, Incerteza :: EXERCÍCIOS
1. Considere uma loteria com três possíveis resultados: uma probabilidade de
0,1 para o recebimento de $100, uma probabilidade de 0,2 para o recebimento de
$50 e uma probabilidade de 0,7 para o recebimento de $10.
a.

Qual é o valor esperado dessa loteria?
O valor esperado, VE, da loteria é igual à soma dos retornos ponderados por suas probabilidades:

VE = (0.1)($100) + (0.2)($50) + (0.7)($10) = $27.
b.

Qual é a variância dos resultados dessa loteria?
A variância, σ2, é a soma dos quadrados dos desvios da média, $27, ponderados por suas probabilidades: σ2 = (0.1)(100 - 27)2 + (0.2)(50 - 27)2 + (0.7)(10 - 27)2 = $841.

c.

Quanto uma pessoa neutra a riscos pagaria para participar dessa loteria?
Uma pessoa neutra a riscos pagaria o valor esperado da loteria:
$27.

2. Suponha que você tenha investido em uma nova empresa de computadores cuja lucratividade dependa de: (1) aprovação ou rejeição, por parte do Congresso dos EUA, de um imposto de importação que aumente o preço de venda dos computadores japoneses, e (2) crescimento lento ou rápido da economia dos EUA.
Quais seriam os quatro cenários (mutuamente exclusivos) com os quais você deveria se preocupar?
Os quatro cenários mutuamente representados da seguinte forma:

exclusivos

podem

ser

O Congresso aprova a tarifa

O Congresso não aprova a tarifa Taxa de crescimento baixa

Cenário 1:
Baixo crescimento com tarifa

Cenário 2:
Baixo crescimento sem tarifa Taxa de crescimento alta

Cenário 3:
Crescimento rápido com tarifa

Cenário 4:
Crescimento rápido sem tarifa 3. Richard está decidindo sobre a aquisição de um bilhete da loteria estatal.
Cada bilhete custa $1, e a probabilidade dos seguintes prêmios é apresentada na tabela abaixo:
Probabilidade

Retorno

0,50
0,25

$1,00

0,20

$2,00

0,05

a.

$0,00

$7,50

Qual seria o valor esperado do payoff de Richard caso ele adquirisse um bilhete de loteria? Qual seria a variância?
O valor esperado da loteria é igual à soma dos retornos ponderados por suas probabilidades:

VE = (0,5)(0) + (0,25)($1,00) + (0,2)($2,00) + (0,05)($7,50) = $1,025
A variância é a soma dos quadrados dos desvios da média, $1,025, ponderados por suas probabilidades: σ2 = (0,5)(0 - 1,025)2 + (0,25)(1 - 1,025)2 + (0,2)(2 - 1,025)2 + (0,05)(7,5 - 1,025)2, ou σ2 = $2,812.
b.

O apelido de Richard é “Rick sem risco”. Trata-se de uma pessoa extremamente avessa a riscos. Ele adquiriria o bilhete?
Um indivíduo extremamente avesso a riscos provavelmente não compraria o bilhete, apesar do ganho esperado ser maior que o preço, $1,025 > $1,00. A diferença no retorno esperado não seria suficiente para compensar Rick pelo risco de aquisição do bilhete.
Por exemplo, se sua riqueza fosse $10 e ele comprasse um bilhete de $1,00, ele obteria, sob cada um dos possíveis cenários, $9,00,
$10,00, $11,00, e $16,50, respectivamente. Supondo que sua função de utilidade fosse U = W0,5, onde W é sua riqueza, sua utilidade esperada seria:
EU = (0.5)(90.5 )+ (0.25)( 0.5 )+ (0.2 )(110.5 )+ (0.05)(
10
16.50.5 ) = 3.157. que seria menor que a utilidade obtida sem o bilhete, 3.162:
(U(10) = 100,5 = 3,162). Ele preferiria uma renda certa igual a $10.

c.

Suponha que tenha sido oferecido a Richard um seguro contra a perda de qualquer quantia. Se ele adquirisse 1.000 bilhetes de loteria, qual valor ele estaria disposto a pagar para segurar sua aposta?
Se Richard comprasse 1.000 tickets, seu ganho esperado seria
$1.025 menos o montante pago de $1.000, ou seja, $25.
Possivelmente, ele não compraria nenhum seguro, tendo em vista que o retorno esperado, $1.025, seria maior que o custo, $1.000; a aquisição de um número elevado de bilhetes poderia funcionar como um seguro indireto para ele. Entretanto, dado que Richard é avesso a riscos, ele possivelmente estaria disposto a comprar o seguro. O montante que ele estaria disposto a pagar para evitar o

