Área de Mecánica de Fluidos.

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Área de Mecánica de Fluidos

Escuela Politécnica Superior Guillermo Schulz Curso de Complementos de Ingeniero Geólogo

HIDRÁULICA http://web.uniovi.es/Areas/Mecanica.Fluidos/ LOS FLUIDOS
1. MECÁNICA DE FLUIDOS. ASPECTOS HISTÓRICOS. 2. CONCEPTO DE FLUIDO. 3. MODELO CONTINUO Y MODELO ESTADÍSTICO. 4. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS. 5. PROBLEMAS.

BIBLIOGRAFÍA.
Aparicio, F.; “Fundamentos de Hidrología de Superficie”, Limusa. Bird, R.D.; “Fenómenos de Transporte”, Reverté. Coutinho, A. “Manual de Ingeniería Hidráulica”, Univ. Pública de Navarra. Massey, B.S. ; “Mecánica de Fluidos”, C.E.C.S.A. Streeter, V.; Wylie, E.; Bedford, K.; “Fluid Mechanics”, McGraw-Hill. Shames, I.; “Mecánica de Fluidos”; McGraw-Hill. White F.; “Mecánica de Fluidos”; McGraw-Hill. Vennard, J.K.; “Elementos de Mecánica de Fluidos”, C.E.C.S.A.

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1. MECÁNICA DE FLUIDOS. ASPECTOS HISTÓRICOS.
1.1. DEFINICIÓN. La Mecánica de Fluidos es la disciplina científica que se ocupa de la interacción de los fluidos con su entorno, así como de las aplicaciones de ingeniería que utilizan fluidos. La Mecánica de Fluidos es fundamental en prácticamente todos los campos de la ingeniería: industrial, aeronáutica, naval, química, civil,..., así como en disciplinas científicas: oceanografía, meteorología, acústica,... Básicamente la Mecánica de Fluidos puede dividirse en: la estática de fluidos, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica o hidráulica se aplica al flujo de líquidos. El término aerodinámica se ocupa del comportamiento de los gases. 1.2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA. El interés por la Mecánica de Fluidos se remonta a las aplicaciones más antiguas de los fluidos en ingeniería. El matemático y filósofo griego ARQUÍMEDES realizó una de las primeras contribuciones con la invención del “tornillo sin fin” que se le atribuye tradicionalmente. Los romanos desarrollaron otras máquinas y mecanismos hidráulicos; no sólo empleaban el tornillo de Arquímedes para trasegar agua en agricultura y minería, sino que construyeron extensos sistemas de conducción de agua, los acueductos. Durante el siglo I a. C., el ingeniero y arquitecto VITRUBIO inventó la rueda hidráulica horizontal, que revolucionó la técnica de moler grano. Después de Arquímedes pasaron más de 1600 años antes de que se produjera el siguiente avance científico significativo, debido al gran genio italiano LEONARDO DA VINCI, que aportó la primera ecuación de la conservación de masa, o ecuación de continuidad y desarrolló múltiples sistemas y mecanismos hidráulicos y aerodinámicos. Posteriormente el matemático y físico italiano Evangelista TORRICELLI, inventó el barómetro en 1643, y formuló el teorema de Torricelli, que relaciona la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encima del agujero. La génesis de la actual mecánica de fluidos se debe al matemático y físico inglés Isaac NEWTON, con la publicación en 1687 de los Philosophie naturalis principia mathematica se inicia el carácter científico de la disciplina, en donde se analiza por primera vez la dinámica de fluidos basándose en leyes de la naturaleza de carácter general. En 1755 el matemático suizo Leonhard EULER, dedujo las ecuaciones básicas para un fluido ideal. EULER fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo se pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido e ideal, en donde se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de movimiento entre partículas, es decir, el fluido es no viscoso. Sin embargo, como esto no es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados con las ecuaciones de Euler sólo pueden servir de estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños. La siguiente aportación de gran importancia fue la primera expresión de la ecuación de conservación de energía, dada por Daniel BERNOULLI con la publicación en 1738 de su Hydrodinamica sive de viribus et motibus fluidorum comentarii; el denominado “teorema de Bernoulli”, establece que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso es constante a lo largo de una línea de corriente (líneas de flujo que son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y que en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido) El problema de los efectos viscosos de disipación de energía, se empezó a abordar experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberías, independientemente en 1839 por el médico francés Jean POISEUILLE, que estaba interesado por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero alemán Gotthif HAGEN. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinámica de fluidos se debió al ingeniero francés Claude NAVIER en 1827 e, independientemente, al matemático británico George STOKES, quien en 1845 perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de NavierStokes. En cuanto al problema del flujo en tuberías de un fluido viscoso, parte de la energía mecánica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería; las ecuaciones de Navier-Stokes sugieren que la caída de presión es proporcional a la velocidad media. Los experimentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades altas, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad. Este problema no se resolvió hasta 1883, cuando el ingeniero británico Osborne REYNOLDS demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas; a velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o turbulencias

