1 Ligninger
Du skal redegøre for løsningsmetoder for ligninger. Herunder også andengradsligninger.
Ligninger med én ubekendt:
En ligning med én ubekendt er et udtryk med en variabel (oftest x) og et lighedstegn. En løsning til ligningen er en værdi for den variable (x), der giver samme resultat på begge sider af lighedstegnet. Der findes mange forskellige ligninger, båge enkle og vanskelige ligninger. En af de enkle ligninger er: x-4=5 Løsningen er det x der gør at venstresiden (3x+4) er lig højresiden (7). I praksis løser man ligninger ved at isolere x på den ene side af lighedstegnet.

Regler for omformning af ligninger:
Det er tilladt at: * Lægge samme tal eller ubekendt/variabel til på begge sider af lighedstegnet. * Trække samme tal eller ubekendt/variabel fra på begge sider af lighedstegnet. * Gange med samme tal eller ubekendt/variabel på begge sider af lighedstegnet, blot tallet ikke er nul eller den ubekendte/variablen ikke har værdien nul. * Dividere med samme tal eller ubekendt/variabel på begge sider af lighedstegnet, blot tallet ikke er nul eller den ubekendte/variablen ikke har værdien nul.
Når vi jeg hjælp af reglerne for omformning af ligninger omformer en ligning til en anden, bruger jeg dobbeltpilen , som her: x-4=5 x=5+4 x=9 Se matematikbog side 20 og 21, for eksempler.

To ligninger med to ubekendte:
Hvis to variable (x og y) optræder i to ligninger der er sammenhørende kan de værdier af x og y der opfylder begge ligninger i mange tilfælde beregnes. Dette kan gøres ved at isolere den ene variabel i den ene ligning og så indsætte den i den anden. Dette ilustreres i følgende eksempel:
Se matematikbog side 22 for eksempel.
Andengradsligninger:
En andengradsligning er en ligning af formen ax2 + bx + c = 0, hvor det skal gælde at a er forskellig fra nul (a≠0).
Denne form kaldes for andengradsligningen grundform.
Dermed kan vi se at det at løse en andengradsligning er det samme som at finde rødder eller nulpunkter i et andengradspolynomium med regneforskriften f(x) = ax2 + bx + c.
Sætning for rødder i andelgradspolynomiet:
Hvis d≥0, udregnes rod eller rødder ved formlen: x=-b±d2a Hvor diskriminanten (d) som er defineret ved d=b2-4ac.
Når der står ± foran kvartatrodstegnet betyder det at man til den ene løsning skal regne med +, til den anden regne med -. Man kan derfor opskrive formlen som 2 løsninger: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Hvis d = 0 ser vi at x1 = x2, eller med andre ord, at der netop er en rod.
Se eksempler i bogen side 66 – 69.

Bevis for nulpunkter i andengradspolynomium:
Ideen i beviset er at omskrive ligningen ax2+bx+c=0 ved hjælp af kvadratrodsætningen:
(a+b)2=a+b∙a+b=a2+b2+2ab.
Derved får man omskrevet ligningen til en form hvor det ses at beviset må opdeles i tre tilfælde: d<0, d=0 eller d>0.
Jeg starter med at gange ligningen ax2+bx+c=0 med 4a på begge sider af lighedstegnet (vi husker at vi antog at a≠0, så jeg har lov til at gange med 4a). Da fås:
4aax2+4abx+4ac=0
Jeg lægger b2-4ac til på begge sider af lighedstegnet og får:
4aax2+4abx+4ac+b2-4ac=b2-4ac
Som kan reduceres til:
4aax2+4abx+b2=b2-4ac
For nemmere at kunne anvende kvadratrodssætningen omskrives venstresiden:
(2ax)2+b2+2∙2axb=b2-4ac
Her genkender jeg venstresiden som ”kvadratet på en toleddet størrelse” Derfor kan jeg omskrive venstresiden til:
2ax+b∙2ax+b=b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
Højresiden kan jeg genkende som diskriminanten (d), så nu har jeg:
(2ax+b)2=d
Jeg har omskrevet ax2+bx+c=0 til ligningen (2ax+b)2=d, og vi kunne gå den anden vej og komme tilbage til ax2+bx+c=0.