risco seria dado pelo prêmio de risco. Veja a figura 5.4 no texto.
Para calcular o prêmio de risco, é necessário conhecer a função de utilidade de Richard. Se a função de utilidade fosse U = W0,5, a utilidade esperada associada à aquisição dos 1.000 bilhetes de loteria seria:
EU = (0.5)(00.5 )+ (0.25)(
1000 0.5 ) + ( 0.2)(20000.5 )+ ( 0.05)(7500 0.5 )= 21.18. que seria menor que a utilidade associada à sua riqueza certa de
$1000, dada por U=10000,5=31,62. Para calcular o prêmio de risco, é necessário, primeiro, calcular o nível de renda que garantiria a
Richard a utilidade de 21,18, que é $448,59. Ele estaria, portanto, disposto a pagar até $1000-$448,59=$551,41 para segurar sua aposta. d.

A longo prazo, levando em consideração o preço do bilhete de loteria e as informações da tabela anterior sobre probabilidade/retorno, o que você imagina que o governo faria a respeito dessa loteria?
No longo prazo, a loteria irá à falência! Dado o preço do bilhete e as probabilidades envolvidas, a loteria é deficitária. O governo deveria aumentar o preço do bilhete ou reduzir a probabilidade dos ganhos positivos.

4.
Suponha que um investidor esteja preocupado com uma escolha de investimentos envolvendo três alternativas possíveis, cujas respectivas probabilidade e retornos são os seguintes:
Probabilidade

Retorno

0,2

$100

0,4

50

0,4

-25

Qual é o valor esperado do investimento incerto? Qual é sua variância?
O valor esperado do retorno nesse investimento é

VE = (0,2)(100) + (0,4)(50) + (0,4)(-25) = $30,
A variância é σ2 = (0,2)(100 - 30)2 + (0,4)(50 - 30)2 + (0,4)(-25 - 30)2 = $2.350.
5. Você é um corretor de seguros e deve preencher uma apólice para um novo cliente cujo nome é Sam. A empresa de Sam, a Sociedade para Alternativas
Criativas para a Maionese (SACM), está trabalhando no desenvolvimento de um substituto para a maionese contendo baixos teores de gordura e colesterol, que será fornecido à indústria de condimentos de sanduíche. Esta última pagaria altas somas em dólares para o primeiro que inventasse um substituto para a

maionese. A SACM tem para você o aspecto de uma empresa de alto risco. Você já calculou os possíveis retornos de Sam e os apresentou na tabela a seguir.
Probabilidade

Retorno

0,999
0,001

a.

-$1.000.000
$1.000.000.000

(Sam vai à falência)
(Sam é bem-sucedido e vende sua fórmula)

Qual é o retorno esperado do projeto de Sam? Qual é sua variância?
O retorno esperado, ER, do investimento é

ER = (0,999)(-1.000.000) + (0,001)(1.000.000.000) = $1.000.
A variância é σ2 = (0,999)(-1.000.000 - 1.000)2 + (0,001)(1.000.000.000 - 1.000)2 , ou σ2 = 1.000.998.999.000.000.
b.

Qual seria o maior valor que Sam estaria disposto a pagar pelo seguro?
Suponha que ele seja neutro a riscos.
Tendo em vista que Sam é neutro a riscos e o resultado esperado é
$1.000, Sam não está disposto a contratar o seguro.

c.

Suponha que você tenha descoberto que os japoneses estão na iminência de lançar seu próprio substituto para a maionese já no próximo mês. Sam não dispõe dessa informação, sendo que acaba de recusar sua oferta final de $1.000 para fazer o seguro. Caso Sam venha lhe dizer que a SACM está a apenas seis meses da conclusão do projeto, você, conhecedor dos fatos relacionados aos japoneses, aumentaria ou reduziria o valor do prêmio da apólice em outra eventual proposta que viesse a fazer a ele? Baseando-se nas informações de que dispõe, Sam aceitaria sua proposta?
A entrada dos japoneses no mercado reduz a probabilidade de Sam obter um payoff positivo.
Por exemplo, supondo que a probabilidade do payoff de 1 bilhão de dólares caia para zero, o resultado esperado é:
(1.0)(-$1.000.000) + (0.0)(($1.000.000.000) = -$1.000.000.
Logo, você deveria aumentar substancialmente o valor do prêmio da apólice. Contudo, por não saber da entrada dos japoneses no mercado, Sam continuaria a recusar suas propostas de seguro.

6. Suponha que a função de utilidade de Natasha seja expressa por: u(I) = I0,5, na qual I representa sua renda anual em milhares de dólares.
a.

Natasha é amante do risco, neutra a riscos, ou avessa a riscos? Explique.

