INTRODUCERE Materialul de faţă reprezintă o sinteză a cursului care se predă la disciplina „Matematici aplicate în economie ” în primul an de studiu.

SCOP SI OBIECTIVE Are ca obiect bazele matematicilor superioare clasice (elemente de algebră liniară şi de programare liniară, analiza matematică, teoria probabilităţilor şi statistică matematică) cât şi bazele matematicilor financiare şi actuariale (elemente de gestiunea optimă a stocurilor, teoria aşteptarii, teoria grafurilor, matematici financiare şi actuariale) Totodată, prin structura şi conţinutul cursului, s-a urmărit ca studenţii să dobândească baza matematică de înţelegere şi instrumentele operaţionale (teorii operaţionale şi algoritmi) pentru celelalte discipline: economie, informatică, managementul firmei, statistică micro şi macroeconomică, macroeconomie, finanţe şi contabilitate etc., discipline care sunt puternic matematizate. De asemenea studentul trebuie să capete deprinderea de a modela fenomenele economice cu caracter determinist sau aleator în scopul fundamentării rapide a deciziilor optime. Materialul teoretic expus este ilustrat cu exemple acolo unde înţelegerea noţiunii necesită acest lucru. Având în vedere necesitatea apropierii structurilor teoretice matematice de terminologia economică şi totodată de necesitatea implementării teoriei în cursurile specifice modulului economic, au fost inserate probleme concrete din sfera economico- financiară şi precum şi studii de caz la aspectele care se pretează.
CERINTE SI PRECIZARI Materialul expus în acest curs sinteză nu acoperă în detaliu întregul conţinut, dar expunerea detaliată a temelor pe capitole face posibilă completarea sa pe baza recomandărilor bibliografice. Evaluarea cursanţilor se face in două examene şi are drept scop verificarea însuşirii noţiunilor teoretice dar şi a deprinderilor practice de lucru cu ele, prin aplicaţii axate în general pe algoritmi şi modele matematice cu conţinut economic.
TEMATICA CURSULUI
Matematici aplicate in economie

CAP.I Elemente de algebră superioară cu aplicaţii în economie

Spaţii vectoriale ; organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale

Definiţie, exemple.
Dependenţa şi liniar independenţa sistemelor de vectori. Baza şi dimensiunea spaţiului.
Izomorfism de spaţii liniare;- Subspaţii liniare
Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei; Metode iterative de calcul: Gauss Jordan. Sisteme de ecuaţii liniare Aplicaţii la studiul spaţiilor vectoriale: baza, schimbarea bazei. Aplicaţii la metode numerice de calcul: metoda eliminarii complete Gauss Jordan. Sisteme de ecuaţii liniare (aplicaţii pregatitoare pentru algoritmul Simplex) ▪ Operatori liniari; conţinut economic
Nucleul şi imaginea unui operator liniar.
Operaţii cu operatori liniari, matricea ataşată unui operator, modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.
Vectori şi valori proprii; diagonalizarea unui operator. Aplicaţii la reprezentarea matricială a operatorilor. Exemple de activităţi ale agenţilor economici descrise prin operatori. ▪ Funcţionale liniare

Funcţionale liniare, biliniare, forme pătratice, expresia canonică.

Aducerea la forma canonică; procedee(metoda Jacobi, Gauss, vectorilor şi valorilor proprii). Aplicaţii la vectori şi valori proprii; diagonalizarea unui operator. Teoreme Perron – Frobenius – importanţa în analiza economică. ▪ Organizarea ca spaţii euclidiene, normate, metrice – suport matematic de analiza structurala pentru sisteme economice
Produs scalar, normă, distanţă
Ortogonalizare, procedeul Gram - Schmidt
Exemple de modificare de structură a activităţilor economice Aplicaţii la procedeul de ortogonalizare Gram - Schmidt

CAP.II Elemente de teoria grafurilor pentru fundamentarea deciziei ▪ Grafuri: concepte, definitii; matricea arcelor şi matricea drumurilor; puterea de atingere a unui varf,teorema Chen, algoritmul de determinare a drumurilor hamiltoniene în grafuri fără circuite. Algoritmul Kaufmann (produse latine). ▪ Drumuri minime sau maxime intr-un graf: algoritmul Bellman - Kalaba, algoritmul Ford; algoritmul Dantzig. ▪ Retele de transport: flux maxim intr-o retea; algoritmul Ford-Fulkerson. Aplicatii in fundamentarea deciziei. Problema afectarii optime: algoritmul Gomory. Arbori si arborescente Kruskal. Analiza drumului critic.

Aplicaţii la teoria grafurilor: algoritmi.

CAP.III Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară ▪ Problema de programare liniară (ppl); formularea problemei; modelul matematic
Forme fundamentale ale PPL, soluţii, clasificare; interpretarea economică a PPL.
Modele ale PPL pentru probleme de natură economică, exemple.
Determinarea soluţiilor de bază nenegative ale unui sistem de ecuaţii liniare şi determinarea unui criteriu de ieşire din bază. ▪ Algoritmul simplex primal
Teoreme (criteriul de optim, criteriul de intrare în bază, criteriul de optim infinit, criteriul de ieşire din bază),
Enunţarea algoritmului.
Determinarea unei baze primal admisibile. Metoda variabilelor artificiale.
Degenerare şi ciclare; algoritmul Simplex revizuit. Reoptimizari si parametrizari. Aplicaţii la rezolvarea PPL prin algoritmul simplex primal. ▪ Dualitate in P.P.L.
Algoritmul Simplex dual (pentru o bază dual admisibilă).
Determinarea unei baze dual admisibile.
Teoreme de dualitate şi conţinutul economic al variabilelor duale (preţuri umbră) Aplicaţii la rezolvarea PPL prin algoritmul Simplex dual; reoptimizari si parametrizari. Studii de caz în managementul financiar contabil. ▪ Problema de transport; decizii optime in transport
Formularea problemei de transport şi a modelului său matematic.
Algoritmul general pentru problema duală problemei de transport, soluţii de baza iniţiale, criterii de optimizare.
Metode pentru determinarea unei sluţii primal admisibile (colţului NV, elementului minim din matricea costurilor unitare). Aplicaţii la problema transporturilor.

CAP.IV Elemente de analiza matematica cu aplicatii in fundamentarea deciziei economice optime ▪ Şiruri şi serii numerice si de functii
Criterii de convergenţă pentru serii numerice pozitive
Serii numerice remarcabile: geometrică, armonică, serii alternante.
Şiruri şi serii de funcţii, serii de puteri; serii Taylor şi serii Maclaurin. Aplicaţii la şiruri şi serii numerice remarcabile, intâlnite in matematicile financiare. ▪ Funcţii reale de mai multe variabile
Mulţimi şi puncte din Rn; vecinătăţi, caracterizarea topologică a punctelor unei mulţimi.
Funcţii de mai multe variabile reale; limite, limite iterate şi continuitate.
Tipologia funcţiilor de mai multe variabile reale în analiza matematico-economică pentru producător şi consumator: funcţii de producţie, funcţii de utilitate, funcţii de ofertă, funcţii de cerere. Functii de mai multe variabile: functii de productie, de cerere si de oferta: continuitate si indicatori; studii de caz. ▪ Derivabilitatea funcţiilor de mai multe variabile
Derivabilitatea funcţiilor de mai multe variabile.
Derivate parţiale de ordinul întâi şi de ordin superior: gradientul şi matricea hessiana – conţinut economic.
Diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile.
Interpretări economice ale derivatelor parţiale Aplicaţii la derivate partiale; Interpretări economice ale derivatelor parţiale. ▪ Derivabilitatea funcţiilor compuse
Derivate şi diferenţiale pentru funcţii compuse
Teoremele Euler pentru funţii omogene; aplicaţii în economie.
Formula Taylor pentru funcţii de două variabile. Aplicaţii la gradient si hessiana. Teorema Euler ▪ Decizii optime. Extremele funcţiilor de mai multe variabile
Extremele funcţiilor de mai multe variabile, optimizare fără restricţii (extreme libere) şi optimizarea sub restricţii (extreme condiţionate), multiplicatorii Lagrange şi Kuhn- Tucker.
Conţinutul economic: 1. decizii optime la producător în condiţii de concurenţă perfectă; formularea celor trei tipuri de probleme de decizie; 2. decizii optime la consumator: identificarea funcţiilor de cerere; 3. analiza economică: indicatorii activităţii producătorilor (indicatori marginali, de elasticitate şi de substituţie); indicatorii cererilor de consum, teoreme Slutsky pentru consumator şi pentru producător. Aplicaţii şi studii de caz la decizii optime Decizii optime la producator. Formularea conditiilor necesare de optim. Ecuatia Slutsky Decizii optime la consumator. Formularea conditiilor necesare si suficiente. Identificarea functiei de cerere. ▪ Integrabilitate
Integrale improprii, integrale cu parametru, funcţiile Euler (gama şi beta)

CAP. V Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matematica cu aplicatii in economie ▪ Evenimente aleatoere; câmp de probabilitate
Câmp de evenimente; evenimente şi operaţii cu evenimente; definiţia clasică a probabilităţii; frecvenţă relativă.
Definiţia axiomatică a probabilităţii. Proprietăţile funcţiei probabilitate.
Evenimente independente, probabilităţi condiţionate
Formule fundamentale în calculul probabilităţilor(formula de înmulţire a - probabilităţilor, formula reuniunii evenimentelor compatibile (Poincare), formula probabilităţii totale, formula lui Bayes)
Scheme clasice de probabilitate cu aplicaţii în calculele economice. ▪ Variabile aleatoare; aplicaţii în economie
Variabile aleatoare – definiţie, funcţii de repartiţie continue şi discrete, densitatea de probabilitate, variabile aleatoare independente, caracteristici numerice (momente de ordin k, momente centrate de ordin k, media, dispersia)
Vectori aleatori, repartiţii marginale, caracteristici numerice, covarianţă, coeficient de corelaţie
Funcţia caracteristică Aplicaţii la: Camp de evenimente, calculul probabilitatilor cu formulele clasice si cu schemele clasice Variabile aleatoare: operatii si indicatori; media, dispersia, covarianta si coeficient de corelatie ▪ Repartiţii clasice
Repartiţii unidimensionale discrete şi continue: repartiţi uniformă, repartiţia Poisson, repartiţia exponenţială, repartiţia normală (Gauss) repartiţia Gama, repartiţia Beta, repartiţia Student (t), repartiţia hi-pătrat (χ2). ▪ Elemente de statistică matematică; aplicaţii în economie
Noţiunea de selecţie; momente de selecţie (media şi dispersia de selecţie); legea numerelor mari; funcţia de repartiţie a selecţiei, teorema Glivenco; repartiTia mediei de selecţie; teorema limită centrală
Teoria estimaţiei, estimaţii punctuale, deplasarea, consistenţa şi eficienţa estimatorilor.
Metode de determinare a estimaţiilor pentru parametrii repartiţiilor statistice, metoda verosimilităţii maxime. Estimarea prin intervale de încredere, determinarea lor pentru medie şi dispersie în condiţii specificate.
Teste de verificare a ipotezelor statistice; tipuri de ipoteze, erori şi riscuri, formularea testelor şi fundamentarea deciziei Aplicaţii la: Distributii clasice de probabilitate: distributia Poisson, distributie normala, exponentiala, student. Folosirea tabelelor Estimatori punctuali si de interval. Verificarea ipotezelor: teste de ipoteze

CAP.VI Decizii in gestionarea optima a stocurilor ▪ Formularea modelelor matematice de gestiune optima in conditiile cererii deterministe si a cererii aleatoare, discreta, respectiv continua. ▪ Costul minim si politicile optime de gestiune corespunzatoare. Aplicatii si studii de caz.

