Vektör Uzayları
Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN

ÜNİTE

4

Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra; • Matematik ve mühendislikte birçok uygulamaları olan cebirsel yapılardan vektör uzayı ve alt uzay kavramlarını tanıyacak, • Bir vektör uzayının yapısını ve özelliklerini öğrenecek, • Çeşitli vektör uzayı örnekleri görecek, • Bir kümenin gerdiği (oluşturduğu) alt uzay kavramını anlayacak, • Bir uzayı geren vektörlerin nasıl bulunduğunu öğreneceksiniz.

İçindekiler
• Giriş • Vektör Uzayları • Alt Uzaylar • Bir Kümenin Gerdiği (Ürettiği) Alt Uzay • Değerlendirme Soruları 89 89 97 100 107

Çalışma Önerileri
• Bu üniteyi çalışırken temel kavram ve tanımları iyice kavrayıp konu ile ilgili çözülmüş örnekleri inceleyiniz. • Okuyucuya bırakılan soruları çözünüz.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

89

1. Giriş
Bu ünitede, uygulamalı matematiğin ve mühendislik matematiğinin önemli konularından biri olan vektör uzayları konusunu inceliyeceğiz.

2. Vektör Uzayları
V boş olmayan, üzerinde vektörel toplama diyeceğimiz bir toplama ve skalerle (gerçel sayılarla) çarpım tanımlanmış bir küme olsun. Simgesel olarak, vektörel toplama ve skalerle çarpım işlemleri, x, y ∈V için x + y ∈V r ∈ R , x ∈ V için r x ∈V biçiminde tanımlı olsun; yani, V kümesi vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre kapalı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa V kümesine R (gerçel sayılar kümesi) üzerinde bir vektör uzayı denir. V1. V2. Her x, y ∈ V için x+y = y+x olmalıdır. (Toplamanın değişme özelliği) (Toplamanın birleş-

Her x, y, z ∈ V için (x+y) +z = x + (y+z) olmalıdır. me özelliği)

V3.

Her x ∈ V için x + 0 = 0 + x = x olacak şekilde bir 0 ∈ V bulunmalıdır. (Toplama işlemine göre etkisiz öğe) Her x ∈ V için x+y = y+x = 0 olacak şekilde bir y ∈V bulunmalıdır. (Toplama işlemine göre ters öğe) Her x, y ∈V ve her c ∈R için c(x+y) = cx + cy olmalıdır. manın toplama üzerine dağılımı) Her x ∈V ve c1, c2 ∈ R için (c1 + c2) x = c1x + c2x Her x ∈V ve c1, c2 ∈ R için (c1c2 ) x = c1 (c2x) Her x ∈V için 1.x = x olmalıdır. (skaler ile çarp-

V4.

V5.

V6. V7. V8.

olmalıdır.

olmalıdır.

V, R üzerinde bir vektör uzayı ise V nin öğelerine vektörler R nin öğelerine de skalerler denir. Bu durumda V ye de bir gerçel vektör uzayı denir. Eğer skalerler R ile gösterdiğimiz gerçel sayılar kümesi yerine C ile gösterdiğimiz kompleks sayılar kümesinden alınırsa, V ye kompleks vektör uzayı denir. Bundan böyle aksi belirtilmedikçe vektör uzaylarımızı gerçel vektör uzayı olarak ele alacağız.

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

90

VEKTÖR UZAYLARI

2.1. Önerme
V bir vektör uzayı olsun. V de vektörel toplama işleminin etkisiz öğesi tektir. Kanıt V vektör uzayının 0 ve 0' gibi iki etkisiz öğesi olsun. 0 bir etkisiz öğe olduğundan ∀ x ∈V için x+0= 0+x= x olur, burada özel olarak x= 0' alınırsa 0' + 0= 0 + 0'= 0' (1)

bulunur. Aynı şekilde 0' bir etkisiz öğe olduğundan ∀ x ∈V için x+0'= 0'+x= x ve özel olarak x= 0 alınırsa 0+0'= 0'+0= 0 (2) bulunur. (1) ve (2) eşitlikleri karşılaştırılırsa 0= 0' elde edilir. Böylece etkisiz öğenin tek olduğu gösterilmiş olur. Bundan böyle toplama işlemine göre etkisiz öğeye sıfır vektör diyeceğiz. Açıktır ki, 0x= 0 dır. Çünkü 0.x= (0+0)x= 0.x + 0.x dır. Benzer olarak, r ∈ R ve 0 ∈V için r.0= 0 dır.

2.2. Önerme
V vektör uzayında her x vektörünün tersi tektir. Kanıt V vektör uzayının herhangi bir x vektörünün y1 ve y2 gibi iki tane tersi olsun. Bu durumda x + y1 = y1 + x = 0 ve x + y2 = y2 + x = 0 eşitlikleri sağlanır. y1 = y1 + 0 = y1 + (x + y2) = (y1 + x) + y2 = 0 + y2 = y2 elde edilir. x vektörünün tersi tek olduğundan bu ters vektör (-x) ile gösterilir. Yani x + (-x) = (-x) + x = 0 dır. Kolayca görülür ki (-1).x = -x dır. Çünkü 0 = 0. x = (-1 + 1) x = (-1)x + 1.x = (-1) x + x dir. Ayrıca x + (-y) yerine x-y yazacağız ve x-y ye x ile y nin fark vektörü diyeceğiz. Şimdi vektör uzaylarına örnekler verelim:
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

91

2.3. Örnek
R gerçel sayılar kümesi, bilinen toplama ve çarpma işlemleri altında bir gerçel vektör uzayıdır. Çünkü R nin öğeleri olan gerçel sayılar bilinen toplama ve çarpma işlemleriyle vektör uzayı için vermiş olduğumuz koşulları sağlarlar. Sizde bu koşulların sağlandığını tek tek inceleyiniz.

