Free Essay

Audit Trail

In:

Submitted By ANIR
Words 17362
Pages 70
ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ. Οι χρηµατοοικονοµικοί τίτλοι µπορούν να χωριστούν σε δύο γενικές κατηγορίες: στους πρωτογενείς τίτλους, όπως µετοχές, οµόλογα, και ξένα νοµίσµατα, και στους δευτερογενείς ή παράγωγους τίτλους (derivatives), δηλαδή συµβόλαια που υπόσχονται πληρωµή ή διάθεση ενός πρωτογενούς τίτλου σε µελλοντικό χρόνο ανάλογα µε την µελλοντική συµπεριφορά του τίτλου αυτού. Τα παράγωγα επιτρέπουν στον επενδυτή να καθορίσει την τιµή µιας µελλοντικής αγοροπωλησίας τώρα, και µπορούν είτε να µειώσουν είτε να αυξήσουν τον κίνδυνο που αναλαµβάνει. Ένα συµβόλαιο δίχως κόστος στο οποίο ο ένας εκ των δύο συµβαλλοµένων συµφωνεί να πληρώσει την διαφορά µεταξύ της αξίας του τίτλου σε κάποιο µελλοντικό χρόνο και µιας προκαθορισµένης τιµής επιτρέπει και στις δύο πλευρές να αποφύγουν τον ενδογενή κίνδυνο που έχει ο κάτοχος µιας µετοχής, χωρίς να χρειάζονται το κεφάλαιο για την αγορά της. Η σχέσεις µεταξύ των δύο τύπων χρηµατοοικονοµικών τίτλων είναι επαρκώς πεπλεγµένες και αβέβαιες ώστε και οι δύο να αποτελούν αντικείµενο έντονων αγοραπωλησιών (trading) ταυτόχρονα στην ίδια αγορά. Η προφανής στοχαστική φύση της τιµής των πρωτογενών τίτλων κληρονοµείται και στην τιµή των παραγώγων τους. Ο κεντρικός σκοπός µας είναι ο καθορισµός της τιµής που ο επενδυτής πρέπει να είναι διατεθειµένος να πληρώσει για έναν παράγωγο τίτλο. Αλλά πριν µπούµε σε αυτή την συζήτηση πρέπει πρώτα ορίσουµε µερικές βασικές έννοιες. Ορισµός 1.1.1 Ένα συµβόλαιο forward (forward contract) είναι µια συµφωνία για την αγορά (ή την πώληση) ενός τίτλου σε ένα προκαθορισµένο µελλοντικό χρόνο Τ, και σε µια προκαθορισµένη τιµή Κ. Λέµε ότι ο αγοραστής κατέχει την καλυµένη θέση (long position), και ο πωλητής την ακάλυπτη θέση (short position). Με τον όρο forward εννοούµε ένα οποιοδήποτε συµβόλαιο που συνάπτεται µεταξύ δύο επενδυτών για την αγοροπωλησία ενός τίτλου σε µελλοντικό χρόνο. Επειδή οι ακριβείς όροι των συµβολαίων αυτών µπορεί να διαφέρουν από περίπτωση σε περίπτωση, η τιµολόγησή τους είναι ιδιαιτέρως δύσκολη και ως εκ τούτου δεν γίνονται αντικείµενο ευρείας αγοροπωλησίας στην αγορά. Με τον όρο συµβόλαιο futures (futures contract) εννοούµε ένα τυποποιηµένο συµβόλαιο forward, οι ακριβείς όροι του οποίου, και κυρίως ο τρόπος και χρόνος εξόφλησης, είναι προκαθορισµένοι και σχετικά απλοί. Επειδή η τιµολόγηση των τυποποιηµένων τίτλων futures είναι πολύ ευκολότερη και οι όροι ευρέως γνωστοί, τα συµβόλαια αυτά γίνονται αντικείµενο µεγάλου όγκου αγοραπωλησιών. Τα συµβόλαια forwards και futures είναι δύο από τα απλότερα παραδείγµατα παράγωγων τίτλων. Μία άλλη δηµοφιλής κατηγορία παράγωγων τίτλων είναι τα προαιρετικά δικαιώµατα (options). Το option είναι ένα συµβόλαιο που δίνει στον αγοραστή του το 2

δικαίωµα, αλλά όχι την υποχρέωση, να πράξει κάτι σε ένα µελλοντικό χρόνο. Ανάλογα µε το τι µπορεί να πράξει ο αγοραστής του option στον µελλοντικό αυτό χρόνο έχουµε και διαφορετικούς τύπους options. Ορισµός 1.1.2 Ένα Ευρωπαϊκό call option (προαιρετικό δικαίωµα ανάκλησης) δίνει στον κάτοχό του το δικαίωµα, αλλά όχι την υποχρέωση, να αγοράσει έναν τίτλο σε ένα προκαθορισµένο χρόνο Τ, και σε µια προκαθορισµένη τιµή Κ. Ένα Ευρωπαϊκό put option (προαιρετικό δικαίωµα πώλησης) δίνει στον κάτοχό του το δικαίωµα να πουλήσει ένα τίτλο σε προκαθορισµένο χρόνο Τ και τιµή Κ. Γενικά η λέξη “call” χρησιµοποιείται για να καταδείξει αγορές ενώ η λέξη “put” για πωλήσεις. Ο όρος “Ευρωπαϊκά” χρησιµοποιείται για παράγωγα η αξία των οποίων εξαρτάται από την τιµή του πρωτογενούς τίτλου στον µελλοντικό χρόνο Τ, όταν το συµβόλαιο λήγει. Υπάρχουν και άλλα είδη options, όπως για παράδειγµα τα Αµερικάνικα και τα Ασιατικά options, η απόδοση των οποίων εξαρτάται από την συµπεριφορά της τιµής του πρωτογενούς τίτλου καθόλη την περίοδο από την αγορά ως και την λήξη τους, [0, Τ]. Επειδή η τιµολόγηση των Ευρωπαϊκών options είναι η απλούστερη, θα ξεκινήσουµε την συζήτησή µας από αυτά και θα επανέλθουµε στα άλλα είδη αργότερα. Ορισµός 1.1.3 Ο χρόνος Τ όπου λήγει ένα παράγωγο συµβόλαιο ονοµάζεται ηµεροµηνία άσκησης (exercise date) ή ωρίµανσης (maturity) του συµβολαίου. Η τιµή Κ ονοµάζεται τιµή σφραγίσµατος (strike price). Ένα παράδειγµα θα µας βοηθήσει να κατανοήσουµε καλύτερα το πρόβληµα της τιµολόγησης ενός Ευρωπαϊκού call option. Ας υποθέσουµε ότι µια εταιρεία ξέρει ότι σε τρεις µήνες θα χρειαστεί 1000 βαρέλια αργού πετρελαίου. Επειδή η τιµή του αργού µπορεί να διακυµαίνεται έντονα στις διεθνείς αγορές, η εταιρεία αποφασίζει να αγοράσει ένα Ευρωπαϊκό call option για 1000 βαρέλια αργού µε τιµή strike Κ, οπότε το µέγιστο ποσό που θα χρειαστεί η εταιρεία για να αγοράσει τα 1000 βαρέλια σε τρεις µήνες είναι Κ. Μπορούµε λοιπόν να δούµε το option αυτό σαν ασφάλιση εναντίον υψηλών µελλοντικών τιµών. Φυσικά, αν σε τρεις µήνες η τιµή των 1000 βαρελιών αργού είναι µικρότερη από την τιµή strike Κ, η εταιρεία θα αποφασίσει να µην κάνει χρήση του δικαιώµατος που της δίνει το option, και να αγοράσει την ποσότητα στην τρέχουσα τιµή αγοράς. Το πρόβληµα τιµολόγησης που θα µας απασχολήσει είναι να προσδιορίσουµε την τιµή του option, για συγκεκριµένη ωρίµανση Τ και τιµή σφραγίσµατος Κ, που η εταιρεία θα έπρεπε να είναι διατεθειµένη να πληρώσει τώρα. Το πρώτο βήµα µας είναι να προσδιορίσουµε την αξία του συµβολαίου στην ηµεροµηνία ωρίµανσης. Εάν η τιµή του αγαθού όταν το option ωριµάσει είναι κατώτερη της τιµής strike, δηλαδή εάν ST < K, τότε το option δεν αξίζει τίποτε, και λέµε ότι είναι “έξω από τα χρήµατα” (out of the money). Στην αντίθετη περίπτωση όπου η τιµή του αγαθού είναι ίση ή υψηλότερη της τιµής strike, δηλαδή εάν ST ≥ K , η αξία του option είναι (ST - K), και λέµε ότι το option είναι “µέσα στα χρήµατα” (in the money). Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η αξία ενός Ευρωπαϊκού call option στο χρόνο Τ δίνεται από την σχέση max{( ST − K ), 0}.

3

Το επόµενο γράφηµα αναπαριστά γραφικά την αξία διαφόρων συµβολαίων στο χρόνο ωρίµανσής τους. € ST €

max{(ST - K ), 0}



max{(K - ST ), 0}

K

ST

K

ST

K

ST

(α)

(β)

(γ)

Γράφηµα 1.1 Απόδοση στην ωρίµανση (α) ενός forward, (β) ενός Ευρωπαϊκού call option και (γ) ενός Ευρωπαϊκού put option, µε τιµή strike Κ ως συνάρτηση του ST. Φυσικά το πρόβληµα που µας απασχολεί δεν είναι η αξία του συµβολαίου στον χρόνο ωρίµανσης, η οποία ήταν άλλωστε πολύ εύκολο να προσδιοριστεί, αλλά η αξία του συµβολαίου στο χρόνο αγοράς του. Στο παραπάνω παράδειγµα παρουσιάσαµε τα options σαν ένα µηχανισµό µείωσης του κινδύνου από µελλοντικές συναλλαγές. Φυσικά τα options µπορούν να χρησιµοποιηθούν και από κερδοσκόπους (speculators) για να ‘ποντάρουν’ στην (α) πτώση, (β) άνοδο ή απλώς και στην (γ) διακύµανση της τιµής ενός χρεογράφου. Για παράδειγµα, εάν ένας speculator αναµένει ότι η τιµή µιας µετοχής θα έχει άνοδο στον επόµενο µήνα µπορεί να αγοράσει ένα call option για αυτή την µετοχή, ενώ εάν αναµένει πτώση της τιµής της µετοχής µπορεί να αγοράσει ένα put option. Στην περίπτωση που δεν ξέρει προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί η µετοχή αλλά θέλει να ‘ποντάρει’ στο ότι η τιµή της µετοχής θα έχει έντονη διακύµανση (είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω), τότε µπορεί να αγοράσει δύο options, ένα call και ένα put, µε την ίδια τιµή strike και την ίδια λήξη. Αυτός ο συνδυασµός ονοµάζεται straddle και είναι επικερδής για τον κερδοσκόπο όταν η τιµή της µετοχής έχει έντονη διακύµανση. Για να καταλάβουµε το γιατί, αρκεί να βρούµε την συνάρτηση απόδοσης ενός τέτοιου χαρτοφυλακίου. Η απόδοση του straddle στο χρόνο λήξης των options που το αποτελούν ισούται µε max{(ST - K ), 0} (από το call) συν max{(K - ST ), 0} (από το put), δηλ.

max{(ST - K ), 0} + max{(K - ST ), 0} = | ST - K | .
Αν και η απόδοση του straddle είναι πάντα θετική, αν η τιµή strike είναι πολύ κοντά στην τιµή της µετοχής στον χρόνο Τ, ST, τότε η απόδοση δεν θα είναι αρκετή για να καλύψει το κόστος αγοράς των options και ο κερδοσκόπος θα έχει ζηµία. Βλέπουµε λοιπόν ότι το 4

straddle θα αποδώσει κέρδη στον κερδοσκόπο µόνον αν η τιµή της µετοχής έχει µεταβληθεί αρκετά από τον χρόνο 0 στον χρόνο Τ, είτε αυτή η µεταβολή είναι ανοδική είτε καθοδική. Είναι ενδιαφέρον σε αυτό το σηµείο να κάνουµε µια τελευταία παρατήρηση σε ότι αφορά τις στρατηγικές των κερδοσκόπων όταν θέλουν να ‘ποντάρουν’ σε µελλοντικές κινήσεις της αγοράς. Όταν ένας κερδοσκόπος πιστεύει ότι η τιµή µιας µετοχής θα κινηθεί ανοδικά σε µια προσεχή χρονική περίοδο (π.χ. την προσεχή εβδοµάδα) µπορεί ή να αγοράσει την µετοχή τώρα µε σκοπό να την πουλήσει σε µια εβδοµάδα (δηλ. να αναλάβει µία θέση long στη µετοχή αυτή), ή να αγοράσει ένα call option πάνω στη µετοχή µε λήξη σε µια εβδοµάδα, ή, τέλος, να πουλήσει ένα put option πάνω στη µετοχή µε λήξη σε µια εβδοµάδα. Στην περίπτωση που αναµένει πτώση της τιµής της µετοχής στην επόµενη εβδοµάδα, ο κερδοσκόπος µπορεί είτε να λάβει µια θέση short στην µετοχή αυτή (δηλ. να την πουλήσει µε σκοπό να την επαναγοράσει σε µια εβδοµάδα), ή να αγοράσει ένα put option πάνω στη µετοχή µε λήξη σε µία εβδοµάδα, ή και να πουλήσει ένα call option πάνω στη µετοχή µε λήξη σε µία εβδοµάδα. Βλέπουµε λοιπόν ότι σε κάθε περίπτωση ο κερδοσκόπος έχει αρκετές δυνατές στρατηγικές ‘πονταρίσµατος’ (οι οποίες, φυσικά, θα του αποφέρουν κέρδη µόνο αν η πρόβλεψή του είναι σωστή), και οι οποίες χρησιµοποιούν είτε την ίδια την µετοχή είτε ένα option πάνω στην µετοχή. Λίγη σκέψη θα πείσει τον αναγνώστη ότι οι στρατηγικές αυτές δεν είναι ισοδύναµες αλλά έχουν πολύ διαφορετικές ιδιότητες. Η βασική διαφορά µεταξύ της κερδοσκοπίας χρησιµοποιώντας την ίδια την µετοχή και της κερδοσκοπίας χρησιµοποιώντας options πάνω στην µετοχή, είναι ότι, επειδή η τιµή της µετοχής είναι πάντα πολλαπλάσια αυτής του option, η πρώτη είναι πολύ πιο ακριβή από την δεύτερη, δηλ. ο κερδοσκόπος θα πρέπει να έχει στην διάθεσή του πολύ περισσότερα κεφάλαια για να κερδοσκοπήσει χρησιµοποιώντας την µετοχή απ’ ότι χρησιµοποιώντας τα options πάνω στη µετοχή. Αφού η απόδοση είναι ίδια και µε τις δύο µεθόδους κερδοσκοπίας, ο κερδοσκόπος προτιµά την κερδοσκοπία χρησιµοποιώντας options η οποία µπορεί να του αποφέρει µεγάλα κέρδη µε µικρό κεφάλαιο όταν η πρόβλεψή του είναι σωστή. Από την άλλη πλευρά, όταν η πρόβλεψή του είναι λάθος οι ζηµίες µπορεί να είναι τεράστιες και ο κερδοσκόπος, ο οποίος χρησιµοποίησε ένα µικρό κεφάλαιο (π.χ. €5.000) για να κερδοσκοπήσει µέσω της αγοράς options µπορεί να βρεθεί να χρωστά εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ. Για αυτό το λόγο η διοίκηση του Χρηµατιστηρίου και άλλοι ελεγκτικοί µηχανισµοί του Κράτους δεν επιτρέπουν σε όλους τους επενδυτές να χρησιµοποιούν options και ειδικότερα περιορίζουν την δυνατότητα µικρών και µεσαίων επενδυτών (οι οποίοι είναι αφερέγγυοι) να λαµβάνουν θέσεις short σε µετοχές και να πουλούν options. 1.2 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ FORWARD. Για να λύσουµε το πρόβληµα τιµολόγησης που µας απασχολεί θα πρέπει να κάνουµε µερικές υποθέσεις ως προς τον τρόπο λειτουργίας των αγορών. Στο χρόνο που γράφεται ένα συµβόλαιο forward, δεν γνωρίζουµε την τιµή της πρωτογενούς µετοχής στο χρόνο ωρίµανσης ST, αλλά µπορούµε µόνο να µαντέψουµε τις πιθανές τιµές που αυτή µπορεί να λάβει, ή για να µιλήσουµε πιο σωστά, να αναθέσουµε µια κατανοµή πιθανότητας στην τιµή ST. Ιστορικά, το πιο δηµοφιλές υπόδειγµα κατανοµής πιθανότητας για την µελλοντική τιµή ST είναι ότι αυτή ακολουθεί την 5

λογαριθµοκανονική κατανοµή. Αυτό σηµαίνει ότι ο λογάριθµος της απόδοσης, log ST/S0, ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο µ και διακύµανση σ2. Γράφουµε
⎡ ⎛S ⎡ ⎤ S P ⎢a ≤ T ≤ b⎥ = P ⎢log a ≤ log⎜ T ⎜S S0 ⎝ 0 ⎣ ⎦ ⎣ log b

⎤ ⎞ ⎟ ≤ log b⎥ ⎟ ⎠ ⎦

=

log a



⎛ ( x − µ) 2 ⎞ 1 ⎟ dx . exp⎜ − ⎜ 2σ 2 ⎟ 2π σ ⎠ ⎝

Μία πρώτη σκέψη είναι ότι η προσδοκόµενη αξία της µετοχής στο χρόνο αγοράς, E0[ST], ίσως να είναι µία “δίκαιη” τιµή για το συµβόλαιο. Αντίθετα όµως, παρατηρούµε ότι πολύ σπάνια η τιµή συµβολαίων που γίνονται σε πραγµατικές αγορές φαίνεται να ακολουθούν την προσδοκόµενη τιµή του πρωτογενούς αγαθού. Ο λόγος για αυτή την απόκλιση είναι ότι η τιµολόγηση µε βάση την προσδοκόµενη αξία δεν λαµβάνει υπόψη της το κόστος δανεισµού, το οποίο, όπως θα δούµε, είναι και το κλειδί για την επίλυση του προβλήµατος τιµολόγησης που µας απασχολεί εδώ. Αφού ένα ευρώ τώρα αξίζει περισσότερο από ένα ευρώ στο µέλλον, χρειαζόµαστε ένα υπόδειγµα για την χρονική αξία του χρήµατος. Θα υποθέσουµε ότι υπάρχει µια αγορά για τα µελλοντικά ευρώ, η αγορά οµολόγων (bonds market), στην οποία οι τιµές προσδιορίζονται από κάποιο επιτόκιο. Χρονική Αξία του Χρήµατος. Υποθέτουµε ότι για κάθε χρόνο Τ προγενέστερου ενός χρονικού ορίζοντα τ η αξία ενός ευρώ στο χρόνο Τ είναι e-rT για κάποιο σταθερό επιτόκιο r > 0. Το σταθερό επιτόκιο r είναι το επιτόκιο συνεχούς ανατοκισµού (continuously compounded interest rate) για αυτή την περίοδο. Το επιτόκιο συνεχούς ανατοκισµού λαµβάνεται από κάποια αγορά οι τίτλοι της οποίας δεν έχουν κίνδυνο, για παράδειγµα την αγορά κρατικών οµολόγων, αφού τα κρατικά οµόλογα πάντα πληρώνουν. Για να τονίσουµε την έλλειψη κινδύνου, θα αναφερόµαστε στο επιτόκιο αυτό ως το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου (risk-free interest rate). Σε ότι ακολουθεί θα δείξουµε ότι το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου παίζει καθοριστικό ρόλο στην τιµολόγηση ενός forward. Ας υποθέσουµε πρώτα ότι K > erTS0. Ο πωλητής του forward, ο οποίος υποχρεούται να παραδώσει ένα αγαθό στο χρόνο Τ για €Κ, ακολουθεί την παρακάτω στρατηγική: δανείζεται €S0 στο χρόνο µηδέν (δηλ. πουλά οµολογίες αξίας €S0) και αγοράζει το αγαθό. Στο χρόνο Τ, ο πωλητής θα πρέπει να πληρώσει €erTS0 στον κάτοχο της οµολογίας, αλλά έχει το αγαθό που πουλά για €Κ, αποκοµίζοντας βέβαιο κέρδος €(Κ - erTS0). Στην αντίθετη περίπτωση όπου K > erTS0, ο αγοραστής του forward ακολουθεί την ακριβώς αντίστροφη στρατηγική. Πουλά το αγαθό στο χρόνο µηδέν για €S0 και αγοράζει οµολογίες. Στο χρόνο Τ, οι οµολογίες αποδίδουν €erTS0 από το οποίο ποσό χρησιµοποιεί €Κ για την επαναγορά του αγαθού, αποκοµίζοντας βέβαιο κέρδος €(erTS0 - Κ). 6

Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι, εκτός εάν K = erTS0, ένας από τους δύο συµβαλλοµένους διαθέτει στρατηγική που του αποδίδει βέβαιο κέρδος. Ορισµός 1.2.1 Η ευκαιρία αποκοµιδής βέβαιου κέρδους (risk-free profit) ονοµάζεται ευκαιρία κερδοσκοπίας (arbitrage opportunity). Το σηµείο εκκίνησης στον καθορισµό ενός χρηµατοοικονοµικού υποδείγµατος είναι η επιβολή της συνθήκης ότι δεν υπάρχει ευκαιρία κερδοσκοπίας σε αγορές υπό συνθήκες ισορροπίας. Το λήµµα που ακολουθεί δίνει το αποτέλεσµα. Λήµµα 1.2.2 Υπό συνθήκες απουσίας ευκαιριών κερδοσκοπίας, η τιµή strike ενός συµβολαίου forward η αξία του οποίο στο χρόνο µηδέν είναι S0 είναι K = erTS0, όπου r είναι το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου. Η τιµή erTS0 ονοµάζεται κερδοσκοπική τιµή (arbitrage price), ή µελλοντική τιµή (forward price) του αγαθού. Θα πρέπει να διευκρινίσουµε ότι στην απόδειξη του Λήµµατος 1.2.2, επιτρέψαµε στον αγοραστή του forward να πουλήσει το αγαθό στο χρόνο µηδέν χωρίς να το κατέχει. Μια τέτοια πώληση ονοµάζεται ακάλυπτη πώληση (short selling), και, εάν και στις πραγµατικές αγορές τέτοιες πωλήσεις υπόκεινται σε κάποιους περιορισµούς, είναι δυνατές και χρησιµοποιούνται ευρέως από τους επενδυτές (κυρίως τους µεγάλους θεσµικούς επενδυτές). Είναι, τέλος, σηµαντικό να παρατηρήσουµε ότι η κατανοµή πιθανότητας της µελλοντικής αξίας του πρωτογενούς τίτλου δεν χρησιµοποιείται πουθενά στο αποτέλεσµα του Λήµµατος 1.2.2. 1.3 ∆ΙΟΝΥΜΙΚΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ ∆ΥΟ ΧΡΟΝΩΝ. Επιστρέφουµε στο πρόβληµα του καθορισµού της δίκαιης τιµής ενός Ευρωπαϊκού call option, ξεκινώντας από ένα υπόδειγµα µε απλουστευτικές υποθέσεις που θα µας βοηθήσει να κατανοήσουµε καλύτερα την φύση του προβλήµατος. Πιο συγκεκριµένα, υποθέτουµε ότι η αγορά παρατηρείται µόνο σε δύο χρόνους, το χρόνο σύναψης του συµβολαίου και το χρόνο λήξης του, και ότι η αξία της µετοχής µπορεί να λάβει µόνο δύο τιµές στον χρόνο Τ. Ας θεωρήσουµε το ακόλουθο απλό παράδειγµα. Παράδειγµα 1.3.1 Ας υποθέσουµε ότι η τρέχουσα τιµή µιας µετοχής είναι €25. Ένα Ευρωπαϊκό call option, το οποίο ωριµάζει σε 6 µήνες, έχει τιµή strike €30. Ένας επενδυτής πιστεύει ότι µε πιθανότητα ½ η τιµή της µετοχής σε 6 µήνες θα είναι €40, και µε πιθανότητα ½ η τιµή θα είναι €20. Υπολογίζει λοιπόν ότι η προσδοκόµενη αξία του option στην λήξη του είναι €5. Ξέρει ότι το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι 0%, και έτσι συµφωνεί να πληρώσει €5 για το option. Είναι αυτή η τιµή ‘δίκαιη’;

7

Υπό το φως των σκέψεών µας στο προηγούµενο τµήµα, ο αναγνώστης µπορεί να έχει ήδη µαντέψει ότι η τιµή αυτή δεν είναι δίκαιη. Για να το αποδείξουµε αυτό αρκεί να βρούµε µια ή και περισσότερες στρατηγικές που θα αποδίδουν βέβαια κέρδη σε έναν από τους συµβαλλοµένους, τον αγοραστή ή τον πωλητή. Στην προκειµένη περίπτωση το πλεονέκτηµα έχει ο πωλητής του option, ο οποίος έχει στην επιλογή του διάφορες στρατηγικές από τις οποίες µπορεί να αποκοµίσει βέβαιο κέρδος. Μία εξ’ αυτών είναι η ακόλουθη στρατηγική: Στο χρόνο µηδέν, (1) πουλά το option και (2) δανείζεται €20 µε τα οποία αγοράζει µια µετοχή. Θα αποδείξουµε ότι η στρατηγική αυτή αποφέρει βέβαιο κέρδος στον πωλητή του option. • Ας υποθέσουµε αρχικά ότι η τιµή της µετοχής στον χρόνο ωρίµανσης του option είναι €40. Στην περίπτωση αυτή ο αγοραστής του option θα ασκήσει το δικαίωµά του, οπότε ο πωλητής θα πρέπει να πουλήσει την µετοχή του για €30. Αποπληρώνοντας το χρέος των €20 τα οποία δανείστηκε για να αγοράσει την µετοχή, ο πωλητής του option µένει µε καθαρό κέρδος €10. Στην αντίθετη περίπτωση όπου η τιµή της µετοχής στον χρόνο ωρίµανσης του option είναι €20, ο κάτοχος του option δεν θα εξασκήσει το δικαίωµά του και η µετοχή θα παραµείνει στον πωλητή του option. Σε αυτή την περίπτωση, ο τελευταίος πουλά την µετοχή και αποπληρώνει το χρέος του, αποκοµίζοντας µηδενικό κέρδος από την όλη συναλλαγή.



Βλέπουµε λοιπόν ότι, υπό τις συνθήκες που υποθέσαµε, ο πωλητής του option έχει θετικό προσδοκόµενο κέρδος χωρίς κανένα κίνδυνο ζηµίας: λαµβάνει τα €5 από την πώληση του option και επιπλέον έχει πιθανότητα ½ να κερδίσει ακόµα €10. Είναι λοιπόν ξεκάθαρο ότι η τιµή των €5 δεν είναι δίκαιη. Το ερώτηµα βέβαια παραµένει: Ποια είναι η δίκαιη τιµή; x2

( x1 , x2 )

x1 x1 + 40 x2 = 10 x1 + 20 x2 = 0 8

Γράφηµα 1.2 Ο πωλητής του option στο Παράδειγµα 1.3.1 έχει βέβαιο κέρδος εάν αγοράσει οποιοδήποτε χαρτοφυλάκιο στην σκιασµένη περιοχή. Ας σκεφτούµε το πρόβληµα από την άποψη του πωλητή. Εάν ST είναι η τιµή της µετοχής στην λήξη του option, ο πωλητής ξέρει ότι στον χρόνο Τ χρειάζεται €max{(ST - 30), 0} για να καλύψει το δικαίωµα του αγοραστή. Η τιµολόγηση του option θα επιτευχθεί µε το να υπολογίσουµε πόσα χρήµατα χρειάζεται ο πωλητής στον χρόνο µηδέν ώστε να εξασφαλίσει τα κεφάλαια για την κάλυψη του δικαιώµατος του αγοραστή στην λήξη του option. Ας υποθέσουµε ότι ο πωλητής χρησιµοποιεί τα χρήµατα από την πώληση του option για να αγοράσει ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από x1 ευρώ και x2 µετοχές. Εάν η τιµή της µετοχής στην λήξη του option είναι €40, η αξία του χαρτοφυλακίου στο χρόνο Τ θα είναι erT x1 + 40 x2. Για να καλύψει το δικαίωµα του αγοραστή, ο πωλητής του option σε αυτή την περίπτωση χρειάζεται τουλάχιστον €10, δηλαδή, αφού το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι µηδέν, ο πωλητής χρειάζεται x1 + 40 x2 ≥ 10.

Από την άλλη πλευρά, εάν η τιµή της µετοχής στον χρόνο Τ είναι €20, ο αγοραστής του option δεν θα εξασκήσει το δικαίωµά του, οπότε το µόνο που χρειάζεται ο πωλητής είναι να εξασφαλίσει ότι το χαρτοφυλάκιό του έχει µη αρνητική αξία, δηλαδή x1 + 20 x2 ≥ 0.

Το Γράφηµα 1.2 δίνει την γραφική παράσταση των παραπάνω ανισοτήτων. Από το γράφηµα αυτό βλέπουµε ότι ο πωλητής του option έχει θετικό βέβαιο κέρδος εάν το (x1, x2) βρίσκεται οπουδήποτε µέσα στην σκιασµένη περιοχή. Πάνω στα όρια της σκιασµένης περιοχής, ο πωλητής έχει θετική πιθανότητα κέρδος και µηδενική πιθανότητα ζηµίας, µε µόνη εξαίρεση το σηµείο τοµής των δύο ευθειών. Το χαρτοφυλάκιο ( x1 , x2 ) που αντιστοιχεί στο σηµείο τοµής αποδίδει ακριβώς το χρηµατικό ποσό που ο πωλητής χρειάζεται για να καλύψει το δικαίωµα του αγοραστή στο χρόνο Τ, χωρίς να του δίνει καµία πιθανότητα επιπλέον κέρδους ή ζηµίας. Λύνοντας το σύστηµα των δύο εξισώσεων βρίσκουµε x1 = -10 και x2 = 1 / 2 , δηλαδή το χαρτοφυλάκιο που ο πωλητής θα πρέπει να αγοράσει στο χρόνο µηδέν ώστε να µπορεί να καλύψει την απαίτηση του αγοραστή στον χρόνο Τ χωρίς επιπλέον κέρδος ή ζηµία, είναι να δανειστεί €10 και µε τα λεφτά αυτά να αγοράσει µισή µετοχή. Το κόστος του χαρτοφυλακίου αυτού στον χρόνο µηδέν είναι €(-10+25/2) = €2.5. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι για οποιαδήποτε τιµή µεγαλύτερη των €2.5 ο πωλητής του option θα αποκοµίσει κέρδος, ενώ για οποιαδήποτε τιµή κατώτερη των €2.5 ο πωλητής θα έχει ζηµία.

9

Μια παρόµοια ανάλυση δείχνει ότι ο αγοραστής κατέχει την ακριβώς αντίστροφη θέση, δηλαδή ότι για οποιαδήποτε τιµή µεγαλύτερη των €2.5 ο αγοραστής του option θα έχει ζηµία, ενώ για οποιαδήποτε τιµή κατώτερη των €2.5 θα αποκοµίσει κέρδος. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι, υπό συνθήκες απουσίας arbitrage, η δίκαιη τιµή του option αυτού είναι €2.5. Έχει ενδιαφέρον να σηµειώσουµε ότι, όπως και στην περίπτωση της τιµολόγησης του forward, στο σκεπτικό που ακολουθήσαµε για να τιµολογήσουµε το option δεν χρησιµοποιήσαµε πουθενά την πιθανοκατανοµή που προσδιορίσαµε για τις µελλοντικές κινήσεις της πρωτογενούς µετοχής. Το µόνο που χρησιµοποιήσαµε ήταν η ικανότητά µας να αντιγράψουµε (replicate) την µελλοντική αξία του option µε ένα απλό χαρτοφυλάκιο. Ο πωλητής µπορεί να προνοήσει εναντίον (hedge against) του µελλοντικού δικαιώµατος του αγοραστή, το οποίο ισούται µε €max{(ST - 30), 0}, κατασκευάζοντας στο χρόνο µηδέν ένα αντίγραφο χαρτοφυλάκιο (replicating portfolio) το οποίο αποτελείται από €x1 και x2 µετοχές, και έχει ακριβώς την ίδια αξία µε το option στον χρόνο Τ. Χρησιµοποιώντας παρόµοια επιχειρήµατα, µπορούµε να αποδείξουµε το ακόλουθο γενικευµένο λήµµα. Λήµµα 1.3.2 Ας υποθέσουµε ότι το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι r, ότι στον χρόνο µηδέν η αξία µιας µετοχής είναι S0, και ότι η αξία της µετοχής σε ένα µεταγενέστερο χρόνο Τ µπορεί να είναι είτε uS0 µε πιθανότητα ½ είτε dS0 µε πιθανότητα ½, όπου d < erT < u. Τότε, στο χρόνο µηδέν η δίκαιη τιµή ενός Ευρωπαϊκού call option µε απόδοση C(ST) στην λήξη του στο χρόνο Τ είναι
⎛ 1 − de − rT ⎜ ⎜ u−d ⎝ ⎛ ue − rT − 1 ⎞ ⎞ ⎟ C (uS0 ) + ⎜ ⎟ ⎜ u − d ⎟ C ( dS0 ). ⎟ ⎠ ⎝ ⎠

Ακόµα, ο πωλητής µπορεί να δηµιουργήσει στον χρόνο µηδέν ένα χαρτοφυλάκιο η αξία του οποίου στον χρόνο Τ να είναι ακριβώς max{(ST - Κ), 0} (αντίγραφο χαρτοφυλάκιο – replicating portfolio) χρησιµοποιώντας τα χρήµατα που έλαβε από την πώληση του option για να αγοράσει

C (uS0 ) − C ( dS0 ) uS0 − dS0 µονάδες της µετοχής και µε τα υπόλοιπα να αγοράσει οµολογίες.

(1.1)

1.4 ΤΡΙΩΝΥΜΙΚΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ ∆ΥΟ ΧΡΟΝΩΝ. Το διωνυµικό υπόδειγµα του προηγουµένου τµήµατος εµπεριέχει πολλές απλουστευτικές υποθέσεις. Στο τµήµα αυτό θα δείξουµε ότι ο λόγος που η τιµολόγηση του option ήταν τόσο απλή σε αυτό το υπόδειγµα οφείλεται στις απλουστευτικές αυτές υποθέσεις, και ότι το πρόβληµα τιµολόγησης γίνεται πολύ πιο δύσκολο όταν αυτές αρθούν.

10

Μια από αυτές τις απλουστευτικές υποθέσεις ήταν ότι η τιµή της µετοχής στον χρόνο Τ µπορεί να λάβει µόνο δύο τιµές µε ίσες πιθανότητες. Τι θα συµβεί εάν υποθέσουµε ότι µπορεί να λάβει τρεις τιµές µε ίσες πιθανότητες; Ας προσπαθήσουµε να αναπαράγουµε την ανάλυσή µας στο τµήµα 1.3. Ο πωλητής θα ήθελε πάλι να αντιγράψει την απόδοση του option στον χρόνο Τ µε ένα replicating χαρτοφυλάκιο που θα αποτελείται από €x1 και x2 µετοχές. Αυτή την φορά υπάρχουν τρία σενάρια που πρέπει να σκεφτούµε, ένα για κάθε πιθανή τιµή της µετοχής στον χρόνο Τ. Εάν το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου υποτεθεί πάλι ότι είναι µηδενικό, το χαρτοφυλάκιο του πωλητή πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες τρεις ανισότητες ώστε ο πωλητής να αποφύγει την ζηµία στον χρόνο Τ i i x1 + ST x2 ≥ max{( ST − 30) , 0},

i = 1, 2 , 3,

i όπου ST είναι οι πιθανές τιµές της µετοχής στον χρόνο Τ. Η εικόνα των ανισοτήτων αυτών δίνεται στο Γράφηµα 1.3

x2

i i x1 + ST x2 = max{(ST − 30) , 0}

x1

Γράφηµα 1.3 Αν η τιµή της µετοχής στον χρόνο Τ µπορεί να λάβει τρεις πιθανές τιµές, τότε µε οποιοδήποτε replicating χαρτοφυλάκιο στο οποίο ο πωλητής δεν έχει κίνδυνο ζηµίας θα έχει αυστηρός θετική πιθανότητα κέρδους.

Για να αποφύγει την ζηµία, ο πωλητής θέλει το χαρτοφυλάκιό του (x1, x2) να βρίσκεται στην σκιασµένη περιοχή του γραφήµατος. Αλλά σε κάθε τέτοιο σηµείο, ο πωλητής έχει αυστηρός θετική πιθανότητα κέρδους. Από την άλλη πλευρά, οποιοδήποτε χαρτοφυλάκιο εκτός της σκιασµένης περιοχής ενέχει κίνδυνο ζηµίας για τον πωλητή. Βλέπουµε λοιπόν ότι στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει χαρτοφυλάκιο που να αντιγράφει (replicate) ακριβώς την απόδοση του option στον χρόνο Τ, και άρα δεν υπάρχει µοναδική δίκαιη τιµή για αυτό το option. 11

Ο λόγος της αποτυχίας µας να καθορίσουµε την δίκαιη τιµή του option στην περίπτωση αυτή είναι ότι η αγορά δεν είναι πλήρης (complete) αλλά ελλιπής (incomplete). Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν υποθετικές απαιτήσεις (contingent claims) εναντίον των οποίων δεν µπορούµε να προνοήσουµε (hedge against). Το παράδειγµά µας επιτρέπει µόνο χαρτοφυλάκια µετοχών και άτοκων οµολογιών (δηλ. µετρητών). Στις πραγµατικές αγορές φυσικά, οι επενδυτές έχουν την δυνατότητα να φτιάξουν χαρτοφυλάκια επιλέγοντας από ένα πολύ µεγάλο φάσµα τίτλων. Εάν επιτρέψουµε στον πωλητή να φτιάξει χαρτοφυλάκια από τρία είδη τίτλων, δηλ. αν επιτρέψουµε ακόµα ένα είδος τίτλου πέρα από την µετοχή και τα µετρητά (π.χ. µια άλλη µετοχή), τότε η παραπάνω ανάλυση θα µας δώσει τρεις µη παράλληλες γραµµές στο R3 οι οποίες θα τέµνονται σε ένα και µοναδικό σηµείο που θα αντιστοιχεί στο replicating χαρτοφυλάκιο που αναζητούµε. Η τιµή του χαρτοφυλακίου αυτού στον χρόνο µηδέν θα είναι και η δίκαιη τιµή του option. Η παραπάνω ανάλυση θέτει το ερώτηµα: Πότε υπάρχει δυνατότητα arbitrage σε µια αγορά; Είναι ξεκάθαρο ότι στο τριωνυµικό υπόδειγµα δύο χρόνων µε δύο είδη τίτλων, οποιαδήποτε και εάν είναι η τιµή του option ένας εκ των δύο συναλλασσόµενων έχει την δυνατότητα arbitrage, δηλ. κέρδους χωρίς κίνδυνο. Στο επόµενο τµήµα θα διατυπώσουµε συγκεκριµένες συνθήκες που οι αγορές θα πρέπει να ικανοποιούν ώστε να µην υπάρχει δυνατότητα arbitrage για κανέναν, και άρα να υπάρχει δίκαιη τιµή για τα options.
1.5 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟ ∆ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ARBITRΑGE. Θα υποθέσουµε ότι η αγορά αποτελείται από ένα πεπερασµένο, αλλά πιθανώς µεγάλο, αριθµό διαπραγµατεύσιµων τίτλων. Όπως και πριν, θα υποθέσουµε ότι η αγορά είναι παρατηρήσιµη σε δύο µόνο χρόνους, το χρόνο µηδέν και το χρόνο Τ. Στο επόµενο κεφάλαιο θα δούµε ότι η επέκταση του υποδείγµατος σε περισσότερους των δύο χρόνων είναι σχετικά εύκολη και πλήρως ανάλογη µε το υπόδειγµα δύο χρόνων.

Ας υποθέσουµε ότι έχουµε Ν διαπραγµατεύσιµους τίτλους στην αγορά. Η τιµή τους στο χρόνο µηδέν δίνεται από το διάνυσµα
1 ⎛ S0 ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜S ⎟ S0 = ⎜ 0 ⎟ . M ⎜ ⎟ ⎜SN ⎟ ⎝ 0 ⎠

Η αβεβαιότητα για τις µελλοντικές κινήσεις της αγοράς αντιπροσωπεύεται από ένα πεπερασµένο αριθµό πιθανών states στα οποία η αγορά µπορεί να βρεθεί στον χρόνο Τ τα οποία συµβολίζουµε 1, 2,..., n. Η αξία των χρεογράφων στον χρόνο Τ δίνεται από έναν πίνακα D = (Dij) διαστάσεων N × n , όπου οι συντελεστές Dij δίνουν την αξία του χρεογράφου i στον χρόνο Τ εάν το state που επικρατεί είναι j. Το απλό διωνυµικό υπόδειγµα του τµήµατος 1.2 αντιστοιχεί σε Ν = n = 2, ενώ το τριωνυµικό υπόδειγµα του τµήµατος 1.3 αντιστοιχεί σε Ν = 2 και n = 3.

12

Ένα χαρτοφυλάκιο είναι ένα διάνυσµα θ = (θ1 ,θ2 ,...,θ N )′ ∈ R N , η αξία του οποίου στον
1 ′ χρόνο µηδέν είναι S0θ = S0 θ1 + S02θ2 + L + S0N θ N , ενώ η αξία του στον χρόνο Τ ανάλογα µε το state που επικρατεί τότε δίνεται από το 1 × n διάνυσµα

⎛ D11θ1 + D21θ2 + L + DN 1θ N ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ D12θ1 + D22θ2 + L + DN 2θ N ⎟ D′θ = ⎜ ⎟. M ⎜ ⎜D θ + D θ +L+ D θ ⎟ ⎟ 2n 2 Nn N ⎠ ⎝ 1n 1

Χρησιµοποιώντας τους ορισµούς αυτούς µπορούµε να ορίσουµε ένα arbitrage (δυνατότητα κερδοσκοπίας) ως ένα χαρτοφυλάκιο θ ∈ R N το οποίο ικανοποιεί µια από τις ακόλουθες συνθήκες

′ S0θ ≤ 0 , D′θ > 0

ή

′ S0θ < 0 , D′θ ≥ 0.

Το κλειδί της arbitrage τιµολόγησης είναι η έννοια του διανύσµατος state-price.
N Ορισµός 1.5.1 Εάν υπάρχει ένα διάνυσµα ψ ∈ R+ + που ικανοποιεί την σχέση S0 = Dψ , τότε το διάνυσµα αυτό ονοµάζεται state-price διάνυσµα.

