DIMOSTRAZIONE TEORICA
L’ottimizzazione di un portafoglio di titoli “rischiosi” nel senso di determinazione della varianza minima) è un problema di ottimo vincolato:

T

min  2 ( R p )  x  S  x
s.v
xT  I  1


T
 E ( R p )  x  E    given


che si risolve minimizzando la funzione “Lagrangiana1”:
T

T

T

C  x  S  x  1  (1  x  I )  2  (  x  E )

La funzione C dipende da n+2 variabili:

C ( x, 1 , 2 )
 x1 
x  dove x è un vettore colonna a n componenti x   2 
 
 
x n 
1

Il metodo dei ‘moltiplicatori di Lagrange’ è utilizzato per trovare il massimo o il minimo di funzioni quando esitono dei vincoli sulle variabili. In tale metodo la lettera lambda () è utilizzata per rappresentare una variabile chiamata il
‘moltiplicatore di Lagrange’. Il ‘moltiplicatore di Lagrange’ , è trattato come una variabile indipendente e permette di scrivere la funzione Lagrangiana:

F ( x, y,  )  f ( x, y)    g ( x, y)
Dove z = f(x, y) è la funzione obiettivo e g(x, y) = 0 è il vincolo.
Per esempio, volendo massimizzare o minimizzare una funzione z = f(x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = 0, si eseguiranno i seguenti step:
Step1: determinazione funzione Lagrangiana

F ( x, y,  )  f ( x, y)    g ( x, y)
Step2: determinazione di ciascuna derivata parziale Fx, Fy, F, a condizione che esistano.
Step3: risoluzione del sistema di 3 equazioni:  Fx ( x, y,  )  0


 Fy ( x, y ,  )  0

 F ( x, y ,  )  0

Step4: se f ha un minimo o un massimo relativo soggetto al vincolo g(x, y) = 0, allora i valori corrispondenti di x e y saranno sicuramente tra le soluzioni del sistema indicato nello Step3.

1

per cui, volendo minimizzarla, dobbiamo fare le n+2 derivate (parziali) rispetto alle n+2 variabili ed uguagliarle a zero. Ricaveremo allora un sistema di n+2 equazioni lineari (  2 ( R p ) è quadratica, e la derivata è lineare) in n+2 incognite.
Se si introduce un investimento (aggiuntivo, rispetto agli n investimenti in titoli rischiosi) risk-free con rendimento rf, il rendimento del portafoglio (a questo punto di n+1 titoli) sarà dato da:
T

T

E ( R p )  x  E  (1  x  I )  r f
Per cui il problema di ottimo vincolato sarà:
T

min  2 ( R p )  x  S  x

(il risk-free non influenza la varianza)

s.v
 x T  I  (1  x T  I )  1  1  1( scompare)


T
T
E ( R p )  x  E  (1  x  I )  r f   ( fissato )


La funzione “Lagrangiana” sarà quindi:



T

T

T

C  x  S  x      x  E  (1  x  I )  r f



Tale funzione dipende da n+1 variabili:

C ( x,  ) dove x è un vettore colonna a n componenti.
Derivando rispetto alle n+1 variabili si ha:



T
C
 2x  S    E  rf
x



T
T
C
   x  E  (1  x  I )  r f


Eguagliando a zero tali derivate (parziali) si ha il seguente sistema di equazioni:





2 x T  S    E  r  0 f 

T
T
  x  E  (1  x  I )  r f  0


2

Poiché non serve esplicitare e determinare il valore di , ci si può limitare al sistema di n equazioni nelle n+1 incognite ( x e 




T



2 x  S    E  rf  0 da cui:



T

x S 

2

E  r  f e ponendo: z 2



x

T

si ha:



S  z  E  rf



da cui:



z  S 1  E  r f



Se standardizziamo:

2 zi 

n

z i 1

i

 n xi



2

 x i 1

i

xi n x i 1

i

 x1 
x 
2
Troviamo il portafoglio desiderato: x   
 
 
x n 
RICERCA DEL PORTAFOGLIO OTTIMO CON IL MODELLO SINGOLO INDICE
Il sistema di equazioni:



S  z  E  rf



ricordando che:

3

  12  1, 2

2
2

S   2,1
 3,1  3, 2
 n ,1  n , 2


 1,3 ....
 2,3 .....
 32 ......
 n ,3

 1,n 

 2,n 

 3, n 
2
n 


può essere scritto:

n

z i   i2   z j   i , j  Ei  r f

per i = 1, 2, ……,n

j 1 j i

Nel modello Singolo Indice sappiamo che:
^

1) R i ,s   i   i  RMs   i ,s con le assunzioni (da verificare empiricamente):
2) E ( i )  0 per ogni titolo i = 1, 2, ……,n

