Abstract
The paper investigates the physics concerning rockets. The purpose is to find some equations to describe, what happens after a rocket firing. An experiment with a water rocket is executed, and the altitude is measured with a video camera and computer software. The use of numerical analysis is described, and the 2. order Runge-Kutta method is explained. The strides influence on the result is explained. The computer software FPRO is used to make a very advanced simulation of the water rocket experiment. The structure of the software is thoroughly explained in the paper.
Using the computer software Tracker a graph over the height as a function of time was produced. The result of the water rocket experiment is compared with the simulation from FPRO.
Using the computer software FPRO I resolved a differential equation for the rockets momentum.
The error sources influence are discussed at the end. Some advices if someone should do the same experiment, is mentioned at the end.
Opgaveformulering
* En vandrakets bevægelse undersøges eksperimentelt og resultatet sammenlignes med en matematisk model. * Vandrakettens bevægelse filmes og en graf over højden som funktion af tiden fremstilles. * En differentialligning for rakettens impuls løses numerisk ved hjælp af programmet FPRO.
Programmets struktur skal forklares grundigt i rapporten. * Runge-Kuttas-metode af anden orden skal forklares
Løsningens afhængighed af skridtlængden skal undersøges.

Indholdsfortegnelse Abstract 1 Opgaveformulering 1 Indledning 3 Teoretisk del 4 Numerisk løsning 4 Eulers metode 4 2. ordens Runge-Kutta 5 Euler vs. 2. ordens Runge-Kutta 5 Simulationsprogrammet FPRO 6 Raketprincippet 8 Newtons tredje lov 8 Newtons anden lov 8 Raketligningen 9 Fremskrivning af impulsen 11 Praktisk del 12 Vandraket forsøget 12 Højden som funktion af tiden 12 Vandrakettens bevægelse 13 Diskussion 15 Litteraturliste 18
Bilag

Indledning
De fleste børn har nok på et tidspunkt leget med vandraketter, eller set fyrværkeri nytårsaften. Men det er de færreste der er klar over, hvor tæt strukturen og principperne bag, en ellers simpel vandraket, ligger på de store rumraketter. Forsøg med vandraketter er derfor relevante i den normale fysikundervisning, da de er helt uskadelige, og dog giver eksperimenterne et godt billede af de virkelige raketter. Det giver også eleverne en forståelse af rakettens virkemåde, tyngdekraften og Newtons love.
Raketter er fartøjer der drives frem ved at kaste gasser eller væsker bagud ved en meget høj hastighed.
De har været i brug i århundreder.
Det startede hos kineserne, der anvendte krudt til fremdriften. Disse raketter blev både anvendt som våben og som underholdning i form af fyrværkeri. Selvom kineserne havde så stor succes med teknologien, gik der flere hundrede år før det spredte sig til Europa. Her startede brugen også i krigsførelsen. Under de to verdenskrige accelererede raketudviklingen drastisk, og man nåede frem til en enorm rækkevidde og løfteevne.
I de følgende afsnit vil jeg gennemgå de generelle regler når man snakker om raketprincippet, samt hvad der gælder for vandraketter. For at kunne forstå hvad der sker i vandraketten vil jeg komme ind på hvordan man numerisk kan løse differentialligninger.
Den praktiske del af mit projekt, der er en affyring af en vandraket, vil jeg bruge den gennemgåede teori og sammenligne teori og praksis. Dette vil resultere i en analyse og diskussion af mit forsøg og teorien bag.
Formålet er at få en detaljeret beskrivelse af hvad der sker ved en raketaffyring. Udover dette at få forståelse for hvordan differentialregningen kan anvendes i virkeligheden, i dette tilfælde som model for en raketaffyring.