2.4. Örnek
V= { (x, y) | y= 3x, x∈ R } kümesinin aşağıda verilen işlemlere göre bir vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz. Her A, B ∈V, A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) için A + B = (x1 , 3x1) + (y1 , 3y1) = (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (x1 + y1 , 3 (x1 + y1)) ∈ V c ∈ R için cA = c (x1 , 3x1) = (cx1 , 3cx1) ∈ V Çözüm V kümesinin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağladığını göstermeliyiz. V1. Her A, B ∈V, A= (x1 , 3x1) , B= (y1 , 3y1) için A+B = (x1 , 3x1) + (y1 , 3y1)= (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (y1 + x1 , 3y1 + 3x1) = (y1 , 3y1) + (x1 , 3x1) = B+A olduğundan toplamanın değişme özelliği sağlanır. V2. A, B, C ∈V , A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) , C = (z1 , 3z1) için A+ (B+C) = (x1 , 3x1) + ((y1 , 3y1) + (z1 , 3z1)) = (x1 + (y1 + z1) , 3x1 + (3y1 + 3z1)) = ((x1 + y1) + z1 , (3x1 + 3y1) + 3z1) = (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) + (z1 , 3z1) = (A+B) + C olduğundan toplamanın birleşme özelliği sağlanır. V3. Her A ∈V, A= (x1 , 3x1) ve 0= (0, 0) için A+0 = (x1 , 3x1) + (0, 0)= (x1 + 0, 3x1 + 0) = (x1 , 3x1) = A 0 + A = (0, 0) + (x1 , 3x1) = (0 + x1 , 0 + 3x1) = (x1 , 3x1) = A olduğundan 0 = (0, 0) vektörü toplama işleminin etkisiz öğesidir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

92

VEKTÖR UZAYLARI

V4.

Her A ∈V, A = (x1 , 3x1) ve -A = (-x1 , -3x1) için (x1 , 3x1) + (-x1 ,-3x1) = (x1 - x1 , 3x1 - 3x1) = (0, 0) (-x1 , -3x1) + (x1 , 3x1) = (-x1 + x1 , -3x1 + 3x1) = (0, 0) olduğundan A = (x1 , 3x1) vektörünün toplama işlemine göre tersi -A = (-x1 , -3x1) vektörüdür.

V5.

Her A, B ∈ V

A = (x1 , 3x1) , B = (y1 , 3y1) , c ∈ R için

c (A+B) = c [(x1, 3x1) + (y1 , 3y1)] = c (x1 + y1 , 3x1 + 3y1) = (c (x1 + y1) , c (3x1 + 3y1)) = (cx1 + cy1 , 3cx1 + 3cy1) = (cx1 , 3cx1) + (cy1 , 3cy1) = c (x1 , 3x1) + c (y1 , 3y1) = c A + c B olur. V6. Her A ∈V, her c1 , c2 R için (c1 + c2) A = (c1 + c2) (x1 , 3x1) = [(c1 + c2) x1 , (c1 + c2) 3x1] = (c1 x1 + c2 x1 , 3c1 x1 + 3c2 x1) = (c1 x1 , 3c1 x1) + (c2 x1 , 3c2 x1) = c1 (x1 , 3x1) + c2 (x1 , 3x1) = c1 A + c2 A olur. V7. Her A ∈ V, A= (x1 , 3x1), her c1 , c2 ∈ R için (c1 c2) A = c1 c2 (x1 , 3x1) = (c1 c2 x1 , 3c1 c2 x1) = [c1 (c2 x1) , c1 (3c2 x1)] = c1 (c2 x1 , 3c2 x1) = c1 (c2 (x1 , 3x1)) = c1 (c2 A) olur. V8. Her A ∈V, A = (x1 , 3x1), 1∈ R için 1. A= 1. (x1 , 3x1) = (1.x1 , 3.1 x1) = (x1 , 3x1) = A olur. Böylece V kümesi R üzerinde bir vektör uzayıdır.

2.5. Örnek
R2 kümesinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla A = (x1 , x2), B= (y1 , y2) ∈ R2 , c ∈ R için A+B = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2) c A = c (x1 , x2) = (cx1 , cx2)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

