Métodos Quantitativos Aplicados
Professor Marcelo Álvaro
RESUMO DOS PRINCIPAIS TÓPICOS E RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1 DO LIVRO ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
TIPOS DE DADOS

Resolução do exercício da página 13
1. Identifique os seguintes exemplos em termos de tipo de dados: a. 17 gramas – dado quantitativo contínuo b. 25 segundos – dado quantitativo contínuo c. 3 cestos – dado quantitativo discreto d. 3 errados, 7 certos – dados qualitativos nominais e. Tamanhos de camisa - dados qualitativos nominais f. Km/l – dado quantitativo contínuo g. O mais lento – dado qualitativo por posto h. 2 sorvetes de creme – dado quantitativo discreto i. O mais aprazível – dado qualitativo por posto
NOTAÇÃO SIGMA
Resolução dos exercícios das páginas 17 e 18
1. Desenvolva cada uma das expressões seguintes: a. i=15xi→x1+x2+x3+x4+x5 b. i=15fixi2→f1.x12+f2.x22+f3.x32+f4.x42+f5.x52 c. i=16xiyi→x1.y1+x2.y2+x3.y3+x4.y4+x5.y5+x6.y6 d. i=1nxi/n para n=8→x18+x28+x38+x48+x58+x68+x78+x88 e. i=14|xi-x|→x1-x1+x2+x3+x44+x2-x1+x2+x3+x44+x3-x1+x2+x3+x44+x4-x1+x2+x3+x44 f. i=483i→12+12+12+12+12+12+12+12=812=96 g. i=16(xi-x)2→x1-x1+x2+x3+x4+x5+x662+x2-x1+x2+x3+x4+x5+x662+x1-x1+x2+x3+x4+x5+x663+x1-x1+x2+x3+x4+x5+x664+x1-x1+x2+x3+x4+x5+x665+x1-x1+x2+x3+x4+x5+x666
2. Escreva em notação sigma: a. x1+x2+…+xn→i=1nxi b. x1+x2+…+xn2→i=1nxi2 c. x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7→i=17x7 d. o1-e12e1+o2-e22e2+o3-e32e3+o4-e42e4→i=14o1-e12e1
3. Calcule cada uma das quantidades seguintes para os dados abaixo (n é o número de observações): a. y→15+10+5+9+14+20+6+17=96 b. y2→152+102+52+92+142+202+62+172=1352 c. y2→962=9216 d. y2-y2nn-1→1352-921687≅28,57 e. y-12→96-128=(15-12)+(10-12)+(5-12)+(9-12)+(14-12)+(20-12)+(6-12)+(17-12)=0 f. (y-12)2→(15-12)2+(10-12)2+(5-12)2+(9-12)2+(14-12)2+(20-12)2+(6-12)2+(17-12)2=200 g. y-122n-1=2007≅28,57
Tabela de apoio: y | 15 | 10 | 5 | 9 | 14 | 20 | 6 | 17 |
4. Calcule as seguintes quantidades para os dados abaixo: a. xi→10+11+15+19+21+26=102 b. fi→3+5+9+10+2+1=30 c. fixi→3.10+5.11+9.15+10.19+2.21+1.26=478 d. fixi2→3.10.10+5.11.11+9.15.15+10.19.19+2.21.21+1.26.26=8098
Tabela de apoio: i | fi | xi | 1 | 3 | 10 | 2 | 5 | 11 | 3 | 9 | 15 | 4 | 10 | 19 | 5 | 2 | 21 | 6 | 1 | 26 |
5. Calcule as seguintes quantidades, utilizando os dados da tabela abaixo: a. i=12xi,1→8+4=12 b. j=14x1,j→8+7+5+9=29 c. i=12j=14xi,j→29+4+0+10+2=45 d. j=23x2,j→0+10=10
Tabela de apoio: i/j | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 8 | 7 | 5 | 9 | 2 | 4 | 0 | 10 | 2 |

ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS
Medidas de tendência central * Média – É a soma dos valores de um conjunto dividida pelo número de valores do conjunto. * Média Ponderada – é o cálculo da média que leva em conta importância relativa ou peso relativo dos itens de um conjunto. * Mediana – A mediana é uma medida de localização do centro da distribuição de uma população. * Moda – É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto.
