VALORACION DE BONOS

Elementos de un bono

Un bono es un instrumento financiero de renta fija y constituye una de las formas de endeudamiento que pueden utilizar, tanto el Gobierno como las empresas privadas para financiarse. Está compuesto por cupones, que constituyen el interés, y un valor principal, ambos “fijados” desde su fecha de emisión. Por lo general, los cupones se reciben semestralmente, y a veces anualmente, y el principal se percibe totalmente a la fecha de vencimiento del bono.

A efectos de precios y cotizaciones de bonos en los mercados de deuda se utiliza siempre un valor par de 100 que representa el 100% del nominal del bono. Cada punto es un 1 por 100 del valor nominal, en nuestro caso 1 punto equivale a 100 dólares.

Valoración de un bono (Bond pricing)

El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente del flujo de fondos que se espera recibir en el futuro. Por consiguiente, para hallar el precio de un bono es necesario conocer su flujo de fondos y descontarlo luego con una tasa de interés.

5. Valor de un bono cuando nos acercamos a su vencimiento

¿Qué pasa con el precio de un bono si el tipo de interés de mercado se mantiene constante a lo largo del tiempo? De acuerdo a lo visto anteriormente podemos encontrarnos con tres casos: que el bono cotice actualmente a la par, con descuento o con premio. Para cada uno de estos casos, si la tasa de interés de mercado se mantiene constante, se cumple lo siguiente:

a) Si el bono cotiza a la par, conforme con acercamos a su fecha de vencimiento, su precio se mantendrá a la par. b) Si el bono cotiza con descuento, conforme nos acercamos a su fecha de vencimiento, el precio irá aumentando (hasta alcanzar el valor par a su vencimiento). Véase columna 2 en el Cuadro 2. c) Si el bono cotiza con premio, conforme nos acercamos a su fecha de vencimiento, el precio irá disminuyendo (hasta alcanzar el valor par a su vencimiento). Véase columna 3 en el Cuadro 2.

Cuadro 2. Precio de un bono cuando nos acercamos a su vencimiento

|Años hasta |Precio si |Precio si |
|vencimiento |i = 14% |i = 6% |
|3 |90,46 |110,83 |
|2 |93,22 |107,43 |
|1 |96,38 |103,82 |
|0 |100,00 |100,00 |

Para un bono a tres años, valor par 100 con cupón del 10 por 100 anual a pagar semestralmente.

Podemos decir entonces, a modo de resumen, que el precio de un bono variará si se da alguno de los tres casos siguientes:

a) Que cambie el tipo de interés de mercado debido a que los inversores perciben que la calidad crediticia del emisor ha cambiado. Si, por ejemplo, los inversores estimaran que el emisor podría tener problemas financieros para devolver el principal del bono o pagar alguno de sus cupones, el rendimiento requerido aumentará y, por lo tanto, el precio caerá. A mayor riesgo, mayor rendimiento requerido y caída del precio. Lo contrario sucederá cuando los inversores crean que el emisor tiene menos riesgo hoy que en el pasado. b) Que cambie su rendimiento debido a cambios en el rendimiento de otros bonos comparables en términos de riesgo, plazo, etc; es decir, cambios en el tipo de interés de mercado. c) Que, permaneciendo el rendimiento requerido constante, un bono que cotiza con descuento o con premio (no a la par) se vaya acercando a su fecha de vencimiento.

Decíamos anteriormente que un bono está compuesto por cupones o interés que se pagan periódicamente, y un valor par o principal que se paga enteramente a la fecha de vencimiento. A continuación vamos a analizar las características de dos tipos especiales de bonos: aquellos que no pagan cupones o interés (bonos cupón cero) y aquellos que pueden ser rescatados por el emisor antes de la fecha de vencimiento (bonos de amortización anticipada).

6. Bonos cupón cero (zero coupon bonds)

Como su nombre lo indica, un bono cupón cero es aquel que no paga ningún cupón o interés desde su emisión a su fecha de vencimiento. En su lugar, el inversor recibe los intereses como diferencia entre el precio de compra y el valor par del bono. Su precio, al igual que el precio de cualquier bono, es igual al valor presente del flujo esperado de fondos:

P = C + C + ... + C + M a (1+i)1 (1+i)2 (1+i)n (1+i)n

7. Bonos de amortización anticipada (callable bonds)

En el mercado norteamericano, muchos de los bonos emitidos por corporaciones contienen cláusulas que otorgan al emisor la opción de rescatar el bono antes de su fecha de vencimiento. Así, por ejemplo, un bono emitido a diez años podría ser rescatado anticipadamente si esa fuera la voluntad de la compañía emisora. Como instrumento de financiación para la empresa, el bono de amortización anticipada presenta dos importantes atractivos: en primer lugar, si caen las tasas de interés, la empresa puede rescatar los bonos que están en circulación y emitir una nueva serie a menor costo. En segundo término, otorga al emisor flexibilidad. Si las condiciones de mercado cambian, o la estrategia empresaria lo requiere, el bono de amortización anticipada posibilita adaptar la estructura de capital al nuevo escenario. A primera vista parecería que este tipo de bonos supone ventajas sólo para el emisor. Sin embargo, si la empresa opta por rescatar anticipadamente el bono, suele pagar a los tenedores del bono un premio sobre el valor par. Por otro lado, algunos bonos de amortización anticipada tienen cláusulas que no permiten su rescate antes de un determinado número de años. En último término, y como regla general, cuanto más atractivas son las condiciones de emisión para la empresa mayor es la tasa requerida por el inversor y, por lo tanto, el valor del cupón (por lo general, cuando se emite un bono se fija la tasa de cupón igual a la tasa de rendimiento requerida por el mercado, para que comience cotizando inicialmente a la par). En el apartado siguiente analizaremos las distintas formas de medir el rendimiento de un bono y allí veremos también cómo valora el mercado los bonos de amortización anticipada.

