Master Dynamique terrestre et risques naturels Math´matiques pour g´ologues e e

Op´rateurs diff´rentiels e e
On ´tudie en g´osciences des fonctions scalaires des coordonn´es d’espace, comme la temp´rature, e e e e ou bien des vecteurs dont les trois composantes sont des fonctions des coordonn´es, comme la e pesanteur ou le champ magn´tique. Lorsque ces fonctions ont des d´riv´es partielles, on peut e e e d´finir d’autres scalaires ou vecteurs qui restent les mˆmes pour tout r´f´rentiel, ce qu’on appelle e e ee des invariants de la fonction ou du champ de vecteurs. Ils en fournissent des propri´t´s intrins`ques ee e et locales. Pour une fonction, les invariants qui nous seront utiles sont le gradient (un vecteur) et le laplacien (un scalaire). Pour un champ de vecteurs ce sont le rotationnel (un vecteur), la divergence (un scalaire) et le laplacien vectoriel (un vecteur).

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Produit scalaire et vectoriel

Soit deux vecteurs a et b ayant pour composantes dans un r´f´rentiel cart´sien ax , ay , az et bx , by , ee e bz respectivement. On d´finit : e – le produit scalaire : a.b = ax b + ay by + az bz x ay b z − az b y – le produit vectoriel : a ∧ b =  az bx − ax bz  ax b y − ay b x

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Notion de circulation d’un champ de vecteurs

On appelle travail de A ` B du vecteur a le long d’une courbe (C), dont un segment infinit´simal a e est le vecteur dl, la somme des produits scalaires infinit´simaux e
B

a.dl.
A

Lorsque (C) est une courbe ferm´e (A = B), la position de A sur (C) n’a pas d’importance, e seulement le sens de parcours. Le travail est alors appel´ la circulation de a sur (C), e a.dl.

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Notion de flux d’un champ de vecteurs

Consid´rons une surface continue (S). Soit n sa normale unitaire, toujours issue du mˆme cˆt´. On e e o e appelle flux du vecteur a ` travers (S) le scalaire : a φ= a.ndS

Cette notion sera utilis´e pour introduire la divergence. e

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Le gradient

La forme diff´rentielle totale d’une fonction f (x, y, z), o` x, y et z sont les trois variables de l’espace, e u est ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz, ∂x ∂y ∂z

qui peut s’´crire sous la forme d’un produit scalaire de deux vecteurs u et dl avec e     ∂f dx ∂x  ∂f  u =  ∂y  dl =  dy  ∂f dz
∂z

Le champ vectoriel u s’exprime par un op´rateur nomm´ gradient que l’on note : e e    grad(f ) = ∇f = 
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z

 .

Ce vecteur n’est autre qu’une extension de la classique d´riv´e d’une fonction ` un espace de e e a dimension sup´rieure. Il indique donc la pente locale de la fonction, le vecteur obtenu ´tant dirig´ e e e le long de la plus grande pente au champ f . ∇f est orthogonal aux isosurfaces de f .

Expression en coordonn´es cyclindriques e
Sur la base (er , eφ , ez ) on a  ∇f =  
∂f ∂r 1 ∂f r ∂φ ∂f ∂z



 .

Expression en coordonn´es sph´riques e e
Sur la base (er , eθ , eφ ) on a  ∇f =  
∂f ∂r 1 ∂f r ∂θ ∂f 1 r. sin θ ∂φ



 .

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La divergence
∂ux ∂uy ∂uz + + . ∂x ∂y ∂z

La divergence d’un champ vectoriel u est un scalaire d´fini par : e div(u) = ∇.u =

Afin de d´finir le sens physique de la divergence consid´rons un volume rectangulaire de cˆt´s dx, e e o e dy et dz. z Ux dz dy x

dx y

Le flux de u sortant de la face de droite dans la direction x est ux (x + dx, y, z)dydz. De mˆme le e flux de u entrant par la face de gauche dans la direction x est −ux (x, y, z)dydz. Le bilan de flux entre ces deux surfaces est donc ∂ux ∂ux dxdydz = dV ∂x ∂x Le mˆme raisonnement peut ˆtre fait dans la direction y et dans la direction z. Le bilan de flux au e e travers des faces du volume peut donc s’´crire e [ux (x + dx, y, z) − ux (x, y, z)]dydz = dφ = ∂uz ∂ux ∂uy + + ∂x ∂y ∂z dV = (∇.u)dV.

