POLIEDRE

123

8. POLIEDRE
Un corp mărginit de suprafeţe plane, poligoane regulate sau neregulate se numeşte poliedru. Două feţe ale unui poliedru se intersectează după o dreaptă, numită muchie, iar trei sau mai multe feţe se intersectează într-un punct, numit vârf.
Un poliedru poate fi convex sau concav, după cum rămâne în întregime, sau nu, de aceeaşi parte a oricărei feţe.
În practică cele mai folosite poliedre sunt prismele şi piramidele.
Poliedrele care au feţele poligoane regulate, cu acelaşi număr de laturi, se numesc poliedre regulate. Acestea au unghiurile diedre (unghiul format de două feţe plane) şi poliedre (unghiul format de feţele care se întâlnesc într-un vârf) egale între ele.

8.1 Reprezentarea poliedrelor
Reprezentarea poliedrelor, în epură, se face prin reprezentarea punctelor (vârfurilor) şi a dreptelor (muchiilor) care le determină. Astfel, un poliedru se dă, în probleme, prin coordonatele vârfurilor sale, muchiile rezultând ca segmente de drepte concurente.
Totalitatea dreptelor care limitează un poliedru, într-una din cele trei proiecţii pe planele de proiecţie, formează un poligon închis, numit contur aparent. Deci, în epură, un poliedru are maxim trei contururi aparente distincte.
Reprezentarea poliedrelor, în epură, se face cu respectarea regulilor de vizibilitate stabilite la dreptele disjuncte, cât şi a următoarelor criterii de vizibilitate, specifice poliedrelor :
- poliedrele se presupun opace, astfel, unele muchii sunt vizibile, iar altele invizibile; - conturul aparent este vizibil;
- o faţă a poliedrului este vizibilă când conţine un punct vizibil, dar nu de pe conturul aparent;
- dintre două feţe, care se intersectează după o muchie a conturului aparent, una este vizibilă şi cealaltă invizibilă;
- două feţe sunt vizibile sau invizibile, după cum muchia de intersecţie (care nu aparţine conturului aparent) este vizibilă sau invizibilă;
- muchiile ce se întâlnesc într-un vârf din interiorul conturului aparent sunt vizibile sau invizibile, după cum punctul (vârful) este vizibil sau invizibil.
8.1.1 Reprezentarea poliedrelor regulate
Conform teoremelor lui Euler, în spaţiu, pot exista cinci poliedre regulate :
a) Tetraedrul – este poliedrul cu patru feţe triunghiuri echilaterale congruente.
Pentru construirea epurei tetraedrului SABC din figura 8.1, a, cu baza ABC situată în planul de nivel [N], atunci când se cunoaşte latura triunghiului, trebuie să se determine înălţimea
Ss, care va fi diferenţa de cotă a vârfului S faţă de planul de nivel. În proiecţie orizontală s este ortocentrul, iar înălţimea Ss este o catetă a triunghiului dreptunghic SsB.
În epură (fig.8.1, b), acest triunghi se construieşte ducând o perpendiculară în s pe muchia bs şi un arc de cerc cu centrul în punctul b şi de rază bc. Intersecţia lor determină punctul s1, iar segmentul ss1 este chiar înălţimea căutată, ss1 = Ss şi se construieşte în proiecţie verticală în mărime reală, fiind în poziţia de dreaptă verticală.
b) Cubul (hexaedrul) – este poliedrul cu şase feţe pătrate congruente. În figura 8.2 este reprezentat cubul ABCDA1B1C1D1, cu faţa ABCD situată în planul orizontal de

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

124 z s'

s"

S

A

C N' a' x a

b'

c'

a"=c"

cO

s s s1

B b a)

b)

y

b" N"

proiecţie. Toate muchiile cubului, astfel poziţionat, sunt drepte perpendiculare pe unul din planele de proiecţie, iar feţele lui sunt situate în plane paralele cu planele de proiecţie.
c) Octaedrul – este poliedrul cu opt feţe triunghiuri echilaterale congruente (fig.8.3, a).
Diagonalele AC, BD şi EF sunt egale, iar în poziţia prezentată în epura din

Fig.8.1 Reprezentarea tetraedrului : a) în spaţiu ; b) în epură figura 8.3, b, acestea sunt z perpendiculare pe planele de b1'=a1' c1'=d1' a1"=d1" b1"=c1" proiecţie. Pătratele ABCD, BEDF
D1
A1 şi AECF sunt plane de simetrie b'=a' c'=d' a"=d" b"=c" şi se numesc pătrate diagonale.
B1
C1 x d1=d O
d) Dodecaedrul – este
A
D a1=a poliedrul cu douăsprezece feţe pentagoane congruente (fig.8.4,
C
B
a). Feţele dodecaedrului sunt b1=b paralele două câte două. c1=c y
La reprezentarea în
b)
a) epură a dodecaedrului, pentagoFig.8.2 Reprezentarea cubului: a) în spaţiu ; b) în epură nul inferior PQSRT şi pentagonul superior ABCDE s-au z e" e' considerat cuprinse în plane de nivel paralele şi situate b'=d' c' d" a"=c" b" astfel încât una din laturi, SR, a' E respectiv CD, să fie paralele cu axa
Ox
(frontoD orizontale). x f" f'
A
C d e) Icosaedrul – este
O
B poliedrul care are douăzeci e=f de feţe triunghiuri echilaF a c terale congruente (fig.8.5, a).
Epura
icosaedrului se construieşte pornind de la b y proiecţia orizontală, înscriind
a)
b) într-un cerc (de rază r),
Fig.8.3 Reprezentarea octaedrului : a) în spaţiu; b) în epură cuprins într-un plan de nivel, pentagonul ABCDE, cu latura DC paralelă cu axa Ox. Apoi se construieşte o piramidă având ca bază acest pentagon, vârful în punctul K şi muchiile egale cu laturile pentagonului.

POLIEDRE

125

Construcţia se repetă cu pentagonul FGHIJ, cuprins într-un alt plan de nivel, la o distanţă egală cu raza cercului, r. Pe acest pentagon se construieşte piramida cu vârful în punctul L şi muchiile egale cu latura pentagonului (fig.8.5, a).
Toate poliedrele regulate pot fi obţinute din cub prin secţionări plane ale acestuia.
De asemenea, ele sunt inscriptibile şi circumscribile sferei. b' c' a' d' e'
E

A

G L
B
M
D
C R J
H
I S
O
N
P
T

e' d'

h' i' g' j' f ' n' m' o' l' k' s' p' r' q' t' g
O
x m s a l r h b f e n t p q k c d j i o b)

F
K
Q

a)

k' a' c' b'

D K
E

C
I

J

B
H

A
L

F

f ' i' g' l' h'

j' x l' i

d

h

j

G

k=l b e f a)

Fig.8.4 Reprezentarea dodecaedrului :
a) în spaţiu ; b) în epură

O

c

g

a

b)

Fig.8.5 Reprezentarea icosaedrului :
a) în spaţiu ; b) în epură

8.1.2 Reprezentarea prismei. Punct pe suprafaţa prismatică
Suprafaţa prismatică este generată de o dreaptă mobilă G, care se sprijină pe un poligon director [D]  ABC, fiind paralelă în timpul mişcării cu o dreaptă dată  (fig.8 .6).
O prismă se obţine prin intersecţia suprafeţei prismatice cu două plane, astfel încât fiecare plan să taie toate muchiile, secţiunile respective purtând numele de baze, inferioară şi superioară (fig.8.7, a).
Bazele prismei pot să fie cuprinse în plane oarecare (fig.8.7, a) sau în plane paralele. Se consideră o prismă oblică, a cărei baze sunt în planul orizontal, baza inferioară
ABC şi într-un plan de nivel [N], baza superioară A1B1C1 (fig.8.7, b). Pentru construirea unei astfel de prisme, în epură, sunt necesare coordonatele vârfurilor bazei inferioare, A, B,
C şi ale unui vârf al bazei superioare, A1, spre exemplu. Se trasează baza inferioară
(abc,a’b’c’) şi muchia (aa1, a’a1’), iar apoi se duc paralele prin vârfurile (b,b’) şi (c,c’) la z N' a1' e' 2' b1' 4' c1'

z



m' b' t'
A

C

G

i'

n'

a'

c'

t a Fig.8.6 Generarea suprafeţei prismatice

O

a' 1' b' c'
3'
b x 1

t1 a1 c1

f'

i'=j'

m b
1

c
a)

n' c1' i n m'

a1' t1'

b

D x
B

b1'

a
b)

b1

j

3

t y O

c i

m=n

2

e=f t1 a
1

Fig.8.7 Reprezentarea prismei ABCA1B1C1 în epură

4

c1 y 126

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

această muchie, obţinându-se celelalte vârfuri ale bazei superioare, (b1,b1’), respectiv
(c1,c1’).
Pentru ca prisma să fie complet reprezentată, se stabileşte vizibilitatea muchiilor.
Astfel, în proiecţia orizontală latura bazei superioare a1b1 şi muchia cc1 se intersectează aparent. Aici se suprapun proiecţiile orizontale e şi f. Găsind proiecţiile verticale e’ şi f’ se constată că este vizibil punctul E (are cota mai mare decât punctul F), deci implicit în proiecţia orizontală latura a1b1 este vizibilă, iar muchia cc1 este invizibilă. Conform criteriilor de vizibilitate şi feţele bcc1b1 şi acc1a1 sunt invizibile.
În proiecţia verticală se pune problema vizibilităţii numai pentru muchia b’b1’, celelalte aparţinând conturului aparent. Muchia b’b1’ este invizibilă, fiind acoperită de faţa a’c’c1’a1’. Acest lucru se studiază considerând dreapta tt1 de pe faţa acc1a1, paralelă cu mucchiile prismei şi suprapusă în proiecţie verticală peste muchia b’b1’. Analizând depărtările punctelor I, de pe TT1 şi J de pe BB1, se constată că punctul I este vizibil în proiecţie verticală (yI > yJ), deci faţa a’c’c1’a1’ acoperă muchia b’b1’.
Dacă un punct M de pe suprafaţa prismei este dat prin proiecţia orizontală m, pentru determinarea proiecţiei verticale se găsesc două poziţii, astfel : prin m se trasează două drepte generatoare, paralele cu muchiile, (12,1’2’) pe faţa ABB1A1 şi (34,3’4’) pe faţa
CBB1C1 (care se suprapun parţial, în proiecţia orizontală). Se intersectează cele două drepte cu linia de ordine ridicată din proiecţia orizontală m şi se determină proiecţiile verticale m’ şi n’ (fig.8.7, b).
Observaţie : Pentru ca un punct să aparţină unei prisme trebuie să fie situat pe o dreaptă ce aparţine suprafeţei prismatice.
În figura 8.7, a pentru ca punctul I(i,i’) să aparţină prismei, poate să fie situat pe o dreaptă oarecare MN, M  MN sau pe o generatoare paralelă cu muchiile T T1, M  T T1, ambele aparţinând feţei ABB1A1.
Dacă muchiile prismei sunt a1' b1' d1' c1' z b1" c1" d1" a1" perpendiculare pe baze, se obţine o prismă dreaptă (fig.8.8), iar când aceasta are bazele poligoane regulate, prisma este k'=k 1' k 1" k" regulată.
Având în vedere că în epură feţele unei prisme se suprapun total sau parţial, a' b' d' c' b" c"d" a"
O
în funcţie de felul acestora, unei proiecţii x b=b1 verticale a unui punct, îi pot corespunde k1 c=c1 două proiecţii orizontale şi laterale, adică k avem două puncte pe două feţe diferite ale d=d 1 a=a1 y prismei, ale căror proiecţii verticale se suprapun. Exemplu : în figura 8.8,
Fig.8.8 Reprezentarea unei prismei drepte
K1  [ABB1A1] şi K  [ADD1A1].
8.1.3 Reprezentarea piramidei. Punct pe suprafaţa piramidală
Suprafaţa piramidală este generată de o dreaptă generatoare G, care trece printr-un punct fix S şi se sprijină pe un poligon director [D]  ABC (fig.8.9).
Piramida este un corp limitat de o suprafaţă piramidală şi un plan care intersectează toate muchiile piramidei. Secţiunea plană rezultată se numeşte bază.
Piramida SABCD din figura 8.10 este definită de baza ABCD (plan oarecare) şi vârful S. Pentru reprezentarea în epură a piramidei, se reprezintă punctele care o definesc,
A, B, C şi S, se unesc proiecţiile orizontale şi verticale cu linii continue sau întrerupte, după cum acestea sunt vizibile sau invizibile.

