Природно-математички факултет –Скопје

Последипломски студии-

Математичко образование

СЕМИНАРСКА РАБОТА ПО ПРЕДМЕТОТ:

Откривање и работа со надарени ученици

на тема:

Предлог задачи за додатна настава по математика (подготвителни задачи за натпревари) за

III и IV година од средното образование

Mentor: Izrabotile:

D-r: Дончо Димовски Александра Арсовска

Валентина Стојчевиќ

Скопје, 2011

СОДРЖИНА

1. Вовед ……………………………………………………………………………. 3

2. Предлог задачи за додатна настава по математика за трета година ………... 4

1. Функции ..………………………………………………………………. 4

2. Равенки. Неравенки. Системи од равенки и неравенки …………….. 9

3. Равенства. Неравенства. Примена на теореми во тригонометрија …. 18

4. Геометрија ……………………………………………………………… 23

5. Предлог задачи за натпревар по математика за трета година ……… 32

3. Предлог задачи за додатна настава по математика за четврта година …….. .33

1. Функционални равенки ………………………………………………... 33

2. Аритметичка и геометриска прогресија ……………………………… 43

3. Аналитичка геометрија ……………………………………………….. 47

4. Теорија на игри ………………………………………………………… 52

5. Неравенства …………………………………………………………….. 63

6. Предлог задачи за натпревар по математика за четврта година …….. 80

Вовед:

Додатната настава по математика се одвива во училиштето со надарените ученици кои имаат тенденција да ги прошират и збогатат своите знаења од областа на математиката но исто така и оние ученици кои имаат амбиција и желба да учествуваат на натпрвари од повисок ранг од училишниот како регионален ,републички и слично. Мотивацијата на учениците за учество на математички натпревари и општо, за проширување на математичките знаења воннаставните содржини во голема мера зависи од наставникот. Наставникот може да ја поттикне мотивацијата на учениците ако организира квалитетна додатна настава, која ќе биде корисна и интересна за учениците.

При организирање на додатна настава треба да се имаат во предвид следните работи:

-Наставникот претходно да си изгради систем за следење и дијагностицирање на надарените ученици во соработка со нивните родители и стручната служба во училштето

-Пред да почне со работа наставникот мора да има изготвено соодветна програма за работа , да направи квалитетен избор на задачите што ќе се работат и да избере методи и форми на работа кои ќе одговараат на соодветната група надарени ученици.

-Училиштето треба да обезбеди простории и можности за техничка реализација на истата.

Во оваа семинарска работа се дадени предлог задачи за додатна настава по математика, односно подготвителни задачи за натпревари по математика за трета и четврта година. Некои од задачите се целосно решени, а некои имаат упатство за решавање. Исто така даден е предлог четири задачи за републички натпревар за трета и четврта година.

III

Додатната настава по математика за трета година ќе се одвива за оние наставни теми кои се предвидени од комисијата за натпревари и тоа:

1. Квадратна функција и квадратна неравенка.

2. Плоштина на рамнински фигури.

3. Елементи од стереометрија.

4. Експоненцијална и логаритамска функција.

5. Тригонометрија.

Задачите за трета година во оваа семинарска работа се поделени во четири дела :

-Функции,

-Равенки. Неравенки. Системи равенки и неравенки,

-Равенства.Неравенства. Примена на теореми во тригонометрија,

-Геометрија

Функции

❖ Функцијата [pic] се нарекува квадратна функција, ако [pic], кои не зависат од x, такви што [pic].

❖ Функцијата [pic] дефинирана со [pic] се нарекува експоненцијална функција.

❖ Функцијата [pic] дефинирана со [pic] и х е независна реална променлива се нарекува логаритамска функција.

❖ Тригонометриска функција синус од кој било агол [pic] е еднаков на односот помеѓу ординатата y на која било точка М од крајниот крак на аголот [pic] и растојанието r на точката М до координатниот почеток О , т.е. [pic].

❖ Тригонометриска функција косинус од кој било агол [pic] е еднаков на односот помеѓу апцисата х на која било точка М од крајниот крак на аголот [pic] и растојанието r на точката М до координатниот почеток О , т.е. [pic].

❖ Тригонометриска функција тангенс од кој било агол [pic] е еднаков на односот помеѓу ординатата y и апцисата х на која било точка М од крајниот крак на аголот [pic] , т.е. [pic].

❖ Тригонометриска функција котангенс од кој било агол [pic] е еднаков на односот помеѓу апцисата х и ординатата y на која било точка М од крајниот крак на аголот [pic] , т.е. [pic].

1.Нацртај график на функцијата׃ [pic]

Упатство: [pic]

.

2.Дадена е функцијата [pic] со [pic] .

а)Реши ја неравенката [pic]

б)Колку пресечни точки има правата [pic] со графикот на [pic]?

Упатство: [pic] Понатаму, треба да се разгледа секој од случаите

3. Нека a,b,c[pic] и нека за секој x[pic] важи [pic]

Да се докаже дека за секој x[pic] важи [pic]

Решение: Нека [pic] и [pic] . Очигледно дека [pic] и [pic] . Темето на параболата [pic] е во точката [pic]каде што [pic] . Ако [pic] , функцијата [pic] е монотона на интервалот [pic] и задачата е решена. Нека [pic] . За произволни x и y важи: [pic] Можни се два случаја: 1) [pic] Тогаш, [pic] , па затоа [pic] и [pic] [pic]

2) [pic] Тогаш, [pic] , па затоа [pic] и [pic] [pic] .

4. Одреди ја најмалата вредност на функцијата׃

[pic]

Упатство׃ Oд [pic]следува равенката [pic] Корените на оваа квадратна равенка по х ќе бидат реални, ако нејзината дискриминанта е ненегативна, т.е. [pic] Откако ќе добиеш [pic] тогаш го одредуваш x од условот [pic] .

5.Одреди ја најмалата вредност на функцијата׃

[pic]

Упатство׃ Равенката [pic] нема реални решенија, па за секој реален број х важи [pic] . Параболата [pic] има теме во [pic] па за [pic] важи [pic] Оттука следува дека [pic] Понатаму одреди за кои вредности на х именителот е најголем, а со тоа и функцијата најмала.

6.Нацртај график на функцијата׃ [pic] .

Упатство׃ [pic]Функцијата може да се запише во обликот [pic]

7. Нацртај график на функцијата׃ [pic] .

Упатство׃

Нацртај првин график на функцијата [pic] . Графикот на функцијата [pic] се состои од графикот на функцијата [pic] и графикот симетричен на графикот на оваа функцијата во однос на х оска.

8.Најди го основниот период на функциите ׃ [pic]

Упатство : a) Основните периоди на функциите [pic]и [pic] се : [pic] , [pic] Основниот период на бараната функција ќе биде [pic] (НЗС(18,40)=360).

b,c) Скицирај ги проближно графиците на овие функции во интервалот [pic].

9. Одреди го минимумот и максимумот на функцијата: [pic]

Решение: [pic] .

10. Нацртај график на функцијата: [pic]

Равенки. Неравенки. Системи од равенки и неравенки

❖ Експоненцијална равенка (неравенка) е секоја равенка (неравенка) во која непознатата се наоѓа во степеновиот показател на барем еден степен со основа позитивен реален број различен од 1. Решенијата на експоненцијалната равенка ги бараме во R. Општ метод за решавање на овие равенки не постои.

❖ Логаритамска равенка (неравенка) е секоја равенка (неравенка) во која непознатата се наоѓа во логаритмандот или во логаритамската основа на барем еден логаритам. Пред да решаваме тригонометриска равенка (неравенка) , прво ги бараме допуштените вредности на променливата во множеството R. Општ метод за решавање на овие равенки и неравенки не постои , меѓутоа некои видови на логаритамски равенки можеме да ги решиме со елементарни методи користејќи ги дефинициите за логаритам, правилата за логаритмирање и својствата на логаритамската функција.

❖ Тригонометриска равенка (неравенка) е секоја равенка (неравенка) во која непознатата се јавува како аргумент на тригонометриска функција.За да се решаваат овие равенки потребно е да се познаваат тригонометриските функции, тригонометриските идентитети и адиционите теореми .

1. Најди ги сите вредности на реалниот параметар [pic] за кои равенката [pic] има точно три различни реални решенија.

Упатство: За [pic] равенката нема решение, за [pic] равенката има две решенија. Ако [pic] тогаш равенката е еквивалентна со вкупноста [pic] Понатаму, дискутирај ги решенијата на секоја од равенките на системот во зависност од параметарот

2.Нека М1 е множеството решенија на неравенката [pic], a M2 e множеството решенија на неравенката [pic] . Најди ги сите вредности на реалниот параметар k за кои важи М1[pic]М2.

Упатство: [pic], па за да ја решиме првата неравенка, доволно е да ги споредиме броевите 3к-1 и к+1 за различни вредности на к .

3. Најди ги сите вредности на реалниот параметар b за кои што системот [pic] има барем едно решение.

Упатство: Нека [pic] е решение на дадениот систем за некое [pic] . Toгаш од втората равенка [pic] , од каде со замена во првата равенка и множење со [pic] , се добива [pic]

4. Нека [pic] се реални броеви и нека [pic]. Ако равенката [pic]

нема реални решенија, тогаш постои решение на равенката [pic] кое не е реално. Докажи!

Упатство: Бидејќи квадратната равенка нема реални решенија, нејзината дискриминанта е негативна, односно [pic] . Ако [pic] се решенија на кубната равенка, тогаш , според Виетовите формули за нив важи: [pic] , [pic] .