Jeg må nu opdele løsningen af ligningen i tre tilfælde:
Hvis d<0:
Venstre siden er et kvadrat (2ax+b)2, så det kan aldrig være et negativt tal. Så hvis diskriminanten d<0 er der ingen løsning på ligningen.
Hvis d=0: Jeg har da ligningen:
(2ax+b)2=0, Da må gælde at:
2ax+b=0, da 0=02, nu kan jeg bare løse ligningen:
2ax=-b
x=-b2a
Hvis d>0: Jeg har altså ligningen:
(2ax+b)2=d, da d>0 er det tilladt at skrive:
(d)2=d Da både negative og positive tal i anden kan give det samme må altså gælde:
2ax+b=-d, eller 2ax+b=d
Hvis jeg kalder den ene løsning for x1og den anden for x2 , kan jeg altså løse ligningerne:
2ax1=-b-d
x1=-b-d2a
Og: 2ax2=-b+d x2=-b+d2a Man skal være opmærksom på at en andengradsligning, netop fordi det er en ligning, godt kan tage sig anderledes ud end grundformen ax2 + bx + c = 0.

2. vækstmodeller
Du skal redegøre for karakteristiske egenskaber ved den lineære funktion f(x) = ax + b, samt lineær regression:
Lineære funktioner er karakteriseret ved:
1. At grafen er en ret linje (eller en del af en ret linje)’
2. At regneforskriften er f(x) = ax + b
3. At de absolutte tilvækster for x og for y er proportionale: ∆y=a∙∆x
At de absolutte tilvækster for x og y er proportionale detyder følgende:
Ser man på en absolut tilvækst for x kaldet ∆x og den tilsvarende absolutte tilvækst for y (∆y), så vil ∆y∆x = a.
Hvis a = 1 vil den absolutte tilvækst i x (∆x) være lige så stor som den absolutte tilvækst i y (∆y).
Hvis a = 3 vil den absolutte tilvækst i y være 3 gange så stor som den absolutte tilvækst i x.
Tallet a er den såkaldte hældningkoefficient.
Hældnings koefficienten a, for en lineær defineres altså som den tilvækst der er i y-værdien, når x-værdien øges med en.
Hvis man har de to punkter x1,y1og x2,y2 på grafen for den lineære funktion beregner man hældnings koefficienten (a) ved formlen: a=∆y∆x=y2-y1x2,-x1 Sætning 1:
For en lineær funktion er forholdet mellem de absolutte tilvækster for y-værdierne og x-værdierne konstant. Konstanten er netop hældnings koefficienten (a).
Når man kender a anvender man forskriften og fx punktet x1,y1til at finde b: b=y1-a∙x1 Se eksempler i bogen side 37.

Jeg tager udgangspunkt i at grafen for den lineære funktion går gennem de to punkter x1,y1 og x2,y2.

Og vi husker at a, for en lineær funktion defineres som den tilvækst der er i y-værdien, når x-værdien øges med 1
Og forholdet mellem de absolutte tilvækster for y-værdierne og x-værdierne er konstant. Konstanten er netop hældnings koefficienten (a).
Jeg kan af tegningen slutte følgende:
Forholdet mellem længderne (x2-x1) og en af de to vandrette sider er: x2-x11=x2-x1 Forholdet mellem længderne (y2-y1) og a af de to lodrette sider er: y2-y1a x2-x1=y2-y1a= a∙x2-x1=y2-y1= a=y2-y1x2-x1

Sætning 2:
Forskriften for en lineær funktion med en hældningskoeeficient på a er f(x) = ax + b hvor tallet b er y-værdien hvor grafen skærer y-aksen.

Indsætter disse værdier i stedet for, og hældningskoefficienten er så: a=fx-bx-0= a=fx-bx= ax=fx-b fx=ax+b
Dermed er sætningen bevist.

Sætning 3:
Hvis en funktion har en regneforskrift af formen f(x)=ax+b, er det en lineær funktion:
Jeg tager udgangspunkt i at der altid kan tegnes en ret linje mellem to punkter. Og jeg tager udgangspunkt i at ∆y∆x=hældningskoefficienten a, og at b er y-værdi ved x = 0.