93

biçiminde verildiğine göre, R2 kümesinin R kümesi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösterelim: Bunun için R2 nin öğelerinin, vektör uzayı koşullarını sağladığını göstermeliyiz. V1. Her A, B ∈R2 , A = (x1 , x2) B = (y1 , y2) için A+B = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2) = (y1 + x1 , y2 + x2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) = B+A olduğundan toplamanın değişme özelliği sağlanır. V2. Her A, B, C ∈R2 , A = (x1 , x2), B = (y1 , y2), C = (z1 , z2) için A+ (B+C) = (x1 , x2) + [(y1 , y2) + (z1 , z2)] = (x1 , x2) + (y1 + z1 , y2 + z2) = [x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)] = [(x1 + y1) + z1 , (x2 + y2) + z2 ] = (x1 + y1 , x2 + y2) + (z1 , z2) = (A+B) + C olduğundan toplamanın birleşme özelliği sağlanır. V3. Her A= (x1 , x2) ∈ R2 ve 0= (0, 0) için A+0 = (x1 , x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1 , x2) = A 0+A = (0, 0) + (x1 , x2) = (0 + x1 , 0 + x2) = (x1 , x2) = A olduğundan 0= (0, 0) vektörü toplama işleminin etkisiz öğesidir. V4. Her A = (x1 , x2) ∈ R2 ve -A= (-x1 , -x2) için (x1 , x2) + (-x1 , -x2) = (x1 - x1 , x2 - x2) = (0, 0) (-x1 , -x2) + (x1 , x2) = (-x1 + x1 , -x2 + x2) = (0, 0) olduğundan A = (x1 , x2 ) vektörünün toplama işlemine göre tersi -A = (-x1 , -x2) vektörüdür. V5. Her A = (x1 , x2), B = (y1 , y2) ∈ R2, her c ∈ R için c (A+B) = c [(x1 , x2) + (y1 , y2)] = c (x1 + y1 , x2 + y2) = [c (x1 + y1) , c (x2 + y2)] = (cx1 + cy1 , cx2 + cy2) = (cx1 , cx2) + (cy1 , cy2) = c (x1 , x2) + c (y1 , y2) = c A + c B olur.

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

94

VEKTÖR UZAYLARI

V6.

Her A= (x1 , x2) ∈ R2, her c1 , c2 ∈ R için (c1 + c2)A= (c1 + c2) (x1 , x2) = [(c1 + c2) x1 , (c1 + c2) x2] = (c1 x1 + c2 x1 , c1 x2 + c2 x2 ) = (c1 x1 , c1 x2) + (c2 x1 , c2 x2) = c1 (x1 , x2) + c2 (x1 , x2) = c1 A + c2 A olur.

V7.

Her A = (x1 , x2) ∈ R2, her c1 , c2 ∈ R için (c1 c2) A = (c1 c2) (x1 , x2) = (c1 c2 x1 , c1 c2 x2) = [c1 (c2 x1), c1 (c2 x2)] = c1 (c2 x1 , c2 x2 ) = c1 [c2 (x1 , x2)] = c1 (c2 A)

V8.

Her A = (x1 , x2) ∈ R2, 1 ∈ R için 1. A = 1. (x1 , x2) = (1.x1 , 1.x2) = (x1 , x2) = A olur. Böylece R2 kümesi R üzerinde bir vektör uzayıdır.

Benzer şekilde, n≥1 tamsayı olmak üzeri Rn kümesi de yukarıda tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerine benzer olarak tanımlanan sıralı n-lilerin toplamı ve bir skalerle bir sıralı-n linin çarpımı işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır. Verilen bir kümenin vektör uzayı olup olmadığını belirlemek için öncelikle, bu kümenin öğeleri üzerinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemlerinin tanımlanmış olması, daha sonra da verilen kümenin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağlaması gerekir. Buna örnek olarak: V = { (x, y) | y = 2x , x ∈ R } kümesi bir vektör uzayı mıdır? şeklindeki bir soru anlamlı değildir. Çünkü, küme üzerinde vektörel toplama ve skalerle çarpma işlemleri belirtilmemiştir.

2.6. Örnek
V = { (x, y) | x, y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın: ( x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ∈ V , c ∈ R için ( x1 , x 2 ) + ( y 1 , y 2 ) = ( x1 + y 1 , 0 ) c ( x1 , x2 ) = ( c x1 , c x2 )
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

95

V kümesi bu işlemlere göre bir vektör uzayı mıdır? Çözüm Bunun için, V kümesinin öğelerinin, verilen işlemlere göre vektör uzayı koşullarını sağlayıp sağlamadığını araştırmalıyız: V1 ve V2 özellikleri yani toplamanın değişme ve birleşme özelliklerinin varlığı kolayca doğrulanır. V3 koşulu olan etkisiz öğenin varlığını araştıralım: Her A ∈ V , A = ( x1 , x2 ) için A+E=A olacak şekilde bir E vektörü yani etkisiz (birim) vektör var mıdır? E = (a , b) olsun. a , b ∈ R A + E = ( x1 , x2 ) + (a , b) = ( x1 , x2 ) ( x 1 + a , 0 ) = ( x1 , x 2 ) iki vektörün eşitliğinden x 1 + a = x1 0 = x2 olur. Buradan daima x2 = 0 elde edilir. x2 ≠ 0 da olabileceğinden A + E = A eşitliğini her zaman sağlayan bir E vektörü yoktur. Örneğin, A = (1 , 2) için yukarıdaki eşitlik (1 , 2) + (a , b) = (1 , 2) (1 + a , 0) = (1 , 2) olur. Buradan 0 = 2 gibi doğru olmayan bir eşitlik elde edilir. Buna göre V üzerindeki toplama işleminin etkisiz öğesi yoktur yani, V verilen işlemlere göre bir vektör uzayı değildir. Şimdiye kadar R (gerçel sayılar kümesi), R2 (düzlemin noktalarının kümesi), R3 (uzayın noktalarının kümesi) ..., Rn (n boyutlu uzayın noktalarının kümesi) üzerinde bilinen toplama ve skalerle çarpım işlemlerini tanımlayarak, gerçel sayılar kümesinin, düzlemin noktaları kümesinin, uzayın noktaları kümesinin,... birer gerçel vektör uzayı olduklarını gösterdik. Bir vektör uzayının öğeleri polinomlar, matrisler, bir homojen lineer denklem sisteminin tüm çözümleri, kompleks sayılar, belli bir aralıkta tanımlanmış sürekli fonksiyonlar da olabilir. Bütün bunlar, vektör uzaylarının ne kadar çeşitli örneklerinin olduğunu gösterir. Bu söylediklerimize bir örnek verelim:
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