Για να καταλάβουµε λίγο καλύτερα την οικονοµική σηµασία του διανύσµατος stateprice, γράφουµε πιο αναλυτικά την εξίσωση που ικανοποιεί ως
1 ⎛ S0 ⎞ ⎛ D1n ⎞ ⎛ D12 ⎞ ⎛ D11 ⎞ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ S0 ⎟ ⎜ D2 n ⎟ ⎜ D22 ⎟ ⎜ D21 ⎟ ⎜ M ⎟ = ψ1 ⎜ M ⎟ + ψ 2 ⎜ M ⎟ + L + ψ n ⎜ M ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜D ⎟ ⎟ ⎜D ⎟ ⎟ ⎜D ⎟ ⎜SN ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 22 ⎠ ⎝ 21 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 Nn 3 1 N3 1 N3 D (1) D(2) D(n)

(1.2)

Το διάνυσµα D(i) που πολλαπλασιάζει τον αριθµό ψi είναι η τιµή του χρεογράφου όταν η αγορά βρίσκεται στο state i. Μπορούµε να ερµηνεύσουµε το ψi ως το οριακό κόστος στον χρόνο µηδέν για την απόκτηση µιας επιπλέον µονάδας πλούτου στο χρόνο Τ εάν η αγορά στον χρόνο Τ βρίσκεται στο state i. Με άλλα λόγια, εάν η αγορά στον χρόνο Τ βρίσκεται στο state i, τότε η αξία του χαρτοφυλακίου µας αυξάνει κατά µία µονάδα για κάθε επιπλέον επένδυση ψi στον χρόνο µηδέν. Για να γίνει η παραπάνω εξήγηση ακόµη πιο κατανοητή ας υποθέσουµε ότι είναι δυνατό να βρούµε διανύσµατα {θ ( i ) ∈ R N }i =1,...,n τέτοια ώστε
⎧1 εάν i = j θ (i ) D ( j ) = ⎨ ⎩0 αλλιώς.

13

∆ηλαδή, η αξία του χαρτοφυλακίου θ(i) στον χρόνο Τ είναι η συνάρτηση δείκτης (indicator function) ότι η αγορά είναι σε state i. Χρησιµοποιώντας την εξίσωση (1.2), το κόστος της αγοράς του χαρτοφυλακίου θ(i) στον χρόνο µηδέν είναι ακριβώς
⎛ n ⎞ S0θ ( i ) = ⎜ ∑ ψ j D ( j ) ⎟ θ ( i ) = ψi . ⎜ ⎟ ⎝ j =1 ⎠

Τα χαρτοφυλάκια {θ ( i ) ∈ R N }i =1,...,n παίζουν πολύ σηµαντικό ρόλο στην θεωρία της τιµολόγησης παραγώγων και ονοµάζονται χρεόγραφα Arrow-Debreu (Arrow-Debreu securities). Στο επόµενο τµήµα θα επανέλθουµε στην οικονοµική σηµασία του διανύσµατος stateprice και θα δώσουµε ακόµη έναν τρόπο ερµηνείας του, αλλά τώρα παρουσιάζουµε ένα βασικό αποτέλεσµα που συνδέει την ύπαρξη ενός τέτοιου διανύσµατος µε την δυνατότητα για arbitrage σε µία αγορά.
Θεώρηµα 1.5.2 Στο υπόδειγµα αγοράς που συζητήθηκε παραπάνω δεν υπάρχει δυνατότητα arbitrage εάν και µόνον εάν υπάρχει ένα state-price διάνυσµα.

Το Θεώρηµα 1.5.2 οφείλεται στους Harrison & Kreps (1979) και είναι η απλούστερη µορφή ενός πιο γενικού θεωρήµατος που συχνά αποκαλείται το Βασικό Θεώρηµα της Τιµολόγησης Χρεογράφων (Fundamental Theorem of Asset Pricing). Η απόδειξή του χρησιµοποιεί δύο βασικά θεωρήµατα της Μαθηµατικής Ανάλυσης, το Θεώρηµα ∆ιαχωρισµού των Hahn και Banach (Hahn-Banach Separation Theorem, ή Separating Hyperplane Theorem) και το Θεώρηµα Αντιπροσώπευσης του Riesz (Riesz Representation Theorem). Ένα σύνολο M ⊆ R d ονοµάζεται κώνος αν x ∈ M συνεπάγεται ότι λx ∈ M για οποιοδήποτε θετικό αριθµό λ. Μία γραµµική συνάρτηση στο R d είναι µία γραµµική απεικόνιση F : R d → R .

Rn Κ

R1 M

14

Γράφηµα 1.4 ∆εν υπάρχει arbitrage εάν και µόνον εάν τα σύνολα K και M του Θεωρήµατος 1.5.2 τέµνονται µόνον στην αρχή των αξόνων. Θεώρηµα 1.5.3 (Separating Hyperplane Theorem) Ας υποθέσουµε ότι τα σύνολα Κ και Μ είναι κλειστοί και κοίλοι κώνοι στο Rd που τέµνονται µόνον στην αρχή των αξόνων. Εάν το Κ δεν είναι ένας γραµµικός υποχώρος, τότε υπάρχει µία µη µηδενική γραµµική συνάρτηση F τέτοια ώστε F(x) < F(y) για κάθε x ∈ M και κάθε µη-µηδενικό y ∈ K . Θεώρηµα 1.5.4 (Riesz Representation Theorem) Κάθε φραγµένη γραµµική συνάρτηση στο F : R d → R µπορεί να γραφτεί ως F ( x ) = υ0 x , όπου υ0 ∈ R d . Απόδειξη του Θεωρήµατος 1.5.2: 1.6 ΤΟ ΟΥ∆ΕΤΕΡΟ-ΚΙΝ∆ΥΝΟΥ ΜΕΤΡΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Το διάνυσµα stateprice είναι το κλειδί της τιµολόγησης χρεογράφων. Στο προηγούµενο τµήµα συζητήσαµε την οικονοµική σηµασία του διανύσµατος. Στο τµήµα αυτό θα παρουσιάσουµε έναν ακόµα τρόπο κατανόησης του διανύσµατος αυτού που θα µας επιτρέψει αργότερα να χρησιµοποιήσουµε την δύναµη της θεωρίας των πιθανοτήτων και των martingales.

Υπενθυµίζουµε ότι τα στοιχεία του state-price διανύσµατος ψ είναι αυστηρώς θετικά. Γράφοντας ψ0 = ∑ ψi , µπορούµε να επανα-ορίσουµε το διάνυσµα ψ ως i =1 n

⎛ψ ψ ψ ⎞ ψ = ⎜ 1 , 2 ,..., n ⎟ ⎜ψ ψ ψ0 ⎟ ⎝ 0 0 ⎠



(1.4)

το οποίο µπορεί να θεωρηθεί σαν ένα διάνυσµα πιθανοτήτων για την πραγµατοποίηση των πιθανών states. Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι αυτές οι πιθανότητες µπορεί να µην έχουν καµία σχέση µε την γνώµη του επενδυτή για την µελλοντική κίνηση των αγορών. Ποια είναι η σηµασία του ψ0; Ας υποθέσουµε ότι στο διωνυµικό µας υπόδειγµα (όπου υποθέσαµε την ύπαρξη µιας ακίνδυνης οµολογίας) η αγορά µας επιτρέπει θετικό ακίνδυνο δανεισµό. Μπορούµε να αντιγράψουµε µια τέτοια οµολογία µε ένα χαρτοφυλάκιο θ για το οποίο

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ D' θ = ⎜ ⎟ , M ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
15

δηλ., η αξία του χαρτοφυλακίου στο χρόνο Τ είναι ένα, άσχετα µε το state της αγοράς στο χρόνο Τ. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το διάνυσµα ψ για να υπολογίσουµε το κόστος ενός τέτοιου χαρτοφυλακίου στο χρόνο µηδέν ως
S0θ = (Dψ ) θ = ψ (D' θ ) = ∑ ψi = ψ0 . n i =1

Άρα το ψ0 αντιπροσωπεύει την προεξόφληση ακίνδυνου δανεισµού, κάτι που στο Τµήµα 1.2 γράψαµε ως ψ0 = e-rT. Χρησιµοποιώντας την πιθανοκατανοµή στο διάνυσµα (1.4), η προσδοκόµενη αξία του χρεογράφου i στο χρόνο Τ είναι i E[ ST ] = ∑ Dij j =1 n

ψj ψ0

=

1 n 1 ∑ Dijψ j = ψ S0i , ψ 0 j=1 0

όπου στην τελευταία ισότητα χρησιµοποιήσαµε το τύπο S0 = Dψ . Άρα i S0 = ψ0 E[ SiT ],

i = 1,...,n .

(1.5)

Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η τιµή οποιουδήποτε χρεογράφου στο χρόνο µηδέν ισούται µε την παρούσα αξία της προσδοκόµενης απόδοσής του, όπου η προσδοκία λαµβάνεται χρησιµοποιώντας την πιθανοκατανοµή (1.4).
Ορισµός 1.6.1 Λέµε ότι µία απαίτηση (claim) C στον χρόνο Τ είναι εφικτή εάν µπορεί να προνοηθεί (hedged), δηλ. αν είναι δυνατό να σχηµατίσουµε ένα χαρτοφυλάκιο στο χρόνο µηδέν του οποίου η αξία στον χρόνο Τ είναι C. Θεώρηµα 1.6.2 Κάτω από συνθήκες απουσίας arbitrage, ή µοναδική τιµή στον χρόνο µηδέν µιας εφικτής απαίτησης C στον χρόνο Τ είναι ψ0 EQ [C ] όπου η προσδοκία παίρνεται i i σε σχέση µε το µέτρο πιθανότητας Q για το οποίο έχουµε S0 = ψ0 EQ ST για κάθε i, και ψ0 είναι το προεξοφλητικό επιτόκιο για δανεισµό µηδενικού κινδύνου.

[ ]

Παράδειγµα 1.3.1 (συνέχεια) Είναι ενδιαφέρον να εφαρµόσουµε τα αποτελέσµατα του τµήµατος αυτού στο απλό Παράδειγµα 1.3.1 και να επιβεβαιώσουµε ότι η νέα µεθοδολογία µας δίνει την ίδια τιµή για το option που έχουµε ήδη βρει. Στο παράδειγµα αυτό έχουµε µόνο δύο είδη χρεογράφων, µετρητά και την πρωτογενή µετοχή. Το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι ψ0 = e − rT , αλλά υποθέτουµε ότι r = 0, οπότε ψ0 = 1. Ο πίνακας των αξιών των χρεογράφων είναι

⎛1 1⎞ D=⎜ ⎜ 40 20 ⎟. ⎟ ⎝ ⎠

16

Συµβολίζοντας µε q την ουδέτερη-κινδύνου πιθανότητα ότι το διάνυσµα των τιµών των χρεογράφων είναι (1, 40)' , παρατηρούµε ότι για να είναι η τιµή της µετοχής ίση µε την προεξοφληµένη προσδοκόµενη αξία της, το q θα πρέπει να λύνει την εξίσωση 40q + 20(1 - q) = 25, από την οποία παίρνουµε q = 0.25. Η υποθετική απαίτηση (contingent claim) είναι €10 εάν η τιµή της µετοχής στην λήξη του option είναι €40, και µηδέν αλλιώς. Η προσδοκόµενη αξία της απαίτησης υπό την ουδέτερη-κινδύνου πιθανοκατονοµή, και κατά προέκταση και η αξία του option, είναι €( 0.25 × 10 ) = €2.5. Αυτή είναι η ίδια τιµή που είχαµε βρει και πριν.  Το µεγάλο πλεονέκτηµα της προσέγγισης αυτής είναι ότι, διαθέτοντας την πιθανότητα p, είναι εύκολο να τιµολογήσουµε οποιαδήποτε Ευρωπαϊκό option πάνω στην ίδια πρωτογενή µετοχή µε την ίδια ηµεροµηνία λήξης (στην περίπτωσή µας 6 µήνες από την εγγραφή), λαµβάνοντας την προσδοκία της συνάρτησης απόδοσης (payoff function) του option σε σχέση µε την ίδια πιθανότητα. Για παράδειγµα, η arbitrage τιµή ενός Ευρωπαϊκού put option µε τιµή strike €35 είναι E Q [max{( K - ST ) , 0}] = 0.75 ×1.5 = €11.25. Βλέπουµε λοιπόν ότι τώρα έχουµε µια “συνταγή” για την arbitrage τιµολόγηση µιας απαίτησης, εάν φυσικά η τιµή αυτή υπάρχει, δηλ. εάν η απαίτηση αυτή είναι εφικτή. Είναι σηµαντικό να είµαστε προσεχτικοί ως προς την τελευταία παρατήρηση γιατί αν η απαίτηση δεν είναι εφικτή η τιµή που υπολογίζουµε µε την παραπάνω µεθοδολογία δεν είναι τιµή arbitrage, εάν και ακόµα και σε αυτή την περίπτωση η τιµή έχει κάποια σηµασία.
Ορισµός 1.6.4 Μια αγορά ονοµάζεται πλήρης (complete) εάν κάθε υποθετική απαίτηση (contingent claim) είναι εφικτή (attainable), δηλ. εάν κάθε δυνατή απαίτηση παραγώγου (derivative claim) µπορεί να εξουδετερωθεί (hedged). Θεώρηµα 1.6.5 Μια αγορά, που αποτελείται από Ν διαπραγµατεύσιµα χρεόγραφα και η οποία εξελίσσεται σε µία περίοδο και στο τέλος της περιόδου η αγορά βρίσκεται σε ένα από n πιθανά states, είναι πλήρης εάν και µόνον εάν N ≥ n και ο βαθµός του N × n πίνακα D των τιµών των χρεογράφων είναι n. Απόδειξη: Κάθε δικαίωµα στην αγορά που περιγράφουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος µπορεί να εκφραστεί ως ένα διάνυσµα υ ∈ R n . Ένα hedge για την απαίτηση αυτή είναι ένα χαρτοφυλάκιο θ = θ (υ ) ∈ R N το οποίο ικανοποιεί την σχέση D' θ = υ. Η εύρεση του θ απαιτεί την επίλυση n γραµµικών εξισώσεων µε N αγνώστους. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι σε κάθε διάνυσµα υ αντιστοιχεί ένα hedging χαρτοφυλάκιο εάν και µόνον εάν N ≥ n και ο βαθµός του πίνακα D είναι n. 

17

Είναι φανερό ότι η διωνυµική αγορά δύο χρόνων του Τµήµατος 1.3 είναι πλήρης, ενώ η τριωνυµική αγορά δύο χρόνων του Τµήµατος 1.4 δεν είναι. Ας υποθέσουµε ότι η αγορά µας είναι πλήρης και arbitrage-free και ας θεωρήσουµε δύο ισοδύναµα martingale µέτρα Q και Q΄. Από την πληρότητα της αγοράς συµπεραίνουµε ότι κάθε απαίτηση είναι εφικτή, οπότε, κάνοντας χρήση της µοναδικότητας του επιτοκίου µηδενικού κινδύνου (risk-free rate), για κάθε τυχαία µεταβλητή X έχουµε E Q [ X ] = E Q' [ X ] . Με άλλα λόγια Q = Q΄. Άρα σε µία πλήρη και arbitrage-free αγορά το ισοδύναµο martingale µέτρο είναι µοναδικό.

18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ∆ΙΩΝΥΜΙΚΑ ∆ΕΝΤΡΑ 2.1 ∆ΙΩΝΥΜΙΚΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ ΠΟΛΛΩΝ ΧΡΟΝΩΝ. Το διωνυµικό υπόδειγµα µιας περιόδου είναι φυσικά ανεπαρκές ως υπόδειγµα τιµολόγησης χρεογράφων. Το βασικό του µειονέκτηµα είναι η υπόθεση ότι παρατηρούµε την εξέλιξη της τιµής της πρωτογενούς µετοχής µόνο σε δύο χρόνους, το χρόνο µηδέν και το χρόνο της λήξης του option Τ. Ακόµα, στον χρόνο Τ υποθέτουµε ότι η µετοχή µπορεί να λάβει µόνο δύο πιθανές τιµές. Στο τµήµα αυτό παρουσιάζουµε ένα πιο ρεαλιστικό υπόδειγµα το οποίο κατασκευάζουµε συγκολλώντας µαζί µια σειρά από αντίγραφα του απλού διωνυµικού υποδείγµατος µιας περιόδου.

Οι χρηµαταγορές στο υπόδειγµά µας θα έχουν πάλι µόνον δύο τύπους χρεογράφων, µια µετοχή και οµολογίες µετρητών (cash bonds). Όπως και πριν, υποθέτουµε ότι απεριόριστα ποσά των δύο αυτών χρεογράφων µπορούν να πωληθούν και να αγοραστούν χωρίς κόστος. Υποθέτουµε ακόµα ότι δεν υπάρχει κίνδυνος αθέτησης υπόσχεσης πληρωµής και ο οποιοσδήποτε µπορεί να αγοράσει και να πουλήσει ένα χρεόγραφο στην ίδια τιµή (δηλ. δεν υπάρχει bid-offer spread). Υποθέτουµε ότι η αγορά είναι παρατηρήσιµη σε Ν +1 χρόνους 0 = t0 < t1 < L < t N = T . Σε κάθε µία από τις περιόδους η µετοχή ακολουθεί το διωνυµικό υπόδειγµα – βλέπε Γράφηµα 2.1. Μετά την πάροδο i χρονικών περιόδων, η µετοχή µπορεί να λάβει 2i πιθανές τιµές, αλλά δεδοµένης της αξίας της στον χρόνο ti υπάρχουν µόνον δύο πιθανές τιµές που η µετοχή µπορεί να λάβει στον χρόνο ti+1. Αν και δεν είναι απαραίτητο, είναι βολικό να υποθέσουµε ότι όλες οι χρονικές περίοδοι έχουν το ίδιο µήκος οπότε είναι δυνατόν να γράψουµε ti = i∆t, όπου ∆t = T/N.
Παράδειγµα 2.1.1 (Τιµολόγηση ενός Ευρωπαϊκού call option) Ας υποθέσουµε πάλι ότι σκοπός µας είναι η τιµολόγηση ενός Ευρωπαϊκού call option µε χρόνο ωρίµανσης Τ. Το µήκος των χρονικών περιόδων στο υπόδειγµά µας είναι ∆t = T/Ν οπότε ο χρόνος Τ αντιστοιχεί σε Ν χρονικές περιόδους, και γράφουµε Si για την τιµή της µετοχής στον χρόνο i∆t. Η απόδοση του option στον χρόνο Τ συµβολίζεται µε CN.

Το κλειδί στην µέθοδο που θα χρησιµοποιήσουµε για την τιµολόγηση (pricing) και προνόηση (hedging) ενός call option στο πολυπερίοδο υπόδειγµα είναι η προς τα πίσω αναγωγή (backwards induction) πάνω στο δέντρο των τιµών της πρωτογενούς µετοχής.

19

000 S3 00 S2

S

0 1 01 S2

001 S3

010 S3 011 S3

S0
10 S2 100 S3 101 S3

1 S1 11 S2

110 S3

111 S3

Γράφηµα 2.1 ∆ενδρόγραµµα της χρονικής εξέλιξης της τιµής της µετοχής.

( ( µέτρο πιθανότητας για το οποίο S N −1 = ψ0N )E N −1 [S N ] και ψ0N ) = e − r∆t . (Σε ένα κόσµο κυµαινόµενων επιτοκίων το r πρέπει να αντικατασταθεί µε το επιτόκιο στο κόµβο του δέντρου που αντιστοιχεί στην γνωστή τιµή SN-1). Επίσης, χρησιµοποιώντας το Λήµµα 1.3.2, γνωρίζουµε πως να σχηµατίσουµε ένα χαρτοφυλάκιο στο χρόνο (N-1)∆t το οποίο θα έχει αξία ακριβώς CN στον χρόνο N∆t. Με αυτό τον τρόπο, µπορούµε να υπολογίσουµε το χρηµατικό ποσό, CN-1, που απαιτείται για τον σχηµατισµό ενός χαρτοφυλακίου που αντιγραφεί (replicates) την απαίτηση CN στον χρόνο Τ για κάθε ένα από τους 2N-1 κόµβους του δέντρου στον χρόνο (N-1)∆t.

