第二章 泛函极值及变分法（补充内容）
2.1 变分的基本概念
2.1.1 泛函和变分
泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y(x)}中的每一个函数 y(x)，变量 J 有一
值与之对应，或者说数 J 对应于函数 y(x)的关系成立，则我们称变量 J 是函数 y(x)的泛函，
记为 J[y(x)]。
例 1：如果表示两固定端点 A(xA，yA)，B(xB，yB)间的曲线长度 J（图 2.1.1）
，则由微积分相关
知识容易得到：
J



xB

1  (dy / dx)2 dx

（2.1.1）

xA

显然，对于不同的曲线 y(x)，对应于不同的长度 J，即 J 是函数 y(x)的函数，J=J[y(x)]。

图 2.1.1 两点间任一曲线的长度
例 2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果 2.1.2 所示。设在不同铅垂线上
的两点 P1 与 P2 连接成某一曲线，质点 P 在重力作用下沿曲线由点 P1 自由滑落到点 P2，这
里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。

图 2.1.2 最速降线问题
选取一个表示曲线的函数 y(x)，设质点从 P1 到 P2 沿曲线 y=y(x)运动，则其运动速度为：

v

1  y 2 ds  dx dt dt 其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：

dt 

1  y 2 dx v

1

设重力加速度为 g，则 v  2 gy 。
因为 P1 和 P2 点的横坐标分别为 x1 到 x2，那么质点从 P1 到 P2 所用时间便为：

J [ y ( x)]  

x2

1  y 2

x1

2 g[ y ( x 1 )  y ( x )



x2

dx
1/ 2

x1

 1  [ y( x)]2 


 2 g[ y ( x1 )  y( x)] 

（2.1.2）

dx

则最速降线问题对应于泛函 J[y(x)]取最小值。
回顾函数的微分：
对于函数的微分有两种定义：
一种是通常的定义，即函数的增量：
y  y( x  x)  y( x)  A( x)x   ( x, x)

（2.1.3）

其中 A（x）与  x 无关，且有  x→0 时 ρ（x,  x）→0，于是就称函数 y(x)是可微的，其
线性部分称为函数的微分 dy  A( x)x  y( x)x ，函数的微分就是函数增量的主部。
函数微分的另外一种定义：
通过引入一小参数 ε，对 y( x  x) 关于 ε 求导数，并令 ε→0 的途径得到，即： dy( x  x) d  0

 y( x  x)x  0  y( x)x  dy

（2.1.4）

上式说明 y( x  x) 在 ε=0 处关于 ε 的导数就是函数 y(x)在 x 处的微分。相应地，
在泛函 J[y(x)]中，变量函数 y(x)的增量在其很小时称为变分，用δy(x)或δy 表示，
指 y(x)与它相接近的 y1(x)的差，即： y( x)  y( x)  y1( x) 。
泛函的变分也有类似的两个定义：
对于函数 y(x)的变分δy(x)所引起的泛函的增量为 J  J [ y( x)  y( x)]  J [ y( x)] ，当
y( x)  0 时泛函增量的线性主部就称为泛函 J 在函数 y(x)处的变分，记为δJ，即：
J  J [ y( x)  y( x)]  J [ y( x)]y0  L[ y( x),y( x)]

（2.1.5）

其中 L[y(x),δy(x)]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy(x)是线性的。
另一种定义：
拉格朗日的泛函变分定义为：

2

泛函变分是 J [ y( x)  y( x)] 对  的导数在  =0 时的值，即：
J 


J [ y( x)  y( x)] 0  L[ y( x),y( x)]


（2.1.6）

首先，我们进行泛函：
J  J [ y( x)] 



x2

F ( x, y( x), y( x))dx

（2.1.7）

x1

的变分。
此泛函的增量可以用 Taylor 展式表示为：

J    F  x, y( x)  y( x), y( x)  y( x)   F  x, y( x), y ( x) dx

x1  x2 x2  F

F
1  2 F
2 F
2 F

   y 
y   2 (y )2 
yy 
(y)2  
2
x1
y
2  y
yy
( y)
 y





 dx


（2.1.8）

当 y  0 ，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。
根据变分的定义，该泛函的变分为：

J 

x2



x1

 F

F

 y y  y y dx




（2.1.9）

（2.1.9）也称为泛函 J 的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作δ2J，即：

 2J 



x2   2 F


2F
2F
2
yy 
(y) 2  dx
 2 (y) 
2

yy
( y)
 y


x1

（2.1.10）

也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到：

J 


J y( x)  y( x) 0 






x2

x1

(





dx
  F ( x, y  y, y  y)

  0

x2 

x1

F
F
y 
y)dx
y
y

（2.1.11）

此结果与（2.1.9）是相同的。
类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如：

J  J u( x, y), v( x, y)   s F ( x, y, u, v, ux , u y , vx , v y )ds

（2.1.12）

其变分为：

 F

J s 

 u


u 


F
F
F
F
F
v 
 ux 
 uy 
 vx 
 v y  ds
v
u x
u y
vx
v y



依此类推，不难得到多个多元函数的变分。
3

（2.1.13）

此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：
（1） J1  y( x)  J 2  y( x)   J1  y( x)   J 2  y( x)


（2.1.14a）

（2） J1  y( x)  J 2  y( x)   J1  y( x)  J 2  y( x)  J1  y( x)   J 2  y( x) 

（2.1.14b）

 J1  y ( x )    J 1  y ( x )   J 2  y ( x )   J 1  y ( x )    J 2  y ( x ) 



2
J 2  y ( x)  

J 2  y( x)



（2.1.14c）

（3） 


（4） J  y( x)  n J  y( x)

n

n 1

  J  y ( x) 

（2.1.14d）

2.1.2 泛函的极值和变分问题
本节将讨论泛函的极值和变分。
微积分知识：
函数取极值的必要条件（但不是充分条件）
：对于一个连续可导函数，如果其在定义域
的某（些）点函数有极值，那么这个函数的一阶导数在这（些）点等于零，这个（些）点就
是函数的极值点或驻点。
对于泛函的极值问题，
也有类似的结论，
即泛函取极值的必要条件是其一阶变分 J  0 。
简要证明：
假设函数 y(x)是泛函 J 所定义的函数集合中的任一函数，这里不妨设泛函 J[y(x)]在函数 y(x)处有极大值，那么对于任一实变量  ，必有：
J y( x) ≥J y( x)  y( x)

（2.1.15）

令 f ( )  J y( x)  y( x)，则有：

f ( )

 0

 J  y( x)  J  y( x)   y( x)  f ( )

（2.1.16）

上式表示 f ( ) 在   0 处有极大值，根据函数取极值的必要条件：

df ( )
  0  0 ，得到： d df ( ) dJy( x)  y( x)
 0 
 0  J  0 d d

（2.1.17）

由此就得到泛函取极大值的必要条件是其一阶变分为零。
同样的方法可以证明，泛函取极小值的必要条件也是其一阶变分为零。
泛函实现局部极大或极小值的充要条件：
泛函实现局部极大或极小值的充要条件与函数取极值的充要条件类似，除了其一阶变
分为零外，还需要考察二阶变分的情况：
4

1) 若泛函 J[y(x)]在 y(x)处取局部极大值，其充分必要条件为：

 2 J y( x)＜0

J y( x)  0,

（2.1.18）

2) 若泛函 J[y(x)]在 y(x)处取局部极小值，其充分必要条件为：

 2 J y( x)＞0

J y( x)  0,

（2.1.19）

通常，我们将求泛函极值的问题称为变分问题。
变分法的基本预备定理：
如果函数 F（x）在线段（x1,x2）上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选取的函
数 y(x) ，有：



x2

x1

F ( x)y( x)dx  0

（2.1.20）

则在线段（x1,x2）上有： F ( x)  0

（2.1.21）

这里 y(x) 满足的一般条件为：
① 一般或若干阶可微；
② 在（x1,x2）的端点外为 0；
③  y ( x)   或  y( x)   和 y( x)   等。
对于多变量问题，也有类似的变分定理。
二维：函数 F（x，y）在（x，y）平面 S 内连续，设 u( x, y) 在 S 的边界上为零，

 u   ,  u   ,  u y   且满足连续性以及一阶或若干阶的可微性，对于这样选取的

 u( x, y) ，若有：



s

F ( x, y) u ( x, y)dxdy  0

（2.1.22）

则在区域 S 内有：
F ( x, y)  0

（2.1.23）

现在我们来研究最简单的泛函：
J  J  y ( x ) 



x2

x1

F x, y( x), y( x)dx

（2.1.24）

的极值问题。
其中 F 为 x，y 和 y  的函数，且 F ( x, y, y) 是三阶可微的。
确定泛函极值的曲线 y  y(x) 的边界是固定不变的，且有： y( x1 )  y1 , y( x2 )  y2

（2.1.25）

5

采用拉格朗日法来求其泛函变分，有：
J y  y  



x2

F ( x, y  y, y  y)dx

x1



（2.1.26）



令： y  y  y, y  y  y.
（利用复合函数求导法则）

 

x2


J  y   y      F ( x, y   y, y    y ) y   F ( x, y   y, y    y ) y  dx x1 


 y
 y

（2.1.27）
令   0 ，则：

J 


J  y   y  0 




x2  F

x1

F 
 y y  y ydx



（2.1.28）

其中：
F 
F

 F ( x, y, y),

F ( x, y, y)
y y
y y

（利用分部积分） b b





a





b

b

b

a

a

 

udv  d (uv)  vdu  uv  vdu.

x2

x1

a

a

F
ydx 
y



x2 

d  F  d  F  
y    y  dx
 




 dx  y  dx  y  

x1





x2

x1

d  F 

y d x dx  y 



（2.1.29）

上式中利用到了固定边界条件 y( x1 )  y( x2 )  0 。
最后，可得到变分的极值条件：

J 



x2  F

x1

d  F 
ydx  0
 



 y dx  y 

（2.1.30）

根据变分法预备定理，得到：
F d  F 
0
 
y dx  y  



（2.1.31）

 补充：



上式中，关于 x 的导数为全导数，即  dE E dx E dy E dy 
 E  E（ x, y, y）, dx  x dx  y dx  y dx 


6

d  F   2 F dx  2 F dy  2 F dy 
 



dx  y  xy dx yy dx y2 dx

（2.1.32）

（2.1.31）式即为著名的欧拉方程，是欧拉于 1744 年得到的，也称为欧拉－拉格朗日方程。
欧拉方程常不能简单解出，但 F 不显含 x, y, y 中的一个或两个时，问题得以简化： a ) F 不显含 y 时，
（2.1.31）式经过一次积分得一阶微分方程：
Fy  C

（2.1.33）

C 是积分常数。
b) F 不显含 x 时，
（2.1.31）式做如下变化：
由（2.1.32）式：
Fyy y  Fyy y  Fxy  Fy  0 .