L’´quation ci-dessus permet d’exprimer ce qu’est la divergence : la divergence est donc le bilan de e flux d’un champ de vecteurs par unit´ de volume. Sous forme int´grale on obtient le th´or`me de e e e e la divergence (Green-Ostrogradsky) : u.dS = int div(u)dV

Le flux ` travers une surface ferm´e S d’un champ u est ´gale ` l’int´grale sur tout le volume a e e a e d´limit´ par S de la divergence de u. e e Si u est un champ de vitesse, alors la divergende de u mesure l’accroissement total de volume par unit´ de temps et par unit´ de volume. Si en un point A la divergence est positive (n´gative) alors e e e A est un point d’expension (de compression). Si la divergence de u est nulle en tout point d’une r´gion D alors le corps ayant le champ de vitesse u est incompressible dans cette r´gion. e e

Expression en coordonn´es cyclindriques e
∇.u = ∂uz 1 ∂(r ur ) 1 ∂uφ + + . r ∂r r ∂φ ∂z

Expression en coordonn´es sph´riques e e
∇.u = 1 ∂(r2 ur ) 1 ∂(sin θ uθ ) 1 ∂uφ + + r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

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Le rotationnel

Le rotationnel d’un champ vectoriel u est un vecteur d´fini par e   ∂uy ∂uz ∂y − ∂z   rotu = ∇ ∧ u =  ∂ux − ∂uz  . ∂z ∂x ∂uy ∂ux ∂x − ∂y On interpr`te le rotationnel ∇ ∧ u comme l’axe d’un tourbillon en m´canique des fluides, le champ e e u repr´sentant la vitesse du liquide. e Le rotationnel d’un gradient est nul : rot(grad(f ) = ∇ ∧ ∇f = 0 Soit u un champ vectoriel et (C) un contour ferm´. On peut montrer que le flux du rotationnel de e u ` travers une surface s’appuyant sur (C) est ´gale ` la circulation le long de (C) du champ u. Ce a e a th´or`me est appel´ th´or`me du rotationnel (Stokes) e e e e e u.dl = ∇ ∧ u.dS

Expression en coordonn´es cyclindriques e

1 r ∂uφ 1 ∂uz r ∂φ − ∂z ∂uz ∂ur ∂z − ∂r ∂(r uφ ) − ∂(r ur ) ∂r ∂φ

 ∇∧u =



 .

Expression en coordonn´es sph´riques e e

1 r sin θ 1 r sin θ 1 r ∂(sin θ uφ ) − ∂uθ ∂θ ∂φ ∂(r sin θ uφ ∂ur ∂φ − ∂r ∂(r uθ ) ∂ur − ∂θ ∂r

  ∇∧u =  



  . 

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Le laplacien

Le dernier op´rateur que nous utiliserons est le laplacien. Le laplacien est d´fini comme la divergence e e du gradient. On distingue le laplacien scalaire laplacien(f ) = div(grad(f )) = ∆f = ∇2 f = De mˆme on d´finit le laplacien vectoriel comme e e 
∂ 2 ux ∂x2 ∂ 2 uy ∂x2 ∂ 2 uz ∂x2

∂2f ∂2f ∂2f + 2 + 2. ∂x2 ∂y ∂z

+ + +

 ∆u = ∇2 u = 

∂ 2 ux ∂y 2 ∂ 2 uy ∂y 2 ∂ 2 uz ∂y 2

+ + +

∂ 2 ux ∂z 2 ∂ 2 uy ∂z 2 ∂ 2 uz ∂z 2



 .

Le laplacien d’une fonction mesure la diff´rence entre la valeur de la fonction en un point et sa e moyenne autour de ce point. Ainsi le laplacien est nul ou tr`s petit lorsque la fonction varie sans e a ` coups.

Expression en coordonn´es cyclindriques e
∇2 f = 1 ∂ r ∂r r ∂f ∂r + 1 ∂2f ∂2f + 2. r2 ∂φ2 ∂z

Expression en coordonn´es sph´riques e e
∇2 f = 1 ∂ r2 ∂r r2 ∂f ∂r + 1 ∂ r2 sin θ ∂θ sin θ ∂f ∂θ + 1 ∂2f . r2 sin2 θ ∂φ2

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Relations fondamentales div(grad) = laplacien div(rot) = 0 rot(rot) = grad(div) − laplacien rot(grad) = 0

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Exercices
1. On consid`re un champ v purement divergent en 2D e (a) D´terminer le syst`me d’´quations diff´rentielles v´rifi´ par les composantes du champ e e e e e e v (b) Donner un exemple simple de vecteur v (c) Tracer le champ v 2. Idem mais pour un champ purement rotationnel.