Il Capital Asset Pricing Model in Excel

di Carmelo Maraschiello (maraschiello@vodafone.it)

Si è visto nel capitolo relativo al Capm come le scelte di investimento di un investitore razionale possano essere analizzate attraverso l’approccio media/varianza. In particolare si è visto come tra i diversi mix disponibili di portafogli rischiosi, alcuni sono preferibili in quanto associano ad un rendimento maggiore un rischio minore. Tra questi il portafoglio preferito sulla frontiera è quello di tangenza con la Capital Market Line. Nel foglio excel CAPM[1] vedremo come, a partire dai rendimenti di alcune attività rischiose, sia possibile con excel stimare la matrice di varianza covarianza e costruire la frontiera dei mix di investimenti possibili. Analizzeremo quindi la creazione della CML e della SML.

Dati

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Nel foglio dati, partendo dalla matrice di rendimenti compresi tra la cella C14 e la cella H73, si stimano varianza, covarianza e rendimento medio relativi.
Riguardo ai rendimenti questi sono ottenuti attraverso le differenze prime dei logaritmi dei prezzi (lnP(t)–lnP(t–1)) .
Considerando ad esempio i primi rendimenti del titolo a:

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In excel la stima della varianza è ottenuta tramite la funzione =VAR.POP(), per la covarianza si utilizza l’omonima funzione =COVARIANZA(). La media è calcolata con la funzione media (=MEDIA() ). Chiaramente calcolando la covarianza tra i rendimenti dello stesso titolo si ottiene lo stesso risultato del comando VAR.POP applicato sugli stessi dati. Gli input vanno inseriti come intervallo di celle, con la prima e l’ultima cella che delimitano gli intervalli separate dai due punti e con gli intervalli diversi separati dal punto e virgola.
La matrice a partire dalla cella C5 è creata con le funzioni viste. Nelle celle I9 ed I10 è mostrato il loro utilizzo.

La Frontiera Efficiente

Nel foglio la frontiera efficiente si affronta il problema della creazione della frontiera utilizzando le informazioni relative ai titoli del foglio “Dati”.
Il problema che si vuole risolvere è quello della ricerca del set di portafogli a volatilità (() minima o in maniera equivalente il set di portafogli che per un dato livello di volatilità presenta il rendimento maggiore.
Il problema può essere impostato in Excel attraverso l’utilizzo del risolutore.
Per prima cosa vanno calcolati i dati rilevanti per le differenti combinazioni possibili di portafoglio.

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I dati necessari per calcolare valore atteso e volatilità del portafoglio sono presenti nella parte arancione del foglio con i relativi risultati.
Nel vettore D9:I9 sono presenti i pesi dei vari titoli (per ora si pensi a pesi casuali, soggetti all’unico vincolo di avere somma pari ad 1 come indicato nella cella K9), mentre nel vettore D10:I10 sono presenti i rendimenti calcolati nel foglio Dati. Sempre dal foglio Dati sono presi i valori della matrice di varianza/covarianza presente nell’intervallo D12:I17.
Per calcolare il rendimento atteso del portafoglio e la sua varianza è comodo utilizzare le funzioni di calcolo matriciale di Excel.
In particolare la varianza del portafoglio è pari a:

[pic] dove [pic] rappresenta la covarianza tra i titoli i e j nel caso in cui i sia diverso da j, altrimenti rappresenta la varianza del titoli i-esimo.
Il valore atteso invece è pari a:

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Analogamente in forma matriciale:
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Dove wi ed Ri rappresentano rispettivamente i singoli pesi (w il vettore di pesi nel caso di forma matriciale) ed i singoli rendimenti (R il vettore dei rendimenti) e T è utilizzato quando è necessario effettuare l’operazione di trasposizione.
In excel, con riferimento alla forma matriciale, è possibile replicare velocemente questi calcoli.
Le funzioni utilizzate sono =MATR.PRODOTTO() che effettua il prodotto tra matrici (o vettori, considerando un vettore come una matrice (1,n) o (n,1) ) e MATR.TRASPOSTA() che traspone una matrice. Queste funzioni, una volta inseriti gli input, vanno fatte seguire non dalla pressione del semplice tasto invio per ottenere un risultato, ma dalla combinazione dei tasti Ctrl+Shift+Invio[2].
Tornando all’esempio, nella cella E20 si è applicata la formula