8. Rendimiento de un bono

Para un bono dado, el valor del cupón, su valor par y su fecha de vencimiento son datos conocidos y fijos. Su precio y rendimiento requerido en cambio varían periódicamente según las condiciones de mercado y además en forma inversa (a mayor rendimiento requerido menor precio, y viceversa). Vimos anteriormente cómo obtener el precio de un bono partiendo de un rendimiento requerido dado, sin embargo, siendo el precio una variable dada por el mercado veremos ahora las distintas formas de evaluar el rendimiento de un bono dado su precio. Un inversor que compra un bono espera recibir el retorno de su inversión de una o más de las siguientes formas:

a) Si el precio del bono al momento de su venta o rescate anticipado es mayor que el precio de compra, el inversor tendrá una ganancia de capital (será pérdida de capital en caso contrario). b) A través del cobro de los cupones de interés que el emisor pagará periódicamente (por ejemplo, semestralmente). c) La reinversión de los cupones de interés cobrados generan “intereses sobre intereses” lo que supone un ingreso adicional.

A continuación veremos las tres formas de medir el rendimiento potencial de un bono que son más utilizadas en el mercado: rendimiento corriente, rendimiento a vencimiento y rendimiento de un bono de amortización anticipada. Veremos en qué medida consideran –o no- las tres fuentes de rendimiento que mencionamos en el párrafo anterior.

8.1 Rendimiento corriente (Current yield)

El rendimiento corriente de un bono está dado por el cociente entre el valor anual del cupón y el precio de mercado. Así por ejemplo, el rendimiento corriente de un bono emitido a veinte años, con valor par 100 y cupón del 8 por 100 anual (pagadero semestralmente) y que se compra a un precio de 90 es igual a:

Rendimiento corriente = 8 / 90 = 0,089 o 8,9%

El rendimiento corriente sólo considera como fuente potencial de retorno a los cupones o interés, ignorando totalmente tanto las posibles ganancias de capital que el inversor pueda realizar en el futuro, como los ingresos que el inversor podría obtener de reinvertir los cupones cobrados semestralmente. Por este motivo el lector advertirá que constituye una medida muy pobre.

8.2 Rendimiento a vencimiento (Yield-to-maturity)

El rendimiento a vencimiento de un bono, como el de cualquier inversión, no es ni más ni menos que su tasa interna de retorno (TIR). Es decir, la tasa de descuento que iguala el valor presente del flujo de fondos del bono con su precio. Como dijimos anteriormente, la forma de encontrar la tasa interna de retorno es realizando un ejercicio de prueba y error o iteración, utilizando la fórmula (1) pero en la que ahora la incógnita es, para un precio dado, la tasa de interés (i). La mejor forma de entender este proceso es a través de un ejemplo. Supongamos que queremos obtener el rendimiento a vencimiento de un título emitido a tres años, con valor par 100 con cupón del 10 por 100 (a pagar semestralmente) y que cotiza actualmente a 95,08.

Cuadro 3. Cálculo de la TIR de un bono por prueba y error

|Tasa semestral |Valor presente |
|5% |100,00 |
|5,5% |97,50 |
|6% |95,08 |

Para un bono a tres años, valor par 100 con cupón del 10 por 100 anual a pagar semestralmente.

En el cuadro anterior realizando un ejercicio de prueba y error obtenemos que una tasa del 6 por 100 semestral (12 por 100 anual simple) es la única que iguala el flujo de fondos del bono con su precio (95,08) y, por tanto, constituye el rendimiento a vencimiento o TIR semestral del bono. La TIR anual o tasa anual efectiva se obtendría anualizando la tasa semestral, usando la fórmula (2). En este caso concreto la TIR anual o TAE sería:

TIR anual = (1 + 0.12/2)2 – 1= 1.062 –1= 0,1236 o 12,36%

El inversor debe tener en cuenta también que la TIR de un bono cambia cada vez que la tasa de interés de mercado lo hace, es decir, casi diariamente. Esto es así porque la TIR no es más que el tipo de interés de mercado para un bono concreto. Cada día ese tipo varía y, por tanto, hace subir o bajar el precio del bono. Sin embargo, para el tenedor de un bono lo que realmente cuenta es la TIR del día de compra.