Natasha é avessa a riscos. Isso pode ser verificado da seguinte forma. Suponha que ela tenha $10.000 e lhe seja oferecida uma aposta na qual ela ganha $1.000 com probabilidade 0,5 e perde
$1.000 com probabilidade 0,5. A utilidade associada a $10.000 é
3.162, (u(I) = 100,5 = 3.162). A utilidade esperada da aposta é:

EU = (0,5)(90.5 ) + (0,5)(110.5 ) = 3.158 < 3.162. logo, ela não aceitaria a aposta. Se ela fosse neutra a riscos, ela seria indiferente entre os $10.000 e a aposta; e se fosse amante do risco, ela preferiria a aposta.
Sua aversão a riscos também pode ser verificada pela representação gráfica da função de utilidade (veja a Figura 5.6), que mostra que a função apresenta utilidade marginal decrescente. (Alternativamente, observe que a segunda derivada da função é negativa, o que implica utilidade marginal decrescente.)
U t ldade ii 5

U (I )

4

3

2

1

R enda ( $1000) em 5

10

15

20

Figura 5.6
b.

Suponha que Natasha atualmente esteja recebendo uma renda de $10.000
(I = 10), podendo com certeza obter a mesma renda no ano que vem. Ela recebe, então, uma oferta para um novo emprego com rendimentos de
$16.000, com probabilidade de 0,5 e rendimentos de $5.000, com probabilidade de também 0,5. Ela deveria assumir o novo emprego?
A utilidade de seu salário atual é 100,5, ou seja, 3.162. A utilidade esperada do novo emprego é

EU = (0,5)(50,5 ) + (0,5)(160,5 ) = 3.118,

que é menor que 3.162. Logo, ela recusaria o novo emprego.
c.

No item (b), Natasha estaria disposta a adquirir um seguro para poder se proteger contra a renda variável associada ao novo emprego? Em caso afirmativo, qual o valor que estaria disposta a pagar por tal seguro?
(Sugestão: Qual é o prêmio de risco?)
Supondo que Natasha aceitasse o novo emprego, ela estaria disposta a pagar um prêmio de risco igual à diferença entre $10.000 e o nível de renda certa associado à utilidade da aposta, de modo a garantir um nível de utilidade igual a 3.162. Sabemos que a utilidade da aposta é igual a 3.118. Inserindo esse valor na sua função de utilidade, obtemos 3.118 = I0.5, e resolvendo para I encontramos a renda associada à aposta de $9.722. Logo, Natasha estaria disposta a pagar pelo seguro o valor dado pelo prêmio de risco: $10.000 - $9.722 = $278.

7. Desenhe uma função de utilidade sobre a renda u(I) capaz de satisfazer a condição de que um determinado consumidor seja apreciador de risco quando sua renda é baixa, porém se torne avesso a riscos quando sua renda é alta. Você poderia explicar a razão pela qual tal função de utilidade seria capaz de descrever razoavelmente bem os gostos de uma pessoa?
Considere um indivíduo que necessita de determinado nível de renda, I*, para sobreviver. Um aumento na renda além de I* apresentará utilidade marginal decrescente. Abaixo de I*, o indivíduo será amante do risco e aceitará apostas muito arriscadas com o objetivo de obter aumentos de renda significativos. Acima de
I*, o indivíduo comprará seguro contra possíveis perdas.
U t ldade ii U (I )

I*

Figura 5.7

R enda

8. Um município está estudando o valor mais adequado para o gasto com parquímetros. As seguintes informações encontram-se à disposição do administrador municipal:
i.
ii.

Havendo uma pessoa contratada para o monitoramento, a probabilidade de um motorista ser multado cada vez que estacione ilegalmente é igual a 0,25.

iii.

Havendo duas pessoas, a probabilidade é de 0,5; se forem três, a probabilidade passa para 0,75; e se forem quatro pessoas, a probabilidade é igual a 1.

iv.

a.

A contratação de um funcionário para fazer a medição custa
$10.000 por ano.

A multa atualmente cobrada por estacionamento além do tempo permitido é de $20, havendo duas pessoas contratadas para efetuar o monitoramento dos medidores.

Suponha que todos os motoristas sejam neutros a riscos. Qual a multa que você estabeleceria para o estacionamento ilegal e quantas pessoas contrataria para o monitoramento (1, 2, 3, ou 4) a fim de, com o mínimo custo, poder atingir os atuais níveis de desencorajamento ao estacionamento ilegal?
Se os motoristas são neutros a riscos, seu comportamento depende apenas da multa esperada. Com duas pessoas monitorando os estacionamentos, a probabilidade de detecção do estacionamento ilegal é 0,5 e a multa é $20. Logo, a multa esperada é $10 =
(0,5)($20). A mesma multa esperada pode ser obtida através da contratação de apenas um funcionário, aumentando-se a multa para $40, da contratação de três funcionários, diminuindo-se a multa para $13,33, ou da contratação de quatro funcionários, diminuindo -se a multa para $10.
Supondo que o único custo a ser minimizado seja o custo de contratação dos funcionários responsáveis pelo monitoramento dos estacionamentos, isto é, $10.000 por ano, você deveria minimizar o número de funcionários, contratando apenas um funcionário e aumentando a multa para $40.

b.