POLIEDRE

127

Un punct care aparţine suprafeţei piramidale
SABCD, trebuie să fie situat pe o dreaptă generatoare a piramidei. Exemplu : punctul J(j,j’) aparţine piramidei, deoarece este situat pe generatoarea SI(si,s’i’), de pe faţa
G
SAB : j  si şi j’  s’i’.
S
În figura 8.11 este reprezentată o piramidă oblică,
A
C având baza ABC în planul orizontal de proiecţie. Astfel, aceasta se proiectează pe planul orizontal în adevărată
D
mărime, iar pe planul vertical şi lateral, suprapusă pe axa
B
Ox.
Pentru studiul vizibilităţii, în proiecţia orizontală se consideră dreptele disjuncte SA şi BC cu punctul de concurenţă aparentă i  j. Este vizibil punctul i, deci Fig.8.9 Generarea suprafeţei piramidale muchia sa, deoarece punctul I are cota mai mare decât c' s' z s"

z

b' j ' i'

m'=n'

a' x i' e'=f '

d'

s'

O s j c 2

a y Fig.8.10 Reprezentarea piramidei
SABCD

O

b'=t' c'
1'=2' b j '

i a d

a' x b

1

f

i=j t n m b"

a"

c"

s

e c y

Fig.8.11 Reprezentarea unei piramide oblice
SABC cu baza în planul [H]

punctul J de pe latura bazei BC. În proiecţia verticală, muchia s’b’ este invizibilă, fiind acoperită de faţa s’a’c’, care are depărtarea mai mare decât muchia SB. Acest lucru se studiază considerând dreapta generatoare st de pe faţa sac, suprapusă în proiecţie verticală peste muchia s’b’. Analizând depărtările punctelor E, de pe z s'
ST şi F de pe SB, se constată că punctul E este vizibil în proiecţie verticală (yE > yF), deci faţa s’a’c’ acoperă muchia s’b’. În proiecţia laterală toate muchiile sunt vizibile. Se analizează vizibilitatea numai pentru muchia s”a”, care este d' e'=c' f '=b' a' O vizibilă, având abscisa mai mare decât faţa s”b”c” . x c b Dacă un punct M de pe suprafaţa prismei este dat prin proiecţia verticală m’, pentru determinarea proiecţiei a d orizontale se găsesc două poziţii, astfel : prin m’ se trasează s două drepte generatoare, care se suprapun : s’1’  s’2’. Se y determină corespondentele lor în proiecţia orizontală, s1 pe f e faţa sac şi s2 pe faţa sab. Se intersectează cele două drepte cu linia de ordine coborâtă din proiecţia verticală m’ şi se Fig.8.12 Piramidă dreaptă, determină proiecţiile orizontale m şi n (fig.8.11). Rezultă că, regulată deoarece proiecţiile feţelor piramidei pe planele de proiecţie

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

128

se suprapun, total sau parţial, unei proiecţii verticale a unui punct ce aparţine piramidei, îi pot corespunde două proiecţii orizontale şi laterale. Raţionamentul este analog şi pentru o proiecţie orizontală a unui punct.
Dacă baza piramidei este un poligon regulat, piramida este regulată, iar dacă înălţimea coincide cu axa, piramida este dreaptă (fig.8.12).

8.2 Secţiuni plane în poliedre
Poligonul rezultat ca urmare a secţionării unui poliedru cu un plan se numeşte secţiune plană.
În epură, poligonul de secţiune poate fi determinat prin :
- vârfurile poligonului – determinate ca puncte de intersecţie dintre muchiile poliedrului şi planul de secţiune;
- laturile poligonului – determinate ca dreptele de intersecţie dintre feţele poliedrului şi planul de secţiune.
a) Secţiune plană într-o prismă oblică
Fie prisma oblică triunghiulară ABCA1B1C1 şi planul oarecare [P], care o secţionează (fig.8.13). Pentru determinarea triunghiului de secţiune, se găsesc punctele în care muchiile prismei intersectează planul [P], folosind plane proiectante duse prin muchii.
Planul de capăt [Q], trasat prin muchia AA1, intersectează planul [P] după dreapta
HV(hv,h’v’), iar aceasta la rândul ei, intersectează muchia AA1 în punctul R(r,r’), aa1  hv = r. Punctul R se determină prin proiecţia sa orizontală. În mod similar, se determină şi punctele S(s,s’) şi T(t,t’), unde muchiile BB1 şi CC1 intersectează planul [P].
Rezultă astfel, triunghiul RST, ca secţiune plană determinată de planul oarecare în prisma oblică. La reprezentarea triunghiului de secţiune s-a respectat vizibilitatea prismei : laturile triunghiului sunt vizibile sau invizibile, după cum sunt situate pe feţe vizibile sau invizibile ale prismei.
La secţionarea unei prisme cu un plan proiectant, poligonului de secţiune se obţine direct, fără a utiliza plane auxiliare, suprapus într-una din proiecţii pe urma acestuia. v' a1' b1'
Q' s' v1 ' v2'

x

b' b P

x

Px

a

a1

h1
Q

Fig.8.13 Secţionarea unei prisme oblice cu un plan oarecare

b' b f ' g'
Qx

c' f c

c1 h2 h

a'

O

t

r

c1' z

b1 '

Q' e' t' v v1 v2 s b1

c'

c a a1'

P'

r' a' Qx

z

c1'

b1 c1 g e O

a1
Q

y

y
Fig.8.14 Secţionarea unei prisme oblice cu un plan de capăt

POLIEDRE

129

În figura 8.14 prisma oblică ABCA1B1C1 s-a secţionat cu planul de capăt [Q].
Triunghiul de secţiune EFG se obţine în primul rând în proiecţia verticală, intersectând muchiile prismei cu urma verticală Q’ : a’a1’  Q’ = e’, b’b1’  Q’ = f’ , c’c1’  Q’ = g’, iar apoi coborând linii de ordine şi în proiecţia orizontală, e  aa1, f  bb1, g  cc1.
b) Secţiune plană într-o prismă dreaptă

a1'

z

b1' d1' c1'

s'
Se consideră prisma dreaptă din figura 8.15,
P'
r' secţionată cu un plan oarecare [P]. Poligonul de secţiune RSTU se cunoaşte în proiecţia orizontală, v' u' fiind suprapus peste proiecţia orizontală a bazei
Px O d' t' c' x a' b' prismei, rstu  abcd. Pentru determinarea proiecţiei v b 1=s=b verticale a poligonului, se ţine seama de faptul că c1 =t=c fiecare punct care îl determină este cuprins în planul
[P] şi aparţine totodată şi unei muchii a prismei. d 1=u=d
Astfel, prin proiecţia orizontală t se trasează o a1 =r=a orizontală a planului [P], tv  P, şi se determină y P urma verticală v’ a ei. Prin v’ se duce proiecţia verticală a orizontalei, paralelă cu axa Ox, iar la
Fig.8.15 Secţionarea unei prisme intersecţia cu muchia c’c1’ se obţine proiecţia drepte cu un plan oarecare verticală t’. Se procedează în mod analog şi pentru obţinerea celorlalte proiecţii verticale ale punctelor ce determină poligonul de secţiune.
c) Secţiune plană într-o piramidă oblică
Prin secţionarea unei piramide cu un plan, care întâlneşte toate muchiile se obţine un trunchi de piramidă.
Pentru aflarea poligonului de secţiune determinat de planul oarecare [P] în piramida oblică SABC, se procedează ca şi la prismă, găsind punctele în care muchiile piramidei intersectează planul [P], utilizând plane auxiliare proiectante de capăt (fig.8.16). s' Q' r' t'

v' v '
1
v 2' r' t' b' v u' v1 v2 b c' t

a'
Qx

r

Px O x s

Qx O

c' t s

u

a

Q

c

h1 h b' b u'

r

c u h2 Q

a'

P

a

z

s'

Q'

P'

x

z

y y Fig.8.16 Secţionarea unei piramide oblice cu un plan oarecare

Fig.8.17 Secţionarea unei piramide oblice cu un plan de capăt

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

130

Planul [Q] dus prin muchia SA intersectează planul [P] după dreapta HV(hv,h’v’), care la rândul ei, intersectează muchia SA în punctul R(r,r’), un vârf al poligonului de secţiune. La fel se procedează şi cu celelalte muchii, obţinându-se succesiv vârfurile T(t,t’) şi U(u,u’).
Dacă planul de secţiune este un plan proiectant, construcţia se simplifică, deoarece proiecţia poligonului de secţiune pe planul de proiecţie, faţă de care este proiectant planul secant, z s'
Q'
se suprapune pe urma acestuia.
Piramida oblică SABC, din figura 8.17, s-a m' intersectat cu planul de capăt [Q], rezultând u'=n' t'=r' triunghiul RTU, cu proiecţia verticală r’t’u’ p' suprapusă pe urma verticală Q’.
Qx

d'

x d Q

e'=c' f '=b' a' c b r n m a s p u t e f

O

y

Fig.8.18 Secţionarea unei piramide drepte cu un plan de capăt

d) Secţiune plană într-o piramidă dreaptă
Fie piramida dreaptă SABCDEF şi planul de capăt secant [Q]. Poligonul de secţiune rezultă direct în proiecţia verticală, m’n’r’p’t’u’, suprapusă pe urma verticală Q’ a planului de secţiune. Pentru determinarea proiecţiei orizontale a acestuia se duc linii de ordine din proiecţiile verticale până la intersecţia cu muchiile piramidei în proiecţia orizontală, determinând punctele m, n, r, p, t şi u
(fig.8.18).