5.Реши ја равенката׃ [pic]каде што [pic] и [pic] се позитивни реални броеви и различни од 1.

Упатство׃ [pic]

6. Реши ја равенката׃ [pic]

Решение׃ [pic]

Сега, равенката можеме да ја запишеме во облик [pic]

7.Реши ја равенката: [pic]

Решение : [pic][pic]

8. Реши ја равенката:[pic]

Упатство׃ Смена [pic]

9. Реши ја равенката: [pic] [pic]

Упатство: [pic]

10.Реши ја неравенката׃ [pic]

Упатство׃

[pic]

11.Реши ја неравенката: [pic]

Упатство׃ Со смената [pic] дадената неравенка се сведува на решавање на систем од две квадратни неравенки.

12.Реши ја неравенката: [pic]

Упатство׃ D.O. [pic] Oд неравенката се добива [pic] . Решението се добива како вкупност од овие неравенки.

13. Реши ја неравенката: [pic]

Упатство: [pic]

14.Реши го системот равенки׃ [pic] , [pic]

Упатство׃ Логаритмирај ги двете равенки од системот, а потоа воведи смени [pic] и ќе добиеш систем од две линеарни равенки.

15.Реши го системот равенки׃ [pic]

16.Најди ги сите вредности на [pic] за коишто секое решение на системот равенки

[pic]

го задоволува условот [pic]

17.Реши го системот равенки׃ [pic]

18.Реши го системот равенки׃ [pic]

Решение: Имаме [pic]

19.Реши го системот равенки [pic]

Упатство׃ Воведи смена t=[pic] и ќе добиеш квадратна равенка, а потоа враќајќи се назад во смената ќе добиеш систем од линеарна и квадратна равенка.

20. Реши го системот равенки׃ [pic]

Упатство׃ Од втората равенка на системот се добива y-x=4, y=x+4 .

21.Реши ја равенката׃ [pic]

Упатство: [pic]

[pic].

[pic]

[pic]

22. Реши ja равенкaтa: [pic]

Упатство: Дадената равенка е еквивалентна со равенката: [pic] од каде се гледа дека левата страна е [pic] , а десната страна е [pic] .

23.Реши ја равенката: [pic]

Упатство: [pic] [pic] [pic]. Решенијата на равенката се всушност решенија на равенките [pic] и [pic]

24. Реши ја равенката: [pic]

Упатство: Дадената равенка ееквивалентна со равенката [pic] Со квадрирање на двете страни на оваа равенка , ќе се добие тригонометриска равенка која се сведува на квадратна.

25.Реши го системот равенки׃ [pic]

Упатство: Ако ја помножиме неравенката со позитивниот број [pic] ќе ја добиеме еквивалентната неравенка [pic], која ќе се разгледува како систем од две квадратни неравенки

26. Реши го системот равенки׃ [pic]

27. Реши го системот равенки׃ [pic]

28. Реши го системот равенки׃ [pic]

Решение: Од првите две равенки следува релацијата [pic] Од оваа релација и од [pic] добиваме [pic] . Заменувајќи во втората равенка добиваме [pic] . Значи, дадениот систем равенки е еквивалентен со следните два система: 1) [pic] чии решенија се [pic] и вториот систем 2) [pic] чии решенија се: [pic]

29. Реши го системот равенки׃ [pic]

30. При кои вредности на параметарот а системот равенки׃ [pic] Има барем едно решение (x,y) што го задоволува условот x+y=0.

Решение: Да претпоставиме дека дадениот систем има решение (x,y) што го задоволува дадениот услов; значи y=-x , па, заменувајќи во двете равенки, ги добиваме равенките : [pic] и [pic] . Од првата равенка добиваме [pic] или [pic]. Заменувајќи [pic] во втората равенка, добиваме [pic] , а заменувајќи [pic] добиваме [pic] т.е. [pic] и [pic] . Според тоа за [pic] дадениот систем може да има решение од обликот (x,-x) , Да провериме сега дали за овие вредности на а системот има решение од тој облик. За [pic] решенија на системот се [pic] . За [pic] решенија на системот се [pic] и за [pic] решенија на системот се [pic] . Значи, бараните вредности на параметарот а се : [pic].

Равенства. Неравенства. Примена на теореми во тригонометрија.

1. Да се докаже дека од равенството׃ [pic] следува [pic].

Решение: Користејќи го равенството [pic] , равенството [pic] може да се запише во облик [pic] , т.е . [pic] . Значи, [pic] од каде [pic].

2..Докажи дека за секое [pic] важи неравенството, а потоа одреди за кои вредности на [pic] важи равенството: [pic]

Упатство : За да видиме кога важи равенство ќе ја квадрираме равенката и ќе добиеме [pic]

3. Ако [pic] к=2,3,..,n и [pic] , да се докаже дека:

[pic]

Решение: Користејќи ја формулата [pic] , за збирот Ѕ добиваме [pic]. Бидејќи [pic] к=2,3,..,n , имаме : [pic]

[pic] Користејќи го тоа и [pic] , добиваме [pic] што требаше да се докаже.

4. Најди ги сите парови реални броеви [pic] т.ш. [pic] важи : [pic]

Упатство׃ За х=0 се добива [pic] па со замена во [pic] имаме [pic]. Понатаму, разгледај го секој од двата можни случаи.

5. Докажи дека: [pic]

Упатство׃ [pic]

6.Аглите [pic] се такви што [pic] и [pic]. Докажи дека изразот [pic] не зависи од [pic] .

Упатство: Користејќи ги адиционите теореми [pic], понатаму, овие вредности треба да се заменат во изразот.

7. Да се испита за кои вредности на [pic] важи неравенството [pic]

Решение: Бидејќи [pic] , дадената неравенка добива облик [pic] . Ако [pic] се добива следната неравенка: [pic] т.е. [pic] која важи за секој [pic].

Ако [pic] се добива следната неравенка: [pic], која што важи само за оние [pic] за кои [pic] но за тие [pic] не важи [pic]. Според тоа, бараните вредности за [pic] се: [pic]

8.Ако a,b,c се позитивни реални броеви, покажи дека:

[pic]

9.Ако [pic] да се докаже дека [pic]

Упатство: Од првиот и третиот однос на продолжена пропорција од даденото равенство, имаме:

[pic] , од каде [pic] . Овие трансформации примени ги и на вториот и четвртиот однос на пропорцијата.

10. Ако [pic] докажи дека: [pic]

Упатство: [pic][pic]

11. Докажи го идентитетот: [pic]

12. Докажи го идентитетот: [pic]

Решение: Oд [pic] , добиваме

[pic]

13.Нека [pic]. Докажи дека [pic]

14.а) Да се упрости изразот: [pic]

б)За кои вредности на х, А>0 ?

Упатство: а) Користејќи ги соодветните тригонометриски идентитети се добива [pic]

б) [pic]

15.Во триаголник со страни [pic] , агли [pic] и плоштина Р, докажи дека ׃

[pic]

Упатство: Користејќи ја синусната теорема и равенството [pic] , добиваме : [pic]

Аналогно се добиваат и равенствата [pic]

Геометрија

1.Нека [pic] се средините на страните ВС, СА и АВ од триаголникот АВС, Т е негово тежиште, а [pic] се средините на отсечките АТ, ВТ и СТ соодветно. Докажи дека триаголниците [pic] и [pic] се складни и дека имаат заедничко тежиште што се совпаѓа со тежиштето Т на триаголникот АВС.

Решение: [pic] Од триаголникот АВТ [pic] од каде што [pic] односно, [pic] Аналогно, [pic][pic] , [pic] . Според признакот ССС, триаголниците [pic] и [pic] се складни. Нека [pic] се нивните тежишта соодветно и нека О е произволна точка. Тогаш,

[pic]

[pic]

[pic]

2.Дали постои точка М во рамнината на триаголникот АВС така што [pic]?

Решение: Да претпоставиме дека таква точка постои. Тогаш за произволна точка О од рамнината на триаголникот АВС имаме [pic] па заменувајќи во условот, добиваме [pic] . Ставајќи О=Т, каде што Т е тежиштето на триаголникот АВС, добиваме [pic] Бидејќи, [pic] , добиваме [pic] т.е. [pic] (*) . Значи, ако М го исполнува условот [pic] тогаш таа го задоволува равенството (*). Обратно, ако една точка М го има својството (*), тогаш заменувајќи во условот заклучуваме дека тој е исполнет.

3.Нека А,В и С се точки од една права. Дали постои точка М од таа права, така што [pic]?

4.Дадена е права p и две точки А,В од кои барем едната не лежи на правата p. Да се најде геометриското место на тежиштето Т од триаголниците АВС, каде што [pic].

Решение: Нека [pic] и нека [pic]и [pic] се тежишта на триаголниците [pic] и [pic] соодветно, а Ѕ е средината на отсечката АВ. Бидејќи, [pic] Од тука следува дека, [pic] , што значи дека геометриското место на тежиштата Т е права q , паралелна со дадената права.

5.Тетивите [pic] и [pic] од кружницата (о,r) се заемно нормални. Ако [pic], да се покаже дека [pic]

Решение: Ако [pic] и [pic] се соодветно средини на тетивите [pic] и [pic] Имаме, [pic] ,

[pic]

[pic]

Слично се добива равенството

[pic], од каде добиваме [pic] .