Ας υποθέσουµε ότι γνωρίζουµε την τιµή της µετοχής στον χρόνο (N-1)∆t και ότι αυτή είναι SN-1. Τότε η ανάλυση που παρουσιάσαµε στο Κεφάλαιο 1 µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση της τιµής του option στον χρόνο (N-1)∆t, που συµβολίζουµε µε CN-1. ( Συγκεκριµένα, έχουµε C N −1 = ψ0N )E N −1 [C N ] όπου η προσδοκία παίρνεται µε βάση το

Υπολογίζοντας µε τον παραπάνω τρόπο την απαίτηση CN-1 στον χρόνο (N-1)∆t µπορούµε να επαναλάβουµε την διαδικασία κινούµενοι χρονικά προς τα πίσω. Αν ξέρουµε ότι η τιµή της µετοχής στον χρόνο (N-2)∆t είναι SN-2, µπορούµε να σχηµατίσουµε ένα χαρτοφυλάκιο στον χρόνο αυτό η αξία του οποίου στον χρόνο (N-1)∆t θα είναι ακριβώς ( CN-1. Αυτό το χαρτοφυλάκιο θα µας κοστίσει C N − 2 = ψ0N −1)E N − 2 [C N −1 ] όπου η προσδοκία
( παίρνεται µε βάση το µέτρο πιθανότητας για το οποίο S N − 2 = ψ0N −1)E N − 2 [S N −1 ] . Όπως και

( πριν, ψ0N ) = e − r∆t εκτός εάν έχουµε κυµαινόµενα επιτόκια. Συνεχίζοντας µε αυτό τον

20

τρόπο, υπολογίζουµε το κόστος του χαρτοφυλακίου που θα µας επιτρέψει να καλύψουµε  ακριβώς την απαίτηση του αγοραστή στον χρόνο N∆t = T. uuuS0 uuS0 uS0 udS0 S0 uddS0 dS0 ddS0 dddS0
Γράφηµα 2.2 Ένα επανασυνδεόµενο δυαδικό δέντρο τιµών της πρωτογενούς µετοχής.

uudS0

Είναι χρήσιµο σε αυτό το σηµείο να θεωρήσουµε µια ειδική µορφή του δυαδικού δέντρου στην οποία η τιµή της µετοχής σε κάθε µία περίοδο [ti, ti+1] ανεβαίνει από την παρούσα τιµή της, Si, σε uSi ή κατεβαίνει σε dSi για κάποιες σταθερές 0 < d < u < ∞. Σε ένα τέτοιο δέντρο η ίδια τιµή της µετοχής µπορεί να επικρατεί σε πολλές διαφορετικές περιόδους. Για παράδειγµα, η τιµή udS0 στον χρόνο t2 µπορεί να είναι το αποτέλεσµα µιας ανόδου της τιµής στο χρόνο t1 και εν συνεχεία µιας καθόδου της στο χρόνο t2, ή και αντίστροφα. Το δέντρο των τιµών της µετοχής τότε παίρνει την µορφή του Γραφήµατος 2.2. Ένα τέτοιο δέντρο ονοµάζεται επανασυνδεόµενο (recombinant) αφού διαφορετικά κλαδιά µπορεί να επανασυνδεθούν. Αυτού του είδους τα δέντρα ονοµάζονται επίσης και δυαδικά δέντρα (binomial trees) – δεδοµένου φυσικά ότι οι σταθερές u, d και r δεν µεταβάλλονται στον χρόνο – αφού το ουδέτερο-κινδύνου µέτρο πιθανότητας θα είναι το ίδιο σε κάθε κλαδί και άρα η τιµή της µετοχής σε οποιοδήποτε χρόνο tn = n∆t ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή. Τα δέντρα του τύπου αυτού είναι ιδιαίτερα δηµοφιλή στην θεωρία της Τιµολόγησης Παραγώγων επειδή απλοποιούν πολύ τους υπολογισµούς χωρίς, όπως θα δούµε, να επιβάλλουν αυστηρούς περιορισµούς στην ανάλυση. Για τον λόγο αυτό θα εφαρµόσουµε την µέθοδο της προς τα πίσω αναγωγής που περιγράψαµε παραπάνω σε ένα επανασυνδεόµενο δυαδικό δέντρο.

21

Παράδειγµα 2.1.2 Ας υποθέσουµε ότι οι τιµές της πρωτογενούς µετοχής δίνονται από το δέντρο του Γραφήµατος 2.3, ότι ∆t = 1, και το επιτόκιο είναι µηδέν. Επιθυµούµε να τιµολογήσουµε ένα Ευρωπαϊκό call option που θα µας επιτρέπει να αγοράσουµε την µετοχή µε €100 στον χρόνο 3.

140 120 (25) 100 (15) 80 (5) (40) 100 (10) 60 (0)

160 (60)

120 (20)

80 (0)

40 (0)
Γράφηµα 2.3 Το δέντρο τιµών της µετοχής στο Παράδειγµα 2.1.2. Οι αριθµοί στις παρενθέσεις είναι η αξία της απαίτησης σε κάθε κόµβο. Λύση: Είναι εύκολο να συµπληρώσουµε τις αξίες της απαίτησης στον χρόνο 3. ∆ιαβάζοντας από πάνω προς τα κάτω, οι αξίες αυτές είναι €60, €20, €0 και €0.

Το επόµενο βήµα είναι ο καθορισµός του ουδέτερου-κινδύνου µέτρου πιθανότητας για κάθε µία από τις τριάδες των κόµβων της µορφής d Si+1 Si u Si+1

Προφανώς, στο παράδειγµα αυτό οι ουδέτερες-κινδύνου πιθανότητες ανόδου είναι ίσες µε ½ σε κάθε κόµβο. Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τις τιµές του option στην περίοδο 2 οι οποίες είναι, διαβάζοντας πάλι από πάνω προς τα κάτω, €40, €10, και €0.

22

Επαναλαµβάνοντας την διαδικασία για τον χρόνο 1 παίρνουµε αξίες €25 και €5. Τέλος, η αξία του option στον χρόνο 0 είναι €15. Έχοντας καθορίσει µε αυτό τον τρόπο τις τιµές του option πάνω στο δέντρο, µπορούµε τώρα να σχηµατίσουµε ένα χαρτοφυλάκιο που αντιγράφει ακριβώς την αξία του στον χρόνο 3 χρησιµοποιώντας την ‘συνταγή’ του Λήµµατος 1.3.2. Γράφοντας (φi ,ψi ) για τις ποσότητες µετοχών και µετρητών που εµπεριέχονται στο χαρτοφυλάκιό µας κατά την περίοδο [(i-1)∆t, i∆t], έχουµε:
• • • •

Στον χρόνο 0 η αξία του option είναι €15. Υπολογίζουµε φ1 = (25-5)/(120-80) = 0.5. Άρα αγοράζουµε µισή µετοχή, η οποία στοιχίζει €50, και δανειζόµαστε €35 σε µετρητά. Ας υποθέσουµε ότι S1 = €120. Σε αυτή την περίπτωση φ2 = (40-10)/(140-100) = 0.75, οπότε αγοράζουµε ακόµα ¼ της µετοχής και αυξάνουµε τον συνολικό µας δανεισµό σε €65. Ας υποθέσουµε ότι S2 = €140. Τώρα φ3 = (60-20)/(160-120) = 1, δηλαδή αγοράζουµε ακόµα ¼ της µετοχής, οπότε τώρα έχουµε µία ολόκληρη µετοχή, αυξάνουµε τον δανεισµό µας σε €100. Τέλος, ας υποθέσουµε ότι S3 = €120. Σε αυτή την περίπτωση το option θα είναι ‘µέσα στα χρήµατα’ οπότε ο αγοραστής θα µας ζητήσει να αγοράσει την µετοχή µας για €100, ποσό που είναι ακριβώς αρκετό για να καλύψουµε την οφειλή µας η οποία είναι επίσης €100.

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τις θέσεις χαρτοφυλακίου που θα πρέπει να έχουµε εάν η τιµή της µετοχής ακολουθήσει µια διαφορετική πορεία επάνω στο δέντρο. Χρόνος i 0 1 2 3 Τελευταίο Άλµα --κάτω πάνω κάτω Τιµή Μετοχής Si 100 80 100 80 Αξία Option Vi 15 5 10 0 Θέση σε Μετοχές φi --0.50 0.25 0.50 Θέση σε Οµολογίες ψi ---35 -15 -40

V Παρατηρούµε ότι οι διαδικασίες (processes) { i }0 ≤ i ≤ N , {φi }0 ≤ i ≤ N , και {ψi }0 ≤ i ≤ N εξαρτώνται από την διαδικασία των αλµάτων της τιµής της µετοχής {Si }0≤i≤ N και άρα είναι όλες τυχαίες διαδικασίες. Ο πωλητής του option θα πρέπει να επανασταθµίζει το χαρτοφυλάκιό του σε κάθε περίοδο προσαρµόζοντάς το ανάλογα µε την τελευταία κίνηση της µετοχής. Αυτό σηµαίνει ότι το χαρτοφυλάκιο που θα πρέπει να σχηµατίσει δεν του είναι γνωστό εκ των προτέρων στον χρόνο 0 αλλά γίνεται γνωστό τµηµατικά µε την πάροδο του χρόνου. Σε κάθε περίπτωση, το χαρτοφυλάκιο αυτό είναι αυτοχρηµατοδοτούµενο (self-financing), δηλαδή ο πωλητής δεν χρειάζεται να χρησιµοποιήσει δικά του κεφάλαια για να το σχηµατίσει. Τέλος, αφού ο πωλητής γνωρίζει πως να προσαρµόσει το χαρτοφυλάκιό του σε κάθε δυνατή µεταβολή της µετοχής µέσα στον χρόνο, το χαρτοφυλάκιο αυτό έχει µηδενικό κίνδυνο. 

23

2.2 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ OPTIONS. Το νέο µας υπόδειγµα είναι αρκετά ρεαλιστικό ώστε να µας επιτρέψει να ρίξουµε µια πρώτη µατιά σε options η απόδοση των οποίων εξαρτάται από την διαδροµή (path) που η τιµή της µετοχής ακολουθεί πάνω στο δέντρο κατά την περίοδο [0, T]. Το πιο σηµαντικό παράδειγµα τέτοιου είδους option είναι τα Αµερικανικά options. Ορισµός 2.2.1 (Αµερικανικά calls και puts) Ένα Αµερικανικό call option µε τιµή strike Κ και χρόνο λήξης Τ δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα, αλλά όχι την υποχρέωση, να αγοράσει ένα χρεόγραφο σε τιµή Κ σε οποιονδήποτε χρόνο κατά την περίοδο [0, Τ]. Ένα Αµερικανικό put option µε τιµή strike Κ και χρόνο λήξης Τ δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα, αλλά όχι την υποχρέωση, να πουλήσει ένα χρεόγραφο σε τιµή Κ σε οποιονδήποτε χρόνο κατά την περίοδο [0, Τ].

Αφού το είδος αυτό του option δίνει στον αγοραστή του το δικαίωµα να το εξασκήσει σε οποιονδήποτε χρόνο από τον χρόνο εγγραφής έως και την λήξη του, ενώ ένα Ευρωπαϊκό option µπορεί να εξασκηθεί µόνο στην λήξη του, είναι φανερό ότι η αξία ενός Αµερικανικού option είναι µεγαλύτερη (ή τουλάχιστον όχι µικρότερη) από την αξία ενός Ευρωπαϊκού option µε τις ίδιες προδιαγραφές.
Αµερικανικά Call Options σε µετοχές χωρίς µέρισµα. Το επόµενο αποτέλεσµα είναι θεµελιώδες και πολύ χρήσιµο. Λήµµα 2.2.2 ∆εν είναι ποτέ βέλτιστο για τον κάτοχο ενός Αµερικανικού call option πάνω σε µία µετοχή που δεν πληρώνει µέρισµα να το εξασκήσει πριν την λήξη του. Απόδειξη: Ας θεωρήσουµε δύο χαρτοφυλάκια: • Χαρτοφυλάκιο Α: Ένα Αµερικανικό call option και µετρητά αξίας Κe-r(T-t) στον χρόνο t. • Χαρτοφυλάκιο B: Μία µετοχή.

Γράφοντας St για την τιµή της µετοχής στον χρόνο t, εάν το call option εξασκηθεί στον χρόνο t < T η αξία του χαρτοφυλακίου Α στον χρόνο t είναι St – K + K e-r(T-t) < St. Είναι φανερό ότι το option θα εξασκηθεί µόνο εάν St > K. Η αξία του χαρτοφυλακίου Β είναι St. Από την άλλη πλευρά, αν το option εξασκηθεί τότε η αξία του χαρτοφυλακίου Α είναι max{St, K} η οποία είναι τουλάχιστον ίση µε το χαρτοφυλάκιο Β. ∆είξαµε λοιπόν ότι η εξάσκηση του option πριν την λήξη του έχει σαν αποτέλεσµα η αξία του χαρτοφυλακίου Α να είναι µικρότερη από αυτή του Β, ενώ εάν το option εξασκηθεί στην λήξη του, η αξία του χαρτοφυλακίου Α να είναι µεγαλύτερη ή το πολύ ίση µε αυτή του Β. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η πρόωρη εξάσκηση δεν µπορεί να είναι βέλτιστη.  Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει µόνο για µετοχές που δεν πληρώνουν µέρισµα. Στην γενικότερη περίπτωση όπου η µετοχή πληρώνει µέρισµα, η επιλογή του βέλτιστου χρόνου εξάσκησης εξαρτάται από το διαφυγόν µερισµατικό εισόδηµα που η προώρη

24

εξάσκηση συνεπάγεται. Το επόµενο αποτέλεσµα αφορά µετοχές που πληρώνουν µέρισµα σε διακριτά διαστήµατα.
Λήµµα 2.2.3 Εάν η πρωτογενής µετοχής ενός Αµερικανικού call option πληρώνει µέρισµα σε διακριτούς χρόνους, τότε ο βέλτιστος χρόνος εξάσκησής του είναι ή ο χρόνος λήξης του ή ένας από τους χρόνους πληρωµής µερίσµατος. Αµερικανικά Put Options σε µετοχές χωρίς µέρισµα.. Η τιµολόγηση των Αµερικανικών put options είναι πιο δύσκολη, ακόµα και χωρίς µερίσµατα. Το επόµενο παράδειγµα θα µας βοηθήσει να κατανοήσουµε το πρόβληµα καλύτερα. Παράδειγµα 2.2.4 Ας υποθέσουµε για µια ακόµα φορά ότι η µετοχική τιµή εξελίσσεται σύµφωνα µε το επανασυνδεόµενο δέντρο του Γραφήµατος 2.3, και ότι το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι µηδενικό. Ποια είναι η αξία ενός Αµερικανικού put option µε λήξη σε 3 µήνες και τιµή strike €100; Λύση: Όπως και µε την ανάλυση των Ευρωπαϊκών options, θα ξεκινήσουµε από την δεξιά πλευρά του δέντρου και θα δουλέψουµε προς τα πίσω.

0 0 5 0 10 15 25 20 40

60
Γράφηµα 2.4 Το δέντρο τιµών του Αµερικανικού put option στο Παράδειγµα 2.2.3.

Α αξία της απαίτησης στον χρόνο 3 είναι, διαβάζοντας από πάνω προς τα κάτω, €0, €0, €20, και €60. Για να καθορίσουµε την αξία της απαίτησης στο χρόνο 2 θα πρέπει να εξετάσουµε δύο ενδεχόµενα ανάλογα µε το εάν ο αγοραστής εξασκεί το option ή όχι. Για τον κόµβο στην κορυφή η αξία της απαίτησης είναι €0 ειδάλλως. Για τον δεύτερο κόµβο, η τιµή της µετοχής είναι ίση µε την τιµή strike, οπότε η αξία της απαίτησης είναι µηδέν αν ο 25

αγοραστής εξασκήσει το option. Από την άλλη πλευρά, αν ο αγοραστής δεν εξασκήσει το option η αξία της απαίτησης, όπως έχουµε ήδη δει στο απλό διωνυµικό υπόδειγµα, είναι ίση µε την προσδοκόµενη αξία της υπό το ουδέτερο-κινδύνου µέτρο πιθανότητας στο χρόνο 3. Όπως έχουµε ήδη υπολογίσει, οι πιθανότητες αυτές είναι ίσες µε ½ πάνω σε κάθε ένα από τα κλαδιά του δέντρου, οπότε η προσδοκόµενη αξία της απαίτησης είναι €10. Για τον τελευταίο κόµβο, η αξία της απαίτησης είναι €40 είτε ο αγοραστής εξασκήσει το option είτε όχι. Για το χρόνο 1 έχουµε δύο κόµβους. Για τον πάνω κόµβο, η αξία της απαίτησης είναι €0 αν ο αγοραστής εξασκήσει το option, ενώ αν το κρατήσει, πάλι από την ανάλυσή µας στο µονοπερίοδο υπόδειγµα, η αξία της απαίτησης είναι €5. Για τον κάτω κόµβο, αν ο αγοραστής εξασκήσει το option τότε η αξία του είναι €20, ενώ αν το κρατήσει η αξία του είναι €25. Τέλος, στο χρόνο 0, αν ο αγοραστής εξασκήσει το option η αξία του είναι €0, ενώ αν το κρατήσει η αξία του είναι €15. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η αξία, και άρα η ‘δίκαιη τιµή’, του option αυτού είναι €15. Οι τιµές του option απεικονίζονται στο Γράφηµα 2.4  Έχει ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι στο παραπάνω παράδειγµα δεν ήταν βέλτιστο για τον αγοραστή να εξασκήσει το option στο χρόνο 1 ακόµα και αν αυτό είναι ‘in the money’: αν S1 = €80, ο αγοραστής θα βγάλει €20 αν εξασκήσει το option αλλά η προσδοκόµενη απόδοση του option αν περιµένει είναι €25, οπότε δεν το εξασκεί. Μία άλλη ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι στο παραπάνω παράδειγµα ο αγοραστής δεν είχε πουθενά πάνω στο δέντρο αυστηρώς θετικό πλεονέκτηµα από µια ενδεχόµενη πρόωρη εξάσκηση. Όπως µας δείχνει το επόµενο Λήµµα αυτό δεν είναι τυχαίο αλλά ισχύει πάντοτε όταν το επιτόκιο µηδενικό κινδύνου είναι µηδέν.
Λήµµα 2.2.5 Αν το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι µηδέν ο βέλτιστος χρόνος εξάσκησης ενός Αµερικανικού put option είναι πάντα ο χρόνος λήξης του. Στην αντίθετη περίπτωση που το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι θετικό, ο βέλτιστος χρόνος εξάσκησης µπορεί να είναι και κάποιος άλλος χρόνος. 2.2 ΤΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ COX-ROSS-RUBINSTEIN ΚΑΙ Ο ΤΥΠΟΣ BLACKSCHOLES.

Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο πρωτογενείς τίτλοι: µία ακίνδυνη οµολογία και µία µετοχή. Συµβολίζοντας µε B(t) την τιµή της οµολογίας στον χρόνο t και µε r το σταθερό επιτόκιο µηδενικού κινδύνου, έχουµε ότι, αφού η οµολογία είναι ακίνδυνη, αποδίδει το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου σε κάθε περίοδο [t, t+1], οπότε η τιµή της στον χρόνο t δίνεται από την σχέση
B (t ) = (1 + r ) t , t = 0 , 1,..., T ,

26

Συµβολίζοντας µε S(t) την τιµή της µετοχής στο χρόνο t, υποθέτουµε ότι εξελίσσεται µε βάση την διαδικασία
⎧ uS (t ) µε πιθανότητα p S (t + 1) = ⎨ , ⎩dS (t ) µε πιθανότητα 1-p

t = 0,1, ..., T - 1,

όπου 0 < d < u, και S(0) είναι κάποιος θετικός αριθµός. Η διαδικασία της απόδοσης της µετοχής, την οποία συµβολίζουµε µε Z(t), δίνεται από την σχέση
Z (t + 1) := S (t + 1) ⎧ u µε πιθανότητα p =⎨ , S (t ) ⎩d µε πιθανότητα 1-p t = 0,1,...T - 1.

Είναι φανερό ότι µπορούµε να γράψουµε (βλέπε Γράφηµα 1).
S (t ) = S (0) ∏ Z (i ) , i =1 t

t = 1, 2 , ..., T .

(2)

u 3 S ( 0) u 2 S ( 0) uS (0) u 2 dS (0) udS (0)

S (0) dS (0) d 2 S ( 0)

ud 2 S (0)

d 3 S ( 0)

Γράφηµα 1. Η διαδικασία τιµής της µετοχής στο διωνυµικό υπόδειγµα πολλών χρόνων.

Για να βρούµε το διάνυσµα state-price ψ = (ψ1 ,ψ 2 )' , λύνουµε το σύστηµα
⎡ 1 ⎤ ⎡1 + r 1 + r ⎤ ⎡ ψ1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ uS ⎥ ⎢ψ 2 ⎥ ⎣ S ⎦ ⎣ dS ⎦⎣ ⎦

και παίρνουµε

27

⎡ u − (1 + r ) ⎤ ⎡ ψ1 ⎤ ⎢ u − d ⎥ ⎥, ⎢ ⎥=⎢ ⎣ψ 2 ⎦ ⎢ (1 + r ) − d ⎥ ⎣ u−d ⎦

Παρατηρώντας ότι ψ0 := ψ1 + ψ2 = u − (1 + r ) (1 + r ) − d + = 1, u−d u−d

το martingale µέτρο δίνεται από την σχέση q := ψ 2 (1 + r ) − d = . ψ0 u−d

Χρησιµοποιώντας το µέτρο αυτό µπορούµε να τιµολογήσουµε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωµα αγοράς στην µετοχή ως την παρούσα αξία της προσδοκώµενης απόδοσης του δικαιώµατος, δηλαδή γράφοντας C(t) για την τιµή του δικαιώµατος στο χρόνο t έχουµε C (t ) = B(t ) E Q [ max{S (T ) − K , 0} B(T ) | Ft ], t = 0, 1, ..., T . Χρησιµοποιώντας την εξίσωση (2) και τον ορισµό του B(t) παίρνουµε C (t ) = (1 + r ) − (T − t ) E Q [max{S (T ) − K , 0} | Ft ] = (1 + r )
− (T − t )

E [max{S (t ) ∏ Z (i ) − K , 0}].
Q
i = t +1

T

Παρατηρώντας ότι οι αποδόσεις Z(i) ακολουθούν την κατανοµή του Bernoulli µε παράµετρο q, συµπεραίνουµε ότι οι µεταβλητές i = t +1

∏ Z (i ) ακολουθούν

T

την διωνυµική

κατανοµή µε παραµέτρους (T − t , q) , οπότε παίρνουµε

C (t ) = (1 + r ) − (T − t )

T −t

∑⎜ ⎜ j =0

⎛T − t ⎞ j ⎟ q (1 − q)T − t − j max{S (t ) u j d T − t − j − K , 0}. j ⎟ ⎝ ⎠

(3)

∆ιαιρώντας την περίοδο [0, T] σε kn υποδιαστήµατα, γράφουµε ∆n = T/kn και ορίζουµε τα υποδιαστήµατα ως I j = [ j∆n , ( j + 1) ∆n ], j = 0,...,k n − 1 . Γράφοντας rn για το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου κατά την διάρκεια κάθε υποδιαστήµατος I j , και υποθέτοντας ότι οι αγοροπωλησίες πραγµατοποιούνται µόνο κατά τους χρόνους tn , j = j∆n , έχουµε ότι η τιµή της οµολογίας στο αντίστοιχο υποδιάστηµα δίνεται από την σχέση
28

B (tn , j ) = (1 + rn ) j ,

j = 0,...,k n .