Teoretisk del
Numerisk løsning
Når man taler om numerisk løsning betyder det, at man laver en talmæssig undersøgelse og udregning på et problem. Dette er typisk på differentialligninger, der ikke kan løses eksakt. Differentialligningerne kan ikke løses eksakt da adskillelsen af de variable fører til integraler der ikke kan lade sig gøre. Derfor kan det være nødvendigt at anvende numeriske løsningsmetoder.
I tidens løb har der været mange bud på metoder til at løse de ellers uløselige differentialligninger.
Eulers metode
Den første der gav var den schweiziske matematiker Leonard Euler i 1700-tallet. Han løste en differentialligning, ved at tage tangentligningen i et startpunkt, hvorefter han ville gå en skridtlængde hen (så lille som mulig), og ud fra dette beregne en ny y-værdi, derefter tog han tangenthældningen i det nye punkt, og fremskrev løsningsformlen herfra. Dette fortsatte han så med, indtil han havde et bud på hele løsningen til differentialligningen.
Dette vil sige, at man fastlægger det næste punkt på løsningskurven ved: yn+1=yn+yn'∙h Dette kan skrives således, da y er en løsningsfunktion til differentialligningen: y'=fy⇔yn+1=yn+f(yn)∙h Da: tn+1=tn+h
Her er h skridtlængden, der hyppigst regnes med som så lille som muligt. Dette gøres fordi, jo mindre man går frem for at finde det nye punkt, jo mere korrekt bliver den løsning man finder.
Men man skal dog være opmærksom på, at når man går frem i (xn+1;yn+1), benytter man her tangenten til løsningskurven som den retning, hvori man skal finde det næste punkt på kurven. Dette resulterer i, at man vil begå en fejl, der vil blive større jo længere skridt h man går frem. Dette sker når man skal beregne yn'=f(yn), da man her beregner på yn, som ikke ligger på den ’rigtige’ løsningskurve. Man vil derfor forøge fejlen når man fremskriver med tangenten.
Denne metode er dog enormt omstændig at bruge, da skridtlængden skal være så lille som mulig, hvis man vil have en nogenlunde præcis løsningskurve. Dette resulterer i, at antallet af beregninger stiger enormt og dette vil gøre tidsforbruget på fremskrivningen uforholdsmæssigt stort, hvilket er meget upraktisk.
2. ordens Runge-Kutta
Ud fra det der er gennemgået i forrige afsnit, er det let at se, at der var fordele i, at forbedre Eulers metode.
Der findes metoder der forsøger at bruge en bedre ret linje end blot tangenten som erstatning for grafen. Disse metoder kaldes for Runge-Kuttametoder. De er opkaldt efter de to tyske matematikere Carl D.T. Runge og Martin W. Kutta der udviklede denne metode omkring år 1900.
Her vælger man, at bruge den fundne værdi i tn+1, som en slags basis for beregningen af endnu et skridt. Dvs. at man beregner hældningskoefficienten f(yn+1) til løsningskurven i (tn+1;yn+1). yn+1 er fastlagt ved: yn+1=yn+f(yn)∙h, som kaldes et ’eulerskridt’.
Man bestemmer derefter gennemsnittet af de to fundne hældningskoefficienter f(yn) og f(yn+fyn∙h), dette gennemsnit bruger man som den retning hvori man skal finde det næste punkt til løsningskurven.
Dette resulterer i denne formel: yn+1=yn+h[fyn+f(yn+f(yn)∙h]/2
Hvor: tn+1=tn+h
Denne metode kaldes Runge-Kuttametoden af 2. orden.
Der er udviklet endnu mere præcise metoder, der går frem mod det nye punkt i flere trin for at bestemme den bedst mulige tangenthældning.