CAP.VII Elemente de teoria asteptarii cu aplicatii in economie

▪ Formularea problemei de asteptare. Tipuri de modele. Modelul general intrare-iesire Feller. ▪ Indicatori ai proceselor de astepate. Decizii optime in procesele de asteptare: studii de caz.

CAP.VIII Matematici finaciare

▪ Dobanda simpla, scadenţa comună, scadenţa medie, procent mediu de depunere, dobanda compusa, formule de fructificare, dobanda fractionala. ▪ Plăţi eşalonate, anuităţi. Coeficienti de actualizare si de fructificare. Plăţi eşalonate fracţionare. ▪ Imprumuturi şi amortizări, rambursarea creditelor. Calcule in matematicile financiare: dobanda compusa, fractionala; rambursarea creditelor. Folosirea tabelelor financiare

BIBLIOGRAFIE
BIBLIOGRAFIE OBLIGATORIE 1. Rodica Trandafir, I. Duda - Matematici pentru economisti, vol. I si II, Editura Fundaţiei „România de Mâine”, Bucureşti 2001 2. Marilena Aura Din - Matematici pentru economişti, Editura Europolis, Constanta 2003.

BIBLIOGRAFIE SUPLIMENTARĂ

|1 |Craiu I., Mihoc Gh., Craiu V. | Matematici pentru economisti, Vol. III, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1971 |
|2 |Craiu Virgil |Teoria probabilităţilor cu exemple şi probleme, Editura Fundaţiei „România de |
| | |Mâine”, Bucureşti 1997. |
|3 |Din Marilena Aura |Matematici economice – curs anul I ( vol I şi II) – Editura Europolis, Constanţa |
| | |2000. |
|4 |Matei Ani |Curs de matematici pentru studenţii economişti, Editura Fundaţiei „România de |
| | |Mâine”, Bucureşti 1998 |
|5 |Oprescu Gh. |Matematici economice: cercetari operationale, Ed. Fundatiei |
| | |"Romania de maine", Bucuresti, 1996 |
|6 |Popescu O. si colab. |Matematici financiare, vol. I si II, Ed. Economica, Bucuresti, 1993 |
|7 |Purcaru Ion |Matematici financiare, vol. I si II, Ed. Economica, Bucuresti, 1993 |
|8 |Stanciu P., Criveanu D. |Matematici aplicate in economie, Editura Facla 1981. |

BIBLIOGRAFIE FACULTATIVĂ

|1 |Allen R.G.D. |Mathematics Economics, St. Martin's Press, 1967 |
|2 |Adams Andrew, Blomfield D. |Investment Mathematics and Statistics, Edit. Graham Trotman, 1993 |
|3 |Baumrol W. |Economic Theory and Operations Analisis Pentice Hall, New Jersey, 1990 |
|4 |Coltescu Ion, Din Marilena Aura|Matematici superioare - Probleme, Editura Muntenia, 1994 |
|5 |Constantinescu Eliodor |Modelare şi optimizare în transportul maritim, Editura Sigma 1999 |
|6 |Dantzing G.B. si colab |Programarea liniara a sistemelor mari, vol. I si II (traducere din limba engleza),|
| | |Editura Tehnica, 1990 |
|7 |Kaufmann A. | Analiza economica matematica, (traducere |
| | |din limba franceza), Editura Stiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 197 |
|8 |Lancaster K. | Analiza economica matematica, (traducere |
| | |din limba franceza), Editura Stiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 1973 |
|9 |Lennart Hjalmarson, Oprescu |Microeconomie - o abordare cantitativa, Ed. Omnia, Bucuresti, 1995 |
| |Gh., colab. | |
|10 |Leutenegger M.A. |Gestion de portefeuille et theorie des marches financiere, Edit. Economica, Paris, |
| | |1989 |
|11 |Lumby Steve |Investment appraisad and Financial Decision, Edit. Chapman Hall, Londra, 1994 |
|12 |Mizrahi and Sullivan |Mathematics for Business and Social Science - An Applied Approach, John Wiley & |
| | |Sons Inc., 1976. |
|13 |Nadejde I., Bergthaller C., |- Probleme de cercetare operationala, Ed. Academiei Romane, Bucuresti, 1971 |
| |Zidaroiu C. s.a. | |
|14 |Nica V. si colab. |Cercetari operationale cu aplicatii in economie. Teoria grafurilor si analiza |
| | |drumului critic, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 1996 |
|15 |Oprescu Gh. si colab. |- Modele dinamice ale economiei de piata. Studii de caz, vol. I si II, Ed. FF |
| | |Press, Bucuresti, 1996 |
|16 |Postelnicu T., Dinescu C., |Matematici speciale aplicate în economie, Editura Didactică şi Pedagogică, |
| | |Bucureşti 1977. |
|17 |Reza Fazlolah |- Investment Mathematics and Statistics, Edit. Graham Trotman, 1993 |
|18 |Trandafir R. |- Introducere în teoria probabilitatii, Editura Albatros, Bucuresti, 1979 |
|19 |Trandafir R., Duda |- Analiza matematica, Ed. Fundatiei "Romania de maine", Bucuresti, 1997 |
|20 |Zidaroiu |Programare liniară, Editura Tehnică, Bucureşti 1983. |

ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAŢII ÎN ECONOMIE

1. SPAŢII VECTORIALE

DEFINIţIE, EXEMPLE Definiţie. Fie ( o mulţime nevidă şi K un corp şi fie: - o lege de compoziţie internă (notată aditiv) [pic] - o lege de compoziţie externă (notată multiplicativ) [pic] Spunem că tripletul ((,+,() este spaţiu liniar (sau spaţiu vectorial peste corpul K) notat [pic] dacă: 1.[pic] formează structură de grup abelian: 2.[pic]satisface axiomele: [pic] [pic] [pic] [pic] (elementul unitate din corpul () astfel încât [pic]
Observaţie: a)dacă K este identic cu R (mulţimea numerelor reale) sau C (mulţimea numerelor complexe), atunci spaţiul vectorial peste K este real, respectiv complex; b)elementele lui ( se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari.
Exemplu:
Mulţimea [pic] cu operaţiile: [pic] [pic] defineşte spaţiul vectorial al matricilor de dimensiune mxn peste corpul K, notat (M(m,n;K), +, .)
Caz particular m=1 sau n=1 este al matricilor cu o linie sau o coloană.
Pentru m=1 [pic] cu operaţiile [pic] [pic] [pic] [pic]
Vectorii se numesc vectori linie, iar spaţiul vectorial peste corpul K, notat (Kn,+,.) se numeşte spaţiu aritmetic (pentru K=R spaţiul aritmetic real şi pentru K=C spaţiul aritmetic complex).
Pentru n=1 se obţine analog, spaţiul vectorilor coloană.

Dependenţa şi liniar independenţa sistemelor de vectori. Baza şi dimensiunea spaţiului Definiţe a) Fiind daţi vectorii {x1,(,xn} şi scalarii k1,(,kn, vectorul x=k1 x1+ k2 x2+ (+kn xn se numeşte o combinaţie liniară a vectorilor xi, i=[pic]
Se pune problema obţinerii tuturor vectorilor spaţiului ca şi combinaţii liniare, dar folosind un număr cât mai mic de vectori generatori. Această problemă conduce la necesitatea introducerii noţiunii de bază. Definiţie Vectorii x1, x2, (,xn se numesc liniar independenţi dacă pentru orice ki(K, [pic]
Exemplu În [pic] vectorii [pic] sunt liniar independenţi, unde [pic]. Definiţie. Vectorii x1, x2, (,xn se numesc liniar dependenţi dacă nu sunt liniar independenţi, adică există ki(K, nu toţi nuli, astfel încât [pic] Definiţie Sistemul de vectori [pic] se numeste sistem de generatori pentru ( dacă orice vector din ( este o combinaţie liniară finită de vectori din G, i.e. [pic] Definiţie Un sistem de vectori [pic] formează o bază pentru ( dacă: -B este sistem de vectori liniar independenţi -B este sistem de generatori pentru (
Exemplu . În [pic], mulţimea [pic], unde[pic] formează bază, numită baza canonică. Definiţie Spaţiul vectorial ( se numeşte finit dimensional dacă are o bază finită.
În cele ce urmează considerăm doar spaţii liniare de dimensiune finită. Propoziţie Într-un spaţiu vectorial, orice vector se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de vectori ai bazei.
Demonstraţie: fie ( spaţiu vectorial cu baza[pic], x ( (. Cum E este bază, rezultă că E este sistem de generatori si putem scrie:
[pic]
Definiţie a1,(,an se numesc coordonatele vectorului x în baza E şi vom nota [pic]
Exemplu În [pic], vectorul [pic] este scris cu coordonatele în baza canonică E
[pic]
Propoziţie [pic] spaţiu vectorial cu baza [pic] şi vectorii [pic] de coordonate [pic]. Considerăm matricea [pic] ataşată sistemului de vectori dat. În aceste condiţii, sistemul de vectori [pic] este liniar independent dacă şi numai dacă rang A=m. Propoziţie ( spaţiu liniar finit dimensional ( (() 2 baze au acelaşi număr de vectori. Definiţie Se numeşte dimensiune a unui spaţiu vectorial finit dimensional (, numărul de vectori al unei baze. Propoziţie Într-un spaţiu vectorial de dimensiune n, orice sistem de n vectori liniar independent formează o bază. Propoziţie Într-un spaţiu vectorial orice sistem de vectori liniar independent poate fi completat până la o bază a spaţiului.
Exemplu Fie vectorul [pic] scris în baza canonică a lui R3. Să se scrie acest vector în baza [pic]
Soluţie: [pic]
[pic] i.e. sistemul liniar [pic], unde cu M(E,F) s-a notat matricea de trecere de la baza canonică E la o altă bază F , formată prin completarea ei pe coloane cu vectorii bazei F. Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei; Metode iterative de calcul. În spaţiul ( considerăm bazele [pic] şi coordonatele[pic]cunoscute. Se caută a se determina [pic]. [pic] Definiţie Se numeşte matricea de trecere de la baza E la baza F, matricea