8.3 Intersecţia unui poliedru cu o dreaptă
O dreaptă intersectează un poliedru convex în cel mult două puncte, situate pe două feţe distincte ale lui. Pentru determinarea lor se duce un plan secant prin dreaptă, care intersectează poliedrul după o secţiune plană, iar punctele de intersecţie dintre conturul acestei secţiuni şi dreaptă, sunt punctele căutate.
Planul secant dus prin dreaptă poate determina o secţiune transversală în poliedru, caz în care planul este proiectant faţă de unul din planele de proiecţie, sau o secţiune longitudinală. 8.3.1 Intersecţia unei prisme cu o dreaptă
a) Metoda secţiunilor transversale
Se consideră prisma triunghiulară oblică ABCA1B1C1 şi dreapta D (fig. 8.19, a).
Pentru determinarea punctelor de intersecţie dintre dreaptă şi prismă, prin dreaptă se duce un plan de capăt [Q] care determină secţiunea plană triunghiulară 123, secţiune care este intersectată de dreapta D în punctele  şi , punctele de intersecţie cu prisma, căutate.
În epură (fig. 8.19, b), urma verticală Q’ a planului de capăt este suprapusă cu proiecţia verticală d’ a dreptei, P’  d’. Triunghiul de secţiune se determină, prima dată, în proiecţie verticală, 1’2’3’, fiind dat de punctele de intersecţie dintre urma Q’ şi muchiile prismei, iar apoi ducând linii de ordine se găsesc şi proiecţiile orizontale 1, 2 şi 3. Proiecţia orizontală d a dreptei intersectează triunghiul de secţiune în punctele  şi , d  12 =  şi d  23 = . Ridicând linii de ordine din  şi , până pe proiecţia verticală d’, se determină punctele ’ şi ’, proiecţiile verticale ale punctelor de intersecţie cu prisma.

POLIEDRE

131

Studiind poziţia punctelor de intersecţie pe feţele prismei, se determină vizibilitatea dreptei : în proiecţia orizontală porţiunea de la  la muchia bb1 este invizibilă, iar în cea verticală, porţiunea 1’3’ este invizibilă, fiind acoperită de faţa acc1a1. z a1'

B1

[V]

d'=Q'



2

a'



1

b' b x

D
3 O

B

x

1'
2'
' ' 3'

C1

A1
[Q]

c1' z

b1'

c'

O
2




c

A

a

[H]

C

d

b1
3

1

c1

a1

y

y
a)

b)

Fig.8.19 Reprezentarea intersecţiei unei prisme cu o dreaptă – metoda secţiunilor transversale : a) în spaţiu ; b) în epură
b) Metoda secţiunilor longitudinale
Fie prisma triunghiulară oblică ABCA1B1C1, cu baza ABC în planul orizontal de proiecţie şi dreapta D, care o intersectează în două puncte (fig. 8.20, a). Pentru aflarea acestor puncte se foloseşte un plan auxiliar secant [P], dus prin dreapta D, care determină în prismă o secţiune longitudinală [1234], paralelă cu muchiile prismei. Planul secant [P] este determinat de dreapta dată şi o dreaptă , concurentă cu aceasta şi paralelă cu muchiile prismei. În epură (fig.8.20, b), se trasează dreapta (δ,δ’) paralelă cu muchiile prismei şi concurentă cu dreapta D(d,d’) în punctul M(m,m’). Se determină urmele orizontale H(h,h’) şi H1(h1,h1’) ale celor două drepte şi se unesc proiecţiile orizontale ale urmelor, obţinându-se urma orizontală a planului secant, P = h  h1. Paralelogramul de secţiune
[1234] are o latură egală cu segmentul 12, după care urma orizontală P taie baza inferioară z B1

[V]
 3

D
M

1

2

A

a)

b

O

'

2

m' b
1
3



d

h'

4



c

P a y h
O

1

[H]

m

c' h1' h1 x

H
C

b'

a'

[P]


H1

'
'

C1



c1' z

b1'

d'

4

A1

B
P

x

a1'

c1

a1
b)

Fig.8.20 Reprezentarea intersecţiei unei prisme cu o dreaptă – metoda secţiunilor longitudinale - a) în spaţiu ; b) în epură

y

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

132

a prismei, iar alte două, paralelele trasate prin 1 şi 2 la muchiile prismei.
Proiecţia orizontală d a dreptei intersectează paralelogramul de secţiune în punctele
 şi . Pentru determinarea proiecţiilor verticale, ’ şi ’ ale punctelor de intersecţie, se ridică linii de ordine din  şi  până pe proiecţia verticală d’ a dreptei, sau se determină proiecţia verticală a paralelogramului de secţiune şi se intersectează aceasta cu proiecţia d’.
În proiecţia orizontală vizibilitatea dreptei D se determină observând că punctul de intersecţie  este pe o faţă vizibilă, iar punctul  pe o faţă invizibilă a prismei, deci proiecţia d este invizibilă din punctul  până la muchia bb1. În proiecţia verticală, d’ este invizibilă de la muchia aa1 la muchia cc1, fiind acoperită de faţa a’c’c1’a1’.
8.3.2 Intersecţia unei piramide cu o dreaptă
a) Metoda secţiunilor transversale
În figura 8.21, a se dă o piramidă oblică SABC şi o dreaptă D(d,d’). Pentru determinarea punctelor în care dreapta intersectează piramida, se utilizează un plan de capăt [Q], care se duce prin dreapta D. Acesta determină secţiunea plană triunghiulară 123, care intersectează dreapta D în punctele  şi , punctele de intersecţie dintre dreaptă şi piramidă. În epură (fig.8.21, b), urma verticală a planului de capăt este suprapusă cu proiecţia verticală a dreptei de intersecţie : Q’  d’. Se găseşte proiecţia verticală a poligonului de secţiune, 1’2’3’, determinată de punctele în care urma Q’ intersectează muchiile piramidei.
Ducând liniile de ordine corespunzătoare se determină proiecţia orizontală a poligonului de secţiune, 123, care este intersectată de proiecţia orizontală d a dreptei în punctele  şi . Se ridică linii de ordine până pe proiecţia verticală d’ a dreptei şi se determină şi proiecţiile verticale ’ şi ’, ale punctelor de intersecţie.
Dreapta D este invizibilă în proiecţie orizontală între  şi muchia bs, iar în proiecţia verticală între ’ şi 3’. s' z
S

[V]

Q'=d'
1'

1



x

O

B

x

a'

3



2' '

'

D

[Q] 2

O
2

s



[H]

1

y
a)

3'

c'

b' b C
A

z


3

a d c

b)

Fig.8.21 Reprezentarea intersecţiei unei piramide cu o dreaptă – metoda secţiunilor transversale : a) în spaţiu ; b) în epură

y

POLIEDRE

133

b) Metoda secţiunilor longitudinale
Pentru determinarea punctelor în care dreapta D(d,d’) intersectează piramida triunghiulară oblică SABC, se foloseşte un plan auxiliar [P], determinat de dreapta D şi vârful piramidei S (fig 8.22, a). Acest plan determină în piramidă secţiunea longitudinală
S12, care este intersectată de dreapta D în punctele  şi .
În epură (fig8.22, b), se determină urma orizontală P a planului [P], ducând prin vârful S(s,s’) o dreaptă (δ,δ’) concurentă cu dreapta D în punctul M(m,m’) şi determinând urmele orizontale H(h,h’) şi H1(h1,h1’) : P = h  h1. Urma orizontală P intersectează proiecţia orizontală a bazei piramidei abc după segmentul 12, generând în piramidă secţiunea longitudinală 12s. Intersecţia proiecţiei orizontale d a dreptei cu proiecţiile secţiunii longitudinale determină proiecţiile  şi . Ridicând linii de ordine se obţin şi proiecţiile verticale ’ şi ’ pentru punctele de intersecţie dintre dreapta D şi piramidă.
Dacă la trasarea laturilor secţiunii longitudinale se respectă vizibilitatea feţelor pe care se găsesc, se determină uşor şi vizibilitatea dreptei de intersecţie. Proiecţia verticală d’ a dreptei este invizibilă între punctul ’ şi muchia c’s’, iar proiecţia orizontală d este invizibilă de la punctul  până la muchia bs. z S

[V]

z

s' d' [P]

' '


D


 M

a'
H

B x 2

H1

' m' h
O

c' h1'

b'


x
O

h' h1 m

b

C



s

2

A
P

[H]

1



y

a
P

1

a)

d

c

b)

y

Fig.8.22 Reprezentarea intersecţiei unei piramide cu o dreaptă – metoda secţiunilor longitudinale - a) în spaţiu ; b) în epură

8.4 Desfăşurarea suprafeţelor poliedrale
Cunoaşterea regulilor de construcţie a desfăşuratelor unor suprafeţe poliedrale este necesară în activitatea tehnică, având în vedere că unele piese componente ale maşinilor şi instalaţiilor se obţin prin înfăşurarea din tablă.
Desfăşurarea unei suprafeţe poliedrale se face prin aducerea feţelor suprafeţei într-un singur plan. Astfel, la desfăşurarea unui poliedru se obţine o figură geometrică plană, dată de alăturarea succesivă a poligoanelor feţelor acestuia.
Pentru a construi grafic desfăşurata unui poliedru trebuie să se cunoască forma şi dimensiunile feţelor laterale cât şi bazele care o delimitează.