Resolução dos exercícios da página 24
1. Determine a média e a mediana de cada conjunto. a. 4,8,7,3,5,6→média=4,8,7,3,5,66=5,5;mediana=5+62=5,5 b. 2,1,7,6→média=2+1+7+64=4;mediana=2+62=4 c. 0,010, 0,020, 0,030, 0,020, 0,015→média=0,010+0,020+0,030+0,020+0,0155=0,019;mediana=0,02 d. 309, 81, 452, 530, 70, 55, 198, 266→média=309+81+452+530+70+55+198+2668=245,125;mediana=198+2662=232
2. Inspecionam-se quinze rádios antes da remessa. Os números de defeitos por unidade são:
1,0,3,4,2,1,0,3,1,2,0,1,1,0,1. Determine a média, a mediana e a moda do número de defeitos.
Média = i-115xi15=2015≅1,333
Mediana = 1
Moda = 1, com 6 observações
3. Quatro amigos trabalham num supermercado por tempo parcial com os seguintes salários horários: Bill: $2,20; Ed: $2,40; Tom: $2,50; e Don: $2,10. Pede-se: a. Determine o salário horário médio dentre os quatro.
Salário horário médio=$2,20+$2,40+$2,50+$2,104=$2,30 b. Se Bill trabalha 20 horas, Ed 10 horas, Tom 20 horas e Don 15 horas semanais, determine seus salários totais e seus salários horários médios.
Salários totais = 20.$2,20+10.$2,40+20.$2,50+15.$2,10=$149,50
Salário médio = $149,5020+10+20+15=$2,30 c. Se cada um trabalha 40 horas numa semana, determine o salário horário médio, e o salário total.
Salários totais = 40.$2,20+40.$2,40+40.$2,50+40.$2,10=$368,00
Salário médio = $368,0040.4=$2,30
4. A média pode ser 0? Pode ser negativa? Explique.
De forma genérica, médias podem ser iguais a zero ou negativas. Isso ocorre caso a soma das variáveis para os quais o índice está sendo calculado, divididas pela quantidade das mesmas, resulte em valor nulo.
5. A mediana pode ser zero? Negativa? Explique.
O mesmo mencionado para as médias ocorre para as medianas. Nada impede que uma observação centralmente posicionada em uma determinada população seja zero. Para tanto, é necessário que entre os dados constem valores positivos e negativos.
Medidas de dispersão * Intervalo – pode ser expresso pela diferença entre o maior e o menor número num grupo, ou pela identificação desses dois números. * Desvio médio absoluto – é a média dos desvios dos valores a contar da média, ignorando-se o sinal de diferença. * Variância – é a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média, calculada usando-se n – 1 em lugar de n. * Desvio padrão – Assim como a variância, é medida de dispersão que indica a regularidade de um conjunto de dados em função da média aritmética. É representada pela raiz quadrada positiva da variância.
Resolução dos exercícios da página 30
1. Responda às perguntas abaixo: a. O desvio padrão pode ser zero? Explique. Pode ser negativo? Explique.
O desvio padrão pode ser zero, caso todos os elementos de um conjunto (ou ainda, uma amostra) tenham valores iguais. Não pode ser negativo, haja vista que em sua fórmula uma das etapas é a elevação da diferença entre uma observação e a média de observações ao quadrado, etapa esta que elimina qualquer chance de existirem valores negativos no índice final. b. O desvio médio absoluto pode ser zero? Explique. Pode ser negativo? Explique.
O desvio padrão pode ser zero, caso todos os elementos de um conjunto (ou ainda, uma amostra) tenham valores iguais. Não pode ser negativo, haja vista que, em sua fórmula, o resultado da diferença entre uma observação e a média de observações é considerado, para a composição do índice final, em forma de módulo, ou seja, ignorando-se o seu sinal.
