1 lm e
M

e

x

dx =

0

M !1

M !1

+

1

= 0+

2.

Integrales impropias de funciones no acotadas

Cuando el intervalo de integración [a; b] es …nito pero la función f (x) no está acotada en dicho intervalo, la …gura curvilínea cuya área hay que calcular es también ilimitada pues se extiende al in…nito, aunque ahora en dirección vertical, y no en horizontal como antes. Ello invalida los resultados de la teoría de la integral inde…nida, en la cual se supone desde el principio que la función integrando es acotada, es decir que tiene unas cotas inferior (A) y superior (B) en todo el intervalo: A f (x) B para todo [a; b] De nuevo, cabe la posibilidad de rehacer toda la teoría eliminando esta hipótesis. Sin embargo, es mucho más sencillo recurrir a un arti…cio semejante al analizado en la sección anterior para reducir este problema al de calcular el límite de unas “áreas parciales”asociadas a la función:

Ejemplo 3 Obtener el área de la región determinada por las desigualdades x 0; x 1; 0 y 1 p : x

Solución: El área buscada correspondería a Z
1

0

1 p dx x

p p Pero observamos que f (x) = 1= x no está acotada en el intervalo [0; 1]; ya que 1= x ! 1 cuando x ! 0: Consideremos, para cada " > 0 y " 1; el área parcial Z 1 1 def p dx F (") = x " que es una variante de la función de área, con la diferencia de que aquí el extremo variable es el inferior. Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 5

Area parcial en [0;1; 1]

Como en el intervalo ["; 1] la función no presenta ningún problema, podemos aplicar la regla de Barrow y obtener Z 1 1 x1=2 1=2 F (") = x dx = = 2 2"1=2 1=2 " " Si ahora hacemos tender " ! 0; barreremos toda el área buscada, de forma que Z 1 Z 1 1 1 p dx = l m p dx = l m 2 2"1=2 = 2 "!0 " "!0 x x 0 p ya que "1=2 = " tiende a 0 cuando " ! 0: El área buscada, pues, es 2: Veamos un caso en el que el área es in…nita:

Ejemplo 4 Obtener el área de la región determinada por las desigualdades x 0; x Z
1

1; 0

y

1 : x2

Solución: En este caso se trata de calcular Z
1

0

1 dx: Como antes, de…nimos x2 1 x
1

F (") =

"

1 dx = x2

=
"

1+

1 "

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

6

y ahora tenemos

Z

1

0

1 dx = l m "!0 x2

Z

1

"

1 dx = l m "!0 x2

1+

1 =1 "

ya que 1=" tiende a 1 cuando " ! 0: Nota 4 Obsérvese que si aplicamos “a ciegas” la regla de Barrow en el primer ejemplo y escribimos Z
1

0

1 x1=2 p dx = 1=2 x

1

=2
0

2

02 = 2

obtienemos el mismo resultado de antes. Ello se debe a que la “función de área” F (") = 2 2"1=2

es continua cuando " = 0 y, por tanto, F (0) = l m"!0 F (") = 2; como acabamos de ver. Sin embargo, en el segundo ejemplo obtendríamos Z
1

0

1 dx = x2

1 x

1

=
0

1 1 + (???) 0

que no tiene sentido2 . En este caso no hay más opción que recurrir al paso al límite indicado antes: Z 1 Z 1 1 1 1 dx = l m dx = l m 1 + =1 2 "!0 " x2 "!0 " 0 x Las de…niciones formales son las siguientes: De…nición 2 Sea f (x) continua en (a; b) con f (b) …nito y l mx!a jf (x)j = 1: Entonces Z b f (x)dx = l m

def

a

"!0

Z

b

f (x)dx

a+"

Si f (a) es …nito y l mx!b jf (x)j = 1; entonces Z b f (x)dx = l m

def

a

"!0

Z

b "

f (x)dx

a

La teoría de estas integrales impropias es paralela a la desarrollada anteriormente: el principio de comparación es idéntico en ambos casos, y las “funciones de comparación” más empleadas son, como antes, las potencias:
Usualmente el símbolo 1=0 corresponde a 1 ó 1) sin más datos.
2

1; pero no siempre. Es imposible asignarle un valor (ni siquiera

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

7

Teorema 2

Z

1

0

Demostración: El extremo en el que la función tiende a 1 es 0. Por tanto tenemos que calcular Z 1 Z 1 1 1 x1 1 "1 def F (") = x dx = = dx = 1 1 1 " x " " (suponiendo 6= 1): Ahora:
"!0

8 1 < 1 si 1 dx = : 1 x si 0 < 1

1 " 1
1

0 si > 0 1 si < 0

1: Por tanto,

"!0

y entonces Z El caso
1

0

1 1 dx = l m "!0 1 x

=

8 <

= 1 hay que tratarlo aparte, porque la primitiva ya no es una potencia: Z 1 Z 1 1 1 dx = l m dx = l m(0 ln ") = 1 "!0 " x "!0 0 x = 1:

si < 1 1 : 1 si a < 1

1

ya que ln " ! 1 cuando " ! 0: Por lo tanto, la integral es también divergente cuando la potencia es

Cuando el extremo en el que la función se hace in…nita no es 0 sino c; basta sustituir x por x c (si c es el extremo izquierdo del intervalo) o por c x (si es el extremo derecho) para tener las mismas relaciones de antes. Z
19

Ejemplo 5 Calcular

3

6 p 4 19

x

dx:

Solución: Si hacemos 9

x = u; de forma que du = dx; la integral inde…nida se trasforma en Z Z 6 1 dx = 6 du 1=4 1=4 (19 x) u

y como los extremos de integración se transforman conforme a ( x = 3 =) u = 19 3 = 16 x = 19 =) u = 19 Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