Jeg tegner en ret linje gennem punkterne (0,b) og (1,b + a).
Denne rette linje har hældningskoefficient a ifølge mit første bevis. Og ifølge mit andet bevis har den rette linje som jeg vælger at kalde for g(x), regneforskriften g(x)= ax + b. Da f(x) som jeg nævnte i starten også har denne forskrift, er det også en lineær funktion.

3. vækstmodeller
Du skal redegøre for karakteristiske egenskaber ved den eksponentielle funktion f(x) = b∙ax, samt eksponentiel regression:
Potenser er et tal ganget med sig selv et vist antal gange. Hvis a er et vilkårligt tal og n et naturligt tal, definerer vi: an=a∙a…∙a (n fakorer)
Tallet a betegnes grundtallet i potensen, og n betegnes eksponenten.
Kopi af potensregler vedlagt!

Eksponentiel vækst:
Eksponentielle funktioner er karakteriseret ved:
1. At regneforskriften er f(x) = b∙ax, hvor x er et reelt tal og a og b er positive tal (normalt er a≠1)
2. At samme absolutte tilvækst i x-værdien giver samme relative vækst i y- værdien : y2=y1∙a∆x
3. At grafen er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
En eksponentiel funktion er voksende når a>1, og aftagende når a er mellem 0 og 1.
Da det kræves i en eksponentiel funktion at a>0 og b>0 vil alle grafer for eksponentielle funktioner ligge over x-aksen.

Vækstegenskab:
Hvis man betragter regneforskriften fx=b∙ax og undersøger hvad der sker med y – værdien når man lægger et tal ∆x til et givet x0. fx0+∆x=b∙ax0+∆x=b∙axo∙a∆x= fx0∙a∆x
Heraf ses at lægger vi et tal ∆x til x0 uanset hvilket x0 skal man altid gange f(x0)∙a∆x.

Andre egenskaber:
Ud fra 2 punkter (x1,y1) og (x2,y2) på grafen for en eksponentiel funktion kan man beregne a ved formlen: a=x2-x1y2y1 Når man kender a, anvender man eksempelvis punktet (x1,y1) til at finde b. b=y1ax1 Indsætter vi 0 i regneforskriften (fx=b∙ax) fås b∙a0=b. Heraf ses at b er y-værdien i skæringspunktet mellem grafen og y- aksen.

Titalslogaritmen:
Jeg vil nu betragte en særlig eksponentiel funktion, hvor b = 1 og a = 10, og regneforskriften er dermed fx=10x, spejler man grafen for denne særlige eksponentielle funktion i linjen y=x, får man grafen for den såkaldte titalslogaritme som vi her vil beregne med log(x).
Egenskaberne for titalslogaritmen hænger nøje sammen med egenskaberne for y = 10x.

Titalslogaritmens egenskaber: log(x) er udelukkende defineret for positive tal. log er en voksende funktion.
Der gælder følgende regneregler for titalslogaritmen:
1. logx1∙x2=logx1+logx2
2. log⁡(x1x2)= logx1-logx2
3. logxr=r∙log⁡(x)
Der gælder at 10log(x) = x, og log(10x) = x. Her ses at 10x og log(x) er modsatte operationer der så at sige ophæver hinanden.
Fordoblingskonstant og halveringskonstant for eksponentiel vækst se bilag!
4. Andengradspolynomier:
Du skal redegøre for bestemmelse af toppunkt samt rødder for andengradspolynomiet:
Et andengradspolynomium er en funktionstype med forskriften af formen: fx=ax2+bx+c Hvor a, b og c er konstanter og a er forskellig fra nul (a≠0)
Grafen for andengradspolynomiet kaldes en parabel.
Når en parabel er graf for en funktion, vil den enten vende ”benene” opad eller nedad.
(Tegn 2 parabler)
Fortegnet a bestemmer hvilken vej benene skal vende.
Punktet hvor parablen ”vender” kaldes toppunktet.
En parabel er symmetrisk omkring den lodrette linje der går gennem toppunktet.
Jo større a er, jo mere samlede er benene.
Toppunktsformlen:
Koordinaterne for toppunktet T kan beregnes ved: x,y=-b2a, -d4a, hvor d=b2-4ac
Konstanten d betegnes diskriminanten, en størrelse der også anvendes når rødderne (nulpunkterne) i andengradspolynomiet skal bestemmes.
Af toppunktets x-værdi -b2a, kan man se at det udelukkende er a og b der har indflydelse på.
Parablen skærer y-aksen i c.