因此：









d yFy   F  y Fy y  y  Fyy  y  Fy  0 dx 经过一次积分得：



 

yFy  y Fxy  Fyy y  Fyy y  Fx  Fy y  Fy y

yFy  F  C

（2.1.34）

C 是积分常数。
例 2.1.2（续）
：最速降线问题

δJ=δ 

B

1  y 2

A

2 gy

解： F ( x, y, y) 

dx  0 .
1  y 2
2 gy

，不显含 x，

按式（2.1.34）
，有：

y·

2 y
2 gy ·2 1  y2 y 2

2 gy (1  y2 )






1  y 2
2 gy

1  y 2
2 gy

c

 c

此式简化为：

7

y(1+y′2) =c1，其中 c1=

1
＞0
2 gc2

引入参数 y′=ctgθ，则有：

y

c1
1
 c 1 sin 2  c 1 (1  cos 2 ).
2
1  ctg 
2

由于

dy
 ctg dx 因而： dx 

2c 1 sin  cos d dy 
 2c 1 sin 2  d  c 1 (1  cos 2 )d . ctg ctg

积分后得： c 1 xc1(  sin2 )c 2  1 (2 sin2 )c 2 .
2
2

由初始条件：y(0)=0，知：c2=0.
于是最速降线问题的解为：
 c1
 x 2 (2 sin 2 ).


 y c1 (1cos2 ).
 2


其中 c1 由边界条件 y(x1)=y1 来确定。
再令：

  2 , R 

c1
2

就得到：
 x  R(  sin  )

 y  R(1  cos  )

从解析几何知，上述方程是摆线的参数方程，因此最速降线是半径为 R 的圆沿 x 轴转
动时圆周一点所描出的曲线中的一段。



例 2.1.3：求泛函 J [ y ]   ( y2  2 y cos x)dx在条件y (0)  0, y( )  0 下的极值曲线。
0

2
解：F(x,y,y′) = y′ -2ycosx.

8

d F
( )  2 y. dx y

则： Fy  2cos x, Fy  2 y,

由

F d F

( )  0 ，对应的欧拉方程为：
y
dx y

2cosx2 y0 ycosx0 .

 ycosxc1xc 2
2
代入边界条件得： c1  ,c 2 1 .



∴ y  cosx 

2



x1.

较复杂的泛函的欧拉方程可以仿照上述方法导出。 a）对于取决于一个自变量的几个函数的泛函 

b

J [ y1 ( x),y2 ( x), ...yn ( x)]  F ( x; y1 , y2 ...yn ; y1, y2 ...yn )dx. a 泛函 J[y1(x)，y2(x), ...yn(x)]的变分问题对应于下列欧拉方程组：
F d F

(
)  0 ， （i=1,2...n）
yi dx yi 

(2.1.35)



例 2.1.4：求泛函 J [ y( x); z ( x)]   2 ( y2  z2  2 yz )dx 在边界条件：
0



y(0)  0,

y ( )  1,
2

z(0)  0,



z ( )  1 下的极值曲线。
2

解： F ( x; y, z; y, z)  y2  z2  2 yz
则有欧拉方程组：

y  z  0 z  y  0

消去 z，得方程： y (4)  y  0
由此解出： y  c1e x  c2 e x  c3 cos x  c4 sin x
再由 z=y″得： zc1e x c2e  x c3 cosxc4 sin x
利用边界条件： c1 c2 c3 0,c4 1
因而极值曲线为： y  sin x, z   sin x
b) 对于泛函取决于 y(x)及其 n 阶导数的情况
J



b

F ( x, y, y,...,y ( n) )dx.

a

9

其欧拉方程： Fy

d d2 dn
Fy 2 Fy...(1) n n Fy( n) 0 dx dx dx (2.1.36)

它的通解含有 2n 个任意带数，它们由 2n 个边界条件来确定。
例 2.1.5： J [ y] 



l

l

1

2
 y  y dx,(  ,为常数)
2


边界条件： y(l )0, y(l )0, y(l )0, y(l )0.
求泛函 J[y]的极值曲线。
解：相应的欧拉方程为：

y ( 4)   0
 4 x c1 x 3 c 2 x 2 c3 xc4
24
 2 2 2
( x l ) .
利用边界条件得到： y 
24
由此得到： y

c) 对于泛函取决于多元函数的情况
J   F ( x, y, z; u; ux , u y , uz )dxdydz  0 v 其对应的欧拉方程为：
F   F    F
 
 
u x  u x  y  u y




例 2.1.6：设泛函 J [u ]  


   F
 
 z  u z




0



 u 2  u 2 
      dxdy
 x   y  



 u 
 u 
解： F ( x, y; u; ux, uy)      
x 

 y 
2

2

欧拉方程：
Fu0, Fux  2u x ,
Fu y 2u y ,

则：


Fux  2u xx .
x


Fuy  2u yy .
y

 2u  2u

0.
x 2 y 2

例 2.1.7：设泛函 J [u ]




 u  2  u  2

    2uf ( x, y ) dxdy.
 y 
 x   




其对应的欧拉方程是泊松方程：

10

(2.1.37)

 2 u  2u

 f ( x, y ).
x 2 y 2

2.1.3 可动边界的变分问题，变分问题中的边界条件
所谓可动边界是指极值曲线（或曲面）的两个端点或其中一个端点（或边界）并不通过
预先给定的点（或边界）
。
在我们前面所讨论的泛函 J 



x2

x1

F ( x, y, y)dx在边界条件 ( x1 )  y1 和 y( x2 )  y2 下的极值问 y 题，此时的固定边界条件称为几何边界条件或称为强加边界条件。所谓“强加”
，是指这些
边界条件是在变分问题中预先强加上去的。
如果我们在求泛函 J 



x2

x1

F ( x, y, y)dx 的极值问题时，端点 x1 和 x2 的值均不给定。泛函

取极值的必要条件依然是：

 F

J   x x2
1

 y



d  F  
F
F
 y x  x1  0

   ydx   y x  x2  dx  y  
y
y

（2.1.42）

与固定边界变分不同的是，这里的δy 在端点处并不总是为零，可以为任意的。这样，
由极值条件  J=0 除了可得到欧拉方程(2.1.31)外，还有：
F
x x1 0,
y

F x x2 0
y

（2.1.43）

上式由变分得出的条件称为自然边界条件。
可以看出这样的边界条件不是预先给定的，
而是
从变分原理的  J=0 自动导出，它是保证极值存在而必须满足的条件。在力学问题中，无约
束时变分原理将自动补充边界处所缺的力学边界条件，
因而自然边界条件往往表现为力学边
界条件。
a）每个函数端点分别在直线 x=a 和 x=b 上.
泛函 J 的极值函数除了要满足欧拉方程外，还应满足：

Fy 

x a

 Fy 

x b

 0.

b)更一般情况，如果泛函 J[y]=

（2.1.44）



b

a

F ( x, y, y)dx中, 函数 y 的端点（a,ya）与（b,yb）分别在曲线

 ( x, y)  0与 ( x, y)  0 上移动，泛函 J 的极值函数除满足欧拉方程外，还要满足横截条件
（transversality condition）
。

11

 Fy  
 F  yFy  

  
 x
 xa   y  xa
 

(2.1.45)

 Fy  
 F  y Fy  

  
 x
 x b  y  x b
 
这里 a 与 b 本身是待定参数。

2.1.4 泛函的条件极值
有些变分问题，容许函数有时还会受到附加约束条件的限制，这就是条件极值问题。对
于这种极值问题，可用类似于处理多元函数的条件极值的 Lagrange 乘数法，把范函条件极
值问题转化为无条件极值问题。
定理（Lagrange）
：略
这个方法还可以推广到等周问题，即有如下定理：
欧拉定理：略
例 2.1.8：等周问题
在平面上，给定长度为 l 的所有封闭光滑的曲线中，求一条曲线，使它所围成区域的面
积 A 最大。
设所求曲线上的参数方程为：
 x x(t )

 y  y (t )

且 x(t0 ) x(t1 ),
约束条件：

t 0 t t1. y(t0 ) y(t1 ). t1 

  x 2  y 2 dtl (常数)

t0

格林公式：
若函数 X ( x, y)和Y ( x, y) 及其一阶偏导数在闭区域 D 上连续，则有：

12

 Y X
 
 x y



dxy XdxYdy.