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(flujo turbulento), en una forma difícil de predecir completamente. Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds: Re = (ρ V L)/µ. Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de las ecuaciones de conservación, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos. Gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia, y que junto con las nuevas técnicas de simulación en ordenador (CFD: computational fluid dynamics), están resolviendo problemas cada vez más complejos. La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran medida los avances en dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwing PRANDTL publicó un artículo en el congreso de matemática aplicada, y estableció que muchos flujos pueden separarse en dos regiones. La región próxima a la superficie de interacción entre fluido y sólido está formada por una delgada zona en donde se manifiestan los efectos viscosos, y puede simplificarse el modelo matemático; fuera de esta capa límite se pueden despreciar los efectos viscosos, y pueden emplearse las ecuaciones más simples para flujos no viscosos. La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de los perfiles aerodinámicos, de las alas de los aviones, y de los álabes de las turbomáquinas. Posteriores desarrollos y aplicaciones de la teoría de capa límite han sido desarrollados por varios investigadores: como el ingeniero húngaro Theodore von KARMAN (discípulo del propio Prandtl), el matemático alemán Richard von MISES, y el físico británico Geoffrey TAYLOR. El interés por el flujo de gases (flujo compresible) comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el inventor británico Charles PARSONS y el ingeniero sueco Carl de LAVAL durante la década de 1880; pero los avances modernos tuvieron que esperar al desarrollo de la turbina de combustión y la propulsión a chorro de la década de 1930; y los posteriores estudios de balística y en general flujos a alta velocidad. El comportamiento en el flujo de un gas compresible depende de si la velocidad del flujo es mayor o menor que la velocidad de las perturbaciones en el flujo, denominada velocidad sónica o velocidad del sonido. Para un gas ideal la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Si la velocidad del flujo es menor que la sónica, flujo subsónico, las ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto; si la velocidad es mayor que la sónica, flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar aguas arriba para adaptar el flujo; así el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no esta preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que lleva a una compresión intensa u onda de choque. La relación entre la velocidad del flujo y la velocidad sónica se denomina número de Mach, en honor al físico austriaco Ernest MACH. En cuanto a la estática de fluidos, su característica fundamental es que la fuerza ejercida por el entorno sobre cualquier partícula del fluido estático es la misma en todas las direcciones; si las fuerzas fueran desiguales, la partícula se desplazaría en la dirección de la fuerza resultante. De ello se deduce que la fuerza por unidad de superficie que el fluido ejerce contra las paredes del recipiente que lo contiene es perpendicular a la pared en cada punto; a la fuerza normal por unidad de superficie se le denomina presión. Este concepto fue formulado por primera vez por el matemático francés Blaise PASCAL en 1647, y se conoce como “principio de Pascal”. El otro principio importante en estática de fluidos fue descubierto por el matemático griego ARQUÍMEDES; el principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza vertical ascendente igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas de flotación, se llama centro de flotación (centro de carena en un buque). El centro de flotación está situado en la vertical del centro de gravedad del cuerpo; si está por encima el objeto flota en equilibrio y es estable; si el centro de flotación está por debajo del centro de gravedad, solo hay estabilidad si la distancia metacéntrica es positiva. 1.3. APLICACIONES. Las aplicaciones más habituales de la Mecánica de Fluidos son: • • • • Transporte y acondicionamiento de fluidos (Hidráulica). Generación de energía. Ingeniería ambiental (Hidrología, Meteorología, Oceanografía, Geología). Propulsión (Aerodinámica, Turbomáquinas).

El transporte de fluidos es el movimiento de un fluido de un lugar a otro, de tal manera que éste se pueda emplear o procesar. Cabe citar los sistemas de suministro de agua, los oleoductos, los conductos de gas y de productos químicos. Hay

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que diseñar sistemas que incluyan bombas, compresores, tuberías, válvulas y otros componentes, evaluando los sistemas existentes para ver si pueden satisfacer las nuevas demandas. Sólo una pequeña parte de la energía útil se genera sin que se requiera para ello el movimiento de algún fluido. Los dispositivos típicos de conversión de energía, como turbinas de vapor, motores alternativos, turbinas de gas, centrales hidráulicas y eólicas requieren máquinas de fluidos como bombas o compresores. Equipos auxiliares como bombas de aceite, carburadores, sistemas de inyección de combustible y sistemas de enfriamiento también implican el movimiento de algún fluido. La mayor parte de los sistemas de calefacción emplea un fluido para transportar energía desde una fuente de calor hacia los recintos a calentar. En los sistemas de aire acondicionado, ésta se enfría por medio del movimiento de un fluido refrigerante. En los sistemas de enfriamiento de los motores de automóviles ocurren procesos similares. Todos los medios de transporte de personas o mercancías discurren dentro de un medio fluido. El movimiento relativo entre el fluido y el dispositivo de transporte genera una fuerza que se opone al movimiento deseado, pero también el fluido contribuye de una manera positiva, haciendo que un barco flote o generando una fuerza de sustentación sobre las alas de un avión. La aplicación de la mecánica de fluidos al diseño de vehículos permite minimizar la fuerza de arrastre que se opone al movimiento y maximizar la fuerza de sustentación. Otras aplicaciones de la Mecánica de Fluidos consisten en el diseño de canales, puertos y presas. El diseño de grandes estructuras debe tener en cuenta los efectos del empuje del fluido. En el medio ambiente y en medicina hay que tratar procesos de flujo que ocurren de manera natural en la atmósfera, acuíferos, lagos, ríos, mares, yacimientos petrolíferos o en el cuerpo humano. Los fenómenos del movimiento de los fluidos son fundamentales en el campo de la meteorología y de la predicción del tiempo atmosférico. Pocos son los técnicos (ingenieros, marinos, etc.) que pueden desempeñar su función de manera efectiva sin un conocimiento de la Mecánica de Fluidos. Un gran número de ellos trata principalmente procesos, dispositivos y sistemas en los cuales el conocimiento de los principios de la Mecánica de Fluidos es esencial para un diseño inteligente, evaluación, mantenimiento o toma de decisiones.