Rødder i andengradspolynomiet:
Der findes en formel til at regne rødderne i andengradspolynomiet: x=-b±d2a Hvis d=0, har parablen kun en rod. (Lige der hvor toppunktet skærer x-aksen)
Hvis d>, har parablen to rødder.
Hvis d<0, har andengradspolynomiet ingen rødder.
Når der står ± foran kvartatrodstegnet betyder det at man til den ene løsning skal regne med +, til den anden regne med -. Man kan derfor opskrive formlen som 2 løsninger: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Hvis d = 0 ser vi at x1 = x2, eller med andre ord, at der netop er en rod.

Bevis for nulpunkter i andengradspolynomium:
Ideen i beviset er at omskrive ligningen ax2+bx+c=0 ved hjælp af kvadratrodsætningen:
(a+b)2=a+b∙a+b=a2+b2+2ab.
Derved får man omskrevet ligningen til en form hvor det ses at beviset må opdeles i tre tilfælde: d<0, d=0 eller d>0.
Jeg starter med at gange ligningen ax2+bx+c=0 med 4a på begge sider af lighedstegnet (vi husker at vi antog at a≠0, så jeg har lov til at gange med 4a). Da fås:
4aax2+4abx+4ac=0
Jeg lægger b2-4ac til på begge sider af lighedstegnet og får:
4aax2+4abx+4ac+b2-4ac=b2-4ac
Som kan reduceres til:
4aax2+4abx+b2=b2-4ac
For nemmere at kunne anvende kvadratrodssætningen omskrives venstresiden:
(2ax)2+b2+2∙2axb=b2-4ac
Her genkender jeg venstresiden som ”kvadratet på en toleddet størrelse” Derfor kan jeg omskrive venstresiden til:
2ax+b∙2ax+b=b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
Højresiden kan jeg genkende som diskriminanten (d), så nu har jeg:
(2ax+b)2=d
Jeg har omskrevet ax2+bx+c=0 til ligningen (2ax+b)2=d, og vi kunne gå den anden vej og komme tilbage til ax2+bx+c=0.

Jeg må nu opdele løsningen af ligningen i tre tilfælde:
Hvis d<0:
Venstre siden er et kvadrat (2ax+b)2, så det kan aldrig være et negativt tal. Så hvis diskriminanten d<0 er der ingen løsning på ligningen.
Hvis d=0: Jeg har da ligningen:
(2ax+b)2=0, Da må gælde at:
2ax+b=0, da 0=02, nu kan jeg bare løse ligningen:
2ax=-b
x=-b2a
Hvis d>0: Jeg har altså ligningen:
(2ax+b)2=d, da d>0 er det tilladt at skrive:
(d)2=d Da både negative og positive tal i anden kan give det samme må altså gælde:
2ax+b=-d, eller 2ax+b=d
Hvis jeg kalder den ene løsning for x1og den anden for x2 , kan jeg altså løse ligningerne:
2ax1=-b-d
x1=-b-d2a
Og: 2ax2=-b+d x2=-b+d2a Bevis for toppunkt i andengradspolynomium:
Toppunktsformlen her igen: x,y=-b2a, -d4a, hvor d=b2-4ac
Starter med udgangspunktet fx=ax2+bx+c
Til at finde et toppunkt, altså et maksimum eller et minimum, så skal man altid udersøge f’(x)=0. Der bruger jeg altså differentialregning: f'x=2ax+b Så sætter jeg: f'x=0 2ax+b=0
Så isolerer jeg x og finder x-koordinaten:
2ax=-b
x=-b2a
Y-koordinaten er lidt mere besværlig:
Jeg sætter x ind i andengradspolynomiets forskrift: f-b2a=a-b2a2+b∙-b2a+c f-b2a=ab24a2+-b22a+c f-b2a=b24a+-b22a+c f-b2a=b24a-2b24a+4ac4a