Når man løser en differentialligning vil der dog altid være en afvigelse, da man bliver nød til at tage et gennemsnit af en række tangenthældninger, og dette vil derfor aldrig munde ud i den eksakte løsning, da man altid vil lave en lille fejlberegning, der kun bliver større og større.
Euler vs. 2. ordens Runge-Kutta
Ud fra Bilag 6 og 7, kan man se afvigelserne fra den eksakte løsning af en differentialligning, når man gør brug af henholdsvis Eulers metode og Runge-Kuttametoden af 2.orden.
I punkt nr. 36, kan man se at Eulers metode afviger med 34,11332346, hvor Runge-Kuttametoden af 2.orden kun afviger med 1,219263337. Dette illustrerer godt, hvor stor forskel det gør, at bruge den mere avancerede og forbedrede 2. ordens Runge-Kutta end den første Euler metode.
Dette er selvom, at vi har brugt en relativ lille skridtlængde på 0,1. Hvis vi gjorde skridtlængden mindre, ville afvigelserne samtidig blive mindre, da man mindsker fejlen der bliver begået i hvert step.
Simulationsprogrammet FPRO
Nogle gange kan man komme ud for nogle så avancerede differentialligninger, at det kan være svært at holde styr på det hele, når man skal løse den numerisk. Dette sker meget indenfor raketfysikken. Dette kan skyldes at man vil regne med så lille skridtlængde som muligt, for det mest eksakte resultat, samt at ligningen ændrer sig alt efter hvilken fase raketten befinder sig i. Når man kommer ud for dette, kan almindelig regneprogrammer som Microsoft Excel ikke længere følge med. Derfor må man ty til andre midler som simulationsprogrammet FPRO.
Programmet bruger kun numerisk metode til sine beregninger, men det kan hurtigt lave meget avancerede udregninger med meget små skridtlængder.
FPRO kombinere dataopsamling og matematisk simulering der udskrives i tabeller og grafer.
Når man anvender ordet projekt i programmet betyder det en samling af en række vinduer såsom: Klar-Løkke, Søjle, Måling, Værdi, Graf osv. alle disse vinduer arbejder sammen på skærmen.
Når man i et projekt har et Klar-Løkke vindue eller målingsvindue, kan man køre projektet, Disse knapper bruges kun i et projekt, når der indgår et Klar-Løkke vindue. Disse symboler står for: ”Reset”, ”Stop” og ”Start”.
Til hvert projekt kan der kun bruges ét Klar-Løkke vindue, men udover dette kan man have ligeså mange vinduer man ønsker af hver slags.
Når man skal se på de matematiske simuleringer, er Klar-Løkke vinduet vigtigt til at holde styr på alle værdierne, samt på det man vil simulere.
Klar-Løkke vinduet betsår af to dele: Den øverste del (Klar-delen) og den nederste del (Løkke-delen). Denne del kaldes også programmeringsdelen.
I Klar-delen giver man sine værdier en startværdi og definerer f.eks.funktioner.
I Løkke-delen anfører man de ordre der skal udføres iterativt. Når man starter Klar-Løkke vinduet, vil Klar-delen blive gennemgået én gang, og Løkke-delen vil blive genneløbet indtil der trykkes stop, eller et afslutnings-kriterie bliver opfyldt.
De variable der er defineret i Klar-Løkke vinduet, beskrives som udtryk i tabeller og grafer. Når man ændre variablen i Klar-Løkke vinduet vil det kunne ses på graferne og i tabellerne.
Som et eksempel vises der her et eksempel, figur 1, på nogle matematiske modeller, der er udregnet i FPRO, og som jeg også benytter mig af i den praktiske del.