Σε ένα υπόδειγµα συνεχούς χρόνου το επιτόκιο συνεχούς ανατοκισµού, και κατά επέκταση και η τιµή της οµολογίας, δίνεται από την σχέση B (t ) = e rt . Μπορούµε να προσεγγίσουµε την σχέση αυτή σε ένα διακριτό υπόδειγµα επιλέγοντας το rn µε τέτοιο τρόπο ώστε 1 + rn = e r ∆n ⇒ rn = e r ∆n - 1. Με αυτή την επιλογή η τιµή της οµολογίας δίνεται από την σχέση
B (tn,j ) = (1 + rn ) j = e r j ∆n = e r t n,j

(4)

, j = 0, …, k n .

Υποθέτοντας πάλι ότι d n < 1 + rn < un , το martingale µέτρο χαρακτηρίζεται από την πιθανότητα qn =
(1 + rn ) − d n . u n −d n

Το επιτόκιο rn δίνεται από την σχέση (4), ενώ επιλέγουµε τα un και d n ως εξής

un = e οπότε σ ∆n

και

d n = 1 un = e

− σ ∆n

,

(5)

e r∆n − e (1 + rn ) − d n qn = = σ ∆ −σ u n −d n e n −e

− σ ∆n ∆n

.

(6)

Γράφοντας an για την µικρότερη τιµή στο χρόνο n για την οποία η τιµή της µετοχής υπερβαίνει την τιµή άσκησης K, δηλαδή k an = min{ j | S (0) unj d n n -j > K },

µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώµατος αγοράς χρησιµοποιώντας την εξίσωση (3) ως

29

Cn (0) = (1 + rn ) -k n ⎡ kn = S (0) ⎢ ∑ ⎢ j = an ⎣

j = an



kn

⎛ kn ⎞ j ⎜ ⎟ qn (1 − qn ) k n − j [ S (0) u j d k n − j − K ] ⎜ j⎟ ⎝ ⎠ ⎛ qn un ⎞ ⎜ ⎜1+ r ⎟ ⎟ n⎠ ⎝ j ⎛ kn ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ j⎟ ⎝ ⎠

⎛ (1 − qn )d n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1+ r ⎟ n ⎝ ⎠

kn − j ⎤

⎥ ⎥ ⎦

(7)

⎡ kn − (1 + rn ) − k n K ⎢ ∑ ⎢ j = an ⎣

⎤ ⎛ kn ⎞ j ⎜ ⎟ qn (1 − qn ) k n − j ⎥ . ⎜ j⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦

Γράφοντας Bn,p(.) για την διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους (n,p), βλέπουµε ότι η έκφραση µέσα στην δεύτερη αγκύλη της εξίσωσης (7) είναι ίση µε 1 − B k n ,qn ( an ). Από την άλλη πλευρά, θέτοντας

q u ~ qn = n n , 1 + rn βλέπουµε ότι η έκφραση µέσα στην πρώτη αγκύλη της εξίσωσης (7) είναι ίση µε 1 − B k n ,qn ( an ). Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε την εξίσωση (7) ως
~

Cn (0) = S (0) [1 − B k n ,qn ( an )] − (1 + rn ) − k n K [1 − B k n ,qn ( an )].

~

(8)

Εν συνεχεία µας ενδιαφέρει να προσδιορίσουµε το όριο του Cn (0) καθώς το n τείνει στο άπειρο, δηλαδή καθώς τα υποδιαστήµατα I j γίνονται άπειρα στον αριθµό και απείρως µικρά. Ας υποθέσουµε ότι η µεταβλητή Yn ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε ~ παραµέτρους ( k n , qn ) , οπότε 1 − B k n ,qn ( an ) = P( an ≤ Yn ≤ k n ). Ορίζοντας την τυποποιηµένη µεταβλητή Zn ως
~

Zn =

Yn − E(Yn ) = Var(Yn )

~ Yn − kn qn ~ ~ , k n qn (1 − qn )

το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα µας δίνει 30

n→∞

lim 1 − B k n ,qn ( an ) = lim P( an ≤ Yn ≤ k n ) n→∞ ~

~ ⎛ an − k n qn = lim P⎜ ~ ~ ≤ Zn ≤ n → ∞ ⎜ k n qn (1 − qn ) ⎝ ~ ~ = lim P( ζ n ≤ Z n ≤ ξ n ) ~ ~ = Φ( lim ξ n ) − Φ( lim ζ n ), n→∞ n→∞ n→∞

~ k n − kn qn ⎞ ⎟ ~ ~ k n qn (1 − qn ) ⎟ ⎠

~ ~ όπου οι ακολουθίες ξ n και ζ n έχουν τον προφανή ορισµό, και Φ(.) είναι η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής. Για να υπολογίσουµε τα όρια των δύο ακολουθιών, παρατηρούµε ότι

1 ~ lim qn = n→∞ 2

και

⎛r σ⎞ ~ lim k n (1 − 2qn ) ∆n = −T ⎜ + ⎟ , n→∞ ⎝σ 2⎠

Και χρησιµοποιώντας τώρα τον ορισµό του an παίρνουµε ln( K S ) + k nσ ∆ n ~ lim ξ n = lim n →∞ n →∞

2σ ∆n ~ ~ k n qn (1 − qn )

~ − k n qn

= lim n →∞

~ ln( K S ) + σ k n ∆ n (1 − 2qn ) ~ ~ 2σ k n ∆n qn (1 − qn )
2

=

ln( K S ) + (r + σ2 )T

σ T

≡ − d1 .

Από την άλλη πλευρά
~ lim ζ n = lim ~ k n (1 − qn ) = +∞ . ~ qn

n→∞

n→∞

Συγκεντρώνοντας τα αποτελέσµατά µας παίρνουµε n→∞ lim 1 − B k n ,qn ( an ) = Φ( − d1 ) − Φ( +∞) = Φ ( d1 ).

~

Με παρόµοιο τρόπο, µπορούµε να υπολογίσουµε το όριο της έκφρασης 1 − B k n ,qn ( an ).

31

~ ~ Γράφοντας ξ n και ζ n για τις ακολουθίες που αντιστοιχούν στις ξ n και ζ n όπου το qn ~ αντικαθιστά το qn , και παρατηρώντας ότι

n→∞

lim qn =

1 2

και

⎛σ r ⎞ lim kn (1 − 2qn ) ∆n = −T ⎜ − ⎟ , n→∞ ⎝2 σ⎠

παίρνουµε lim ξ n = lim n →∞ n →∞

ln( K S ) + σ n ∆ n (1 − 2qn ) 2σ n∆n qn (1 − qn )
2

= και

log( K S ) − (r − σ2 )T

σ T

≡ −d 2 ,

n→∞

lim ζ n = lim

n→∞

k n (1 − qn ) = +∞ , qn

οπότε n→∞ lim 1 − B k n ,qn ( an ) = Φ( −d 2 ) − Φ( +∞) = Φ( d 2 ).

Το θεώρηµα που ακολουθεί συγκεντρώνει τα παραπάνω αποτελέσµατα και δίνει ως τελικό αποτέλεσµα το τύπο των Black και Scholes για την τιµολόγηση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώµατος αγοράς.
Θεώρηµα 1. Η τιµή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώµατος αγοράς στον χρόνο t µε λήξη στο χρόνο T και τιµή εξάσκησης K δίνεται από την σχέση n→∞ lim Cn (t ) = CBS (t ) := S (t ) Φ( d1 ) − K e -r (T − t ) Φ( d 2 ) ,

όπου C BS (t ) είναι ο τύπος των Black και Scholes, Φ(.) είναι η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής, d1 := ln (S (t ) K ) + (r + σ2 )(T − t )
2

σ T −t

,
2

d 2 := d1 − σ T − t =

ln (S (t ) K ) + (r − σ2 )(T − t )

σ T −t
32

,

και r S Κ Τ-t σ : : : : : το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου, η τιµή της µετοχής στο χρόνο 0, η τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος, ο χρόνος ως την λήξη του δικαιώµατος, και η µεταβλητότητα της τιµής της µετοχής.

Εκτίµηση της Μεταβλητότητας των Αποδόσεων από Ιστορικά Στοιχεία και Εφαρµογή του Τύπου των Black και Scholes.

Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ιστορικά στοιχεία τιµών µιας µετοχής παρατηρηµένες σε τακτά χρονικά διαστήµατα (π.χ. ηµερησίως, µηνιαίως, ή ετησίως). Ορίζουµε n+1 : Si : τ : αριθµός παρατηρήσεων, τιµή µετοχής στο τέλος του διαστήµατος i, διάρκεια διαστήµατος σε χρόνια

και ορίζουµε την απόδοση της µετοχής κατά το διάστηµα i ως
⎛ S ⎞ ui = ln⎜ i ⎟, i = 1, 2, ..., n. ⎜S ⎟ ⎝ i −1 ⎠

Η συνήθης εκτιµήτρια, s, της τυπικής απόκλισης των αποδόσεων δίνεται από την σχέση s= 1 n ∑ (ui − u )2 n − 1 i =1

όπου u είναι ο αριθµητικός µέσος των ui . Η εκτιµήτρια της µεταβλητότητας σ είναι λοιπόν ˆ σ= s . τ 2n .

ˆ Μπορεί να δειχθεί ότι η τυπική απόκλιση αυτού του εκτιµητή είναι σ

33

Παράδειγµα. Ο Πίνακας 1 δίνει της ηµερήσιες τιµές κλεισίµατος µιας µετοχής για n + 1 = 21 ηµέρες.

Ηµέρα 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Τιµή Σχετική Κλεισίµατος Μεταβολή Μετοχής (€) Si Si −1 20.00 20.10 1.00500 19.90 0.99005 20.00 1.00503 20.50 1.02500 20.25 0.98780 20.90 1.03210 20.90 1.00000 20.90 1.00000 20.75 0.99282 20.75 1.00000 21.00 1.01205 21.10 1.00476 20.90 0.99052 20.90 1.00000 21.25 1.01675 21.40 1.00706 21.40 1.00000 21.25 0.99299 21.75 1.02353 22.00 1.01149

Ηµερησία Απόδοση ui = ln(S i S i −1 ) 0.00499 -0.01000 0.00502 0.02469 -0.01228 0.03160 0.00000 0.00000 -0.00721 0.00000 0.01198 0.00475 -0.00953 0.00000 0.01661 0.00704 0.00000 -0.00703 0.02326 0.01142

Η τυπική απόκλιση των u είναι s = 0.01216 .

Υποθέτοντας ότι έχουµε 252 µέρες συναλλαγών ετησίως, θέτουµε τ = 1 252 , οπότε ˆ σ = 0.01216 252 = 0.193. Εκτιµάµε λοιπόν ότι η ετήσια µεταβλητότητα της διαδικασίας της τιµής αυτής της µετοχής είναι περίπου19%. 
Παράδειγµα. Ας Θεωρήσουµε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωµα αγοράς σε µια µετοχή µε τιµή εξάσκησης K = 21€ και λήξη σε T = 4/12 έτη (δηλ. 4 µήνες), όταν η τιµή της µετοχής είναι S(0) = 20€, η ετήσια µεταβλητότητα της µετοχής είναι σ = 20% και το ετήσιο επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι r = 3% . Χρησιµοποιώντας τον τύπο των Black και Scholes παίρνουµε

34

d1 = = και

log(S (t ) K ) + ( r + σ2 )(T − t )
2

σ T −t log(20 21) + (0.03 + 0.22 2) ( 4 12) = −0.2782 0.2 4 12

d 2 = d1 − σ T − t = −0.2782 − 0.2 4 12 = −0.3937.

Χρησιµοποιώντας τώρα τις τιµές
Φ ( d1 ) = Φ ( −0.2782) = 0.3904 και Φ ( d 2 ) = Φ ( −0.3937) = 0.3469 ,

παίρνουµε C BS (0) = S (0) Φ( d1 ) − K e -rT Φ ( d 2 ) = 20 (0.3904) − 21 e − 0.03 ( 4 12 ) (0.3469) = 0.5959 , δηλαδή η θεωρητική τιµή του δικαιώµατος αυτού είναι περίπου 0.6€. 

Είναι σηµαντικό να υπογραµµίσουµε σε αυτό το σηµείο ότι η τιµή Black-Scholes είναι µια θεωρητική τιµή η οποία µπορεί να διαφωνεί µε τις τιµές που παρατηρούνται σε πραγµατικές αγορές. Το ερώτηµα της σχέσης µεταξύ των θεωρητικών και πραγµατικών τιµών δικαιωµάτων έχει ερευνηθεί εκτενώς στη βιβλιογραφία και έχει δειχτεί ότι οι δύο συµφωνούν σε µεγάλο βαθµό, πράγµα που ενισχύει την χρησιµότητα του τύπου αυτού.
2.3 ΕΥΑΙΣΗΣΙΕΣ ∆ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ

Σε αυτό το σηµείο έχει ενδιαφέρον να δούµε τον τρόπο µε τον οποίο µεταβάλλεται η τιµή του δικαιώµατος καθώς µεταβάλλονται οι τιµές των παραµέτρων που την καθορίζουν. Ας θεωρήσουµε πάλι το τελευταίο παράδειγµα του προηγούµενου τµήµατος και ας δούµε πως η τιµή του δικαιώµατος µεταβάλλεται καθώς αλλάζουµε (1) την τιµή της πρωτογενούς µετοχής S, (2) την τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος K, (3) την µεταβλητότητα της τιµής της πρωτογενούς µετοχής σ, (4) το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου r, και (5) τον χρόνο ως την λήξη του δικαιώµατος T - t. Το επόµενο Γράφηµα δίνει τις µεταβολές αυτές καθώς µεταβάλλουµε µία µόνο µεταβλητή κάθε φορά κρατώντας τις υπόλοιπες στις τιµές που είχαν στο παραπάνω παράδειγµα. Οι τιµές αυτές ήταν S(0) = 20, K = 21, σ = 0.20, r = 0.03, T – t = 4/12.

35

Γράφηµα. Σχέσεις µεταξύ της τιµής του Ευρωπαϊκού ∆ικαιώµατος Αγοράς C(t) και των µεταβλητών που την καθορίζουν.
Τιµή Μετοχής (S) – Θετική σχέση
C 4 3

Τιµή Εξάσκησης (K) – Αρνητική σχέση
C 5 4 3

2 1 S 18 20 22 24

2 1 K 18 20 22 24

Μεταβλητότητα (σ) – Θετική σχέση
C 2 1.5 1 0.5

Επιτόκιο (r) – Θετική σχέση
C 0.75 0.7 0.65 r s 0.02 0.55

0.04

0.06

0.08

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Χρόνος ως την Λήξη (T-t) – Θετική σχέση C
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 T 0.2 0.4 0.6 0.8 1

36

Οι ευαισθησίες αυτές παίζουν πολύ σηµαντικό ρόλο στην διαχείριση χαρτοφυλακίου και έχουν ειδικά ονόµατα που οι άνθρωποι οι οποίοι ασχολούνται µε το Χρηµατιστήριο γνωρίζουν καλά και χρησιµοποιούν συνεχώς. Επειδή τα ονόµατά τους είναι Ελληνικά γράµµατα, οι ευαισθησίες αυτές ονοµάζονται και ‘Έλληνες’ (the Greeks). Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον ορισµό των ευαισθησιών και τον τύπο τους στην περίπτωση του υποδείγµατος Black και Scholes.
Ευαισθησία Ορισµός Υπόδειγµα Black-Scholes

∆έλτα

∆ :=

∂C ∂S
∂ 2C ∂S 2

∆BS := Φ( d1 )

Γάµµα

Γ :=

ΓBS :=

φ( d1 ) S (t )σ T − t

Θήτα

Θ :=

∂C ∂t ∂C ∂r ∂C ∂σ

ΘBS := −

S (t )σ φ( d1 ) − Kre − r (T − t )Φ( d 2 ) 2 T −t

Ρο

R :=

RBS := (T − t ) Kre − r (T − t )Φ( d 2 )

Βέγγα

V :=

VBS := S (t ) T − t φ( d1 )

37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ∆ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΩΝ ∆ΕΝΤΡΩΝ 3.1 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΥΡΩΠΑΙΚΩΝ ∆ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΩΝ ∆ΕΝΤΡΩΝ.

Ο τύπος των Black και Scholes µας δίνει µια ακριβή µέθοδο για τον υπολογισµό της (θεωρητικής) τιµής των Ευρωπαϊκών δικαιωµάτων αγοράς. Στο τµήµα αυτό θα παρουσιάσουµε µια εναλλακτική προσεγγιστική µέθοδο, την µέθοδο των διωνυµικών δέντρων, που ουσιαστικά είναι εφαρµογή της θεωρίας του υποδείγµατος των Cox, Ross και Rubinstein που παρουσιάσαµε παραπάνω. Αν και, δεδοµένης της ύπαρξης του τύπου των Black και Scholes, η χρησιµότητα της µεθόδου αυτής στην περίπτωση της τιµολόγησης Ευρωπαϊκών δικαιωµάτων αγοράς είναι περιορισµένη, η µέθοδος είναι εφαρµόσιµη και άρα ιδιαιτέρως χρήσιµη στην τιµολόγηση άλλων παραγώγων για τα οποία δεν έχουµε αναλυτικές λύσεις όπως στην περίπτωση των Ευρωπαϊκών δικαιωµάτων (π.χ. Αµερικανικά δικαιώµατα). Επειδή η µέθοδος τιµολόγησης µε τη χρήση διωνυµικών δέντρων είναι υπολογιστική και όχι αναλυτική, η παρουσίασή της είναι απλούστερη µέσα από ένα παράδειγµα.
Παράδειγµα. Ας θεωρήσουµε πάλι το πρόβληµα της τιµολόγησης ενός ευρωπαϊκού δικαιώµατος αγοράς µιας µετοχής σε T = 4/12 (4 µήνες) και τιµή εξάσκησης K = 21€, όταν η τρέχουσα τιµή της µετοχής είναι S(0) = 20€, το επιτόκιο µηδενικού κινδύνου είναι r = 0.03, και η ετήσια µεταβλητότητα της µετοχής είναι σ = 0.20.

Για να κατασκευάσουµε το διωνυµικό δέντρο πρέπει πρώτα να προσδιορίσουµε των αριθµών των βηµάτων και να υπολογίσουµε τις αντίστοιχες παραµέτρους. Αφού η λήξη του δικαιώµατος είναι σε 4 µήνες (= 0.33333 έτη) επιλέγουµε των αριθµών των βηµάτων ως πολλαπλάσιο του 4, δηλαδή µπορούµε να πάρουµε n = 4 ή 8 ή 16 κ.τ.λ. Για n = 8, υπολογίζουµε το χρονικό βήµα ∆t = T/n = 0.33333 / 8 = 0.04167 έτη, και το επιτόκιο ανά βήµα 38

rn = e r ∆t − 1 = e 0.03 ( 0.04167 ) − 1 = 0.00125 . Στην συνέχεια υπολογίζουµε το βήµα ανόδου un = e σ
∆t

= e0.20

0.04167

= 1.04167

και το βήµα καθόδου d n = e −σ
∆t

= 1 un = 1 1.04167 = 0.96 .