6.Во четириаголникот [pic], [pic]. Да се докаже дека симетралите [pic] на другите два агла се паралелни. Во кој случај тие се совпаѓаат?

Решение: Нека [pic]. Тогаш за правоаголниот триаголник [pic] имаме [pic] . Од условот на задачата [pic] , од каде [pic] . Бидејќи аглите [pic] и [pic]се согласни и еднакви кога правите [pic] и [pic] се сечат со правата [pic] , следува дека овие прави (симетрали) се паралелни.

Да претпоставиме дека симетралите [pic] и [pic] се совпаѓаат, т.е. [pic] и [pic] Тогаш, [pic] и [pic] т.е. четириаголникот [pic] е делтоид, а во специјален случај квадрат.

7.Да се определат рамнокраките триаголници во кои впишаните правоаголници, на кои едната страна им лежи на основата, имаат еднакви периметри.

Решение: Триаголниците АРЕ и ВРС се слични

бидејќи [pic]

како наизменични агли кога паралелните прави

[pic] и[pic] се пресекуваат со трансверзалата

[pic] , односно [pic] . Од тука следува:

8.Точката Е ја дели страната [pic] на паралелограмот [pic], така што [pic], а точката Р е пресек на отсечките [pic] и [pic] .Да се најдат односите [pic] и [pic] .

Решение: Триаголниците АРЕ и ВРС се слични бидејќи [pic] како наизменични агли кога паралелните прави [pic] и[pic] се пресекуваат со трансверзалата [pic] , односно [pic] . Од тука следува:

[pic] [pic] Од [pic] добиваме [pic] т.е. [pic] а од [pic] добиваме [pic] т.е. [pic]

9.Полукружница со избор на две точки на неа е разделена на три дела, така што должините на тетивите, на секој од деловите, се однесуваат како 1:2:1. Определи ја местоположбата на двете точки.

Решение: Нека избраните точки се D и С и ако воведеме ознаки [pic] тогаш од условот на задачата имаме [pic]. Отсечките ОЕ и OF се висини во триаголниците AOD и DOC соодветно. Ако воведеме ознаки [pic] и [pic] , тогаш [pic] и [pic] . Бидејќи [pic], добиваме [pic], [pic]

Од условот на задачата [pic] па според тоа, [pic] , т.е. [pic] Од тука, [pic] , [pic]. По решавање на оваа равенка добиваме [pic] Конечно, [pic] , [pic]

10.Од темето A на квадратот ABCD кон внатрешноста на квадратот се повлечени две полуправи коишто зафаќаат агол од [pic]. Едната од нив ја сече страната BC во точката E , а дијагоналата BD во точката P, а другата полуправа ја сече страната CD во точката F, а дијагоналата BD во точката Q. Докажи дека плоштината на триаголникот APQ е еднаква со плоштината на четириаголникот PQFE.

Решение: Точките А, В, Е и Q лежат на една

кружница, бидејќи отсечката EQ од точките А и В се

гледа под еднаков агол од [pic]. Бидејќи [pic] ,

добиваме дека и [pic] . Оттуука е јасно дека

[pic] , па значи триаголникот AQE е

рамнокрак и правоаголен со прав агол во Q. Според тоа, [pic] . Аналогно се покажува дека [pic] . Нека [pic] се плоштините на триаголниците AQP и AEF соодветно. Тогаш, од претходните равенства добиваме: [pic] . Значи, [pic] , од каде што веднаш следува дека плоштината на триаголникот APQ е еднаква на плоштината на четириаголникот PQEF.

11. Во топка е впишана пирамида со основа правоаголник. Дијагоналата на правоаголникот е d, а рабовите на пирамидата со нејзината основа зафаќаат агол [pic]. Определи го радиусот на топката.

Решение: Нека О е центарот на сферата опишана околу пирамидата SABCD чија основа е правоаголникот ABCD, нека R е радиусот на сферата, нека Е е пресекот на дијагоналите на правоаголникот ABCD и нека М е средината на работ СЅ. Тогаш, триаголникот ЅЕС е правоаголен со остар агол [pic] , а точката О лежи на правата ЅЕ и е еднакво оддалечена од точките Ѕ и С , па затоа [pic] . Бидејќи [pic] како агли со заемно нормални краци, имаме [pic] .

12. Основата на пирамидата е квадрат, при што рамнините на бочните ѕидови со рамнините на основата зафаќаат агли кои се однесуваат како 1:2:4:2. Пресметај ги тие агли.

Решение: Низ врвот Ѕ на пирамидата повлечени се две рамнини кои се нормални на рабовите на основата. Нека пресечните точки со нив се E,F,M,N (како на цртежот). Нека пресекот на ЕF и MN е точката О , која е и подножје на нормалата спуштена од врвот Ѕ. Ако [pic] , тогаш од условот на задачата имаме [pic] и [pic] . Од правоаголните триаголници [pic] , добиваме

[pic] Од претходните равенства [pic] и [pic] . Ако добиените вредности за [pic] и [pic] ги замениме во равенството [pic] добиваме [pic], од каде [pic],

Значи, [pic] .

13. Најдолгата и најкратката изводница на кос конус се разликуваат за 14, аголот меѓу нив е [pic], а плоштината на карактеристичниот оскин пресек е [pic]. Колкав е волуменот на конусот?

Упатство: Нека со [pic] ја означиме плоштината на карактеристичниот пресек. Од [pic] се добиваат изводниците, а потоа и волуменот.

14.Во триаголна пирамида ЅАВС сите рабни агли кај темето Ѕ се прави. Нека О е подножјето на висината кај темето Ѕ. Ако [pic] , да се најде [pic] .

Упатство: Нека [pic] и [pic] се диедарските агли на рабовите АВ и ВС. Бидејќи [pic] и [pic], следи дека [pic] и [pic]

15.Плоштината на основата на цилиндарот и плоштината на неговиот оскин пресек се однесуваат како m:n. Определи го остриот агол меѓу дијагоналите на оскиниот пресек.

Решение: Нека темињата на еден оскин пресек се A,B,C,D, при што А и В припаѓаат на едната основа на цилиндарот , а С и D припаѓаат на другата основа на цилиндарот (види цртеж) . Нека пресекот на неговите дијагонали АС и BD е точката М. Ако МО е висина во триаголникот АВМ, тогаш [pic] , а [pic] , каде R и H се радиус и висина на цилиндарот. Ако [pic] е еден од аглите меѓу дијагоналите, тогаш [pic] е другиот агол меѓу дијагоналите. Од правоаголниот триаголник АОМ имаме

[pic] Од условот на задачата имаме

[pic] , од каде [pic] Според тоа, [pic], а другиот агол е [pic]. [pic] е помалиот агол ако [pic] .

16.Две правилни триаголни пирамиди имаат заедничка висина. Врвот на едната пирамида е центарот на основата на другата пирамида и бочните рабови на едната пирамида ги сечат бочните рабови на другата пирамида. Бочниот раб со должина m на едната пирамида со нејзината висина зафаќа агол [pic] , а бочниот раб на другата пирамида со нејзината висина зафаќа агол [pic]. Да се најде волуменот на заедничкиот дел на двете пирамиди.

Упатство:Триаголникот чии темиња се пресечните точки на бочните рабови на пирамидите е рамностран и заедничката висина на пирамидите минува низ центарот О на овој триаголник.

17.Метална масивна топка со радиус R е претопена и од добиениот метал е излиен масивен конус кај кој бочната површина му е три пати поголема од плоштината на основата. Определи ја висината на конусот.

Упатство:Волуменот на топката и волуменот на излиениот конус се еднакви, а од условот се добива дека изводницата на конусот е три пати поголема од радиусот на неговата основа.

18.Во триаголна пирамида ABCD , рабовите АВ и CD имаат должини [pic] и b соодветно. Пресметој го збирот на квадратите на должините на отсечките, едната од кои ги поврзува средините на рабовите АС и BD, а друга ги поврзува средините на рабовите AD и ВС.

Упатство: Нека во пирамидата ABCD ,

точките М,N,P,Q се средини на страните

AC, BD, AD, BC соодветно. Тогаш QMPN е паралелограм со страни [pic] и [pic] (MQ и PN се средни линии на триаголниците ABC и ABD соодветно, па од тука [pic]. Аналогно се покажува дека другите две страни на паралеограмот се со должина [pic]). Бараниот збир е : [pic]

19.Во триаголна пирамида ЅАВС сите рабни агли кај темето Ѕ се прави. Нека О е подножјето на висината кај темето Ѕ. Ако [pic] , да се најде [pic] .

Упатство: Нека [pic] и [pic] се диедарските агли на рабовите АВ и ВС. Бидејќи [pic] и [pic], следи дека [pic] и [pic]

20.Околу топка со радиус r е опишан конус. Да се определи висината на конусот, ако односот на плоштината на конусот и плоштината на топката е еднаков на к.

Решение: На цртежот е претставе еден оскин пресек на конусот и пресек на рамнината на оскиниот пресек со топката. Со R,H и s ќе ги означиме должината на радиусот на основата, висината и должината на изводницата на конусот. Од условот на задачата имаме:

[pic] Од Питагорова

теорема имаме: [pic] .

Од сличноста на [pic] и [pic] имаме [pic] од каде [pic] . Од последното равенство добиваме: [pic] . Бидејќи [pic] добиваме [pic] или [pic] Од последната биквадратна равенка лесно добиваме дека [pic] од каде [pic]

Натпревар по математика за трета година

1.Определи ги сите цели броеви х, за кои [pic] е исто така цел број.