Supuestos de la TIR

Ahora bien, de cara a lo que constituyen las tres fuentes de rendimiento de un bono (ganancias de capital, cobro de cupones e interés por reinversión de cupones): ¿Qué considera y qué no considera el rendimiento a vencimiento o TIR?:

a) La TIR tiene en cuenta el ingreso por cupones y cualquier ganancia o pérdida de capital que el inversor pueda obtener manteniendo el bono a vencimiento. Por tanto para el caso de un inversor que piensa mantener el bono a vencimiento no existe preocupación alguna. Pero, para el que compra un bono para venderlo antes de esa fecha existe el llamado riesgo de tasa de interés (interest rate risk): si las tasas de interés suben, el precio del bono caerá y el inversor realizará una pérdida de capital. No todos los bonos tienen el mismo riesgo de tasa de interés. b) La TIR considera también los “intereses sobre intereses” que se obtienen por la reinversión de los cupones: sin embargo, suponen que los cupones pueden ser reinvertidos a una tasa de interés igual a la TIR del día de compra. De allí que exista un riesgo de reinversión (reinvestment risk) por el hecho de que en el futuro las tasas de interés sean menores a la TIR y, por tanto, ésta esté sobrevalorando el ingreso potencial proveniente de la reinversión de cupones.

Como regla general, podemos decir que para una TIR y un valor del cupón dados, cuanto más distante esté la fecha de vencimiento de un bono más depende su rendimiento del ingreso proveniente de la reinversión de cupones y, por tanto, mayor es su riesgo de reinversión. En segundo lugar, para una TIR y fecha de vencimiento dados, cuanto mayor es el valor del cupón mayor es su riesgo de reinversión. Por eso (manteniendo constantes la TIR y fecha de vencimiento) un bono que cotiza con premio tiene mayor riesgo de reinversión que uno que cotiza a la par, y este último mayor que uno que cotiza con descuento. Para el caso de un bono cupón cero, al no depender su rendimiento de la reinversión de cupones, no existe riesgo de reinversión; pero sí tiene riesgo de tasa de interés si el inversor no mantiene el bono cupón cero hasta su amortización o vencimiento.

TIR de un bono cupón cero

Cuando existe un único flujo de fondos, como es el caso de un bono cupón cero, el cálculo de la TIR es evidentemente más sencillo. El rendimiento a vencimiento de un bono cupón cero se obtiene a partir de la fórmula general:

Precio = Valor Par (1+i)n

TIR = (Valor Par / Precio) 1/n – 1

Así por ejemplo, el rendimiento a vencimiento de un bono cupón cero emitido a cinco años que se compra a 65 dólares con un valor par de 100 es del 9 por 100, como se muestra a continuación:

TIR = (100 / 65)1/5 – 1 = 0,09 o 9%

TIR de un bono de amortización anticipada

Para el cálculo de la TIR de un bono de amortización anticipada se suelen considerar los flujos de fondos que van desde la compra del bono hasta la fecha más próxima en que puede ser rescatado.

P = C + C + ... + C + M* a (1+i)1 (1+i)2 (1+i)n* (1+i)n*
Donde:

P: Precio del bono

C: Valor del cupón de interés n*: Número de períodos hasta la fecha más próxima de rescate

M*: Valor de rescate

La TIR calculada de este modo supone que el inversor mantendrá el bono hasta la fecha más próxima de rescate y que el emisor rescatará el bono en esa fecha. Este último supuesto es frecuentemente irreal, aunque si llegara a darse el caso, la TIR tampoco tiene en cuenta el rendimiento que el inversor puede obtener de la reinversión del valor de rescate.

9. Resumen sobre valor del dinero en el tiempo y valoración de bonos

1. El dinero tiene un valor en el tiempo porque (a) la inflación reduce el poder adquisitivo de los futuros dólares, (b) la incertidumbre acerca de si recibiremos o no el dinero en el futuro aumenta conforme los plazos son mayores, y (c) por lo que es comúnmente conocido como costo de oportunidad. 2. El valor futuro de una inversión se obtiene según la siguiente fórmula:

Valor Futuro = Valor Presente (1 + i) n

3. El valor presente de un monto a recibir es igual a:

Valor Presente = Valor Futuro 1 a (1+i)n

4. La tasa interna de retorno de una inversión (TIR) es aquella que iguala el valor presente del flujo de fondos de la inversión con su precio y se obtiene a través de un proceso de iteración. Su utilidad está basada en que constituye una medida de rentabilidad que permite comparar diversos tipos de inversiones. 5. Hay que tener en cuenta, cuando se trabaja con una calculadora financiera, las diversas formas de anualizar tasas de interés semestrales según sea el mercado americano o el europeo. El primero trabaja con tasas anuales simples, mientras que el europeo trabaja con tasas anuales efectivas. 6. Un bono es un instrumento financiero de renta fija y constituye una de las formas de endeudamiento que pueden utilizar tanto el Gobierno como las empresas privadas para financiarse. Está compuesto por cupones o interés y un valor principal, ambos “fijados” desde su fecha de emisión. 7. El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente del flujo de fondos que se espera recibir en el futuro. En el caso de un bono su flujo de fondos está dado por los cupones que son pagados generalmente en forma semestral y por el principal que se percibe a vencimiento. Por tanto el precio de un bono se obtiene con la siguiente fórmula:

P = C + C + ... + C + M a (1+i)1 (1+i)2 (1+i)n (1+i)n

8. La relación tipo de interés de mercado/precio de un bono es inversa. Una suba (baja) del tipo de interés de mercado produce una baja (alza) del precio del bono. 9. Para bonos que cotizan con premio (sobre la par) o con descuento (bajo la par) se cumple que conforme se acercan a su fecha de vencimiento, su precio tiende al valor par. 10. Merecen destacarse dos tipos especiales de bonos: los bonos cupón cero y los bonos de amortización anticipada. 11. Las tres formas de medir el rendimiento potencial de un bono más utilizadas en el mercado son: (a) el rendimiento corriente, (b) el rendimiento a vencimiento, y (c) el rendimiento de un bono de amortización anticipada. 12. El rendimiento a vencimiento no es más que su TIR. Se obtiene, por tanto, despejando i en la fórmula ya conocida, siendo P ahora un dato:

P = C + C + ... + C + M a (1+i)1 (1+i)2 (1+i)n (1+i)n

13. La TIR supone (a) que el bono es mantenido hasta su vencimiento y (b) que los cupones pueden ser reinvertidos a una tasa de interés igual a la TIR del día de compra del bono. Ambos supuestos dan lugar a los llamados riesgo tasa de interés y riesgo de reinversión. 14. Adicionalmente, la TIR de un bono de amortización anticipada supone que el inversor mantendrá el bono hasta la fecha más próxima de rescate y que el emisor rescatará el bono en esa fecha.

VOLATILIDAD DE UN BONO

1. SENSIBILIDAD DEL PRECIO DE UN BONO

1. Introducción

Al valorar un bono vemos cómo los cambios en las tasas de interés afectan al precio de un bono. Una suba (baja) del tipo de interés de mercado produce una baja (alza) en su precio. Vale la pena recordar que la causa de este comportamiento puede explicarse desde dos puntos de vista:

a) Por un lado, es evidente que en un mercado de capitales competitivo, alternativas de inversión similares deben ofrecer a los inversores tasas de rendimiento también similares. Si, por ejemplo, un bono es emitido con cupón del 7 por 100 cuando las tasas de interés comparables son del 7 por 100, entonces cotizará al valor par. Sin embargo, si por cualquier causa las tasas suben al 9 por 100: ¿Quién comprará un bono con cupón del 7 por 100 al valor par? El precio del bono deberá bajar hasta que su rendimiento alcance un “valor competitivo” del 9 por 100. Por el contrario, si las tasas de interés caen del 7 por 100 al 5 por 100 el valor del cupón pasará a ser sumamente atractivo, los inversores viendo este rendimiento diferencial demandarán el bono y harán subir su precio hasta que su rendimiento se iguale con las tasas de mercado. b) Matemáticamente, el precio de un bono es igual al valor presente de su flujo esperado de fondos. Un alza (baja) de la tasa de descuento aplicada reduce (aumenta) el valor presente de dicho flujo de fondos, y por tanto el precio del bono.

Ahora bien, la pregunta clave es ¿cuán sensible es el precio de un bono a los cambios en la tasa de interés?, ¿en qué medida influye su plazo?, ¿cuánto puede un inversor ganar (perder) si la tasa de interés de mercado aumenta (disminuye)?, en síntesis: ¿cuán volátil es el precio de un bono determinado?. La comprensión de conceptos como volatilidad del precio de un bono, duración y convexidad resulta imprescindible a la hora de realizar estrategias de cobertura (hedging) y de gestionar una cartera de bonos.

1.2 Sensibilidad del precio de un bono

Es sencillo confirmar con ejemplos numéricos que el precio de un bono a largo plazo es más sensible a los cambios en la tasa de interés que el precio de un bono a corto plazo. En el cuadro que se presenta a continuación se muestran tres bonos con valor par 100 y que poseen el mismo cupón 12 por 100 anual (con pago semestral), pero que se diferencian en los plazos de vencimiento: el primero ha sido emitido a tres años, el segundo con vencimiento dentro de diez años y el tercero emitido a veinte años.

Cuadro 1. Volatilidad del precio en bonos

|Tasa anual |Bono A |Bono B |Bono C |
|Simple |(3 años) |(10 años) |(20 años) |
|12 % |100,00 |100,00 |100,00 |
|13 % |97,57 |94,50 |92,93 |
|( Precio |- 2,4% |- 5,5% |- 7,1% |

Para tres bonos con valor par 100 y cupón 12 por 100 anual.

El precio del bono A –de más corto plazo– cae un 2,4 por 100 cuando la tasa de interés asciende de 12 a 13 por 100. El bono B desciende un 5,5 por 100 y el C –a veinte años de su vencimiento– lo hace en más de un 7 por 100. De aquí se desprende que para bonos con el mismo valor de cupón, cuanto mayor es el plazo de un bono, mayor es su sensibilidad a un cambio en la tasa de interés. Aún cuando la calidad crediticia de los emisores de dos bonos sea la misma, aquel bono que esté más distante de su vencimiento se encuentra generalmente más expuesto al riesgo de una subida en la tasa de interés. La explicación lógica de esta diferencia en el riesgo de tasa de interés según los plazos es simple. Supongamos un inversor que compra un bono con valor par 100 emitido a quince años y cuyo valor del cupón es del 17 por 100 anual y que se paga en forma anual. Ahora supongamos que las tasas de interés comparables con el bono asciendan al 20 por 100: nuestro inversor seguirá recibiendo una renta de 17 durante los siguientes quince años. Por otro lado, si hubiese comprado un bono que está a un año de su vencimiento hubiese recibido una baja renta solo por un año. A fin de año hubiese recibido el valor par del bono (100) y hubiese podido reinvertirlo y recibir un 20 por 100 durante los próximos 14 años. Es lógico por tanto que el bono que está a un año de su vencimiento sufra una caída en su precio inferior a la que se da en el caso de aquel al que le quedan 15 años. El riesgo tasa de interés refleja el hecho de que el inversor está “comprometido” por un período de tiempo en una inversión dada que le proporciona una tasa de interés fija: cuanto mayor es este período, mayor es el riesgo de que la tasa de interés sufra modificaciones. Además, una vez producida la modificación en el tipo de interés, cuanto mayor sea el plazo del bono, el inversor se verá perjudicado (beneficiado) durante mayor tiempo, por el cambio de los tipos. El hecho de que los bonos de largo plazo sean más sensibles a subas en la tasa de interés, se comprende también recurriendo a la fórmula matemática para obtener el precio de un bono:

P = C + C + ... + C + M a (1) (1+i)1 (1+i)2 (1+i)n (1+i)n

Observando el denominador de cada término es evidente que una mayor tasa de descuento tiene mayor impacto sobre los flujos de fondo más distantes. En el caso de un bono emitido a un año, su vencimiento está tan cercano que su precio se mantiene prácticamente inalterado ante variaciones en la tasa de interés. Conforme los pagos se hacen más distantes, el hecho de descontar el flujo de fondos con una mayor tasa de descuento se hace más significativo, y el precio se ve más afectado por un aumento en la tasa de interés.

1.3 ¿Sólo importa el plazo?

En el cuadro que se presenta a continuación repetimos el mismo ejercicio numérico realizado en el Cuadro 4, pero en lugar de considerar bonos con cupón del 12 por 100 anual, utilizamos bonos cupón cero.

Cuadro 2. Volatilidad precios de bonos cupón cero

|TAS |Bono D |Bono E |Bono F |
|(1) |(3 años) |(10 años) |(20 años) |
|12 % |71,18 |32,20 |10,36 |
|13 % |69,30 |29,46 |8,68 |
|( Precio |-2,6% |-8,5% |-16,2% |

1) TAS = Tasa anual simple. Para bonos cupón cero la TAS = TIR.

Si comparamos las variaciones de precios obtenidas en el Cuadro 2 con las del Cuadro 1, vemos que para cada plazo cuando la tasa de interés asciende de 12 a 13 por 100 las variaciones de precios de los bonos cupón cero son mayores que la de los bonos con cupón del 12 por 100 (3 años: 2,6%>2,4%; 10 años: 8,5%>5,5%; 20 años: 16,2%>7,1%). Aquí nos encontramos entonces con bonos que tienen el mismo plazo y distinta volatilidad: ¿cómo se explica esto? Los bonos con cupón del 12 por 100 pagan intereses todos los años hasta la fecha de vencimiento en los que pagan también el valor par. Cada uno de estos pagos tiene –por así decirlo- su “propio plazo” y, por tanto, el plazo efectivo del bono es una especie de promedio ponderado de cada uno de estos plazos. Este plazo efectivo será ciertamente inferior al período de tiempo que resta para la fecha de vencimiento. Por el contrario, el bono cupón cero consta de un solo pago que se realiza a vencimiento y, por tanto, su plazo efectivo es igual al período de tiempo que resta para la fecha de su vencimiento.

2. DURACION

2.1 Concepto y cálculo de la duración

Esta idea de plazo promedio para un bono que paga cupones antes de su fecha de vencimiento fue definida por primera vez por Frederick Macaulay con el concepto de duración (duration) de un bono. La duración de un bono tiene en cuenta el peso que cada pago (sea del cupón o del principal) tiene en el valor del bono. Concretamente, la importancia de cada pago es igual a su valor presente dividido por el precio del bono. La fórmula de Macaulay para obtener la duración de un bono es la siguiente:

T D = ( t x CFt / (1+i)t (2) t = 1 P

Donde:
D: Duración del bono t: Número de períodos hasta cada pago i: TIR del bono o tasa efectiva del período
CFt: Es el pago de cupón y/o valor par (cash flow) recibido por el inversor en el período t.
P: Precio del bono

Como se desprende de la fórmula anterior, la duración es un promedio ponderado del número de períodos que restan hasta cada pago (t), donde los ponderadores están dados por cada flujo de fondos descontado por la TIR y dividido por el precio del bono, es decir, (CFt/ (1+i)t)/ P. Obviamente, como la suma de los flujos descontados (numerador) es igual al precio del bono (denominador), la suma de los ponderadores es igual a uno. A modo de ejemplo se presenta a continuación el cálculo de la duración de un bono con cupón del 12 por 100 anual (Bono A) y de un bono cupón cero (Bono B), ambos con un plazo de tres años hasta su vencimiento y asumiendo que la tasa anual simple (TAS) para ambos es del 14 por 100 anual (lo que se corresponde con una tasa semestral del 7 por 100 y una TIR anual del 14,49 por 100).