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

134
8.4.1 Desfăşurarea prismei

Pentru desfăşurarea suprafeţei laterale a unei prisme trebuie să se cunoască adevărata mărime a unei secţiuni plane normale a ei (perpendiculară pe muchii), astfel încât să se poată efectua desfăşurata în linie dreaptă a poligonului de secţiune şi mărimea reală a muchiilor.
a) Desfăşurarea prismei drepte
Se consideră prisma dreaptă cu baza ABCD un patrulater oarecare (fig.8.23, a).
Pentru determinarea desfăşuratei prismei, se desfăşoară conturul unei secţiuni normale, care în acest caz este chiar baza prismei. Astfel, segmentul A0B0C0D0A0 este egal cu perimetrul patrulaterului de bază ABCD, A0B0 = ab, B0C0 = bc, C0D0 = cd, D0A0 = da
(fig.8.23, b).
Având în vedere că direcţiile muchiilor sunt perpendiculare pe baza prismei, în punctele A0, B0, C0, D0 se ridică perpendiculare egale cu proiecţiile muchiilor din proiecţia verticală, unde acestea se proiectează în adevărată mărime. Pentru construirea bazei pe desfăşurată, se împarte patrulaterul ABCD în două triunghiuri, ABC şi ADB, folosind diagonala BD şi se construiesc aceste triunghiuri alăturate, pornind de la latura B0C0 existentă pe desfăşurata suprafeţei laterale.
Dacă prisma este secţionată cu un plan [P] (plan de capăt) se obţine trunchiul de prismă ABCDA1B1C1D1 (fig.8.23, a). Desfăşurata trunchiului de prismă s-a reprezentat suprapus peste desfăşurata prismei, adică s-a mai reprezentat desfăşurata secţiunii plane
A1B1C1D1, prin punctele A10, B10, C10, D10, măsurând muchiile trunchiului de prismă din proiecţia verticală: A0 A10 = a’a1’, B0 B10 = b’b1’ , C0 C10 = c’c1’, D0 D10 = d’d1’
(fig.8.23, b). Pentru construirea pe desfăşurată a bazei superioare a trunchiului de prismă, este necesar să se determine adevărata mărime a secţiunii plane A1B1C1D1. Astfel, s-a făcut rabaterea planului secant [P], împreună cu secţiunea, pe planul vertical de proiecţie şi s-a determinat patrulaterul a10b10c10d10. Pe desfăşurată acest patrulater s-a reprezentat plecând de la latura C10D10 şi folosind diagonalele a10c10 şi b10d10, cu ajutorul cărora s-au determinat punctele A10 şi B10. a10 z

P'

b1' a' b' b=b1 A10
P0

d10

b10

a1'

x

A10

B10

c10 d1 ' c' d' c' 1 O
Px

d=d1
a)

D10

C10
A0

B0

C0

D0

A0

D0

c=c1 a=a 1

A10

B10

A0

P y b)

Fig.8.23 Desfăşurarea prismei drepte :
a) epura prismei dreapte ; b) desfăşurata prismei drepte şi a trunchiului de prismă

POLIEDRE

135

b) Desfăşurarea prismei oblice
Fie prisma triunghiulară oblică ABCDEF, cu baza ABC în planul orizontal de proiecţie (fig.8.24, a). Muchiile prismei sunt drepte oarecare, iar pentru a desfăşura suprafaţa prismatică dată este necesar, în primul rând, să se cunoască adevărata mărime a muchiilor. Se poate aplica una dintre metodele Geometriei descriptive, cea mai practică în acest caz fiind schimbarea planului de proiecţie. Astfel, se alege un nou plan vertical de proiecţie [V1], paralel cu muchiile prismei (muchiile devin frontale), ceea ce în epură se materializează prin trasarea liniei de pământ O1x1 paralelă cu proiecţiile orizontale ale muchiilor : O1x1  ad  be  cf. Baza inferioară rămâne în planul orizontal de proiecţie, deci noua proiecţie verticală a bazei inferioare, a1’b1’c1’ este pe axa O1x1, iar noua bază superioară rămâne în planul de nivel de cotă z, proiectându-se pe noul plan vertical în d1’e1’f1’. În noua proiecţie verticală muchiile prismei sunt în adevărată mărime : a1’d1’ = AD, b1’e1’ = BE, c1’f1’ = CF.
Al doilea pas în desfăşurarea prismei este determinarea unei secţiuni normale în prismă. Pentru aceasta se duce un plan normal pe muchii, [P] : P  ad, P’  a1’d1’, se determină secţiunea plană MNQ(mnq,m’n’q’) şi apoi prin rabatere pe planul orizontal de proiecţie, se determină adevărata mărime a acestei secţiuni, m0n0q0. Secţionarea prismei cu planul [P] se poate face oriunde pe lungimea muchiilor, deoarece secţiunea normală are aceeaşi mărime. Adevărata mărime a secţiunii normale este necesară pentru a cunoaşte lungimile laturilor poligonului care o determină şi pentru a putea reprezenta apoi, transformata prin desfăşurare a acesteia.
Pe o linie dreaptă se măsoară lungimea laturilor triunghiului de secţiune şi se obţin punctele M0, N0, Q0, M0, M0N0 = m0n0, N0Q0 = m0n0, Q0M0 = q0m0. Având în vedere că muchiile sunt normale pe secţiune, vor fi normale şi în desfăşurată pe transformata prin desfăşurare a secţiunii. În punctele M0, N0, Q0 şi M0 se duc perpendiculare pe care se măsoară lungimile muchiilor, de o parte şi de alta a secţiunii normale: A0M0 = a1’m’, D0M0
= d1’m’, B0N0 = b1’n’, E0N0 = e1’n’, C0Q0 = c1’q’, F0Q0 = f1’q’. d' f'

e'

A0 z A0

a' x b' b c'

O n P q c c 1' m

e n0 q0 d

q' Px m' C0 f N0

M0

M0

D0

D0
E0

n'

F0

P'
a)

Q0

m 0 x1

z

O1 a b '
1
a1 '

A0

B0

d 1' e 1'

f 1'

b)

Fig. 8.24 Desfăşurarea prismei oblice :
a) epura prismei oblice ; b) desfăşurata prismei oblice

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

136

Unind punctele A0, B0, C0, A0 şi D0, E0, F0, D0 se obţine desfăşurata suprafeţei prismatice, care se complectează cu cele două baze. În figura 8.24, b s-a reprezentat numai baza inferioară A0B0C0, pornind de la latura B0C0.
c) Desfăşurarea prismei oblice cu muchiile frontale
Pentru trasarea desfăşuratei prismei din figura 8.25, a se urmăreşte metodologia de la punctul b), cu observaţia că muchiile sunt în adevărată mărime în proiecţia verticală, fiind drepte frontale. Astfel, se duce un plan secant [P] (plan de capăt), perpendicular pe muchii, se determină secţiunea normală [KLMN], se rabate planul [P], împreună cu secţiunea, pe planul orizontal de proiecţie şi se determină adevărata mărime a acestei secţiuni, [k0l0m0n0].
Transformata prin desfăşurare a acestei secţiuni este segmentul K0L0M0N0
(perimetrul secţiunii normale rabătute). Prin aceste puncte se duc perpendiculare şi se măsoară pe ele lungimile corespondente muchiilor, ca în figura 8.25, b. Acestea se iau din proiecţia verticală : A10K0 = a1’k’, K0A0 = k’a’, B10L0 = b1’l’, L0B0 = l’b’,....
Desfăşurata suprafeţei laterale a prismei se complectează cu bazele prismei, acestea construindu-se cu ajutorul diagonalelor B0D0 = bd şi C0A0 = ca şi a laturilor, care se cunosc din proiecţia orizontală.
C 10 a1' b1' d1' c1'

P'

a' x a

k' l' n' m' b' d' c' P
O
x b1 b l l0 m c1 c m0 k a1 k 0 d1 n0 n d
P

D 10

B 10
A 10

K0

A 10

L0

M0
C0

N0 K0
D0
D0

B0

A0

A0
A0

a)

b)

Fig.8.25 Desfăşurarea prismei oblice cu muchiile frontale :
a) epura prismei oblice frontale ; b) desfăşurata prismei oblice frontale
Observaţie : Pentru determinarea desfăşuratei unei prisme se parcurg următoarele etape :
1 - se determină adevărata mărime a muchiilor prismei (dacă este necesar);
2 - se secţionează prisma cu un plan normal pe muchii;
3 - se determină adevărata mărime a secţiunii normale;
4 - pe o linie dreaptă se trasează desfăşurata secţiunii normale;
5 - se măsoară pe perpendiculare trasate prin punctele de pe desfăşurata secţiunii normale, lungimile muchiilor;
6 - se unesc extremităţile muchiilor şi se reprezintă bazele, alăturat unei feţe de pe desfăşurată. POLIEDRE

137

8.4.2 Desfăşurarea piramidei
Pentru desfăşurata laterală a unei piramide trebuie să se cunoască adevărata mărime a muchiilor care o determină, cât şi a laturilor bazei.
a) Desfăşurarea piramidei oblice
Fie piramida oblică SABC, cu baza ABC în planul orizontal de proiecţie (fig.8.26,
a). Laturile patrulaterului de bază sunt în adevărată mărime în proiecţia orizontală, iar pentru determinarea adevăratei mărimi a muchiilor, se aplică una din metodele Geometriei descriptive. În acest caz, cea mai practică este metoda rotaţiei. Se aplică o rotaţie de nivel, tuturor muchiilor piramidei, în jurul unei axe verticale, Z(z,z’), care trece prin vârful S(s,s’) al piramidei. Muchiile se transformă în drepte frontale şi se proiectează în adevărată mărime pe planul vertical de proiecţie, s1’a1’ = SA, s1’b1’ = SB şi s1’c1’ = SC.
Pentru a realiza desfăşurata piramidei se poate trasa, undeva în afara epurei, o dreaptă pe care să se măsoare un segment egal cu una dintre muchii şi să se înceapă cu construirea feţei care conţine acea muchie, ca în figura 8.26, b. Aici desfăşurata a început de la faţa SAB. S-a trasat segmentul de dreaptă S0A0 = s1’a1’. Pentru determinarea punctului
B0, s-au trasat două arce de cerc : unul cu centrul în S0, de rază s1’b1’ = S0B0 şi altul cu centrul în A0, de rază ab = A0B0. La intersecţia lor s-a determinat vârful B0 şi astfel, faţa
S0A0B0 a desfăşuratei piramidei. Celelalte feţe se construiesc similar şi alăturate primei feţe. Desfăşurata suprafeţei laterale se complectează prin construcţia triunghiului de bază, alăturat laturii B0C0.
Dacă în practică se cere localizarea pe desfăşurată a punctului M(m,m’), situat pe muchia SA şi a punctului K(k,k’), situat pe faţa SAC, se procedează astfel :
- pentru punctul M : se găseşte proiecţia m1’ pe muchia rotită, prin translatarea proiecţiei verticale m’ paralel cu axa Ox, până pe muchia s1’a1’, se măsoară lungimea segmentului s1’m1’ şi se transpune pe desfăşurată pe muchia S0A0 , s1’m1’ = S0M0;
A0

a'

l' l b' b c'

O s=z=s1 k

m

k1 ' c1' b1' l1' c1 b1 l1

a1' a1 S0

a

r=

K0

A0 r= M0

c
a)

C0

b)

B0

r = ab

k'

L0

r=

m1'

m'

x

s1 'l

1

ab

'

z' s'=s1'

A0

Fig.8.26 Desfăşurarea piramidei triunghiulare oblice :
a) epura piramidei triunghiulare oblice ; b) desfăşurata piramidei triunghiulare oblice

ab

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

138

- pentru punctul K : se determină dreapta generatoare SL(sl,s’l’) pe care este situat punctul K, k  sl, k’  s’l’, se efectuează rotaţia de nivel pentru această dreaptă, se determină proiecţia k1’ pe generatoarea rotită, se găseşte poziţia generatoarei pe desfăşurată, S0L0 şi apoi se marchează pe ea punctul K0, luând segmentul s1’k1’ = S0K0.
b) Desfăşurarea unei piramide drepte şi a trunchiului de piramidă
Se consideră piramida dreaptă SABCDEF din figura 8.27, cu baza ABCDEF un poligon cu şase laturi, situat în planul orizontal de proiecţie cu centrul în s. Prin secţionarea piramidei cu un plan [Q] se obţine trunchiul de piramidă cuprins între bază şi secţiunea plană determinată de planul [Q]. Pentru desfăşurarea trunchiului de piramidă este necesar să se facă, mai întâi, desfăşurarea piramidei căreia îi aparţine.
A0

F0
E0

M0 U0

T0

M0 s'=S0 N0 u1 '=n1' t1 '=r1 '

u'=n' t'=r' p'
Qx

x

d'

e'=c'

r0

m0 u0 t0

C0

f '=b' b r

a'=A0

O

n m d

p0

R0

B0

c n0 P0
R0

m'=M 0

Q'

D0

P0

N0

p

s

a

u

t
Q

e

f

Fig.8.27 Desfăşurarea piramidei drepte şi a trunchiului de piramidă
Desfăşurata piramidei se face pornind de la muchia SA, cu observaţia că aceasta este în poziţia de frontală, deci în proiecţia verticală se proiectează în adevărată mărime, s’a’ = SA şi că toate celelalte muchii au lungimea egală cu aceasta. Astfel, cunoscând lungimea muchiei şi luând din proiecţia orizontală lungimile laturilor bazei, s-au construit cele şase triunghiuri alăturate care alcătuiesc desfăşurata piramidei.
Poligonul de secţiune făcut de planul [Q] în piramidă, [MNRPTU], este determinat direct, prin intersecţia dintre urma verticală Q’ şi muchiile piramidei. Desfăşurarea trunchiului de piramidă se obţine prin trasarea pe desfăşurata piramidei a transformatei prin desfăşurare a poligonului de secţiune M0N0R0P0T0U0M0, care este o linie frântă.