[pic] (are drept coloane coordonatele vectorilor f exprimate in baza E.
Notăm [pic] coordonatele vectorului x în baza F.
[pic]. Cum scrierea într-o bază este unică, rezultă [pic]. În consecinţă [pic] sau scris matricial: [pic]
În [pic] presupunem [pic], E baza canonică şi [pic] alte două baze din Rn. [pic] şi [pic] unde [pic] obţinem: [pic] Considerăm util în astfel de calcule matriciale, cunoaşterea unor procedee iterative de calcul, pe care le inserăm mai jos. Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Metoda eliminarii complete ( Gauss Jordan) permite rezolvarea unui sistem de,,n” ecuatii cu,,n”necunoscute compatibil,determinarea rangului şi a matricei inverse. Sistemul[pic] este adus prin transformări elementare la forma echivalentă: [pic]
Se aplică sistemului o transformare elementară T , astfel incât în etapa i, matricea ataşată sistemului să aibă coloana i egală cu cea corespunzatoare din matricea unitate I. a[pic] se numeste pivotul transformării. Ecuaţia i se împarte la pivot, iar celelalte(n-1) se înlocuiesc cu ecuaţia echivalentă, rolul transformării fiind de a anula coeficienţii lui xi în aceste ecuaţii, ceea ce implică urmatoarele etape la o iteraţie : -linia pivotului se împarte la pivot; -coloana pivotului se completeaza cu 0; -primele (i-1)coloane ramân neschimbate; -elementele celorlalte coloane se calculează cu regula pivotului.
Schematic, regula pivotului sau a dreptunghiului este: p…..a b…... x ;x devine x’=(px-ab)/p =x[pic]
Pentru linia pivotului [pic]se fac următoarele operaţii:
[pic] k=[pic] ,[pic]k[pic];[pic]
[pic]; [pic] sugerate de schemele: linia(i) [pic] [pic] [pic] [pic] linia (l) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Procedeul descris are următoarele etape:
Fie:A[pic]M (n, R), det.A[pic]0 şi sistemul Ax=b , x,b[pic]Rn. Pas 1 B0 = (A(0)/ I(0) /b(0)) cu A(o)=A , I(0)=I ,b(0)=b, i=0 Pas 2 Se calculeaza: Bi+1=( A(i+1)/ I(i+1)/b(i+1) ) din Bi , astfel: Elementul din pozitia (i,i) diferit de 0 se numeste pivotul transformării. Matricea Ai+1=T(Ai) , T-transformarea elementară de pivot p=[pic] Pas 3 i devine i+1 şi se trece la pas 2. Procedeul se incheie pentru i=n. Se obţine Bn =(A(n) = I / I(n) / b(n) ) Bn=( T1T2…..Tn)B0=(MA/MI/Mb) ; dar MA=I deci[pic] şi deci Bn=(I/A-1/A-1b=x ) ceea ce înseamnă că în acest tablou se regăsesc atât inversa matricii A, cât şi soluţia sistemului. Izomorfism de spatii liniare Definiţie Fie[pic] , [pic] spaţii liniare (vectoriale) peste un corp K. Se numeşte izomorfism de spaţii liniare, o funcţie f:[pic] cu proprietăţile : a) f este bijectivă; b) f este liniară: [pic] i.e. f aditivă [pic] i.e. f omogenă Definiţie Două spaţii liniare [pic] peste corpul K , se numesc izomorfe dacă există un izomorfism de spaţii liniare [pic] (Notaţie X[pic]Y)

Teorema de izomorfism a spaţiilor liniare finit dimensionale Orice două spaţii liniare peste acelaşi corp K,care au aceeaşi dimensiune ,sunt izomorfe.
Observaţie Relaţia de izomorfism (() pe mulţimea spaţiilor liniare este o relaţie de echivalenţă.

Consecinţe [pic]. În particular , dacă dim[pic] şi orice enunţ adevărat pentru Rn este adevărat şi pentru X Subspaţii liniare Definiţie Fie [pic] spaţiu liniar. O submulţime Y(X se numeşte subspatiu liniar al lui X dacă[pic] este spaţiu liniar faţă de operaţiile din X.
Observaţie Y(X subspaţiu liniar ( Y este parte stabilă faţă de cele două operaţii din X. Propoziţie Y(X ,subspatiu al lui X , finit dimensional. Au loc proprietăţile : i) dim Y[pic]dim X ii) dim Y=dimX (X=Y

Operaţii cu subspaţii

Propoziţie Dacă Yi ,i(I sunt subspaţii ale lui X atunci [pic]este un subspaţiu al lui X.
O reuniune de subspaţii liniare nu este, în general, subspaţiu liniar. Definiţie Fie[pic]. Se numeşte subspaţiu generat de mulţimea de vectori A (acoperirea liniară a lui A), mulţimea tuturor combinaţiilor liniare cu vectori din A. Notăm L(A) sau Sp(A) L(A)=Sp(A)=[pic] Definiţie Fie x1,…,Xn subspaţii linire ale lui X. Se numeşte suma acestor subspaţii mulţimea [pic] Propoziţie Mulţimea X1+…+Xn este subspaţiu liniar al lui X. Teorema dimensiunii Dacă X1,X2 subspaţii liniare ale lui X (sp.fin.dim.), atunci dim(X1+X2) = dimX1+dimX2-dim(X1(X2) Definiţie Dacă Xi,[pic]atunci suma acestor subspaţii se numeşte suma directă. [pic]
Exemplu: R4[x] sp.polinoamelor de grad cel mult 4 cu coeficienţi în R [pic]

2. OPERATORI LINIARI PE SPAŢII VECTORIALE

NUCLEUL şI IMAGINEA UNUI OPERATOR LINIAR Fie [pic] spaţii vectoriale peste acelaşi corp K.

Definiţie O funcţie [pic] se numeşte operator liniar dacă satisface: [pic]
Observaţie Proprietăţile 1 şi 2 din definiţie se pot înlocui cu: [pic] Exemple: 1. [pic] operator identitate pe X 2. [pic] operatorul de derivare 3. [pic] Propoziţie Operatorul liniar [pic] are proprietăţile: a) [pic] b) [pic] c) [pic] Notăm L[pic] mulţimea operatorilor liniari din spaţiul X în spaţiul Y.
Pe această mulţime introducem operaţiile: - adunarea operatorilor (operaţie bine definită, i.e. [pic] este operator liniar) [pic] L[pic] L[pic] [pic] - înmulţirea operatorilor cu scalari (op bine def, i.e. [pic] este operator liniar) [pic] L[pic] L[pic] [pic]
Observaţie (L[pic]) estespaţiu vectorial peste corpul K. - compunerea operatorilor (op bine def: U ○ T operator liniar)
|[pic] L[pic] |[pic](( |U ○ T ( L[pic] [pic] |
| [pic] L[pic] | | |

- inversarea operatorilor (op bine definită: T-1 operator liniar) [pic] L[pic], T funcţie bijectivă [pic] L[pic] a.î.[pic] Definiţie Se numeşte nucleul operatorului liniar T, mulţimea notată: [pic] Definiţie Se numeşte imaginea operatorului liniar T mulţimea notată: [pic] Propoziţie ker T este subspaţiu vectorial al lui X, iar ImT este subspaţiu liniar al lui (. Definiţie Se numeşte defectul lui T , dimensiunea subspaţiului kerT, iar rangul lui T, dimensiunea subspaţiului ImT Propoziţie [pic], X spaţiu de dimensiune finită [pic]
|Observaţie |[pic] |[pic] |
| |X finit dimensional | |
| |T bijecţie | |

Matricea ataşată unui operator, modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.

Fie [pic]. [pic] o bază în X, [pic] o bază în Y.
Fie [pic] cu coordonate în G : [pic] Definiţie Matricea [pic] se numeşte matricea operatorului T în bazele E şi G. Notăm A sau AT Se obţine astfel o corespondenţă între [pic] mai precis un izomorfism F:[pic], [pic] şi [pic] [pic] Scrierea operatorului T cu ajutorul matricii ataşate AT
[pic]
[pic] ( [pic]
Adunarea operatorilor: [pic] ; E, G baze în X şi Y ; [pic] matricile ataşate. [pic], [pic] [pic] [pic] i.e. [pic]
Înmulţirea operatorilor cu scalari: [pic], ((K [pic] [pic][pic] Modificarea matricii unui operator la schimbarea bazelor.
[pic] cu A matricea ataşată în bazele E şi G. În spaţiul X trecem de la baza E la baza F [pic](1) unde [pic]
În spaţiul Y trecem de la baza G la baza H: [pic](2) unde [pic]
|[pic] |[pic]|[pic] |
|[pic] | | |

[pic]
[pic], A = matricea ataşată lui T în baza E şi facem o schimbare de bază de la E la F.
Rezultă că noua matrice ataşată lui T în baza F este: [pic]