Cuadro 3. Cálculo de la duración

| |Períodos |Pago |Pago descontado al 7% |Ponderador |Duración |
| |(años) | |semestral | | |
| |hasta pago | |(3) | | |
| |(1) |(2) | |(4) |5=(1)x(4) |
|Bono A |0,5 |6 |5,61 |0,058 |0,029 |
|(cupón 12% |1,0 |6 |5,24 |0,055 |0,055 |
|pago sem.) |1,5 |6 |4,89 |0,051 |0,076 |
| |2,0 |6 |4,58 |0,048 |0,096 |
| |2,5 |6 |4,28 |0,045 |0,113 |
| |3,0 |106 |70,63 |0,743 |2,229 |
| | |Suma: |95,23 |1,000 |2,598 |
| | | | | | |
| |(1) |(2) |(3) |(4) |5=(1)x(4) |
|Bono B |0,5 a 2,5 |0 |0 |0 |0 |
|(cupón cero) |3,0 |100 |66,63 |1,000 |3,000 |
| | |Suma: |66,63 |1,000 |3,000 |

En la columna (4) los ponderadores se obtienen dividiendo el valor presente de cada pago (columna 3) por el precio del bono (Bono A: 95,23 y Bono B: 66,63). Sumando los valores obtenidos en la columna (5) obtenemos la duración de cada bono: la duración del bono cupón cero, al tener un solo pago, es exactamente igual a su plazo (3 años o 6 semestres); en cambio la duración del bono que paga cupones semestrales es inferior a su plazo (2,6 años o 5.2 semestres). Es decir, a pesar de que los dos bonos tienen el mismo plazo, el tenedor del Bono A recibe el retorno de su inversión, en promedio, en dos años y siete meses, mientras que el tenedor del cupón cero lo hará en tres años.

2.2 Relación duración-precio del bono

Anteriormente habíamos dicho que los bonos de largo plazo son más sensibles que los de corto a variaciones en la tasa de interés. La duración nos permite, en primer lugar, cuantificar con propiedad cuanto más largo o más corto es un bono con respecto a otro, teniendo en cuenta no solo su plazo sino también el timing del flujo de fondos. Adicionalmente, como veremos a continuación, la duración constituye un elemento de suma importancia para determinar la sensibilidad del precio de un bono frente a cambios en la tasa de interés. Concretamente, la siguiente fórmula puede utilizarse para obtener la variación en el precio de un bono, como consecuencia de pequeños cambios en su TIR:

( P = -1 x D x ( i x 100 (3) (1+i)

Donde: ( P: Variación del precio del bono, en %. i: TIR del bono o tasa efectiva del período. ( i: Variación de la TIR en decimales. D: Duración del bono en períodos. La duración y la TIR deben estar expresados en la misma unidad de tiempo, por ejemplo, si la TIR es anual, la duración debe estar expresada en años; si la TIR es semestral, la duración debe estar expresada en semestres, etc.

Generalmente, los dos primeros factores del segundo miembro de la igualdad se combinan en un solo término llamado duración modificada (modified duration) (DM), por tanto, la ecuación anterior puede reexpresarse de la siguiente forma

( P = -DM x ( i x 100 (4)

Así, por ejemplo, supongamos que queremos calcular la variación que sufrirá el precio del Bono A, que presentáramos en el cuadro anterior, ante un cambio del tipo de interés que prevemos ascenderá de 7 por 100 a 7,1 por 100 semestral. Como ya hemos comprobado en el cuadro 3, el bono A tiene una duración de 5,2 semestres. La duración modificada es por tanto la siguiente:

DM = 1 x D (5) (1+i)

DM = 5,20 = 4,86 semestres 1,07

Si la TIR aumenta de 7 por 100 a 7,10 por 100 (0,001 en decimales) aplicando la fórmula (4), obtenemos que el precio del bono descenderá un 0,486 por 100.

( P = -4,86 x 0,001 x 100 = -0,49 %

En efecto, como se ve en el cuadro 4 (al final del siguiente apartado), cuando la tasa efectiva semestral (TIR semestral) era del 7 por 100 el precio del bono era igual a 95,23, recalculando el precio con una nueva TIR semestral del 7,10 por 100 obtenemos un precio de 94,77, un 0,49 por 100, inferior al precio anterior. Este ejemplo confirma que para pequeños cambios en la TIR de un bono la duración nos da una buena aproximación del porcentaje de cambio que sufrirá su precio. Téngase en cuenta que se trata (como veremos más adelante) de una aproximación, no de un valor exacto, y que esta aproximación sólo es válida para pequeñas variaciones en los tipos de interés.

2.3 Características de la duración

El concepto de duración es tan importante a la hora de realizar gestión de carteras con activos de renta fija, que resulta conveniente repasar algunas de sus propiedades:

a) Como comprobamos anteriormente, la duración de un bono cupón cero es igual a su plazo. b) Manteniendo constante el rendimiento a vencimiento, cuanto menor es el valor del cupón mayor es la duración de un bono. Esto se debe al menor impacto que tienen los cupones que se recibirán en forma más reciente en el promedio ponderado de los pagos a recibir. c) Manteniendo constante el valor del cupón, la duración de un bono generalmente aumenta con su plazo. d) Caeteris paribus, la duración de un bono es mayor cuando su TAS es menor. Obviamente esto no se cumple en el caso de los bonos cupón cero en los que la duración es igual al plazo cualquiera sea la TIR. e) La duración de una perpetuidad (renta fija que se percibirá en forma perpetua) es igual a (1 + i) / i. Así, por ejemplo, a una TAE del 15 por 100, la duración de una perpetuidad que paga 100 dólares todos los años es igual a 1,15/0,15 = 7,6 años. Esto pone de manifiesto en forma evidente la diferencia que existe entre duración y plazo de un bono: en el ejemplo anterior, el plazo es infinito (perpetuamente recibiremos 100 dólares una vez al año) sin embargo, la duración es de 7,6 años. f) La duración de una anualidad (renta fija que se percibirá durante un período determinado) se obtiene con la siguiente fórmula:

D = 1 + i - n a (6) i (1+i)n –1

Donde: i: Tipo de interés por período (anual, semestral, etc.). n: Número de períodos.

