Makroekonomia Zaawansowana Zadania z części prof. Cieślika
Zadanie 1 - 16.10.2013
Rozwiąż następujący problem:
Ct ,Ct+1 2 2 max U = Ct − aCt + β Ct+1 − aCt+1

pod warunkami: i) Ct + bt+1 + Kt+1 = Yt ii) Ct+1 = Yt+1 + (1 + r) bt+1 + (1 − δ) Kt+1 iii) Yt+1 = A ln (1 + Kt+1 ) gdzie A > r + δ. a) Znajdź optymalne wartości Kt+1 , Yt+1 , Ct , Ct+1 oraz bt+1 ; b) Znając optymalną wartość Kt+1 , znajdź ∂Kt+1 /∂r. Czy ten wynik ma sens? Dlaczego (nie)? c) Zakładając Yt = 1, β (1 + r) = 1 i A = 2 (r + δ), znajdź ∂bt+1 /∂r. Który efekt dominuje - substytucyjny czy dochodowy?

Zadanie 2 - 16.10.2013
Rozwiąż następujący trzyokresowy problem:
Ct ,Ct+1 ,Ct+2

max

U = ln Ct + β ln Ct+1 + β 2 ln Ct+2

pod warunkami: i) Ct + bt+1 = Yt ii) Ct+1 + bt+2 = Yt+1 + (1 + r) bt+1 iii) Ct+2 = Yt+2 + (1 + r) bt+2
∗ ∗ ∗ a) Znajdź optymalne wartości Ct , Ct+1 oraz Ct+2 ; ∗ ∗ ∗ b) Znajdź funkcję wartości V = U (Ct , Ct+1 , Ct+2 ), tzn. oblicz funkcję całkowitej użyteczności podstawiając wyniki uzyskane w a). Jaką formę funkcyjną ma V w porównaniu do U ?

Zadanie 3 - 16.10.2013
Mamy do czynienia z modelem inwestycji, w którym funkcja produkcji ma postać Cobba-Douglasa Y = AK α L1−α , gdzie A to stały w czasie poziom technologii, natomiast funkcja jednostkowego kosztu dostosowawczego przybiera następującą postać ϕ(I/K) = (ζ/2)(I/K), gdzie ζ to stały parametr określany egzogenicznie. Firma maksymalizuje zyski względem standardowego ograniczenia. W modelu nie ma deprecjacji. a) Wyznacz i zinterpretuj warunki pierwszego rzędu. ˙ b) Znajdź linie rozgraniczające q(t) i K(t), a następnie przedstaw je na diagramie fazowym w przestrzeni ˙ q (ceny-cienia kapitału) oraz K. c) Korzystając z diagramu fazowego przeanalizuj skutki nieoczekiwanej zmiany (wzrostu) poziomu technologii A. Co dzieje się z wartościami stanu ustalonego dla q i K? Porównaj uzyskany wynik dla wyniku z przypadku neoklasycznego, w którym nie występowały koszty dostosowawcze.

d) Korzystając z diagramu fazowego przeanalizuj skutki nieoczekiwanego wzrostu parametru ζ. Co dzieje się z wartościami stanu ustalonego dla q i K? Porównaj uzyskany wynik dla wyniku z przypadku neoklasycznego, w którym nie występowały koszty dostosowawcze. e) Korzystając z diagramu fazowego przeanalizuj skutki nieoczekiwanego wzrostu stopy procentowej r. Co dzieje się z wartościami stanu ustalonego dla q i K? Porównaj uzyskany wynik dla wyniku z przypadku neoklasycznego, w którym nie występowały koszty dostosowawcze. f) Opisz zachowanie w czasie zmiennych K, I/K oraz q w przypadku oczekiwanego i trwałego wzrostu parametru ζ.

Zadanie 4 - 16.10.2013 /23.10.2013
W modelu dwuokresowym rząd dostarcza gospodarstwom domowym dobra G, które są finansowane podatkami T . Zarówno dostarczanie dóbr, jak i opodatkowanie ograniczają się do pierwszego okresu. Gospodarstwo domowe rozwiązuje następujący problem, traktując podaż dóbr publicznych jako dany z góry:
Ct ,Ct+1

max {U = ln Ct + β ln Ct+1 + a ln Gt }

pod warunkiem: Ct + Ct+1 = Yt − Tt , gdzie a, β > 0. 1+r

∗ ∗ a) Znajdź optymalne wartości Ct , Ct+1 .

b) Wstaw optymalne rozwiązanie z punktu a) do funkcji użyteczności i uzyskaj postać funkcji zależny od G i T . c) Oblicz dla funkcji użyteczności z b) optymalny poziom T pod warunkiem zbalansowanego budżetu (Gt = Tt ).
∗ ∗ d) Wstaw rozwiązanie z c) do wyrażeń na Ct i Ct+1 z a) ∗ ∗ e) Jeżeli β = 1 i r = 0, to czy Ct+1 > Ct ? Dlaczego (nie)?