19 = 0 8

la integral de…nida transformada es Z 19 6 p dx = 4 19 x 3

Z 6

0

16

u

du = 6 1=4

1

Z

16

1 u1=4

du

0

R1 1 du es convergente por ser el exponente 1/4 0 u1=4 menor que 1, y el hecho de que el intervalo de integración no sea [0; 1] sino [0; 16] no cambia nada, pues en el tramo [1; 16] la integral no es impropia y tiene, por tanto un valor …nito. Si queremos obtener el valor exacto basta proceder como de costumbre: El carácter de la integral es ya inmediato, pues Z
16

u

1=4

0

u3=4 du = l m "!0 3=4

2 "

=lm

4 163=4 "!0 3

4 32 "3=4 = 23 = 3 3

pues "3=4 ! 0 cuando " ! 0; por ser positivo el exponente 3=4: Por tanto, Z 16 Z 19 1 6 32 p dx = 6 du = 6 = 96: 4 1=4 3 19 x 0 u 3 Z
1

Ejemplo 6 Calcular

ln xdx:

0

Solución: Integrando por partes con [u = ln x; dv = dx] se demuestra fácilmente que Z ln xdx = x ln x x Por tanto, Z
1

ln xdx = l m

0

"!0

Z

1

ln xdx = l m [x ln x
"!0

"

x]1 = l m ( 1 "
"!0

" ln " + ") =

1

pues, como se indica en el apéndice, se tiene que
"!0

l m " ln " = 0:

El carácter negativo de la integral se explica porque en el intervalo 0 < x < 1 se tiene que ln x < 0:

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

9

Grá…ca logarítmica

3.

Integrales doblemente impropias
La teoría que hemos presentado admite múltiples extensiones directas. Por ejemplo, Z a Z a def f (x)dx = l m f (x)dx
1 M! 1 M

Las más importantes corresponden al carácter doblemente impropio de ciertas integrales, lo cual signi…ca que son impropias por dos motivos. Por ejemplo, Z 1 1 dx; >0 x 0 es impropia porque el intervalo de integración es in…nito y además porque f (x) = 1=x tiende a 1 cuando x ! 0: Análogamente, Z 1 f (x)dx es doblemente impropia, y también lo es
1

Z

1

0

pues f (x) se hace in…nita para x ! 0 y también para x ! 1: Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 10

p

1 x(1 x)

dx

La forma más sencilla de tratar con estas integrales doblemente impropias es tomar un punto c cualquiera del intervalo y separar la integral en dos partes: Z 1 Z c Z 1 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx: Z Z
1 1 0 1

1 dx = x

0

y así sucesivamente. A continuación se estudia cada integral y se saca las conclusiones adecuadas: Si las dos integrales son convergentes, la integral total es su suma. Si una integral es convergente y la otra divergente, la integral total es divergente. Si las dos integrales son divergentes, entonces: Si ambas son +1 o 1; la integral total es también +1 o 1:

1 p x(1

1 1 1 dx + dx; donde 0 < c < 1: 0 x c x Z c Z 1 1 1 p p dx = dx + dx; donde 0 < c < 1: x) x(1 x) x(1 x) 0 c

Z

1

c

c

Z

Si una es +1 y la otra es más detallado3 .

1; no se puede decir nada de la integral total sin un análisis

Ejemplo 7 Demostrar por comparación el carácter …nito de la integral Z 1 1 dx 2 1 1+x Comprobar que su valor exacto es : Solución: Dividamos la integral en dos partes: Z 0 Z 1 Z 1 1 1 1 dx = dx + dx 2 2 1 + x2 1 1+x 1 1+x 0 Haciendo el cambio x = Z
0 1

t se ve que 2 3 Z 0 x = t =) dx = dt 1 1 4 5= x = 0 =) t = 0 dx = ( dt) = 2 2 1+x 1 1 + ( t) x ! 1 =) t ! 1 Z 0 Z 1 1 1 = dt = dt 2 1 + t2 1 1+t 0
1:

3

Es imposible asignar ningún signi…cado al símbolo 1

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

11

R0 R1 Por tanto, las dos integrales 1 f (x)dx y 0 f (x)dx valen lo mismo. Es fácil comprobar que esto se debe a que f (x) = 1=(1 + x2 ) es una función par, es decir, que f ( x) = f (x): Basta, pues, analizar Z 1 Z 1 Z 1 1 1 1 dx = dx + dx 2 2 1+x 1 + x2 0 0 1+x 1 La primera integral no es impropia, pues el intervalo es …nito y la función no tiende a 1 en ningún punto del intervalo ni en los extremos. Por tanto, su carácter …nito es claro. En cuanto a la segunda, vemos que Z 1 Z 1 1 1 1 1 para todo x 1 =) dx dx < 1 2 2 2 1+x x 1+x x2 1 1 Por tanto, ambas integrales son …nitas, por lo cual también lo es su suma. Para obtener el valor exacto de la integral nos basamos en que la función integrando tiene una integral inmediata: Z 1 Z M 1 1 dx = l m dx = l m arctg M = : 2 M !1 0 M !1 1+x 1 + x2 2 0 Por tanto, Z
1 1

1 dx = 2 1 + x2

Z

1

0

1 dx = 2 = : 1 + x2 2

4.
4.1.