Por ejemplo, la duración de una anualidad de 100 dólares que se recibirá por veinte años y cuyo rendimiento es del 9 por 100 anual será de 7, 76 años:

D = 1.09 - 20 = 7,76 años 0.09 (1.09)20 - 1

g) La fórmula general para obtener la duración de un bono que paga cupones periódicamente es la siguiente:

D = 1 + i - (1+i) + n (C-i) a (7) i C((1+i)n–1)+i

Donde: i: Tasa de interés por período (anual, semestral, etc), en decimales. n: Número de períodos. C: Valor del cupón, en decimales.

Así, por ejemplo, en nuestro ejemplo anterior de un bono emitido a tres años con un valor par de 100 que paga dos cupones semestrales de 6 por año y que tiene un rendimiento a vencimiento del 14 por 100 anual (7 por 100 semestral):

D = 1.07 - (1.07) + 6(0.06 - 0.07) 07. 0.06((1.07)6-1)+ 0.07

D = 15,28 – 10,09 D = 5,19 semestres D = 2,59 años => que coincide con el resultado obtenido en el Cuadro 6.

Esta es una fórmula sencilla para el cálculo de duración. Téngase en cuenta que si los datos que introducimos en la fórmula (7) son, por ejemplo, semestrales, la duración obtenida vendrá también expresada en semestres. Ahora bien, dijimos anteriormente que para “pequeños cambios” en la TIR de un bono la duración nos da una buena aproximación del porcentaje de cambio que sufrirá su precio. Esto se puede ver de forma inmediata volviendo a tomar nuestro ejemplo:

Cuadro 4. Duración y volatilidad del precio de un bono

|Tasa efectiva |Precio |Variación |Variación del |
|semestral |del bono |del precio |Precio explicada |
|(TIR) | | |por la duración |
|2% |122,40 |28,53% |24,25% |
|6% |100,00 |5,00 |4,85 |
|6,9% |95,69 |0,49 |0,49 |
|7% |95,23 |0,00 |0,00 |
|7,1% |94,77 |-0,49 |-0,49 |
|8% |90,75 |-4,70 |-4,85 |
|12% |75,33 |-20,89 |-24,25 |

Para un bono emitido a tres años, con cupón del 12 por 100 anual a pagar semestralmente.

En el Cuadro 4 podemos ver que cuanto mayores son los cambios en la tasa de interés (columna 1) mayor es la divergencia entre la variación real del precio del bono (columna 3), y la que obtenemos aplicando la fórmula (4) que estima la variación del precio del bono en base a su duración (columna 4). Así, por ejemplo, cuando la tasa de interés desciende de 7 por 100 a 2 por 100 semestral el precio del bono asciende de 95,23 a 122,40, es decir, un 28,53 por 100. La duración, sin embargo, estima la suba en tan sólo un 24,25 por 100.

3. CONVEXIDAD

3.1 Concepto de convexidad

Para mejorar la estimación que nos provee la duración cuando los cambios en la tasa de interés son significativos, debemos incorporar el concepto de convexidad. Si realizásemos un gráfico, la relación precio de un bono / tasa de interés de un bono obtendríamos una curva convexa con respecto a la intersección de los ejes. Matemáticamente, la duración es la tangente a esa curva en un determinado punto (un valor de precio y de tasa de interés dado), de ahí que para cambios infinitesimales en la tasa de interés la duración nos de una aproximación adecuada del nuevo valor que alcanzará el precio.

Gráfico 1. Precio, rentabilidad y duración de un bono.

[pic]

Sin embargo, a medida que nos alejamos de ese punto la tangente y la curva se separan y, por tanto, la duración por sí sola no nos da una buena aproximación del cambio en el precio del bono ante variaciones en el tipo de interés. Lo podemos ver en la Gráfico 1. La pendiente de la función del precio del bono en el punto P1 es la duración del bono para ese determinado precio (P1) y rentabilidad (I1). Si se produce un descenso del tipo desde I1 a I2, el precio del bono aumentará desde P1 a P2. Sin embargo, el aumento de precio que nos da la duración es solo de P1 a Pd. Una aproximación más exacta se obtiene utilizando la duración más la convexidad de la curva. Esta última puede calcularse con la siguiente fórmula:

n Convexidad (en años) = 1 x ( t x ( t + 1 ) x VPCFt a (8) (1+i/k)2 t = 1 k x k x VPTCF

Donde: i = tipo de interés: tasa anual simple. k = Número de pagos por año (k = 1 si los pagos son anuales, k = 2 si son semestrales, etc...). n = Número de períodos hasta vencimiento. t = Período en el que el flujo de fondos (cupón o valor par) será cobrado. VPCFt = Valor presente del flujo en el período t descontado por la TAS. VPTCF = Valor presente total del flujo de fondos del bono descontado por la TAS (o sea, el precio del bono).