2. CONCEPTO DE FLUIDO.
Consideraremos la materia en dos estados de agregación: sólido y fluido; además los fluidos incluyen a los líquidos y a los gases. Las propiedades cualitativas más destacables de los fluidos son: movilidad entre las partículas que los constituyen (se adaptan a las formas de los recipientes que los contienen), miscibilidad por la rápida disgregación de partículas de las diferentes zonas del fluido, compresibilidad o variación de volumen bajo esfuerzos normales. La movilidad y la miscibilidad vienen determinadas como consecuencia de la propiedad más importante de un fluido: su deformabilidad continua bajo esfuerzos tangenciales. Un sólido sometido a un esfuerzo1 tangencial adquiere una determinada deformación, que puede ser permanente si se supera un cierto valor de tensión umbral, pudiendo llegar a la rotura si se sobrepasa la tensión de rotura; en cambio un fluido sometido a un esfuerzo tangencial se deforma continuamente, adquiriendo una velocidad de deformación que depende de la tensión aplicada y de las características del propio fluido (a través de su viscosidad). La deformación continua del fluido da lugar a su movimiento, que se denomina flujo. Los fluidos poco viscosos fluyen fácilmente y los fluidos muy viscosos tienen dificultad para fluir. A partir de estas consideraciones podemos dar como definición de fluido: sustancia incapaz de resistir una tensión tangencial sin deformarse. La otra propiedad característica de un fluido es su comportamiento ante esfuerzos normales de compresión, ante los cuales el fluido se deforma, disminuyendo su volumen; en el caso de los gases, las disminuciones de volumen son relativamente grandes, son fácilmente compresibles; y en el caso de los líquidos, las disminuciones de volumen son relativamente pequeñas, son difícilmente compresibles. En general los líquidos se denominan fluidos incompresibles y los gases fluidos compresibles; no obstante, líquidos sometidos a grandes cambios de presión2 pueden comprimirse, y gases sometidos a pequeños cambios de presión no varían prácticamente su volumen.
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Se define esfuerzo o tensión como una fuerza por unidad de área: un esfuerzo tangencial es la fuerza aplicada tangencialmente sobre un elemento unitario de área; un esfuerzo normal es la fuerza aplicada perpendicularmente sobre un elemento unitario de área. 2 Se define presión en un punto como el límite de la fuerza normal aplicada sobre un elemento de área, con el área tendiendo a cero.

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3. MODELO CONTINUO Y MODELO ESTADÍSTICO.
Para el estudio de los fluidos, hay que establecer un modelo de constitución. En realidad se trata de agregaciones moleculares, muy separadas entre sí en el caso de los gases y más próximas en el caso de los líquidos, y que se mueven con cierto grado de libertad en función de las fuerzas intermoleculares. La estructura molecular de la materia es la que explica los estados de agregación de sólido, líquido y gas, teniendo en cuenta las distancias intermoleculares y las fuerzas intermoleculares. En los gases las distancias intermoleculares son grandes y las fuerzas intermoleculares pequeñas, lo que explica su gran compresibilidad; en los líquidos las distancias intermoleculares son bajas y las fuerzas intermoleculares altas, lo que explica su poca compresibilidad; y finalmente en los sólidos las distancias intermoleculares son muy bajas y las fuerzas intermoleculares muy altas. Todos los fluidos están compuestos de moléculas en constante movimiento; sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones, lo que interesa son los efectos promedio o macroscópicos de muchas moléculas; estos efectos macroscópicos son los que se perciben y se miden; con lo que se trata al fluido como una sustancia infinitamente divisible, es decir un medio continuo, no considerando el comportamiento de las moléculas individuales, con lo que los valores de las propiedades son continuos y el modelo de comportamiento de la materia se denomina modelo continuo. El concepto de medio continuo es la base de la mecánica de fluidos clásica. La suposición de medio continuo es válida al tratar el comportamiento de fluidos bajo condiciones normales. No obstante, falla siempre que la trayectoria libre media de las moléculas se vuelve del mismo orden de magnitud que la longitud característica significativa más pequeña del problema. En problemas tales como los flujos de un gas de muy baja densidad que se encuentra, por ejemplo, en los vuelos que llegan a las partes más altas de la atmósfera, se debe abandonar el concepto de medio continuo en favor de los puntos de vista microscópicos y por tanto con valores estocásticos de sus propiedades, teniendo que recurrir a los modelos estadísticos. El criterio para usar uno u otro modelo viene determinado por la relación citada anteriormente, entre el recorrido libre medio de las moléculas y la dimensión longitudinal característica del fenómeno a estudiar, al que se denomina número de KNUDSEN: Kn = lm/L; así para valores de Kn ∆p = 2 σ/R

En el caso de considerar una burbuja, las fuerzas de tensión superficial, son las debidas tanto a la superficie libre exterior como a la interior, que son prácticamente esferas del mismo radio, con lo que se tiene:
∆p burbuja = 4 σ R