Integrales eulerianas
Función Gamma
R1
0

La función Gamma de Euler está de…nida por medio de la siguiente integral: (p) = def xp 1 e x dx

(1)

Se trata, obviamente, de una integral impropia, por lo cual no es evidente que esté bien de…nida. Además, para p < 1 es doblemente impropia, ya que entonces p 1 < 0 y el integrando tiende a 1 cuando x ! 0: Z 1 def Teorema 3 La integral impropia (p) = xp 1 e x dx es convergente si y sólo si p > 0:
0

La demostración puede verse en el Apéndice. Nota 5 Obsérvese que si r > divergente. Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 1 se tiene que Z
1

xr e x dx =

(r + 1): Si r

1; la integral es

0

12

4.1.1.

Propiedades de la función Gamma

Proposición 2 (Ecuación funcional de la función ) Para todo p > 1 se tiene (p) = (p o, de forma equivalente, (p + 1) = p (p) para todo p > 0: Demostración: Integrando por partes, Z u = xp xp e x dx = dv = e x dx de donde Z
M

1) (p

1)

=

xe

p

x

+

Z

pxp 1 e x dx

x e dx = =

p

x

xe M pe

p

0

x M 0 M

+p Z +p

Z

M

xp 1 e x dx = xp 1 e x dx

0 M

0

(pues p > 0 =) 0p e0 = 0); y al hacer tender M ! 1 tenemos: Z 1 Z p x p M (p + 1) = x e dx = lm M e +p
0 M !1

1

xp 1 e x dx = p (p)

0

pues l m M p e
M !1

M

= 0 (véase el apéndice sobre límites).

Nota 6 Una ecuación funcional es una relación que se da entre los valores de una función para distintos valores de la variable independiente. Por ejemplo, la función exponencial f (x) = ax satistace f (x + 1) = ax+1 = a1 ax = af (x): La función Gamma satisface una relación parecida que, en vez de generar expresiones exponenciales produce los llamados factoriales: Nota 7 El factorial n! de un número natural es, por de…nición, el producto del número por todos los anteriores hasta llegar a 1; n! = n(n 1)(n 2) 3 2 1

y representa el número de permutaciones que se pueden hacer con n objetos distintos. La propiedad funcional de y el hecho de que Z 1 Z 0 x (1) = x e dx =
0

1

e x dx = 1

0

da como resultado la siguiente Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 13

Proposición 3 (La función

y los factoriales) Para todo número natural n (n) = (n 1)!

2 se tiene

Demostración: Como acabamos de ver, p = 2; 3; etc.: (2) = (2 (3) = (3 (4) = 3 1) 1) (2 (3 1) = 1 1) = 2 2 = 3!

(1) = 1: Apliquemos la propiedad funcional de

para

1 = 1: (2) = 2 1 = 2:

(3) = 3

y así sucesivamente.

4.2.

Función Beta
Z
1

La función Beta de Euler es una función de dos variables reales p; q dada por la siguiente integral B(p; q) = def xp 1 (1

x)q 1 dx

0

Cuando p y q son números naturales la integral es polinómica y se puede calcular sin problemas. Sin embargo, cuando p o q es fraccionario o irracional no se puede dar un valor exacto excepto en casos excepcionales. Obsérvese que la de…nición de arriba podría escribirse también de la forma Z 1 B( + 1; + 1) = x (1 x) dx:
0

Como en el caso de la función Gamma, la integral B(p; q) es impropia si p 1 < 0 (es decir, si p < 1) o q 1 < 0 (o sea, q < 1); y es doblemente impropia si se dan ambas condiciones a la vez. Z 1 Teorema 4 La integral B(p; q) = xp 1 (1 x)q 1 dx está bien de…nida si y sólo si p > 0 y q > 0:
0

4.2.1.

Propiedades de la función Beta

Proposición 4 (Simetría) Para todo p > 0; q > 0 se veri…ca B(p; q) = B(q; p): Demostración: Haciendo el cambio de variable x = 1 t tenemos: 2 3 Z 1 x = 1 t; dx = dt B(p; q) = xp 1 (1 x)q 1 dx = 4 x = 0 =) t = 1 5 = 0 x = 1 =) t = 0 Z 0 Z 1 = (1 t)p 1 tq 1 ( dt) = tq 1 (1 t)q 1 dt = B(q; p)
1 0

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

14

Z Proposición 5 (Fórmula trigonométrica) B(p; q) = 2

=2

(sen )2p 1 (cos )2q 1 d .

0

Demostración: Haciendo el cambio de variable x = sen2 (que implica 1 x = 1 sen2 = cos2 ) obtenemos: 2 3 Z 1 x = sen2 ; dx = 2 sen cos d 5= x = 0 =) = 0 xp 1 (1 x)q 1 dx = 4 B(p; q) = 0 x = 1 =) = =2 Z =2 p 1 q 1 sen2 1 sen2 2 sen cos d = = 0 Z =2 = 2 [sen ]2p 1 [cos ]2q 1 d
0

pues [sen2 ] [1 p 1

sen = [sen ]2(p q 1

1)+1 q 1

= [sen ]2p 1 . cos = [cos ]2q
1

sen2 ]

cos = [cos2 ] 1 1 ; 2 2 =

:

Proposición 6 B

Demostración: Basta hacer p = 1=2; q = 1=2 en la fórmula trigonométrica: Z =2 Z =2 1 1 0 0 1d = 2 = [sen ] [cos ] d = 2 ; =2 B 2 2 2 0 0 La siguiente propiedad es muy difícil de obtener y la aceptaremos sin demostración: Teorema 5 (Relación entre Beta y Gamma) Para todo p > 0 y q > 0 se tiene: B(p; q) = (p) (q) (p + q)

Esta fórmula nos permite obtener más valores exactos para (p) : Proposición 7 (Valores de (n=2) con n natural) 3 2 5 2 = = 1p : 2 3 1p : 22 15 1 2 = p :

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

7 2

=

5 3 1p ; etc. 222

Demostración: Por la fórmula anterior, 1 2 1 1 + 2 2 1 2 1 2 (1)
2 2

B

1 1 ; 2 2

=

=

=

1 2

y, como vimos antes, B

p 1 1 1 ; = : Por tanto, = : Las demás relaciones se obtienen de 2 2 2 la ecuación funcional de la función Gamma: (p) = (p 1) (p 1): Cuando uno de los valores p ó q es entero, el valor de B(p; q) es muy sencillo de obtener.