L




令 Y=x，X=-y，其中 L 是区域 D 的边界，且积分沿 L 的正方向（即逆时针方向）
。
由格林公式，曲线 l 所围成的面积：
A

1
2



xdy  ydx 

L

1
2



t1

t0



xy  yx dt

于是等周问题可归结为求泛函：
1 t1



xy  yx dt
J 
2 t0

 xt   xt ，y t   y t 
1
0
1
 0



在等周条件或（1）下的极大值。
作辅助泛函：
I

1
2



t1

t0

 xy  yx   x 2  y 2 dt


 
 



d

 H y  dt Hy  0

由： 
 H  d Hx  0
 x dt


其对应的欧拉方程组为：



x 
0
y  d  y 

2
2 

dt 

 x y 





d
y 

0

 x   x 
2
dt

 

x  y2 



积分后得：

x

 2c1
2 y 
2


x  y2


x
2 x 
 2c2
2


 x  y2


整理后：

x  c2 2   y  c1 2  

2

4

这是圆族方程，令：

13



 x  c2  2 cost


 y  c   sin t
1

2


（0≤t≤2π）

代入等周条件，得： e 

2

2π

4

0

即：  

于是

sin 2 t 

2
4

2π



0

cos2 t dt 

2



dt  π

 π x  c2 2   y  c1 2   




2π 


2

利用边界条件，x（t0）=x（t1） y（t0）=y（t1） 可定出 c1，c2，故所求极值曲线是一个圆。

14

2.2 力学中的变分原理
在力学中，我们有各种各样的原理，诸如能量守恒原理、动量守恒原理、达朗伯原理、
虚位移原理、
哈密顿原理等等。
而作为古典力学基础的著名的牛顿运动定律实质上也是原理。
原理可以被分为两类，即非变分的原理和变分的原理。非变分的原理直接研究真实的运动；
而变分原理则不然，
它不是专注于实际的运动，
而是考察一定约束条件下所容许的一切可能
的运动，
从中挑选出实际实现的一种真实运动来。
如果说非变分的原理提供的是各种各样普
通的函数关系，那么变分原理应该是考察相应于各种运动状态的某些特征量(泛函)并取极值
(通常对应于真实运动)，这便是我们所熟知的变分的含义。由此可以看出，变分原理是在纵
观全局的基础上更一般地来论述运动的，
较之非变分的原理进行了更多的概括与抽象。
这样
说并不是贬低非变分的原理的重要性，
事实上，
很多变分的原理和非变分的原理在一定条件
下都是可以互相推导或是等价的，
只是各种原理的表述方式不同，
因而在不同场合下应用时
方便程度不同罢了。
力学原理又可分为微分形式的表述和积分形式的表述。
前者适用于运动的每一瞬时以及
任意局部点，而后者适用于有限的时间间隔以及有限区域内。在力学的诸多原理中，虚功原
理是最基本的，其他的若干原理可从它得到。下面，我们首先介绍虚功原理。

2.2.1 虚功原理
虚功原理亦称虚位移原理。
在分析力学中，
由质点系组成的力学体系的虚功原理是熟知
的。
对于一个由 N 个质点组成的质点系而言，如果考虑的是静平衡问题，则有分析力学的
虚功原理：
N

 F r  0 i 1

i

（2.2.1）

i

其中 Fi（i=1，2，„，N）是作用在质点系上的给定力，包括非理想的约束力等；δri（i=1，
2，„，3N）是质点系满足约束的任意一组无限小虚位移矢量。进一步，如果作用在质点
系上的诸力均是有势的，
亦即对于诸力 Fi 存在势函数 V，
使得 Fi=-  V/  r（i=1，2，„， ，
N）
i
则上述的虚功原理可转化为最小势能原理。
在静止的平衡力学系统的所有容许位移中，
真实
的位移使势能的变分为零，即δV=0。
虚功原理指出，系统平衡时的位置是指系统可能有的一切位置(对应各种虚功值)中的这
样一种位置，此时作用力所作虚功之和为零。这样，从系统可能有的一切运动状态中确实挑
选出了平衡这样一种实际实现的运动状态。作为泛函的虚功取极值(虚功为零)时对应着真实
15

的运动(平衡状态)。下面我们给出弹性连续体的虚功原理表述。
设弹性体在体力 fx，fy，fz 以及表面为 Fx，Fy，Fz 作用下处于平衡。以{ζx，ζy，ζz，ηxy， ηyz，ηxz}表示任一点处的应力分量，则在弹性体内有平衡方程：   x  xy  xz


 fx  0

x
y
z

  xy  y  yz



 fy  0

y
z
 x
 
 yz  z
 xz 

 fz  0
 x
y
z


（2.2.2）

以及在应力边界Γt 上，满足力学边界条件：
X=Fx， y， z
Y=F Z=F

（2.2.3）

其中：
X  l x  m xy  n xz ，  l xy  m y  n yz ，Z  l xz  m yz  n z
Y

（2.2.4）

这里{l，m，n}表示弹性体表面上一点的外法线方向余弦。
我们假定弹性体平衡时的真实的位移为{u，v，w}，从这个平衡位置对物体施加一组任
意的无限小虚位移{δu，δv，δw}，于是便有：
 xy

  x

  xy



 xz

 y




  x  y  z  f u   x  y




 X  F u  Y  F v  Z  F wds  0



V

x

t

x

y



 yz

 yz  z

 
 
 f y v   xz 

 f z w dv 

 x

z
y
z


 


z

（2.2.5）
其中 dv，ds 分别表示弹性体的体积元和面积元。这里虚位移的选择应满足另一部分位移边
界Γu 上的几何条件，即：

δu=0， v=0， w=0 δ δ

（2.2.6）

利用高斯公式，并经过分部积分，
（2.2.5）可进一步化简为：

                  dv
   f u  f v  f wdv   F u  F v  F wds  0
V

x

V

 x 

x

x

y

y

y

z

z

z

xy

xy

t

yz

x

yz

y

xz

xz

（2.2.7）

z

u
v
w
u v
v w
w u
，  y 
，  z 
，  xy 

，  yz 

，  xz 

x
y
z
y
x
z
y
x
z

（2.2.8）
为虚应变，(2.2.7)即为弹性体虚功原理。
按照弹性力学定义：

16

U

1
2

  
V

x x



  y y   z z   xy xy   yz yz   xz xz dv

（2.2.9）

称为弹性体的变形能。因此(2.2.7)中的第一项即为虚变形能，第二项(取正号)为体积力所作
的虚功，第三项（取正号）为表面力所作的虚功。
由于上述过程是从平衡位置施以虚变形，
故虚功简单地表示为力与虚位移之乘积，
并无
因子 1/2，这是虚功有别于真实功的主要特点。将式（2.2.7）进行移项，不难看出：在任一
虚位移过程中，外力作的总虚功等于弹性体的总虚变形能。
上述推导说明虚功原理是物体在外力作用下并满足一定的几何边界条件而处于平衡的
必要条件。相反的推导过程，我们完全可以利用虚位移的{δu，δv，δw}的任意性而得到
力学平衡方程（2.2.2）以及力学（自然）边界条件(2.2.3)。这说明虚功原理同时也是弹性体
平衡及力学边界条件的充分条件。
虚功原理是弹性力学中的变分原理的基础，其在有限元法中也具有极其重要的应用价
值。
尽管我们是从弹性平衡的角度给出了虚功方程，
但是一般说来，
虚功原理具有普遍意义，
它可以适用于一切结构，不论材料是线性还是非线性，也不论物体的变形是弹性或非弹性。

2.2.2 最小势能原理
上节所介绍的虚功原理对于任何应力-应变关系的结构均成立，不论是弹性或是非弹性
的，这一节中我们将虚功原理应用于弹性结构。



 



令  x，  y，  z，  xy，  yz，  xz 和  x，  y，  z，  xy，  yz，  xz 分别表示弹性体内一点
的应力和应变分量，在小变形情形下，必存在一个正定的状态函数





U 0  U 0  x，  y，  z，  xy，  yz，  xz 使得： dU 0   x d x   y d y   z d z   xy d xy   yz d yz   xz d xz

（2.2.10）

这里，U0 称为应变能函数或应变能密度。状态函数 U0 是单值的函数，因而 dU0 是全微分，
有：

x 

U 0
U 0
U 0
U 0
U 0
U 0
， y 
， z 
，  xy 
，  yz 
，  xz 
 x
 y
 z
 xy
 yz
 xz

这样，虚功原理(2.2.7)就变为：

17

（2.2.11）

  f u  f v  f wdv   F u  F v  F wds
V

x






t

V



y

z

x

y

z

 U 0

U
U
U 0
U 0
U

 x  0  y  0  z 
 xy 
 yz  0  xz dv

 y
 z
 xy
 yz
 xz
  x


V U 0 dv

上式中 U 







V U 0 dv

（2.2.12）

 U

V U 0dv 为弹性应变能。

进一步，如果作用于弹形体上的体力和表面力均为有势力，即存在势函数 Φ（u，v，w）
和 Ψ（u，v，w）
，使得：
  f xu  f yv  f zw，   Fxu  Fyv  Fzw

（2.2.13ab）

从而：

  f u  f v  f wdv   F u  F v  F wds
   dv    ds    dv   ds   V
V

x

y

V

z

t

t

x

y

z

（2.2.14）

t

V

这里，V 表示外力势能，则（2.2.12）亦表示为：

δ
（U+V）
=0

（2.2.15）

如果定义Π=U+V 为系统的总势能，故δΠ=0。此式或（2.2.15）称为势能驻值原理，
即在满足已知几何边界条件的一切容许位移 u，v，w 中，真实的位移使得系统总势能（泛
函）取极值。

2.2.3 虚余能原理
前面两节中所介绍的虚功原理及其应用于弹性连续体而得到的最小势能原理，
都是以位
移作为未知函数的，
位移一旦求得，
根据几何关系式和应力应变关系式不难得到相应的应变
和应力分量。但是，在很多工程实际问题中往往也需要直接以应力作为待求的未知函数，尤
其在以应力为目标的近似解法中，
如果依旧沿用先求位移而后通过微分求应变再得到应力的
方法，
势必会影响应力解的精度。
实际应用的需要自然应运而生了相应的虚余功原理及最小
余能原理。
下面的讨论仍以弹性连续体为例，
而且其应力应变可呈各种关系。
设弹性体在已知体力





以及给定的边界条件下处于平衡，{u，v，w}和  x，  y，  z，  xy，  yz，  xz 分别表示弹性体
内一点处的位移分量和应变分量。因此，在弹性体内，有：

x 

u
v
w
 0，  y 
 0，  z 
0
x
y
z

18

 u v 
 v w 
 w u 
   0，  yz   

 z y   0，  xz   x  z   0



 y x 



 xy  


（2.2.16）

以及在边界上： u  u  0，v  v  0，w  w  0

（2.2.17）

进一步，我们设平衡时的应力状态为{ζx，ζy，ζz，ηxy，ηyz，ηxz}，并假定物体从这个平衡状
态接受一组任意的、无限小的虚应力（应力的变分）{δζx，δζy，δζz，δηxy，δηyz，δηxz}。于是
有：