Figur 1
Simulationen viser blandt andet en vandrakets hastighed som funktion af tiden og højden som funktion af tiden vises også som graf.
Ved at ændrer på nogle af værdierne, kan man se hvilken indflydelse det kan have på en eventuel affyring. Ændringerne af værdierne sker i Klar-delen, her kan man f.eks. ændre på mængden af vand der bruges. Hvilket har indflydelse på rakettens bane.
Udover dette kan man også tjekke skridtlængdens betydning for den matematiske model. På Figur 1, er skridtlængden 0,0005.

Raketprincippet
I de følgende afsnit er det vigtigt at have forståelse for, hvad udtrykkene der bliver brugt betegner.
Jeg har valgt at bruge det samme betegnelser som der bliver brugt i programmet FPRO til simuleringen, dette gør at der ikke sker forvirring omkring betydningen:
Farten af raketten: vr, vandets fart relativt til jorden: vvj, vandets fart relativt til raketten: vvr, impulsen af raketten: pr, impulsændring for raket: dpr, massen af flasken: mf, massen af vandet: mv, massen af raketten: mr, udsendt brændstof: dm, højden: x, impulsbidrag fra luftmodstand: dpl, luftmodstandskoefficient: k2, udstrømningskonstant: k1, tid: t, tidsskridt: dt, acceleration: a, kraften på raketten: Fr, hastighedsændringen for raketten: dvr, Tyngdekraften: Ft, Luftmodstanden: Ff,
Newtons tredje lov
Newtons tredje lov siger: At to legemers indbyrdes påvirkninger altid er lige store og modsatrettede.
Denne lov kan beskrives ved at forestille sig, at man sidder i en båd fyldt med sten, men uden åre. Hvis man kaster mustenene i den modsatte retning end man ønsker at komme. Vil den kraft man påvirker murstenen med, resultere i en ligeså stor modsatrettet kraft på båden.
Newtons anden lov
Newtons anden lov siger: At alle legemer der er under påvirkning af en ydre kraft vil ændre deres impuls. Idet vi stadig operere i en lille skala kan vi skrive dette således: Fr=mr∙a
Dette vil sige, at påvirker man et legeme med en kraft vil dette legeme accelerere med en størrelse der er afhængig af legemets masse.
Newton skrev selv sætningen således: F=dprdt, da pr, bliver defineret som: pr=mr∙vr, og accelerationen, a, defineres som: a=dvrdt dprdt=-dpvdt+Ft+Ff=f(vr) Dette betyder, at kraften på hastigheden af raketten afhænger af tyngdekraften, luftmodstanden og accelerationen. Her har a et andet fortegn end Ft og Ff da de ikke opererer i samme retning.
Raketligningen
Da mit forsøg er med en vandraket, er det derfor oplagt at udlede raketligningen hvor vi tager hensyn til dette.
Vi bliver nød til at se på alle de parametre der ændres, igangsættes eller påvirkes når en vandraket affyres, før vi kan nå frem til raketligningen, så man kan finde sluthastigheden på raketten.
Når vi skal se på raketligningen, må vi tage udgangspunkt i vandraketten inden affyringen.
Ved start er raketten uaffyret, og vi har derfor hér rakettens maksimale masse, mr. Da vi har rakettens maksimale masse, må vi her også have vandets maksimale masse, mv, da der endnu ikke er udstødt noget.
Efter affyringen vil der være tab af vandets masse, da raketten udstøder en hvis mængde vand for fremdriften. Vi bliver derfor nød til at opdatere massen af vandet under affyringen. Vandets masse må derfor defineres således: mv=mv-dm, dette gælder også ved start, da – vil være lig nul, da der ikke er udstødt noget endnu.
Den udstødte masse vil beskrives som produktet af udstrømningshastigheden og tidsændringen. Dette kan skrives således: dm=k1∙dt. k1 er udstrømningskonstanten, den kan defineres ved, at man ser hvor lang tid der går, før al vandet i vandraketten er udstødt. dt afhænger af hvor man i rakettens bane befinder sig. Hvis man befinder sig 0,4 sekunder henne, vil dt=0,4-0, da t ved start er lig nul.
En anden ting der er vigtig at tage hensyn til er, at ligningen for raketten vil ændre sig afhængig af om alt vandet er udstødt eller ej.
Der vil ikke være et impulsbidrag fravandudstødningen hvis flasken er tom. Dette betyder at udstrømningskonstanten vil være lig nul, da der ikke er noget at udstøde. Dette betyder også, at massen af raketten vil være lig massen af flasken, da der nu ikke er noget vand der skal medregnes.
Dette kan skrives således: k1=0 mr=mf
Hvis alt vandet ikke er udstødt, skal man huske at måle impulsen i forhold til jorden.
Massen af raketten vil være summen af massen af raketten og massen af flasken. Masen af vandet kan afvige da man skal tage hensyn til den udstødte masse: mr=mv+mf=mv-dm+mf
Impulsen af raketten defineres som produktet af rakettens masse og rakettens hastighed. Dette skrives således: pr=mr∙vr
Dette betyder, at et legeme der har en masse og en hastighed besidder impuls, også kaldet bevægelsesmængden.
Newtons anden lov er tidligere defineret som: dprdt=-dpvdt+Ft+Ff=fvr
Impulsændringen af vandet, dpr, kan beskrives som produktet af hastigheden og den udstødte masse. Da hastigheden, v, er vandets hastighed i rakettens retning. Da vi er ude efter impulsændringen skal vi derfor gange med den masse af vand der er udstødt.