f-b2a=b2-2b2+4ac4a

f-b2a=-b2+4ac4a
Diskriminanten kender jeg: d=b2-4ac Her er kun forskellen +4ac i stedet for -4ac. Det vil sige at fortegnet for d altså må skifte til minus også: f-b2a=-d4a Og det er jo lige præcis toppunktets y-værdi, jeg skriver begge værdier her: x,y=-b2a,-d4a 5. Andengradspolynomier:
Du skal redegøre for andengradspolynomief f(x) = ax2 + bx + c og dets karakteristiske egenskaber:
Et andengradspolynomium er en funktionstype med forskriften af formen: fx=ax2+bx+c Hvor a, b og c er konstanter og a er forskellig fra nul (a≠0)
Grafen for andengradspolynomiet kaldes en parabel.
Når en parabel er graf for en funktion, vil den enten vende ”benene” opad eller nedad.
Fortegnet a bestemmer hvilken vej benene skal vende.
Punktet hvor parablen ”vender” kaldes toppunktet.
En parabel er symmetrisk omkring den lodrette linje der går gennem toppunktet.
Jo større a er, jo mere samlede er benene.
Toppunktsformlen:
Koordinaterne for toppunktet T kan beregnes ved:
T=x,y=-b2a, -d4a, hvor d=b2-4ac
Konstanten d betegnes diskriminanten, en størrelse der også anvendes når rødderne (nulpunkterne) i andengradspolynomiet skal bestemmes.
Toppunktet er den laveste værdi for parablen hvis a er positiv, toppunktet er den højeste værdi hvis a er negativ:
Man kan bestemme fortegnene for a, b, c og d ved at kigge på en parabel:

(Tegn en graf)
På denne graf kan jeg se at andengradspolynomiet konstanten a er positiv, og jeg kan se at b er positiv, da parablens toppunkt ligger til venstre for y-aksen, og:
-b2a=-b2a
Jeg kan regne ud at c er positiv idet: f0=0∙x2+0∙x+c f0=c
Jeg kan desuden vide at d, er positiv idet:
-d4a=-d4a

Polynomiers rødder (nulpunkter):
Man kan regne polynomiers rødder ved formlen: x=-b±d2a Når der står ± foran kvartatrodstegnet betyder det at man til den ene løsning skal regne med +, til den anden regne med -. Man kan derfor opskrive formlen som 2 løsninger: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Som bekendt gælder at diskriminanten: d=b2-4ac Faktorisering:
Hvis et andengradspolynomium har rødderne x1og x2 kan det faktoreres. Der gælder nemlig følgende omskrivning: fx=ax2+bx+c=ax-x1(x-x2) Hvis diskriminanten d = 0 har andengradspolynomiet en rod. I så fald vil x1=x2. Da kan faktoriseringen ske på samme måde som hvis x1 og x2 er forskellige.
Hvis andengradspolynimiet ingen rødder har, kan det ikke faktoriseres.
Bevis for faktorisering:
Jeg skal bevise at: fx=ax2+bx+c=ax-x1x-x2, når x1 og x2 er rødder. ax-x1x-x2=ax2-x∙x2-x1∙x+x1∙x2= ax2-x1+x2x+x1∙x2
Nu vil jeg se på x1+x2:
Hvis x1 og x2 er rødder i f gælder: x1=-b+d2a x2=-b-d2a
Da fås: x1+x2=-b+d2a+-b-d2a= -b+d-b-d2a=-2b2a= x1+x2=-ba Endvidere ses at: x1∙x2=-b+d2a∙-b-d2a= b2+b∙d-b∙d-d24a2= b2-d4a2=b2-b2-4ac4a2= 4ac4a2= x1∙x2=ca Nu indsætter jeg mine værdier: ax2-x1+x2x+x1∙x2=ax2--bax+ca= fx=ax2+bx+c