Vectori şi valori proprii, diagonalizarea unui operator

Fie [pic] Definiţie Se numeşte vector propriu al lui T, un vector x≠0 pentru care (() ((K a.i. T(x)=(x
( se numeste valoare proprie corespunzatoare vectorului propriu x. Definiţie Multimea [pic]se numeşte subspatiu propriu corespunzător lui ((K Propoziţie X( este subspatiu liniar al lui X , X((X.
Algoritmul de determinare a valorilor şi vectorilor proprii unui operator liniar sau matricii asociate lui.
Fie dimX=n şi E={e1,…,en} baza în X. AT=matricea operatorului T în baza E. [pic]
[pic]este un sistem liniar omogen de ,,n” ecuatii cu,,n”necunoscute xi ,[pic] si admite soluţii nenule( det(A-(I)=0 care se numeşte ecuaţia caracteristică a operatorului T Soluţiile acestei ecuaţii sunt valorile proprii ale operatorului T.
P(()=det(A-(I) se numeşte polinomul caracteristic lui T. Acesta e un polinom de grad ,,n” cu coeficienţi în K , iar dacă K(C(P(() are ,,n” radacini(C este corp algebric închis). Propoziţie Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte două câte două sunt liniar indepedenti.
Consecinţă Dacă operatorul T are n valori proprii distincte, atunci există o bază în care matricea sa are formă diagonală şi pe diagonală se găsesc valorile proprii. Definiţie O matrice patratică are forma diagonală dacă aij=0 (() i(j [pic]
Definiţie Un operator liniar este diagonalizabil dacă există o bază în care matricea sa are forma diagonală. Atunci o matrice patratică A este diagonalizabilă dacă există o matrice C nesingulară, astfel încât C-1AC sa fie o matrice diagonală. 3. FUNCŢIONALE LINIARE; BILINIARE; FORME PĂTRATICE Funcţionale liniare, funcţionale biliniare, forme pătratice Fie X/K spaţiu vectorial Definiţie Se numeşte funcţională o funcţie [pic]. Definiţie O funcţională se numeşte liniară dacă [pic]
Exemplu: [pic] Definiţie Mulţimea [pic] se numeşte spaţiul dual al lui X.
Observaţie Cum K este spaţiu vectorial peste corpul K o funcţională liniară este de fapt un operator liniar.
Fie X/K, Y/K două spaţii liniare peste acelaşi corp K. Definiţie Funcţionala [pic] se numeşte funcţională biliniară dacă este liniară în ambele argumente, adică: 1) [pic] 2) [pic] şi analog pentru variabila de pe poziţia a II-a, sau, echivalent cu cele 4 condiţii din definiţie: [pic] [pic]
Exemple:
1) [pic]
2) [pic][pic] Matricea funcţionalei biliniare în bazele E şi G.
Fie [pic]. [pic] o bază în X, [pic] o bază în Y.
Pentru [pic]
Fie [pic]
[pic]
Definiţie Matricea [pic] se numeşte matricea funcţionalei biliniare în bazele E şi G.
Deci [pic]
Modificarea matricii unei funcţionale biliniare la schimbarea bazelor
În X presupunem trecerea de la E la baza [pic] cu matricea [pic] [pic]
În Y analog de la G la baza [pic] cu matricea [pic] [pic]
[pic]=
=[pic][pic]. Deci [pic] iar[pic]
Dacă X=Y şi E=G, H=L rezultă [pic] Definiţie O funcţională biliniară [pic] se numeşte simetrică dacă [pic]
Propoziţie f este o funcţională biliniară simetrică dacă şi numai dacă matricea ei într-o bază a lui X este simetrică i.e. [pic].
Observaţie: Cu orice funcţională biliniară [pic] se poate defini o funcţională biliniară simetrică [pic]
Fie [pic] o funcţională biliniară simetrică. Definiţie Se numeşte funcţională pătratică (formă pătratică) restricţia unei funcţionale biliniare simetrice la diagonala produsului cartezian, (. [pic]
Dacă [pic] bază a lui X şi [pic], funcţionala pătratică devine: [pic][pic]
[pic] este matricea ataşată funcţionalei pătratice V în baza E.
Funcţionala biliniară din care provine V, se numeşte funcţionala polară a formei pătratice V. Ea se obţine astfel:
[pic] deci [pic]
Modificarea matricii unei funcţionale pătratice la schimbarea bazei se face analog cu cea a unei funcţionale biliniare.
Fie baza E(G[pic]. [pic]. [pic]
[pic][pic] matricea ataşată lui V în baza G Definiţie Despre o formă pătratică spunem că are expresia canonică dacă [pic] sau matricea ataşată ei are forma diagonală: [pic]
Baza în care are loc această scriere se numeşte o bază canonică pentru funcţionala V.

Aducerea la expresia canonică a unei forme pătratice; procedee(metoda Gauss, Jacobi, vectorilor proprii);

1. Metoda Gauss
Pentru orice formă pătratică există o bază canonică G în care forma ei este [pic] cu [pic]. Fie exemplele:
a) Cazul [pic]. [pic] [pic][pic][pic] [pic]
b) Cazul [pic]Fie forma pătratică [pic] Atunci cu transformarea
[pic]; [pic] [pic][pic] cu transformarea:[pic].
2) Metoda Jacobi
Teorema Dacă în baza E forma pătratică V are matricea [pic] cu
[pic]
atunci există o bază G în care forma pătratică are expresia canonică dată de: [pic] cu [pic] 4. ORGANIZAREA CA SPAŢII EUCLIDIENE, NORMATE, METRICE
Fie X spatiu vectorial real Definiţie Funcţia : X∙X→R se numeşte produs scalar pe multimea X dacă: 1) = ,[pic][pic](simetrie) 2) [pic](aditivitate în prima variabilă) 3) [pic](omogenitate în prima variabilă) 4) [pic]
Observaţie: Produsul scalar este liniar şi în a II-a variabilă şi este o functională biliniară ,pozitiv definită.
Exemple: 1) [pic] 2) X=C[pic][pic] Definiţie Se numeşte spaţiu euclidian un spaţiu pe care s-a definit un produs scalar.

Propoziţie (Inegalitatea Cauchy Buniakovski) Intr-un spatiu euclidian X ,are loc relaţia: [pic]
Exemple:
[pic] Definiţie Funcţia: [pic] se numeşte normă a spatiului euclidian. Norma are urmatoarele proprietăţi: N1) [pic] N2) [pic] N3) [pic] ( inegalitatea triunghiului)
Observaţii: 1) [pic] se numeşte norma indusă de produsul scalar.
2. 2) Din inegalitatea Cauchy Buniakovski se poate defini unghiul dintre x şi y.

[pic] , [pic] Definiţie Vectorii x si y se numesc ortogonali dacă: [pic] Propoziţie Un sistem de vectori nenuli {x1,….xm} şi ortogonali doi cate doi este liniar independent Definiţie O bază a spatiului X se numeşte ortogonală(vectorii ei sunt ortogonali doi cate doi. Propoziţie Într-un spaţiu finit dimensional X există o baza ortogonală.
Procedeul Gramm Schimdt de ortogonalizare a unei baze oarecare, [pic] - [pic] - [pic]şi determinăm [pic] astfel încât - [pic]
Presupunem că s-au construit astfel vectorii g1,g2,…gk-1 nenuli şi ortogonali doi câte doi.
Construim [pic] determinând [pic] astfel încât [pic].
[pic] sau [pic] si [pic]
Se obţine baza G={g1,…,gn}cu vectorii ortogonali doi câte doi.
[pic];
Definiţie Funcţia [pic] [pic]se numeşte distanţă în X. Un spaţiu vectorial pe care s-a desfinit o distanţă se numeşte spaţiu metric. Funcţia distantă are propretăţile: P1) [pic] P2) [pic] P3) [pic]
Exemplu: În Rn distanţa între vectorii x,y este [pic] iar norma [pic] Pt.n=2,n=3 se obţine distanţa obişnuită din geometria euclidiană.

II. FUNDAMENTAREA OPTIMĂ A DECIZIILOR PRIN PROGRAMARE LINIARĂ

5. PROBLEMA DE PROGRAMARE LINIARĂ (PPL) Forme fundamentale ale PPL, soluţii, clasificare; interpretarea economică a PPL.
O problemă de programare matematică reprezintă determinarea optimului (maximului sau minimului) unei funcţii de variabilă vectorială care îndeplineşte anumite condiţii (restricţii, legături) de tip inecuaţii sau ecuaţii, precum şi condiţii de nenegativitate ale variabilelor funcţiei. Dacă toate funcţiile care intervin în formularea problemei de programare matematică sunt liniare, atunci problema se numeşte problemă de programare liniară (PPL); în caz contrar se numeşte problemă de programare neliniară. 1) Forma standard – este cea care contine restrictii de tip ecuatii. – optim z=[pic] -restricţii de tip egalitate: [pic] - condiţii de nenegativitate:[pic]
Matricial forma standard poate fi exprimată astfel : [pic] unde [pic], [pic] Observaţii: - [pic]- se numeste funcţie obiectiv ( funcţia economică) - spaţiul Rn al vectorului X ,respectiv C - se numeşte spaţiul activităţilor - vectorul [pic] se numeşte vectorul resurselor - spatiul Rm se numeşte spaţiul resurselor.

2) Forme canonice [pic][pic] - [pic] care verifică sistemul de restricţii se numeşte soluţia problemei (soluţie posibilă); - o soluţie [pic] a restricţiilor care verifică condiţiile de nenegativitate se numeşte program sau soluţie admisibilă; - programul [pic] pentru care se realizează extremul solicitat al funcţiei se numeşte program optim. Fie problema de programare liniară în forma standard. Se poate ca restricţiile de tip inegalitate să fie aduse la forma unor restricţii de tip egalitate prin adunarea (sau scăderea) în unul din termenii inegalităţii a unui termen numit variabilă ecart sau variabilă de compensare.
Presupunem rang A =m şi mm ,rang A=m, A=(V1, V2 ,… Vn),[pic] ; [pic]este solutia sistemului ,daca: [pic] Definitie: Vectorul [pic] este o solutie de baza a sistemului ,daca vectorii [pic] corespunzatori coordonatelor nenule ale sale sunt liniari independenti. Solutia de baza se numeste nedegenerata daca are chiar m coordonate nenule ,in caz contrar solutia se numeste degenerata.
Daca B baza a matrici A ,deci a spatiului Rm ,notam: S- matricea formata din vectorii coloana ale lui A care nu fac parte din baza. XB – variabilele principale (bazice) care insotesc vectorii din baza B XS - variabilele secundare ( nebazice) Sistemul se poate scrie: BXB+SXS=D si inmultind la stanga cu B-1 se obtine solutia sistemului :
XB= B-1 D-(B-1S)XS. Pentru XS=0[pic] XB = B-1 D=DB ( coordonate vectorului D in baza B) [pic]=[pic]
Solutia particulara obtinuta din DB completata cu 0 pentru variabilele secundare este o solutie de baza a sistemului si se numeste solutie de baza corespunzatoare bazei B.
Aceasta este nedegenerata pentru componentele DB nenule si degenerata in caz contrar.
Deci fiecarei baze din A îi corespunde o solutie de baza . Reciproc nu este adevătat. O solutie de baza poate corespunde mai multor baze. Numarul maxim de solutii de baza ale unui sistem este combinari de n luate cate [pic].
Exprimand vectorii coloană [pic]ai matricei A in functie de vectorii bazei B, se obtine o noua matrice AB, numita matricea redusa a matricii A corespunzatoare bazei B. [pic].
Astfel , coloanele lui AB sunt coordonatele vectorilor [pic] in baza B, dati de relatia :
B-1[pic]= [pic]
Forma redusă conţine o matrice unitate Um formată din coloabele corespunzătoare vectorilor care formează baza B. Pentru determinarea formei reduse se foloseşte metoda eliminarii complete prim eliminarea succesivă a câte unui singur vector din bază. Pentru calcule se aranjeaza totul intr-un singur tabel:

|B |D | | |
| | |V1 V2… Vk………….Vn |E1 E2… Ek……….En |
|E1 |d1 |a11 a12… a1k………….a1n |1 0 0 0 0|
|E2 |d2 |a21 a22… a2k………….a2n |1.......0...............0 |
|. |. |. |. |
|. |. |. |. |
|. |. |. |. |
|Eh |dh |ah1 ah2… ahk………….ahn |0 0 1 0 |
|. |. |. |. |
|. |. |. |. |
|. |. |. |. |
|Em |dm |am1 am2… amk………….amn |0 0 0 1 |