V



u 
v 
w 

 z
  x   x    y   y    x 

x 
y 
z 







 u v 
 w v 

 w u 
  xy     xy   yz  
 y x 
 y  z  yz   xz   x  z  xz dv












 u  u F
u

x



 v  v Fy  w  w Fz ds  0

（2.2.18）
其中{δFx，δFy，δFz }是表面力相对应于虚应力的虚变化。
新的应力分量应该不违背弹性连续体的平衡方程和力学边界条件，如下：



 x  x   x   y  xy   xy  z  xz   xz   f x  0




 y   y   yz   yz  f y  0
  xy   xy 
y
z
 x



 yz   yz   z   z   f z  0
  xz   xz  
x
y
z






















（2.2.19）

以及：


 



 


Fx  Fx  l  x   x   m  xy   xy  n xz   xz 


Fy  Fy  l  xy   xy  m  y   y  n  yz   yz

Fz  Fz  l  xz   xz   m  yz   yz  n z   z 






（2.2.20）

由弹性体平衡方程（2.2.2）和面力表达关系式（2.2.4）
，可以得到：
  x  xy  xz


0

x
y
z

  xy  y  yz



0

y
z
 x
 
 yz  z xz 


0
 x
y
z


（2.2.21）

以及：

19

Fx  l x  m xy  n xz


Fy  l xy  m y  n yz

Fz  l xz  m yz  n z


（2.2.22）

利用高斯积分公式并对（2.2.18）进行化简，我们可以得到：

  
V





x

V



  y y   z z   xy xy   yz yz   xz xz dv

x

  x  xy  xz    xy  y  yz    xz  yz  z  
u  
v  
 w dv








y
z   x
y
z   x
y
z  
 x
 
 
 


 l  m  n u  l  m  n v  l
  u  u F  v  v F  w  w F ds  0




x

xy

u

xz

x

xy

y

y

yz

xz



 m yz  n z w ds

z

（2.2.23）
注意到方程（2.2.21）（2.2.22）
、
，最后得到：

          
  u F  v F  w F ds
V

x

x

u

y

x

y

y

z

z

xy xy



  yz yz   xz xz dv

（2.2.24）

z

上式即为弹性体的虚余能原理，其与（2.2.7）表示的虚功原理形成互补形式。上式的左边代
表弹性体的总虚余能，右端代表面力的变分在实际位移上所做的功。

2.2.4 最小余能原理
在小变形情形下，弹性力学的一般理论指出，必定存在一个正定的状态函数





*
*
U 0  U 0  x，  y，  z，  xy，  yz，  xz 使得：
*
dU 0   x d x   y d y   z d z   xy d xy   yz d yz   xz d xz

（2.2.25）

*
*
*
这里， U 0 称为余能函数或余能密度。状态函数 U 0 是单值的函数，因而 dU 0 是全微分，有

x 

U 0
U 0
U 0
U 0
U 0
U 0
， y 
， z 
，  xy 
，  yz 
，  xz 
 x
 y
 z
 xy
 yz
 xz

（2.2.26）

从而虚余功原理变为




*
 U 0

U *
U *
U *
U *
U *

 x  0  y  0  z  0  xy  0  yz  0  xz dv

 y
 z
 xy
 yz
 xz
  x


V

 u F
u

x



 v Fy  w Fz ds 



*
V U 0 dv 

 u F
u

x



（2.2.27）

 v Fy  w Fz ds  0

或

δ *+V*）
（U
=0
其中， U * 



*
V U 0 dv

（2.2.28）
为弹性体的余能， V * 

 u F

20

u

x



 v Fy  w Fz ds 为外力余能。如果定

义Π*（U*+V*）为系统的总余能，故有δΠ*=0。
式（2.2.28）表示余能的极值原理，事实上，这时余能(泛函)为极小值，故得最小余能原理：
在满足平衡方程和应力边界条件的所有各组应力分量的函数中，
真实的一组应力分量应使系
统的余能(泛函)取极小值。此处限于篇幅，我们不再给出其证明过程。

2.2.5 连续介质的哈密顿原理
前面几节中，
我们仅介绍了弹性体系的静力平衡问题及其原理，
即体系在平衡时所取的
一真实状态，以区别与任何其他可能的一切状态。而在工程问题中，还会涉及到考虑时间变
量的动力学问题，不同时刻对应于不同的状态。就数学本质而言，静力问题和动力问题没有
原则区别，只是仅仅增加了自变量的个数(即在空间坐标自变量的基础上增加了时间变量)，
但其物理意义的差别是明显的，即从静力平衡过渡到了动力学问题。
当牛顿建立了以三大定律及万有引力定律为基础的力学理论后，
无数的自然现象都得到
了定量的说明，事情似乎很完善了。后来拉格朗日在 18 世纪提出了一个变分原理，从这个
变分原理出发，
能够十分方便地解决许多力学问题，
并且由此还可以推导出力学中的很多定
律。他还创立了拉格朗日运动方程，其比牛顿的运动方程适用的范围更广，而且用起来更为
便捷。
此后，
哈密顿(Hamilton)发展了拉格朗日的理论， 1834 年提出了有名的哈密顿原理。
于
本节中，我们将引入对应于动力学问题的哈密顿原理。
首先介绍离散质点系统的哈密顿原理，然后将其推广得出弹性连续体的形式。设具有 N
个质点的系统相对于惯性参考系的位移由矢量 r1，r2，„，„rN 给出，根据质点系的达朗伯
(D’Alembert)原理有：
N

 F  m r r  0 i i i

（2.2.29）

i

i 1

上式中 mi 为第 i 个质点的质量，Fi 为作用于第 i 个质点上的力。我们来考察动能的变分
1

T   
2




mi ri2  

i 1

n



n



  mi riri 

i 1

 d n
 mi riri  



dt  i 1




n

 m rr i i

i

（2.2.30）

i 1

结合（2.2.29）
，有：

T  W 

这里， T 

1
2

n

 d n
 mi riri 

 dt  i 1



 i 1



（2.2.31）

 mi ri2 表示质点系的动能， W 

n

 F r 为外力所作的功。对（2.2.31）在任意 i i

i 1

21

两个时刻 t1 和 t2 间关于时间进行积分，得到：



t2

t1

t t

 n
 2
 mi riri 

T  W dt  

 i 1
 t  t1



（2.2.32）

因为系统在时刻 t1 和 t2 的位置状态可以认为是给定的，
便有 r t t1  r t t 2  0 ， （2.2.32）
因而
进一步成为：



t2

t1

T  W dt  0

（2.2.33）

如果所有的外力均为有势力，即 Fi=-  V/  ri（i=1，2，„，N） δW=-δV，故上式还可
，则
写成：





t2

t1

T  V dt  0

（2.2.34）

记 L=T-V，称为拉格朗日函数，对于保守系统，积分运算和变分运算是可以交换的，即有





t2

Ldt  0 。

t1

所以，哈密顿原理可以叙述如下：
对于有势力作用下的完整质点系而言，在由时刻 t1 状态到时刻 t2 状态的所有可能的运
动中，实际实现的运动使得积分表示的泛函：
J



t2

（2.2.35）

Ldt

t1

取极值。这里 J 有时也被称作哈密顿作用量。
 

引入广义坐标{q1，q2，„，qN}，则 L  Lq1, q2 ,, qN ; q1, q2 ,, qN ; t  ，进而哈密顿原理

（2.2.34）对应的（保守系统）拉格朗日方称为 d  L  L


（n=1， „，
2， N）
0，
dt  qn  qn
  

（2.2.36）

虽然，
对于所假定的系统哈密顿原理和拉格朗日方程是等价的，
但前者可适用于具有无穷多
自由度的系统，因而从这个意义上讲，哈密顿原理的适用性更广泛。
接下来，
我们将哈密顿原理从离散质点系推广到弹性连续系统。
将惯性力加入到弹性连
续系统的虚功原理中，即：

  
V






x

x



  y y   z z   xy xy   yz yz   xz xz dv

 d 2u


V 

 dt

2

u 

d 2v d2w 
v  2 w dv 

dt 2 dt 

  f u  f v  f wdv
V

 F u  F v  F wds
t

x

y

z

22

x

y

z

（2.2.37）

如前所述，如果外力势记为 V，应变能记为 U，即：

  f u  f v  f wdv   F u  F v  F wds
U                    dv
 V 

V

V

x

y

x

x

t

z

y

y

z

z

xy

x

xy

y

yz

z

yz

xz

（2.2.38ab）

xz

进而有：


 d 2u




V 

 dt

u 
2

d 2v d2w 
v  2 w dv   U  V   0

dt 2 dt 

（2.2.39）

对上式在从时刻 t1 和 t2 间关于时间进行积分，并采用分部积分等算法，可以得到：




T  U  V dt   0




t2

其中 T 

1
2

（2.2.40）



t1


  u





 v 2  w2 dv 为弹性连续体的动能。

2

V

令Π=U+V 为系统的总势能，以及 L=T-Π为拉朗日函数，
（2.2.40）进一步可表示成：






T   dt     



t2



t1



t2

t1


Ldt   0


（2.2.41）

此时，哈密顿原理叙述为：弹性连续体从时刻 t1 状态到时刻 t2 状态的所有可能的运动(包括
弹性体的形变)中，实际实现的运动使拉格朗日函数在这段时间内对时间的积分取极值。
这里以梁的振动问题为例来说明哈密顿原理的具体运用。
不难写出梁的动能和应变能分
别为：



L

2

1 L  2w 
 dx
U
EI 
2 0  2x 



2

 w 
   dx ，
0  t 

1
T
2



（2.2.42）

其中，L 表示梁的长度，ρ为梁的单位长度的质量，w（x，t）为梁的挠度。
根据哈密顿原理：







t2

t1



T  U dt   1  




t2

t1

0

t1

L

 



2 


t2



L

0

2
 2 
   w   EI   w 
 
 x 2 
  t 





 dxdt 






2

（2.2.43）

w w
 w  w 
 EI 2

 dxdt  0
x x 2 
 t t
2

2

因为有δw（x，t1）=δw（x，t2）=0，于是： t2   t1 

0



t

w  2
w  dx 

 t
t1

L

0

w w 

dxdt 
 t t 

L

t2

t2

t1

0

 

  t1 L

L

0

2


   w   w 
 w   2 wdxdt
 t  t

 t



  