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L’equivalente in excel:

=(MATR.PRODOTTO(MATR.PRODOTTO((D9:I9);D12:I17);MATR.TRASPOSTA(D9:I9)))^0.5

Mentre per quanto riguarda i rendimenti:

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è stato scritto come:

=MATR.PRODOTTO((D9:I9);MATR.TRASPOSTA(D10:I10))

Si noti come il vettore dei pesi già presente in forma di riga non ha necessitato alcuna trasposizione, mentre è stato necessario trasporre il vettore dei rendimenti. Chiaramente, a seconda della forma in cui i dati sono presenti, si effettuano le operazioni di trasposizione quando necessario, rispettando le regole proprie del calcolo matriciale.
Calcolata la volatilità ed il rendimento atteso di un ipotetico portafoglio, è possibile utilizzare il risolutore per ottenere il portafoglio a volatilità minima dato un determinato rendimento.

Richiamando il risolutore si imposta come cella obiettivo la cella Vol_portafoglio (che corrisponde alla cella E20[3]) e si chiede di minimizzarla imponendo come vincolo pesi positvi (impedendo quindi la possibilità di vendite alla scoperto), un rendimento (indicato nella cella E21) maggiore o uguale di quello richiesto (il nome rendimento_desiderato è quello assegnato alla cella K10) e la somma dei pesi, calcolata nella cella K9, pari ad 1. Il richiedere un rendimento maggiore o uguale a quello desiderato velocizza le procedure usate e garantisce una ricerca rapida. Chiaramente se si fosse intenzionati a disegnare la parte inferiore della parabola che rappresenta i portafogli a varianza minima, i vincoli sarebbero diversi.
Ripetendo il calcolo per diversi rendimenti, è possibile determinare i punti la cui unione determina la frontiera efficiente. Nel foglio il bottone “crea la frontiera” automatizza questa procedura. Dopo aver disegnato la frontiera è possibile vedere come sulla stessa vadano a collocarsi portafogli con rendimenti diversi modificando il campo “rendimento desiderato”.

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La Capital Market Line

Si è visto nel capitolo relativo al Capm come in condizioni di equilibrio e data la possibilità di investire sul mercato ad un tasso risk free, sia possibile individuare una nuova frontiera, definita Capital Market Line, sulla quale giacciono le possibilità di investimento costituite da combinazioni di attività rischiose e di un titolo risk free. Questa nuova frontiera presuppone l’esistenza di un unico portafoglio di mercato, tra gli n possibili, che massimizza il premio per il rischio:

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La scelta relativamente al punto della CML sul quale si collocano i diversi investitori è pertanto legata solo alla loro avversione al rischio. Questa però non incide sulla scelta del mix di attività rischiose da detenere, ma soltanto sulla modalità di suddivisione della ricchezza tra il portafoglio di mercato ed il titolo privo di rischio.
L’equazione della CML è:

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Chiaramente un punto della stessa giacerà in corrispondenza dell’asse delle y all’altezza del tasso risk free la cui volatilità è assunta pari a zero.
La determinazione del punto di tangenza con la frontiera efficiente è effettuata attraverso la massimizzazione del premio per il rischio presente nella cella L15.
I dati sono quelli degli esempi precedenti:

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Nell’impostazione del risolutore si richiede la massimizzazione della cella L15, ponendo vincoli relativamente alla somma dei pesi pari ad uno ed alla positività degli stessi.

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Ottenuto il portafoglio che massimizza il premio al rischio è possibile congiungere lo stesso al punto che individua il tasso risk free sul grafico della frontiera efficiente per ottenere la CML.