Τέλος υπολογίζουµε την ουδέτερη-κινδύνου πιθανότητα ως qn =

(1 + rn ) − d n un − d n

=

(1 + 0.00125) − 0.96 = 0.50511.
1.04167 − 0.96

Έχοντας προσδιορίσει των αριθµών των βηµάτων και υπολογίσει τις αντίστοιχες παραµέτρους είµαστε τώρα έτοιµοι να κατασκευάσουµε το διωνυµικό δέντρο πάνω στο οποίο θα γίνει η τιµολόγηση. Ξεκινώντας από τα αριστερά, σχεδιάζουµε κουτιά τα οποία έχουν δύο επίπεδα το καθένα. Η περίοδος 0 έχει ένα κουτί, η περίοδος 1 δύο κουτιά, η περίοδος 2 τρία, και ου το κάθε εξής, ως την περίοδο n η οποία έχει n + 1 = 9 κουτιά. Το κάθε κουτί έχει δύο επίπεδα, το πάνω για την τιµή της µετοχής S, και το κάτω για την αξία του δικαιώµατος αγοράς C. Για να συµπληρώσουµε το δέντρο, ξεκινάµε συµπληρώνοντας από τα αριστερά προς τα δεξιά τις τιµές της µετοχής στο άνω επίπεδο των κουτιών. Αρχικά βάζουµε την τιµή της µετοχής στον χρόνο 0, S(0) = 20, στο άνω επίπεδο του πρώτου κουτιού (δηλ. στο κουτί της περιόδου 0), και εν συνεχεία συµπληρώνουµε τις τιµές της µετοχής στις υπόλοιπες περιόδους χρησιµοποιώντας τα βήµατα ανόδου και καθόδου un και d n . Έτσι, το άνω επίπεδο του άνω κουτιού της 1ης περιόδου λαµβάνει un S (0) = 20.833, ενώ το άνω επίπεδο του κάτω κουτιού λαµβάνει d n S (0) = 19.2. Με το ίδιο τρόπο συµπληρώνουµε τα άνω επίπεδα των κουτιών των υπολοίπων περιόδων, π.χ. τα άνω επίπεδα των κουτιών της 2ης περιόδου είναι, από πάνω προς τα κάτω, un ( 20.833) = 21.702 , d n (20.833) = un (19.2) = 20, και d n (19.2) = 18.432.

39

Πίνακας. ∆ιωνυµικό δέντρο για την τιµολόγηση Ευρωπαϊκού δικαιώµατος αγοράς.
Τιµή Μετοχής στο Χρόνο 0 Τιµή Εξάσκησης Χρόνος ως την Λήξη (σε Έτη) Ετήσιο Επιτόκιο Μηδενικού Κινδύνου Ετήσια Μεταβλητότητα Αριθµός Βηµάτων Χρονικό Βήµα Επιτόκιο ανά Βήµα Μέγεθος Ανοδικού Βήµατος Μέγεθος Καθοδικού Βήµατος Ουδέτερη-Κινδύνου Πιθανότητα Ανοδικού Βήµατος

S(0) = K= T= r= σ= n= ∆t = T/n = r(n) = exp(r ∆t) -1 = u(n) = exp(σ √∆t) = d(n) = 1/u(n) = q = {[1+r(n)] - d(n)} / {u(n) - d(n)} = d(1) = {log(S/K) + (r+σ^2/2)(T-t)}/{σ √(t-T)} = d(2) = d(1) - σ √(t-T) = C(0) = S(0) Φ[d(1)] - K exp(-rT) Φ[d(2)] =
3 0.1250 4 0.1667 5 0.2083 6 0.2500 7 0.2917 8 0.3333 27.725 6.7249

20 21 0.33333 0.03 0.20 8 0.04167 0.00125 1.04167 0.96000 0.50511 -0.27820 -0.39367 0.59592

Black-Sholes Τιµή ∆ικαιώµατος Αγοράς Βήµα Χρόνος 0 0.0000 1 0.0417 2 0.0833

26.616 5.6421 25.551 4.6036 24.529 3.6076 23.548 2.7122 22.606 1.9630 21.702 1.3741 20.833 0.9346 20.833 0.7766 20 0.4884 19.200 0.3008 18.432 0.1100 17.695 0.0229 16.987 0 16.307 0 15.655 0 15.029 0 14.427 0 19.200 0.1955 18.432 0.0454 17.695 0 16.987 0 16.307 0 15.655 0 20 0.3431 19.200 0.0901 18.432 0 17.695 0 16.987 0 21.702 1.2032 20.833 0.5918 20 0.1785 19.200 0 18.432 0 22.606 1.8052 21.702 0.9983 20.833 0.3539 20 0 23.548 2.6002 22.606 1.6320 21.702 0.7015 24.529 3.5552 23.548 2.5478 25.551 4.5511

S(0) = C(0) =

20 0.6201

40

Αφού συµπληρώσουµε τις τιµές της µετοχής σε όλα τα κουτιά όλων των περιόδων δουλεύοντας από αριστερά προς τα δεξιά, ξεκινάµε την συµπλήρωση των τιµών του δικαιώµατος δουλεύοντας ανάποδα, δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά. Ξέρουµε ότι η τιµή του δικαιώµατος στην τελική περίοδο T είναι ίση µε την απόδοσή του σε αυτή την περίοδο, δηλαδή C (T ) = max{S (T ) − K , 0}. Χρησιµοποιώντας τις τιµές της µετοχής στα άνω επίπεδα της 8ης περιόδου, συµπληρώνουµε την τιµή του δικαιώµατος C µε βάση τον παραπάνω τύπο, λαµβάνοντας, από πάνω προς τα κάτω, τις τιµές 6.7249, 4.5511, 2.5478, 0.7015, 0, 0, 0, 0, και 0. Έχοντας συµπληρώσει τις τιµές του δικαιώµατος στην 8η περίοδο, υπολογίζουµε την τιµή του στην 7η περίοδο ως την παρούσα αξία της προσδοκίας των αποδόσεων της 8ης περιόδου ως προς την ουδέτερη-κινδύνου πιθανότητα ανοδικού βλήµατος qn . Έτσι, οι τιµές του δικαιώµατος στην 7η περίοδο, διαβάζοντας από πάνω προς τα κάτω, είναι e − r ∆t [ qn 6.7249 + (1 − qn )4.5511] = e −0.03 ( 0.04167 ) [0.50511 (6.7249) + 0.49489(4.5511)] = 5.6421,

3.5552, 1.632, 0.3539, 0, 0, 0, και 0. ∆ουλεύοντας µε τον ίδιο τρόπο, συµπληρώνουµε τις τιµές του δικαιώµατος και στις υπόλοιπες περιόδους, λαµβάνοντας τιµή δικαιώµατος στην πρώτη περίοδο ίση µε C(0) = 0.6201€, η οποία είναι και η ζητούµενη ποσότητα. Συγκρίνοντας την προσεγγιστική αυτή τιµή µε την ακριβή τιµή που πήραµε από τον τύπο Black-Scholes, C BS (0) = 0.5959 , βλέπουµε ότι το διωνυµικό δέντρου µε 8 περιόδους υπερτιµά την πραγµατική αξία του δικαιώµατος. Ο λόγος, φυσικά, είναι ότι ο αριθµός των περιόδων που χρησιµοποιήσαµε ήταν µικρός και ξέρουµε ότι αν αυξήσουµε τα βήµατα η προσέγγιση θα είναι καλύτερη. Για παράδειγµα, η ίδια ανάλυση µε n = 16 βήµατα µας δίνει C(0) = 0.5958€, ενώ µε n = 32 βήµατα παίρνουµε C(0) = 0.5969€.
3.2 ΙΣΟΤΙΜΙΑ ΕΥΡΩΠΑΙΚΩΝ ∆ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΗΣ (PUT-CALL PARITY) ΚΑΙ Η ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ∆ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΩΛΗΣΗΣ. Έχοντας τιµολογήσει τα Ευρωπαϊκά δικαιώµατα αγοράς, ενδιαφερόµαστε τώρα τα τιµολογήσουµε τα αντίστοιχα δικαιώµατα πώλησης. Όπως θα δούµε τώρα, η τιµές των Ευρωπαϊκών δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης συσχετίζονται απόλυτα και είναι εύκολο να υπολογιστεί η µία όταν η άλλη είναι γνωστή. Για να εξαγάγουµε την ζητούµενη σχέση ας θεωρήσουµε ένα χαρτοφυλάκιο που

αποτελείται από 41

• • •

µια θετική θέση (long position) σε µία µετοχή, µία θετική θέση σε ένα ευρωπαϊκό δικαίωµα πώλησης πάνω στην ίδια µετοχή, και µια αρνητική θέση (short position) σε ένα δικαίωµα αγοράς πάνω στην ίδια µετοχή µε την ίδια τιµή εξάσκησης, K, και χρόνο εξάσκησης, T, όπως το παραπάνω δικαίωµα πώλησης.

Η απόδοση του χαρτοφυλακίου αυτού στο χρόνο t < T είναι Π (t ) = S (t ) + P (t ) − C (t ) , (1)

όπου S(t) είναι η τιµή της µετοχής, P(t) είναι η τιµή του δικαιώµατος πώλησης, και C(t) είναι η τιµή του δικαιώµατος αγοράς. Στην περίοδο T, η απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι Π (T ) = S (T ) + P(T ) − C (T ) = S (T ) + max{K − S (T ), 0} − max{S (T ) − K , 0} = K, δηλαδή, η απόδοση αυτού του χαρτοφυλακίου στη λήξη των δικαιωµάτων είναι βέβαιη και ίση µε την τιµή εξάσκησής τους, Κ. Άρα, η τιµή του χαρτοφυλακίου σε οποιοδήποτε χρόνο t < T είναι η παρούσα αξία του Κ, δηλ.
Π ( t ) = e − r (T − t ) K .

(2)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (2) στην (1), παίρνουµε την σχέση ισοτιµίας δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης
P (t ) = C (t ) + [e − r (T − t ) K − S (t )].

(3)

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (3) τον τύπο των Black-Scholes για την τιµή του Ευρωπαϊκού δικαιώµατος αγοράς, C BS (t ) = S (t ) Φ( d1 ) − K e -r (T − t ) Φ( d 2 ), και λύνοντας για την τιµή του Ευρωπαϊκού δικαιώµατος πώλησης, παίρνουµε 42

PBS (t ) = K e − r (T − t ) Φ( −d 2 ) − S (t ) Φ( −d1 ), όπου τα d1 και d 2 δίνονται στο Θεώρηµα 1.
Παράδειγµα. Ας θεωρήσουµε πάλι το δικαίωµα µε παραµέτρους

(4)

S(0) = 20, K = 21, σ = 0.20, r = 0.03, T = 4/12, µόνο που αυτή την φορά αντί για δικαίωµα αγοράς είναι δικαίωµα πώλησης. Η τιµή του στο χρόνο 0 είναι

PBS (0) = K e − rT Φ( − d 2 ) − S (0) Φ( − d1 ) = 21 e − 0.03( 4 12) (0.6531) − 20 (0.6096) = 1.3870, δηλαδή, η θεωρητική τιµή αυτού του δικαιώµατος πώλησης είναι περίπου 1.4€. 

Εναλλακτικά, η τιµολόγηση ενός δικαιώµατος αγοράς µπορεί να γίνει και µε την µέθοδο των διωνυµικών δέντρων.
Παράδειγµα. Για να τιµολογήσουµε το δικαίωµα πώλησης του προηγούµενου παραδείγµατος µε την µέθοδο των διωνυµικών δέντρων, ακολουθούµε την ίδια διαδικασία όπως και στην τιµολόγηση του δικαιώµατος αγοράς, µε µόνη αλλαγή στο τελευταίο στάδιο όπου η απόδοση του δικαιώµατος αγοράς αντικαθίσταται από την απόδοση του δικαιώµατος πώλησης. Έτσι, υπολογίζουµε τις παραµέτρους, κατασκευάζουµε το δέντρο, και συµπληρώνουµε τις τιµές της µετοχής στο άνω επίπεδο των κουτιών, ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο όπως κάναµε για την τιµολόγηση του δικαιώµατος αγοράς. Έχοντας συµπληρώσει τις τιµές της µετοχής σε όλες τις περιόδους

δουλεύοντας από αριστερά προς τα δεξιά, µπορούµε τώρα να συµπληρώσουµε τις τιµές του δικαιώµατος δουλεύοντας από δεξιά προς αριστερά. Ξέρουµε ότι στην περίοδο T η απόδοση του δικαιώµατος πώλησης είναι P (T ) = max{K − S (T ) , 0} . Χρησιµοποιώντας τις τιµές της µετοχής στα άνω επίπεδα της 8ης περιόδου, συµπληρώνουµε την τιµή του δικαιώµατος P µε βάση τον παραπάνω τύπο, λαµβάνοντας, από πάνω προς τα κάτω, τις τιµές 0, 0, 0, 0, 1, 2.5681, 4.0133, 5.3451, 6.5725. Έχοντας συµπληρώσει τις τιµές του
43

Πίνακας. ∆ιωνυµικό δέντρο για την τιµολόγηση Ευρωπαϊκού δικαιώµατος πώλησης.
Τιµή Μετοχής στο Χρόνο 0 Τιµή Εξάσκησης Χρόνος ως την Λήξη (σε Έτη) Ετήσιο Επιτόκιο Μηδενικού Κινδύνου Ετήσια Μεταβλητότητα Αριθµός Βηµάτων Χρονικό Βήµα Επιτόκιο ανά Βήµα Μέγεθος Ανοδικού Βήµατος Μέγεθος Καθοδικού Βήµατος Ουδέτερη-Κινδύνου Πιθανότητα Ανοδικού Βήµατος

S(0) = K= Τ= r= σ= n= ∆t = T/n = r(n) = exp(r ∆t) -1 = u(n) = exp(σ √∆t) = d(n) = 1/u(n) = q = {[1+r(n)] - d(n)} / {u(n) - d(n)} = d(1) = {log(S/K) + (r+σ^2/2)T}/{σ √T} = d(2) = d(1) - σ √T = P(0) = K exp(-rT) Φ[-d(2)] - S(0) Φ[-d(1)] =
3 0.12500 4 0.16667 5 0.20833 6 0.25000 7 0.29167 8 0.33333 27.725 0

20 21 0.33333 0.03 0.20 8 0.04167 0.00125 1.04167 0.96000 0.50511 -0.27820 -0.39367 1.38696

Black-Sholes Τιµή ∆ικαιώµατος Πώλησης Βήµα Χρόνος 0 0.00000 1 0.04167 2 0.08333

26.616 0 25.551 0 24.529 0 23.548 0.0597 22.606 0.2263 21.702 0.5157 20.833 0.9183 S(0) = P(0) = 20 1.4112 19.200 1.9179 18.432 2.5212 17.695 3.1975 16.987 3.9085 16.307 4.6142 15.655 5.2927 15.029 5.9451 14.427 6.5725 20 1.3315 19.200 1.8648 18.432 2.5088 17.695 3.2268 16.987 3.9608 16.307 4.6665 15.655 5.3451 20.833 0.8123 20 1.2384 19.200 1.8115 18.432 2.5157 17.695 3.2792 16.987 4.0133 21.702 0.3969 20.833 0.6798 20 1.1261 19.200 1.7738 18.432 2.5681 22.606 0.1208 21.702 0.2443 20.833 0.4943 20 1.0000 23.548 0 22.606 0 21.702 0 24.529 0 23.548 0 25.551 0

44

δικαιώµατος στην 8η περίοδο, υπολογίζουµε την τιµή του στην 7η περίοδο ως την παρούσα αξία της προσδοκίας των αποδόσεων της 8ης περιόδου ως προς την ουδέτερηκινδύνου πιθανότητα ανοδικού βλήµατος qn . Έτσι, οι τιµές του δικαιώµατος στην 7η περίοδο, διαβάζοντας από πάνω προς τα κάτω, είναι 0, 0, 0, e − r ∆t [ qn 0 + (1 − qn )1] = e −0.03 ( 0.04167 ) [0.50511 (0) + 0.49489(1)] = 0.4943,

,

1.7738, 3.2792, 4.6665, και 5.9451. ∆ουλεύοντας µε τον ίδιο τρόπο, συµπληρώνουµε τις τιµές του δικαιώµατος και στις υπόλοιπες περιόδους, λαµβάνοντας τιµή δικαιώµατος στην περίοδο 0 ίση µε P(0) = 1.4112€, η οποία είναι και η ζητούµενη ποσότητα. Συγκρίνοντας την προσεγγιστική αυτή τιµή µε την τιµή Black-Scholes PBS(0) = 1.3870€, βλέπουµε ότι , και πάλι, ότι η ακρίβεια της µεθόδου µε µόνο n = 8 περιόδους είναι περιορισµένη. Επαναλαµβάνοντας την ανάλυση µε n = 16 και n = 32 παίρνουµε 1.3869€ και 1.3879€ αντίστοιχα. 

3.3 ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΩΝ ∆ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ 3.3.1 Αµερικανικά ∆ικαιώµατα Αγοράς.

45

Πίνακας. ∆ιωνυµικό δέντρο για την τιµολόγηση Αµερικανικού δικαιώµατος αγοράς.
Τιµή Μετοχής στο Χρόνο 0 Τιµή Εξάσκησης Χρόνος ως την Λήξη (σε Έτη) Ετήσιο Επιτόκιο Μηδενικού Κινδύνου Ετήσια Μεταβλητότητα Αριθµός Βηµάτων Χρονικό Βήµα Επιτόκιο ανά Βήµα Μέγεθος Ανοδικού Βήµατος Μέγεθος Καθοδικού Βήµατος Ουδέτερη-Κινδύνου Πιθανότητα Ανοδικού Βήµατος
Βήµα Χρόνος 0 0.00000 1 0.04167 2 0.08333 3 0.12500

S(0) = K= T-t= r= σ= n= ∆t = (T - t)/n = r(n) = exp(r ∆t) -1 = u(n) = exp(σ √∆t) = d(n) = 1/u(n) = q = {[1+r(n)] - d(n)} / {u(n) - d(n)} =
4 0.16667 5 0.20833 6 0.25000 7 0.29167

20 21 0.33333 0.03 0.20 8 0.04167 0.00125 1.04167 0.96000 0.50511
8 0.33333 27.725 6.7249 6.7249

26.616 5.6158 5.6421 25.551 4.5511 4.6036 24.529 3.5290 3.6076 23.548 2.5478 2.7122 22.606 1.6058 1.9630 21.702 0.7015 1.3741 20.833 0 0.9346 S(0) = Άσκηση Παρακράτηση 20 0 0.6201 19.200 0 0.3008 18.432 0 0.1100 17.695 0 0.0229 16.987 0 0 16.307 0 0 15.655 0 0 15.029 0 0 14.427 0 0 20.000 0 0.4884 19.200 0 0.1955 18.432 0 0.0454 17.695 0 0 16.987 0.0000 0.0000 16.307 0 0 15.655 0 0 20.833 0 0.7766 20 0 0.3431 19.200 0 0.0901 18.432 0 0 17.695 0 0 16.987 0 0 21.702 0.7015 1.2032 20.833 0 0.5918 20 0 0.1785 19.200 0 0 18.432 0 0 22.606 1.6058 1.8052 21.702 0.7015 0.9983 20.833 0 0.3539 20 0 0 23.548 2.5478 2.6002 22.606 1.6058 1.6320 21.702 0.7015 0.7015 24.529 3.5290 3.5552 23.548 2.5478 2.5478 25.551 4.5511 4.5511

46

3.3.2 Αµερικανικά ∆ικαιώµατα Πώλησης Παράδειγµα. Επανερχόµαστε στο βασικό µας παράδειγµα τιµολόγησης ενός δικαιώµατος µε παραµέτρους

S(0) = 20, K = 21, σ = 0.20, r = 0.03, T = 4/12, µόνο που αυτή την φορά το δικαίωµα είναι Αµερικανικό δικαίωµα πώλησης. Το διωνυµικό δέντρο έχει 3 επίπεδα σε κάθε κουτί. Αρχικά υπολογίζουµε τις παραµέτρους του διωνυµικού δέντρου ακριβώς όπως και πριν, και συµπληρώνουµε την τιµή της µετοχής στα άνω επίπεδα των κουτιών χρησιµοποιώντας τα βήµατα ανόδου και καθόδου un και qn . Για να τιµολογήσουµε τώρα το δικαίωµα πώλησης ξεκινάµε από την περίοδο T και δουλεύουµε από δεξιά προς αριστερά. Τα δύο κάτω κουτιά της 8ης περιόδου λαµβάνουν την ίδια τιµή, δηλ. την τιµή του δικαιώµατος στην λήξη του ίση µε max{K − S (T ) ,0} . Οι τιµές αυτές στο παράδειγµά µας, διαβάζοντας από πάνω προς τα κάτω, είναι 0, 0,0, 0, 1, 2.5681, 4.0133, 5.3451, και 6.5725. Για να υπολογίσουµε τώρα την τιµή του δικαιώµατος στην 7η περίοδο, υπολογίζουµε πρώτα την αξία του εάν εξασκηθεί σε αυτή την περίοδο, και βάζουµε την τιµή στο µεσαίο επίπεδο κάθε κουτιού. Οι τιµές αυτές είναι ίσες µε max{K − S (t ) ,0} δηλ., διαβάζοντας πάλι από πάνω προς τα κάτω, είναι 0, 0, 0, 0.1666, 1.8001, 3.3054, 4.6928, και 5.9713. Εν συνεχεία, υπολογίζουµε την αξία του δικαιώµατος αν παρακρατηθεί στην 7η περίοδο ως την παρούσα αξία της προσδοκώµενης απόδοσής του στην 8η περίοδο, λαµβάνοντας ως απόδοση την µέγιστη τιµή των δύο κατώτερων τιµών των κουτιών της 8ης περιόδου. Οι τιµές αυτές είναι, διαβάζοντας από πάνω προς τα κάτω, 0, 0, 0, 0.4943, 1.7738, 3.2792, 4.6665, και 5.9451. Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία και στις υπόλοιπες περιόδους λαµβάνουµε τιµή δικαιώµατος στο χρόνο 0 ίσο µε p(0) = 1.4431€. Επαναλαµβάνοντας την ανάλυση για n = 16 περιόδους παίρνουµε την τιµή p(0) = 1.4203€. Συγκρίνοντας µε την τιµή του αντίστοιχου Ευρωπαϊκού δικαιώµατος πώλησης, η τιµή του οποίου ήταν P(0) = 1.3870€, βλέπουµε ότι το Αµερικανικό δικαίωµα είναι ακριβότερο, όπως άλλωστε περιµέναµε. 