4.4.2. MENISCOS Y CAPILARIDAD. En un líquido en reposo, las fuerzas que actúan sobre las moléculas de la superficie libre son: su peso y las fuerzas de cohesión con las moléculas que la rodean (con resultante vertical hacia abajo, por tener moléculas de líquido hacia abajo y moléculas de vapor y de gas por encima), lo que da una resultante neta sobre la molécula, vertical hacia abajo; y como la superficie libre es siempre perpendicular a la resultante de las fuerzas de presión, se tendrá un plano horizontal como superficie libre. En el caso de las moléculas cercanas a una pared, además aparece la fuerza de adherencia entre las moléculas del líquido y las de la pared, con sentido hacia la pared y dirección perpendicular a la pared. En la mayor parte de líquidos, las fuerzas de adherencia con las paredes son mayores que las de cohesión, lo que da lugar a tener sólo dos fuerzas, el peso y la cohesión. En el caso de una pared vertical, la resultante es una fuerza de sentido hacía la pared, entre la horizontal y la vertical: conforme las moléculas están más próximas, la fuerza de cohesión aumenta, y la dirección de la resultante es más horizontal. Esto es lo que lleva a que la superficie libre, tenga que pasar gradualmente de prácticamente vertical en la pared de contacto, a horizontal en puntos alejados de la pared: lo que da lugar a que la superficie libre adquiera una curvatura: es el denominado “menisco”. En este caso el menisco formado, es convexo, y el líquido se dice que “moja” a la pared. En determinados líquidos, las fuerzas de cohesión intermolecular, son mayores que las de adherencia con las paredes, lo que lleva a que se tengan meniscos cóncavos, y el líquido se dice que “no moja” a la pared.

FA FA FA FA FC FC FG FG R
MOLECULA ALEJADA DE LA PARED MOLECULA CERCANA A LA PARED

R

RESULTANTE DE FUERZAS

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Estrictamente, la geometría del menisco depende de las propiedades de tensión superficial y adherencia, asociadas a un conjunto de líquido-gas-sólido; es decir, la formación de una superficie libre de un líquido por encima del cual hay un gas y cerca de una determinada pared sólida. La superficie libre de una interfase líquido-gas (o líquidolíquido) en contacto con una pared sólida adquiere una curvatura con un determinado ángulo de contacto cuyo valor depende del conjunto líquido-gas-sólido; si el líquido moja a la superficie, el ángulo de contacto es menor de 90º; si el líquido no moja a la superficie, el ángulo de contacto es mayor de 90º: θ 90º

el líquido moja la pared

el líquido no moja la pared

Así, agua o etanol con superficie libre al aire y en contacto con vidrio tienen valores del ángulo de contacto prácticamente nulo (a temperatura normal de 20ºC): θ ≅ 0º; y en las mismas condiciones, el mercurio tiene un ángulo de contacto entre 130º y 150º.
CAPILARIDAD: cuando un tubo fino se introduce en la superficie libre de un líquido, el líquido asciende o desciende por el interior del tubo, debido a las fuerzas de tensión superficial y las fuerzas de contacto entre el líquido y las paredes del tubo. Este fenómeno se denomina capilaridad, y explica, por ejemplo, como asciende la savia por el tronco de un árbol.

La existencia de un determinado ángulo de contacto, explica el ascenso o descenso del líquido por el interior del tubo cuando este se introduce en un determinado líquido; si el líquido “moja” el ángulo de contacto es menor de 90º y se tiene un ascenso capilar del líquido por el tubo; si el líquido “no moja” el ángulo de contacto es menor de 90º y se tiene un descenso capilar del líquido por el tubo: θ σ.dl

θ < 90 º

h (ascenso capilar) D h (descenso capilar) θ > 90º

El equilibrio de fuerzas sobre la masa de líquido que asciende por el tubo capilar, se establece entre la componente vertical de las fuerzas de tensión superficial y el peso de la columna de líquido; este equilibrio da una expresión de la altura “h” a la que asciende (desciende si θ>90º) el líquido, que se denomina ley de JURIN: h= 4 σ cos θ ρgD

- componente vertical de la fuerza de tensión superficial sobre el borde de contacto (de longitud π.D) = σ π D cosθ - fuerza vertical gravitaroria sobre la columna de fluido que asciende = m g = ρ h π D2/4 - equilibrio de fuerza sobre la masa de fluido que asciende por el tubo capilar: σ π D cosθ = ρ h π D2/4 -> h = 4 σ cosθ/ρ g D

Por los bajos valores de la tensión superficial, sólo son apreciables los ascensos-descensos capilares en tubos de diámetros muy pequeños, que se denominan capilares y que da el nombre al fenómeno. Así para agua en aire y tubos de vidrio, con valores del ángulo de contacto de aproximadamente 0º y tensión superfical con un valor de 0.0728 N/m se tienen los siguientes valores del ascenso capilar, para distintos diámetros de los tubos:

h(mm) D(mm)

297 0.1

29.7 1

2.97 10

0.29 100

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En tubos capilares, el menisco es prácticamente un casquete esférico, con un radio de curvatura dado por: R=r/cosθ, en donde r es el radio interior del capilar. A partir de la ley de LAPLACE, la sobrepresión asociada a la curvatura será: ∆p=2σ/R=2σ.cosθ/r; con lo que la altura a la que asciende el nivel del líquido será: h= ∆p 2 σ cos θ / r 2 σ cos θ = = ρg ρg ρgr