POLIEDRE

139

Aceasta se poate face în două moduri :
1 - prin rotirea fiecărei muchii, împreună cu punctele secţiunii, în poziţia de frontală
(suprapusă peste muchia SA) şi transpunerea punctelor secţiunii pe muchiile corespunzătoare de pe desfăşurată ; Exemplu : proiecţia t’  r’ se translatează paralel cu axa Ox până pe proiecţia verticală s’a’ a generatoarei frontale, în punctul t1’ , de unde se roteşte până pe generatoarea de pe desfăşurată căruia îi aparţine : t1’ pe generatoarea S0E0, în T0, respectiv r1’ pe generatoarea S0C0, în R0 ;
2 – prin determinarea adevăratei mărimi a secţiunii (rabatere pe planul orizontal de proiecţie, a planului de capăt [Q], împreună cu secţiunea), [m0n0r0p0t0u0], măsurarea fiecărei laturi a secţiunii şi transpunerea ei pe desfăşurată, plecând din M0 cu segmentul
M0N0 = m0n0, N0R0 = n0r0,...., U0M0 = u0m0.
Desfăşurata trunchiului de piramidă se complectează cu baza superioară, a cărei mărime se cunoaşte după rabaterea pe planul orizontal de proiecţie şi dacă este necesar şi cu baza inferioară, a cărei mărime este cea din proiecţia orizontală.
Observaţie : Desfăşurarea unei piramide se face urmărind paşii de mai jos :
1 – se determină adevărata mărime a muchiilor piramidei;
2 – se construiesc, în ordine, triunghiurile care alcătuiesc feţele laterale ale piramidei;
3 – se construieşte baza piramidei, alăturat uneia din feţe.

8.5 Intersecţia suprafeţelor poliedrale
Din intersecţia a două suprafeţe poliedrale rezultă, în general, unul sau două poligoane. Acestea pot fi plane sau strâmbe în spaţiu.
Poligoanele de intersecţie se pot determina printr-una din metodele de mai jos :
1 – determinarea punctelor poligonului, ca puncte în care muchiile unui poliedru intersectează feţele celuilalt poliedru şi reciproc;
2 – determinarea laturilor poligonului, ca segmente de drepte rezultate din intersecţia reciprocă a feţelor celor două poliedre între ele.
Se utilizează de obicei prima metodă, reducând problema intersecţiei a două poliedre la intersecţia unei drepte cu un poliedru, problemă tratată în subcapitolul 8.3.
Determinarea punctelor liniei de intersecţie se face cu ajutorul unor plane auxiliare, convenabil alese şi poartă numele de metoda planelor secante comune.
În rezolvarea intersecţiei dintre două poliedre, în epură, se respectă următoarele etape: 1) determinarea planelor auxiliare secante utile;
2) determinarea punctelor de intersecţie dintre muchiile unui poliedru şi feţele celuilalt;
3) determinarea poligonului de intersecţie prin unirea într-o anumită ordine a punctelor de intersecţie aflate;
4) determinarea vizibilităţii laturilor poligonului de intersecţie.
Construcţia planelor auxiliare secante depinde de natura suprafeţelor intersectate.
La intersecţia poliedrelor se întâlnesc următoarele cazuri :
a) intersecţia a două piramide – planele auxiliare secante trec prin vârful piramidelor;
b) intersecţia a două prisme - planele auxiliare secante sunt paralele cu muchiile prismelor; c) intersecţia unei piramide cu o prismă - planele auxiliare secante trec prin vârful piramidei şi sunt paralele cu muchiile prismei.
Ordinea de unire a punctelor poligonului de intersecţie se face utilizând metoda mobilului sau metoda diagramelor desfăşuratelor convenţionale după cum se va vedea în exemplele următoare.

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

140

Vizibilitatea laturilor poligonului de intersecţie se determină odată cu unirea punctelor de intersecţie dintre muchii şi feţe, având în vedere că o latură a poligonului este vizibilă dacă rezultă din intersecţia a două feţe vizibile ale poliedrelor, în caz contrar latura este invizibilă.
Dacă poligonul de intersecţie este un poligon continuu, intersecţia se numeşte rupere, iar dacă în urma intersecţiei rezultă două poligoane, intersecţia este o pătrundere.
Natura intersecţiei dintre două poliedre poate fi stabilită încă de la trasarea planelor secante comune. Astfel, odată stabilită direcţia lor, când bazele celor două poliedre sunt în acelaşi plan (planul orizontal), se duc urmele orizontale ale planelor prin vârfurile unei baze, acestea intersectând cealaltă bază în două puncte (fig.8.28). Sunt utile numai acele plane care intersectează ambele baze, cel puţin într-un punct. Primul şi ultimul dintre acestea sunt numite plane limită, iar cu ajutorul lor se stabileşte tipul de intersecţie dintre poliedre. Dacă planele limită separă porţiuni nestrăbătute de planele secante pe ambele baze ale poliedrelor, intersecţia este o rupere, poligonul de intersecţie fiind o linie frântă continuă, iar dacă aceste porţiuni sunt pe aceeaşi bază, intersecţia este o pătrundere, poligonul de intersecţie despărţindu-se în două, unul la intrarea şi altul la ieşirea unuia dintre poliedre din celălalt. În figura 8.28, a, urmele orizontale ale planelor limită sunt Pq şi
Pc, porţiunile separate de acestea sunt cele haşurate - intersecţia este o rupere, iar în figura
8.28, b, urmele orizontale ale planelor limită sunt Pb şi Pc, intersecţia fiind o pătrundere.
P

P b q

2

Pq 1

3

4 Pa

a
Pn

6

5

c

Pc
a)

n
7

1

Pn 3 a Pc

2

4

n Pa

5

8

m

q

b

Pb

c
b)

7

6
8

m

Fig.8.28 Stabilirea tipului de intersecţie dintre poliedre : a) rupere ; b) pătrundere
8.5.1 Intersecţia a două piramide
Fie piramidele triunghiulare oblice, S1MNP şi S2ABC, cu bazele în planul orizontal de proiecţie (fig.8.29).
Pentru determinarea poligonului de intersecţie dintre cele două piramide se trasează, în primul rând, planele secante comune. Acestea trebuie să conţină vârfurile celor două piramide şi să treacă pe rând prin muchiile acestora. Având în vedere că piramidele au baza în planul orizontal de proiecţie, este suficientă determinarea urmelor orizontale ale acestor plane, care vor fi date de urma orizontală h, a dreptei (,’) care uneşte vârfurile piramidelor şi de urmele muchiilor, care sunt însăşi vârfurile triunghiurilor bazelor. Planul auxiliar secant, dus prin urma h şi printr-un vârf al bazei uneia dintre piramide, determină în cealaltă o secţiune plană longitudinală, de formă triunghiulară, care va fi intersectată cu muchia prin care s-a dus planul, rezultând puncte ale poligonului de intersecţie.
Planele secante utile, în acest caz, sunt cele duse prin vârfurile m, c, n şi b, iar dintre acestea planele [Pm] şi [Pb] sunt plane limită, ele determinând porţiuni nestrăbătute de planele secante pe ambele baze (porţiunile haşurate). Rezultă că intersecţia este o rupere.

POLIEDRE

141

Planul [Pm] dus prin muchia din m intersectează piramida S2ABC după triunghiul
(1s22, 1’s2’2’), iar acesta la rândul lui este intersectat de muchia MS1 în punctele
M1(m1,m1’) şi M2(m2,m2’). Aceste puncte sunt punctele în care muchia MS1 înţeapă feţele piramidei S2ABC. În mod analog, se determină punctele C3(c3,c3’), C4(c4,c4’) şi respectiv
B7(b7,b7’), B8(b8,b8’), unde muchiile CS2, respectiv BS2 înţeapă feţele piramidei S1MNP şi de asemenea, punctele N5(n5,n5’), N6(n6,n6’) unde muchia NS1 înţeapă feţele piramidei
S2ABC.
Pentru stabilirea ordinii de unire a punctelor de intersecţie obţinute mai sus se aplică una din cele două metode :
- metoda mobilului : se consideră un punct mobil care se deplasează pe poligonul de intersecţie din spaţiu, ocupând consecutiv poziţiile M1, C3, B7, M2, N6, B8, N5, C4 şi M1 s2' z

s1' n6 ' m 2' b '
7

'

m 1' b' a'

h'

n5 ' b 8' c 4' c 3'

c'

x

m'

p'

m
3

a

1

n'

