Absolut og relativ tilvækst
Formålet med vedlagte GeoGebra-fil er at undersøge sammenhængene mellem absolut og relativ tilvækst af den uafhængige variabel og absolut og relativ funktionstilvækst, dvs. vækst af den afhængige variabel, for lineære funktioner, eksponentielle funktioner og potensfunktioner.
Aktiviteten er tænkt som et visuelt og interaktivt supplement til gennemgangen af følgende sætninger, som man gerne finder i matematikbøger til 1.g i gymnasiet (her citeret næsten ordret fra Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1).
|Sætning 1 a |For en lineær funktion [pic] gælder, at hvis den uafhængige variabel [pic] får tilvæksten [pic], får den afhængige |
| |variabel [pic] tilvæksten [pic]. |
|Sætning 2 a |For en eksponentialfunktion [pic] gælder, at hvis den uafhængige variabel [pic] får tilvæksten [pic], bliver den afhængige|
| |variabel [pic] ganget med [pic]. |
|Sætning 3 a |For en potensfunktion [pic] gælder, at hvis den uafhængige variabel [pic] bliver ganget med k, bliver den afhængige |
| |variabel [pic] ganget med [pic]. |
Når man undersøger sammenhænge mellem variable, starter man gerne med at undersøge, hvad der sker med den afhængige variable, når man ændrer på den uafhængige variabel. Det kan ske kvalitativt ved at se på grafernes former.
[pic] [pic] [pic]
For at forstå typer af sammenhænge lidt dybere, kan man, udover at se på grafernes former, lede efter kvantitative udtryk, som er det invariante, altså størrelser eller forhold, som ikke ændrer sig, når [pic] ændrer sig, for lige netop den type sammenhæng, man har valgt at undersøge. Sætning 1 til 3 er et forsøg på at formulere sådanne invarianter for tre funktionstyper. Sætningerne kan også formuleres med ord, hvilket kan være en rigtig god øvelse:
|Sætning 1 b |For lineære sammenhænge gælder, at hvis den uafhængige variabel vokser med en fast størrelse vil den afhængige variabel |
| |vokse med en fast (invariant) størrelse. |
|Sætning 2 b |For eksponentiel sammenhænge gælder, at hvis den uafhængige variabel vokser med en fast størrelse vil den afhængige |
| |variabel vokse med en fast procent. |
|Sætning 3 b |For lineære sammenhænge gælder, at hvis den uafhængige variabel vokser med en fast procent vil den afhængige variabel |
| |vokse med en fast procent. |
Bemærk: det, at en variabel bliver ganget med en fast faktor ([pic], [pic] eller [pic]), svarer til at variablen vokser med en fast procent ([pic], [pic] eller [pic]). F.eks. svarer multiplikation med 1,5 til en vækst på 50%.
Tilvækst med en størrelse er en absolut tilvækst og ved vækst med procent er relativ tilvækst. Hvis det er [pic], der er tale om, kaldes den absolutte tilvækst [pic] og den relative tilvækst
[pic].
De invariante relationer mellem den uafhængige [pic] og den afhængige variabel [pic], som er udtrykt i sætning 1 til 3, kan nu opsummeres i følgende tabel
|Invariante sammenhænge |
|Lineær |Den absolutte funktionstilvækst er invariant |
| |under absolut tilvækst af den uafhængive variabel |
|Eksponentiel |Den relative funktionstilvækst er invariant |
| |under absolut tilvækst af den uafhængive variabel |
|Potens |Den relative funktionstilvækst er invariant |
| |under relativ tilvækst af den uafhængive variabel |
|*) |Den absolutte funktionstilvækst er invariant |
| |under relativ tilvækst af den uafhængive variabel |
Som det fremgår af det sidste skema ovenfor er der fire kombinationer, som det er værd at undersøge eksperimentelt for de funktioner man har valgt. Dette leder os til en forklaring af, hvordan GeoGebra-filen er bygget op og hvordan den tænkes anvendt.
1. Først har jeg defineret to lilla skyder-variable [pic] og [pic] samt funktionen [pic], der afhænger af [pic] og [pic]. (Funktionen [pic] kan du selv lave om til en af de andre tre typer eller til andre som du gerne vil teste for de pågældende vækstegenskaber.)
2. Dernæst har jeg defineret tre skyder-variable: [pic], [pic] og [pic]. Her repræsenterer[pic] vores uafhængige variabel mht. hvilken vi leder efter invariable vækstegenskaber.
3. Så har jeg afsat punkterne [pic], [pic] og [pic], for at man grafisk kan se den absolutte og relative vækst af den uafhængige variabel.
4. På funktionen har jeg afsat punkterne
[pic], [pic] og [pic]
5. Og punkterne [pic], [pic] og [pic], for at man grafisk kan følge den absolutte og relative vækst af den afhængige variabel på y-aksen.
6. Da [pic], [pic] og [pic] flytter sig, når man ændrer på [pic], har jeg defineret punkterne D, E, F og G.
[pic] den absolutte y-tilvækst ved absolut x-tilvækst [pic] den absolutte y-tilvækst ved relativ x-tilvækst [pic] den relative y-tilvækst ved absolut x-tilvækst [pic] den relative y-tilvækst ved relativ x-tilvækst
[pic]
Det er nu tanken, at man opstiller betingelserne for det matematiske eksperiment ved at vælge
1. en funktionsforskrift (som skal indtastes ved at omdefinere f(x)). Derefter klares resten med skyderne.
2. funktionens variable ([pic] og [pic]), så grafen har den ønskede form.
3. den absolutte tilvækst [pic] og faktoren [pic]. Så er vi klar til at udføre eksperimentet.
Eksperimentet udføres nu ved at ændre på [pic] og iagttage D, E, F og G. Hvis en af disse ikke ændrer sig er den invariant under ændring af [pic]. Noter hvorvidt eksperimentet stemmer overens med teorien (f.eks i tabellerne ovenfor).
Øvelse 1
Undersøg om der findes en funktion, som opfylder, at den absolutte funktionstilvækst er invariant under relativ tilvækst af den uafhængige variabel. Formuler sætning 4 a og b svarende til de ovenstående sætninger. Bevis sætning 4.
-----------------------
[pic]