Proposición 8 B (1; p) = Demostración: B(1; p) = B(2; p) =

1 1 1 ; B(2; p) = ; B(3; p) = ; etc. p (p + 1)p (p + 2)(p + 1)p

(p) (1) (p) 1 1 = = : (p + 1) p (p) p (p) (2) (p) 1 (p) 1 = = = ; ::: (p + 2) (p + 1) (p + 1) (p + 1)p (p) (p + 1)p

En ambos casos se puede hacer también una demostración directa sin recurrir a la función Gamma: B(1; p) B(2; p)
SIMETRÍA

=

B(p; 1) = B(p; 2) =

SIMETRÍA

=

Z

Z

1

x
1

p 1

(1 (1

x) dx = x) dx =
1

0

0

x

p 1

0

Z

Z

1

x
1

p 1

0

xp dx = p
1

xp

0

1 = : p 0 1 1 xp dx = : p p+1

1

4.3.

Funciones Gamma y Beta más generales

En la práctica aparecen integrales parecidas a las Gamma y Beta que contienen más variables o “parámetros” Por ejemplo, en la estadística se encuentran integrales del tipo . Z 1 xa e bx dx
0

donde a y b son constantes positivas. Es fácil transformar esta integral en una Gamma mediante el cambio de variable bx = t (con bdx = dt): Como b > 0; el intervalo de integración (0; 1) de la Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 16

integral transformada es el mismo, y se obtiene 2 3 Z 1 Z 1 x = t=b =) dx = dt=b a t 1 a bx 4 5= x = 0 =) t = 0 x e dx = e t dt = b b 0 0 x ! 1 =) t ! 1 Z 1 a Z 1 (a + 1) t 1 t1 dt = a+1 ta e t dt = = e a b b b ba+1 0 0 En particular, la función 8 > 0 si x 0 < a+1 f (x) = > b xa e : (a + 1)

bx

si x > 0

es la función de densidad de unas distribuciones de probabilidad llamadas genéricamente “Gamma” . ba+1 es la única posible para la que se tiene: Por la fórmula anteriormente obtenida, la constante (a + 1) Z 1 f (x)dx = 1
1

Un caso más general aún es el siguiente con tres parámetros: Z 1 c xa e bx dx
0

con a > 0; b > 0 y c > 0: En este caso el cambio xc = t (con dx =

Gamma (bastante más complicada). También la función Beta admite generalizaciones de este tipo: la principal es la “beta con tres parámetros” Z 1 c xa 1 xb dx
0

1 1=c 1 t dt) lleva también a una c

que se transforma en mediante el cambio xc = t en un múltiplo de B

a+1 ;c + 1 : b

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

17

Ejemplo 8 Expresar las siguientes integrales en términos de la función Gamma mediante un cambio de variable adecuado: Z 1p Z 1 Z 1 p 1 2x x p (a) xe e x+3 dx 3xe dx (b) dx (c) x 1 0 0 1 Solución: (a) Hagamos t = 2x: Entonces # 1 2x = t =) dx = dt = 3xe 2x dx = 3x1=2 e 2x dx = 2 0 0 x = 0 =) t = 0; x ! 1 =) t ! 1 p p Z 1p 1=2 p Z 1 t1=2 t 1 1 t 3 3p 3 = 3 e t dt = 3 dt = p = p : e 1=2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 0 p (b) Hagamos x = t; o sea, x = t2 : Entonces Z 1 p x = t2 =) dx = 2tdt xe x dx = = x = 0 =) t = 0; x ! 1 =) t ! 1 0 Z 1 Z 1 2 t t e 2tdt = 2 t3 e t dt = 2 (4) = 2 3! = 12 = Z
1

p

Z

1

p

"

0

0

(c) Hagamos x 1 = t: Entonces, Z 1 1 x = 1 + t =) dx = dt p e x+3 dx = = x = 1 =) t = 0; x ! 1 =) t ! 1 x 1 1 Z 1 Z 1 1 1=2 t+2 = t e dt = t 1=2 e t e2 dt = e2 2 0 0

= e2

p

:

Como se ve, en los casos (a) y (b) el objetivo del cambio de variable es hacer que la exponencial sea exactamente e t ; y el resto de los términos corresponden a potencias y constantes, por lo cual se llega a una expresión tipo Gamma. El caso (c) es distinto, pues el intervalo no es [0; 1) sino [1; 1); pero el cambio x = t 1 transforma precisamente [1; 1) en [0; 1) y la exponencial se transforma en e t+c (c constante), que se expresa también como e t ec ; por lo cual volvemos a llegar a una Gamma. En cualquier caso, en los apartados (a) y (b) es mucho más fácil recordar el cambio de variable y hacer todo el proceso que memorizar ninguna fórmula extraña.