Zadanie 5 - 23.10.2013
W tradycyjnym modelu Solowa-Swana występują dwa czynniki produkcji: kapitał K i praca L, a funkcja produkcji ma postać Cobba-Douglasa i dana jest wzorem Y (t) = [K(t)]α [A(t)L(t)]1−α , dla 0 < α < 1, gdzie: Y (t) oznacza poziom produkcji w czasie t, A(t) oznacza poziom technologii w czasie t oraz zakłada się, że L i A rosną egzogenicznie w odpowiednio tempie n i g, a zmiana zasobu kapitału w czasie wynosi: dK/dt = sY (t) − αK(t). Model ten przewiduje, że poziom dochodu na głowę w danym kraju dąży do długookresowej wartości, odpowiadającej wartości stanu ustalonego. Niech y∗ oznacza poziom dochodu na efektywną jednostkę pracy w warunkach stanu ustalonego, a y(t) oznacza rzeczywistą wartość w czasie t. a) Pokaż, że równanie konwergencji, wyprowadzone z tego modelu ma następującą postać: d ln(y(t)) ≈ β[ln(y∗) − ln(y(t))] dt gdzie β = (1 − α)(n + g + δ). [Wskazówka: skorzystaj z szeregu Taylora i dokonaj aproksymacji wokół punktu równowagi długookresowej k∗] b) Korzystając z powyższej zależności pokaż, że wzrost dochodu na efektywną jednostkę pracy jest funkcją parametrów stanu ustalonego (takich jak s, n, g, δ) oraz początkowego poziomu dochodu y(0), którą można zapisać następująco: ln(y(t)) − ln(y(0)) = (1 − eβt ) {(α/1 − α)[ln(s) − ln(n + g + δ)] − ln(y(0))}

c) Rozpatrzmy teraz zmodyfikowany model autorstwa Mankiwa-Romera-Weila, w którym występuje kapitał ludzki H, a funkcja produkcji wyrażona jest wzorem: Y (t) = [K(t)]α [H(t)]η [A(t)L(t)]1−α−η , gdzie α > 0, η > 0 oraz α + η < 1. Niech sk oznacza część dochodu inwestowaną w kapitał fizyczny, natomiast sh jest częścią przeznaczaną na inwestycje w kapitał ludzki. Pozwala nam to na zapisanie warunków opisujących zmiany w czasie kapitału fizycznego na efektywną jednostkę pracy k(t) oraz kapitału ludzkiego na efektywną jednostkę pracy h(t) w następujący sposób: dk(t)/dt = sk y(t) − (n + g + δ)k(t) dh(t)/dt = sh y(t) − (n + g + δ)h(t) Jak w obecnych warunkach wyglądałoby równanie konwergencji z punktu a)? Czy szybkość dochodzenia do stanu równowagi długookresowej w zmodyfikowanym modelu Solowa-Swana jest większa czy mniejsza niż w modelu tradycyjnym? d) Jak wyglądałoby wyrażenie z punktu b) dla zmodyfikowanego modelu Solowa-Swana uwzględniającego kapitał ludzki?

Zadanie 6 - 23.10.2013
Mamy do czynienia z następującym problemem optymalizacyjnym gospodarstwa domowego:
∞