Ecuación de JURIN

4.5. VISCOSIDAD.

La viscosidad es una propiedad característica de los fluidos y que no es exhibida por otros medios continuos. La viscosidad es el parámetro del fluido que controla el transporte de la cantidad de movimiento a nivel molecular determinando la relación entre los esfuerzos tangenciales y la velocidad a la que se produce la deformación del fluido. Consideremos una determinada agrupación de moléculas en la que sobre un elemento de área, el entorno está ejerciendo una fuerza tangencial. A la fuerza por unidad de área se le va denominar tensión, con lo que en este caso, se tienen tensiones tangenciales, de corte o de cizalla: τ. En el caso de un sólido, una tensión cortante, origina una deformación; la deformación unitaria (∆α/α) por unidad de tensión de corte (τ) es constante, en la zona de comportamiento elástico lineal del sólido; es decir para un determinado valor de la tensión de corte, el sólido experimenta una deformación constante, cuya magnitud depende intrínsecamente del tipo de material. La constante es el módulo de elasticidad de cizalla: G.
G= ∆α / α τ τ=G ∆α α ∆α τ = α G

dA dFt τ=dFt/dA τ dα

dα α

3D

2D (dt)

2D (2 dt)

En un SÓLIDO, una tensión de corte constante, provoca una DEFORMACIÓN CONSTANTE

En el caso de un FLUIDO, una tensión cortante origina una deformación que va aumentando con el tiempo. La velocidad de deformación (dα/dt) depende del esfuerzo tangencial aplicado y del fluido. La velocidad de deformación, por unidad de tensión tangencial (τ) es constante, es decir para un determinado valor de la tensión tangencial, el fluido experimenta una velocidad de deformación constante, cuya magnitud depende intrínsecamente del tipo de fluido. La constante es la viscosidad dinámica, µ.

µ=
3D 2D (dt)

τ dα / dt

τ=µ

dα dt
2D (2 dt) 2D (3 dt)

dA dFt τ 2 dα τ 3 dα

τ

dα α

En un FLUIDO, una tensión de corte constante, provoca una VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN CONSTANTE

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En este punto, es importante la consideración de las solicitaciones a nivel molecular. En el caso de los sólidos, las fuerzas intermoleculares son elevadas y las distancias intermoleculares pequeñas. En el caso de los líquidos, las fuerzas intermoleculares son débiles y las distancias intermoleculares son pequeñas; y en el caso de los gases, las fuerzas intermoleculares son aún más débiles y las distancias intermoleculares grandes. Esta diferente estructura molecular de la materia hace que un sólido sometido a una solicitación tangencial, se deforme, pero su alta fuerza de cohesión molecular es la que hace que esa deformación permanezca constante a lo largo del tiempo; además cuando cesa la solicitación, cesa la deformación. En cambio, en el caso de los líquidos y los gases, las débiles fuerzas de cohesión molecular no resisten los esfuerzos tangenciales, y estos provocan una deformación continua en el tiempo. La deformación continua hace que exista movimiento relativo entre moléculas, lo que establece el movimiento general del fluido, que se denomina flujo. Este comportamiento es exclusivo de los fluidos, y es el que los distingue de los sólidos. La definición de un fluido, sería por tanto, la materia que, ante esfuerzos tangenciales, se deforma continuamente. Recordemos que, en comparación con este distinto comportamiento ante esfuerzos tangenciales de los sólidos y los fluidos, el comportamiento ante esfuerzos de compresión no es exclusivo de los fluidos. La magnitud del módulo de compresibilidad permite establecer una clasificación: sólidos con un muy elevado módulo, líquidos con un alto módulo y gases con un pequeño modulo de compresibilidad. Otro aspecto molecular de gran importancia es la consideración de que en el proceso de fluir se establece un movimiento relativo, y las moléculas más rápidas arrastran a las contiguas, y estas a su vez frenan a las que las arrastran; es decir hay un intercambio de cantidad de movimiento a nivel molecular. Esta consideración permite establecer, de forma rigurosa la viscosidad, como el coeficiente de transporte de cantidad de movimiento a nivel molecular. A nivel molecular, además de transporte de cantidad de movimiento, pueden existir otros fenómenos de transporte, como el transporte de masa y de calor; a los coeficientes respectivos, se le denomina difusividad (coeficiente de trasporte de masa) y conductividad térmica (coeficiente de transporte de calor). 4.5.1. LEY DE NEWTON DE VISCOSIDAD. Una forma simple de poner de manifiesto la viscosidad es considerar dos placas planas horizontales, entre las que se hay un determinado fluido; la placa inferior está fija, y sobre la placa superior se aplica una determinada fuerza horizontal; el cociente entre la fuerza aplicada y la superficie de la placa superior es la tensión tangencial aplicada sobre el fluido. Si el fluido es no viscoso (ideal), éste no opone ninguna restricción al movimiento de la placa, que se movería con aceleración constante; si el fluido es viscoso se observa que la placa adquiere una velocidad constante, como consecuencia de tener aceleración nula, debido a que la suma de fuerzas que actúan sobre la placa es nula. Las partículas de fluido que tocan la placa superior son arrastradas a la velocidad de la placa, estas partículas a su vez, arrastran a otras partículas que se mueven, pero a una velocidad inferior debido a las fuerzas y distancias intermoleculares, este proceso de intercambio de cantidad de movimiento entre partículas se extiende hasta las partículas a velocidad nula que están en contacto con la placa fija inferior. Con las consideraciones de flujo unidimensional, u = u(y), si se hace una exploración del campo de velocidades de las partículas del fluido, desde las que están en contacto con la placa fija inferior (y por tanto a velocidad nula: u(0) = uplaca inferior = 0), hasta las partículas que están en contacto con la placa móvil superior (a su misma velocidad: u(h) = uplaca superior = U), se detecta un gradiente de velocidad (du/dy). Existiendo para algunos fluidos una relación lineal entre la tensión tangencial (fuerza tangencial por unidad de área de contacto, que se opone al movimiento de una parte del fluido en contacto con otra más lenta) y el gradiente de velocidad: τ = µ du dy

Los fluidos con relación lineal entre tensiones tangenciales y gradiente de velocidad, se denominan newtonianos y la ecuación anterior se denomina ley de Newton de viscosidad.