2w
 2 wdxdt
t

对于（2.2.43）中的第二项关于应变能的变分，进一步化简后得到：
23

（2.2.44）

L

 2 w  2w 
 EI 2
dxdt
t1 0 
x x 2 


2
t 2 L     w w 
    2w   2
 
    2 w  2
 EI

t1 0  x  x 2 x  x x  x 
 

  x


  t2  

 

L

t1

 EI

t2

0

 

2
 2
 x


 2w  
 2 w dxdt EI
 x 

 


 2w  
 2 wdxdt
 x  

 


（2.2.45）

xL



t2

t1

  2 w w    2 w  
  2 w dt
 2


 x x x  x   x  0



最后得到：


t2

  t1 



L

0

2w
4w 

 EI 4 wdxdt
 t 2
x 



0

t

w  2
w  dx EI

 t
t1

L

xL



t2

t1

  2 w w    2 w  
  2 w dt  0
 2


 x x x  x   x  0



（2.2.46）

根据变分法预备定理，得梁的自由振动方程为：



2w
4w
 EI 4  0
t 2
x

（2.2.47）

以及相应的自然边界条件：
（1）w=0 或

w
0
t

2w
w
（2） 2  0 或
0
x
x
 3w
（3） 3  0 或 w=0
x

（当 t=t1 及 t=t2）

（2.2.48a）

（当 x=0 及 x=L）

（2.2.48b）

（当 x=0 及 x=L）

（2.2.48c）

其中(1)相当于梁的初始速度给定为零或者位移为零；(2)相当于给定梁在两端部的弯矩为零
或者转角为零；而(3)相当于给定梁在两端部的剪力为零或者位移为零。

24

2.3 变分法的近似解法
数学物理中的变分原理建立了各种类型的微分方程边值问题与泛函取驻值的等价关系。
变分问题的古典解法是通过解欧拉方程来解变分问题，
然而，
因为求解微分方程往往并不容
易，
所以这个方法并不能达到预期的结果，
这就要求我们必须直接寻求针对于变分问题的新
方法，
即直接方法。
变分学的直接方法是指不通过解欧拉方程而直接近似地求解变分问题的
方法。
这种方法最先大量用于求解弹性力学问题，
随着电子计算机的广泛使用和计算方法的
发展，现今变分学的直接方法已有多种，它们的应用范围也越来越广。
2.3.1 变分法的近似解法－立兹法及其应用
立兹法是变分问题直接解法中最重要的一种，
其基本思想是用选定的函数序列的有限线
性组合逼近变分问题的极值曲线。
现用一个简单的变分问题：

 J  y   x1 F  x, y, y  dx

x0

 y ( x0 )  0, y ( x1 )  0


(2.3.1)(2.3.2)

来说明 Ritz 法的解题步骤。
在此边条是两端固定的特殊情况，不失一般性，当边条是非齐次的，即：

y  x0   y0 , y  x1   y1
而二者不同时为零时，作函数代换： z  y ( x) 

x  x0 x x y1  1 y0 x1  x0 x1  x0

便有： z  x0   z  x1   0
解题步骤：
(1) 取定一相对完备函数列 u1  x  , u2  x  ,

, uk  x  ,

并使其中每一个都满足边条(2.3.2)。该序列选取对下一步计算复杂程度有很大影响。

y
(2) 将线性组合： k  x   C1u1  x   C2u2  x  

 Ck uk  x 

视 作 (2.3.1) 的 近 似 解 ， 将 (2.3.3) 式 代 入 (2.3.1) 得 关 于 C1 , C2 ,

J C1 , C2 ,

k x1  k

, Ck    F  x,  C i ui  x  ,  C i ui  x   dx x0 i 1
 i 1


(3) 求(2.3.4) 的极值，由方程组：
25

(2.3.3)

, Ck 的 函 数 ，
(2.3.4)

J
 0  i  1, 2,
Ci

k  ，解得： C1 , C2 ,

, Ck

代入(2.3.3) ，便得到问题的近似解。

u k (x) 的选取：
(1) 对没有约束条件的问题，可取函数系：

xi  i  1, 2,

 或者：

1,cos  x,sin  x,cos 2 x,sin 2 x,

,cos k x,sin k x

 k  1, 2, 

(2) 若要求边条： y  0   y 1  0 ，可取函数系为：

  x 1  x  , n  1, 2

， ,  x,  x ,

,  xn

2

(3) 若要求边条： y  0   y 1  y  0   y 1  0 ，可取函数系为：

,  x,  x 2 , ,  x n ，   x 2 1  x  , n  1, 2
2

(4) 对于积分形式的泛函，即 PDE 的边值问题，常取多项式为函数系：
a) 当Γ为矩形时，可取函数系为：



,  x,  y,  x2 ,  xy,  y 2 ,  x3 ,  x2 y,  xy 2 ,  y3 ,

，   a2  x2

b

2

 y2 

b) 当Γ为圆 x  y  a 时，可取函数系为：
2

2

2

,  x,  y,  x2 ,  xy,  y 2 ,  x3 ,  x2 y,  xy 2 ,  y3 ,

，  a  x  y
2

2

2

2.3.2 变分法的近似解法——伽辽金法(Galerkin)及其应用
在实际问题中，
不是所有边值问题都存在相应的泛函，
伽辽金法是更广泛一类微分方程
边值问题的近似方法。
（绕过找不到合适泛函的困难）
伽辽金法精度较高，计算量不大，应用较广泛。
解题步骤：
(1) 取定一相对完备函数列 u1  x  , u2  x  ,

, uk  x  ,

(2) 将线性组合： yk  x   C1u1  x   C2u2  x  
其中 C1 , C2 ,

, Ck 待定，显然它满足边界条件。

26

并使其中每一个都满足边条。

 Ck uk  x  作为微分方程的近似解，

(3)由

L

yk



 f ui  x  dx  0,  i  1, 2

k  解出 Ci 代回(a)便得近似解。

V

立兹法和伽辽金法的局限性：
(1) 对于边界形状比较复杂（如多边形）的区域，想找到合适的满足边界条件的相对完
备的函数系是困难的。即使勉强凑成，也需要相当高次的多项式或某些函数的特殊结构，需
较高技巧性。
(2) 被积函数一般都是高次，计算量大，若积分区域稍许复杂些，则难以计算。
注意：伽辽金法只适用于齐次边界条件，对于非齐次边界条件，可通过适当的变量代换化为
齐次边界条件。
例 2.3.1：用 Ritz 法求变分问题：

 J  y   1  y2  y 2  4 xy dx

0

 y (0)  0, y(1)  0

的近似解。
解：选相对完备的函数序列：

U k ( x)  (1  x) xk (k  1,2, ) .
其中每个函数均满足边条。
作线性组合： yk ( x) 

k

 C U ( x) 。 i i

i 1

（1）先选取 y1  c1 x(1  x) 代入泛函 J[y]得：
J y   J c1  

令

 c
1

0

2
2
1 (1  2 x)



 c12 x 2 (1  x) 2  c1x 2 (1  x) d x

dJ[c1 ]
0
dc1

得：

 2c (1  2x)
1

0

2

1



 2[c1 x(1  x)  2 x]x(1  x) dx  0

3
1
5
由此： c1   ，得： c1  
5
3
9

得一次近似解：
5
y1 ( x)   x(1  x)
9

（2）再取 y2 ( x)  c1x(1  x)  c2 x2 (1  x) .
由类似上述运算得到：

27

y2 ( x)  2 x(1  x)(

71 7
 x) .
369 41

现讨论 y1 ( x), y2 ( x) 的近似程度：
对该变分问题，其对应的 Euler 方程为：

F  y2  y 2  4 xy
F d  F 
0
 
y dx  y 



F
F
d  F 
 2 y  4 x,
 2 y,  
  2 y .
y
y dx  y 
 y  y  2 x  0
其精确解为： y ( x)  2 x 

2 sin x
.
sin 1

1 2 3 4
在 x  , , , 四点比较值如表：
5 5 5 5

x

y

y1

y2

0.2

-0.0722

-0.0888

-0.0724

0.4

-0.1256

-0.1333

-0.1251

0.6

-0.1420

-0.1333

0.1415

0.8

-0.1050

-0.0888

-0.1053

由表可见，y1（x）相当粗糙，但 y2（x）的误差已经很小。
例 2.3.2：用 Ritz 法求解问题：


 2u  2u
u  2  2  2

x y

u  0
 
的近似解，其中Γ表示区域 D  a  x  a, b  x  b 
的边界。
解：该问题等价于求泛函的极值问题：
2
2

 a b  u
 u 
 J u ( x, y )          4u  dxdy
 

 a b
 x   y 





u ( x, y )   0


由方程及边条关于 x，y 轴对称，因此解对 x 轴，y 轴也对称，且只会出现偶次方，故相

28

对完备系可取作：

1  (a 2  x 2 )(b2  y 2 )， 2  1x 2 , 3  1 y 2 ,
一次近似解为：
u1 ( x, y)  c1 (a 2  x 2 )(b 2  y 2 )

代入泛函得：
J [c1 ] 

  4c a b

 a b

积分后，令

2 2 2
1 [ x (b



 y 2 )   y 2 (a 2  x 2 ) 2 ]  c1 (a 2  x 2 )(b 2  y 2 ) dxdy

dJ
5
 0 ，得： c1 
2
dc1
4(a  b 2 )

得： u1 ( x, y ) 

5(a 2  x 2 )(b 2  y 2 )
4(a 2  b 2 )

例 2.3.3：用伽辽金法求边值问题

 x 2 y  xy  ( x 2  1) y  0

 y (1)  1, y (2)  2
解：因边界条件非齐次，所以先作变量代换，把边界条件化为齐次。
令 y=z+x，则上述边值问题化为： x 2 z  xz  ( x 2  1) z  x3  0
取 1 ( x)  ( x  1)(2  x) ，一次近似解为： z1  a11 ( x)  a1 ( x  1)(2  x)  a1 (2  3x  x 2 )

 z1  (3  2 x)a1, z1  2a1

x 2 (2a1 )  x(3  2 x)a1  ( x 2  1)a1 (2  3x  x 2 )  x

= (2  5x 2  3x3  x 4 )a1  x 
2

 [(2  5x
1

积分得  z1 

2

 3x3  x 4 )a1  x3 ](x  1)(2  x)dx  0

311
3
252 a1   0, a1 
420
5
311
252
( x  1)(2  x)
311

所以原边值问题的一次近似解为： y 252
( x  1)(2  x)  x
311

例 2.3.4：用 Galerkin 方法求 Poisson 方程边值问题：
29


 2u  2u
u  2  2  2
x y

u  0
 
的近似解。
解：相对完备系可取作 w, wx 2 , wy 2 , wx 4 , wx 2 y 2 , wy 4 ,
其中： w  (a 2  x 2 )(b 2  y 2 )
一次近似解为：