Ejemplo 9 Calcular las siguientes integrales Z 1 Z 1p 1 p (a) dx (b) 1 x x2 0 0

x2 dx

(c)

Z rp
0

r2

x2 dx

expresándolas en términos de la función Beta mediante un cambio de variable adecuado. Interpretar geométricamente el resultado obtenido en (c). Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 18

Solución: (a) Escribiendo (x x2 ) como (x(1 gral es ya una Beta: Z 1 Z 1 1 p x 1=2 (1 dx = 2 x x 0 0

1=2

x))

1=2

=x

1=2

(1 1 1 ; 2 2

x)

1=2

; vemos que la inte-

x)

1=2

dx = B

=

(b) El cambio de variable t = x2 conduce a " # Z Z 1 1 1=2 1 1=2 1 x = t ; dx = t dt 2 1=2 (1 t)1=2 t 1=2 dt = dx = = 1 x 2 2 0 0 x = 0 =) t = 0; x = 1 =) t = 1 1 3 Z 1 1 1 1 3 1 2 2 = t 1=2 1 t)1=2 dt = B ; = = 1 3 2 0 2 2 2 2 + 2 2 1 2 1 2 1 2 (2) 1 2 1 4 1 2 1!
2

=

=

=

4

:

(c) Dada su analogía con (b), y teniendo en cuenta que el intervalo de integración es [0; r] y no [0; 1]; probamos el cambio de variable x2 = r2 t : " # Z r Z r r 1 2 x = rt1=2 =) dx = t 1=2 dt 1=2 2 2 1=2 r x dx = = r r2 t t 1=2 dt = 2 2 0 x = 0 =) t = 0; x = r =) t = 1 0 Z 1 Z 1 r2 r r 3 1 1=2 r (1 t)1=2 t 1=2 dt = B = r2 (1 t) t 1=2 dt = ; = r2 2 0 2 0 2 2 2 4 p En cuanto a la interpretación geométrica, basta ver que y = r2 x2 es la semicircunferencia superior de radio r centrada en el origen. La integral sobre el intervalo [0; r]; pues, representa la cuarta parte del círculo completo, lo que coincide con el resultado obtenido. Nota: En (b) podría haberse hecho este otro cambio: 1 x2 = t; o sea, x = (1 t)1=2 ; obteniendo # " Z 0 Z 1 1 1 1=2 (1 t) 1=2 dt x = (1 t)1=2 ; dx = 2 = t1=2 (1 t) 1=2 dt = 1 x dx = 2 2 0 1 x = 0 =) t = 1; x = 1 =) t = 0 Z 1 1 1=2 1 3 1 = t (1 t) 1=2 dt = B ; 2 0 2 2 2 que coincide con el valor anterior por la propiedad de simetría. ¿Qué pasaría con el cambio 1 x2 = u2 , tan frecuentemente utilizado para eliminar la raíz cuadrada? Veamos: Z 1 Z 0 1=2 x = (1 u2 ) ; dx = u(1 u2 ) 1=2 dt 2 1=2 1 x dx = = u2 (1 u2 ) 1=2 du = x = 0 =) u = 1; x = 1 =) u = 0 0 1 Z 1 1=2 = u2 1 u2 du;
0

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

19

que no es una Beta. De hecho, para transformarla en Beta, deberíamos hacer un cambio u2 = v, y volveríamos a encontrar el cambio efectuado antes.

5.
5.1.

Apéndice
Límites importantes an x n + an 1 x n x!1 bn xn + bn 1 xn lm
1

Los siguientes límites aparecen con frecuencia en las integrales impropias y eulerianas: + a0 an = : + b0 bn 8 0 si m < n m m 1 am x + am 1 x + + a0 < 1 si m > n y sign(am ) = sign(bn ) lm = x!1 bn xn + bn 1 xn 1 + : + b0 1 si m > n y sign(am ) = sign(bn )
1

+ +

xm = l m xm e x!1 ebx x!1 lm x!1 bx

= 0 para todo m y todo b > 0:

l m xm e

bx

sen cos

ax = 0 para todo m; todo a y todo b > 0:

x!0

l m xm ln x = 0 para todo m > 0:

5.2.

El método de comparación

No son muchas las integrales impropias que se pueden calcular explícitamente, no sólo por la di…cultad asociada al propio cálculo de la correspondiente primitiva, sino por el trabajo adicional de obtener el límite cuando M ! 1 del área parcial. Sin embargo, la cuestión cualitativa sobre el carácter (…nito o in…nito) de la integral puede abordarde en muchos casos en los que el cálculo exacto es imposible o no sabemos cómo hacerlo: Teorema 6 (Principio general de comparación) Sean f (x); g(x) dos funciones de…nidas para todo x a; y supongamos también que ambas son positivas. Entonces, si 0 se tiene f (x) Z
1

g(x) para todo x Z
1

a;

f (x)dx

g(x)dx

a

a

interpretando esta desigualdad del siguiente modo:

Si ambas integrales son …nitas, se tiene la desigualdad indicada entre ambos. Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 20

Si

Z

1

f (x)dx es in…nita ( o divergente) , también lo es Z
1

a

a

f (x)dx = 1 =)

Z

Z

1

g(x)dx: En símbolos,

a

1

a

g(x)dx = 1 Z
1

Si

Z

1

g(x)dx es …nita (o convergente), también lo es Z
1

f (x)dx: En símbolos,

a

a

a

g(x)dx < 1 =)

Z

1

a

f (x)dx < 1

Por tanto, si queremos demostrar que una integral impropia es convergente, habremos de hallar una función mayor que tenga una integral convergente, pero si queremos demostrar que una integral imporopia es divergente, tendremos que hallar una función menor cuya integral sea también divergente. La razón por la cual este teorema es cierto tiene una explicación geométrica muy obvia: la relación 0 f (x) g(x) para todo x a no signi…ca otra cosa que a…rmar que la …gura comprendida por la vertical x = a; el eje y y la curva “menor” y = f (x) está metida dentro de la …gura análoga correspondiente a y = g(x): Por tanto, el área de la …gura contenida ha de ser menor que la de R1 la …gura que la contiene, y dichas áreas no son otra cosa que las integrales a mencionadas en el enunciado. Z
1

