Espaces Vectoriels
Exercice 1: deux sous-espaces de R4 : Soient: E = fX 2 R4 = x1 + x2 = 0; x1 x3 + x4 = 0 et x2 + x4 = 0g et F = fX 2 R4 = x1 = x2 g
a)Montrer que E; F sont des sev de R4 b) Donner une base et la dimension de E , F; E \ F et E + F b) Trouver un supplementaire de E dans R4 : c) A-t on : R4 = E F:
d) Trouver un autre supplementaire de E dans R4 ; et un autre supplementaire de F dans R4 Exercice 2: Ecrire les espaces vectoriels suivantes sous la forme d’ Vect et Donner une base ,la dimension et un un supplementaire pour chacun d’ eux dans E : b) f(x; y; z) 2 IR3 jx + 2y = 2x + zg:E = IR3 Exercice 3 a) fP 2 IR3 [X] = P 0 (1) = P 00 (1) = 0g:E = IR3 [X]
c) f(x; y; z; t) 2 IR4 jx = 3y = 2x + 2tg:E = IR4
Soient a = (1; 2; 1; 2); b = (2; 3; 0; 1); c = (1; 3; 1; 0); b = (1; 2; 1; 4)des vecteurs de IR4 -Montrer que les vecteurs a; b; c; d forment une base de IR4 -Trouver les coordonnees du vecteur (1; 1; 1; 1) dans cette base -Trouver un supplementaires de < (1; 1; 1; 1) > dans IR4 .Exercice 4 Soit E = fp 2 IR[X] =d0 p 3g 1); P3 = x(x 1)(x 2) forment -Montrer que E est un sev de IR[X] -Montrer que les polynomes suivants : P0 = 1; P1 = x; P2 = x(x une base de E -Trouver les coordonnees du polynome q(x) = x3 sont (1; 3; 2; 1)) -Trouver un supplementaires de < P0 ; P1 > dans IR4 # 5x2 + x + 1 dans cette base (les coordonnees