47

Πίνακας. ∆ιωνυµικό δέντρο για την τιµολόγηση Αµερικανικού δικαιώµατος πώλησης.
Τιµή Μετοχής στο Χρόνο 0 Τιµή Εξάσκησης Χρόνος ως την Λήξη (σε Έτη) Ετήσιο Επιτόκιο Μηδενικού Κινδύνου Ετήσια Μεταβλητότητα Αριθµός Βηµάτων Χρονικό Βήµα Επιτόκιο ανά Βήµα Μέγεθος Ανοδικού Βήµατος Μέγεθος Καθοδικού Βήµατος Ουδέτερη-Κινδύνου Πιθανότητα Ανοδικού Βήµατος
Βήµα Χρόνος 0 0.00000 1 0.04167 2 0.08333 3 0.12500

S(0) = K= T-t= r= σ= n= ∆t = (T - t)/n = r(n) = exp(r ∆t) -1 = u(n) = exp(σ √∆t) = d(n) = 1/u(n) = q = {[1+r(n)] - d(n)} / {u(n) - d(n)} =
4 0.16667 5 0.20833 6 0.25000 7 0.29167 8 0.33333 27.725 0 0 26.616 0 0 25.551 0 0.0000 24.529 0 0 23.548 0 0.0597 22.606 0 0.2279 22.606 0 0.1208 21.702 0 0.4001 20.833 0.1666 0.8235 20.833 0.1666 0.6863 20 1 1.2576 19.200 1.8001 1.9038 19.200 1.8001 1.8440 18.432 2.5681 2.5640 17.695 3.3054 3.2792 16.987 4.0133 3.9870 16.307 4.6928 4.6665 15.655 5.3451 5.3189 15.029 5.9713 5.9451 14.427 6.5725 6.5725 17.695 3.3054 3.2792 16.987 4.0133 3.9870 16.307 4.6928 4.6665 15.655 5.3451 5.3451 18.432 2.5681 2.5419 17.695 3.3054 3.2792 16.987 4.0133 4.0133 20 1 1.1391 19.200 1.8001 1.7738 18.432 2.5681 2.5681 21.702 0 0.2443 20.833 0.1666 0.4943 20 1 1 23.548 0 0 22.606 0 0 21.702 0 0 24.529 0 0 23.548 0 0 25.551 0 0

20 21 0.33333 0.03 0.20 8 0.04167 0.00125 1.04167 0.96000 0.50511

21.702 0 0.5220 20.833 0.1666 0.9338 S(0) = Άσκηση Παρακράτηση 20 1 1.4431 19.200 1.8001 1.9665 18.432 2.5681 2.5942 20 1 1.3564

48

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΚΕΡ∆ΟΣΚΟΠΙΑΣ ΜΕ ∆ΙΚΑΙΩΜΑΤΑ

4.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.

Όπως έχουµε ήδη δει, τα δικαιώµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν από τους επενδυτές είτε για κερδοσκοπία (speculation) είτε για την εξισορρόπηση κινδύνων (risk hedging). Η χρήση των δικαιωµάτων για την εξισορρόπηση κινδύνων είναι απλή. Για παράδειγµα, ένας επενδυτής που κατέχει στο χαρτοφυλάκιό του µια µετοχή του ΟΤΕ η οποία τώρα διαπραγµατεύεται στα 30€, µπορεί να αγοράσει ένα δικαίωµα πώλησης στα 25€ για να εξασφαλιστεί έναντι πιθανής πτώσης της µετοχής του ΟΤΕ κάτω από τα 25€ στο άµεσο µέλλον. Ο σκοπός της αγοράς του δικαιώµατος αυτού δεν ήταν η κερδοσκοπία, αλλά η µείωση του κινδύνου από την κατοχή της µετοχής του ΟΤΕ που ο συγκεκριµένος επενδυτής θεωρούσε υψηλό και δεν ήθελε να αναλάβει. Φυσικά, µια τέτοια αγορά έχει κόστος (το κόστος της τιµής αγοράς του δικαιώµατος), οπότε η µείωση του κινδύνου συνεπάγεται και µικρότερες καθαρές προσδοκώµενες αποδόσεις από την µετοχή αυτή. Η κερδοσκοπία µε την χρήση δικαιωµάτων είναι επίσης πολύ διαδεδοµένη. Το κύριο πλεονέκτηµά της σε σχέση µε την κερδοσκοπία µε την χρήση µετοχών είναι ότι, αφού τα δικαιώµατα είναι πολύ φθηνότερα από τις µετοχές πάνω στις οποίες γράφονται, η κερδοσκοπία µε την χρήση δικαιωµάτων απαιτεί πολύ µικρότερα κεφάλαια από τον επενδυτή (βλέπε όµως παρακάτω). Η κερδοσκοπία µε την χρήση δικαιωµάτων, όµως, µπορεί να ενέχει πολύ µεγάλους κινδύνους. Για παράδειγµα, ένας επενδυτής ο οποίος επιθυµεί να ‘ποντάρει’ σε άνοδο της τιµής µιας µετοχής µπορεί να αγοράσει ένα δικαίωµα αγοράς σε αυτή την µετοχή µε τιµή εξάσκησης ίση µε την τρέχουσα τιµή, δηλ K = S(0). H απόδοση του δικαιώµατος αυτού είναι S(t) – S(0), οπότε ο επενδυτής θα κερδίσει χρήµατα αν η πρόβλεψή του είναι σωστή. Μα αν η πρόβλεψή του είναι λανθασµένη, η µέγιστη δυνητική του ζηµία είναι S(0), δηλαδή δυνητικά πολλές φορές µεγαλύτερη του κόστους C για την αγορά του δικαιώµατος, αφού το C είναι συνήθως µόνο ένα µικρό κλάσµα του S(0). Ένα δικαίωµα που συνοδεύεται από µια αντίστροφη θέση (π.χ. ένα δικαίωµα πώλησης που συνοδεύεται από την κατοχή της µετοχής – βλέπε παραπάνω) ονοµάζεται καλυµµένο (covered), ενώ ένα δικαίωµα το οποίο δεν συνοδεύεται από αντίστροφη θέση (π.χ. ένα 49

δικαίωµα πώλησης χωρίς την µετοχή) ονοµάζεται γυµνό (naked). Για να εξασφαλιστεί η κάλυψη των υποχρεώσεων των επενδυτών άσχετα µε το αποτέλεσµα της κερδοσκοπίας τους, ο νόµος προβλέπει ότι οι επενδυτές πρέπει να διατηρούν κάποιο ποσό σε µετρητά, που υπολογίζεται µε ειδικές φόρµουλες και αντικατοπτρίζει την µέγιστη δυνητική ζηµία της επένδυσής τους, σε ένα Λογαριασµό Εξασφάλισης (Margin Account) ο οποίος µπορεί να χρησιµοποιηθεί άµεσα για την πληρωµή τυχών υποχρεώσεων τους. Η εκκαθάριση των υποχρεώσεων των επενδυτών (margin clearing) γίνεται καθηµερινά µετά το κλείσιµο του Χρηµατιστηρίου από Τράπεζες και Χρηµατιστηριακά Γραφεία που είναι συµβεβληµένα µε την ∆ιοίκηση του Χρηµατιστηρίου. Έτσι, οι λογαριασµοί των επενδυτών χρεώνονται ή πιστώνονται καθηµερινά ανάλογα µε τα κέρδη ή της ζηµίες της ηµέρας, και οι επενδυτές των οποίων οι λογαριασµοί πέφτουν κάτω από το όριο που οι ειδικοί τύποι ορίζουν πρέπει να καταθέσουν άµεσα τα αναγκαία επιπλέον κεφάλαια (margin call). Σε περίπτωση που ο επενδυτής αδυνατεί να καταθέσει τα αναγκαία κεφάλαια πριν το άνοιγµα της αγοράς την επόµενη µέρα συναλλαγών, το χαρτοφυλάκιό του ρευστοποιείται άµεσα. Οι επενδυτές που επιθυµούν να κερδοσκοπήσουν χρησιµοποιώντας γυµνά δικαιώµατα πρέπει να διατηρούν µεγάλα ποσά στον Λογαριασµό Εξασφάλισής τους, οπότε παρόλο η επένδυση αυτή καθ’ εαυτή δεν απαιτεί µεγάλα κεφάλαια, η εξασφάλισή της είναι πολύ ακριβή. Επειδή, λοιπόν, η εξασφάλιση είναι ακριβή και ο κίνδυνος µεγάλος, οι επενδυτές σπάνια κερδοσκοπούν µε γυµνά δικαιώµατα. Παρακάτω θα περιγράψουµε µερικές από τις πιο συνηθισµένες στρατηγικές κερδοσκοπίας µε δικαιώµατα. Το κοινό χαρακτηριστικό τους είναι ότι όλες αυτές οι στρατηγικές έχουν περιορισµένο µέγιστο δυνητικό κίνδυνο καθώς αποτελούνται από θέσεις προς αντίθετες κατευθύνσεις, και άρα η εξασφάλισή τους δεν απαιτεί την κατάθεση σηµαντικών ποσών από τον επενδυτή. Οι στρατηγικές αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν είτε µε δικαιώµατα Ευρωπαϊκού είτε µε δικαιώµατα Αµερικανικού τύπου, αν και είναι πιο σύνηθες να προτιµούνται τα Αµερικανικού τύπου καθώς δίνουν µεγαλύτερη ευελιξία στον κάτοχό τους.

4.3 SPREADS.

Τα spreads είναι χαρτοφυλάκια που αποτελούνται από δύο αντίθετες θέσεις σε ίδιου τύπου δικαιώµατα (δηλ. δύο θέσεις σε δικαιώµατα αγοράς ή δύο θέσεις σε δικαιώµατα πώλησης). Τα χαρτοφυλάκια αυτά χρησιµοποιούνται ευρέως από τους επενδυτές για να ‘ποντάρουν’ σε ανοδική αγορά (bull market), καθοδική αγορά (bear market), ή σταθερή αγορά (stable market). 50

Bull Spreads. Τα bull spreads είναι χαρτοφυλάκια που ο επενδυτής µπορεί να χρησιµοποιήσει για να ‘ποντάρει’ σε άνοδο της τιµής µιας µετοχής και µπορούν να κατασκευαστούν είτε µε την χρήση δικαιωµάτων αγοράς, είτε µε την χρήση δικαιωµάτων πώλησης.

Bull Spread µε ∆ικαιώµατα Αγοράς. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Αγορά δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης K1 και λήξη T. 2. Πώληση δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης K 2 > K1 και λήξη T. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα.
Κέρδος από Αγορά ∆ικ. Αγοράς (1) Κέρδος από Πώληση ∆ικ. Αγοράς (2) Συνολικό Κέρδος (1)+(2)

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη

S (T ) ≤ K1 K1 < S (T ) < K 2 S (T ) ≥ K 2
Κέρδος

− C1 S (T ) − K1 − C1 S (T ) − K1 − C1

C2 C2 K 2 + C2 − S (T )

C2 − C1 < 0 S (T ) − K1 − C1 + C2 K 2 − K1 + C2 − C1 > 0

(2)

0

K1

K2

S(T)

(1)

Πίνακας 4.1 Η συνάρτηση κέρδους ενός bull spread µε δικαιώµατα αγοράς.

Αφού K 2 > K1 , η τιµή του δικαιώµατος αγοράς που πουλάµε C2 είναι µικρότερη από την τιµή του δικαιώµατος αγοράς που αγοράζουµε C1 , άρα το χαρτοφυλάκιο αυτό απαιτεί θετική αρχική επένδυση από τον αγοραστή του ίση µε C1 − C2 . Το χαρτοφυλάκιο είναι περισσότερο ή λιγότερο επιθετικό ανάλογα µε την επιλογή των τιµών εξάσκησης K1 και K 2 . Το πλέον επιθετικό bull spread έχει και τα δύο δικαιώµατα αγοράς ‘έξω από 51

τα χρήµατα’ στον χρόνο αγοράς τους, δηλ. S (0) < K1 < K 2 . Το bull spread µε το ένα δικαίωµα ‘µέσα στα χρήµατα’ και το άλλο ‘έξω από τα χρήµατα’, δηλ. K1 < S (0) < K 2 , είναι λιγότερο επιθετικό, ενώ αυτό µε δικαιώµατα που είναι και τα δύο ‘µέσα στα χρήµατα’ στον χρόνο αγοράς τους, δηλ. K1 < K 2 < S (0) , είναι το πλέον συντηρητικό. Bull Spread µε ∆ικαιώµατα Πώλησης. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Αγορά ενός δικαιώµατος πώλησης µε τιµή εξάσκησης K1 και λήξη T. 2. Πώληση δικαιώµατος πώλησης µε τιµή εξάσκησης K 2 > K1 και λήξη T. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα.
Κέρδος από Αγορά ∆ικ. Πώλησης (1) Κέρδος από Πώληση ∆ικ. Πώλησης (2) Συνολικό Κέρδος (1)+(2)

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη

S (T ) ≤ K1 K1 < S (T ) < K 2 S (T ) ≥ K 2
Κέρδος

K1 − S (T ) − P 1 −P 1 −P 1

S (T ) − K 2 + P2 S (T ) − K 2 + P2 P2

K1 − K 2 + P2 − P < 0 1 S (T ) − K 2 + P2 − P 1 P2 − P > 0 1

(2)

0

K1

K2 (1)

S(T)

Πίνακας 4.2 Η συνάρτηση κέρδους ενός bull spread µε δικαιώµατα πώλησης.

Αντίθετα µε το bull spread µε δικαιώµατα αγοράς, το bull spread µε δικαιώµατα πώλησης δεν χρειάζεται θετική αρχική επένδυση από ίδια κεφάλαια, καθώς η αξία του δικαιώµατος πώλησης που πουλάµε P2 υπερβαίνει την αξία του δικαιώµατος πώλησης που αγοράζουµε P , οπότε υπάρχει θετική ροή χρηµάτων στο χρόνο 0 ίση µε P2 − P . 1 1 Αν, στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) ≥ K 2 τότε τα χρήµατα αυτά µένουν ως κέρδος 52

στον αγοραστή του bull spread. Αλλιώς, ο επενδυτής µπορεί να έχει θετικό ή αρνητικό κέρδος αν K1 < S (T ) < K 2 , και χάνει χρήµατα αν S (T ) ≤ K1 . Η συνάρτηση κέρδους και των δύο bull spreads είναι περιορισµένες (bounded) και από πάνω και από κάτω, όποτε και τα δύο bull spreads ενέχουν περιορισµένο κίνδυνο και περιορισµένη απόδοση.
Bear Spreads. Τα bear spreads είναι χαρτοφυλάκια που ο επενδυτής µπορεί να χρησιµοποιήσει για να ποντάρει σε πτώση της τιµής µιας µετοχής.

Bear Spread µε ∆ικαιώµατα Αγοράς. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Πώληση ενός δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης K1 και λήξη Τ. 2. Αγορά ενός δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης K 2 > K1 και λήξη Τ. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα.
Κέρδος από Πώληση ∆ικ. Αγοράς (1) Κέρδος από Αγορά ∆ικ. Αγοράς (2) Συνολικό Κέρδος (1)+(2)

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη

S (T ) ≤ K1 K1 < S (T ) < K 2 S (T ) ≥ K 2
Κέρδος (1)

C1 K1 − S (T ) + C1 K1 − S (T ) + C1

− C2 − C2 S (T ) − K 2 − C2

C1 − C2 > 0 K1 − S (T ) + C1 − C2 K1 − K 2 + C1 − C2 < 0

0
(2)

K1

K2

S(T)

Πίνακας 4.3 Η συνάρτηση κέρδους ενός bear spread µε δικαιώµατα αγοράς.

Bear Spread µε ∆ικαιώµατα Πώλησης. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 53

1. Πώληση ενός δικαιώµατος πώλησης µε τιµή εξάσκησης K1 και λήξη Τ. 2. Αγορά ενός δικαιώµατος πώλησης µε τιµή εξάσκησης K 2 > K1 και λήξη Τ. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα.
Κέρδος

(1)

0

K1

K2

S(T)

(2)

Πίνακας 4.4 Η συνάρτηση κέρδους ενός bear spread µε δικαιώµατα πώλησης.

Butterfly Spreads. Το butterfly spread είναι ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο αποτελείται από 3 διαφορετικές θέσεις σε διαφορετικού τύπου δικαιώµατα και χρησιµοποιείται από επενδυτές οι οποίοι επιθυµούν να ‘ποντάρουν’ στο ότι η τιµή µιας µετοχής θα είναι παραµείνει σταθερή γύρω από µια προκαθορισµένη τιµή στο άµεσο µέλλον.

Butterfly Spread µε ∆ικαιώµατα Αγοράς. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Αγορά ενός δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης K1 και λήξη Τ. 2. Αγορά ενός δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης K 2 , όπου K 2 < K1 , και λήξη Τ. 3. Πώληση δύο δικαιωµάτων αγοράς µε τιµή εξάσκησης K 3 , όπου K1 < K 3 < K 2 , και λήξη Τ. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα.

54

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη
S (T ) ≤ K1

Κέρδος από Αγορά 1ου ∆ικ. Αγοράς (1)
− C1
S (T ) − K1 − C1 S (T ) − K1 − C1 S (T ) − K1 − C1

Κέρδος από Αγορά 2ου ∆ικ. Αγοράς (2)
− C2 − C2 − C2
S (T ) − K 2 − C2

Κέρδος από Πώληση 2 ∆ικ. Αγοράς (3)
2C3 2C3
2[ K 3 − S (T ) + C3 ] 2[ K 3 − S (T ) + C3 ]

Συνολικό Κέρδος (1)+(2)+(3)
2C3 − C1 − C2 < 0
S (T ) − K1 − C1 − C2 + 2C3

K1 < S (T ) < K3
K 3 < S (T ) < K 2

2 K 3 + 2C3 − S (T ) − K1 − C1 − C2
2 K 3 − K1 − K 2 − C1 − C 2 < 0

S (T ) ≥ K 2

Κέρδος (3)

K1

K2 K3 S(T)

0
(2) (1)

Πίνακας 4.5 Η συνάρτηση κέρδους ενός butterfly spread µε δικαιώµατα αγοράς.

To K 3 επιλέγεται ώστε να είναι κοντά στην τρέχουσα τιµή της µετοχής S(0), ενώ τα K1 και K 2 επιλέγονται ανάλογα µε την πρόβλεψη του επενδυτή για το διάστηµα στο οποίο η τιµή της µετοχής θα παραµείνει ως το χρόνο Τ. Το χαρτοφυλάκιο αποφέρει θετικά κέρδη όταν η τιµή της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S(T), είναι κοντά στην τιµή K 3 . Butterfly Spread µε ∆ικαιώµατα Πώλησης. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Αγορά ενός δικαιώµατος πώλησης µε τιµή εξάσκησης K1 και λήξη Τ. 2. Αγορά ενός δικαιώµατος πώλησης µε τιµή εξάσκησης K 2 , όπου K 2 > K1 , και λήξη Τ. 3. Πώληση δύο δικαιωµάτων πώλησης µε τιµή εξάσκησης K 3 , όπου K1 < K 3 < K 2 , και λήξη Τ. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. 55

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη
S (T ) ≤ K1

Κέρδος από Αγορά 1ου ∆ικ. Πώλησης (1)
K1 − S (T ) − C1

Κέρδος από Αγορά 2ου ∆ικ. Πώλησης (2)
K 2 − S (T ) − C2 K 2 − S (T ) − C2 K 2 − S (T ) − C2

Κέρδος από Πώληση 2 ∆ικ. Πώλησης (3)
2[ S (T ) − K 3 + P ] 2[ S (T ) − K 3 + P ]

Συνολικό Κέρδος (1)+(2)+(3)
K1 − K 2 − 2 K 3 − C1 − C2 + 2 P < 0
S (T ) + K 2 − 2 K 3 − C1 − C2 + 2 P
K 2 − S (T ) − C1 − C2 + 2 P

K1 < S (T ) < K3
K 3 < S (T ) < K 2

− C1 − C1 − C1

2P 2P

S (T ) ≥ K 2

− C2

2 P − C1 − C2 < 0

Κέρδος (2) (1) K1 K2 K3 S(T) (3)

0

Πίνακας 4.6 Η συνάρτηση κέρδους ενός butterfly spread µε δικαιώµατα πώλησης.

4.2 ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΙ.

Οι συνδυασµοί είναι χαρτοφυλάκια που αποτελούνται από δύο θέσεις σε αντίθετου είδους δικαιώµατα, δηλ. ένα δικαίωµα αγοράς και ένα δικαίωµα πώλησης.
Straddle. Το straddle είναι ένας από τους πλέον διαδεδοµένους συνδυασµούς και χρησιµοποιείται από επενδυτές που επιθυµούν να ‘ποντάρουν’ σε µια µεγάλη κίνηση της τιµής µιας µετοχής στο άµεσο µέλλον, αλλά δεν ξέρουν προς ποια κατεύθυνση θα είναι η κίνηση αυτή. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Αγορά ενός δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης Κ και λήξη Τ.