Dette kan skrives således: dpv=v∙dm v kan skrives på mere præcis måde. Farten af raketten, vr, og vandets fart relativt til raketten, vvr, har indflydelse på hastigheden af vandet. Vi må differensen af rakettens fart og vandets fart relativt til raketten, må være den hastighed der påvirker vandet, da vandets hastighed skal regnes relativt til jorden. Udover dette er dm tidligere blevet defineret som produktet af udstrømningshastigheden og tidsændringen. Vi kan derfor skrive vandets impulsændring således: dpv=v∙dm=(vr-vvr)∙k1∙dt Vi bliver også nød til at definere luftmodstanden, Ff, da den har stor indflydelse på hvordan rakettens bane vil forløbe. Luftmodstandskoefficienten k2, er en konstant der har SI-enheden Nms2, dette viser, at luftmodstandskoefficienten fortæller hvor mange N pr ms2, der påvirker raketten ’negativt’ i den forstand, at den påvirker i den modsatte retning af hvad rakettens fremdrift er. Da man i programmet FPRO skriver den numeriske værdi som abs(x), vil jeg også gøre det i min formel. Formlen for luftmodstanden ser således ud: Ff=-k2∙vr2∙vrabsvr
Da vi ved, at vrabsvr aldrig kan blive negativ, da den numeriske værdi altid er positiv. Betyder denne ligning at luftmodstanden er proportional med kvadratet af rakettens hastighed. k2 repræsenterer her en proportionalitetsfaktor. vrabsvr sørger dermed for, at Ff altid vil være modsatrettet rakettens hastighed.
Nu er vi nået dertil, hvor vi skal sammenflette de gennemgåede definitioner og ud fra dette få en funktion der beskriver rakettens sluthastighed.
Impulsændringen for vandet var lig: dpv=(vr-vvr)∙k1∙dt
Når vi snakker om vandraketten, må udstrømningshastigheden dog være negativ i forhold til rakettens retning.
Under affyringen af raketten vil tyngdeaccelerationen have en indflydelse på rakettens samlede masse, dette vil også være en modsatrettet kraft, i forhold til raketten.
Luftmodstanden skal også tages i betragtning. Hvis man ikke medregner luft modstandens indflydelse, vil man få en fordrejet teoretisk model, i forhold til et eksperimentelt forsøg, da man ikke kan komme udenom at der vil være en luftmodstand der påvirker rakettens affyring.
Luftmodstanden blev defineret som: Ff=-k2∙vr2∙vrabsvr
Alle disse faktorer vil alle have en indflydelse på hvordan en funktion over rakettens hastighed vil se ud.
Hvis vi sammenfletter alle de faktorer der spiller en rolle, ender vi op med denne formel: fvr=-k1∙vr-vvr-mr∙g-k2∙vr2∙vrabsvr Denne formel, er den der er blevet brugt i programmet FPRO, til at lave en simulering over en affyring af en vandraket.
Fremskrivning af impulsen
Når vi skal fremskrive impulsen, bliver vi nød til at starte med at finde en differentialligning der kan beskrive vandrakettens impuls.
Differentialligningen kan løses numerisk ved hjælp af programmer som FPRO der successivt beregner punkterne på løsningskurven.
Vi skal udnytte, at vi kender metoden i 2. ordens Runge-Kutta, så vi kan fremskrive løsningsformlen: yn+1=ynt+dt2[fyn+f(yn+f(yn)∙h]
Man kan se at, der er sket lidt ændringer med formlen for fremskrivning vha. 2. ordens Runge-Kutta. Dette skyldes, at vi i forsøget fremskriver med hensyn til tiden, og tidsændringen var defineret som dt.
For at finde en ligning for rakettens impuls, bliver vi nød til at udnytte at vi har fundet raketligningen, der definerer en funktion over rakettens hastighed.
Da vi har udledt og forklaret hvordan vi er nået frem til fremskrivningsmetoden i 2.ordens Runge-Kutta. Kan vi her slutte at en ligning for rakettens impuls, hvis vi indsætter rakettens hastighedsfunktion i formlen, må blive lig med: pr=pr+dt2∙fvr+fvr+fvr∙dt Praktisk del
Vandraket forsøget
Opsendelse af en vandraket er en sjov og lærerig aktivitet der oftest bliver brugt i naturteknik timerne i løbet af folkeskolen. Da dette giver eleverne forståelse af rakettens virkemåde, tyngdekraften og Newtons love.
Denne praktiske del er foretaget med en halvliters plastflaske, samt en smal træpind som styrepind. Der blev brugt en kraftig tape til at samle delene. Vi vejede flasken til at veje 58,4 g.
Derefter hældte vi 160 ml vand i flasken.
For at skabe tryk, brugte vi en cykelpumpe med manometer, så vi kunne måle trykket ved affyringen. Forsøget blev foretaget udenfor ved et fodboldmål, som vi kendte målene på. Vi placerede styrepinden i et indrettet stativ og klargjorde pumpningen.
Vi begyndte at pumpe, og lige inden trykket blev højt nok, filmede vi opstillingen fra en passende længde. Ved 80N var trykket passende højt, hvorefter vandrakket affyrede og banen blev filmet.
Derefter gentog vi forsøget, denne gang filmede vi dog tættere på, for at få startaccelerationen med.
Formålet med eksperimentet er at vise i praksis hvordan raketprincippet kommer til udtryk. Samt at sammenligne resultaterne med de matematiske modeller og udnytte den gennemgåede teori på reelle resultater.
Højden som funktion af tiden
Figuren viser en (t,x)-graf, hvor x her repræsenterer højden i meter, og hvor t er tiden i sekunder.
Denne graf er lavet i programmet ’Tracker’ ud fra filmene fra vandraket forsøget, har vi kunnet lave en graf over højden som funktion af tiden.