E ( i2 )  E i  E ( i )   2i
2

(varianza dell’errore)

3) cov( i , RM )  0
4) cov( i ,  j )  E ( i   j )  0
La 1) quando non c’è la necessità di indicare il periodo ‘s’ può essere scritta:
^

R i   i   i  RM   i

e inoltre:

^

E ( R i )   i   i  E ( RM )

a)
^

E ( R i )  E ( R i )  E ( i   i  RM   i )   i   i  E ( RM )
b)
^

 ( Ri )  E  Ri  E ( Ri )


2

^

2

2



 E  i   i  RM   i   i   i  E ( RM ) =


2



 E  i   i RM  E ( RM ) =



4

2
 2

2
 E  i   i RM  E ( RM )  2   i   i RM  E ( RM ) =



2

 E ( i ) 2   i2  E RM  E ( RM )  2   i  E i  RM  E ( RM ) =
 

 cov( i , RM )

2
=  2i   i2   M

per i = 1, 2, ……., n

c)




 ij  E  Ri  E ( Ri )   R j  E ( R j )  =

 

^

^



 








 E i   i  RM   i   i   i  E ( RM )  j   j  RM   j   j   j  E ( RM ) =



 E  i  RM  E ( RM )   i   j  RM  E ( RM )   j  = sviluppando il prodotto e facendo il valore atteso di ciascun termine si ottiene:

 i   j  E  RM  E ( RM )  i  E  j   RM  E ( RM )    j  E  i   RM  E ( RM )   E ( i   j ) =
2

0 assunzione 3

0 assunzione 3

0 assunzione 4

2
= i   j  M

La varianza dell’errore

 2

i

può essere stimata attraverso la varianza residua:

2



2e i ^


 E  Ri  R i   valore medio del quadrato delle differenze tra valori effettivi Ri e valori



^

teorici (perequati) R i .
Quindi:
^


 Ris  R is 


 s 1 m m

 i2e

2

‘m’ sono le osservazioni

Il sistema di equazioni:

n

z i   i2   z j   i , j  Ei  r f

per i = 1, 2, ……,n

j 1 j i

diventa:
5

n

2
2
= z i  ( i2e   i2   M )   z j   i   j   M  Ei  r f = j 1 j i

n

2
2
= z i i2e  z i  i2   M   i   M   z j   j  Ei  r f = j 1 j i

= z i



n


  i   M  z i  i   z j  j   Ei  r f = j 1

 j i



2e i 2

n

2
= z i i2e   i   M   z j  j  Ei  r f

sempre per i = 1, 2, …..n

j 1

da cui: n 2
Ei  r f   i   M   z j  j j 1

zi 

per i = 1, 2, …..n

 i2e

cioè:
Ei  r f

zi 



 i2e

i  2

n

  z j  j per i = 1, 2, ……n

M

 i2e

j 1

moltiplichiamo ambo i membri per i vari  j e ne facciamo la somma:

n

n

 zi  j   j 1

E j  rf

j 1

n

j 

 2e j j 1

 j2   2

M

 2e j n

z j j j 1

otteniamo: n n

z  j 1

i

E j  rf

j 1

 2e j  j 

n

1  j 1

j

 j2   2

M



2e j j

e quindi:

6

n

E j  rf

j 1

 2e j 

n

z 



j

i

j

n

 j2

j 1

j 1

 2e j 1 M  
2

Sostituendo questo risultato nella relazione: zi 

Ei  r f

 i2e



i  2

M

 i2e

n

  z j  j per i = 1, 2, ……n j 1

si ha: n zi 

Ei  r f

 i2e



i  2

M

 i2e

E j  rf

j 1

 2e j 


j

n

 j2

j 1

 2e j 1 M  
2

da cui, ponendo: n C M 




E j  rf

j 1

2



2e j n

n

 j2

j 1

=

 2e j 1 M  
2

E j  rf

j 1

 2e j 1

n

 j2

j 1

 2e j 

j

2

M



j e (R/V)i =

Ei  r f

i

si ricava, finalmente:

zi 

i
 R / V i  C  
2e
i

dove:
R/V = Reward to Volatility
Anche qui si standardizza e si trova il portafoglio:

xi 

zi n z i 1

i

con
T

E ( Rp )  x  E

7

T

 2 (R p )  x  S   x indicando con S  :
  12

2
 2 1 M

S 
2
  3 1 M
 n 1 2
M


 1  2 2
2
2
 3  2 2
 n  2 2
M

M

M

1  3 2 ........ 1  n 2 

 2  3 2 .....  2  n 2 

 32 ......
 3  n 2 
2
 n  3 2
n 

M

M

M

M

M

M

8