U1  x, y   c1 (a 2  x 2 )(b2  y 2 ) a  

b

 a b

[2c1 (a 2  x 2  b 2  y 2 )](a 2  x 2 )(b 2  y 2 )dxdy  0

积分后得代数方程：
128 3 3 2
32
a b (a  b 2 )c1  a 3b3  0
45
9
5
 c1 
4(a 2  b 2 )


因此，一阶近似解为： u 

5(a 2  x 2 )(b2  y 2 )
4(a 2  b 2 )

30

§2.1 泛函的极大值和极小值问题
如 果 函 数 y (x) 在 x  x0 附 近 的 任 意 点 上 的 值 都 不 大 （ 小 ） 于 y ( x0 ) ， 也 即
则称函数 y (x) 在 x  x0 上达到极大
（极小） 而且在 x  x0
，
dy  y( x)  y( x0 )  0( 0) 时，
上，有
（2-1） dy  0
对于泛函 [ y( x)] ,也有类似的定义。如果泛函 [ y( x)] 在任何一条与 y  y0 ( x) 接近
的曲线上的值不大
（或不小） [ y 0 ( x)] ，
于
也就是，
如果 δ  [ y( x)]  [ y0 ( x)]  0（或
时，
（或极小值） 而且在 y  y0 ( x)
，
 0 ） 则称泛函 [ y( x)] 在曲线 y  y0 ( x) 上达到极大值
上，有
（2-2） δ  0
在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，
主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最
大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小的定义
里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。
如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在 y  y0 ( x) 曲线上有强极大（极小）
值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的 y (x) 而言是极大（极小）值，而且对于
那些只是函数接近但导数不接近的 y (x) 而言，也是极大（极小）值，所以泛函在 y  y0 ( x)
曲线上是强极大（极小）值时，也必在 y  y0 ( x) 上是弱极大（极小）值。反之，则不然，
即泛函在 y  y0 ( x) 曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可
能对于那些只是函数接近但导数不接近的 y (x) 而言，
有一个比函数与导数都接近的 y (x) 所
求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。所以弱极大（极小）
，不能满足强极
大（极小）的要求。
这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。

§2.2 求解泛函极值的欧拉方程
变分法的早期工作是如何将泛函驻值问题转化为微分方程问题。
当把泛函的驻值问题转
化为微分方程时，第一步工作就结束了，下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在
实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法（里兹法）以后，人们
才认识到直接从泛函极值出发，
而避免从微分方程式出发更为有效与方便，
这样的处理方法
可以充分利用电子计算机的作用。
于是人们研究的目标有所转移，
即把原来从泛函驻值问题
化为微分方程问题，
转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函，
而成为泛函求驻值的问题。
对于前一种问题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一
类问题，虽然正在大力进行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，还是根据微分方程物理
和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻值问题，然后再核对一
下，看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。
现在研究最简单泛函（2-3）式的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲
线 y  y(x) 的边界是固定不变的，而且有 y( x1 )  y1 ， y( x2 )  y 2 ，函数 F ( x, y, y ) 将认
为是三阶可微的。
x2

   F [ x, y( x), y ( x)]dx x1 首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分 x2 [ y  εδy]   F[ x, y  εδy, y   εδy ]dx x1 于是有

31

（2-3）

x2 

[ y  εδy ]   { F [ x, y  εδy, y   εδy ]δy  x1 y
ε

F [ x, y  εδy, y   εδy ]δy }dx
y 

让 ε  0 ，得

x2 F

F
[ y  εδy] |ε0   [ δy  δy ]dx x1 y

y 
F

F

其中

F ( x, y, y )

F ( x, y, y ) ，
y  y 
y y

δ 

（2-4）

而且 x2 d F
F
d F δy dx   { [ δy]  ( )δy}dx
x1 y x1 dx y  dx y 
对于固定边界条件，因为有 δy( x2 )  δy( x1 )  0 ，所以 x2 F x2 d F
x1 y δy dx  x1 dx ( y  )δydx x2 （2-5）

将（2-5）式代入（2-4）式，得到变分极值条件 x2 δ   [ x1 F d F
 ( )]δydx  0
y dx y 

（2-6）

根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为

F d F
（2-7）
 ( )0
y dx y 
这里必须指出，上式中的第二项是对 x 的全导数，不是偏导数，且 F  F ( x, y, y ) ，所以 d F
2F
 2 F dy  2 F dy 
( )


 Fx  Fy  y   Fyy y 
（2-8）
y y dx y 
xy  xy  dx y  2 dx
其中 Fx  ， Fy  ， Fyy 都是 F ( x, y, y ) 对 x, y, y  的二阶偏导数。 y  

y y dy d2 y
，y   2 ，所 dx dx

以欧拉方程（2-7）式也可以写成


Fy  Fxy  Fy  y   Fyy y   0

y

（2-9）

这就是 1744 年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉-拉格朗日方程。
（2-9）式是关于 y (x) 的一个二阶微分方程，其积分常数有两个 c1 和 c 2 ，它的积分曲
线 y  y( x, c1 , c2 ) 叫做极值曲线，只有在这族极值曲线上，泛函（2-3）式才能达到极值，
积分常数是由极值曲线通过 y( x1 )  y1，y( x2 )  y 2 这两个端点条件所决定的。
把泛函的变分作为泛函增量的主部，也同样得到欧拉方程（2-7）式及（2-8）式。求泛
函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从（2-3）式，因为积分限是固定
的（不变的）
，所以有 x2 x2

x1

x1

δ  δ F ( x, y, y )dx   δF ( x, y, y )dx
其 δF 是从 y，y  增量引起的，其主部为

δF ( x, y, y ) 

F
F
δy  δy 
y
y 

于是得到（2-4）式，这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。
这里还应指出，
（2-9）式这样的欧拉方程，有下列四种特殊的情况，应该予以注意。
（2） F ( x, y, y ) 和 x 无关，即

F  F ( y, y )
32

（2-10）

于是（2-9）式可以写成

Fy  Fy  y   Fyy y   0

y

（2-11）

d
F
(F  y )  0 dx y 

（2-12）

上式可以简化为

一次积分后

F

F y   c1
y 

（2-13）

其中 c1 为积分常数。

（2） F ( x, y, y ) 和 y 无关，即

F  F ( x, y )

（2-14）

d F
( )0 dx y 

（2-15）

F
c
y 

（2-16）

F  F ( x, y)

（2-17）

Fy ( x, y)  0

（2-18）

代入（2-7）式，得

积分得

其中 c 为积分常数。
（3） F ( x, y, y ) 和 y  无关，即
于是欧拉方程为
它不是微分方程，不包含什么特定常数，一般情况，所讨论的变分问题不存在，只在个别的
情况下，当曲线（2-18）式通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。
（4） F ( x, y, y ) 是 y  的线性函数，即

F x, y, y   Px, y   Qx, y  y 

（2-19）

P Q dQ  y 
0
y y dx （2-20）

dP Q Q

 y dy x y

（2-21）

于是欧拉方程为

但是

所以（2-20）式可以简化为

P Q
（2-22）

0
y x
它也不是一个微分方程式，因为它没有 y  项，一般说来它不满足固定端点条件，因此，变
分问题根本不存在。
现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧
拉方程。
我们研究泛函 x2 [ y( x)]   F[ x, y( x), y ( x), y ( x),, y ( n ) ( x)]dx

（2-23）

x1

的极值，其中泛函 F 被认为对于 y (x) ， y (x) ， y (x) ，．， y
．．
并且假定，端点上有固定条件

33

( n)

( x) 是 n  2 阶可微的，



（2-24）
( n 1) 
( n 1)



y ( x2 )  y 2，y ( x2 )  y 2，y ( x2 )  y 2， ，y
( x2 )  y 2

端点上不仅给出函数值，而且还给出直至 n  1 阶导数的值。我们将假定，极值在 2n 阶可微
曲线 y  y(x) 上达到。

  y ( x1 )  y1，y ( x1 )  y1，y ( x1 )  y1， ，y ( n 1) ( x1 )  y1

( n 1)

用上面相同的求泛函变分方法，我们可以证明： x2 δ   { x1 F
F
F
F
δy  δy   δy     ( n ) δy ( n ) }dx
y
y 
y 
y

其中用简略符号 δy 代替 δy ( x) ， δy

(k )

代替 δy

(k )

（2-25）

dk
( x)  k δy ( x) 。 dx 积分（2-25）式中的第二项可以分部积分一次，得



x2 x1 x2 d F
F d
F
(δy )dx  δy | x12  
( )δydx x x1 dx y 
y  dx
y 

（2-26）

将积分（2-25）式中第三项分部积分两次，得



x2 x1 F d 2
F
d F
(δy)dx  δy  | x12  ( )δy | x12  x x
2
y  dx
y  dx δy 



x2

x1

d 2 F
(
)δydx dx 2 y 
（2-27）

最后一项经过 n 次分部积分后，得



x2 x1 F d n
F
d F
(δy)dx  ( n ) δy ( n1) | x12  ( ( n ) ) y ( n2) | x12  x x
(n)
n dx y
y dx
y
  (1)

n



x2 x1 d n F
(
)δydx dx n y ( n )