Ejemplo 10 Probar por comparación que Solución: Basta observar que 3x2 1 + 3x + x5 Como que

1

3x2 dx es convergente 1 + 3x + x5

3x2 1 =3 3 5 x x

para todo x

1

y por tanto la integral impropia es …nita y su valor exacto es menor o igual que 3=2: Z
1

R1 1 1 1 dx es convergente (de hecho, su valor es = como vimos antes), concluimos 1 3 x 3 1 2 Z 1 Z 1 3x2 3 1 3 dx dx = 3 = 5 3 1 + 3x + x x 2 2 1 1

Ejemplo 11 Estudiar por comparación el carácter de

3

1 dx ln x

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

21

Solución: Dado que ln x 1 ln x y, por tanto, Z
1

x 1 x

para todo x

1

(de hecho la desigualdad es válida para todo x > 0); vemos que para todo x 1

ya que

R1
1

Z 1 1 1 dx dx = 1 3 ln x 3 x Z 1 Z 3 Z 1 1 1 1 1 dx = 1 y dx = dx + dx: x 1 x 1 x 3 x Z
1

Ejemplo 12 Obtener comparación.

e

1 dx y discutir si podría haberse previsto el resultado por el método de x ln x

Solución: Aunque no lo parece, la integral inde…nida es “casi inmediata” pues junto con ln x aparece , su derivada 1=x como factor. Por tanto, " # Z Z ln x = u 1 1 dx = 1 = du = ln u = ln(ln x)) dx = du x ln x u x y entonces Z 1 1 dx = l m [ln(ln x))]M = l m [ln(ln M ) ln(ln e)] = 1 e M !1 M !1 x ln x e pues ln(e) = 1 =) ln(ln(e)) = ln 1 = 0 y cuando M ! 1 se tiene ln M ! 1 y, por tanto, ln(ln M ) ! 1: Para poder aplicar el método de comparación en este ejemplo, tratándose de una integral divergente deberíamos encontrar una función menor que la dada cuya integral asociada sea también divergente, y eso no parece posible con el pequeño repertorio de funciones de comparación del que disponemos. Obsérvese que ni 1=x ni 1= ln x nos sirve, pues ambas son mayores que 1=(x ln x) para x > e: El método de comparación admite muchas variantes y generalizaciones. La más útil es un análisis asintótico (es decir, mediante límites) de las velocidades relativas a las que las funciones f (x) y g(x) tienden a cero cuando x ! 1: Se basa en el siguiente resultado de tipo general sobre el cálculo de límites: Proposición 9 (Límite …nito implica acotación) Si el l m g(x) existe y no es x!1 función g(x) es acotada en todo intervalo [a; 1); es decir: Para todo a existe unas constantes m y M; llamadas“cotas superior e inferior” tales que , m g(x) M para todo x a:

1; entonces la

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

22

En consecuencia, tenemos: Teorema 7 (Principio de comparación mediante límites) Sean f (x) y g(x) de…nidas y positivas para x a: Entonces: 1. Si l m f (x) es …nito, entonces: g(x) Z 1 Z 1 f (x)dx: g(x)dx es convergente (…nita) también lo es a) Si a a Z 1 Z 1 g(x)dx = 1: f (x)dx = 1; también es b) Si x!1 a a

2. Si l m

Z 1 Z 1 f (x) 3. Si l m g(x)dx tienen el mismo carácf (x)dx y existe y no es 0 ni 1; entonces x!1 g(x) a a ter, es decir, son ambas convergentes o ambas divergentes. Idea de la demostración: Por la proposición anterior, si l m f (x)=g(x) es …nito, la función x!1 f (x) = 1; entonces: x!1 g(x) Z 1 Z 1 g(x)dx: f (x)dx es convergente (…nita) también lo es a) Si a a Z 1 Z 1 b) Si g(x)dx = 1; también es f (x)dx = 1: a a

f (x)=g(x) está acotada superiormente, es decir, existe una constante M > 0 tal que f (x) g(x) De aquí se deduce que y como Z
1

M

para todo x

a:

M g(x)dx = M

cual podemos aplicar el criterio general de comparación a las funciones f (x) y M g(x) y concluir el resultado (1). Para (2), usamos el conocido hecho de que f (x) g(x) = 1 =) l m =0 x!1 g(x) x!1 f (x) lm

a

Z

1

g(x)dx,

a

Z

f (x)
1

a

M g(x) Z 1 M g(x)dx tienen el mismo carácter, por lo g(x)dx y a para aplicar el apartado (1) al cociente g(x)=f (x); y eso signi…ca obtener las mismas conclusiones pero con los papeles de f (x) y g(x) invertidos. Este teorema facilita mucho la aplicabilidad del principio de comparación:

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

23

Ejemplo 13 Estudiar por comparación con integrales del tipo divergente de: Z (a) Z

Z

1

1

1 dx el carácter convergente o xr Z
1

1

1 x2 1

dx

(b)

1

2

1

5x2 3x + 2 dx 3x3 + 5x2 + 3

(c)

1

3x2

x+5 p dx x + 2x + 6

Solución: Busquemos una potencia adecuada xr tal que la fracción integrando sea lo más parecido a 1=xr para valores muy grandes de x: Para ello, saquemos factor común las mayores potencias de x en numerador y denominador: (a) 1 1 1 1 = = 2 2 1 1 x 1 x 1 x2 1 2 x2 x De aquí 1 x2 1 x2
2 x!1

1 x2 1 = Z

1 1 1 x2 1 x2 = 1 1 x2 1 dx y Z 1 1 x2
1

!