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La Security Market Line

La CML rappresenta una frontiera che esprime la relazione rendimento rischio per i portafogli efficienti. E’ possibile individuare una relazione rendimento rischio anche per combinazioni di portafogli non efficienti.
Per capire il funzionamento di questa relazione è importante ricordare che con la CML si era riusciti a costruire una frontiera in grado di ridurre attraverso la diversificazione il rischio specifico di ciascun titolo. Il rischio residuo del portafoglio risulta pertanto dovuto ai macro eventi. Questo rischio è definito rischio sistematico e non è diversificabile.
Nel caso in cui si voglia tener conto di questo rischio in un portafoglio diverso da quello di mercato, è sufficiente inglobare nella nuova relazione rischio rendimento la correlazione del nuovo portafoglio (che può essere costituito anche da un singolo titolo) con il portafoglio di mercato.
Tornando alla CML abbiamo:
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Si intende passare dal portafoglio P al portafoglio i, il cui rischio sistematico non diversificabile è pari a:[pic].
La nuova relazione diventa:

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Ricordando che:
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Abbiamo:
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Dove [pic]è il coefficiente [pic], che individua il rischio sistematico del portafoglio i.

La stima del coefficiente beta pertanto può essere ottenuta regredendo il rendimento del portafoglio i sul rendimento del portafoglio di mercato o, in maniera equivalente, dal rapporto tra la covarianza tra il portafoglio i ed il portafoglio di mercato e la varianza del portafoglio di mercato.
La funzione utilizzata in Excel per la regressione è REGR.LIN:
REGR.LIN(y_nota;x_nota;cost;stat)
dove y_nota ed x_nota sono vettori di input rispettivamente della variabile dipendente e della variabile indipendente, mentre cost e stat sono variabili logiche che assumono i valori vero o falso.
Nella cella P10 è mostrato l’utilizzo della funzione mentre nella cella P7 lo stesso risultato è ottenuto rapportando la covarianza del portafoglio di mercato con il portafoglio f alla varianza del portafoglio di mercato.

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Nel caso del portafoglio individuato vediamo come siano assenti i titoli a e c mentre sono presenti tutti gli altri. Chiaramente il nostro portafoglio di mercato è molto particolare dato che corrisponde al portafoglio efficiente ottenuto in precedenza. I titoli esclusi sono titoli che hanno caratteristiche tali da non renderli appetibili. Considerando la relazione che lega il beta dei titoli del nostro portafoglio con il loro rendimento atteso vediamo come questa sia lineare con una inclinazione pari al rendimento di mercato meno il rendimento del tasso risk free utilizzato per la costruzione della frontiera efficiente.

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La relazione tra beta e rendimento atteso nella realtà non presenta le regolarità viste, ottenute in questo caso solo grazie all’utilizzo di un portafoglio con caratteristiche particolari.
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[1] Per utilizzare correttamente questo foglio occorre stabilire un riferimento all'aggiunta Risolutore dall’editor Visual Basic. Dopo aver attivato un modulo di Visual Basic (dal menu strumenti scegliere macro e quindi Visual Basic Editor), scegliere Riferimenti dal menu Strumenti , quindi selezionare la casella di controllo Risolutore.xla (o solver.xls nella versione inglese di Excel) nella casella Riferimenti disponibili.
Se Risolutore.xla non viene visualizzato nella casella Riferimenti disponibili, scegliere Sfoglia e aprire Risolutore.xla (Solver.xla) nella sottocartella C:\Programmi\Microsoft Office\Office\Library\.
[2] Nel caso in cui il risultato del calcolo sia ancora una matrice o un vettore, è necessario selezionare una porzione di celle conforme alla matrice risultante, pena una visualizzazione solo parziale del risultato.
[3] E’ possibile assegnare un nome alle celle in Excel collocandosi sulla cella stessa ed inserendo, nel campo in alto a sinistra del foglio che indica solitamente la cella su cui si è posizionati (ex A1) un nome, in maniera tale da far riferimento alla cella stessa utilizzando il nome in alternativa alla solita definizione alfanumerica, che comunque continua ad essere valida.