96

VEKTÖR UZAYLARI

V = { p(x) = ax3 + bx2 + cx + d | a , b , c , d ∈ R } kümesi 3. dereceden bütün polinomların kümesi olsun. V kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma daha önceden bildiğimiz polinom toplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemleri olarak verilsin; p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 q(x) = b3 x3 + b2 x2 + b1 x + b0 olmak üzere p(x) + q(x) = ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + ( a0 + b0 ) c ∈ R için c.p(x) = c ( a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ) = c a3 x3 + c a2 x2 + c a1 x + c a0 Bu işlemlere göre, V kümesinin R üzerinde bir gerçel vektör uzayı olduğunu kolayca gösterebilirsiniz. Uyarılar (i) V kümesinin etkisiz öğesi ile 0 sayısını birbiri ile karıştırmamak gerekir. V nin etkisiz öğesi p(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0 şeklinde sıfır polinomudur. (ii) Her p(x) ∈ V , p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 öğesinin ters öğesi ise -p(x) = -a3 x3 - a2 x2 - a1 x - a0 şeklindeki bir polinomdur. (iii) Her p(x) ∈ V , p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ; a3 , a2 , a1 , a0 ∈ R olduğundan p(x) öğesinde a3 , a2 , a1 , a0 katsayıları çeşitli durumlarda 0 değerini alabilir. Bu yüzden V = { p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 | a3 , a2 , a1 , a0 ∈ R } kümesinin öğeleri, derecesi 3 veya 3 ten küçük bütün polinomlardan oluşur. Derecesi 3 veya 3 ten küçük bütün polinomların kümesi P3 (R) ile gösterilir. n ≥ 1 tamsayı olmak üzere Pn (R) kümesi derecesi n veya n den küçük bütün polinomların kümesidir. Pn (R) kümesi de polinomların toplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemlerine göre vektör uzayı olduğu benzer şekilde gösterilir. Vektör uzayı ile ilgili örneklerimizi biraz daha genişletelim: m x n tipinde matrisler, matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayı oluşturur. Bu vektör uzayı Mmn ile gösterilir.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

97

2.7. Örnek
M23 kümesinin, matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz. Çözüm M23 (2 x 3 tipindeki bütün matrislerin kümesi) nin R üzerinde bir vektör uzayı olduğunu göstermek için M23 nin öğelerinin vektör uzayı koşullarını sağladığını göstermeliyiz: Matris toplamının değişme ve birleşme özellikleri, sıfır matris (etkisiz öğe), bir matrisin toplamaya göre tersi, bir skalerle matrisin çarpım işlemleri 1. ünitede geniş olarak verildi. Buna göre her A , B , C ∈ M23 öğeleri vektör uzayı koşullarını sağlar. V1. V2. V3. V4. V5. V6. V7. V8. A+B=B+A (Matris toplamının değişme özelliği) (Matris toplamının birleşme özelliği)

A + (B + C) = (A + B) + C A+0=0+A=A

(Etkisiz öğe) (Ters öğe)

A + (-A) = -A + A = 0

c ∈ R , c (A + B) = c A + c B c1 , c2 ∈ R c1 , c2 ∈ R 1. A = A ( c1 + c2 ) A = c1 A + c2 A ( c1 c2 ) A = c1 (c2 A)

Böylece M23 kümesi verilen toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır. Bunu daha genel olarak ifade edersek; m x n tipindeki matrislerin kümesi Mmn , matris toplamı ve bir skalerle matrisin çarpımı işlemlerine göre R üzerinde bir vektör uzayıdır.

3. Alt Uzaylar
Bu bölümde vektör uzaylarının yapısını daha ayrıntılı bir şekilde inceleyeceğiz.

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

98

VEKTÖR UZAYLARI

3.1. Tanım
V bir vektör uzayı ve W , V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. W kümesi, V kümesinde tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre bir vektör uzayı oluşturuyorsa W ye V nin bir alt uzayı denir. Bu tanımdan aşağıdaki sonuçları elde etmek oldukça kolaydır: (i) Her vektör uzayı kendisinin bir alt uzayıdır. (ii) { 0 } kümesinin oluşturduğu sıfır vektör uzayı o vektör uzayının bir alt uzayıdır. Buna göre sıfır vektör uzayından farklı her vektör uzayının en az iki alt uzayı vardır.

3.2. Örnek
R2 kümesinin sıralı ikililerin toplamı ve bir skalerle sıralı ikilinin çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. Yukarıda ifade edilen sonuçlara göre { (0 , 0) } ve R2 kümeleri aynı zamanda birer alt uzaylardır.

?

• •

Siz de R2 nin başka alt uzaylarını belirtebilir misiniz? Başlangıç noktasından geçen bütün doğrular aynı işlemlere göre R2 nin alt uzayı olabilirler mi?

