Espérance mathématique :

Définition : de façon générale, l’espérance mathématique correspond à la moyenne des valeurs numériques pondérées avec la probabilité que ce réalise chacune de ces valeurs.

Formule : E = p1xr1 + p2xr2 + p3xr3 + … + pnxrn
Où p1, p2, p3, … ,pn correspond à la probabilité que les événements 1,2,3,…,n se réalisent
Où r1, r2, r3, … ,rn correspond à la valeur numériques des événements 1,2,3,…,n

Exemple :

Un élève estime qu’il aura une note de 67% pour la compétence disciplinaire 1, 58% pour la compétence disciplinaire 2 et 61% pour la compétence disciplinaire 3. Il veut connaître l’espérance mathématique de son résultat final.

E = 0,3x0,67 + 0,45x0,58 + 0,25x0,61
E = 0,6145

Il aura comme note finale 61%.

Espérance de gain :

Formule :
Espérance de gain = (probabilité de gagner) x (montant du gain) + (probabilité de perdre) x (montant de la perte)

Habituellement, la probabilité de perdre est l’événement complémentaire de la probabilité de gagner et vive versa.

Ainsi,
(probabilité de gagner) = 1 – (probabilité de perdre)
Ou
(probabilité de perdre) = 1 – (probabilité de gagner)

Exemple :

Un individu joue à un nouveau jeu qui consiste à gagner 50$ si on tire un AS d’un jeu de carte. L’espérance de gain pour une mise de 10$ sera la suivante :

Probabilité de gagner = 4/52 = 1/17
Probabilité de perdre = 1 – 1/17 = 16/17
On peut transformer en décimale
Probabilité de gagner = 1/17 = 0,0588
Probabilité de perdre = 16/17 = 0,9412

E = 0,0588 x 50 + 0,9412 x (-10) = -6, 47 $
Ainsi, il a plus de chance de perdre avec une espérance de gain de -6,42$. Recommandation : il ne devrait pas jouer à ce jeu.

Équité :

Définition : si l’espérance mathématique est supérieure à 0, cela avantage le participant, à l’inverse, si l’espérance mathématique est inférieure à 0, cela est à son désavantage.
Recommandation :
Si E > 0, il devrait participer à cet événement.
Si E < 0, il ne devrait pas participer à cet événement.

Par contre, lorsque nous obtenons E = 0, cela signifie que l’événement est équitable.

Exemple :

Un individu joue à un nouveau jeu qui consiste à gagner 30$ si on tire un « cœur » d’un jeu de carte. L’espérance de gain pour une mise de 10$ sera la suivante :

Probabilité de gagner = 13/52 = 1/4
Probabilité de perdre = 1 – 1/4 = 3/4
On peut transformer en décimale
Probabilité de gagner = 1/4 = 0,25
Probabilité de perdre = 3/4 = 0,75

E = 0,25 x 30 + 0,75 x (-10) = 0 $

Ce jeu est équitable. Après plusieurs tentatives, il n’aura pas gagné, ni perdue d’argent. Recommandation : il peut jouer sans espoir d’accumuler un gros gain.