1 = 1 cuando x ! 1 1

pues l m 1=x = 0: Por tanto,
4

1

3

3

1 dx tienen el mismo carácter, y esta última es x2

convergente . Obsérvese que, a diferencia del ejemplo Z 1 x2 1
1

1

x2

1 dx +1

analizado antes en este caso no se puede hacer la comparación por desigualdad directa, ya que > 1 x2 para todo x > 1

y una función menor que la dada no nos sirve de nada para probar la convergencia. La teoría de límites nos ha servido para probar que existen constantes M > 0 tales que 1 x2 y de ahí que Z
1

1 1

M

1 x2

para x Z
1

3

3

x2

1

dx

M

3

1 dx < 1 x2

aunque no conozcamos M (de hecho, casi nunca interesa su valor).
Siendo el intervalo [1; 1). Pero ya sabemos que, siendo 1=x2 continua en [1; 3]; el carácer de la integral en [1; 1) y en [3; 1) es el mismo.(no el valor, por supuesto).
4

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

24

(b) Como 3 2 + 2 5x 3x + 2 15 x x = = 5 3 3x3 + 5x2 + 3 x 3+ x3 3 + + 3 x x La fracción de la derecha tiende a 5=3 cuando x ! 1: Por tanto,
2

x2 5

3 2 + 2 x x 5 3 + 3 x x

tienen el mismo carácter. Como la segunda es divergente, ya que Z 1 Z M 1 1 dx = l m dx = l m ln M = 1 M !1 1 M !1 x x 1

2 3 + 2 x x 5x2 3x + 2 3 5 3 2 x 5 3+ + 3 + 2 3 + 5x2 + 3 3x x x = x x ! 5 6= 0; 1 = 3 x!1 3 1 1 5 3+ + 3 x x x x De aquí concluimos que las dos integrales Z 1 Z 1 1 5x2 3x + 2 dx y dx 3x3 + 5x2 + 3 x 1 1 15

tenemos que la integral pedida en (a) es también divergente. p (c) Este caso es algo más di…cil porque aparece una potencia fraccionaria x2 x = x2+1=2 = x5=2 ; pero el método es el mismo: x+5 = 2+1=2 + 2x + 6 3x Por tanto, x+5 5 1+ 1 + 2x + 6 = l m x lm = 6= 0; 1 1 2 6 x!1 x!1 3 3 + 3=2 + 5=2 3=2 x x x de forma que, tomando 1 + r = 5=2 (es decir, r = 3=2) logramos, igual que antes, que numerador y denominador tengan la misma potencia de mayor grado, lo cual garantiza que el límite no es 0 ni 1 : Por tanto, Z 1 Z 1 x+5 1 p dx y dx 3=2 2 x + 2x + 6 x 3x 1 1 tienen el mismo carácter. Y como el exponente 3=2 es mayor que 1, la segunda integral es convergente (siendo su valor 2) : Z 1 Z M 1 M 1=2 1 1 x 3=2 dx = l m dx = l m = =2 3=2 M !1 M !1 1 x 1=2 1=2 1 3x2+1=2 Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010 25 x 1+ x5=2 3+ 2 x3=2 5 x + 6 x5=2 1 x3=2 3+ 1+ 2 x3=2 5 x + 6 x5=2

=

por lo que podemos concluir que la integral pedida también es convergente.

Ejemplo 14 Estudiar la convergencia o divergencia de las integrales (a) Z
1=2

0

4 dx x cos x2

(b)

Z

1=2

0

4 p dx x cos x2

Solución: En ambos casos, la función tiende a 1 cuando x ! 0; y no presenta ningún otro problema, pues cos x2 no se anula en el intervalo [0; 1] y cos 0 = 1: (a) Comparando con 1=x por cociente, 4 4 x cos x2 = 4 = 4 6= 0; 1 ! 2 x!0 cos 0 1 cos x x R 1=2 R 1=2 1 4 Por tanto, 0 dx y 0 dx tienen el mismo carácter. Como ésta es divergente, también lo x cos x2 x es la primera. p (b) Comparamos ahora con 1= x : 4 p 4 4 x cos x2 ! = 4 6= 0; 1 = 2 x!0 cos 0 1 cos x p x Por tanto, R 1=2
0

p

lo es la primera.

R 1=2 1 4 dx y 0 p dx tienen el mismo carácter. Como ésta es convergente, también 2 x cos x x

5.3.

Demostraciones de la convergencia de las funciones Gamma y Beta
(p) = Z
1

Escribiendo

x

p 1

e dx =

x

0

conseguimos que cada término sea una integral impropia de un solo tipo (y la primera ni siquiera es impropia para p 1): Se puede demostrar mediante la regla de l’ Hôpital que, cualquiera que sea el exponente real r se tiene xr l m xr e x = l m x = 0 x!1 x!1 e

Z

1

x

p 1

e dx +

x

0

Z

1

xp 1 e x dx

(2)

1

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

26

(propiedad que se expresa verbalmente diciendo que el in…nito potencial (xr ) es siempre menor (o “más lento” que el in…nito exponencial (ex )): En particular, ) xp 1 e x lm =0 1 x!1 x2 Z Z 1 p 1 x x e dx es convergente, pues y de aquí deducimos, por comparación, que

1 dx lo es. Por 2 1 x 1 tanto, la segunda integral impropia de la descomposición anterior (2) es convergente para todo p real. La primera integral Z
1

1

xp 1 e x dx

(3)