U (0) =
0

e−(ρ−n)t

c1−θ − 1 dt 1−θ

względem standardowego ograniczenia budżetowego: a (t) = r (t) a (t) + w (t) − c (t) − n · a (t) ˙ Firmy posiadają standardową neoklasyczną technologię produkcji F (K (t) , L (t) , A (t)), gdzie A (t) to poziom technologii zmieniający się w tempie g określanym w sposób egzogeniczny. a) Zakładając, że cena produkcji jest znormalizowana do jedności P = 1, zapisz funkcję zysku firmy w przeliczeniu na jednostkę pracy efektywnej AL. Znajdź warunki pierwszego rzędu dla problemu optymalizacyjnego firmy. b) Zakładając, że gospodarka jest zamknięta skorzystaj z warunków wyprowadzonych w a) w celu znalezienia wzrostu konsumpcji oraz kapitału na jednostkę pracy efektywnej. c) Jakie są wartości stanu ustalonego dla konsumpcji oraz kapitału na efektywną jednostkę pracy? Jakie są ich stopy wzrostu w stanie ustalonym? W jaki sposób zależą one od parametru θ? d) Korzystając z diagramu fazowego pokaż co dzieje się z wartościami kapitału oraz konsumpcji na jednostkę pracy efektywnej w sytuacji gdy poziom kapitału znajduje się poniżej wartości stanu ustalonego(tzn. k (0) < k ∗ ). W jaki sposób dochodzenie do stanu ustalonego zależy od parametru θ?

Zadanie 7 - 23.10.2013 /06.11.2013
W modelu Ramseya-Cassa-Koopmansa, w którym gospodarstwa domowe są jednocześnie firmami i wybierają swoją konsumpcję oraz zasób kapitału tak aby zmaksymalizować następującą funkcję użyteczności płynącej z całego życia:
∞

U (0) =
0

e−ρt ln c (t) dt

względem ograniczenia: ˙ k (t) = (1 − ty ) Ak α − tL − c − (δ + n) k + v gdzie: ty oznacza stały podatek od dochodu, tL podatek zryczałtowany, natomiast v to wielkość transferu otrzymywanego od rządu.

a) Załóżmy, że rząd przeznacza całe przychody z podatków na sfinansowanie konsumpcji rządowej g, która nie ma wpływu ani na użyteczność gospodarstw domowych ani na produktywność firm. ty Ak (t) + tL = g, with v = 0. Wyznacz wszystkie warunki pierwszego rzędu w powyższym problemie przyjmując, że stawki podatkowe są stałe w czasie. b) Następnie korzystając z diagramu fazowego w przestrzeni (c, k) przedstaw zachowanie gospodarki w odpowiedzi na zwiększone podatki dochodowe ty służące do sfinansowania zwiększonych wydatków na konsumpcję rządową g. Co dzieje się z wielkością kapitału na zatrudnionego w warunkach stanu ustalonego? c) Powtórz eksperyment przedstawiony w punkcie a)zakładając tym razem, że rząd zwiększył podatek zryczałtowany tL w celu sfinansowania konsumpcji rządowej zamiast podatku dochodowego ty . Czy uzyskane wyniki różnią się w porównaniu z poprzednimi wynikami? Dlaczego? d) Powtórz eksperyment, zakładając tym razem, że rząd w ramach tzw. solidarności społecznej postanowił nie zwiększać swojej konsumpcji, a przychody uzyskane z podatków przeznaczyć na sfinansowanie α zryczałtowanych transferów na rzecz społeczeństwa, tzn. ty Ak (t) + tL = v α Zadanie 8 - 06.11.2013
W dwuokresowym modelu OLG w okresie t rodzi się Lt osobników, gdzie Lt = (1 + n)t L0 . Dla uproszczenia normalizujemy L0 = 1 oraz zakładamy, że n > 0. Preferencje młodego osobnika urodzonego w czasie t można wyrazić za pomocą następującej funkcji użyteczności: U (c1,t , c2,t+1 ) = 2 (c1,t )
0.5

+ 2 (c2,t+1 )

0.5

,

gdzie c1,t oznacza konsumpcję młodego osobnika w okresie t, natomiast c2,t+1 oznacza jego konsumpcję w okresie t + 1, gdy jest on stary. Starzy osobnicy w okresie t pragną konsumować możliwie jak najwięcej. Każdy młody osobnik zostaje na początku okresu wyposażony w y jednostek dobra konsumpcyjnego, natomiast stary nie dostaje wyposażenia w drugim okresie i musi konsumować nagromadzone wcześniej zasoby dobra konsumpcyjnego. Technologia gromadzenia zapasów umożliwia przekształcenie jednostki dobra konsumpcyjnego z okresu t na 1 + r jednostek w okresie t + 1. W gospodarce obowiązuje system emerytalny typu "pay-as-you-go". W każdym okresie rząd nakłada podatek na młodych, a płynące z tego tytułu przychody przekazuje starym w formie transferu. Wysokość podatku per capita nakładanego na młodych w każdym okresie jest stała i wynosi τt = τ dla t = 0, 1, 2, . . . a) Jak wygląda ograniczenie budżetowe rządu w okresie t w postaci zagregowanej oraz per capita? b) Znajdź optymalne poziomy konsumpcji w okresie t oraz t + 1 oraz oszczędności młodego osobnika st . c) Jaki będzie wpływ wzrostu τ na oszczędności młodego osobnika? d) Jaka stawka podatkowa τ jest optymalna w sensie Pareto w sytuacji gdy n < r? Wyjaśnij dlaczego.