Grafen er konstrueret ud fra billederne i den optagede film. Vi har her markeret rakettens bane på hvert billede, og ud fra den kendte størrelse fra fodboldmålet. Har programmet kunnet konstruere grafen der tydeligt viser vandrakettens bane.
I dette forsøg er vandrakettens maksimale højde er 14,81 meter og vandraketten er i bevægelse i 3,531 sekunder.
Vandrakettens bevægelse
I simuleringsprogrammet FPRO har vi lavet en matematisk model. Vi har indtastet de værdier der svarede til det der var brugt i det praktiske forsøg. De indtastede værdier kan findes i Bilag 8, der viser, hvordan FPRO er bygget op, i Klar-Løkke vinduet, og hvordan vi jeg er nået frem til disse resultater.
For at sammenligne vandrakettens bevægelse fra forsøget med den matematiske model, har jeg sat begge grafer ind i det samme koordinatsystem, for at illustrere afvigelserne.

Man kan tydeligt se, at begge grafer har den samme form, og der er ikke noget systematiske afvigelser. Men der er dog store afvigelser fra vandrakettens bane i forsøget og banen der er fundet via simuleringen.
Den matematiske models maksimale højde er 44,71 meter, hvor vores forsøg viste 14,81 meter som det højeste. Udover dette er der også stor afvigelse i hvor længe bevægelsen af vandraketten ville vare. Modellen viser, at vandraketten teoretisk set skulle være i bevægelse i 6,099 sekunder, hvor vandraketten i selve forsøget kun var i bevægelse i 3,531 sekunder. Proportionerne af de to grafer stemmer ikke overens. Men man kan udover dette se, at begge grafer tegner parabler med grenene nedad, hvilket også vil være forventeligt efter en vandraket affyring.
En anden affyring hvor vi har filmet vandrakettens bane tættere på, viser hvor progressivt vandrakettens højde stiger i starten af affyringen.
Her kan man se vi, at højden allerede når op på 9,885 meter på blot 0,33 sekunder.
Dette viser den progressive start, der skyldes den voldsomme udstødning af vandet.
Ud fra billederne på filmen, kunne man aflæse, at vandraketten på 10 millisekunder har udstødt de 160 ml vand.
Hvilket også viser hvor længe fremdriften holder, efter udstødningen af vandet.
I simuleringsprogrammet FPRO fremkom der også en graf over hastigheden som funktion af tiden.

På denne graf kan man tydeligt se, hvordan hastigheden accelerere lige i det vandraketten bliver affyret. Derefter falder hastigheden eksponentielt. Denne tendens kan man også se i forrige afsnit, hvor vi så på højden som funktion af tiden. Her kan man se at vandraketten er kort tid om, at nå den maksimale højde på 14,81 meter, og derefter er længere tid om at falde tilbage til jordhøjden igen, dvs. 0 meter.

Diskussion
Ud fra vores databehandling i forsøget med vandraketten. Kan vi tydeligt se, at der er mange af de praktiske observationer og målinger, der ikke stemmer overens med hvad der teoretisk burde være sket under affyringen.
Den illustrativt tydeligste afvigelse ses på sammenligningen af vandrakettens teoretisk og praktisk. Grafen viser, hvordan den teoretiske graf når op på 44,71 meter, og dette nærmer den praktiske graf sig på ingen måde med de 14, 81 meter.
En af fejlkilderne er helt sikkert, at der den dag, vi foretog eksperimentet var en hel del vind. I simuleringen var luftmodstandskoefficienten valgt til at have den konstante værdi af 1∙10-3Nms2 .
Luftmodstanden er defineret som: Ff=-k2∙vr2∙vrabsvr
Luftmodstandskoefficienten er derfor af stor betydning for hvordan rakettens bane teoretisk vil se ud. Som en illustration på usikkerheden omkring denne konstant, viser jeg her nogle grafer, hvor den eneste værdi der ændres er k2:

På denne graf er luftmodstandskoefficienten
= 1∙10-3Nms2 .
Hvilket den også er i mine beregninger.

På denne graf er luftmodstandskoefficienten
= 6∙10-3Nms2
Luftmodstandskoefficientens påvirkning af den matematiske model, ses tydeligt ved sammenligning af de to grafer.
Hvis vi tilpasser vinduet til den nye grafs værdier, og indsætter værdierne fra vores forsøg, kan vi se hvordan afvigelser ville have været, hvis vi havde regnet med denne luftmodstandskoefficient.
Denne nye matematiske model, stemmer utrolig godt overens med hvad vi målte i forsøget.
Det er derfor tydeligt, at der har været mere vind ved udførelsen end vi havde regnet med teoretisk.