Pc

4

n

c

2

m1

O

c3 c4 -

5

Pm

Pn
Pb

6

7

m2 b h


8 n6 n 5 b7 b 8

p

s1 s2 Fig.8.29 Intersecţia a două piramide oblice

y

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

142

parcurgând astfel întreg poligonul. Dacă se proiectează, paralel cu muchiile piramidelor, respectiv cu feţele acestora, fiecare poziţie ocupată de punctul mobil în spaţiu, pe cele două baze, se obţin punctele m, 3, 7, 3, m, 4, n, 8, n, 4, m, pe baza mnp, respectiv punctele 1, c, b, 6, 2, 6, b, 5, c, 1, pe baza abc. Adică, în timp ce punctul mobil parcurge poligonul de intersecţie, proiecţiile lui parcurg cele două baze, de două ori fiecare porţiune, fără a străbate şi zona haşurată. Între poziţiile punctului mobil şi proiecţiile sale pe baze se creează o legătură biunivocă.
Metoda mobilului utilizată pentru unirea punctelor de intersecţie se bazează pe principiul invers : pornind de la proiecţiile punctului mobil din spaţiu pe cele două baze, proiecţii situate pe aceeaşi urmă a unui plan auxiliar secant, se determină punctele din spaţiu. Pentru urmărirea uşoară a regulii mobilului se întocmeşte tabelul 8.1, în care se înscriu punctele corespunzătoare în ordinea de parcurgere pe cele două baze, cât şi punctele poligonului de intersecţie.
Dacă se porneşte de la planul limită [Pm], proiecţia mobilului pe baza MNP, în planul orizontal, pleacă din punctul m (spre stânga sau spre dreapta), iar pe baza ABC din punctul 1 sau 2; s-a ales punctul 1. Acestor două puncte le corespund, în spaţiu, punctul
M1(m1,m1’). Proiecţiile mobilului se deplasează pe cele două baze în sensul arătat de săgeţi, întâlnind în continuare planul secant [Pc] în punctul c, pe baza abc, şi în punctul 3, pe baza mnp, generând punctul C3(c3, c3’) în spaţiu. Punctul M1 se uneşte cu punctul C3, formând o latură a poligonului de intersecţie. Parcurgând în continuare bazele, proiecţiile mobilului întâlnesc planul secant [Pn] în punctul 5, pe baza abc şi într-un punct notat cu liniuţă (-), pe baza mnp, deoarece nu generează punct în spaţiu.
Planul limită [Pb] este întâlnit de proiecţiile mobilului în punctul 7 pe baza mnp şi în punctul b pe baza abc, rezultând punctul B7(b7,b7’), care se uneşte cu punctul C3.
Proiecţia mobilului pe baza mnp se întoarce spre punctul m, iar proiecţia mobilului de pe baza abc continuă spre punctul 6.
Ordinea de unire a punctelor, în continuare, poate fi urmărită în tabelul 8.1. Tot aici este stabilită şi vizibilitatea laturilor poligonului de intersecţie în cele două proiecţii, fiind reprezentate cu linie continuă feţele (respectiv laturile bazelor) văzute şi cu linie întreruptă feţele nevăzute. Vizibilitatea laturilor poligonului de intersecţie se obţine pe baza principiului că o latură vizibilă se găseşte pe feţe vizibile ale ambelor poliedre, altfel este invizibilă. În proiecţia orizontală se obţin vizibile segmentele : m2n6, n6b8 şi c4m1, iar în proiecţia verticală, segmentele : c3’b7’, b7’m2’, n6’b8’ şi b8’n5’.

m 3
1 c m1 c3

5
-

7 b 6 b7 -

3
-

Tabelul 8.1 m 4 n 8 n 4 m
2 - 6 b 5 c 1 m2 - n6 b8 n5 c4 m1

Vizibilitatea în planul

Piramida S1MNP
Piramida S2ABC
Poligonul de intersecţie (PI)
Piram. S1MNP
[H] Piram. S2ABC
PI
Piram. S1MNP
[V] Piram. S2ABC
PI

- metoda diagramelor desfăşuratelor convenţionale : se consideră o desfăşurare aproximativă a celor două piramide, suprapuse, ducând muchiile paralele şi începând cu muchiile care nu participă la intersecţie (dacă acestea există) la fiecare piramidă.

POLIEDRE

143

În figura 8.30, a este reprezentată diagrama pentru proiecţia pe planul orizontal de proiecţie, începând pentru piramida S2ABC cu muchia s2a, iar pentru piramida S1MNP, cu muchia s1p. S-a format astfel o reţea de linii paralele suprapuse. Convenţional muchiile piramidelor au fost duse paralele, cu toate că ele sunt concurente în vârful piramidelor.
Schematic, suprafaţa dintre două linii consecutive ale reţelei reprezintă o faţă a piramidei.
Se notează cu semnul (+) feţele vizibile, iar cu semnul (-) feţele invizibile din proiecţia orizontală a piramidelor. Se pun pe diagramă punctele în care muchiile unei piramide intersectează feţele celeilalte (cu excepţia muchiilor s1p şi s2a). Exemplu : muchia s1n intersectează faţa s2ab în punctul n6 şi faţa s2bc în punctul n5.
Unirea punctelor de intersecţie se face ţinând seama că o latură a poligonului de intersecţie rezultă ca intersecţia a două feţe, iar din punct de vedere al vizibilităţii, că linia care uneşte două puncte de intersecţie este vizibilă, dacă feţele din intersecţia cărora s-a obţinut sunt vizibile.
Diagrama se repetă, cu aceeaşi structură şi pentru proiecţia piramidelor pe planul vertical de proiecţie (fig.8.30, b). Cele două diagrame sunt identice, mai puţin în ce priveşte vizibilitatea, la cea din figura 8.30, b ţinându-se seama de vizibilitatea feţelor piramidelor din proiecţia verticală. a p n m

+
+
_

+

b

_

b8

n6

a s1 c3

s2

s2

n'

s1

p'

+
_

+

s2

a)

b'

+

b8 '

n6 '

+

_

a' s1' s1'

c4'

b7 ' s2' c'

n5 '

m2'

m'

s1

m1

a' p' s1

c4 b7 s2

+

n5

m2

p

c

c3'

s2'

s2'

m1'

s1' s1' s2'

b)

Fig.8.30 Diagrama desfăşuratelor convenţionale pentru intersecţia prismă - prismă:
a) proiecţia pe planul orizontal ; b) proiecţia pe planul vertical
8.5.2 Intersecţia unei piramide cu o prismă
Fie piramida triunghiulară oblică SABC şi prisma triunghiulară oblică
MNQM1N1Q1, cu bazele situate în planul orizontal de proiecţie (fig.8.31).
Pentru aflarea poligonului de intersecţie dintre cele două corpuri, se determină planele secante comune. Acestea trec prin vârful piramidei şi sunt paralele cu muchiile prismei. Planele secante sunt determinate de două drepte : dreapta D(d,d’), care trece prin vârful piramidei şi este paralelă cu muchiile prismei şi muchiile fiecărui poliedru în parte.
Deoarece poliedrele au bazele în planul orizontal de proiecţie, este suficientă determinarea urmelor orizontale ale planelor auxiliare, care sunt date de urma orizontală h a dreptei D şi vârfurile triunghiurilor de bază. Aceste plane secante determină în cele două poliedre secţiuni plane longitudinale.
Planele utile sunt planele duse prin urma h şi prin vârfurile a, b şi c, dintre care planele [Pc] şi [Pa] sunt plane limită. Porţiunile nestrăbătute de planele secante (porţiunile haşurate) rămân pe aceeaşi bază, mnq; rezultă că intersecţia celor două corpuri este o pătrundere şi se obţin două poligoane de intersecţie.
Planul auxiliar [Pc] intersectează prisma după un paralelogram cu una din laturi dată de segmentul 12, după care urma orizontală Pc intersectează baza mnq. Muchia sc

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

144

intersectează paralelogramul de secţiune în punctele c1 şi c2, puncte ale poligonului de intersecţie. Planul auxiliar [Pb] intersectează baza prismei după segmentul 34, generând în prismă un paralelogram ca secţiune, ce este intersectat de muchia sb în punctele b3 şi b4.
Analog, cu ajutorul planului limită [Pa] se determină punctele a5 şi a6, în care muchia sa intersectează prisma.
Odată determinate punctele poligonului de intersecţie în proiecţie orizontală, cu ajutorul liniilor de ordine corespunzătoare, se găsesc punctele şi în proiecţia verticală. q1 '

n1'

m1'

z

s'

b 3' d' a6 '

a 5'

c 1'

b 4'

c 2' h' q'

n'

c'

m'

x n b

2

1

h

Pc

c

m

b' O

a'

4

Pb 3
5

q

c2
Pa

6

a

c1

d

b3

b4 m1 a 5 a6 n1 s q1

y

Fig.8.31 Intersecţia unei piramide oblice cu o prismă oblică
Pentru aflarea ordinii de unire a punctelor de intersecţie se întocmeşte tabelul 8.2 şi se aplică regula mobilului, plecând cu proiecţiile mobilului pe baza abc din punctul c înspre b, iar pe baza mnq din punctul 1 înspre 3. La prima parcurgere a bazei abc, proiecţia mobilului de pe baza mnq se mişcă pe porţiunea 1-3-5-3-1, neputând trece de planul limită
[Pa], iar la a doua parcurgere a bazei abc, proiecţia mobilului pe baza mnq se deplasează pe traseul 2-4-6-4-2. Se identifică două poligoane de intersecţie, (c2b4a6c2), de intrare şi
(c1b3a5c1), de ieşire a piramidei din prismă. În acest tabel se studiază şi vizibilitatea feţelor poliedrelor în cele două proiecţii şi respectiv, vizibilitatea poligoanelor de intersecţie. În

POLIEDRE

145

proiecţia orizontală sunt vizibile segmentele c1b3 şi a5b3, iar în proiecţia verticală, segmentele b3’a5’ şi a5’c1’, de la un poligon şi b4’a6’, a6’c2’, de la cel de al doilea poligon.

c
1
c1

b
3
b3

a
5
a5

c
1
c1

c
2
c2

Vizibilitatea în planul

Piramida SABC
Prisma MNQM1N1Q1
Poligonul de intersecţie (PI)
Piram. SABC
[H] Prisma MNQM1N1Q1
PI
Piram. SABC
[V] Prisma MNQM1N1Q1
PI

Tabelul 8.2 b a c 4
6
2 b4 a6 c2 În figura 8.32, a şi b s-a studiat modul de unire al punctelor de intersecţie prin metoda diagramelor desfăşuratelor convenţionale, cât şi vizibilitatea laturilor poligonului de intersecţie în planul orizontal, respectiv vertical de proiecţie. q m n q n' _ m' q' q'
+ + _
+
+ a a' s s' a6 a5 a5' a6'
+ b3
+ b3 ' b4 b4' b b' _ s s'
+ c1 c2 c1' c2' c _ s c' s' + a5 a5' a6 a6' a a' s s' q1 q1' n1 m1 q1 n1 ' m1' q1'
a)
b)
Fig.8.32 Diagrama desfăşuratelor convenţionale pentru intersecţia piramidă - prismă:
a) pentru proiecţia pe planul orizontal ; b) pentru proiecţia pe planul vertical
8.5.3 Intersecţia a două prisme
Se consideră prismele oblice cu bazele ABC şi EFG, situate în planul orizontal de proiecţie (fig.8.33).
Pentru construirea poligonului de intersecţie dintre cele două prisme se determină direcţia urmei orizontale a planelor auxiliare, care să fie paralele cu muchiile celor două prisme. Astfel, printr-un punct oarecare I(i,i’) din spaţiu, se trasează două drepte concurente, paralele cu muchiile prismelor şi se determină urmele lor orizontale,
H1(h1, h1’) şi H2(h2, h2’). Urma orizontală P a planului auxiliar va trece prin urmele orizontale h1 şi h2, ale dreptelor, P = h1  h2.
Ducând plane secante comune, paralele cu urma orizontală P, prin muchiile prismelor se observă că rămân porţiuni nestrăbătute de acestea pe ambele baze, deci intersecţia va fi o rupere şi se va obţine un singur poligon de intersecţie.
Planele utile limită sunt [Pm], dus prin vârful m al bazei mnr şi [Pc], dus prin vârful c al bazei abc. Planele auxiliare secţionează longitudinal prismele, determinând secţiuni de forma unor paralelograme care au una din laturi segmentul de intersecţie dintre urmele orizontale ale planelor secante şi bazele prismelor. Aceste secţiuni sunt intersectate de muchia prin care s-a dus planul secant în două puncte, puncte care aparţin poligonului de intersecţie dintre cele două prisme.