Apar astfel calculate coordonatele lui D în bazele succesive obţinute prin înlocuirea în bază a câte unui vector din A. În final se obţine soluţia de bază a sistemului restricţiilor PPL,
X=B-1D=DB.
Dacă vectorul Vk intră în bază şi vectorul Eh iese, se obţine o nouă bază B1 şi, cu transformările de coordonate la schimbarea bazei datorate aplicării regulei pivotului ahk (0 se obţin relaţiile:
[pic]
Se pune problema determinării pentru sistemul compatibil AX=D, [pic],n>m ,rang A=m, a acelor soluţii de bază pentru care [pic]. Cum [pic]=[pic] atunci [pic] [pic] Deci, se poate formula Criteriul de ieşire din bază:

Dacă în bază intră vectorul Vk, atunci din bază se scoate vectorul care îndeplineşte condiţia: [pic]

Avem descompunerea: A=(B,S), unde [pic], [pic] şi corespunzător descompunerea vectorului [pic] în variabile bazice şi nebazice , [pic];
Sistemul de restricţii devine: [pic] [pic] [pic][pic]. Dacă notăm [pic] atunci soluţia sistemului de restricţii devine: [pic]sau, scrisă pe componente, [pic]. Înlocuind în funcţia obiectiv, se obţine: [pic].
Notăm: [pic] valoarea funcţiei obiectiv corespunzătoare programului de bază [pic] [pic] şi avem: [pic] Se pot enunţa deci următoarele criterii folosite de algoritmul de optimizare Criteriul de optim pentru PPL: Programul de bază [pic] este optim pentru problema de minim dacă [pic]
Observaţiie: pentru o problemă de maxim, inegalitatea se schimbă.

Criteriul de intrare în bază Dacă [pic], atunci programul [pic] nu este optim şi programul se îmbunătăţeşte dacă vectorul Vk intră în bază.
Observaţii:
1) Dacă indicele k pentru care se verifică relaţia a criteriului de intrare în bază, nu este unic determinat, atunci pentru o valoare a funcţiei obiectiv cât mai apropiată de valoarea minimă, se adoptă regula: „Dacă [pic]intră în bază vectorul Vk pentru care [pic]” 2) La o problemă de maxim, avem: „Dacă [pic]intră în bază vectorul Vk pentru care [pic]”

Criteriul de optim infinit Dacă [pic] şi [pic], [pic], atunci spunem ca PPL admite un optim infinit şi algoritmul de optimizare se opreşte. Enunţarea algoritmului SIMPLEX
Algoritmul SIMPLEX ofereră soluţia optimă a PPL. Îl enunţăm pentru problema de minim. a) Se determină o bază admisibilă B şi se calculează : - programul de bază corespunzător [pic][pic] [pic] - valoarea funcţiei obiectiv [pic] [pic] - diferenţele [pic]=[pic];[pic] Datele se introduc într-un tabel SIMPLEX:
| | | |[pic] |[pic]…......... [pic] | |
|B |CB |DB |V1 |V2…......... Vn |[pic] [pic]…... [pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic].................[pic] | |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic].................[pic] | |
|. |. |. |. |. . | |
|. |. |. |. |. . | |
|. |. |. |. |. . | |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic]...............[pic] | |
| | |[pic] |[pic] |[pic].............[pic] | |
|[pic] |[pic] |[pic]...[pic] | |

b) (testul de optim) Dacă [pic], atunci programul [pic] este optim şi STOP. Dacă nu, adică [pic] atunci programul [pic] nu este optim şi se aplică criteriul de intrare în bază: intră în bază vectorul Vk pentru care [pic] c) (testul de optim infinit) Dacă [pic] atunci problema admite un optim infinit şi STOP. d) Dacă [pic] atunci se aplică criteriul de ieşire din bază, adică iese din bază vectorul Vh pentru care [pic]. Se obţine o nouă bază B1 şi se reia algoritmul de la punctul b), iar ieşirea din el are loc fie la punctul b) (testul de optimalitate), fie la punctul c) (testul de optim infinit). Deci: algoritmul SIMPLEX va testa condiţia de optim pentru programul de bază găsit şi, în caz că aceasta nu este satisfăcută, va determina un alt program de bază care va apropia funcţia obiectiv da valoarea optimă, iar în final va determina valoarea optimă a sa. Observaţie: a)Pentru o problemă de maxim se schimbă semnul inegalităţii în criteriul de optim şi inf devine sup la criteriul de intrare în bază. b)Dacă criteriile decid că [pic] este pivot, atunci tabelul SIMPLEX se transformă după regulile: i) linia pivotului se împarte cu pivotul. ii) coloana pivotului se completează cu 0 până se obţine vectorul unitar al bazei canonice. iii) orice alt element din tabel se transformă după regula dreptunghiului (pivotului) introdusă la metoda eliminării complete.

Metoda bazei artificiale ( a celor două faze şi a penalizării)

Fie forma standard a unei P.P.L.
[pic]
Dacă matricea sistemului de restricţii nu conţine vectorii unitari care alcătuiesc baza canonică necesară determinării unei soluţii iniţiale de bază , recurgem la metoda bazei artificiale prin introducerea variabilelor artificiale [pic]şi se rezolvă problema de programare liniară:
[pic]
Avem următorul rezultat teoretic : Orice soluţie posibilă a problemei iniţiale este o soluţie posibilă a programului extins pentru care valorile tuturor variabilelor artificiale sunt nule şi reciproc orice soluţie a programului extins în care toate variabilele artificiale sunt nule, este o soluţie a programului iniţial după inlăturarea acestora.
Deci problema iniţială are soluţii dacă şi numai dacă sistemul extins al restricţiilor are soluţii de forma [pic]
O astfel de problemă se rezolvă prin metoda celor două faze: Faza I . În această fază se rezolvă problema:
[pic]
La sfârşit putem avea următoarele situaţii :
1) [pic] deci toate variabilele artificiale sunt nule şi nici o variabilă artificială nu este bazică faţă de soluţia optimă. În acest caz dispunem de o soluţie de bază a programului extins din care prin înlaturarea variabilelor artificiale se obţine o soluţie de bază a programului iniţial şi se trece la faza a II-a
2) [pic] şi cel puţin o variabilă artificială este bazică, ea trebuind eliminată astfel: - dacă pe linia variabilei artificiale există elemente nenule (rang A=m) alegem unul dintre acestea drept pivot şi facem încă o iteraţie pentru a o elimina din bază . - dacă pe linia variabilei artificiale nu avem elemente nenule (rang A0 coeficientul de penalizare cu care intră variabila artificială in funcţia obiectiv. Obţinem problema extinsă:
[pic]
pentru care aplicăm algoritmul simplex:
|[pic] |B |
|variabilă nenegativă |restricţie concordantă |
|restricţie concordantă |variabilă nenegativă |
|variabilă nepozitivă |restricţie neconcordantă |
|restricţie neconcordantă |variabilă nepozitivă |
|variabilă liberă |restricţie egalitate |
|restricţie egalitate |variabilă liberă |
|maxim |minim |
|minim |maxim |
|variabilă structurală |variabilă de compensare |
|variabilă de compensare |variabilă structurală |
|variabilă(vector)aflată în bază |variabilă (vector) din afara bazei |
|variabilă (vector) din afara bazei |variabilă (vector) aflată în bază |
|coloana “b” dintr-un tabel simplex |linia”(k”din tabelul simplex (eventual cu |
| |schimbare de semn) |
|linia”(k”din tabelul simplex (eventual cu |coloana “b” dintr-un tabel simplex |
|schimbare de semn) | |

De exemplu: [pic] Modelul dat nu se încadrează în dualitatea simetrică şi constatăm următoarele: • modelul dual: ▪ va fi de minim; ▪ va avea 4 restricţii; ▪ va avea 3 variabile, anume y1, y2, y3 • în modelul primal: ▪ prima restricţie este concordantă, deci y1(0; ▪ a dou restricţie este egalitate, deci y2(R; ▪ a treia restricţie este neconcordantă, deci y3(0. • în modelul primal: ▪ x1 este nenegativă, deci prima restricţie duală va fi concordantă (deci”(”); ▪ x2 este nepozitivă, deci a doua restricţie duală va fi necorcondantă (deci „(”); ▪ x3 este liberă, deci a treia restricţie duală va fi egalitate; ▪ x4 este nepozitivă, deci a patra restricţie duală va fi necorcondantă (deci „(”) Modelul dual va fi deci: [pic] Rezolvăm următoarea problemă economică pentru a vedea semnificaţia economică a variabilelor duale şi a interpreta rezultatele dualei pe tabelul simplex

Considerăm o unitate economică care fabrică produsele [pic] şi [pic]. Pentru obţinerea lor se utilizează trei resurse: forţa de muncă, mijloace de muncă şi materii prime. În tabelul următor se dau consumurile specifice şi cantităţile disponibile din cele trei resurse, precum şi preţurile de vânzare ale produselor.

|Resurse\produse |P1 |P2 |P3 |Disponibil |
| | | | |(unităţi fizice) |
|Forţa de muncă |1 |3 |4 |15 |
|Mijloace de muncă |2 |5 |1 |10 |
|Materii prime |4 |1 |2 |25 |
|Preţ de vânzare |3 |2 |6 |- |
|(unităţi monetare) | | | | |

Modelul matematic pe baza căruia se stabileşte programul optim de producţie, având drept criteriu de eficienţă valoarea maximă a producţiei, are forma: max[pic] în condiţiile: [pic] [pic] [pic] [pic] (j=1,2,3)
Utilizând regulile de dualitate prezentate mai înainte rezultă următoarea problemă duală de programare liniară: min[pic] în condiţiile: [pic] [pic] [pic] [pic] (j=1,2,3)
Soluţia optimă a problemei primale este prezentată în tabelul simplex final, unde [pic] se testează la criteriul de optim dacă sunt [pic]

| | |

i) Tabelul simplex final corespunzător problemei primale conţine atât soluţia optimă a problemei primale cât şi a problemei duale. ii) Soluţia problemei primale [pic] se obţine pe coloana vectorului b, iar soluţia problemei duale [pic] se obţine pe linia z la intersecţia cu coloanele vectorilor care au format baza iniţială.