6. Trigonometri:
Cosinus sinus og tangens beskriver sammenhængen mellem en vinkel og to sider i en retvinklet trekant.
Den vinkel der indgår, er altid den vinkel som ikke er ret.
Cosv=hoshyp
Sinv=modhyp
Tanv=modhos
Først vil jeg definere Cos, sin og tan ud fra enhedssirklen.
Cirkel med radius 1.
Vinkel v.
Vilkårlig trekent
Tangens trekant
Cos/sin trekant.
De trekanter man regner på har sjældent hypotenusen 1. Derfor vil jeg gerne komme frem til de sætninger for cos, sin og tan vi kender så godt.
Finder nu forstørrelsesfaktoren på den støre og lille trekant: hyp1=hyp Nu skal jeg så have forstørret den modstående og den hosliggende katete op: covv∙hyp=hos cosv=hoshyp sinv∙hyp=mod sinv=modhyp
Jeg kan også bevise at modhos=tanv:
Finder nu forstørrelsesfaktoren på den større og mellem trekant: hos1=hos tanv∙hos=mod tanv=modhos Bevis for sinusrelationen: asin⁡(a)=bsin⁡(b)=csin⁡(c) Tegn trekant med A , B , C , a , b , c og h
1. del går ud på at højden ligger inden i trekanten
Der er også hvor højden ligger uden for trekant.
Vi skal have udtrykt h på 2 måder.
Det kan man gøre ved at bruge de to trekanter. sinA=hch=sin⁡(A)∙c sinC=hah=sin⁡(C)∙a
2 måder at udtrykke h, sætter dem lig med hinanden: sinA∙c=sinC∙asinA∙csinA=sinC∙aSinA c=sinC∙aSinA csin⁡(c)=sinCsinC∙asin⁡(A) asin⁡(A)=csin⁡(C)
Hvis man drejer trekanten vil man kunne regne b, samme princip.
Nu ligger højden uden for trekanten:
(tegn A , B , C , a , b ,c og h), med C (180-C):
Ligesom før have udtrykt h på 2 forskellige måder:
Starter med den store retvinklede. sinA=hch=c∙sinA Den lille trekant kender vi ikke vinkel C helt præcist.
Sin180-C=hah=sin⁡(180-C)∙a
Hvis vi se på enhedscirklen:
Man kan se på enhedscirklen at det er det samme.
Derfor udskifter jeg 180-C med C: h=sin⁡(C)∙a Regner nu: sinC∙a=sinA∙c sinC∙asinA=c asin⁡(A)=csin⁡(C) 8. Differentialregning:
Du skal redegøre for hvad der forstås ved en differental funktion gør rede for differentialkvotient og tangent.
Differential funktion: Vi kalder en funktion for differentiabel hvis grafen for funktionen har en tangent i alle punkter.
Se videre side 85 + 86 for grafer.

Differentialkvotient:
Jeg starter med at kigge på polynomiet: fx=x2 Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = x02.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=(x0+h)2=x02+h2+2∙x0∙h Dermed:
∆f=fx0+h-fx0=x02+h2+2∙x0∙h-x02=h2+2∙x0∙h
Hældningskoefficienten for sekanten (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=h2+2∙x0∙hh=h+2x0 Dermed: f'x0=limh→0h+2x0=0+2x0 f'x0=2x0

Differentialkvotient med stor ligning: fx=ax2+bx+c Hvis den skal differentieres gøres det på denne måde: f'x=2ax2-1+1bx1-1+c-c=2ax+b Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = ax02+bx0+c.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=ax0+h2+bx0+h+c=ax02+h2+2∙x0∙h+bx0+bh+c= ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c
∆f=fx0+h-fx0=ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c-(ax02+bx0+c)=
ah2+2∙a∙x0∙h+bh
Hældningskoefficienten for sekanten (tangenten) (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=ah2+2ax0h+bhh=ah+2ax0+b Dermed: f'x0=limh→0ah+2ax0+b=a∙0+2ax0+b f'x0=2ax0+b

Differentation af f(x)=xn:
Den sidste type jeg vil differentiere er: fx=xn Hvor den afledte funktion er: f'x=nxn-1 Første tirn: fx0+h=x0+hn=x0+hx0+h∙…∙x0+h ,n gange.
(x0+h)n=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Derfor bliver altså:
∆f=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Andet trin:
∆f∆x=x0n+nx0n-1∙h+led med h2 eller højere potens af hh= nxn-1+(led med h eller højere potens af h)

Tredje trin: f'x=limh→0∆fh= f'x=limh→0=nx0n-1+led med h eller højere potens af h= nx0n-1+0= f'x=nx0n-1
Den afledte funktion.