Zadanie 9 - 06.11.2013
Mamy do czynienia z doskonale konkurencyjną gospodarką, w której funkcję produkcji pojedynczej firmy α ˆ ˆ można wyrazić następującym wzorem: Yi = AKi L1−α , gdzie: A = K η przy czym K η oznacza całkowity i zasób kapitału w tej gospodarce, natomiast η reprezentuje efekt zewnętrzny związany z tym zasobem podobnie jak w modelu Romera. Stopa deprecjacji kapitału wynosi δ. Konsumenci maksymalizują następującą funkcję użyteczności z całego życia:
∞

U (0) =
0

e−(ρ−n)t

c1−θ − 1 dt 1−θ

względem ograniczenia: a (t) = r (t) a (t) + w (t) − c (t) ˙ gdzie c oznacza konsumpcję na głowę, a aktywa na głowę, natomiast w i r to odpowiednio stawki wynagrodzenia pracy i kapitału.

a) Zapisz warunki opisujące równowagę ogólną w tej gospodarce. b) Sporządź diagram fazowy opisujący zachowanie gospodarki w przestrzeni (c, k); czy równowaga długookresowa będzie stabilna w tym modelu w sytuacji, gdy α + η < 1? c) Przypuśćmy, że aktualny zasób kapitału w gospodarce znajduje się poniżej poziomu odpowiadającego równowadze długookresowej; jak w takiej sytuacji będą zmieniały się wartości k, c oraz y w czasie?

Zadanie 10 - 06.11.2013
Consider the Lucas-Uzawa model with the following modification. Imagine that, instead of the constant returns to scale that we assumed in class, the production function of the final good (in per worker terms) 1−α ψ takes the form y = Ak α (uh) (ha ) , where A is the level of technology, k and h are respectively stocks of physical and human capital per worker, u is the fraction of human capital used in production of the ψ final good and ha is the average stock of human capital in the economy. The term (ha ) represents an externality of the average stock of human capital on the production of final goods. The government imposes an income tax t. After-tax final output can be consumed or used to increase the stock of physical 1−α ψ ˙ capital: k = (1 − t) Ak α (uh) (ha ) − c − δk (we assume zero population growth for simplicity). The production of human capital exhibits constant returns to scale to the only input, human capital and all the flow of education produced in that sector accumulation is accumulated. Assume further that the government can impose a constant subsidy to education, s. The accumulation of the human capital, ˙ then, takes the form: h = (1 + s) Bh (1 − u) − δh, where B is the productivity level in the human capital sector, (1 − u) is the fraction of human capital devoted to the education sector. Assuming that households maximize their lifetime utility:
∞

U (0) =
0

e−ρt

c1−θ − 1 dt, 1−θ

subject to the above constraints and taking k(0) > 0, h(0) > 0, t, s and ha as given: a) Imagine that the economy is populated by people with different stocks of h, say h1 have low levels of skills, h2 , h3 , and so on. What would be the effect of introducing one more person with the highest level of skill to the productivity of the rest of the workers? Explain why. What would be the effect of introducing one more worker with the lowest skill? Explain why. Can you give arguments (words) in favor of modeling the externality as depending on the average rather than the aggregate stock of human capital? b) Find all the first order conditions characterizing the optimal choice of households. Give an economic interpretation to each of these conditions. c) Compute the steady state growth rates of physical and human capital, consumption and output as a function of the parameters of the model. Are they all equal? Why or why not? What role does the externality play? Why? d) What is the effect of an increase in the income tax rate, t, on the growth rate of output? Why? e) What is the effect of an increase in the subsidy, s, on the growth rate of output? Why? f) Consider now the planner problem. What is the growth rate of output chosen by the planner? Is it different from the one chosen by the private individuals? Why or why not?