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En toda la extensión del fluido (desde la placa superior a la inferior) se presenta un estado de tensiones tangenciales: la zona de mayor velocidad produce un arrastre sobre la zona más lenta. Suponiendo un flujo de Couette7, en donde el fluido tiene un movimiento unidimensional, en donde la velocidad de cada partícula es paralela al eje de las placas (OX), se puede concluir que el gradiente de velocidad esta marcando la velocidad de deformación del fluido: y dα A B A’ B’ u+du dy C O D C’ D’ u x

Las partículas C y D se mueven a la misma velocidad (u), las partículas A y B se mueven a la misma velocidad y un poco más rápidas (u+du) que las inferiores, por lo que al cabo de un instante de tiempo (dt) las partículas ocupan nuevas posiciones (‘), y debido a la diferencia de velocidades, las partículas superiores avanzan más que las inferiores, dando lugar a una deformación angular (dα):
Velocidad de deformacion = Gradiente de velocidad = du dt dα dt

dα =tg(dα )=

AA'-CC' (u + du)dt − u ⋅ dt du ⋅ dt = = dy dy dy

⇒

dα du = dt dy

dα du = dt dy Las fuerzas de contacto por unidad de área de contacto se denominan esfuerzos viscosos. En el caso unidimensional anterior, para un fluido newtoniano, solo aparece un esfuerzo tangencial en la dirección del flujo, que es proporcional al gradiente de velocidad, a través del coeficiente de viscosidad µ, que se denomina viscosidad, viscosidad absoluta o viscosidad dinámica.

Es decir, la velocidad de deformación viene determinada por el gradiente de velocidad:

4.5.2. DIAGRAMA REOLÓGICO. La relación entre tensiones de corte y velocidades de deformación, puede representarse en un diagrama cartesiano que se denomina diagrama reológico. El término reología, fue establecido en 1929 por BINGHAM y deriva del griego “ρηεοσ” (rheos) = “corriente”. En el diagrama reológico, cada tipo de fluido tiene una determinada curva representativa. Recordemos que a partir de la ley de Newton de viscosidad, la pendiente de la curva tensión tangencial frente a la velocidad de deformación es la viscosidad del fluido. Si la pendiente es constante, se tiene un fluido newtoniano, y a los fluidos de comportamiento reológico no lineal se les denomina “no newtonianos”. FLUIDO NEWTONIANO: la relación entre la tensión tangencial y la velocidad de deformación es lineal, la constante de proporcionalidad entre ambas variables es la viscosidad del fluido newtoniano; el comportamiento de este tipo de fluido es el que exhibe bajo condiciones normales de operación la mayoría de los fluidos: si se someten a esfuerzos tangenciales fluyen (se deforman continuamente), si se duplica el esfuerzo tangencial, también se duplica la velocidad de deformación. La representación de un fluido newtoniano en el diagrama reológico, es una recta que pasa por el origen, los fluidos muy viscosos son rectas de gran pendiente, y los poco viscosos son rectas de poca pendiente. Los fluidos más comunes (agua, aire) exhiben un comportamiento newtoniano. FLUIDO IDEAL: si se considera un fluido en donde sus partículas pueden moverse sin interaccionar unas con otras, se comporta de tal manera que en su movimiento no hay transferencias entre partículas; su representación en el diagrama reológico es el eje horizontal: en el proceso de flujo no hay ningún tipo de esfuerzo tangencial; con este tipo de comportamiento el fluido se denomina ideal. En un fluido ideal todos los coeficientes de transporte son nulos:
Flujo de COUETTE: flujo laminar entre placas planas paralelas horizontales, con número de Reynolds: Re =ρ U h/µ < 1500, en donde U es la velocidad de la placa superior, h la separación entre placas, ρ la densidad del fluido y µ su viscosidad absoluta.
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viscosidad nula o fluido no viscoso (coeficiente de transporte de cantidad de movimiento), conductividad térmica nula (coeficiente de transporte de calor) y difusividad nula (coeficiente de transporte de masa).