3.3. Örnek
W = { (x , y) | y = x + 1 , x ∈ R } kümesi R2 nin bir alt uzayı mıdır? Çözüm Alt uzay tanımına göre, W alt uzay ise R2 deki işlemlere göre bir vektör uzayıdır. Dolayısıyla R2 nin sıfır vektörünü içermek zorundadır. Fakat, 0 = (0 , 0) ∉ W olduğundan ( x = 0 için y = 1 ) W = { (x , y) | y = x + 1 , x ∈ R } kümesi alt uzay değildir. Şimdi bir vektör uzayının boş olmayan herhangi bir alt kümesinin hangi koşullarda bir alt uzay olacağına ilişkin teoremi verelim:

3.4. Teorem
V bir vektör uzayı ve W, V nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. W nin V nin bir alt uzayı olması için gerekli ve yeterli koşul
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

99

(i) x, y ∈ W iken x + y ∈ W (W , toplama işlemine göre kapalı) (ii) x ∈ W , c ∈ R iken c x ∈ W (W , skalerle çarpma işlemine göre kapalı) olmasıdır. Kanıt ⇒ : W , V nin bir alt uzayı olsun. Bu durumda (i) ve (ii) koşullarının sağlandığını gösterelim. W nin V nin bir alt uzayı olmasından dolayı, W nin kendisi de bir vektör uzayıdır. Bu nedenle (i) ve (ii) koşullarını sağlar. ⇐ : Tersine olarak W kümesi (i) ve (ii) koşullarını sağlasın. (ii) den x ∈ W , c ∈ R iken c x ∈ W olup, c = 0 ve c = -1 için 0 ∈ W ve -x ∈ W elde edilir. Buna göre etkisiz öğe ve W içindeki her x öğesinin tersi W içindedir. Bunun yanında vektör uzayının diğer koşulları W için de sağlanır. Yani V nin W alt kümesi , aynı zamanda bir vektör uzayıdır. Bu da bize W nin V nin alt uzayı olduğunu gösterir.

3.5. Örnek
W = { ( x1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x1 = 0 } kümesi R3 ün bir alt uzayı mıdır? Çözüm W nin R3 ün bir alt uzayı olması için x, y ∈ W iken x + y ∈ W c ∈ R, x ∈ W iken c x ∈ W olmalıdır. x, y ∈ W ise x = ( 0 , x2 , x3 ) ve y = ( 0 , y2 , y3 ) olur. (W nin öğeleri 1. bileşenleri 0 olan vektörlerdir.) x + y = ( 0 , x 2 , x3 ) + ( 0 , y 2 , y 3 ) = ( 0 , x2 + y2 , x3 + y3 ) ∈ W c ∈ R ve x ∈ W iken c x = c ( 0 , x2 , x3 ) = ( 0 , c x2 , c x3 ) ∈ W elde edilir. Böylece W kümesinin öğeleri alt uzay olma koşullarını sağlar. W, R3 ün bir alt uzayıdır. Bu alt uzayın yz - düzlemi olduğuna dikkat ediniz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

100

VEKTÖR UZAYLARI

3.6. Örnek
W = { ( x1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x1 + x2 = 2 } kümesi R3 ün bir alt uzayı mıdır? Çözüm A, B ∈ W için A + B ∈ W olmalıdır. A = ( x 1 , x 2 , x 3 ) , x 1 + x2 = 2 B = ( y1 , y2 , y3 ) , y1 + y2 = 2 A + B = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) , x1 + y1 + x2 + y2 = x1 + x2 + y1 + y2 =2+2=4≠2 olduğundan A + B ∉ W dir. O halde W , R3 ün bir alt uzayı değildir.

3.7. Örnek n ≤ m ise Pn (R) , Pm (R) nin bir alt uzayı mıdır? Çözüm Pm (R) derecesi m veya m den küçük bütün polinomların kümesidir. Bu kümenin polinomların toplamı ve bir skalerle polinomun çarpımı işlemlerine göre bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. Pn (R) ⊆ Pm (R) ve p(t) , q(t) ∈ Pn (R) , r ∈ R için derece ( p(t) + q(t)) = maksimum { derece p(t) , derece q(t) } ≤ n derece (r . p(t) ) = derece ( p(t) ) ≤ n olduğundan, ( p(t) + q(t) ) ∈ Pn (R) ve (r p(t) ) ∈ Pn (R) dir. Yani Pn (R) kümesi polinom toplamı ve skalerle polinomun çarpımına göre kapalıdır. O halde Pn (R) kümesi Pm (R) vektör uzayının bir alt uzayıdır.

4. Bir Kümenin Gerdiği (Ürettiği) Alt Uzay
4.1. Tanım
Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörleri verilsin. c1 , c2 , ... , cn gerçel sayılar olmak üzere bir x ∈ V vektörü x = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn şeklinde

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

101

yazılabiliyorsa, yani, bu yazılışı sağlayacak şekilde, c1 , c2 , ... , cn gerçel sayıları bulunabiliyorsa x vektörü x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bir lineer bileşimidir denir.

