[pic] |DIVISIÓN DE ARQUITECTURA, DISEÑO E INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Examen Final de Cálculo Avanzado
Nombre________________________________________Mat._____________Gpo:___ Calif.________
A | |Instrucciones. En esta sección del examen no se considerará el procedimiento que desarrolles para contestar el ejercicio, de tal forma que se te recomienda tener cuidado al seleccionar tu respuesta. I. ( 3 puntos cada una ) Determina si cada una de las siguientes aseveraciones son V verdaderas o F falsas.
(____) 1. Considera el conjunto de ecuaciones paramétricas [pic] ; [pic]. Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación rectangular [pic]
(____)2. El valor de la pendiente de la recta tangente a la curva [pic] ; [pic] , en [pic] es 75.
(____) 3. La integral que representa la longitud de arco de la curva [pic] ; [pic] , en el intervalo [pic] es [pic] (____) 4. La representación polar de la ecuación [pic] es [pic]
(____) 5. El producto vectorial de dos vectores u [pic] v = 0 , si y solo si u y v son múltiplos escalares uno del otro.
(____) 6. El dominio de la función [pic] es [pic]
(____) 7. Considera la función [pic], el resultado de [pic] es[pic].
(____) 8. [pic]
(____) 9. Si [pic], entonces [pic]
(____) 10. La derivada direccional de la función [pic], en el punto P(1,[pic] y en dirección del vector v = -i es [pic]
(____) 11. Multiplicación de Números Complejos: ( 2 + 3i)(4 - 5i) = 23 + 2i
(____) 12. El módulo [pic] y el argumento [pic]del número z = -4+i son: [pic] , [pic] Instrucciones. En esta sección del examen se te pide que incluyas todos los procedimientos que realizas para llegar a la solución de los ejercicios, deben estar escritos en forma limpia, clara y ordenada. En caso de que los procedimientos no avalen tu resultado, el ejercicio NO será calificado.
II. ( 10 puntos cada uno ) En cada uno de los siguientes ejercicios resuelve lo que se te pide.
1. Determina el área de la región que se encuentra dentro del círculo [pic] y fuera del cardioide [pic]( Ver gráfica )
[pic]
2. Demuestre, utilizando vectores que los puntos ( 2, 2, 2) , ( 0 , 1, 2 ) , ( -1, 3 , 3 ) y ( 3, 0 , 1 ) , son los vértices de un paralelogramo.
3. Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos [pic] y [pic] y es perpendicular al plano [pic]
4. La función [pic] representa la Posición de una partícula en el espacio en el instante [pic]. Determina: a) Vector velocidad b) Vector Posición c) Rapidez de la partícula al tiempo [pic]
5. La temperatura en el punto (x,y) de una placa metálica es : [pic] a) Determina la dirección de mayor incremento de calor en el punto ( 3 , 4) b) ¿ Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento de la temperastura en ese punto ?
6.Distribución de temperatura. Sea [pic] la temperatura en cada punto sobre la esfera [pic]. Hallar la temperatura máxima en la curva formada por la intersección de la esfera y el plano [pic] .
7. Determina el volumen de la región sólida que se encuentra sobre la región plana
R: triángulo acotado por [pic] y bajo la gráfica de la función
[pic]. ( [pic] )
FORMULARIO.
Area en coordenadas polares: A = [pic] ; [pic]
Longitud de arco. [pic]
Coordenadas de un vector representado por el segmento de recta de P a Q v = < q1 – p1 , q2 – p2 , q3 – p3 >
Angulo entre dos vectores.
[pic]
Ecuaciones Paramétricas y simétricas de la recta en el espacio
[pic] , [pic] , [pic].
[pic]
Ecuación de un Plano en el espacio.
[pic]
Distancia de un punto a un plano.
La distancia de un punto a un plano Q ( no en el plano ) es:
[pic] . Donde P es un punto en el Plano y n es normal al plano.
La fórmula anterior es equivalente a la fórmula: [pic]
Distancia de un punto a una recta en el espacio.
La distancia de un punto Q a una recta en el espacio está dada por:
[pic]
Donde u es un vector de dirección
Derivada Direccional. [pic] = [pic]u
Gradiente de una Función. [pic]i + [pic]j
Números Complejos: z = x + iy
Conjugado de z [pic] Módulo de z [pic]
Argumento de z [pic] 