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

146

Planul [Pm] dus prin muchia din m determină o secţiune în prisma cu baza abc cu una din laturi, segmentul 12, care este intersectată de muchia ml în punctele m1 şi m2.
Analog, cu ajutorul planului [Pb] se determină punctele b3 şi b4, în care muchia bf intersectează prisma mnr, iar cu ajutorul planului [Pr], punctele r5 şi r6, în care muchia rt intersectează feţele prismei mnr.
Planul limită dus prin muchia din c determină o secţiune longitudinală în prisma mnr, care este intersectată în punctele c7 şi c8 de muchia cg.
Pentru determinarea punctelor poligonului de intersecţie în proiecţia verticală, fie se găsesc secţiunile plane şi în proiecţia verticală şi se intersectează cu proiecţiile verticale ale muchiilor, fie se trasează liniile de ordine corespunzătoare din proiecţia orizontală până pe muchiile respective în proiecţia verticală.
Odată determinate cele două proiecţii ale punctelor poligonului de intersecţie, pentru aflarea ordinii de unire a lor, se complectează tabelul 8.3 conform regulii mobilului studiată anterior. Proiecţiile mobilului pe cele două baze pleacă de la punctele determinate pe cele două baze de planul limită Pc. Astfel, pe baza abc se pleacă din punctul c, iar pe t' b 3'

a'

g'

e'

z

b 4' m 2' m1 ' r 6'

b'

f'

k'

l'

c8 '

d 2'

d 1'

c 7' r5 '

i'

c'

h 1'

r'

m'

h 2'

n'

O

e

x

d1

i

l

d2

h1

h2

m2 m1 t a 2

b3

1

b
Pr

f

b4 k r6

r5

g

c7

m

c8

5

Pm

Pb

4

3

6

c

P

r
8
7

n

Fig.8.33 Intersecţia a două prisme oblice

Pc

y

POLIEDRE

147

Vizibilitatea în planul

baza mnr, din punctul 8, urmărind săgeţile marcate pe cele două baze (tabelul 8.3).
În tabelul 8.3 s-a analizat şi vizibilitatea laturilor poligonului de intersecţie, pornind de la vizibilitatea feţelor prismelor, respectiv a laturilor bazelor pe care se deplasează proiecţiile mobilului în cele două plane de proiecţie, orizontal şi vertical. În plan orizontal sunt vizibile segmentele c7r6, m2b4 şi b4c8, iar în plan vertical, doar segmentul c7’r6’. Cu aceste observaţii se pot uni punctele de intersecţie în ordinea stabilită în tabelul 8.3.
Tabelul 8.3
Prisma ABCEFG c 5 1 5 c 6 b 2 b c
Prisma MNREKT
8 - m r 7 r 3 m 4 8
Poligonul de intersecţie (PI) c8 - m1 r5 c7 r6 b3 m2 b4 c8
Prisma ABCEFG
[H] Prisma MNREKT
PI
Prisma ABCEFG
[V] Prisma MNREKT
PI
Şi în acest caz se poate determina ordinea de unire al punctelor de intersecţie prin metoda diagramelor desfăşuratelor convenţionale, pentru prisma ABCEFG pornind cu muchia AE, iar pentru prisma MNREKT, cu muchia NF, ambele neparticipând la intersecţie. În figura 8.34, a s-a reprezentat metoda diagramelor cu ordinea de unire a punctelor şi cu studiul vizibilităţii pentru proiecţia pe planul orizontal, iar în figura 8.34, b, aceeaşi diagramă dar pentru proiecţia prismelor pe planul vertical de proiecţie. a n m +
_

m2

b4

+ e +

_

c

r6

f

t

n'

m1

e

m'

k

r'

t

n'

c7 g a)

a'

a

r5

c8

b3

r n b

+

e

_
_

_

m2'

b'

b4 '

+

c'

_

c8'

t'

r6 '

+ f' m1'

e'

r5'

b3 '

e'

a'

k'

c7' g' t' e' b)

Fig.8.34 Diagrama desfăşuratelor convenţionale pentru intersecţia prismă - prismă:
a) pentru proiecţia pe planul orizontal ; b) pentru proiecţia pe planul vertical
În cazul poliedrelor aflate în poziţii particulare, determinarea poligonului de intersecţie se face după metodele stabilite în cazurile generale, rezolvarea simplificându-se datorită poziţiilor poliedrelor.
În figura 8.35 se prezintă intersecţia dintre o prismă dreaptă, cu baza ABCDE şi o prismă frontală, cu baza KMN, ambele baze fiind situate în planul orizontal de proiecţie.
Pentru determinarea punctelor poligonului de intersecţie se folosesc plane auxiliare de front, care se duc prin muchiile uneia dintre prisme, intersectând-o pe cealaltă. Planele limită sunt cele duse prin muchia din n, Fn şi din m, Fm. Porţiunile din baze nestrăbătute de planele secante sunt pe aceeaşi bază (porţiunile haşurate), deci intersecţia va fi o pătrundere şi se vor obţine două poligoane de intersecţie.
Planul limită [Fn] conţine muchia NN1 şi intersectează cealaltă prismă după o secţiune dreptunghiulară verticală, cu una din laturi segmentul 12. Intersecţia dintre

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

148

muchia n’n1’ şi dreptunghiul de secţiune se evidenţiază în proiecţia verticală, determinând punctele de intersecţie n1’ şi n2’.
De asemenea, planul [Fa], care conţine muchia AA1, determină în cealaltă prismă o secţiune patrulateră frontală, cu una din muchii segmentul 34. Intersecţia dintre muchia a’a1’ şi această secţiune determină punctele a3’ şi a4’, în proiecţia verticală. Celelalte puncte ale poligonului de intersecţie se determină în mod similar. a1' b1'

e1'

d1'

c1'

z k1' k8 '

m1'

n1'

d5' d6' m12' m11' k7' b9' b10' n1'

a3' x a4'

k'

n2'

b'

e' c'

O

d'

3' 4' n' a'

m'

e
Fn

n
Fa

n1

2

1

a

3
4

Fd

d

5

Fk

6

k

8

7

Fb

9
10

Fm

k1

b

m

m1

12

11

y

c
Fig.8.35 Intersecţia unei prisme drepte cu o prismă oblică

Unirea punctelor de intersecţie pentru trasarea poligonului de intersecţie se face după întocmirea tabelului 8.4, folosind metoda mobilului. Cele două poligoane au fost trasate în proiecţia verticală, unde a fost studiată şi vizibilitatea laturilor acestora, în proiecţia orizontală proiecţiile intersecţiei suprapunându-se peste baza prismei drepte.

Prisma ABCDE
1
Prisma MNK n Poligonul de intersecţie (PI) n1
Vizibilitate Prisma ABCDE în planul Prisma MNK
[V]
PI

a
3
a3

7 k k7

b 11 b
9 m 10 b9 m11 b10

a
4
a4

1 n n1

2 n n2

d
5
d5

Tabelul 8.4
8 12 d
2
k m 6 n k8 m12 d6 n2

POLIEDRE

149

8.6 Probleme rezolvate
1. Fie o prismă triunghiulară oblică, ce are baza ABC în planul orizontal de proiecţie : A(130,50,0), B(85,25,0), C(120,15,0) şi muchia AA1 : A1(50,80,60). Să se determine proiecţiile punctelor de intersecţie dintre dreapta D(d,d’) : M(110,50,30),
N(60,22,10) şi prismă şi să se figureze acestea pe desfăşurata prismei.
Rezolvare : pentru determinarea punctelor de intersecţie dintre dreaptă şi prismă se trasează prin dreaptă un plan de capăt Q’  d’, care secţionează prisma după triunghiul (123,1’2’3’).
Acesta este intersectat de dreapta D în punctele (,’) şi (,’), punctele de intersecţie cu prisma. Pentru desfăşurata prismei se trasează o nouă linie de pământ O1x1, paralelă cu proiecţiile orizontale ale muchiilor, în vederea efectuării unei schimbări de plan vertical de proiecţie. Se obţin astfel, noile proiecţii verticale ale muchiilor prismei a2’a3’ = b2’b3’ = c2’c3’ în adevărată mărime. Cu ajutorul planului [P] se determină o secţiune normală pe muchii RST, a cărei adevărată mărime se obţine prin rabatere pe planul orizontal de proiecţie în r0s0t0. Se desfăşoară în linie dreaptă secţiunea normală R0S0T0R0 şi se trasează perpendicular pe ea, muchiile prismei : a2’a3’ = A0A10, b2’b3’ = B0B10, c2’c3’ = C0C10. Se unesc extremităţile muchiilor şi se obţine desfăşurata laterală a prismei.
Pentru a figura pe desfăşurată punctele de intersecţie cu dreapta, în epură s-au trasat dreptele generatoare pe care sunt situate acestea : punctul  pe 4, iar punctul  pe 5, atât în proiecţie orizontală cât şi în noua proiecţie verticală. S-au determinat pe desfăşurată punctele 40 şi 50, de pe bază : C040 = c4, C050 = c5, şi s-au trasat, paralel cu muchiile segmentele : 400 = 41’1’ şi 500 = 51’1’. a1' c1'

m' 1'
3' '
'

2'

3

5

41'

O1 c2 '

O

A0





b

2

m
5 1'

1

b 2'

P s r

Px
 '

'

A0

B0

n

t

40

50

d

c

a a 2'

d'=Q'

b'

a' c'

4

C0

n'

x

b1 '

 '

'

c1 t0 s0

R0

S0

T0

R0

b1

a1 r0 s'

A10

C 10

x1

P' t' r'