Teorema ecarturilor complementare: O condiţie necesară şi suficientă pentru ca un cuplu de soluţii admisibile de bază [pic] şi [pic]să fie optim, este ca soluţiile să verifice simultan relaţiile:
[pic]
[pic]
Pe baza acestor relaţii se pot formula următoarele concluzii: a)dacă [pic] atunci [pic] b)dacă [pic]atunci [pic] c)dacă [pic] atunci [pic]; d)dacă [pic] atunci [pic]
Prima relaţie arată că variabila duală corespunzătoare unei resurse utilizată în întregime are o valoare pozitivă, iar cea de a doua arată că [pic]dacă resursa i nu este utilizată în întregime. Analizând punctele c şi d se trage concluzia că, dacă costul unitar al activităţii [pic],obţinut prin evaluarea consumurilor specifice [pic] cu ajutorul componentelor soluţiei optime a problemei duale, este egal cu coeficientul [pic] din funcţia obiectiv (de exemplu beneficiul unitar) atunci componenta [pic]iar dacă acest cost este mai mare decât [pic], atunci nu este eficient să includem în programul optim activitatea j (ca urmare [pic]).

8. Problema de transport

Metoda transporturilor poartǎ aceastǎ denumire deoarece se foloseşte pentru rezolvarea problemelor de programare liniarǎ ce au de a face cu deplasǎri de sarcini în reţele de transport. Prin extensie, metoda transporturilor se aplicǎ, în problemele de transbordǎri şi asignare. Această problemă apare frecvent în planificarea distribuirii bunurilor şi a serviciilor de la câteva unităţi de aprovizionare la anumite adrese. De obicei cantitatea de bunuri aflate la fiecare unitate de aprovizionare (origine, furnizor, centru de producţie, fabrici, ofertă) este fixă sau limitată; La fiecare unitate adresantă (sau destinaţie, beneficiar, centru de distribuţie, cerere) se află o cantitate de bunuri specificată prin comandă sau cerere. Din cauza varietăţii mari de rute de transport şi a diferitelor costuri pentru aceste rute, obiectivul este de a stabili câte unităţi de marfă pot fi transportate de la fiecare origine la fiecare destinaţie în aşa fel încât toate cererile să fie satisfăcute, iar costurile de transport să fie micşorate. Să ilustrăm problema transportului printr-un exemplu, să zicem, al companiei Tofan Group care are de transportat un produs de la 3 fabrici la 4 destinaţii. Compania operează în Bucureşti, Floreşti şi Braşov. Capacităţile de producţie ale acestor fabrici (cantităţile disponibile la furnizor [pic]) în perioada următoare de 3 luni pentru un anume tip de anvelope sunt:
1. Bucureşti 5000 unităţi
2. Floreşti 6000 unităţi
3. Braşov 2500 unităţi Să presupunem că firma distribuie anvelope prin 4 centre de distribuire regionale, localizate în Brăila, Cluj, Arad şi Suceava, iar prognoza pe următoarele 3 luni de cerere este (cantităti necesare la beneficiar[pic]): 1. Brăila 6000 unităţi 2. Cluj 4000 unităţi 3. Arad 2000 unităţi 4. Suceava 1500 unităţi Conducerea firmei ar dori să stabilească cât din producţia sa trebuie transportată de la fiecare fabrică până la fiecare destinaţie de distribuire. Putem construi un grafic alcătuit din 2 grupuri de cercuri, numite noduri (fabrici şi centre de distribuire) între care se realizează 12 rute de distribuire, numite arce; graficul astfel obţinut se numeşte reţea. Se observă că problema transportului poate fi reprezentată grafic sub forma unei reţele, iar din acest motiv putem vorbi de problema fluxului în reţea.
Observaţie:Costurile de producţie sunt identice la cele 3 fabrici, deci singurele costuri variabile implicate sunt cele de transport. Astfel, problema devine una de determinare a rutelor de transport care pot fi folosite şi a cantităţii de mărfuri ce urmează a fi transportată pe fiecare rută, în aşa fel încât toate cererile de distribuire să fie onorate la un cost minim de transport. Costul pentru fiecare unitate transportată pe fiecare rută este (matricea costurilor unitare de transport [pic] ):
|Origine |Destinaţie( Beneficiari Bj) |
|(Furnizori Fi) | |
| |Brăila B1 |Cluj B2 |Arad B3 |Suceava B4 |
|Bucureşti F1 |3 |2 |7 |6 |
|Floreşti F2 |7 |5 |2 |3 |
|Braşov F3 |2 |5 |4 |5 |

Pentru rezolvarea acestei probleme se poate folosi un model de programare liniară.
Vom folosi variabilele de decizie duble: xij - numărul de unităţi transportate de la origina i la destinaţia j. [pic] matricea cantităţilor transportate, planul de transport ce trebuie determinat şi optimizat cu notaţiile: i = indexul originii, i = 1,2,3 j = indexul destinaţiei, j = 1,2,3,4 cij = costul per unitatea de transport de la originea i la destinaţia j ai = oferta sau capacitatea (disponibilul) exprimată în unităţi la originea i bj = cererea (necesarul) în unităţi la destinaţia j
De vreme ce obiectivul problemei transportului este de a minimaliza costurile de transport, putem folosi datele referitoare la cost din tabelul de mai sus pentru a elabora următoarele expresii ale costului:
Costuri de transport pentru unităţi transportate din Bucureşti = 3x11+2x12+7x13+6x14 din Floreşti = 7x21+5x22+2x23+3x24 din Braşov = 2x31+5x32+4x33+5x34
Suma acestor expresii va furniza funcţia obiectiv care arată costurile totale de transport pentru firma Tofan Group.
Restricţiile problemei de programare liniară:
- Cu 3 origini (sau fabrici) problema firmei Tofan Group va avea 3 formulări ale ofertei: x11+x12+x13+x14 ≤ 5000 (oferta Bucureşti) x21+x22+x23+x24 ≤ 6000 (oferta Floreşti) 2x31+5x32+4x33+5x34 ≤ 2500 (oferta Braşov)
- Cu cele 4 centre de distribuire ca destinaţii vom avea nevoie de următoarele 4 formule ale cererii: x11+ x21+ x31 = 6000 (cerere Brăila) x12+ x22+ x32 = 4000 (cerere Cluj) x13+ x23+ x33 = 2000 (cerere Arad) x14+ x24+ x34 = 1500 (cerere Suceava)
Din combinarea funcţiei obiective cu formulele restrânse într-un singur model, reiese următoarea formulare de programare liniară cu 12 variabile şi 7 restricţii în sistem:
(min) 3x11+2x12+7x13+6x14+7x21+5x22+2x23+3x24+2x31+5x32+4x33+5x34
|x11 |+ |x12 |+ |
|D1 |10 0 20 11 | |15 |
|D2 |12 7 9 20 | |25 |
|D3 |0 14 16 18 | |5 |
| | | | 45 |
|Necesar (t) |5 15 15 10 |45 | |

Problema este echilibrată, variabilele de decizie sunt în numar de 12, deoarece aici numărul depozitelor este m=3, iar numărul centrelor de consum este n=4. Aranjăm variabilele în tabel, în fiecare căsuţă apărând şi variabila respectivă xij şi costul unitar de transport, aşa cum este el dat în tabelul precedent (cele două matrice C şi X suprapuse în acelaşi tabel)
|10 |0 |20 |11 |
|x11 |x12 |x13 |x14 |
|12 |7 |9 |20 |
|x21 |x22 |x23 |x24 |
|0 |14 |16 |18 |
|x31 |x32 |x33 |x34 |

Modelul primal este:
[min][pic]
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
| |[pic] |

[pic]
O soluţie iniţială de bază are exact m+n-1=3+4-1=6 componente nenule,dacă este soluţie nedegenerată de bază şi un număr mai mic de 6 componente nenule dacă este soluţie degenerată de bază.

Metoda costului minim din tabel
Se alege minimul costurilor din tabel, în cazul exemplului nostru 0=c12 sau 0=c31 şi se trimite pe ruta [pic] sau [pic] cantitatea maximă posibil de transportat, ţinând seama de disponibil şi de necesar. Prin urmare, vom trimite: x12=min{a1, b2}=min{15,15}=15t pe ruta [pic] şi în felul acesta, atât disponibilul depozitului F1 cât şi necesarul centrului B2 s-au epuizat. Rezultă că x11=x13=x14=0 şi că x22=x32=0.
Apoi:
x31=min{a3, b1}=min{5,5}=5t, deci x32=x33=x34=0 şi x11=x21=0.
Acum mai rămân de stabilit celelalte cantităţi x23, x24. Alegem costul minim şi constatăm că cel mai mic cost este 9=c23, deci x23=min{25,15}=15, prin urmare x33=0 şi urmează costul 20=c24, deci x24=min{10,25-15}=10
Soluţia iniţiala X0, determinată prin metoda minimului din tabel, este următoarea: X0:
|- |15 |- |- |
|- |- |15 |10 |
|5 |- |- |- |

Ea are numai 4 componente nenule în loc de 6 , deci este o soluţie degenerată de bază.
Valoarea funcţiei de eficienţă este [pic]unităţi monetare.
Metoda minimului pe linie
Se porneşte cu calculul variabilelor de pe prima linie şi nu se părăseşte această linie până când nu au fost stabilite toate variabilele. Se alege costul minim de pe prima linie:
0=c12[pic]x12=min{15,15}=15t. Rezultă x11=x13=x14=0. Disponibilul primei linii a fost epuizat.
Se trece la a doua linie. Costul minim de pe a doua linie este 7=c22, dar x22=0 deoarece centrul B2 şi-a satisfăcut necesarul prin alegerea x12=15. Urmează în ordinea mărimii c23=9[pic]x23=min{25,15}=15t.
Rămân de repartizat încă 10 t ale depozitului F2.
Costul următor este c21=12[pic]x21=min{10,5}=5t, etc.
Prin metoda minimului pe linie s-a aflat soluţia:
|- |15 |- |- |
|5 |- |15 |5 |
|- |- |- |5 |

X1= [pic] unităţi monetare. Soluţia este degenerată.
Soluţia iniţială aflată prin metoda minimului pe coloană se află la fel ca aceea determinată prin metoda minimului pe linie, numai că repartizarea se face pe centre de consum, deci pe coloane.
Metoda colţului de Nord-Vest pentru alegerea unei soluţii iniţiale de bază Această metodă nu are în vedere criteriul economic al costurilor, ci numai amplasarea formală a mărfii după poziţia componentei în tabel. Au prioritate componentele aflate în colţul de N-V al tabelului.
Astfel,x11 este prima componentă din colţul de N-V al tabelului. O alegem automat şi o luăm egală cu 5t, deoarece: x11= min{a1, b1}=min{15,5}=5t. Tăiem cu o linie coloana 1, deoarece necesarul lui B1 a fost satisfăcut şi către el nu se vor mai face transporturi. Următorul colţ de N-V al tabelului a rămas după ce am eliminat coloana întâi şi este al variabilei x12, a cărei mărime urmează sa o stabilim astfel: x12=min{10,15}=10. Tăiem linia întâi, deoarece F1 nu mai are disponibil, iar necesarul centrului B2 rămâne egal cu 5.
În tabelul rămas, colţul de N-V este al căsuţei (2.2) deci x22=min{25,5}=5t. Se trece la coloana a doua şi rămâne x23 în colţul de N-V. Luăm x23=min{20,15}=15t, deci coloana a treia urmează să fie anulată, iar disponibilul lui F2 rămâne egal cu 5. Colţul de N-V al tabelului rămas este (2,4), deci x24=min{5,10}=5t În sfârşit, a rămas numai x34=5t şi soluţia X2 obţinută prin metoda colţului de N-V este: X2=
|5 |10 |- |- |
|- |5 |15 |5 |
|- |- |- |5 |

[pic] unităţi monetare. Această soluţie nu este degenerată.
Observaţie: Dintre cele trei soluţii determinate, cea mai bună, desigur, este soluţia X0, deoarece funcţia de eficienţă are valoarea cea mai mică.