4.2. Örnek
R3 de x1 = (1 , 0 , 3) , x2 = (0 , 1 , 0) , x3 = (2 , 1 , 0) vektörleri verilsin. x = (3 , 1 , 3) vektörünün verilen x1 , x2 , x3 vektörlerinin bir lineer bileşimi olduğunu gösterelim: x vektörünün, verilen 3 vektörün lineer bileşimi olması için x = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 şeklinde yazılması gerekir. Bir başka deyişle c1 , c2 , c3 gerçel sayılarının bulunması gerekir. Buna göre, (3 , 1 , 3) = c1 (1 , 0 , 3) + c2 (0 , 1 , 0) + c3 (2 , 1 , 0) (3 , 1 , 3) = (c1 + 2c3 , c2 + c3 , 3c1) elde edilir. İki vektörün eşitliğinden c1 + 2c3 = 3 c2 + c3 = 1 3c1 = 3 çıkar ve bu üç eşitlikten c1 = 1 , c2 = 0 , c3 = 1 bulunur. (3 , 1 , 3) = 1 . (1 , 0 , 3) + 0 . (0 , 1 , 0) + 1 . (2 , 1 , 0) Buna göre (3 , 1 , 3) vektörü (1 , 0 , 3) , (0 , 1 , 0) , (2 , 1 , 0) vektörlerinin bir lineer bileşimidir.

4.3. Örnek
R3 deki x = (2 , 0 , 6) vektörü x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerinin bir lineer bileşimi midir? Çözüm x = (2 , 0 , 6) vektörünün verilen x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerinin lineer bileşimi olması için (2 , 0 , 6) = c1 (1 , 1 , 0) + c2 (1 , 0 , 2)

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

102

VEKTÖR UZAYLARI

eşitliğindeki c1 ve c2 gerçel sayılarının bulunması gerekir. Yukarıdaki eşitlikten (2 , 0 , 6) = ( c1 + c2 , c1 , 2c2 ) olur. Buradan c1 + c2 = 2 c1 = 0 2c2 = 6 son iki eşitlikten c1 = 0 , c2 = 3 bulunur. Bu değerler c1 + c2 = 2 denkleminde yerine konursa 3 = 2 şeklinde doğru olmayan bir eşitlik bulunur. Bu sonuç x = (2 , 0 , 6) vektörünün x1 = (1 , 1 , 0) ve x2 = (1 , 0 , 2) vektörlerinin lineer bileşimi olmadığını gösterir.

4.4. Tanım
Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bütün lineer bileşimlerinden oluşan kümeye x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin lineer bileşimler kümesi denir ve L ( { x1 , x2 , ... , xn } ) şeklinde gösterilir.

4.5. Teorem
Bir V vektör uzayının x1 , x2 , ... , xn vektörlerinin bütün lineer bileşimlerinin kümesi L ({x1 , x2 , ..., xn}) , V nin bir alt uzayıdır. Kanıt V nin x1 , x2 , ..., xn vektörlerinin kümesi S olsun. S = {x1, x2, ..., xn}. S nin öğelerinin mümkün olan bütün lineer bileşenlerinin kümesi, L(S) = L ({x1 , x2 , ..., xn } ) = { c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn | c1, c2, ..., cn ∈ R } dir. L(S) nin V nin alt uzayı olduğunu göstereceğiz. L(S), alt uzay olma koşullarını sağlar. Çünkü, A, B ∈ L (S) için A + B ∈ L(S) dir. Yani L(S) deki herhangi iki lineer bileşimin toplamı yine L(S) de bir lineer bileşimdir. Dolayısıyla L(S) toplama işlemine göre kapalıdır. c ∈ R, A ∈ L (S) için c A ∈ L(S) dir. Yani L(S) deki bir lineer birleşimin bir skalerle çarpımı yine L(S) 'deki bir lineer bileşimdir. Dolayısıyla L(S) skalerle çarpma işlemine göre de kapalıdır. O halde L(S), V nin bir alt uzayıdır.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

103

4.6. Tanım
V bir vektör uzayı ve V nin x1 , x2 , ..., xn vektörlerinin kümesi S olsun. L (S) alt uzayına, S kümesinin gerdiği alt uzay denir. Eğer V vektör uzayındaki her x vektörü S deki vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabiliyorsa yani kısaca, x ∈ V için x ∈ L (S) ise S kümesi V vektör uzayını gerer veya doğurur denir ve L (S) = V şeklinde yazılır.

4.7. Örnek
R2 de (1, 0) vektörünün gerdiği alt uzayı bulunuz. Çözüm R2 de (1, 0) vektörünün gerdiği alt uzay (1, 0) vektörünün bütün lineer bileşimlerinin kümesidir. L ({1, 0}) = { c (1, 0) | c ∈ R } = { (c, 0) | c ∈ R } Bu küme c ∈ R olmak üzere (c, 0) şeklindeki bütün noktaların kümesidir. Biraz dikkat edersek bu kümenin noktaları y = 0 doğrusunu, bir başka deyişle, x - eksenini oluştururlar. O halde R2 nin (1, 0) vektörü tarafından gerilen alt uzayı x - eksenidir. Ayrıca x - ekseni üzerindeki her noktanın, (1, 0) vektörü cinsinden yazılabileceği de açıktır yani, x - ekseni üzerindeki herhangi bir nokta A = (a, 0) ise (a, 0) = a (1, 0) şeklinde yazılabilir.