0

no tiene el mismo carácter para todos los valores de p: Ello se debe a que

xp 1 e x lm = l m e x = e0 = 1 6= 0; 1 x!0 xp 1 x!0 por lo que el carácter de (3) es el mismo que el de Z 1 Z 1 1 p 1 dx x dx = 1 p 0 0 x que, como sabemos, es convergente si 1 p < 1 (es decir, si p > 0) y divergente si 1 p si p 0): En cuanto a la integral Beta, basta escribir Z 1 Z 1=2 Z 1 p 1 q 1 p 1 q 1 xp 1 (1 x)q 1 dx x (1 x) dx + x (1 x) dx =
0 0 1=2

(4) 1 (es decir,

y razonar como en el caso anterior: en el extremo x = 0 tenemos xp 1 (1 x)q x!0 xp 1 lm xp 1 (1
1 1

= l m (1 x!0 0

x)q

1

por lo que las integrales es impropia, y si p < 1 : Z
1=2

R 1=2
0

x)q 1 dx y

x

p 1

dx =

0

Z

0

y, como acabamos de ver, ésta es convergente si y sólo si q > 0: Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

Por tanto, la primera integral es convergente si y sólo si p > 0: La segunda integral se trata similarmente por el cambio de variable x = de simetría): Z 1 Z 1=2 p 1 q 1 x (1 x) dx = (1 t)p 1 tq 1 dt
1=2 0

8 < 1 si 1 1 1 dx = : x1 p 1 (1

R 1=2

= 1 6= 0; 1 1; no

xp 1 dx tienen el mismo carácter. Si p

p > 1 (o sea, p < 0) 1 = si 1 p < 1 (o sea, p > 0): p) p t (como en la propiedad

27

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES II
HOJA DE PROBLEMAS 3 INTEGRALES IMPROPIAS Y EULERIANAS
1.. Analizar cuáles de las siguientes integrales son impropias y calcularlas tanto si son impropias como si no. Indicar cuáles son convergentes. Z
1

(a) Z
1

0

xdx 2 + 1)3 (x dx (e) Z

(b)
1 2

Z

1

0

(d)

xe

2x

p dx (x2 + 1)3 (f)

x

(c)
1

Z

1 =4

e

3x

sen x dx Z ln 3

x ln x dx

0

0

Z

e

1 dx x(ln x)2

(g)

0

ex p x dx e 1

Indicaciones: Tener en cuenta los siguientes límites: x!0 l m xm ln x = 0;

xm =0 x!1 ebx lm

para todo entero m

1 y todo b > 0

que se obtienen fácilmente por la regla de l’ Hôpital. A partir de la segunda también se tiene l m xm e bx x!1

sen ax cos ax

= 0 para todo m > 0; b > 0; a 2 R:

Para obtener las primitivas de las funciones propuestas basta hacer un cambio de variable adecuado o integrar por partes. 2. Obtener las siguientes integrales transformándolas en funciones eulerianas: Z
1

(a)

xe

3

4x

dx

(b)

0

Z

1

p xe

x3

dx

(c)

0

Z

1

0

p

x3 dx 1 x

(d)

Z

=2 p

1

sen x sen x cos x dx

0

Z 1p (e) 1
0

p

xdx

(f)

Z

1

0

p

1 1 x2

dx

3. En las siguientes integrales, se pide: (i) indicar cúales son impropias; (ii) calcularlas directamente obteniendo una primitiva; (iii) calcularlas transformándolas en funciones eulerianas; (iv) comparar los resultados e indicar el carácter de la integral en el caso de que sea impropia:

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

28

(a)

Z

1

p x(1

x ) dx

2

(b)

0

Z

=2

sen x cos x dx

2

(c)

0

Z

1

x ln x dx (hacer ln x = t)

0

(d)

Z

1

xe

5

x3

dx

(e)

0

Z

1

0

1 x p dx 3 x

(f)

Z

1

0

p

x 1 x2

dx

(g)

Z

1

0

1 p e x

p

x

dx

(h)

Z

1

0

1 p p 1 x

p

xdx

(i)

Z

1

p x3 1

x2 dx

0

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

29

SOLUCIONES
1 1. (a) u = x2 + 1; 2 (d) R xe
2x

Z

1

1

du 1 = ; 3 u 4
2x

(b) 1; (c) R1

dx =

1 e 4

R

e

3x

sen x dx = Z

1 e 10

3x

(cos x + 3 sen x) ;

p

2 3 e 5

=4

;

(2x + 1) ;

=4

=1/4;

(e)

1 x2 ln x dx = x3 ln x 3
2

(f)

Z

1 dx = x(ln x)2

1 R1 ; = 1; (g) u = ex ln x e 1 2 1p ; 3 = :

1;

Z

u

1=2

p du = 2 2.

1 3 R1 x; 0 = 9

1=9;

0

2. (a)

1 1 3 ; (b) (4) = 4 4 128 3 3 2 =

=

(c)

32 ; 35

(d) B 2;

3 2

=

4 ; 15

(e) 2B 2;

8 1 ; (f) B 15 2

1 1 ; 2 2

2

3. (a)

1 B 2

3 ;2 4

=

8 ; 21 (e) B

(b)

1 3 B 1; 2 2 =

1 = ; 3

(c)

1 (2) = 4 = 1; 2 : 15

1 ; 4

(d)

1 1 (2) = ; 3 3

2 ;2 3 3 2

9 1 ; (f) B 10 2

1 ;1 2

(g) 2 (1) = 2; (h) 2B 1;

4 = ; (i) 3

1 3 B 2; 2 2

=

Impropias y Eulerianas. CUNEF 2010

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