Bestemmelse af tangentens ligning:
Hvis en ret linje går gennem punkterne (x,f(x)) og (x0,f(x0)) kan man: a=fx-fx0x-x0 ax-x0=fx-fx0 ax-x0=fx-fx0 fx=ax-x0+f(x0)
Vi ved at a = f’(x0), derfor er tangentens ligning: y=f'(x0)∙x-x0+f(x0) 9. Differentialregning:
Du skal redegøre for følgende begreber : monotoniforhold, ekstrema, og fortolkning af differentialkvotient for en differentiabel funktion.
Differential funktion: Vi kalder en funktion for differentiabel hvis grafen for funktionen har en tangent i alle punkter.
Se videre side 85 + 86 for grafer

Differentialkvotient med stor ligning: fx=ax2+bx+c Hvis den skal differentieres gøres det på denne måde: f'x=2ax2-1+1bx1-1+c-c=2ax+b Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = ax02+bx0+c.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=ax0+h2+bx0+h+c=ax02+h2+2∙x0∙h+bx0+bh+c= ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c
∆f=fx0+h-fx0=ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c-(ax02+bx0+c)=
ah2+2∙a∙x0∙h+bh
Hældningskoefficienten for sekanten (tangenten) (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=ah2+2ax0h+bhh=ah+2ax0+b Dermed: f'x0=limh→0ah+2ax0+b=a∙0+2ax0+b f'x0=2ax0+b

Differentation af f(x)=xn:
Den sidste type jeg vil differentiere er: fx=xn Hvor den afledte funktion er: f'x=nxn-1 Første tirn: fx0+h=x0+hn=x0+hx0+h∙…∙x0+h ,n gange.
(x0+h)n=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Derfor bliver altså:
∆f=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Andet trin:
∆f∆x=x0n+nx0n-1∙h+led med h2 eller højere potens af hh= nxn-1+(led med h eller højere potens af h)

Tredje trin: f'x=limh→0∆fh= f'x=limh→0=nx0n-1+led med h eller højere potens af h= nx0n-1+0= f'x=nx0n-1
Den afledte funktion.

Monotoniforhold:
Fortegnet for f’(x) , angiver om funktionen er voksende eller aftagende.
Voksende f'(x)>0
Aftagende f'(x)<0
Hvis x1<x2, vil f'(x1)<f'(x2) f'x=∆f∆x Forklar med forskellige positive og negative tal, og kig på tidligere bevis.

Hvis en differentiabel funktion har lokalt maksimum eller minimum i x0, vil f'x0=0 igen f'x=∆f∆x
Kun hvis delta f = 0.
∆f=fx+h-fx=0
∆x=h

Ekstrema:
Man finder lokale maksima og minima (samlet kaldet extrema) ud fra x værdier hvor f’(x)=0:
Men det er ikke altid lokalt maksimum eller minimum, hvis funktionen opfører sig uartigt.
Se evt side 109.

10. Differentialregning:
Du skal redegøre for hvad der forstås ved en differental funktion gør rede for differentialkvotient og tangent.
Differential funktion: Vi kalder en funktion for differentiabel hvis grafen for funktionen har en tangent i alle punkter.
Se videre side 85 + 86 for grafer