2.Реши ја равенката: [pic]

3. Реши го системот равенки:

[pic]

4.Нека R е радиусот на сферата опишана околу правилна четириаголна пирамида, а r е радиусот на сферата впишана во таа пирамида. Ако [pic] е наклонетиот агол на бочната страна према основата, да се докаже дека :

[pic]

IV

Додатната настава по математика за четврта година ќе се одвива за оние наставни теми кои се предвидени од комисијата за натпревари и тоа

Функционални равенки

Низи и прогресии

Аналитичка геометрија

Теорија на игри

Неравенства

Училишен натпревар

Функционални равенки

Равенка кај која непознатата е некоја функција од видот [pic]т.ш [pic] ,A-домен,B-кодомен се нарекува функционална равенка.

При решавање на функционални равенки нема конкретни принципи и постапки, но најчесто се применуваат следните методи

• Доделување на вредности на променливите(најчесто се ставаат некои константи на пример 0 или 1)потоа доколку е можно се избираат вредности така да некој од изразите стане константа.Зависно од тежината на задачата се воведува соодветна смена.

• Принцип на математичка индукција.Целта е преку вредноста на [pic]да се пронајдат вредностите за секој [pic] каде n е цел број,потоа за сите [pic]и на крајот за сите [pic]каде r е произволен рационален број.Оваа метода се корист за решавање на равенки чиј домен е множеството на рационални броеви претежно во поедноставни задачи.

• Испитување на инјективност и сурјективност на функциите што во некои задачи може да биде тешко.

• Одредување на фиксни точки и нули на функција.Овој метод нема многу честа примена.

• Повикување на равенката на Коши и на равенки од сличен тип.

• Испитување на монотоност и непрекинатост.Монотоноста најчесто служи за сведување на Кошиева равенка,доколку ова не е случај се работи за посложена задача.

• Претпоставка дека дадената функција во некоја точка е поголема или помала од вредноста на функцијата за која сакаме да докажеме дека е решение.Најчесто се користи како продолжение на математичката индукција или во задачи во кои кодоменот е ограничено множество.

• Формирање на рекурентни равенки,најчесто во задачи во кои може да се најде врската меѓу [pic]и n.

• Претставување на функцијата како збир од парна и непарна функција најчесто во линеарни функционални равенки.

• На крај наважно е да се спомене дека доколку во почетокот на решавањето воочиме кое би било можното решение би можело во голема мера да помогне при воведувањето на соодветна смена.На крајот е задолжително да се провери дали функцијата ја задоволува функционалната равенка .

Примери

Равенката од видот [pic]се нарекува Кошиева равенка.Доколку нејзиниот домен е множеството Q тогаш нејзиното решение е [pic]што е докажано во пример 1.

Следните равенки многу лесно се сведуваат на Кошиева равенка

1.Сите непрекинати функции [pic],[pic]се од видот [pic].Имено функцијата [pic]е непрекината и ја задоволува Кошиевата функционална равенка.

2. Сите непрекинати функции [pic],[pic]се од видот [pic]. Имено функцијата [pic]е непрекината и ја задоволува Кошиевата функционална равенка.

3. Сите непрекинати функции[pic],[pic]се од видот [pic]каде што[pic] . Имено функцијата [pic]е непрекината и ја задоволува Кошиевата функционална равенка.

1.Најди ги сите функции за кои важи [pic].(Ваквите функции се нарекуваат адитивни) и

а) [pic] и [pic]е непрекината.

б) [pic] и [pic]е непрекината.

Решение:

а) Ако замениме [pic] ќе добиеме [pic].

Ако означиме со [pic].

Со принцип на математичка индукција се покажува дека [pic]

[pic]. (*)

Оттука следува дека [pic][pic].

Ако во појдовната равенка ставиме дека [pic]добиваме [pic]т.е добиваме дека важи [pic],[pic].

Ако замениме [pic] во (*) добиваме [pic]оттука следува дека [pic] т.е [pic][pic]

б)Исто како во претходниот случај добиваме дека [pic],[pic].Функцијата [pic]е непрекината функција па ќе важи и[pic],[pic].

2.Да се најдат сите функции [pic]за кои важи[pic] и [pic].

Упатство:

Ако замениме [pic]добиваме [pic]

[pic] [pic].

Ако замениме [pic] добиваме [pic] со помошна ова и со користење на принципот на математичка индукција лесно се покажува дека

[pic],[pic]

1. За [pic]

[pic] важи.

2. За [pic]претпоставуваме дека важи:

[pic]

За [pic] покажи дека важи

[pic]

т.е [pic]. Треба да се провери дали важи за сите реални броеви.

3.Да се најдат сите функции [pic],[pic]дефинирани за секој [pic],кои го задоволуваат рвенството:[pic]

Решение: Воведуваме смена [pic]

[pic]

[pic]

[pic] ...........(1)

За секој [pic] нека [pic].Нека [pic],ако замениме во

[pic] добиваме [pic]

или [pic] т.е

[pic]

Од (1) имаме [pic] т.е [pic].

Ако замениме за [pic] добиваме

[pic]

односно бараните функции се од обликот

[pic]

4.Да се најдат сите функции [pic] за кои [pic].

Решение:

Нека [pic]. Ако воведеме смена: [pic] односно [pic], тогаш и [pic] или станува збор за транслација за 1 во R.

После смената равенката изгледа вака:

и после средувањето: [pic]

т.е. [pic].

Ако го решиме системот:

[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic] [pic]

Од втората равенка, добиваме дека бараните функции имаат облик:

[pic] ; [pic]

5.Да се најдат сите функции [pic]за кои [pic] за[pic]

Решение:

Воведуваме смена [pic] ако го изразиме [pic] како функција од [pic] добиваме:

[pic]

Ако [pic] го замениме во [pic] .....(1) добиваме:

[pic] или [pic].......(2)

Од равенките (1) и (2) го добиваме системот

[pic]

Ако првата равенка ја помножиме со [pic] и потоа ги собереме двете равенки добиваме

[pic]

[pic][pic],[pic].

6.Нека [pic], [pic] за секој [pic], [pic] и [pic]. Докажи дека

а) [pic], за секој [pic].

б) Ако [pic], тогаш [pic], за секој [pic].

Решение:

а) Во релацијата [pic] [pic] воведуваме смена [pic], од каде [pic] и добиваме [pic], за секој [pic]. Со замена на [pic] со [pic] ја добиваме релацијата

[pic] [pic]

за секој [pic]. Со собирање на [pic] и [pic] добиваме

[pic],

[pic],

[pic], т.е.

[pic], за секој [pic].

б) Ако [pic], тогаш од равенството а) добиваме дека

[pic],

за секој [pic]. Со замена во релацијата [pic] добиваме

[pic],

[pic],

[pic], т.е. [pic], или конечно

[pic], за секој [pic].

Со непосредна проверка се убедуваме дека оваа функција навистина е

решение на дадената равенка.

7.Во множеството реални функции да се реши функционалната равенка

[pic], [pic].

Решение:

Бидејќи

[pic],

добиваме дека едно решение на дадената равенка е функцијата

[pic], за секој [pic].

Дали равенката има и други решенија? Нека [pic] е произволно решение на дадената функционална равенка. Ќе ставиме [pic] и оттука

[pic], за секој [pic].

Тогаш функцијата [pic] е решение на дадената равенка ако и само ако функцијата [pic] ја задоволува равенката

[pic],

[pic], односно [pic].

Ова е можно само ако [pic], [pic] Значи

[pic], [pic],

каде што [pic] е произволен реален број. Обратно, со непосредна проверка се убедуваме дека добиените функции се решенија на дадената равенка.

8. Реши ја функционалната равенка

[pic], [pic]

во множеството реални функции [pic].

Решение:

За [pic] и [pic] добиваме

[pic],

[pic].

За [pic] и [pic] добиваме

[pic],

[pic].

За [pic] и [pic] добиваме

[pic],

[pic].

Од добиените релации, со елиминација на [pic] и [pic] добиваме

[pic],

т.е. [pic], за секој [pic] и [pic].

Значи бараната функција е [pic], за секој [pic].

9. Нека [pic] е функција со услов[pic], за секои [pic]. Најди го множеството [pic], знаејќи дека тоа има конечен број на елементи.

Решение:

Од дадениот услов за [pic] добиваме [pic], т.е. [pic], па затоа [pic].

Нека постои [pic], [pic] и [pic]. Тогаш, ако во дадениот услов ставиме [pic], добиваме

[pic]

Значи и [pic]. Во дадениот услов ставаме [pic], [pic] и добиваме

[pic],

што значи дека и [pic]. Претпоставуваме дека [pic], за некој [pic]. Тогаш од дадениот услов за [pic] и [pic] добиваме

[pic],

[pic].

Значи и [pic]. Заклучуваме дека [pic], за секој [pic]. Бидејќи [pic], броевите [pic], [pic], [pic], ....., [pic] се два по два различни и припаѓаат на множеството [pic]. Ова значи дека [pic] е бесконечно множество, што е во спротивност со тоа дека [pic] има конечен број на елементи. Значи единствен елемент во множеството [pic] е бројот [pic].

Задачи за самостојна работа

1.Најди ги сите функции [pic] такви што [pic]

2.Да се најдат сите функции [pic]такви што [pic]

3. Најди ги сите непрекинти функции [pic] такви што

[pic].

Аритметичка и геометриска прогресија

Низата од видот [pic]+(n-1)d..каде што [pic]е почетен член ,а секои два последователни члена се разликуваат за d се нарекува аритметичка прогресија.