Agora suponha que os motoristas sejam substancialmente avessos a riscos. Como você modificaria sua resposta para a questão (a)?
Se os motoristas são avessos a riscos, a utilidade de um valor obtido com certeza é maior do que a utilidade de um valor esperado igual ao valor certo, o que significa que eles se esforçarão mais do que motoristas neutros a riscos para evitar uma multa. Logo, uma multa inferior a $40 seria suficiente para manter o atual nível de desincentivo ao estacionamento ilegal.

c.

(Para discussão) O que ocorreria se os motoristas pudessem fazer seguros contra o risco de multa por estacionamento ilegal? Seria de interesse público a autorização para que houvesse tal modalidade de seguro?
Os motoristas podem proceder de várias formas com o objetivo de se proteger do risco das multas por estacionamento ilegal; por exemplo, eles podem estacionar longe de seu destino, em local sem parquímetro, ou podem utilizar o transporte público.
Uma
companhia de seguro privada poderia oferecer uma apólice de seguro que protegesse os motoristas contra o risco das multas por estacionamento ilegal, cujo prêmio dependeria da probabilidade de cada motorista ser multado e do custo de oportunidade desse serviço. (Observação: um seguro total geraria problemas de risco moral, conforme será discutido no Capítulo 17.)
A política pública deve procurar maximizar a diferença entre os benefícios e os custos para todas as partes. Dados os custos de transação envolvidos, a oferta de seguro privado pode não ser a solução ótima. Uma solução alternativa seria a oferta de outro tipo de seguro, como a venda de adesivos para estacionamento; os automóveis estacionados ilegalmente deveriam ser multados.

9. Um investidor moderadamente avesso a riscos investe 50% de sua carteira em ações e os outros 50% em títulos do Tesouro, considerados ativos sem risco.
Mostre de que forma cada um dos eventos abaixo afetaria a linha de orçamento do investidor e a proporção de sua carteira investida em ações:
a. O desvio padrão do retorno das ações aumenta, mas seu retorno esperado permanece inalterado.
Conforme a seção 5.4, a equação da linha do orçamento é
 R − Rf
Rp =  m
 σm


σ p + R f ,


onde Rp é o retorno esperado da carteira, Rm é o retorno esperado do ativo arriscado, Rf é o retorno esperado do ativo sem risco, σm é o desvio padrão do retorno do ativo arriscado, e σp é o desvio padrão do retorno da carteira. A linha do orçamento mostra a relação positiva entre o retorno da carteira, Rp, e o desvio padrão do retorno da carteira, σp.
No caso em questão, o aumento do desvio padrão do retorno das ações, σm, torna a linha do orçamento menos inclinada, de modo que, para qualquer nível de retorno da carteira, o desvio padrão associado ao retorno aumenta. Logo, a proporção da carteira investida em ações deve diminuir.

b. O retorno esperado das ações aumenta, mas seu desvio padrão permanece inalterado.
O aumento do retorno esperado das ações, Rm, torna a linha do orçamento mais inclinada, de modo que, para qualquer nível de desvio padrão do retorno da carteira, σp, o retorno aumenta. Logo, a proporção da carteira investida em ações deve aumentar.
c. O retorno dos títulos do Tesouro aumenta.
Nesse caso, ocorre um aumento de Rf, tal que a linha do orçamento se torna menos inclinada e se desloca para cima. Em conseqüência, a proporção da carteira investida em ações pode aumentar ou diminuir. Por um lado, os títulos do Tesouro apresentam retorno mais elevado e são, portanto, mais atrativos. Por outro lado, dado o maior retorno de cada título, o investidor pode obter, a partir de uma menor quantidade de títulos, o mesmo fluxo total de pagamentos que recebia antes. Por essa razão, o investidor pode estar disposto a direcionar mais recursos para o ativo arriscado. O resultado final depende das preferências específicas do investidor, bem como das magnitudes dos retornos dos dois ativos.
Uma situação análoga ocorre na determinação do nível de poupança quando a taxa de juros aumenta: por um lado, a poupança poderia aumentar devido ao maior retorno; por outro lado, ela poderia diminuir pelo fato de que, a partir de um menor montante de poupança, o consumidor poderia auferir o mesmo nível de renda no futuro.