4.8. Örnek
R2 de (1, 0) ve (1, 1) vektörlerinin gerdiği alt uzayı bulunuz. Çözüm (1, 0), (1,1) vektörlerinin gerdiği alt uzay, bu vektörlerin bütün lineer bileşimlerinin kümesi

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

104

VEKTÖR UZAYLARI

L ({ (1, 0), (1, 1) }) = {a (1, 0) + b (1, 1) | a, b ∈ R } = { (a + b, b) | a, b ∈ R } dir. Şimdi R2 nin herhangi bir vektörünün (1, 0) ve (1, 1) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılıp yazılamayacağına bakalım: (x, y) ∈ R2 olsun. (x, y) = a (1, 0) + b (1, 1) (x, y) = (a + b, b) iki vektörün eşitliğinden x = a + b, y = b buradan a = x - y ve b = y bulunur. Bu değerleri (1) de yerine yazalım, (x, y) = (x - y) (1 , 0) + y (1, 1) olur. Böylece R2 nin herhangi bir (x, y) vektörü (1, 0), (1,1) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabiliyor. O halde {(1, 0), (1, 1)} kümesi R2 yi gerer yani, L ({ (1, 0), (1, 1) }) = R2 olur. Örnek olarak (3, 7) ∈ R2 nin (1, 0), (1, 1) in lineer bileşimi olarak yazıldığını görelim: (3, 7) = (-4) (1, 0) + 7 (1, 1) olur. (1)

4.9. Örnek
P2 (R) de x, 1 + x vektörlerinin gerdiği alt uzayı bulalım: P2 (R) derecesi 2 veya 2 den küçük bütün polinomların oluşturduğu bir vektör uzayıdır. Uyarı • Bir vektör uzayının öğelerine vektör denildiği için x ve 1 + x polinomlarına da vektör diyeceğiz.

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

105

{ x, 1 + x } kümesinin gerdiği P2 (R) nin alt uzayını arıyoruz. Bunun için x, 1 + x vektörlerinin bütün lineer bileşimlerini bulalım, P(x) = L ({ x, 1 + x } )= { a x + b (1 + x) | a, b ∈ R } = { (a + b) x + b) | a, b ∈ R } P (x) kümesi, p(x) = (a + b) x + b kümesi olur ve P(x) ⊆ P1 (x) yazılır. Şimdi de P1 (R) nin herhangi bir vektörünün x, 1 + x vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabileceğini gösterelim: q(x) = α x + β ∈ P1 (R) α, β ∈ R alalım. α x + β = a x + b (1 + x) = (a + b) x + b iki polinomun eşitliğinden α = a + b, β = b buradan a = α - β , b = β bulunur. α x + β = (α - β) x + β (1 + x) buradan P1 (x) ⊆ P(x) olur. (1) ve (2) eşitliklerinden P(x) = P1 (x) yazılır. Böylece x, 1 + x vektörlerinin oluşturduğu alt uzay, L({ x, 1 + x } ) = P1 (R) olur. Şimdiye değin verilen vektör kümesinin gerdiği alt uzayları bulmaya çalıştık. Şimdi de verilen alt uzayları geren vektörleri bulmaya çalışalım. (2) a, b ∈ R şeklindeki 1. dereceden polinomların

(1)

4.10. Örnek
R2 nin 3x - y = 0 alt uzayını geren bir vektör bulunuz. Çözüm R2 nin 3x - y = 0 alt uzayı, W = { (x , y) | y = 3x , x ∈ R } = { (x , 3x) | x ∈ R }

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

106

VEKTÖR UZAYLARI

kümesidir. Buna göre 3x - y = 0 alt uzayının her öğesi, (x , 3x) = x (1 , 3) , x ∈ R şeklindeki vektörlerdir, yani (1 , 3) vektörünün uygun bir gerçel sayı ile çarpımıdır. O halde (1 , 3) vektörü 3x - y = 0 alt uzayını gerer. Siz de, 3x - y = 0 alt uzayını geren başka vektörler bulunuz; (2 , 6) veya (3 , 7) vektörleri 3x - y = 0 alt uzayını gerer mi?

4.11. Örnek
R3 ün x + y + z = 0 alt uzayını geren vektörlerin kümesini bulunuz. Çözüm R3 ün x + y + z = 0 alt uzayı, W = { (x , y , z) | x + y + z = 0 , x , y , z ∈ R } = { (x , y , -x -y) | x , y ∈ R } kümesidir. Buna göre x + y + z = 0 alt uzayının her öğesi, (x , y , -x -y) x , y ∈ R şeklinde yazılabilir. Burada x ve y nin keyfi her gerçel değeri için W kümesinin bir öğesi elde edilir. x = 0 , y = 1 için (0 , 1 , -1) ∈ W x = 1 , y = 2 için (1 , 2 , -3) ∈ W bulunur. Buna göre A = (0 , 1 , -1) ve B = (1 , 2 , -3) vektörleri W kümesinin yani x + y + z = 0 alt uzayının öğeleridir. İşte bu vektörler verilen alt uzayı gererler. Bunu görmek için, W kümesinden herhangi bir öğe alıp bu öğenin (0, 1, -1) ve (1 , 2 , -3) vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazılabileceğini görmeliyiz: E ∈ W için E = (a , b , -a -b) alalım. (a , b , -a -b) = c1 A + c2 B olacak şekilde c1 ve c2 gerçel sayılarını bulmalıyız. (a , b , -a -b) = c1 (0 , 1 , -1) + c2 (1 , 2 , -3) (a , b , -a -b) = ( c2 , c1 + 2c2 , -c1 -3c2 ) iki vektörün eşitliğinden

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

107

a = c2 b = c1 + 2c2 -a -b = -c1 -3c2 elde edilir. Buradan c1 = b - 2a , c2 = a bulunur ve (a , b , -a -b) = (b - 2a) (0 , 1 , -1) + a (1 , 2 , -3) eşitliği elde edilir. Buna göre W vektör uzayının her bir öğesi, (0 , 1 , -1) ve (1 , 2 , -3) vektörlerinin uygun bir lineer bileşimidir. O halde bu vektörler W alt uzayını gererler. Sizde; W vektör uzayını geren başka iki vektör bulunuz, (1 , 3 , -4) , (2 , 6 , -8) vektörlerinin W yi germediğini gösteriniz.