Секој член на аритметичка прогресија може да се изрази преку формулата [pic]

Збирот на првите n-членови на аритметичка прогресија се пресметува по формулата

[pic] или [pic].

Примери

1. Ако [pic] се броеви различни од нула и образуваат аритметичка прогресија тогаш

[pic].Докажи!

Решение По претпоставка имаме [pic] Ако [pic] тогаш тврдењето е очигледно. Нека [pic] [pic] [pic]=[pic]

2. Ако [pic] образуваат аритметичка прогресија тогаш

[pic]. Докажи! Упатство Искористи го равенството [pic]=[pic]и решението од претходната задача.

3.Ако броевите [pic] образуваат аритметичка прогресија тогаш и броевите [pic] образуваат аритметичка прогресија.Докажи! Решение Ако броевите [pic] се последователни членови на аритметичка прогресија тогаш [pic] [pic] [pic] [pic] Ова равенство може да го запишеме во обликот

[pic] Оттука следува дека броевите [pic]се членови на една аритметичка прогресија.

4.Ако [pic] образуваат аритметичка прогресија тогаш [pic] Докажи! Решение Ако [pic] образуваат аритметичка прогресија тогаш [pic] Па имаме [pic].

5.Ако за една една аритметичка прогресија е исполнето равенството [pic] тогаш [pic]. Докажи!

Решение Ако [pic]оттука се добива дека [pic]. Бидејќи [pic]

[pic] Имаме [pic]. 6.Ако [pic] се членови на аритметичка прогресија тогаш [pic]

Докажи! Решение Ако [pic] се членови на аритметичка прогресија тогаш [pic] [pic] Ако сите логаритми ги сведеме на основа k [pic] оттука добиваме

[pic] [pic] [pic] а оттука [pic].

Низата [pic]е геометриска прогресија ако постои број q ,[pic] таков што за секој природен број n [pic]. Општиот член на низата е даден со формулата [pic] Збирот на првите n-членови е даден со формулата [pic]. 7.Нека [pic] е збирот на првите n-членови на геометриска прогресија.[pic].

Докажи дека [pic]. Решение Од [pic]

[pic] [pic]=[pic] Оттука следува тврдењето.

8.Ако броевите a,b,c образуваат геометриска прогресија тогаш

[pic] Докажи! Решение Ако a,b,c образуваат геометриска прогресија тогаш [pic]. Ако ова равенство го логаритмираме со основа N,[pic] добиваме [pic] [pic] [pic] [pic]

9.Пресметај го збирот [pic] Решение [pic],[pic]………..[pic]=[pic]

[pic]=

=[pic] =[pic].

10. Пресметај го збирот [pic] Упатство [pic],[pic]………..[pic]=[pic]

Аналитичка геометрија

Примери

1.Дадена е правата [pic][pic][pic]која минува низ координатниот почеток и ги сече правите [pic]и [pic] во точките [pic]и[pic]соодветно.Да се најде геометриското место на средините на отсечките [pic] кога правата [pic]ротира околу координатниот почеток.

Решение

Равенка на права која минува низ координатниот почеток е од видот [pic]

Пресечните точки на оваа права и на дадените [pic]и [pic] се[pic] и

[pic].Нека М е средината на отсечката AB ,тогаш М има координати [pic].

Со елиминација на k добиваме [pic]што претставува равенка на бараното геометриско место на точки кое е парабола.

2.Дадени се кружница [pic]и права [pic].Да се најде геометриско место на точки еднакво оддалечени од кружницата и правата.

Упатство:Избери произволна точка и најди ги растојанијата до правата и кружницата.

3.Да се определи геометриското место на центрите на кружниците што минуваат низ точката [pic]и ја допираат кружницата [pic]

Решение

Нека точката [pic] припаѓа на даденот геометриско место на точки тогаш постои кружница со центар во точката М ,

[pic]

која минува низ точката А и ја допира дадената кружница

[pic]

Оттука добиваме [pic]

Бидејќи кружниците имаат една допирна точка системот [pic]

Единствената точка за која [pic]е точката М(-1,0) ,ќе го разгледаме бараното геометриско место на точки без оваа точка т.е [pic]тогаш [pic]

Ако оваа вредност ја замениме во првата равенка од системот добиваме квадратна равенка

[pic]

Равенката има едно решение па мора дискриминантата да биде нула т.е

[pic] или [pic],и точката М(-1,0) ја задоволува оваа равенка значи геометриското место на точки е елипса.

4.На правата [pic] најдете точка Т така што трапезот формиран од двете тангенти повлечени од точката Т кон кружницата [pic] и координатните оски има најмала плоштина.

Решение

Едната тангента повечена од точката Т кон дадената кружница има равенка [pic] .

Точката Т има координати [pic]. Нека равенката на втората тангента е [pic]

Тогаш важи [pic]. (1)

Бидејќи точката Т лежи на правата [pic]довбиваме [pic] (2)

Од (1) и (2) следува [pic],[pic].

За плоштината на трапезот добиваме [pic]

При што знак за равенство важи ако и само ако [pic],конечно бараните точки се [pic]а максималната плоштина е [pic]квадратни единици.

5. Нека n е природен број.Докажи дека кружницата [pic]не минува низ точка со целобројни координати која не е на x-оската или на y-оската

Решение

За фиксен природен број n кружницата [pic]минува низ точките [pic]

Нека претпоставиме дека постои целоброен пар [pic]кој е разлишен од [pic]

Тогаш [pic]Целите броеви од подредениот пар мора да се со иста парност ако се со различна парност тогаш левата страна е непарен број а десната страна е парен број.

Ако двата броја се непарни броеви тогаш тие се од видот [pic]за некои цели броеви p ,q тогаш [pic]

Од последното равенство добиваме [pic]што не е можно.

Ако двата броја се парни броеви тогаш постојат непарни цели броеви a и б така што

[pic], [pic].Ако замениме во равенството добиваме [pic]

кое не е можно.

6. Дадена е елипсата [pic] .Да се најде точка А од елипсата најблиска до правата [pic][pic] и точка B најоддалечена од истата права.

Решение

Бараните точки се точки во кои елипсата допира прави p и q паралелни со правата

[pic].Нека s е права паралелна со правата [pic]т.е [pic]за некој [pic]

Заменувајќи во [pic] добиваме

[pic]

Бидејќи точките А и B се единствени мора дискриминантата да биде нула.

Со средување се добива дека [pic]=0 чии решенија се [pic]за кои се добиваат најблиската точка [pic]и

најодалечената точка [pic].

7. Да се најде равенката на геометриско место на точки P(u,v) кои се еднакво оддалечени од кривата [pic] и од точката М(2,0).

Упатство

Најди ги растојанијата од точката P(u,v) до кривата [pic]и до точката М(2,0),

А потоа изедначи ги.

Бараното геометриско место на точки е хиперболата [pic].

8. Нека точките [pic],[pic]се четири различни точки и припаѓаат на хиперболата [pic].Ако овие четири точки припаѓаат на една кружница докажи дека [pic].

Решение

Нека точките [pic],[pic]се четири различни точки и припаѓаат на кружницата

[pic]тогаш се решенија на системот

[pic]

Ако во првата равенка замениме [pic]добиваме [pic]од тоа што

[pic]се решенија на оваа равенка добиваме

[pic]

Со изедначување на слободните членови добиваме [pic].

9. Со [pic] е дадено множество параболи при што k e реален број и секој број k определува по една парабола.Да се определи геометриско место на точки кои се темиња на дадените параболи.

Решение

Апцисата на темето на параболата [pic]е [pic]а ординатата е

[pic].Со елиминација на к од последните две равенки ја добиваме равенката на бараното геометриско место на точки ,значи бараното геометриско место е права.

10. Краците на произволен прав агол со теме во координатниот почеток ја сечат параболата [pic] во точките X и Y.Најди го геометриското место на средините на отсечките XY.

Упатство

Едниот крак има равенка [pic]а другиот [pic].Најди ги координатите на X и Y и на средината .Бараното геометриско место на точки е парабола [pic]

Теорија на игри

Во секојдневниот живот, подеднакво деловен и приватен, животната средина често не е аморфна маса, но генерално наоѓаме поединци или (интересни) групи, чии активности се соодветни, а понекогаш и од суштинско значење за нашата одлука. Во исто време, нашите активности имаат контра ефект на одлуките на истите предмети или групи, така што конечните резултати постигнати од секој од нас се производ на многу индивидуални одлуки и нивните интеракции. Понекогаш овие влијанија се врз основа на согласни интереси, добра волја и желба да си помагаат едни на други, додека во други случаи кои тие произлегуваат од конфликт на интереси, нетрпеливост, па дури и непријателство. Состојба на делумен или целоснен конфликтот помеѓу различните носители на одлуки се вика игра.

Теоријата на играта е математичка теорија и методологија која се користи за анализа и решавање на конфликтот и делумно конфликтни ситуации во кои учесниците имаат спротивставени интереси. Разгледување на ситуација во која две или повеќе лица донесуваат одлуки во услови на конфликт на интереси, наречена е теорија на игри, затоа што типични примери на такви ситуации претставуваат различни друштвени игри, како што се спортски игри, игри со карти (покер, бриџ, итн.), шах, итн. Се разбира, иако најголем дел од термините кои се користат во математичка теорија на игри се слични на терминологијата на друштвени игри, теоријата на играта има и многу поширока примена и се користи за модел на конфликтни ситуации во математиката, политика, економија, воена стратегија, итн.