PLÁSTICO IDEAL O PLÁSTICO DE BINGHAM: se comporta como un fluido newtoniano, pero tiene una tensión tangencial umbral, por debajo de la cual el fluido no fluye; sometido a tensiones tangencial mayores que el umbral, existe una deformación continua, que es proporcional a la tensión aplicada. En el diagrama reológico un plástico de Bingham está representado por una recta de determinada pendiente que se inicia en la tensión umbral. Este tipo de comportamiento, lo suelen tener los fluidos empleados en alimentación: mayonesa, mostaza, margarina, ketchup,... PSEUDOPLÁSTICO: bajo tensiones tangenciales pequeñas fluye con dificultad, pero conforme se aumenta las tensiones de corte, el proceso de fluir mejora, es decir va disminuyendo la viscosidad; en el diagrama reológico un pseudoplástico está representado por una curva que pasa por el origen, monótona decreciente, es decir, de viscosidad (pendiente) continuamente decreciendo con el aumento de tensión aplicada. Este comportamiento, es el que tiene las suspensiones, en donde en el seno de un fluido hay una cierta densidad de partículas sólidas: a tensiones tangenciales bajas, las partículas sólidas siguen homogéneamente repartidas, y conforme aumentan las tensiones tangenciales, éstas orientan las partículas sólidas con el flujo, y la suspensión baja su viscosidad. FLUIDO VISCOELÁSTICO: tiene un comportamiento reológico con dos componentes: una componente de sólido elástico a través del módulo de elasticidad de cizalla, y una componente de fluido viscoso a través de su coeficiente de viscosidad. Los polímeros de peso molecular elevado, se comportan como fluido viscoelástico: bajo pequeños esfuerzos, el comportamiento es prácticamente de sólido elástico, al tenerse grandes agrupaciones de macromoléculas; cuando se fuerza el proceso de fluir, el flujo orienta longitudinalmente las macromoléculas, y el comportamiento es prácticamente como un fluido. FLUIDO DILATANTE: su proceso de deformación continua bajo esfuerzos tangenciales es menos acusado conforme aumentan los citados esfuerzos; en un diagrama reológico su comportamiento está representado por una curva que pasa por el origen, monótona creciente, es decir, de viscosidad continuamente creciente con el aumento de la tensión tangencial aplicada. Es lo que ocurre en las emulsiones, en donde el movimiento relativo entre partículas, originado por el flujo hace que aumenten las uniones dipolares, con lo que aumenta la viscosidad.

30 25 20 15 10 5 0 0

Esfuerzo tangencial

Fluido Ideal Newtoniano Plástico de Bingham Pseudoplástico Dilatante Plástico

0.25

0.5

0.75

1

Velocidad de deformación 1.25 1.5 1.75 2

COMPORTAMIENTO REOLOGICO DE DISTINTOS FLUIDOS

Normalmente, bajo una determinada tensión tangencial, la velocidad de deformación no varia con el tiempo; pero en determinados fluidos, la velocidad de deformación puede aumentar con el tiempo: fluido reopéctico, o puede disminuir con el tiempo: fluido tixotrópico.

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Esfuerzo tangencial

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Velocidad de deformación constante

15

10

Fluidos comunes Tixotrópico

5

Reopéptico

0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

Tiempo 1.5 1.75

2

EVOLUCIÓN DEL ESFUERZO NECESARIO PARA CONSEGUIR UNA DEFORMACIÓN CONSTANTE.

4.5.3. EFECTO DE LA TEMPERATURA SOBRE LA VISCOSIDAD. El efecto de la variación de temperatura sobre la viscosidad, es totalmente distinto en gases y en líquidos, por la distinta estructura molecular, en cuanto a distancias y fuerzas intermoleculares: los gases tienen grandes recorridos libres medios como consecuencia de sus altas distancias intermoleculares, y en los líquidos el recorrido libre medio es bajo, debido a altas fuerzas intermoleculares y bajas distancias intermoleculares. El aumento de temperatura da lugar a un aumento del movimiento molecular y a un aumento de las distancias intermoleculares. En el caso de los gases, el aumento de temperatura fundamentalmente hace aumentar el intercambio de energía entre moléculas, con lo que los efectos viscosos de transmisión de cantidad de movimiento se ven aumentados, es decir hay un aumento de viscosidad; el otro efecto de aumento de distancias intermoleculares no es importante, por el hecho de que en gases estas distancias ya son de por si muy altas. En el caso de los líquidos, el aumento de temperatura aumenta la separación molecular, disminuyendo las interacciones entre las moléculas, con lo que hay una disminución de transmisión de cantidad de movimiento y con ello de viscosidad. Es decir, el comportamiento de la viscosidad ante la temperatura es totalmente diferente en gases y en líquidos: en gases un aumento de temperatura hace aumentar la viscosidad, y en líquido un aumento de temperatura hace disminuir la viscosidad. Para evaluar la dependencia de la viscosidad con la temperatura se siguen las siguientes expresiones empíricas:
⎛ T ⎞ µ = µ 0 ⎜ ⎟ ; aire: n = 0.67 ⎜T ⎟ ⎝ 0⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
3/ 2 n -para gases:

ecuación exponencial:

⎛ T ecuación de SUTHERLAND: µ = µ 0 ⎜ ⎜T ⎝ 0

T0 + S ; aire: S = 110 K T+S

-para líquidos:

⎛ µ ⎞ ⎛ T ⎟ ⎜ ecuación exponencial: ln⎜ ⎜ µ ⎟ = a + b⎜ T ⎝ 0⎠ ⎝ 0

⎞ ⎛ T ⎟ + c⎜ ⎟ ⎜T ⎠ ⎝ 0

⎞ ⎟ ; agua: a = -1.94; b = -4.80; c = 6.74. ⎟ ⎠

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4.5.4. UNIDADES DE VISCOSIDAD. Las dimensiones de la viscosidad absoluta son: [µ] = ML-1T-1; en el S.I. las unidades de viscosidad serán por lo tanto de kg/(m s). A partir de la ley de Newton de viscosidad, se puede ver que la viscosidad es producto de una tensión por un tiempo, con lo también se puede expresar la unidad de viscosidad en el SI como Pa s. En el sistema CGS, las unidades de viscosidad son g/(cm s), que se denomina poise (P), en honor a Jean L. POISEUILLE, que estableció la ecuación de medida experimental de la viscosidad, a partir de la caída de presión en flujo laminar en tuberías. Debido a que la viscosidad del agua a 1 atm y 20ºC es del orden de 0.01 P, es decir un centipoise, es usual este término como unidad de viscosidad absoluta. El cociente entre la viscosidad absoluta y la densidad, se denomina viscosidad cinemática. Las dimensiones de la viscosidad cinemática son: [ν] = L2T-1, con lo que en el SI las unidades son: m2/s. En el sistema CGS la unidad es el cm2/s que se denomina stokes (St) en honor a George G. STOKES, que estableció en el estudio de la fuerza de arrastre de un fluido sobre una esfera, la ecuación que determina la viscosidad cinemática en función de la fuerza de arrastre, de la velocidad y del diámetro de la esfera (para Re100ºC), 20, 30, 50. Los aceites monogrado tienen un índice de viscosidad bajo, con lo que fuera del rango de temperatura de utilización su viscosidad varia mucho; en cambio los aceites multigrado tienen índices de viscosidad altos, con lo que mantienen su viscosidad prácticamente constante en el rango de operación del aceite motor, así un aceite monogrado para usar solo en invierno sería un SAE 20W, un monogrado para usar solo en verano será un SAE 50; y un multigrado para usar en todo tiempo será un SAE 20W50.

La organización internacional de estandarización ISO, ha establecido una clasificación de los aceites de automoción, en donde el grado ISO correspondiente es el valor de la viscosidad cinemática a la temperatura de norma; así un ISO 80, tiene una viscosidad de 80 cSt.

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5. PROBLEMAS.
1. Un globo lleno de hidrógeno deberá expandirse hasta formar una esfera de 20 m de diámetro cuando alcance la altura de 30 km en la que la presión absoluta es de 1100 Pa y la temperatura de -40°C. Si en la tela del globo no se desarrolla esfuerzo, ¿qué volumen de hidrógeno deberá introducirse en éste, al nivel del suelo, en donde la presión absoluta es de 101.3 kPa y la temperatura de 15°C? [Respuesta: 56.2 m3] 2. Calcúlese la densidad del aire cuando la presión absoluta y la temperatura son respectivamente 140 kPa y 50°C, siendo R = 287 J/kg K. [Respuesta: 1.51 kg/m3] 3. A ocho kilómetros bajo la superficie del océano, la presión es de 81.7 MPa. Determínese el peso específico del agua de mar a esta profundidad, si el peso específico de la misma en la superficie es de 10.06 kN/m3 y su módulo volumétrico de elasticidad promedio es 2.34 GPa. Supóngase que g no varía muy apreciablemente. [Respuesta: 10.41 kN/m3] 4. Bajo una presión absoluta de 101.3 kPa y a temperatura de 20°C, la viscosidad absoluta de cierto gas es 2 10-5 Pa s y la viscosidad cinemática es de 15 mm2/s. Tomando la constante universal como 8310 J/(kmol K) y suponiendo que el [Respuesta: 32.06 kg/kmol] gas es "perfecto", calcúlese su "peso molecular" aproximado. 5. Un vástago hidráulico de 200 mm de diámetro y 1.2 m de longitud se mueve completamente dentro de un cilindro concéntrico de 200.2 mm de diámetro, y el huelgo anular está lleno con un aceite de densidad relativa 0.85 y viscosidad cinemática 400 mm2/s. ¿Cuánto vale la fuerza viscosa que resiste al movimiento del vástago cuando éste se desplaza a 120 mm/s? [Respuesta: 307.6 N] 6. El espacio entre dos paredes grandes, planas y paralelas, separadas entre sí 25 mm, está lleno con un líquido de viscosidad absoluta de 0.7 Pa s. Dentro de este espacio se tira de una placa delgada plana de 250 mm x 250 mm con una velocidad de 150 mm/s y a una distancia de 6 mm desde una pared, manteniéndose la placa y el movimiento paralelos a las paredes. Suponiendo variaciones lineales de la velocidad entre la placa y las paredes, determínese la fuerza ejercida [Respuesta: 1.439 N] por el líquido sobre la placa. 7. Una película uniforme de aceite de 0.13 mm de espesor, separa dos discos, ambos de 200 mm de diámetro, montados coaxialmente. Despreciando los efectos de borde, calcúlese el par de torsión necesario para hacer girar a uno de los discos en relación al otro a una velocidad de 7 rev/s, si el aceite tiene una viscosidad de 0.14 Pa s. [Respuesta: 7.44 N m] 8. ¿En cuánto excede la presión en un chorro cilíndrico de agua de 4 mm de diámetro a la presión de la atmósfera que lo rodea, si la tensión superficial del agua vale 0.073 N/m? [Respuesta: 36.5 Pa] 9. ¿Cuál será el ascenso capilar aproximado del agua en contacto con el aire (tensión superficial 0.073 N/m) en un tubo limpio de vidrio de 5 mm de diámetro? [Respuesta: 5.95 mm] 10. ¿Cuál será el ascenso capilar aproximado del mercurio (densidad relativa 13.56, tensión interfacial 0.377 N/m, ángulo de contacto de aproximadamente 140°) en contacto con agua en un tubo limpio de vidrio de 6 mm de diámetro? [Respuesta: -1.564 mm] (Nota: Al moverse el mercurio desplaza agua, cuya densidad no es despreciable.)