Differentialkvotient med stor ligning: fx=ax2+bx+c Hvis den skal differentieres gøres det på denne måde: f'x=2ax2-1+1bx1-1+c-c=2ax+b Finder punktet (x0,y0) og derefter et hjælpepunkt hvor y0=f(x0) = ax02+bx0+c.
Hjælpepunktet er: (x0+h, f(x0+h). Som jeg vælger at kalder for (a).
Dernæst regner jeg forskellen på y-værdierne: fx0+h=ax0+h2+bx0+h+c=ax02+h2+2∙x0∙h+bx0+bh+c= ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c
∆f=fx0+h-fx0=ax02+ah2+2∙a∙x0∙h+bx0+bh+c-(ax02+bx0+c)=
ah2+2∙a∙x0∙h+bh
Hældningskoefficienten for sekanten (tangenten) (a) udregnes: a=∆f∆x=∆fh=ah2+2ax0h+bhh=ah+2ax0+b Dermed: f'x0=limh→0ah+2ax0+b=a∙0+2ax0+b f'x0=2ax0+b

Differentation af f(x)=xn:
Den sidste type jeg vil differentiere er: fx=xn Hvor den afledte funktion er: f'x=nxn-1 Første tirn: fx0+h=x0+hn=x0+hx0+h∙…∙x0+h ,n gange.
(x0+h)n=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Derfor bliver altså:
∆f=x0n+nx0n-1∙h+(led med h2 eller højere potens af h)

Andet trin:
∆f∆x=x0n+nx0n-1∙h+led med h2 eller højere potens af hh= nxn-1+(led med h eller højere potens af h)

Tredje trin: f'x=limh→0∆fh= f'x=limh→0=nx0n-1+led med h eller højere potens af h= nx0n-1+0= f'x=nx0n-1
Den afledte funktion.

Monotoniforhold:
Fortegnet for f’(x) , angiver om funktionen er voksende eller aftagende.
Voksende f'(x)>0
Aftagende f'(x)<0
Hvis x1<x2, vil f'(x1)<f'(x2) f'x=∆f∆x Forklar med forskellige positive og negative tal, og kig på tidligere bevis.

Hvis en differentiabel funktion har lokalt maksimum eller minimum i x0, vil f'x0=0 igen f'x=∆f∆x
Kun hvis delta f = 0.
∆f=fx+h-fx=0
∆x=h

Ekstrema:
Man finder lokale maksima og minima (samlet kaldet extrema) ud fra x værdier hvor f’(x)=0:
Men det er ikke altid lokalt maksimum eller minimum, hvis funktionen opfører sig uartigt.
Se evt side 109.

11. Integralregning:
Du skal redegøre for bestemmelse af stamfunktioner og hvorledes disse kan anvendes til bestemmelse af arealer:
Integralregning er den modsatte funktion af differential regning den kaldes også integeration og stamfunktionsbestemmelse. Fxer stamfunktion til fxhvis:
F'x=f(x)
Ofte benyttes skrivemåden:
Fx=f(x)dx
Det læses ”det ubestemte integral af f” eller ”en stamfunktion til f”
Eksempler på integralregning: fx=2x, er Fx=x2 en stamfunktion til f fordi:
F'x=x2'=2x=f(x)

Fx=x2+7x=fxdx=2x+7
Gx=x2+7x+5 er også stamfunktion
Gx=fxxdx=x2+7+0
Når man tjekker om man har fundet den rigtige stamfunktion kaldes det integrationsprøven.

Hvis F er en stamfunktion til funktionen f, vil alle funktioner af formen G(x)=F(x)+k , hvor k er en konstant, også være stamfunktioner til f.
Bevis:
At F er en stamfunktion til f betyder at F'x=fx.
Vi differentierer funktionen Gx=Fx+k:
G'x=F'x+k'=F'x+0=fx=G(x) G(x) er også stamfunktion til f.
Hvis funktionen f er defineret i et interval og har stamfunktionen F. Så er alle stamfunktioner til f defineret ved : Gx=Fx+k, hvor k selvfølgelig er en konstant.
Gxer jo også stamfunktion til f:
G'x=f(x) og danner nu funktionen:
Hx=Gx-Fx.
Differentierer nu H:
H'x=G'x-F'x=
fx-fx=0
H differentieret til nul betyder at den er konstant:
Hx=k
H(x) er jo:
Hx=Gx-Fx=k
Som kan omskrives:
Gx=Fx+k
Så har jeg bevist at alle stamfunktioner til f er defineret ved det.