Класификација на игрите

Може да се зборува за игра помеѓу две лица, како што е шах, и за игри со повеќе лица, како што се покер, бриџ итн. Често се зборува и за игри во кои учествува само едно лице, како што е играта солитер. Во играта солитер, факторите на вештина и играчка среќа( т.е случајност) можат да бидат од големо значење. Меѓутоа тоа нема многу допирни точки со математичка теорија на конфликти, каде во прашање е конфликт на волјата на повеќе субјекти. Од друга страна, ако бројот на играчи е барем 3, се појавува можност да се направи коалиција, што исто така не е од интерес на оваа тема. Затоа се ограничуваме на игри со две лица.

Втора класификација на игрите се заснова на присуство или отсуство на елементи на случајност, кои се најчесто изложени во тешки игри.

Третиот критериум за класификација на игрите тргнува од тоа дали играчите имаат потполна информација за позицијата на играта како и за можните потези во секоја позиција – свои и на својот противник. Шах е игра со потполна информација, додека бриџ, кој се игра со два играча ( секој играч е тим од две личности), интересен е по тоа што ‘играчот’ нема потполна информација ниту за ‘своите’ карти. Бриџ како и останатите игри со карти се игри со непотполна информација.

Играта е конечна ако има конечен број на позиции и ако секоја партија на таа игра мора да се заврши после конечен број на потези.

Игрите кои ќе бидат разгледувани ќе ги задоволуваат следните услови:

(Г1) Играта два играчи, кои најчесто ќе ги викаме Прв и Втор, односно А и Б.

(Г2) Во играта постојат конечен број на позиции, при што една од нив се нарекува почетна позиција.

(Г3) Играта има јасно дефинирани правила со кои се одредени дозволени (легални) потези на играчите во секоја позиција.

(Г4) Прв и Втор играч влечат наизменично потези.

(Г5) Двајцата играчи располагаат со потполна информација.

(Г6) Играта е рамноправна, што значи дека во секоја позиција можните потези не зависат од тоа кој играч е на потег. Шахот на пример не е рамноправна игра, бидејќи во дадена позиција, бел и црн ( Прв и Втор) играч не располагаат со исти опции.

(Г7) Правила на играта се такви да секоја партија на играта се завршува после конечен број на потези, кога еден од играчите – кога е на потег, нема на располагање легален потег. Во нормална игра, играч кој се најде во ваква ситуација губи. Во спротивна игра, играчот кој ќе се најде во ваква ситуација е победник. Значи, играта не може да биде нерешена (реми) .

Изгубени и добиени позиции

Сите позиции се делат на две класи. Позиции на една класа ги викаме – победнички, а позиции на втора класа ги викаме – губитнички. При тоа:

1) Завршна позиција е губитничка ( играч на потег губи) 2) Не постои потег кој од некоја губитничка позиција води во друга губитничка позиција( т.е. ако постои потег во некоја губитничка позиција, тогаш тој води до некоја победничка позиција). 3) Од секоја победничка позиција со некој потег може да се стигне во некоја губитничка позиција.
Добар потег е оној ако тој ја предводи играта од победничка позиција во губитничка позиција, во спротивен случај тој е лош.

Со одредување на класи на изгубени позиции се добива решението на играта. Навистина, победничка стратегија се состои од тоа да со секој потег играта се преведува во изгубена позиција. Според тоа, ако почетната позиција е изгубена , Втор играч има победничка стратегија, во спротивно Прв.

Пример 1

На еден куп се наоѓаат n жетони. Двајца играчи наизменично земаат жетони. Со еден потег дозволено е да се земе 1,2 или 4 жетони. Победник е играчот кој ќе го земе последниот жетон. За кои вредности на n победи може да обезбеди Првиот играч, а за кои Вториот?

Решение:

Позиција на играта е одредена со број на жетони на купот. За некоја позиција ќе речеме дека е лоша ако бројот на жетони е делив со 3, во спротивно ќе речеме дека е добра. Лесно се гледа дека лошите позиции се изгубени за играчот на потезот. Навистина, од секоја таква позиција може со дозволен потег да се дојде само во добра позиција. Од друга страна, со земање на 1 или 2 жетони, секогаш од добра позиција играта може да се претвори во лоша. Завршна позиција ( 0 жетони на купот) е лоша. Значи спрема тоа, Првиот играч има победничка стратегија ако бројот n не е делив со 3, бидејќи со секој свој потег може да ја приведе играта во лоша позиција, а на потег е секогаш кога е добра позицијата. Во спротивно (ако бројот n е делив со 3), победничка стратегија има Вториот играч.

Пример 2

На еден стол се наоѓаат 60 жетони. Со еден потег бројот на жетони може да се смали за било кој број, кој е делител, на бројот на жетони што се наоѓаат на столот. Губи играчот кој ќе го земе последниот жетон. Кој играч ја има победничката стратегија?

Решение:

Позиција на играта нека биде претставена со бројот на жетони. Очигледно е дека во оваа игра ќе победи оној играч кој ќе го добие бројот 1. Значи оваа игра може да се сведе на игра во која победник е играчот кој после неговиот потег остане 1 жетон на столот. Изгубените позиции во оваа игра се претставени со непарни броеви. Навистина, од секоја позиција со непарен број може да се дојде само во позиција со парен број на жетони ( бидејќи сите делители на непарен број се непарни). Од друга страна, со намалување за 1 жетон ( 1 е делител на секој природен број), од секој парен број може да се добие непарен. Значи победничка стратегија има Првиот играч и тој треба секогаш да остава на противникот непарен број на жетони на масата.

Нерамноправни игри

"Борба на петли е чесна игра, бидејќи двата петла

потполно уживаат во неа, се разбира , на свој пеколен начин."

-Хорхе Луис Борхес

Сите примери кои беа разгледувани досега беа рамноправни или чесни игри, во смисол на условот (Г6).

Во некои игри, меѓутоа, во дадена позиција не мора двата играчи да располагаат со исти можности. Типичен пример е шахот. Во било која позиција Првиот играч може да игра само со бели фигури, а Вториот само со црни. Од друга страна, може да се набљудуваат и игрите во кои завршните позиции се делат во две класи – оние за кои се смета за победник Првиот играч, и оние за кои се смета за победник Вториот играч, без оглед на тоа кој играч последен повлекол потег.

Пример 1

Два играчи наизменично пишуваат во низа по една цифра се додека не се добие 2n-цифрен број. Не е дозволено да се употребува цифрата 0. Победник е Вториот играч ако добиениот број е делив со: (а) 11;(б)7. Во спротивно, победник е Првиот играч. Кој играч може да обезбеди победа без оглед на тоа како игра неговиот противник?

(в) Кој играч може да обезбеди победа ако се пишува број со 2n+1 цифра, а победник е Првиот играч ако добиениот број е делив со 11, во спротивно Вториот? Цифрите се пишуваат во ред од лево кон десно.

Решение:

(а) Вториот играч може да постигне добиениот број да биде делив со 11. Тој секогаш треба да ја напише истата цифра која претходно ја напишал неговиот противник. На тој начин се добива број кај кој збирот на цифрите на парните места е еднаков со збирот на цифрите на непарните места, што значи дека добиениот број ќе биде делив со 11.

Напомена. Тврдењето важи и во случај кога цифрите не се пишуваат по ред. Од 2n цифри кои ги пишуваат играчите, n се наоѓаат на парни, а n на непарни места. Вториот играч секогаш треба да ја напише истата цифра која претходно ја напишал неговиот противник, но на позиција со спротивна парност.

(б) Втор играч може да обезбеди победа. Тој треба да замисли дека записот на дадениот број е поделен на n двоцифрени бореви. Тој треба да пишува цифри така да секој од тие двоцифрени броеви биде делив со 7. Тоа е можно, бидејќи во рамките на секоја десетка постои број кој е делив со 7.

(в) И во овој случај победа може да постигне Вториот играч. Со својот прв потег тој испишува цифра за 1 помала од онаа која ја напишал неговиот противник претходно, а потоа продолжува да ги пишува цифрите кои ги пишува неговиот противник. Првиот не може со својот последен потег да добие број делив со 11, бидејќи во тој момент разлика на збирот на цифрите на непарни , и на парни места е еднаква на 10.

Пример 2

Два играча испишуваат 2n – цифрен број, употребувајќи ги само цифрите 6,7,8 и 9. Првата цифра ја пишува Првиот играч, втората Вториот, третата Првиот, итн. наизменично. Ако на тој начин се добие број делив со 9, победник е Вториот играч, во спротивно Првиот. За кои броеви n победничка стратегија има Првиот, а за кои Вториот играч?

Решение:

За n=3k, победничка стратегија има Вториот играч. После секој потег на Првиот играч, тој пишува цифра која собрана со онаа која ја напишал неговиот противник во претходниот потег дава збир 15.

За n=3k+1, победничка стратегија има Првиот играч. Со својот прв потег пишува било која цифра различна од 9. После секој потег на Вториот играч, Првиот пишува цифра која собрана со онаа која ја напишал неговиот противник во претходниот потег, дава збир 15. При таква игра на приот играч, збирот на сите сифри освен првата и последната, е делив со 9. Бидејќи првата цифра е различна од 9 , збирот на сите цифри не е делив со 9.