Metoda potenţialelor pentru determinarea unei soluţii optime a P.T.

Este o metodă de testare şi de optimizare a soluţiei unei P.T. şi are la bază rezultatele P.L. (simplexul aplicat formei duale a P.T.) Pas 1. Se determină o soluţie iniţială de bază Pas 2. (criteriul de optim) Se testează soluţia obţinută cu ajutorul unei condiţii de optim. Dacă soluţia se găseşte optimă, STOP. Dacă nu, se trece la pasul 3. Pas 3. (criteriul de intrare în bază) Se determină o variabilă dintre cele nebazice care să intre în bază, să devină nenulă deci şi pentru care soluţia se imbunătăţeşte. Pas 4. (criteriul de ieşire din bază) Se determină o variabilă care părăseşte baza, utilizând condiţia de admisibilitate. Se obţine astfel o altă soluţie de bază care trebuie din nou verificată dacă este optimă, deci se reia algoritmul de la pasul 2. Rezultatul teoretic care stă la baza acestei metode de optimizarea unei soluţii primal admisibile pentru problema de transport este:
Teorema Dantzig (condiţia de optimalitate) Fiecărei variabile bazice xij a unei soluţii de bază îi corespunde un cuplu de numere reale ui, vj astfel încât [pic]. Dacă pentru variabilele bazice notăm [pic], atunci soluţia optimă se obţine dacă toate diferenţele [pic] sunt negative ([pic]).
Demonstraţie: Se aplică algoritmul simplex de optimizare a soluţiei iniţiale de bază pentru forma duală a unei probleme de transport echilibrate. Vom considera , pentru simplificarea scrierii, cazul m=2, n=3; rezultatele obţinute vor fi valabile şi în cazul general. Modelul (PL) corespunzător va fi: (min) f=c11x11+c12x12+c13x13+c21x21+c22x22+c23x23 x11+x12+x13 = a1 (variabilă duală:u1) x21+x22+x23 = a2 (variabilă duală:u2) x11+x21=b1 (variabilă duală:v1) x12+x22=b2 (variabilă duală:v2) x13+x23=b3 (variabilă duală:v3) xij(0; i=1,2; j=1,3 Modelul dual corespunzător are aspectul: (max)g=a1u1+a2u2+b1v1+b2v2+b3v3 u1+v1(c11 u1+v2(c12 u2+v1(c21 u1+v3(c13 u2+v2(c22 u2+v3(c23 ( ui+vj ( cij; i=1,2; j=1,3 ui,vj (R
Se ştie că pentru orice soluţie X a modelului primal, şi pentru orice soluţie Y a modelului dual, avem: g(y) (f(x) max {g(y)} = min {f(x)} y x
În general, modelul dual al P.T. este:
[pic]
[pic]
Dacă în „g” înlocuim ai,bj cu expresiile date de sistemul primal, obţinem:
[pic]
În final, din relaţia: g(y) (f(x) se deduce:
[pic]
[pic] această relaţie permite organizarea rezolvării. Dacă se alege o soluţie posibilă oarecare {xij} a modelului, ea este soluţia de bază (adică are şanse să fie soluţie optimă) dacă are număul de componente Xij*>0 cel mult egal cu m+n-1. - pentru indicii „i”,”j” pentru care xij*>0, se rezolvă sistemul ui+vj=cij Observaţie: - acest sistem este întotdeauna compatibil nedeterminat, m+n-1 ecuaţii liniare cu m+n necunoscute, având una din necunoscute secundare pentru care se alege o valoare arbitrară. - pentru indicii „i”,”j” care participă la scrierea sistemului, termenii rămaşi sunt nuli din cauza faptului că Xij* = 0;
Aparent, expresia ui+vj=cij are aspectul cerut de condiţia de optim (sub rezerva că e nevoie ca, pentru i,j care nu participă la scrierea sistemului, să avem: ui+vj(cij) - dacă condiţia ui+vj(cij [pic][pic] nu este îndeplinită, atunci {xij*} nu este soluţie optimă şi vom constitui o altă soluţie {x1ij} îmbunătăţită.

Aplicatii:

1. Fie problema de transport:
| |B1 |B2 |B3 |disponibil |
|F1 |5 |1 |7 |50 |
|F2 |4 |3 |2 |120 |
|F3 |2 |9 |10 |80 |
|necesar |75 |90 |85 |total: 250 |

Se cere soluţia de cost total minim.

Soluţie:
Folosim metoda potenţialelor pentru verificarea optimalităţii soluţiei iniţiale x0:
|- |50 |- |
|35 |- |85 |
|40 |40 |- |

- Rezolvăm sistemul ui+vj=cij pentru acei indici aflaţi în celulele ocupate ale soluţiei X0, adică pentru indicii bazici.
|vj |3 |10 |1 |
|ui | | | |
|-9 |-6 |1 |-8 |
|1 |4 |11 |2 |
|-1 |2 |9 |0 |

Sistemul e simplu nedeterminat (6 ecuaţii,5 necunoscute), deci se pleacă de la o valoare arbitrară pentru una din variabilele duale; soluţia particulară determinată pentru acest sistem se trece într-un tabel, adică în matricea [pic]:

- apoi se testează [pic].

[pic]:
|-11 |0 |-15 |
|-3 |[8] |0 |
|-3 |-7 |-10 |

Cum există [pic], atunci soluţia nu este optimă şi se trece la îmbunătăţirea ei. - intră o valoare arbitrară ( pe poziţia (2,2) din matricea diferenţă, unde s-a găsit cea mai mare dintre valorile pozitive ce nu satisfac criteriul de optim. - determinăm un ciclu poligonal cu laturi verticale şi orizontale, având numai vârfuri în căsuţe (celule) ocupate în matricea soluţiei X0 , vârfuri pe care le numerotăm alternativ cu +(,-(,+(,-(,…, etc;
( se alege minimul valorilor aflate în celulele cu semnul „-„; (=min{35, 40}=35; - rezultă modificările în matricea soluţiei x0, care arată variabila ce părăseşte baza.
| |50 | |
|35-( |( |85 |
|40+( |40-( | |
|X1= |- |50 |- |
| | - |35 |85 |
| |75 |5 |- |

|vj |-7 |0 |-1 |: | | | |
|ui | | | | | | | |
|3 |-4 |3 |2 | |-8 |0 |-1 |
|9 |2 |9 |8 | |0 |0 |-8 |

|11 | |7 |
|8 | | |
| | |2 |

Pentru soluţia nou găsită x1 s-a reluat algoritmul, rezolvându-se iar sistemul cu noile variabile duale, s-a construit dinnou matricea costurilor reduse, [pic]şi s-a verificat condiţia de optim, care stabileşte că x1 este optimă.
Să comparăm funcţiile obiectiv pentru cele două soluţii:
[pic]
[pic]
[pic], iar [pic]
Observaţii:
- dacă (ij[pic]0 (()i,j şi (() (i0,j0) pentru care (iojo =0, atunci modelul admite încă o soluţie optimă de bază, cu xiojo (0; - dacă modelul admite soluţiile optime de bază x1,x2,.......,xk, atunci x=(1x1+(2x2+....+(kxk, unde (1+(2+.......+(k=1, (j(0, j=1,k, este tot o soluţie optimă (care nu e de bază).

2 .Fie problema de transport:
|furnizor| |beneficiari | |
|i | | | |
| | |B1 |B2 |B3 |disponibil |
| |F1 |8 |4 |2 |65 |
| |F2 |6 |3 |1 |130 |
| |F3 |10 |7 |5 |45 |
|Necesar |80 |75 |85 |total:240 |

a)Se cere soluţia optimă a problemei. b)Se cere soluţia optimă pentru care avem: x23=maxim x31+2x23(80
Soluţie:
Vom aplica metoda potenţialelor: drept soluţie iniţială, folosim
| |v1=7 |v2=3 |v3=1 |
|u1=1 |8 |4 |2 |
|u2=0 |7 |3 |1 |
|u3=3 |10 |6 |4 |

|35 |30 | |
| |45 |85 |
|45 | | |

X0=

|35-( |30+( | |
|( |45-( |85 |
|45 | | |
| |65 |0 |
|35 |10 |85 |
|45 | | |

X1 :

| |v1=5 |v2=2 |v3=0 |
|u1=2 |7 |4 |2 |
|u2=1 |6 |3 |1 |
|u3=5 |10 |7 |5 |

|35 |30 | |
| |45 |85 |
|45 | | |

Deci soluţia

X2 =

X2 se găseşte optimă.
Cum tabelul diferenţei ( conţine trei valori zero problema dată mai are încă alte trei soluţii optime de bază, notate X3,X4,X5. • determinarea soluţiei X3:
| |65-( |( |
|35 |10+( |85-( |
|45 | | |
| | |65 |
|35 |75 |20 |
|45 | | |

[pic]=> X3=

• determinarea soluţiei X4:
| |65 | |
|35+( |10 |85-( |
|45-( | | |

| | 65 | |
|70 |10 |50 |
|10 | |35 |

[pic] => X4 =

• determinarea soluţiei X5:
| |65 | |
|45 | |85 |
|35 |10 | |

| |65 | |
|35+( |10-( |85 |
|45-( |( | |

[pic] => X5 =

Soluţia optimă generală XG este dată de:

XG= (1x2+(2x3+(3x4+(4x5 Unde: (1+(2+(3+(4=1 (1,2,3,4(0

Avem:XG=
|65(2+65(3 |65(4 |65(1 |
|35(1+35(2+80(3+45(4 |10(1+75(2+10(3 |85(1+20(2+40(3+85(4 |
|35(4 |45(1+45(2+45(3+10(4 |- |

b) Din XG, găsim: x23=
=85(1+20(3+85(4=20(13(1+4(3+13(4)+5((1+(2+(3+(4)=
=20+5(13(1+4(3+13(4); x31+2x22=6(1+195(2+20(3+35(4=20((1+(2+(3+(4)+5(9(1+35(2+(4)=20(9(1+35(2+(4). Problema devine: (maxim)f=133(1+4(3+13(4 13(1+4(3+13(4(12 (1+(2+(3+(4=1 (1,2,3,4(0 această problemă se rezolvă folosind algoritmul simplex.