Udover at luftmodstanden kan være en fejlkilde, er det jo også vigtigt at huske på at FPRO er et simuleringsprogram der benytter numerisk løsning for at finde en løsningsfunktion til differentialligningen. I brugen af Numerisk løsning er der allerede fejlkilder og usikkerheder, der har indflydelse på det endelige resultat. Skridtlængden her helt klart den største fejlkilde. Da man i numerisk løsning laver en fejlberegning, i hvert beregnet punkt. Denne usikkerhed mindskes dog væsentlig, da de nye metoder af Runge-Kutta blev introduceret. Disse metoder er afhængige af at man laver beregningerne ved hjælp af en algoritme, dvs. et computerprogram. For når skridtlængden skal være utrolig lille, bliver der utrolig mange beregninger, for at ende op med den mest nøjagtige løsningsformel. I afsnittet ”Euler vs. 2. ordens Runge-Kutta”, kan man tydeligt se, hvordan fejlkilden er mindsket, men ikke fjernet. For at illustrere skridtlængdens indflydelse på det færdige resultat, har jeg lavet nogle grafer, med de samme værdier som hidtil, dog skridtlængden ændret. For, at overskueliggøre det, har jeg lagt alle graferne med forkellig skridtlængde ind i det samme koordinatsystem, hvilket hjælper med at se forskelle og afvigelser.
Det er tydeligt at se hvordan længden af skridtlængden har indflydelse på løsningsfunktionen. Dette vil derfor altid være en fejlkilde når man bruger numerisk løsning til simuleringen.

Konklusion
Når man i folkeskolen affyre en vandraket, er for at få et indblik i hvordan raketter virker og så giver det samtidig mulighed for at regne og forudsige ting inden affyringen, hvilket er en god måde at sammenfatte teori og praksis.
Jeg har virkelig fundet ud af, hvordan noget der ellers virker så simpelt som en vandraket, bliver påvirket af så mange forskellige faktorer, samt at princippet og opdriften skyldes det samme princip som når en rumraket skal affyres.
Når man tænker på hvor længe raketprincippet har været anvendt, er det utroligt at tænke på hvor meget mere der ligger bag, end bare krudt og kugler.
Da udviklingen under Anden Verdenskrig eksploderede, har dette selvfølgelig haft store konsekvenser for vores krigsførelse. Men udviklingens spring har også resulteret i at vores teknologi i dag, er nået enormt langt, hurtigere end ved normal udvikling.
De generelle regler og parametre der skyldes en affyring af en raket er gennemgået, og sammenflettet til den raketligning, der er blevet brugt i simuleringen i FPRO.
Vi fandt frem til denne ligning: fvr=-k1∙vr-vvr-mr∙g-k2∙vr2∙vrabsvr
Da programmet FPRO laver en numerisk løsning på en differentialligning der ikke kan løses eksakt, vil man også skulle tage højde for, hvilken metode der skal bruges til fremskrivningen af løsningsformen. I dette projekt har vi benyttet Runge-Kuttasmetode af 2. orden. Denne metodes fremskrivning benytter denne formel: yn+1=ynt+h[fyn+f(yn+f(yn)∙h]/2
Ud fra denne formel har vi kunnet lave en differentialligning der kunne fremskrive rakettens impuls numerisk: pr=pr+dt2∙fvr+fvr+fvr∙dt
Denne formel er blevet brugt i programmet FPRO, til at lave simuleringen af vandraket forsøget.
I det praktiske forsøg filmede jeg vandrakettens bevægelse og en graf med højden som funktion af tiden blev fremstillet. I forsøget nåede vandraketten en maksimal højde på 14,71 meter. Vandraketten var i bevægelse i 3,531 sekunder.
Denne graf er blevet sammenlignet med den matematiske model der er fremstillet i programmet FPRO.
Ved denne sammenligning var det tydeligt at se at der har været nogle fejlkilder i den teoretiske model, da grafernes proportioner ikke stemte overens.
I diskussionsdelen er luftmodstanden og skridtlængdens betydning taget op til overvejelse. Luftmodstanden viste tydeligt at have en stor indflydelse, og da vi kunne mærke at der var vind under vores forsøg. Er dette derfor en fejlkilde der har haft indflydelse. Dette underbygges også af den sammenlignende graf, der stemte godt overens med den eksperimentelle, da luftmodstandskoefficienten blev ændret.
Det er svært at sige, hvorvidt skridtlængden har haft betydning på afvigelsen fra den matematiske model og vores forsøg. Men indflydelsen fra skridtlængden er dog illustreret, da man altid skal huske på hvordan der numerisk bliver fremskrevet, og derfor vil dette altid give en usikkerhed.
Hvis jeg skulle lave forsøget med vandraketten igen. Ville jeg da helt klart prøve at formindske nogle af usikkerhederne. Det vil nok være svært at mindske skridtlængden meget mere end den var. Men FPRO ville da helt sikkert kunne simulere med en mindre skridtlængde end 0,0005.
Hvis man vil være sikker på, at teorien passer i praksis, bliver man derfor nød til at undersøge luftmodstanden på vandrakket, da vi så hvor stor indflydelse det havde på modellen.