За n=3k+2, победничка стратегија има Првиот играч. Со својот прв потег тој ја пишува цифрата 9. После секој потег на Вториот играч, освен претпоследниот, Првиот играч игра исто како во случајот n=3k+1. Ако со својот претпоследен потег Вториот играч напише цифра различна од 9, Првиот после тоа ја пишува цифрата 9, а ако Вториот играч ја напише цифрата 9, Првиот играч пишува цифра различна од 9. При таква игра на првиот играч, збир на сите цифри освен на прва и трите последни е делив со 9. Меѓу преостанатите четири цифри, барем две се деветки и барем една е различна од 9. Значи збир на тие четири цифри, според тоа не збирот на сите цифри , не е делив со 9.

Ним

Што е Ним?

Ќе дадеме прво опис на стандардната игра Ним.

На маса се наоѓаат неколку купчиња со жетони. Играчите ( Прв и Втор ) наизменично земаат жетони од масата. Со еден потег може од еден куп да се земат неколку жетони ( барем еден, а може и сите). Победник е играчот кој ќе го земе последниот жетон од масата.

Позиција со k купови, при што на првиот куп има n1 жетони, вториот n2,…, k-та nk жетони и означуваме со [n1,n2,…,nk].

Пример 1

Нека почетна позиција е [8,10,7,1].

Една можна партија на играва може да изгледа вака (потезите на Првиот и Вториот играч се претставени со позиции кои настануваат после нивните потези):

|Потег |Прв |Втор |
|1 |[8,10,3,1] |[8,7,3,1] |
|2 |[7,7,3,1] |[7,5,3,1] |
|3 |[6,5,3,1] |[6,4,3,1] |
|4 |[5,4,3,1] |[5,4,0,1] |
|5 |[5,3,0,1] |[2,3,0,1] |
|6 |[0,3,0,1] |[0,1,0,1] |
|7 |[0,0,0,1] |[0,0,0,0] |

Ним – собирање

Пред да продолжиме со понатамошно изучување на играта Ним, ќе воведеме една операција во множеството на ненегативни цели броеви, која претставува клуч на теорија за оваа игра.

Нека N0 е множество од ненегативни цели броеви, За броевите p,q[pic]N0 ќе го дефинираме нивниот Ним- збир, со ознака p[pic]q, на следниот начин: двата броја од декаден броен систем се претвараат во бинарен и се запишуваат еден под друг како и при обично собирање. Еден број кој е во декаден систем за да се запише во бинарен потребно е бројот да се дели со 2 се додека не се добие количник 0. На страна се запишуваат остатоците при делење со 2 и потоа се читаат одоздола нагоре. Откако ќе се претворат во бинарни тие се запишуваат еден под друг ( ако цифрите во некоја колона се исти тогаш Ним – збир е 0, ако се различни тогаш Ним – збир е 1). Потоа добиениот резултат се претвора повторно во декаден запис. При претворање на број од бинарен во декаден над секоја цифра од бинарниот број се пишува степенот на важноста а потоа се сумира производот од цифрата од бинарниот број и основата 2 на соодветен степен.

Пример 2

Претвори ги во бинарни броевите 51 и 47.

51:2=25 1 47:2=23 1

25:2=12 1 23:2=11 1

12:2=6 0 11:2=5 1

6:2=3 0 5:2=2 1

3:2=1 1 2:2=1 0

1:2=0 1 1:2=0 1

5110=1100112 4710=1011112

Пример 3

Најди ги следните Ним – збирови: (а) 51[pic]47 и (б) 49[pic]34.

Решение:

Броевите најпрво ги претвораме во бинарни

(а) 5110=1100112 и 4710=1011112

1 1 0 0 1 1

1 0 1 1 1 1

1 1 1 0 0

[pic][pic][pic][pic][pic]2= 0*20+0*21+1*22+1*23+1*24=0+0+4+8+16=2810

51[pic]47=28

(б) 4910=1100012 ; 3410=100012

1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 1

100112=1910

49[pic]34=19

Лесно се гледа дека за Ним – збир важат законите за комутативност и асоцијативност ( бидејќи истите важат и за собирање по модул 2 во множеството {0,1}), и дека бројот 0 е неутрелен елемент за Ним – збир. Со други зборови, за произволни ненегативни цели броеви a,b и c важи:

a[pic]b=b[pic]a

(a[pic]b) [pic]c=a[pic](b[pic]c)

0[pic]a=a[pic]0=a

На основа на асоцијативноста, може да се зборува за Ним – збир на k броеви (k[pic]2), во ознака n1[pic]n2[pic]…[pic]nk.

Во некоја колона Ним – збир на k броеви стои цифра 0 ако парен број на собироци во таа колона имаат цифра 1, а цифра 1 во спротивен случај.

Теорема 1. За Ним – збир на k собироци, k[pic]2, важат следните тврдења:

(Н1) Ако во Ним – збирот n1[pic]n2[pic]…[pic]nk се промени точно еден собирок ( зголеми или намали ), Ним – збир ќе се промени.

(Н2) Ако Ним – збир на неколку броеви е различен од 0, тогаш постои барем еден собирок кој може да се намали така да новиот Ним – збир ќе биде еднаков на 0.

Доказ. (Н1) Со промена на еден собирок се менува барем една цифра во неговиот бинарен запис. Тоа повлекува промена во цифра во бинарниот запис на Ним – збир, во сите редици во кои е променета и цифра на собирокот

(Н2) Да ја воочиме најстарата редица во која цифра на Ним – збир е еднаква на 1. Тогаш постои барем еден собирок кој во таа редица, исто така , има цифра 1

( бидејќи број на такви собироци е непарен ). Нека a е еден од такви собироци. Да го замениме a со бројот b, кој од a се добива на тој начин што во секоја редица, во која Ним – збир иам цифра 1, ќе ја промениме цифрата ( 1 во 0, 0 во 1 ). На тој начин, нов Ним – збир ќе биде еднаков на 0. Од друга страна јасно е дека b[pic].

Re{enie:

a) Neka [pic]. Toga{, levata strana na neravenstvoto e pozitiv-

na, a desnata e negativna, pa zatoa neravenstvoto va`i za [pic].

b) Neka [pic]. Dadenoto neravenstvo go zapi{uvame vo oblik

[pic], t.e.

[pic].

Za [pic] va`i [pic], [pic], t.e [pic] i [pic], t.e. [pic],

pa zatoa nivniot zbir e pozitiven broj. Zna~i neravenstvoto va`i

i za [pic].

v) Neka[pic]. Dadenoto neravenstvo go zapi{uvame vo oblik

[pic], t.e.

[pic].

Bidej}i [pic], imame deka [pic], [pic] i [pic], t.e. levata stra-

na na neravenstvoto e pozitivna, pa zatoa neravenstvoto va`i i za

[pic].

Od prethodnata diskusija sleduva deka dadenoto neravenstvo va-

`i za sekoj broj [pic].

Primer 4:

Ako [pic] i [pic], doka`i deka [pic].

Re{enie:

Od [pic] se dobiva deka [pic], t.e. [pic] [pic]

Od [pic] se dobiva deka [pic], t.e. [pic] [pic]

Od [pic] se dobiva deka [pic], t.e. [pic] [pic]

Toga{, zbirot na [pic] i [pic] e pozitiven broj, t.e.

[pic], odnosno [pic].

No, i proizvodot na [pic] i poslednoto neravenstvo isto taka e po-

zitiven broj, t.e. [pic]. So delewe na ova neraven-

stvo so brojot [pic], po nekolku transformacii se dobiva

[pic], [pic],

[pic], t.e. [pic], odnosno

[pic].

Primer 5:

Doka`i deka za [pic] va`i

[pic].

Re{enie

Za [pic] i [pic] va`i

[pic], [pic], [pic], [pic], [pic],

[pic], t.e. [pic].

So zamena vo poslednoto neravenstvo za [pic] i sobi-

rawe na dobienite neravenstva se dobiva

[pic]

[pic],

so {to neravenstvoto e doka`no. Znakot za ednakvost va`i za [pic].

Primer 6:

Neka [pic]. Doka`i deka

[pic].

Re{enie:

Bez gubewe na op{tosta, pretpostavuvame deka [pic]. Neka

[pic], [pic] i [pic]. Toga{

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic],

so ednakvost ako i samo ako [pic]. Bidej}i [pic] e ednakov na

[pic], neravenstvoto e doka`ano.

Primer 7:

Doka`i deka za nenegativnite realni broevi [pic], [pic] i [pic], za koi

[pic], va`i [pic].

Re{enie:

Ako bilo koi od broevite [pic], [pic] i [pic] se ednakvi na nula, toga{ ne-

ravenstvoto e o~igledno, t.e [pic]. Neka site tri bro-

evi se pozitivni. Pretpostavuvame deka [pic]. Toga{

[pic], t.e. [pic],

[pic], t.e. [pic] i

[pic], t.e. [pic].

So sobirawe na ovie tri neravenstva se dobiva

[pic] [pic]

So primena na neravenstvoto me|u aritmeti~kata i geometriskata

sredina se dobivaat neravenstvata

[pic], [pic] i [pic],

a so nivno sobirawe se dobiva [pic] [pic]

Imaj}i ja vo predvid napravenata pretpostavka i neravenstvata [pic]

i [pic], se dobiva deka

[pic],

{to ne e mo`no. Spored toa napravenata pretpostavka ne vo red, pa

zatoa [pic].

Primer 8:

Neka [pic] za koi [pic]. Presmetaj

[pic].