TESTE DE AUTOEVALUARE

1. Spaţii vectoriale (Definiţii, exemple). 2. Utilizaţi algoritmul Simplex pentru:[pic]R: x=0,y=3,z=2; optim 11. 3. Să se aducă la expresia canonică forma pătratică: [pic], utilizand metoda vectorilor şi valorilor proprii.

1. Coordonatele unui vector intr-o baza. Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei. 2. Demonstraţi cu ajutorul algoritmului Simplex că problema nu are soluţii posibile: [pic] 3. Să se aducă la expresia canonică forma pătratică: [pic], utilizând metoda valorilor şi vectorilor proprii. Să se determine şi baza corespunzătoare.

1. Subspaţii liniare (Definiţie, exemple, operatii cu subspatii). 2. Să se costruiască modelul matematic asociat problemei de mai jos si să se determine soluţia optimă pentru problema de programare liniară rezultată, utilizând algoritmul simplex: In cadrul unei livezi sunt destinate 8 ha de teren pentru a se cultiva doua feluri de plante A şi B. Investiţiile necesare pe hectar sunt respectiv de 2000 u.m. şi 5000 u.m. iar câştigul net pe ha este de 30000 u.m., respectiv 60000 u.m. Se investesc 25000 u.m. în cultura celor doua feluri de plante. Pe câte ha trebuie cultivate fiecare din aceste plante, pentru ca să se obţină un beneficiu cât mai mare? R: [pic]; optim 330000. 3. Utilizănd metoda Jacobi să se aducă la o expresie canonică forma pătratică: [pic].

1. Operatori liniari pe spatii vectoriale (Definitie, exemple, operatii; nucleul şi imaginea unui operator liniar). 2. Să se rezolve problema de programare liniară prin trecere la forma duală: [pic]R: [pic]; optim 12. 3. Să se studieze liniar independenţa vectorilor din [pic]: [pic] şi să se descompună vectorul [pic] în baza formată de acestia.

1. Forme fundamentale ale PPL, soluţii, clasificare (interpretare economica). 2. Să se diagonalizeze matricea A=[pic] şi sa se determine [pic]. Să se precizeze baza faţă de care maricea A admite forma diagonală. 3. Să se determine costul minim de transport dacă se cunosc: matricea costurilor unitare de transport, cantităţile disponibile la fiecare furnizor[pic] si cele necesare fiecărui beneficiar [pic]ca in tabloul:
| |[pic] |[pic] |[pic] |Disponibil |
|[pic] |1 |2 |8 |37 |
|[pic] |1 |11 |1 |45 |
|[pic] |14 |7 |3 |18 |
|Necesar |26 |63 |11 | |

R: 325

1. Algoritmul Simplex primal (enunţ şi interpretare economică). 2. O întreprindere comercială dispune de 800 tone de fructe aflate în trei depozite [pic], repartizate astfel: în [pic] sunt 450 tone, în [pic] sunt 150 iar 200 tone în [pic]. Această cantitate trebuie transportată la două fabrici [pic] astfel: la [pic] 550 tone, iar la [pic] 250 tone. Matricea costurilor unitare de transport este următoarea: [pic]. Se cere planul optim de transport. 3. Sa se determine matricea operatorului liniar [pic]şi să se diagonalizeze, precizând baza corespunzătoare.

Notă asupra examinării

Examinarea se face in scris, cu bilet individual ce conţine o cerinţă teoretică şi două aplicaţii din tematica aferentă examenului respectiv.

UNIVERSITATEA „SPIRU HARET”
FACULTATEA MANAGEMENT FINANCIAR CONTABIL
CONSTANŢA
SEMESTRUL I
TITULAR DISCIPLINĂ: Lect. univ. drd. Jeflea Antoneta

MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE
Subiecte de examen

1. Spaţii vectoriale. Definiţii 2. Spaţii vectoriale. Exemple 3. Spaţii vectoriale. Aplicaţii 4. Vectori liniari independenţi. Definiţie 5. Vectori liniari independenţi. Aplicaţii 6. Vectori liniari dependenţi. Definiţie 7. Vectori liniari dependenţi. Aplicaţii 8. Spaţiu vectorial finit dimensional. Definiţie 9. Sistem de generatori. Definiţie 10. Bază şi dimensiune a unui spaţiu vectorial. Definiţii 11. Bază şi dimensiune a unui spaţiu vectorial. Aplicaţii 12. Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei. Aplicaţii 13. Metode numerice de rezolvare a sistemelor liniare. Metoda Gauss-Jordan. Aplicaţii 14. Operatori liniari pe spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple 15. Operatori liniari pe spaţii vectoriale. Proprietăţi. Aplicaţii 16. Matricea ataşată unui operator. Definiţie 17. Matricea ataşată unui operator. Aplicaţii 18. Vectori şi valori proprii. Definiţii 19. Determinarea vectorilor şi valorilor proprii pentru o aplicaţie liniară. Aplicaţii 20. Produs scalar. Definiţie. Exemple 21. Produs scalar. Aplicaţii 22. Norma unui spaţiu euclidian. Definiţie 23. Norma unui spaţiu euclidian. Proprietăţi 24. Inegalitatea Cauchy – Buniakovski 25. Procedeul Gramm – Schmidt de orogonalizare a unei baze oarecare. Aplicaţii 26. Baza ortogonală. Definiţie 27. Baza ortonormală a unui spaţiu euclidian. Definiţie 28. Baza ortonormală a unui spaţiu euclidian. Aplicaţii 29. Distanţa. Definiţe. Exemple 30. Distanţa. Proprietăţi 31. Distanţa. Aplicaţii 32. Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic 33. Forme fundamentale ale PPL. Forma standard 34. Forme fundamentale ale PPL. Forma canonică 35. Algoritmul Simplex Primal pentru problema de minim 36. Algoritmul Simplex Primal pentru problema de maxim 37. Algoritmul Simplex Primal. Aplicaţii 38. Forma duală a PPL. Aplicaţii 39. Teorema de dualitate şi conţinutul economic al variabilelor duale 40. Interpretarea economică a problemei duale. Preţuri umbră 41. Formularea problemei de transport şi a modelului matematic 42. Formularea economică a problemei de transport 43. Modelul matematic al problemei de transport echilibrate 44. Metoda diagonalei pentru obţinerea soluţiei realizabile de bază 45. Metoda costurilor minime pentru obţinerea soluţiei realizabile de bază 46. Determinarea unei soluţii optime a unei probleme de transport 47. Serii numerice. Criteriul general al lui Cauchy 48. Serii numerice. Aplicaţii 49. Serii numerice. Criteriul necesar de convergenţă 50. Criteriul monotoniei 51. Criteriul I al comparaţiei 52. Criteriul II al comparaţiei 53. Criteriul raportului (al lui D’Alembert) 54. Criteriul raportului (al lui D’Alembert). Aplicaţii 55. Serii cu termeni pozitivi 56. Criteriul rădăcinii (al lui Cauchy) 57. Criteriul rădăcinii (al lui Cauchy). Aplicaţii 58. Criteriul lui Raabe-Duhamel 59. Criteriul lui Raabe-Duhamel. Aplicaţii 60. Serii alternate 61. Criteriul lui Leibnitz 62. Serii de funcţii reale. Definiţii 63. Serii de puteri. Definiţii 64. Teorema lui Abel 65. Serii de puteri. Proprietăţi 66. Serii de puteri. Aplicaţii 67. Serii Taylor. Definiţie 68. Serii Taylor. Aplicaţii 69. Serii Mac-Laurin. Definiţie 70. Serii Mac-Laurin. Aplicaţii 71. Funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţii 72. Derivata parţială a unei funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie 73. Derivata parţială a unei funcţii reale de mai multe variabile reale. Aplicaţii 74. Matricea hessiană 75. Diferenţiala unei funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţii 76. Diferenţiala unei funcţii reale de mai multe variabile reale. Aplicaţii 77. Interpretarea economică a derivatelor parţiale 78. Extremele funcţiilor de mai multe variabile. Punct de maxim local. Definiţie 79. Extremele funcţiilor de mai multe variabile. Punct de minim local. Definiţie 80. Punct staţionar. Definiţie 81. Extremele funcţiilor de mai multe variabile. Aplicaţii 82. Extremele funcţiilor de mai multe variabile condiţionate. Metoda multiplicatorilor lui Lagrange 83. Integrale duble. Definiţie 84. Integrale duble. Aplicaţii 85. Integrale improprii (generalizate). Definiţii. Aplicaţii 86. Funcţia gama. Definiţie 87. Funcţia gama. Proprietăţi 88. Funcţia gama. Aplicaţii 89. Funcţia beta. Definiţe 90. Funcţia beta. Proprietăţi 91. Funcţia beta. Aplicaţii 92. Tipuri principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie. Definiţii 93. Problema lui Cauchy 94. Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile. Forma generală 95. Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile. Aplicaţii 96. Ecuaţii omogene. Forma generală 97. Ecuaţii omogene. Aplicaţii 98. Ecuaţii liniare de ordinul I. Forma generală 99. Ecuaţii liniare de ordinul I. Aplicaţii 100.Aplicaţii în economie a ecuaţiilor diferenţiale. Funcţia cererii unui produs pe piaţă

Bibliografie:

1. Rodica Trandafir, I.Duda, Aurora Baciu, Rodica Ioan, Silviu Bârză – Matematici pentru economişti, Editura Fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 2005 2. Aurora Baciu – Matematici economice şi financiare, Editura Fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 2003

3. Matei A. – Curs de matematici pentru studenţii economişti, Editura Fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 1998