Chapter15.7~16.7
15.7 平面向量
★向量(Vectors) 幾何意義：為有一定方向和長度的指向線段，向量上的箭頭為所指方 向。PS.若一個向量平行移動與另依線段完全重疊時，則此兩向量相 等。 定義 平面中的向量可用 2×1 的矩陣表示u ： 稱為 u 的分量。將平面向量稱簡稱為向量。 PS.兩向量若其分量皆相等，則此兩向量相等。 ★向量的長度或大小—畢氏定理 向量u , 的長度: ， 其中 , 是實數，

若一有向線段

,

;

,

的長度:

★利用向量求面積   x1  1 三角形面積= det   x 2  2  x  3 y1 1   y 2 1   y 3 1   y1 1   y 2 1   y 3 1   ；c 為一純量 ⟹ 將其分量相加 ,

  x1  平行四邊形面積= det   x 2   x  3 ★向量的運算 設u , 加法:u 減法:u v v ；v , u v ,

乘法:cu c .c ⟹ 由純量乘以分量得之 ★兩向量的夾角 設有兩向量 u=( x1 , y 2 )，v=( x 2 , y 2 ) 由兩向量 u=( x1 , y 2 )，v=( x 2 , y 2 )其內積(點積)定義可求得:

若非零向量 u 和 v 是垂直(perpendicular)或正交的(orthogonal)若 且唯若內積 u．v=0 則知 cos  =0，即  = 90  ，稱 u，v 為正交向量 (a) X‧Y=0 cos  =0 →X,Y 正交 →X,Y 平行 (b) X  Y = X Y cos  =  1 (c) X  Y = X Y cos  =1 →X,Y 平行且同向

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★ 內積(點積) Inner Product  a1   b1      n a 2  ，b= b2  a  b= a=  a 2 b2   a n bn   ai bi a1 b1    i 1     a n  bn      16.1 Determinant 定義和性質 ★A 為一n n之方陣，我們定義A的行列式為 det A | | ⋯

If A If A

a a a

， det A a a

|A| |A|

， det A

a a a a a a ， det A |A| If A a a a ★ 行列式的特性 Properties of Determinants 設 A、B 為 n 階方陣 矩陣轉置行列式不改變 。 如果 A 藉由列互換後得到 B，則 。 如果 A 有兩列(行)相等，則 。 如果 A 有一列(行)全為零，則 。 如果 A 藉由乘上一實數 c 得到 B，則 。 如果 A 第 s 列(行)的每個元素乘以常數 c 再加到第 r 列(行) 所對應的元素，r≠s，而獲得 B，則 。 設 A 為一上(下)三角矩陣 upper(lower)triangular matrix 則 A 的行列式 ⋯ 以此類推：對角線矩陣的行列式=主對角線的元素相乘 將矩陣藉由基本列運算化為三角矩陣可簡化行列式的計算。 兩矩陣 AB 相乘的行列式=各自取行列式再相乘 。 設 A 為非奇異矩陣，則

。

★

基本列運算及基本行運算 第 i,j 兩列(行)互換: ↔ ↔ 第 i 列(行)乘以 K 0，以取代第 i 列(行):

→

→
2

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第 i 列(行)乘以 K 0 加到第 j 列(行)，以取代第 j 列(行): → → ★ 矩陣之基本列運算 如果 A 藉由列互換後得到 B
↔

或 i j ↔ 如果 A 藉由乘上一實數 c(k)得到 B
→

或

→

K

0

如果 A 第 s 列(行)的每個元素乘以常數 c(k)再加到第 r 列(行)所對應的元素，r≠s，而獲得 B。
→

或 精選練習題： 1.若| | 2 B C 3 3 3 和 D 3

→

i

j

=3，求出下列矩陣的行列式值: 2 3 2 3

2. 將矩陣化簡成三角形矩陣以計算行列值 4 (a) 5 2 3 2 0 5 0 4

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3.若 A 和 B 是n n階矩陣且|A| 2 和|B| 3，計算|A B |。

16.2 &16.5 Cofactor Expansion 餘因子展開式和應用
★ Minor 子行列式 A 為一 n  n 矩陣， A 的子行列式 後，取行列式的值。 ? , ? =刪除 A 矩陣 i 列 j 行