Değerlendirme Soruları
1. Aşağıda verilen kümelerden hangisi tanımlanan işlemlere göre bir vektör uzayıdır? A. V= { (x, y) | x, y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , 0) c (x, y) = (c x, 0) şeklinde veriliyor. B. R gerçel sayılar kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri x+y=x-y cx=cx şeklinde veriliyor. C. V= { (x, y) | y = 2x, x ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sıralı ikililerin toplamı ve bir skalerle sıralı ikilinin çarpımı şeklinde veriliyor. D. V= { (x, y) | x , y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (1, x1 x2) c (x1 , y1) = (c x1, 0) E. V= { (x, y) | x , y ∈ R } kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 x2 , y1 y2) c (x1 , y1) = (c x1 , y1)

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

108

VEKTÖR UZAYLARI

2. Aşağıda verilen kümelerden hangisi tanımlanan işlemlere göre bir vektör uzayıdır? A. V= { (x, y) | y = x + 1, x ∈ R } (x1 , y1) + (x2 , y2) = (0, y1 + y2) c (x1 , y1) = (c1 x1 , 0) şeklinde veriliyor. B. P2 (R) kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla polinomların toplamı ve skalerle bir polinomun çarpımı şeklinde veriliyor. C. M22 kümesi üzerinde toplama ve skaler ile çarpma işlemleri sırasıyla A, B ∈ M22 , c ∈ R için A + B = AB cA şeklinde veriliyor. D. M35 kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla A + B = B , cA = A şeklinde veriliyor. c E. V= { (x, y, z) | x, y, z ∈ R } toplama ve skalerle çarpma işlemleri (x , y , z) + (a, b, c) = (1 , y + b , z + c) (x, y, z) = (cx , cy , cz) şeklinde veriliyor. 3. Aşağıdaki kümelerden hangisi R3 ün bir alt uzayıdır? A. B. C. D. E. E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 | x1 = 1, x2 , x3 ∈ R} E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 ≥ 0, x2 + x3 = 5, x1 , x2 , x3 ∈ R} E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 + 2x2 + 3x3 = 0, x1 , x2 , x3 ∈ R} E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x1 + x2 = 2, x3 ≠ 0, x1 , x2 , x3 ∈ R } E = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3 |x2 ≠ 0, x1 , x2 , x3 ∈ R}

4. W kümesi R3 de x1 = (1, 2, 0), x2 = (2, 0, 1) vektörlerinin gerdiği bir alt uzay olduğuna göre aşağıdaki vektörlerden hangisi W nin bir öğesidir? A. B. C. D. E. 5. (1, 3, 5) (0, 1, 2) (-1, -2, -3) (1/2, 1, 6) (1, 2, 0)

R2 nin x + y = 0 alt uzayını geren vektör hangisidir? A. B. C. D. E. (2 , 1) (0 , 0) (1 , -1) (-1 , -1) (-1 , 0)

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

VEKTÖR UZAYLARI

109

6.

R3 ün x - y + z = 0 alt uzayını geren vektör kümesi hangisidir? A. B. C. D. E. { (1 , 1 , 1) } { (1 , 0 , 1) , (0 , 0 , 0) } { (1 , 1 , 2) , (0 , 1 , 0) } { (1 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1) } { (0 , 0 , 0) , (1 , 1 , 1) }

7.

R de (1) vektörünün gerdiği alt uzay hangisidir? A. B. C. D. E. 1 R R2 R3 P1 (R)

8.

R2 de { (1 , 1) (1 , 2) } kümesinin gerdiği alt uzay hangisidir? A. B. C. D. E. { (1 , 1) } R R2 P2 (R) P3 (R)

9.

Pn (R) de { 1 , x } kümesinin gerdiği alt uzay hangisidir? A. B. C. D. E. R R2 R3 P1 (R) P2 (R)

10. R3 deki (1 , 1 , x) vektörü x ni hangi değeri için (1 , 0 , 3) , (2 , 1 , 0) vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabilir? A. B. C. D. E. -3 -2 0 1 3

11. Aşağıdaki vektörlerden hangisi R3 ün L ( { (0 , 1 , 1) , (2 , 0 , 0) } ) alt uzayının bir öğesidir? A. B. C. D. E. (1 , 2 , 3) (4 , 1 , 1) (3 , 1 , 1) (0 , 0 , 1) (5, -1 , 0)

AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ

110

VEKTÖR UZAYLARI

12. Aşağıdaki kümelerden hangisi R2 yi gerer? A. B. C. D. E. { (1 , 1) , (2 , 2) } { (0 , 0) , (1 , 1) } { (1 , 2) , (3 , 4) } { (1 , 1) , (-1 , -1) } { (0 , 1) , (0 , 5) }

Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. C 2. B 3. C 4. E 5. C 6. D
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

7. B

8. C

9. D

10. A

11. B

12. C