Litteraturliste
Bøger:
Jensen, Thomas m.fl.: Matema10k, Matematik for gymnasiet A-niveau. Side 213-215. 1. udg. Frydenlund, 2007. (Matema10k)
Elvekjær, Finn og Torben Bertoni: FysikABbogen 2. Side 255-263. 1. udg. Systime, 2007. (AB2)
Heefelt, Mogens Brun: Numeriske Algoritmer. Side 27-56. 1. udg. Matematiklærerforeningen, 1990. (Numeriske algoritmer)
Andersen, Thomas Bull og Lars Bo Kristensen: Biomekanik og bevægelseslære. 1. udg. FADL\'s forlag, 2006. (Biomekanik)
Internetsider:
Numerical analysis . Udgivet af www.en.wikipedia.org. Internetadresse:http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis - Besøgt d. 13.12.2010 (Numerical analysis)
Nogle facts om FPro. Udgivet af www.emu.dk. Internetadresse:http://www.emu.dk/gym/fag/fy/inspiration/forloeb/uv/fpro/vejl_1.html - Besøgt d. 13.12.2010 (FPRO facts)
Tsiolkovsky rocket equation. Udgivet af www.en.wikipedia.org. Internetadresse:http://en.wikipedia.org/wiki/Rocket_equation - Besøgt d. 13.12.2010 (Rocket equation)
Jacob Nielsen: Note: Raket bevægelse. 10.12.2010 (Raketbevægelse)
Jacob Nielsen: Note: FPRO's Løkkefunktion. http://jacob9.dk/Fysik/Andet%20%20Fysik/FPRO%20introduktion%20140810.pdf , 10.12.2010 (Løkkefunktion)
Jacob Nilsen : Note: Raketfysik. http://jacob9.dk/Fysik/Fysikkens%20Felter/Mekanik/Noter/Raketfysik070808.pdf , 10.12.2010 (Raketfysik)
Jacob Nielsen: Note: Numerisk Løsning af Differentialligninger. http://jacob9.dk/Matematik/Analyse/Numerisk%20int%20Diff%20lign%20221010.pdf , 10.12.2010 (Numerisk løsning)
Newtons Love. Udgivet af www.denstoredanske.dk. Internetadresse:http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Klassisk_mekanik_og_kvantefysik/Newtons_love?highlight=Newtons%20tredje%20lov - Besøgt d. 14.12.2010 (Newtons love)
Rocket Principles. Udgivet af Hyperphysics. Internetadresse: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/rocket2.html - Besøgt d. 14.10.2010 (Rocket Principles)
De første raketter. Udgivet af satellitinfo.dk. Internetadresse: http://satellitinfo.dk/lille/raketter.htm - Besøgt d. 15.10.2010 (Satellitinfo)

--------------------------------------------
[ 2 ]. (Satellitinfo)
[ 3 ]. (Numerisk løsning)
[ 4 ]. (Numeriske Algoritme)
[ 5 ]. Et skema der viser Eulers afvigelse fra den eksakte Løsning findes i Bilag 6.
[ 6 ]. (Numeriske Algoritmer)
[ 7 ]. (Matema10k s. 215)
[ 8 ]. Et skema der viser Runge-Kuttametoden af 2. ordens afvigelse fra den eksakte løsning kan ses i Bilag 3.
[ 9 ]. I dette afsnit er der gjort brug af hjælpe-funktionen i FPRO-programmet.
[ 10 ]. (FPRO facts)
[ 11 ]. Iterativt betyder at ’gentage’.
[ 12 ]. (Løkkefunktionen)
[ 13 ]. Se afsnit ’Diskussion’ for en uddybelse af skridtlængdens betydning for simuleringen.
[ 14 ]. Se afsnit ”Simuleringsprogrammet FPRO” under ”Numerisk Løsning”.
[ 15 ]. Kan også findes i Bilag 8.
[ 16 ]. (Newtons Love)
[ 17 ]. Dette kommer vi nærmere ind på, i afsnittet om Raketligningen.
[ 18 ]. I dette afsnit henvises der til Bilag 1.
[ 19 ]. (Numerisk Løsning)
[ 20 ]. Se den praktiske del
[ 21 ]. Alle de udledte og definerede faktorer bliver brugt til simuleringen i programmet FPRO.
[ 22 ]. Se afsnit om ”2. ordens Runge-Kutta”
[ 23 ]. Fejlkilder kan findes i Diskussionsafsnittet.