Re{enie:

Bidej}i

[pic]

[pic]

[pic],

minimalnata vrednost na izrazot e 2, t.e. [pic].

Primer 9:

Neka [pic], [pic] i [pic] se nenegativni realni broevi i pri-

toa [pic]. Doka`i deka [pic].

Re{enie:

Od [pic], [pic] i [pic] se dobiva deka [pic], [pic]

i [pic]. So primena na neravenstvoto me|u aritmeti~kata i geome-

triskata sredina se dobivaat neravenstvata

[pic],

[pic] i

[pic].

So nivno sobirawe se dobiva deka

[pic]

=[pic].

Vo neravenstvoto me|u aritmeti~kata i geometriskata sredina ed-

nakvost va`i ako i samo ako [pic], [pic] i [pic], od kade

[pic], [pic] i [pic]. No, toga{ zbirot na broevite [pic], [pic] i [pic] }e bide

[pic], {to e vo sprotivnost so [pic]. Poradi toa, va`i

samo znakot za strogo pomalo.

Primer 10:

Neka [pic], [pic] i [pic] se realni broevi za koi [pic]. Doka`i deka

[pic].

Re{enie:

Od ravenstvoto [pic] se dobiva [pic], [pic] i [pic]. Toga{

[pic],

[pic] i

[pic].

So sobirawe na ovie tri neravenstva se dobiva

[pic].

Znakot za ravenstvo va`i samo ako [pic], [pic] i [pic], od kade

se dobiva [pic].

Primer 11:

Neka [pic], kade {to [pic]. Doka`i deka ako [pic],

toga{ maksimalnata vrednost na proizvodot [pic] e [pic].

Re{enie:

Bidej}i [pic] i [pic], dobivame deka

[pic].

Za [pic] imame [pic], t.e. [pic] [pic]. Proizvodot

[pic] go zapi{uvame kako

[pic].

So kvadrirawe, od [pic] dobivame deka [pic]. Toga{

[pic].

Ova zna~i deka proizvodot [pic] ima maksimalna vrednost [pic]. Taa se

dobiva za [pic], t.e za [pic]. Toga{ [pic], od kade [pic], no

i [pic], a toa se i broevite za koi se dobiva maksimalnata vrednost.

Primer 12:

Neka [pic] i [pic]. Doka`i go neravenstvoto

[pic].

Re{enie:

Bidej}i [pic], sobirocite od levata strana na neravenstvo-

to se pozitivni realni broevi, pa zatoa

[pic].

Za dokaz na dadenoto neravenstvoto dovolno e da doka`eme deka

[pic] , t.e.

[pic] [pic]

Go primenuvame neravenstvoto me|u aritmeti~kata i geometriskata sredina i dobivame

[pic].

So toa e doka`ano neravenstvoto [pic], no i dadenoto neravenstvo.

Znakot za ednakvost va`i samo ako [pic].

Primer 13:

Neka [pic], [pic] i [pic] se pozitivni realni broevi za koi [pic].

Doka`i deka [pic].

Re{enie:

Za [pic], [pic] i [pic] va`i neravenstvoto [pic].

Od nego, pri dadeniot uslov se dobiva

[pic], t.e. [pic], odnosno [pic].

Toga{

[pic]

[pic].

Znakot za ednakvost va`i ako i samo ako [pic]. No, od uslovot

[pic], se dobiva deka ednakvost va`i za [pic].

Primer 14:

Ako [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] i [pic], doka`i deka

[pic].

Re{enie:

Dadenoto neravenstvo go transformirame vo oblik vo koj }e mo`e da se primeni neravenstvoto me|u aritmeti~kata i geometriskata sredina. So mno`ewe na prviot i ~etvrtiot i na vtoriot i tretiot ~len dobivame

[pic],

[pic],

[pic],

[pic], t.e. [pic].

]e ja doka`eme to~nosta na ova neravenstvo. So toa }e bide doka`a-

no i dadenoto neravenstvo. Imaj}i vo predvid deka [pic], [pic], [pic]

i [pic], [pic] i [pic], dobivame deka

[pic]

[pic].

Znakot za ednakvost va`i samo za [pic].

Primer 15:

Doka`i deka za pozitivnite broevi [pic], [pic] i [pic] va`i

[pic].

Re{enie:

So transformirawe na levata strana na dadenoto neravenstvo, a

potoa i primena na neravenstvoto me|u aritmeti~kata i harmonis-

kata sredina, no vo oblik [pic], se dobiva deka

[pic]

[pic]

[pic].

Vo neravenstvoto me|u aritmeti~kata i harmoniskata sredina ed-

nakvost va`i ako i samo ako [pic]. Zatoa, vo dadenoto neravenstvo

znakot za ravenstvo va`i samo ako [pic], [pic] i [pic], t.e. [pic].

Primer 16:

Najdi [pic], za dadeni [pic] za koi

[pic].

Re{enie:

So primena na neravenstvoto me|u geometriskata i harmonis-

kata sredina se dobiva

[pic],

od kade [pic]. Zna~i,

[pic].

Minimumot se dostignuva za [pic].

Primer 17:

Neka [pic] se pozitivni realni broevi. Doka`i deka

[pic].

Re{enie:

Sobirocite vo neravenstvoto se pozitivni broevi. Za sekoj od

niv go primenuvame neravenstvoto [pic], so ednakvost ako i samo ako [pic], i dobivame deka

[pic], [pic], ..... ,[pic].

Gi sobirame ovie neravenstva koi se vkupno [pic] na broj, a potoa go

primenuvame neravenstvoto me|u aritmeti~kata i geometriskata sredina i dobivame deka

[pic]

[pic].

Znakot za ednakvost va`i ako i samo ako [pic].

Primer 18:

Doka`i deka za sekoj [pic] va`i

[pic].

Re{enie:

Bidej}i za sekoj [pic] va`i

[pic],

se dobiva [pic], t.e. [pic], odnosno [pic].

So zamena vo poslednoto neravenstvo po red za [pic] i sobi-

rawe na dobienite neravenstva se dobiva

[pic].

Пример 19:

Neka [pic]. Doka`i deka [pic], kade шto [pic] e cel del od brojot [pic], a [pic] e droben del od brojot [pic].

Reшenie:

Ako [pic], togaш [pic], a [pic]. Togaш [pic]. Ako [pic], toga[ [pic], a [pic]. Togaш [pic].

Neka [pic] i [pic]. Togaш [pic] i [pic]. Pretpostavuvame deka [pic] i [pic]. Zna~i i [pic] i [pic], a bidej]i [pic], imame deka [pic], pa [pic]. Dadenoto neravenstvo dobiva oblik [pic]. Ova e ekvivalentno so

[pic],

[pic],

[pic], t.e. [pic].

Delime so [pic] i dobivame [pic], odnosno [pic]. Bidej]i site sobiroci se nenegativni, ova neravenstvo e to~no. So toa dadenoto neravenstvo e doka`ano.

Пример 20:

Neka [pic] takvi шto [pic]. Doka`i deka

[pic].

Решenie:

Stavame [pic]. Togaш poradi uslovot [pic] i

[pic].

Neravenstvoto шto treba da go doka`eme glasi

[pic].

Spored neravenstvoto meѓu aritmeti~kata i geometriskata sredina imame

[pic][pic]

[pic].

Zna~i

[pic]

[pic][pic][pic]

[pic].

Ottuka dobivame [pic]. Ednakvost va`i ako i samo ako [pic].

Пример 21:

Ako [pic] i [pic] se realni takvi da [pic] i [pic], doka`i deka

[pic].

Reшenie:

Neka [pic]. Togaш[pic], pa zatoa [pic]. Zna~i tvrdeweto va`i koga [pic]. Neka [pic]. Togaш [pic], pa zatoa [pic], od kade [pic], t.e. [pic]. Bidej]i

[pic], t.e. [pic],

odnosno [pic], dobivame deka

[pic]

[pic] [pic]

Od uslovot na zada~ata [pic] i neravenstvoto [pic], dobivame deka [pic]. Ottuka [pic], t.e. [pic]. Zamenuvajќi vo [pic] dobivame [pic], шto trebaшe da se doka`e.

Пример 22:

Neka [pic] takvi [to [pic]. Doka`i deka

[pic].

Reшenie:

Imame

[pic][pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]

[pic][pic].

Ostanuva da doka`eme deka [pic]. So primena na neravenstvoto na Koшi-Buwakovski-Шvarc za trojkite broevi [pic] i [pic] dobivame

[pic],

[pic], t.e. [pic][pic] [pic]

No [pic][pic]. Ottuka i od [pic] dobivame deka [pic]. Ednakvost va`i ako i samo ako [pic], t.e. [pic], a poradi [pic], dobivame deka [pic].

Натпревар по математика за четврта година

1.Дадена е низата од броеви 49,4489,444889 ,........секој нареден член на низата се добива од претходниот со допишување на бројот 48 во неговата средина.Да се докаже дека секој член на низата е полн квадрат.

2.Одреди ја онаа тангента на елипсата [pic]која со координатните оски формира триаголник со најмала хипотенуза.

3.По завршувањето на еден шаховски турнир се утврдило дека секој учесник освоил точно половина од своите поени играјќи со натпреварувачите кои се пласирале на последните три места.Колку учесници имало на турнирот ?(Притоа секој учесник одиграл по една партија со секој од останатите учесници.За победа се добива по еден поен,за реми половина поен а за пораз не се добива ниту еден поен)

4.Најди ги сите функции [pic]такви што за [pic]важи[pic].