B 10 c 3' a 3' b 3'
Fig.8.36 Rezolvarea problemei 1

A 10

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

150

Problema are aplicabilitate în tehnică la diferite rezervoare din tablă, de formă poliedrală, străbătute de conducte, fiind necesară localizarea pe desfăşurată a punctelor prin care trec acestea.
2. Se consideră piramida triunghiulară oblică SABC, având baza situată în planul orizontal de proiecţie, A(120,75,0), B(75,55,0), C(135,30,0), şi vârful S(45,15,90) şi planul
[P] : OPx = 8, OPy = -8, OPz = -5. Să se determine adevărata mărime a secţiunii plane făcută de planul [P] în piramidă şi să se determine desfăşurata trunchiului de piramidă obţinut. Rezolvare : în urma intersecţiei dintre fiecare muchie a piramidei cu planul [P] se obţine triunghiul de secţiune RTU : hv  as = r, h1v1  bs = t, h2v2  cs = u. Adevărata mărime a triunghiului RTU, r0t0u0, se obţine prin rabatere pe planul orizontal de proiecţie, având ca axă de rabatere urma orizontală P (fig.8.37).
Desfăşurata trunchiului de piramidă obţinut prin secţionarea piramidei SABC cu planul [P], se determină pe desfăşurata piramidei. Se determină poziţiile vârfurilor triunghiului de secţiune pe muchiile rotite : r1’, t1’, u1’, prin translatarea proiecţiilor verticale r’, t’, u’, paralel cu axa Ox şi apoi rotirea lor pe muchiile de pe desfăşurată, în jurul vârfului s’ : s1’r1’ = S0R0, s1’t1’ = S0T0, s1’u1’ = S0U0. Alăturat desfăşuratei laterale se mai reprezintă şi bazele A0B0C0 = abc, R0T0U0 = r0t0u0, care completează desfăşurata trunchiului de piramidă.
C0
U0

z z' s'=s1'=S0

B0

T0

P'

U0

C0

v 2' v' u'

u1 '=U0

v 1' t' a'

x

Px

b'

Pz

s=z

u

t 1'
O b 1'

r 1'

b1

c

P t r

b

h1

t0

a h h2

A0

Py

r' c' R0

u0

r0
ABC

y

Fig.8.37 Rezolvarea problemei 2

a1' c1 '=C 0 a1 c1

POLIEDRE

151

8.7 Probleme propuse
1. Să se desfăşoare prisma frontală ABCA1B1C1 , cu baza un triunghi echilateral
ABC situat în planul orizontal de proiecţie : A(90,50,0), B(65,20,0) şi muchia AA1,
A1(25,50,50).
2. Să se desfăşoare piramida oblică SABCD, cu baza un pătrat ABCD situat în planul orizontal de proiecţie ; A(120,40,0), B(90,15,0) şi vârful S(10,10,80).
3. Se consideră prisma triunghiulară oblică ABCA1B1C1, având baza inferioară
ABC situată în planul orizontal de proiecţie : A(100,30,0), B(95,10,0), C(75,5,0), iar baza superioară într-un plan de nivel : A1(40,60,40) şi planul [P] : OPx = 35, P’  a’a1’, P  aa1.
Să se determine adevărata mărime a secţiunii făcută de planul [P] în prismă şi să se desfăşoare prisma.
4. Se consideră piramida patrulateră oblică, având baza ABCE situată în planul orizontal de proiecţie : A(20,35,0), B(10,10,0), C(30,5,0), E(45,15,0) şi vârful S(70,65,60).
Să se determine desfăşurata piramidei şi să se găsească punctele de intersecţie dintre dreapta D(d,d’) : M(60,30,15), N(10,50,40) şi piramida VABCE şi să se figureze acestea pe desfăşurată.
5. Să se determine adevărata mărime a secţiunii plane făcută de planul [P] :
OPx = 20, OPy = -45, OPz = -24, în prisma triunghiulară oblică, definită de baza ABC :
A(135,45,0), B(75,20,0), C(120,15,0) şi muchia AA1 : A1(30,90,90). Să se determine şi desfăşurata prismei.
6. Să se construiască secţiunea plană determinată de planul [P] : OPx = 30,
OPy = , OPz = -20, în piramida SABCE : S(20,5,75), A(100,10,0), B(75,45,0),
C(110,55,0), E(120,35,0) şi să se desfăşoare trunchiul de piramidă obţinut în urma secţionării cu planul [P].
7. Se consideră prisma patrulateră oblică ABCEA1B1C1E1, având baza situată în planul orizontal de proiecţie, muchiile paralele cu AA1 : A(40,46,0), B(23,50,0),
C(17,36,0), E(30,23,0), A1(78,24,35) şi dreapta D(d,d’) : H(75,60,0), V(29,0,26). Să se determine punctele de intersecţie dintre dreaptă şi prismă, să se desfăşoare prisma şi să se figureze pe desfăşurată punctele de intersecţie cu dreapta.
8. Se consideră piramida patrulateră oblică SABCE, având baza situată în planul orizontal de proiecţie, A(20,35,0), B(10,10,0), C(30,5,0), E(45,15,0) şi vârful S(70,65,60) şi planul [P] : OPx = 90, OPy = , OPz = 45. Să se determine adevărata mărime a secţiunii plane făcută de planul [P] în piramidă şi să se determine desfăşurata piramidei.
9. Să se construiască secţiunea plană determinată de planul [P] : OPx = 10,
OPy = -10, OPz = , în prisma patrulateră oblică ABCEA1B1C1E1 : A(45,65,0), B(60,40,0),
C(90,60,0), E(75,95,0) E1(135,65,60), cu muchiile paralele cu EE1. Să se determine adevărata mărime a secţiunii şi să se desfăşoare prisma.
10. Să se figureze pe desfăşurata piramidei triunghiulare oblice SABC : S(10,5,60),
A(105,35,0), B(45,45,0), C(90,70,0), punctele de intersecţie dintre piramidă şi dreapta
D(d,d’) : M(60,25,30), N(40,40,15).
11. Se consideră prisma frontală ABCEA1B1C1E1 cu baza un pătrat ABCE, situată în planul orizontal de proiecţie, A(60,20,0), B(40,10,0), A1(20,19,30). Pe muchia AA1 se fixează punctul M(47,yM,zM). Să se determine proiecţiile celui mai scurt drum care uneşte punctele A1 şi M, înconjurând prisma.
12. Se consideră piramida triunghiulară oblică, având baza ABC situată în planul orizontal de proiecţie, A(70,55,0), B(33,38,0), C(83,26,0) şi vârful S(7, 5,50). Să se determine desfăşurata piramidei şi să se figureze pe aceasta punctele de intersecţie dintre dreapta D(d,d’) : H(15,50,0), V(62,0,38) şi piramidă.

152

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

13. Să se desfăşoare piramida oblică SABC, cu baza un triunghi echilateral ABC situat în planul orizontal de proiecţie : A(120,70,0), B(90,20,0) şi vârful S(20,10,70). Să se vizualizeze pe desfăşurată punctul M(60,30,zM), de pe faţa SAB.
14. Să se determine în adevărată mărime secţiunea plană determinată de planul [P] :
OPx = 170, OPy = , OPz = 55, în piramida triunghiulară oblică SABC : A(55,20,0),
B(105,35,0), C(70,75,0), S(150,95,80) şi să se desfăşoare piramida.
15. Se consideră prisma patrulateră oblică ABCEA1B1C1E1, având baza ABCE situată în planul orizontal de proiecţie, A(10,28,0), B(5,17,0), C(17,4,0), E(28,7,0),
A1(48,41,42) şi planul [P] : OPx = 50, P’ a’a1’, P  aa1. Să se determine adevărata mărime a secţiunii făcută de planul [P] în prismă şi să se desfăşoare prisma.
16. Fie o piramidă patrulateră oblică, cu baza ABCE situată în planul orizontal de proiecţie, A(50,50,0), B(25,35,0), C(40,20,0), E(55,30,0), vârful S(110,10,50) şi planul
[P] : OPx = 125, OPy = , OPz = 40. Să se determine adevărata mărime a secţiunii făcute de planul [P] în piramidă şi să se desfăşoare piramida.
17. Să se desfăşoare prisma frontală ABCDA1B1 C1D1, cu baza un pătrat ABCD situat în planul orizontal de proiecţie : A(60,20,0), B(50,5,0) şi muchia AA1 :
A1(10,20,50). Să se figureze pe desfăşurată punctul M(30,10,zM), de pe faţa ABB1A 1.
18. Să se determine adevărata mărime a secţiunii plane făcută în piramida SABC :
S(95,5,75), A(20,40,0), B(35,20,0), C(55,65,0) de planul [P], care trece prin linia de pământ şi prin punctul M(10,15,20) (Indicaţie : secţiunea se obţine direct în proiecţia pe planul lateral). Să se desfăşoare trunchiul de piramidă obţinut.
19. Fie o prismă patrulateră oblică, ce are baza ABCE în planul orizontal de proiecţie : A(60,65,0), B(35,45,0), C(25,20,0), E(45,30,0) şi muchia CC1 : C1(115,30,50).
Să se determine proiecţiile punctelor de intersecţie dintre dreapta D(d,d’) : I(80,40,10),
J(65,55,20) şi prismă şi să se figureze acestea pe desfăşurata prismei.
20. Să se desfăşoare piramida SABC : S(20,10,100), A(110,100,0), B(50,70,0),
C(140,50,0) şi să se noteze pe aceasta punctele în care dreapta D(d,d’) : H(30,90,0),
V(160,0,60) intersectează piramida.
21. Se dă prismă patrulateră oblică, ce are baza ABCD în planul orizontal de proiecţie : A(70,30,0), B(60,60,0), C(10,70,0), D(30,10,0) şi muchia AA1 : A1(125,70,95).
Să se determine pe suprafaţa prismei cel mai scurt traseu care uneşte vârfurile A şi A1, înconjurând prisma.
22. Se consideră piramida triunghiulară oblică SABC : S(60,35,40), A(20,25,0),
B(5,10,0), C(40,10,0). Să se desfăşoare piramida şi să se găsească pe desfăşurată poziţia punctelor în care dreapta D(d,d’) : E(35,30,20), F(15,35,30) intersectează piramida.
23. Să se determine poligonul de intersecţie dintre prisma ABCA1B1C1 şi piramida
SMNR : a) A(76,10,0), B(113,14,0), C(100,33,0), A1(17,47,65), S(90,60,60), M(21,44,0),
N(4,20,0), R(53,18,0);
b) A(240,80,0), B(205,123,0), C(155,90,0), A1(170,10,120), S(240,0,160),
M(20,120,0), N(60,60,0), R(140,100,0).
24. Să se determine poligonul de intersecţie dintre prisma ABCA1B1C1 şi prisma
MNRM1N1R1 : a) A(140,40,0), B(150,65,0), C(120,80,0), A1(73,5,62), M(55,60,0),
N(45,90,0), R(75,80,0), M1(115,14,60);
b) A(240,67,0), B(257,28,0), C(180,24,0), A1(75,140,120), M(54,53,0),
N(87,102,0), R(132,28,0), N1(170,105,145).
25. Să se determine poligonul de intersecţie dintre piramida S1ABC şi piramida
S2MNR (S2MNRT): a) S1(85,70,45), A(60,4,0), B(7,17,0), C(33,60,0), S2(36,84,84),
M(107,12,0), N(85,50,0), R(70,160,0);
b) S1(275,17,152), A(115,90,0), B(15,70,0), C(80,140,0),
S2(165,63,95), M(240,75,0), N(185,10,0), R(124,35,0), T(150,105,0).