2. Calcule a média e o desvio padrão das vendas diárias: Vendas diárias ($) | 8100 | 9000 | 4580 | 5600 | 7680 | 4800 | 10640 |
Cálculo da média das vendas diárias
$8100+$9000+$4580+$5600+$7680+$4800+$106407 dias=$7200/dia
Cálculo do desvio padrão das vendas diárias i | xi | xi-x | xi-x2 | 1 | 8.100 | 900 | 810.000 | 2 | 9.000 | 1.800 | 3.240.000 | 3 | 4.580 | -2.620 | 6.864.400 | 4 | 5.600 | -1.600 | 2.560.000 | 5 | 7.680 | 480 | 230.400 | 6 | 4.800 | - 2.400 | 5.760.000 | 7 | 10.640 | 3.440 | 11.833.600 | Totais | 50.400 | - | 31.298.400 |
Desvio padrão =xi-x2N. de observações=312984007=$2114,52
3. Determine a média e a mediana para cada um dos conjuntos de dados. a. 7,9,2,1,5,4,5,7,5,6,2→média=4,82 e mediana=5 b. 1,2,10,7,7,9,8,5,2,11→média=6,2 e mediana=7 c. 30,2,79,50,38,17,9→média=32,14 e mediana=30 d. 0,011, 0,032, 0,027, 0,035, 0,042→média=0,029 e mediana=0,032 e. 90,87,92,81,78,85,95,80→média=86 e mediana=86 f. 42,3027,40,25,32,33→média=533,17 e mediana=36,5
4. Qual seria o efeito sobre a média de um conjunto de números se se adicionasse 10: a. A um dos números? A média seria aumentada pelo valor resultante da seguinte fórmula: 10número de observações. b. A cada um dos números? A média seria aumentada pelo valor 10.
5. Calcule a média e a variância para o seguinte conjunto de dados, supondo que eles representem: a. Uma amostra: média=86,92;e variância=118,63 b. A população: média=86,92;e variância=108,74
83,91,100,57,85,88,84,82,94,93,91,95
6. Determine o desvio padrão do conjunto do Exercício 5, supondo primeiro uma amostra e depois a população. a. Uma amostra: desvio padrão=118,63=10,89 b. A população: 108,74=10,43
7. Calcule a média, a mediana e a moda do conjunto de clientes que aguardam nas filas de 12 guichês da matriz de um grande banco:
1,3,4,3,4,2,4,1,2,2,1,0
Média = 2712=2,25
Mediana=2+22=2
Moda = 1, 2 e 4.
8. Determine a variância amostral e o desvio padrão dos dados do exercício anterior, usando a fórmula abreviada.
9. Indique os quartis dos dados do Exercício 7.
10. Calcule a média e o desvio padrão dos tempos de reação para os seguintes dados amostrais:
2,1, 2,5, 2,7, 2,3, 2,4, 2,0, 2,7, 3,0, 1,4, 2,4, 2,8
11. Determine o tempo mediano de reação para os dados do Exercício 10.
12. Determine o intervalo de cada um dos seguintes conjuntos de dados: a. Exercício 2 b. Exercício 5 c. Exercício 7
13. Determine os quartis dos tempos de reação do Exercício 10.
14. Qual seria o efeito (a) sobre a média, e qual seria o efeito sobre o (b) desvio padrão se se duplicasse cada valor de um conjunto? Uma sugestão é usar 1, 2 e 3 como dados.
15. Consideremos os seguintes dados correspondentes a preços de propostas:
26,5, 27,5, 25,5, 26,0, 27,0, 23,4, 25,1, 26,2, 26,8 a. Calcule o intervalo b. Determine o desvio médio absoluto c. Determine o desvio padrão d. Determine a variância
16. Converta em proporção cada um dos seguintes dados: a. 5 crianças em 25 b. 7 pacientes em 9 c. 3 vermelhos, 4 azuis e 5 verdes em 12 dados
17. Calcule cada uma das seguintes proporções usando a tabela da Figura abaixo:
INSERIR TABELA a. Dias de sol em junho b. Dias parcialmente nublados em junho c. Domingos de sol d. Dias de semana chuvosos e. Dias de neve
ANÁLISE DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS
Distribuições de frequência