 2 1 3 EX A   1 2 0  ， ○    3 2 1   

★

Cofactor 餘因子 A 為一方陣， A 的餘因子定義為 Aij  (1)i  j M ij EX 如上述矩陣 A，A ? , A ? ○

★

Computing Determinants using Cofactor 用餘因子展開計算行列式

 a11 a12 a13  det( A)   aij Aij ，設 A   aij  =  a21 a22 a23  ，則     j 1  a31 a32 a33    A  a11 A11  a12 A12  a13 A13  a11M11  a12 M12  a13 M13 n  1 2 3 EX A   4 2 1  ，用第一列展開： ○    2 0 2   
展開時需注意元素的正負號。 也可以使用 ERO(基本列運算)化簡後再計算
 例如對 A 進行 R121 後得到

 1 2 3 A   5 0 4  ，用第二行展開：    2 0 2   
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Chapter15.7~16.7
 使用餘因子展開計算行列式時，用任一行或任一列都可以，一般是使 用基本列運算使某一行(列)得到最多的 0 再展開可以減少計算上的 時間，但要注意展開時元素的正負號，可使用符號表記憶：            2  2 可直接算不需展開， 3  3 時    ， 4  4 時            以此類推。 A 為方陣。則對每個 1≦i≦n det A 又對每個 1≦j≦n det A ⋯ ⋯ (沿著第 i 列的 det(A)展開式): (沿著第 j 行的 det(A)展開式)

★

精選練習題：

1.使用定理計算行列式值: 4 4 2 1 1 2 0 3 2 0 3 4 0 3 2 1

16.7 the inverse of a matrix 逆矩陣
★ A、B 為 n 階方陣，若 AB=BA=In，B 為 A 的逆矩陣(inverse of A)， 則 A 為非奇異矩陣(nonsingular matrix)或可逆矩陣(invertible matrix)。若 B 不存在，則稱 A 為奇異矩陣(Singular Matrix)或不可 逆矩陣(Noninvertible Matrix)。

★ 唯一性 (Uniqueness) 若方陣 A 可逆，則A 是唯一的，意即，可逆矩陣 A 僅有一個逆 矩陣。 若 A 的逆矩陣存在，則記作A 。因此 AA =A A=I ★ 逆矩陣的運算特性 (Properties of Inverse of Matrix)
Ａ
－１ －１

＝Ａ
Ｔ

Ａ

－１

＝ ＝Ｂ

Ａ
－１

Ｔ

－１

ＡＢ

－１

Ａ

－１

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★ 求逆矩陣 將 A 寫成增廣矩陣的形式並加上一單位矩陣，如 A ⋮ I ，對 A 使 用基本列運算將之化為單位矩陣(左右兩個矩陣須進行同樣的運 算)，若 A 可化為單位矩陣，此時會得到 I ⋮ B ，我們稱 B 為 A 的逆矩陣(可藉由兩矩陣相乘是否得到單位矩陣來驗證)。 ★ 逆矩陣與求解線性系統 求解線性系統 Ax  b 除了用高斯或高斯約旦消去法之外，也可以 先求係數矩陣 A 的反矩陣 A 1 ，再與常數矩陣 b 相乘得到線性系 統的解： x   1b ，此時得到的解是唯一解，若線性系統要有 唯一解，係數矩陣 A 必為一非奇異矩陣。(證明) ★ 齊次系統 Homogenous System 若有一線性系統其常數項皆為零，意即 x  0 ，我們稱此線性系 統為齊次系統，且存在有自然解(Trivial Solutions) x  0 。 若齊次系統要有自然解，係數矩陣 A 的反矩陣必須要存在(為一 非奇異矩陣)。 ★ 1. 2. 3. 4. Nonsingular Equivalence 以下敘述都是等價的 A 是非奇異矩陣 x  0 是 x  0 的唯一解 A 列等價於單位矩陣 I n 線性系統 Ax  b 只有唯一解

精選練習題： 1. 矩陣

１ ３

１ ４

，是奇異的或非奇異的？若它是非奇異的，求出它的逆矩

陣。

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