3.2 Cálculo de la convexidad

Veamos como aplicamos esta fórmula al bono de nuestro ejemplo, emitido a tres años con cupón del 12 por 100 anual y que cotiza con TAS del 14 por 100.

a) La primera parte de la fórmula es:

1 = 1 = 1 = 0,8734 (1+i/k)2 (1+0,14/2)2 1.07

b) La segunda parte de la fórmula aparece en el Cuadro 8.

Cuadro 5. Cálculo de la convexidad

|Períodos |Pago |Pago descontado al 7% | t ( t + 1 ) a |Segunda parte de la |
|(semestres) hasta pago | |semestral |k x k x VPTCF |fórmula |
|(1) | |(3) | | |
| |(2) | |(4) |5 = (3) x (4) |
|1 |6 |5,61 |0,0053 |0,0295 |
|2 |6 |5,24 |0,0158 |0,0825 |
|3 |6 |4,89 |0,0315 |0,1540 |
|4 |6 |4,58 |0,0525 |0,2405 |
|5 |6 |4,28 |0,0788 |0,3371 |
|6 |106 |70,63 |0,1103 |7,7876 |
| | | | | |
| |Suma: |95,23 | |8,6312 |

Bono A: cupón del 12 por 100 pagadero semestralmente.

El primer elemento de la columna 5 lo hemos calculado del siguiente modo:

t x (t+1) x VPCF = 1 x (1+1) x 5,61 = 0,0295 k x k x VPTCF 2 x 2 x 95,23

c) La convexidad será igual a a) por b): 0,8734 x 8,6312 = 7,54

3.3 Variación de precio explicada por convexidad

Como vimos anteriormente, la duración nos proporciona una primera aproximación de la variación que sufrirá el precio ante una variación del tipo de interés. La convexidad nos da una segunda aproximación, según la siguiente fórmula:

( Precio debido a convexidad = 1/2 x Convexidad x (( i)2 x 100 (9)

En nuestro ejemplo de un bono emitido a tres años con cupón del 12 por 100 anual y que cotiza con una TAS del 14 por 100, la convexidad obtenida aplicando la fórmula (8) es igual a 7,54. Por tanto, cuando la tasa de interés desciende del 14 por 100 al 4 por 100 anual, la variación en el precio que es explicada por la convexidad, es igual a:

( Precio debido a convexidad = 1/2 x 7,54 x (0,1)2 x 100 = 3,77%

Por tanto, cuando en nuestro ejemplo la tasa de interés cae del 14 por 100 al 4 por 100 la aproximación de la variación del precio, que obtenemos teniendo en cuenta conjuntamente la duración y la convexidad es de:

Duración = + 24,25% Convexidad = + 3,77% Total + 28,02%

Recordemos que en este caso la variación real del precio es de 28,53% por 100 (véase Cuadro 4). La convexidad mejora la aproximación obtenida por la duración. Como síntesis, entonces, para pequeños cambios en la tasa de interés la duración nos da una buena aproximación de la variación que tendrá el precio, ante cambios en el tipo de interés requerido; sin embargo, para grandes fluctuaciones de la tasa de interés debemos tener en cuenta, además, la convexidad. Sin embargo, en la práctica y como podemos ver en el ejemplo anterior, la variación de precio explicada por la convexidad es extremadamente pequeña, y casi despreciable para los cambios normales en tipos de interés que se experimentan en cualquier economía desarrollada y estable.

4. RESUMEN

1. Una suba (baja) del tipo de interés de mercado produce una baja (suba) en el precio de un bono. Sin embargo, los precios de los bonos reaccionan en distinto grado a los cambios en el tipo de interés. Resulta entonces de suma importancia saber determinar la volatilidad de un bono. 2. Generalmente, los bonos de largo plazo son más sensibles a cambios en la tasa de interés que los bonos de corto plazo. 3. Para bonos con el mismo valor de cupón, cuanto mayor es el plazo de un bono mayor es su sensibilidad a un cambio en la tasa de interés. 4. El riesgo tasa de interés refleja el hecho de que el inversor está “comprometido” por un período de tiempo en una inversión dada que le proporciona una tasa de interés fija: cuanto mayor es este período, mayor es el riesgo que la tasa de interés sufra modificaciones. 5. Como medida de la vida promedio de un bono es conveniente no hablar del plazo de un bono, sino de su duración. La duración tiene en cuenta no solo el plazo sino el timing del flujo de fondos del bono y permite determinar la volatilidad de un bono. 6. La duración de un bono tiene en cuenta el peso que cada pago de cupón y el nominal tienen en el valor de un bono. Concretamente, la importancia de cada pago es igual a su valor presente dividido por el precio del bono. La fórmula de Macaulay para obtener la duración de un bono es la siguiente:

T D = ( t x CFt / (1+i)t t = 1 P

Sin embargo, a efectos prácticos conviene utilizar:

D = 1 + i - (1+i) + n (C-i) i C((1+i)n–1)+i

7. Para pequeños cambios en la tasa de interés la duración nos da una buena aproximación de la variación que tendrá el precio; sin embargo, para grandes fluctuaciones de la tasa de interés debemos tener en cuenta, además, la convexidad.