2. Αγορά ενός δικαιώµατος πώλησης µε τιµή εξάσκησης Κ και λήξη Τ. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. 56

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη

Κέρδος από Αγορά ∆ικ. Αγοράς (1)

Κέρδος από Αγορά ∆ικ. Πώλησης (2)

Συνολικό Κέρδος (1)+(2)

S (T ) ≤ K S (T ) > K
Κέρδος

−C S (T ) − K − C

K − S (T ) − P −P

K − S (T ) − C − P S (T ) − K − C − P

0
(1)

K (2)

S(T)

Πίνακας 4.7 Η συνάρτηση κέρδους ενός straddle. Strip. Το strip είναι παρόµοιο µε το straddle µε την διαφορά ότι ο επενδυτής, παρότι αβέβαιος για την κατεύθυνση της κίνηση της µετοχής στο άµεσο µέλλον, δίνει µεγαλύτερη πιθανότητα σε µια σηµαντική πτώση της τιµής της µετοχής απ’ ότι σε µια σηµαντική άνοδο. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Αγορά ενός δικαιώµατος αγοράς µε τιµή εξάσκησης Κ και λήξη Τ.

2. Αγορά δύο δικαιωµάτων πώλησης µε τιµή εξάσκησης Κ και λήξη Τ. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα.
Κέρδος από Αγορά ∆ικ. Αγοράς (1) Κέρδος από Αγορά 2 ∆ικ. Πώλησης (2) Συνολικό Κέρδος (1)+(2)

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη

S (T ) ≤ K S (T ) > K

−C S (T ) − K − C

2[ K − S (T ) − P ] − 2P

2[ K − S (T ) − P ] − C S (T ) − K − C − 2 P

57

Κέρδος

0
(1)

K (2)

S(T)

Πίνακας 4.8 Η συνάρτηση κέρδους ενός strip. Strap. Το strap είναι το αντίστροφο του strip. Ο συνδυασµός χρησιµοποιείται από επενδυτές που αναµένουν µια σηµαντική κίνηση στην τιµή µιας µετοχής, αλλά θεωρούν πιο πιθανή µια σηµαντική άνοδο απ’ ότι µια σηµαντική πτώση. Το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από: 1. Αγορά δύο δικαιωµάτων αγοράς µε τιµή εξάσκησης Κ και λήξη Τ.

2. Αγορά ενός δικαιωµάτων πώλησης µε τιµή εξάσκησης Κ και λήξη Τ. Το κέρδος του χαρτοφυλακίου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής στην λήξη των δικαιωµάτων, S (T ) , δίνεται στον ακόλουθο πίνακα.
Κέρδος από Αγορά 2 ∆ικ. Αγοράς (1) Κέρδος από Αγορά ∆ικ. Πώλησης (2) Συνολικό Κέρδος (1)+(2)

∆ιάστηµα Τιµής Μετοχής στη Λήξη

S (T ) ≤ K S (T ) > K

− 2C 2[ S (T ) − K − C ]

K − S (T ) − P −P

K − S (T ) − P − 2C

2[ S (T ) − K − C ] − P

58

Κέρδος

K (1) (2)

S(T)

Πίνακας 4.9 Η συνάρτηση κέρδους ενός strap.

Το strip µε δύο δικαιώµατα πώλησης για κάθε δικαίωµα αγοράς χρησιµοποιείται από επενδυτές που αναµένουν σηµαντική πτώση της τιµής µιας µετοχής µε διπλάσια πιθανότητα απ’ ότι σηµαντική άνοδο, δηλ. δίνουν 2/3 πιθανότητα σηµαντικής πτώσης και 1/3 πιθανότητα σηµαντικής ανόδου. Με ανάλογο τρόπο, το strap µε δύο δικαιώµατα αγοράς για κάθε δικαίωµα πώλησης χρησιµοποιείται από επενδυτές που αναµένουν σηµαντική άνοδο της τιµής µιας µετοχής µε διπλάσια πιθανότητα απ’ ότι σηµαντική πτώση, δηλ. δίνουν 2/3 πιθανότητα σηµαντικής ανόδου και 1/3 πιθανότητα σηµαντικής πτώσης. Ο επενδυτής που χρησιµοποιεί το straddle δίνει ίση πιθανότητα σε σηµαντική θετική ή αρνητική κίνηση, δηλαδή πιθανότητα 1/2 προς κάθε κατεύθυνση. Γενικότερα, ένας επενδυτής που αναµένει σηµαντική άνοδο της τιµής µιας µετοχής µε πιθανότητα p, αγοράζει ένα συνδυασµό µε p δικαιώµατα αγοράς και 1 − p δικαιώµατα πώλησης. Ο συνδυασµός αυτός είναι straddle, strip ή strap ανάλογα µε το αν το p είναι ίσο, µικρότερο ή µεγαλύτερο του 1/2, αντίστοιχα.

59

Similar Documents

Premium Essay

Windshield Survery

...Community Windshield Survey Susan Holcomb Community Health Nursing NR443 Chamberlain College of Nursing January 19, 2014 Community Windshield Survey The community I have chosen is Douglasville, Georgia which is about 20 miles west of Atlanta, Georgia and is located inside the Atlanta Metropolitan area. While driving through the community, it seems to be like most other communities in that you can be driving through a beautiful neighborhood and two streets over you can end up in the poverty stricken area where there are drug houses. Douglasville is a very family friendly city. There are lots of young families, middle aged families and a fair amount of young Grandparents who are primary care givers for their grand kids. It is predominately white at 83% with 13% being of African American decent and other races at 4%. Most of the people and families that I was able to see driving through the community were clean and seemed well kept up. Some appeared to be well nourished; some overweight and some appeared to be fit. During the evening survey, I noticed the night life of downtown Douglasville – there were a couple of sports bars in the area with mostly males drinking. It did not appear to be unruly but it was loud. The homes in the community are of a variety. Some neighborhoods, the houses are set far apart, some neighborhoods they were too close to each other; however, this was on purpose. The houses were mostly well maintained; however, there were some areas...

Words: 980 - Pages: 4

Free Essay

College Interview Tips

...you teach your dog to play the piano? • Do you do your best thinking when on a 100-mile bike ride? • Do you have unusual cravings for oysters? • Have you ever successfully started a fire with sticks and a shoelace? 1. 2. 3. Why are you interested in our college? What you most need to do when answering this question is show the interviewer that you know the college's distinctive features well. Don't simply say that you want to go to the college to get a good education. Be specific. Let the interviewer know that you were drawn to the college's innovative first-year program, its emphasis on experiential learning, its Honors Program, or its international focus. Also feel free to mention the school's wonderful hiking trails, its quirky traditions, or its amazing lilacs. Whatever you say, be specific. Before you set foot in the interview room, make sure you have done your research and identified several features of the college that you find particularly appealing, and make sure at least one of those features is academic in...

Words: 285 - Pages: 2

Premium Essay

Frost

...“The Road Not Taken” Joshua Henson Liberty University English 102-D01 APA Format When readers hear the title of Robert Frost’s “The Road Not Taken” and read the poem for the first time it is likely to bring feelings that it is noble and righteous to take the so called less traveled path in life. It evokes thoughts of individualism and standing up for what is right. Once a reader studies this poem and reads in numerous times they learn this is not the case. “The Road Not Taken” is not a poem about less traveled roads, but quite the opposite. It is about the roads traveled by everyone. The poem starts off by describing two separate paths along a wooded trail. This is an image familiar with reads, both literally and figuratively. Readers should almost instantly know that Frost is talking about paths chosen in life, not the woods. This poem describes the woods and the paths beautifully, taking care to describe the state of each path. Almost immediately after the path is chosen, the poem describes the feeling of doubt with a sigh. It goes on to say that when the story of this decision is told in the future, it will be the road less traveled that was chosen. However, this poem is not titled the road less traveled; it is titled “The Road Not Taken”. What Frost is trying to explain is that sometimes in life people have to make decisions without knowing what the outcome will be. How can someone know they made the correct decision? The poem is very...

Words: 371 - Pages: 2

Premium Essay

Letter to the Editor

...Kirsty Archer RE: ”Sydney cyclist loses function in hand after collision with car” I write to you in relation to the before mentioned article you have written in the Sydney Morning Herald. Though I do feel for those who were injured in this collision, it begs the question; should they be on our roads at all? In Sydney alone, tax payers have facilitated a bike path plan at the cost of $5.4 million that will now be removed. In its place the government has proposed spending an unimaginable $76 million on a European-style cycle way. So in a city already crippled by congestion, we have decided to narrow roads to assist cyclists? Yet they pay no registration, no green slip, have no motors, no indicators or mirrors and weigh a mere 9kg on average more than the pedestrians (weight of bike) we do our best to shelter on footpaths? In the article it is suggested that bike lanes be installed on the stretch of road where the collision occurred, where does it end? The common complaint amongst motorists about cyclists is that they ride in large groups. Instead of being in a single file formation, they resemble a cluster and ride dangerously close to road lanes. I frequently observe cyclists on the wrong side of the road, ignoring traffic laws, going through red lights and often fail to indicate their intention of turning. I strongly believe that something needs to be done in order for this unfortunate situation to not be repeated. If cyclists want to be treated like a motorist...

Words: 297 - Pages: 2

Premium Essay

Strawberry Branch Research Paper

...Of the many Stanislaus National Forest (StNF) venues enjoyed by visitors fond of non-motorized recreation are the user-friendly abandoned railroad corridors. StNF in Tuolumne County is laced with old railroad grades that now serve as trails. Peaceful and forested, they are survivors from the Sierra’s extensive logging history. Because most have a gentle grade, rail-trails attract exploration by a diverse population of bipeds. These woodsy paths are not the sole realm of hikers. Without traffic and exhaust fumes, mountain bikers, snowshoers, joggers, x-c skiers and the horsey set welcome the special ambiance and tranquility experienced in the forest. Scenic and mellow, the Strawberry Branch of the Sugar Pine Railway represents only a fraction...

Words: 933 - Pages: 4

Free Essay

Social Activity, Care for Outdoor

...Hiking 1. Explain and demonstrate the main points of good hiking practice, such as pacing, speed, resting, and etiquette. Because hiking is a recreational experience, hikers expect it to be pleasant. Sometimes hikers can interfere with each others' enjoyment, or that of other users of the land, but they can minimize this interference by following good etiquette. For example: * When two groups of hikers meet on a steep trail, there may be contention for use of the trail. To avoid conflict, a custom has developed in some areas whereby the group moving uphill has the right-of-way. In other situations, the larger of the two groups will usually yield to the smaller. * Being forced to hike much faster or slower than one's natural pace can be annoying, and difficult to maintain consistently. More seriously, walking unnaturally fast dramatically increases fatigue and exhaustion, and may cause injury. If a group splits between fast and slow hikers, the slow hikers may be left behind or become lost. A common custom is to encourage the slowest hiker to hike in the lead and have everyone match that speed. Another custom is to have an experienced hiker sweep up the rear, to ensure that everyone in the group is safe and nobody straggles. * Hikers often enjoy the silence and solitude of their surroundings. Loud sounds, such as shouting or loud conversation, disrupt this enjoyment. Some hikers purposely avoid loud sounds, out of deference to other hikers. Staying quiet will also...

Words: 3146 - Pages: 13

Free Essay

Barton Creek

...Barton Creek Greenbelt. Barton Creek stretches about eight miles long from South West Austin into the heart of the city. When it rains and the creek fills with water, the swimming holes produced make for a great place to enjoy the outdoors. The Greenbelt in Austin Texas reveals itself to be unique and establishes itself as a great recreational location by bringing diverse people together who share a common goal, promoting a healthy lifestyle through exercise, and by inviting frequent park goer's to maintain Austin's beautiful scenery. The Barton Creek Greenbelt is a melting pot where all walks of life can come to enjoy a relaxing environment without the distraction of everyday life. Barton Creek has numerous swimming holes and hiking trails surrounded by plant and animal life. It's hard to tell that you're surrounded by a city with all the trees and plant life around. Every year, when the creek fills with water, it becomes a popular place to swim. One knows they're close when they hear the sounds of a drum circle or the whisper of a guitar on the wind complimented by echoing laughter. Every year I’ve gone to the creek, I always meet so many different kinds of people. It's unusual to see anything but good vibes and a positive interaction amongst the crowd. Maybe it’s just me, but when I think of a the general public getting together, I immediately think of people keeping to themselves and being sort of cliqued up in a very impersonal sense. Not in the Greenbelt and not...

Words: 897 - Pages: 4

Free Essay

Hiking in Kosovo

...mountain in Peć. This was the first time that a peak in Kosovo was climbed. Even though people started to show interest shortly after, many mountains were near border areas and people needed special permission to visit them due to the political issue at the time. That is the reason why people were able to actually become active hikers only after the war, especially in 2003-2005. The vast majority of the terrain of Kosovo is mountainous.[2] Central mountains are not sufficiently hard to climb, yet they make a good hiking trail, their height goes from 800–1200 meters. The Mirusha river splits these mountains in two groups. The first one is located in the south-west of central mountains and includes the following: Millanoviq mountains, Gajrak, Zatriq, Bajrak and Gremnik.[3] The second group consists of Crnoljeva, Goleshi, Berisha, Kosmaqi, Drenica, Qyqavica mountains. Surrounding mountains are located near border areas. They are harder for hiking because of their steep trails and require a lot of experience and agility. Mountains that are in this group are: east ridge mountains of Albanian alps, Hasi mountains, Pashtriku peak, Sharr mountain, Kortnik, east mountains of Gallak, Kopaoniku and...

Words: 277 - Pages: 2

Premium Essay

My Escape

...My Escape It is just after 9:00 am on a sunny September morning. My feet have just hit the dirt of the parking lot where just a few other cars are parked. There are always the same few people who like to come here early in the morning to walk their dogs, walk themselves, or, if they're like me, they are here to run. I step from the dew soaked grass onto the clay and dirt mixture that now cover what used to be train tracks. Thoughts from my week about family, work, school, and friends along with anything else that one girl could possibly worry about, swirl around in my head like lightening bugs trying to find their way out of a mason jar. I need to let these thoughts and emotions out of my mind. A deep breath fills my lungs with crispy cold air. I begin to take off. One foot after the other until I find my pace. Suddenly the parking lot fades into the distance as if it were only a mirage. Trees that are as high as sky scrapers tower over me allowing the sunlight to disperse thought the branches. The leaves on the trees are entering their final stages of life, turning them to the most magnificent shades of red, orange, and yellow. This time of year, I always think, is what makes New England such a beautiful place to live. Along side of me, out of my peripheral vision, I see a black squirrel gathering some acorns to haul back to his nest for the winter. My feet continue to trample the ground below me cushioning my feet from the tracks below. The dirt underneath me is moist...

Words: 587 - Pages: 3

Free Essay

Nursing

...Initiative and the Met Branch Trail By Amy Rogers Nazarov M Many rail-trails boast of their splendid views of natural scenery. But a city vista seen from the Metropolitan Branch Trail (MBT) in Washington, D.C.—crowned by the stately dome of the U.S. Capitol— is pretty darned breathtaking, too. With a planned length of about eight miles, the MBT is a work long in progress. When complete, it will close a loop that circumnavigates metro D.C., connecting with the other city trails and integrating into the East Coast Greenway. The trail uses the corridor of the Metropolitan Branch Line of the B&O Railroad, traversing dynamic neighborhoods, passing historical sites and flowing to the National Mall. While parts of the MBT run on 16 rails to trails u spring/summer.10 RTC’s Stephen Miller helps clip on a new helmet during a bicycle giveaway along part of the Met Branch. For the October 2009 event, RTC partnered with the Beacon House—a tutoring and mentoring organization in the Edgewood neighborhood of Washington, D.C.—to give bicycles (pictured below), locks, helmets and safety instruction to 40 students. A completed section of the Met Branch that runs parallel to Takoma Avenue near Silver Spring, Md. busy streets today, the goal is to create a trail that’s completely off-road. In many ways, the creation process of the MBT and its integration with the surrounding community serves as a case study for urban trail development. As Rails-to-Trails Conservancy (RTC) looks to...

Words: 2030 - Pages: 9

Premium Essay

Kudler Fine Foods

...system. This brief will identify and analyze the risks in the systems, design internal controls and evaluate the application of internal controls to mitigate risks and discuss other outside controls that may be necessary. Identifying Risks and Internal Controls – Flowcharts It is important that businesses be aware that risks can arise internally as well as externally. Risk assessment helps a business to “identify organizational risks, analyze their potential in terms of costs and likelihood of occurrence, and install those controls whose projected benefits outweigh their costs” (Hunton, Bryant, Bagranoff, 2004, pg. 243). Learning Team B created a system customized to meet the needs of Kudler Fine Foods. There are however, potential audit and security risks associated with payroll, accounts payable, accounts receivable, and inventory. A major concern with any business is fraud. According to Apollo Group (2011), there is one person who handles the monthly and daily bank reconciliations. Only one person handles bank deposits as well as reconciliations, establishing the opportunity for dishonesty. Another potential risk is the lack of security around the data and assets of the business. There currently are no procedures to protect customer or business information. Another...

Words: 1043 - Pages: 5

Premium Essay

Whodunit

...Accounting information system (whodunit) a- In view of the forgoing evidence presented, it is undeniable that the embezzlement took place within this small crabmeat processing company. The next thing I will do in this particular case will be to let the auditor finished the ongoing investigation without infringing on his independence. b- According to the accounting information systems overview, there are two levels of frauds: employee fraud and management fraud (p.98). After examining all the facts presented in this case and all four characters with their respective implications during these events, I believe that the embezzlement took place at an employee level and the perpetrator is Debbie Jones the office worker. Employee fraud or fraud by nonmanagement employee is generally design to convert cash or other assets to the employee’s personal benefit. The facts tell us that the customer’s check was stamped on the back with only the company’s name and city rather than the usual “for deposit only” company stamp, which is usually used on checks to be just deposited. With just the name and company’s address, the person who has deposited the check might have simply cash it. And when ask about it, Debbie said that she sometimes uses that stamp. Furthermore, the payment issued on May 10th is listed after the one issued on May 23rd and Debbie was sitting nearby the computer had the opportunity to access before calling Susan to show her the recorded entry. c- This is case of check...

Words: 1184 - Pages: 5

Premium Essay

Audit

...Exercises, Problems and Simulations | 1. List and describe the activities auditors undertake before beginning an engagement. | 1, 2, 3, 4 | 53, 54, 55, 62, 66 | 2. Identify the procedures and sources of information auditors can use to obtain knowledge of a client’s business and industry. | 5, 6, 7, 8, 9 | 52, 56, 59, 65 | 3. Perform analytical procedures to identify potential problems. | 10, 11, 12, 13, 14, 15 | 47, 48, 49, 51, 58, 63, 64 | 4. List and discuss matters of planning auditors should consider for clients who use computers and describe how a computer can be used as an audit tool. | 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 | 57, 60 | 5. Review audit documentation for proper form and content. | 23, 24, 25 | 50, 61 | SOLUTIONS FOR REVIEW CHECKPOINTS 4.1 A CPA can use the following sources of information to help decide whether to accept a new audit client. Financial information prepared by the prospective client: * Annual reports to shareholders * Interim financial statements * Securities registration statements * Annual report on SEC Form 10K * Reports to regulatory agencies Inquiries directed to the prospect's business associates: * Banker * Legal counsel * Underwriter * Other persons, e.g., customers, suppliers Predecessor auditor, if any, communication, re: integrity of management, disagreements with management ...

Words: 11602 - Pages: 47

Premium Essay

Wilderness Emergency Essay

...yellow leaves falling and it was in my opinion, the best season to go for a relaxing hike. I decided to go with my younger brother and my father, since they both enjoy the outdoors as much as I do. Little did we know what kind of adventures lay ahead for us in our hike. As always, I like to prepare myself before any kind of outing I might be going on. On our hike, I brought my backpack full of supplies we may need on our trail. My backpack consisted of the following: water proof matches, a fire starter, a compass, a first aid kit, a full canteen, a police whistle, toilet paper, a bottle of aspirins, trail mix, my cell phone, coins for a pay phone, (because sometimes we do not get service on our trails) and water. Since my father and my brother were accompanying me I decided to let one of them hold on to my backpack. It was rather heavy, it would slow me down, and I could fall behind with such a load, considering that they were both bigger and much stronger than me they had no problem keeping up and walking the trails with that backpack of mine. The whole way up the trail my brother asked “why do you carry such a big back pack anyway, it’s not even a full day hike?” I told him “ Well, I always like to feel over prepared then under prepared, and that it is always better to be safe than sorry” he laughed and nodded his head. The weather was just so perfect and the air was full of the outdoors...

Words: 870 - Pages: 4

Premium Essay

Ocean Manufacturing

...1. Introduction Ocean Manufacturing Inc. is a home appliances manufacturer with a favorable market position looking to be listed at NASDAQ within the next few years. Apart from requesting an audit, B&F is asked to provide assistance with regard to the upcoming IPO and Ocean’s newly installed IT system. This paper is structured in two different memos. The first one elaborates on the evaluation of Ocean from five critical standpoints and concludes with an opinion on whether to accept the engagement. The latter one points out five critical factors, which have to be taken into account when the audit is accepted. 2. Independence review While establishing the audit team, independence requirements have to be fulfilled. It is crucial that all the individuals assigned to the audit are independent of Ocean. After conferring to the report of disclosed stock investments it turns out that a partner at the Salt Lake City office owns common stock in a venture capital fund which in turn holds shares in Ocean. The partner in question is not part of the audit team and the holding in Ocean represents a marginal share of the total funds’ holdings. Since the partner will not be in touch with the customer Ocean, and the amount of shares the fund has invested in Ocean is negligible, the authors can conclude that there are no independence issues at hand and Ocean could be accepted as a client. 3. Financial comparison When comparing the financial statements the first matter of concern...

Words: 2385 - Pages: 10