（2-28）

根据变分法的预备定理，
（2-25）式为零时，得

Fy 

d F d 2 F d n F
( ) 2 (
)    (1) n n ( ( n ) )  0 dx y  dx y  dx y

（2-29）

这是 y  y(x) 的 2n 阶微分方程式，一般称之为泛函（2-23）式的欧拉-泊桑方程，而它的积
分曲线就是所讨论变分问题的解（极值曲线）
。这个方程的解通常有 2n 个特定常数，由 2n
个端点条件（2-24）式决定的。
【例 2-1】 梁在横向载荷作用下的弯曲问题，
就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一
个例子。设梁的抗弯刚度为 EJ ，两端固定，在横向分
布载荷 q(x) 作用下发生弯曲变形（或称挠度） w(x) ，
如图 2-1 所示。端点固定条件为

w(0)  w(0)  0 

w( L)  w( L)  0

（2-30）

在梁达到平衡时，其总位能达到最小值。梁的位能等
于梁在弯曲时所贮存的弯曲能，它等于

U 

L

0

1
EJ 2 dx
2

（2-31）

图 2-1 梁在横向载荷作用下的弯曲

其中  为梁弯曲后的曲率，它和挠度 w(x)的关系为



d2w dx 2 dw 2 

1  ( dx ) 



3


2

这里假定挠度很小，略去高次项。
（2-31）式可以写成
34

d2w dx 2

U 

L

0

1 d2w 2
EJ (
) dx
2
dx

载荷 q(x) 在变形 w(x) 上的位能为
L

V    q( x) w( x)dx

（2-32）

0

于是，梁所形成的总位能  为
L 1 d2w 2
（2-33）
  U  V   [ EJ (
)  q( x) w( x)]dx
0 2 dx 梁的平衡条件为 w(x) 使总位能达到最小值，即 δ  0 。于是利用变分计算，并利用固定端

条件（2-30）式，得
L

δ   [ EJ
0

d4w
 q( x)]δw( x)dx  0 dx 4

（2-34）

利用变分法的预备定理，求得梁的平衡方程为

d4w
EJ 4  q( x)  0 dx 这就是欧拉—泊桑方程。注意到（2-34）式在静力学中被称为虚位移原理， δw( x) 就是
满足端点位移约束条件的虚位移。
下面讨论另一种形式的泛函

(,  x ,  y )   F (,  x ,  y )dxdy   G()ds
R

（2-35）

Sc

的欧拉方程。
函数中 ( x, y) 在域 R 内连续，其边界 S 由 S b 和 S c 组成，其中

   b （在 S b 上）
   
， y
。
 b 为给定的，式中  x 
y
x
现在对（2-35）泛函取一次变分，得到

δ   [
R

F
F
F
G
δ  δ x  δ y ]dxdy   δds Sc 

 x
 y

（2-36）

因为

δ x  δ

 
 
 δ ， δ y  δ
 δ
x x
y y

（2-36）式等号右边第一个积分中的末两项可化为



R

[

F
F
 F
 F δ x  δ y ]dxdy   [ ( δ)  ( δ)]dxdy 
R x 
 x
 y
y  y x 

R

[

 F
 F
(
) (
)]δdxdy
x  x
y  y

利用高等数学中的格林公式



R

(

Q P
 )dxdy   (Qdy  Pdx )
S
x y

上式可化为



R

[

F
F
F
F
δ x  δ y ]dxdy   [( δ)dy  ( δ)dx] 
S 
 x
 y
 y x 
35

R

[

 F
 F
(
) (
)]δdxdy
x  x
y  y

将 dy  l x ds，dx  l y ds （ l x，l y 为周边法线的方向余弦）代入上式，并引入边界 S b 上的
给定条件，再代回（2-36）式中，可得



R

[

F  F
 F
G
F
F
 (
) (
)]δdxdy   [
 lx
 ly
]δds  0
Sc 
 x  x
y  y
 x
 y

因为 δ 为在不同域的任意变分量，由变分法的预备定理，可以求得欧拉方程为

F  F
 F
 (
) (
)  0 （在 R 域内）
 x  x
y  y

（2-37a）

G
F
F
 lx
 ly
 0 （在 S c 上）

 x
 y

（2-37b）

及

§2.3 含多个待定函数的泛函及其欧拉方程，哈密顿原理
让我们把上一节的泛函极值和欧拉方程推广到含多个待定函数的泛函极值问题。
设有泛函 x2 (
 
[ y1 , y 2 , yi ]   F ( x, y1 , y 2  yi , y1 , y 2 ,, yi ,  y1( n ) , y 2n )  yi( n ) )dx

x1

（2-38）




其 中 y k  y k ( x) (k  1 2， ，i) 为 i 个 待 定 函 数 ， y k  y k ( x)，y k  y k ( x)， ，
，

(
( y kn )  y kn ) ( x) 分别表示一阶，二阶，…，n 阶的导数，设这些函数有端点值

(

  ( y k ( x1 )  y k1，y k ( x1 )  y k1， ，y kn ) ( x1 )  y k1n ) 

（2-39）
(n)
(n) 

  y k ( x2 )  y k2，y k ( x 2 )  y k2， ，y k ( x2 )  y k2 

( j)
对所有的 x， y k ( j  1 2， ，n；k  1 2， ，i) 而言， F 都是（n+2）阶可微的，待定曲
，
，
线 y k ( x)(k  1,2,i) 是 2n 阶可微的。
泛函 [ y1 , y 2 ,, yi ] 的变分极值条件为 x2 F
F
F
F


δ   [ δy1  δy1  δy1    ( n ) δy1( n )    x1 y

y1
y1
y1
1
F
F
F
F
（2-40）
yi 
yi 
yi    ( n ) yi( n ) ]dx  0
yi
yi
yi
yi

通过分部积分，并利用端点固定的条件，即利用
(
( δy k j ) ( x1 )  0，δy k j ) ( x2 )  0 

( j  1,2,, n)， (k  1,2,, i)

（2-41）

后，可以把（2-40）式化为 x2 δ   [ x1 

x2 x1 [

F d F d 2 F d n F
 ( )  2 ( )    (1) n n ( ( n ) )]δy1dx 


y1 dx y1 dx y1 dx y1

F d F d 2 F d n F
 (
) 2 (
)    (1) n n ( ( n ) )]δy 2 dx 


y 2 dx y 2 dx y 2 dx y 2





x2 x1 n
F d F d 2 F
F
n d
[
 ( )  2 ( )    (1)
( ( n ) )]δyi dx  0 n yi dx yi dx yi dx yi

利用上节相同的方法，我们可以得到 i 个欧拉方程

36

（2-42）

F d F d 2 F d n F
 (
) 2 (
)    (1) n n ( ( n ) )  0


y k dx y k dx y k dx y k
(k  1,2,n)
这是决定 y1 , y 2 ,, yi 的 i 个待定函数的 i 个微分方程式组。

（2-43）

现在我们研究力学中的一个基本变分原理：哈密顿（Hamilton）原理（或称为最小作用
量原理）
，该原理可叙述为：
质点系满足某些约束条件的运动，必使积分“作用量”
t2

A   (T  U )dt

（2-44）

t1

成极值（最小值）
。其中 T，U 分别表示质点系的动能和位能， t 为时间。满足某些约束条
件是指质点系满足下列边值条件：

在t  t1时， [ xi (t ), yi (t ), z i (t )]  [ xi (t1 ), yi (t1 ), z i (t1 )] 


在t  t 2时， [ xi (t ), yi (t ), z i (t )]  [ xi (t 2 ), yi (t 2 ), z i (t 2 )]


（2-45）

如果质点的质量为 mi (i  1,2,n) ，
坐标为 ( xi , yi , z i ) ，
作用在质点上的力 Fi 是以  U
为力函数（即势函数）的

Fxi  

U
U
U
， Fyi  
， Fzi  
， (i  1,2,, n)
xi
yi
z i

（2-46）

而势函数 U 只依赖于质点的坐标，这是一个保守力场，即

U  U ( x1 , y1 , z1 ; x2 , y2 , z 2 ; xn , y n , z n )

（2-47）

动能是

T
  
其中 xi , yi , z i 分别代表

1 n



 mi ( xi2  yi2  zi2 )
2 i 1

（2-48）

dxi dyi dz i
，最小作用原理（即哈密顿原理）要求
,
,
dt dt dt t2 t2

t1

t1

δA  δ (T  U )dt   (δT  δU )dt 0

（2-49）

其中 n       δT   mi ( xi δxi  yi δyi  z i δz i ) i 1

n

δU   ( i 1

n
U
U
U
δxi  δyi  δz i )    ( Fxi δxi  Fyi δyi  Fzi δz i )
xi
yi
z i i 1

（2-50）
通过分部积分，
并由约束条件
（2-45）
式有 δxi t1 ), δyi (t1 ), δz i (t1 ) 和 δxi (t 2 ), δyi (t 2 ), δz i (t 2 )
（
都等于零，即得



t1

n

t2

i 1

t2

t1

     
 mi ( xi δxi  yi δyi  zi δzi )dt  

n

x
 m ( δx i 1

i

i

i

 i δyi  i δz i )dt y z
（2-51）

于是哈密顿原理可以写为 t2 n

t1

i 1

x
 [(m   F i i

xi

)δxi  (mi i  Fyi )δyi  (mi i Fzi )δz i ]dt  0 y z

（2-52）

由于 δxi , δyi , δz i 为任意的独立变分，所以得到欧拉-泊桑方程

Fxi  mi i，Fyi  mi i，Fzi  mi i (i  1,2,, n) x y z 这就是 n 个质点的 3n 个牛顿运动方程式。
37

（2-53）

从上述的讨论中不难发现，
最小位能原理等价于静力平衡方程。
而哈密顿原理等价于牛
顿运动方程。
如果运动还受另外一组独立关系

 j (t , x1 , x2 , xn ; y1 , y 2 , y n ; z1 , z 2 , z n )  0
（2-54）
( j  1,2,, m, m  3n)
的约束，则独立变量只剩下 3n  m 个。如果我们用 3n  m 个新的变量（或称广义坐标） q1，q2， ，q3nm

来表示原来的变量 xi , yi , z i ，即

xi  xi (q1 , q 2 , q3n  m , t ) 

yi  y i (q1 , q 2 , q3n  m , t ) (i  1,2,, n) z i  z i (q1 , q 2 , q3n  m , t ) 


（2-55）

则 U 、 T 可以写成

U  U (q1 , q 2 ,, q3n m , t )


 

T  T (q1 , q 2 , q 2 n m , q1 , q 2 ,, q3n m , t )

（2-56）

于是哈密顿原理或最小作用量原理可以写成

(T  U )
T
 δqi  δqi ]dt  0
qi
qi

（2-57）

(T  U ) d T
 (
)]δqi dt  0

qi dt qi

（2-58）

(T  U ) d T
 (
)  0 ， i  1,2,,2n  m

qi dt qi

（2-59）

δA  

t 2 3n  m t1 [ i 1

经过部分积分可以为

δA  

t 2 3n  m t1 [ i 1

而欧拉—泊桑方程为

习惯上，人们把

L  T U

（2-60）

称为拉格朗日函数。于是哈密顿原理可以写成 t2 δA  δ  Ldt  t1 3n  m

 i 1

t2 t1 L d L
 (
)]δqi dt

qi dt qi

（2-61）

(i  1,2,,3n  m)

（2-62）

[

而欧拉-泊桑方程为

L d L
 (
)0

qi dt qi

在理论力学中，方程组（2-62）是著名的拉格朗日方程。
上面用 q i 称为“广义坐标”,（2-59）（2-62）式都是用广义坐标表示的。其优点是不
、
一定要用真正的坐标或位移来表示，这样就显得灵活与方便得多。
【例 2-2】 如图 2-2 所示的耦合摆，
它们之间以弹簧相连，
若略去摆的重量， 1 ,  2 ,  3
取
为广义坐标，于是动能和势能分别为

2 
2
T  2m 2 (1   2  3 )
（2-63）
2
1
1
U  K 2 (sin 1  sin  2 ) 2  K 2 (sin  2  sin  3 ) 2 
2
2
2mg[(1  cos 1 )  (1  cos  2 )  (1  cos 3 )]
（2-64）
对于微振幅的摆动而言，

38

sin    ， 1  cos  

1 2

2

图 2-2 耦合摆的运动

于是

U

1
2
2
K 2 [(1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2 ]  mg(1   2   3 )
2
2

（2-65）

拉格朗日方程为

L d L
L d L
L d L
 (
)  0，
 (
)  0，
 (
)0



1 dt 1
 2 dt  2
 3 dt  3

（2-66）

将 L  T  U 代入，即得


4mg 2 1   K 2 (1   2 )  2mg1


4mg 2  2   K 2 (2 2  1   2 )  2mg 2 

（2-67）

4mg 2  3   K 2 ( 3   2 )  2mg3


由以上三式，即可求得 1 ,  2 ,  3 。
我们也可以在 m 个（2-54）式的约束条件下用广义坐标来求非保守系统的拉格朗日方
程。非保守系统没有这样一个势函数 U ，但我们可以把外力 Fxi , Fyi , Fzi 对 δxi , δyi , δz i 作的
功用广义坐标 q k 的变分 δq k 对广义力 Qk 作的功来表示。
设
n

3n  m

i 1

k 1

 ( Fxi δxi  Fyi δyi  Fzi δzi ) 

 Q δq

（2-68）

k

k

3n  m

z i

因为

δxi 

3n  m

xi

 q k 1

δq k，δyi 

3n  m

k

yi

 q k 1

δq k，δz i 

k

 q k 1

δq k

k

将上式代入（2-68）式，有关 δq k 的系数给出 n Qk   ( Fxi i 1

xi
y
z
 Fyi i  Fzi i )
q k
q k
q k

（2-69）

这就是广义力的表达式。
于是，在非保守力系下的最小作用量原理可以写成
t2

δA   (δT  t1 3n  m

 Q δq k 1

k

k

)dt  0

（2-70）

或可写成

δA 

3n  m

 k 1

t2 t1 (

T d T

 Qk )δq k dt  0

q k dt q k

（2-71）

于是由在非保守力场中的运动方程（即拉格朗日方程）

d T
T
(
)
 Qk

dt q k
q k

(k  1,2,,3n  m)

（2-72）

广义坐标在理论力学中受到重视的原因，
不止一个。
广义坐标使力学系统的描述不受坐
标选用的限制。如果我们把一组广义坐标 q i 换置为另一组广义坐标

qi  qi (q1 , q2 ,, q p ) ，其中 i  1,2, p
则哈密顿原理
t2

δA  δ  (T  U )dt  0 t1 仍旧给出拉格朗日方程（运动方程）为

39

（2-73）

L d L
 ( )0

qi dt q

(i  1,2, p)

（2-74）

其形状和坐标无关。
用广义坐标的变分原理较易于求得近似解。

§2.4 含多个自变量的函数的泛函及其极值问题
许多平面问题，如弹性板的弯曲、平面应力或应变问题、轴对称问题等都有 x, y 或 r, z
两个自变量，其它问题诸如弹性振动、平面热传导、弹塑性理论等有三个或四个自变量，这
一类问题在力学物理中非常重要，
也是变分法中的主要方面。
这类泛函极值问题本质是类似
的。
首先研究泛函

[ w( x, y)]   F[ x, y, w( x, y),
S



w( x, y), w( x, y)]dxdy
x
y

（2-75）

的极值问题。其中函数 w( x, y ) 在域 S 的边界 C 上的值已经给出，即在边界 C 上 w( x, y ) 为
已知。记

w
w
 wx ，
 wy
x
y

（2-76）

式（2-75）表达的泛函的变分可以写成

F
F
F
w 
wx 
w y ]dxdy
w
wx
w y
w 
w 
根据函数变分的定义，有 δwx  δ
 δw ， δw y  δ
 δw ，而且
x x
y y
F
 F
 F δwx  ( δw)  (
)δw
wx
x wx
x wx
F
 F
 F δw y  ( δw)  (
)δw
w y
y w y
y w y δ   [

（2-77）

S

将上式代入（2-77）式，则得

δ   [
S

F  F
 F
 (
) (
)]δwdxdy 
w x wx
y w y

 F
 F
(
δw)  ( δw)]dxdy （2-78）
S x w
y w y x 根据格林公式（Green formula）
，对 f ( x, y)，g ( x, y) 两个连续函数有
f g
（2-79）
 ( x  y )dxdy  C ( fdy  gdx)  C ( f sin   g cos )ds
其中 s 为边界围线 C 的弧长，
以逆时针为正，
顺时针为负， 为切线和 x 轴的夹角
（图 2-3）
。



[

并且有以下关系式

dx  cos ds ， dy  sin ds x  n sin   s cos  
（2-80）
 y  n cos   s sin   s  x cos   y sin  
（2-81）
 n  x sin   y cos  
并有
图 2-3 边界的切线和法线

40

 s  n 




 cos   sin 
x x s x n
s
n
 s  n 




 sin   cos 
y y s y n
s
n









（2-82）

 x  y 




 cos   sin 
s s x s y
x
y

x  y 




 sin   cos 
n n x n y
x
y









（2-83）

或

以上各式，对简化二维问题时都是很有用的。按（2-79）式，我们有



S

[

 F
 F
F
F
(
δw)  ( δw)]dxdy   ( sin   cos )δwds （2-84）
C w
x wx
y w y
w y x 在边界 C 上， w( x, y ) 已知为 wc ( x, y) ，对于都通过 wc ( x, y) 的任意 w( x, y ) 的变分 δw 在
边界 C 上都恒等于零。因此（2-84）式右侧围线积分应该恒等于零，于是（2-78）式最后化
为

δ   [
S

F  F
 F
 (
) (
)]δwdxdy
w x wx
y w y

（2-85）

当泛函达到极值时， δ  0 ，根据变分法基本预备定理，得

F d F d F
 (
) (
)0
w dx wx dy w y

（2-86）

这就是决定 w( x, y ) （在边界上满足 w  wc ( x, y) ）的微分方程，也称为欧拉方程式。
【例 2-3】 弦的振动问题就是和（2-75）式相类似的泛函变分问题。
设有均匀弦 AB，单位长度的密度为  ，弦内拉力为 N ， x  0 ， x  L 的两端固定。
单位长度弦的横向位移 w( x, t ) 既是 x 的函数，也是时间 t 的函数。整个弦的动能为

 l w
( ) dx
2 0 t
2

T

（2-87）

弦内由于变形所积蓄的弹性变形能（即势能）等于弦内拉力（即两端的拉力 N ）和弦
长增长的总量的乘积。弦的元素 dx 在变形后增长到 1  ( l U  N  { 1 (
0

w 2
) dx ，因此势能为
x

l 1 w
w 2
)  1}dx  N  ( ) 2 dx
0 2 x
x

（2-88）

w
为了寻求运动方程，
我们可以利用哈密顿原理，
即寻求 w( x, t ) ，
) 的高次项。
x
使弦在 t1  t  t 2 中的作用量为最小，即求泛函 t2 t2
1 t2 l w
w 2
（2-89）
A   Ldt   (T  U )dt    [( ) 2  N
) ]dxdt t1 t1
2 t1 0
t
x
的极值。 w( x, t ) 应满足固定条件， w(0, t )  0 ， w(l , t )  0
（2-90）
这里略去了 (

和满足初始和结束时弦的形状条件

w( x, t1 )  w1 ( x) ，

δA  0 的变分极值条件给出

δA  

t2 t1 l

w δw
w δw
N
]dxdt  0
t
x x

 [ t
0

w( x, t 2 )  w2 ( x)

41

（2-91）

（2-92）

根据（2-90）（2-91）式，我们有 δw(0, t )  δw(l , t )  δw( x, t1 )  δw( x, t 2 )  0 ，所以
、



2
2
t2 l  w l  w
w δw

 0  t t dxdt   t1  0  t 2 δwdxdt   0  t δw t dx

1

t2

t

l

t1

3w δwdxdt t1  0
t 2 l t2 l t2 l t2 
w δw
2w
w 
 t1  0 N x x dxdt   t1  0 N x 2 δwdxdt   t1  N x δw 0 dt


 

 

t2

t2 t1 

l

l
0



N

3w δwdxdt x 2

（2-93）

（2-94）

最后（2-92）式可以写成

δA  

t2 t1 

l
0

[N

2w
2w
  2 ]δwdxdt  0
x 2
t

（2-95）

根据变分预备定理，得到弦振动的欧拉方程

2w  2w

0
x 2 N t 2

（2-96）

在以下的公式推导中，将用到下面诸微积分定理，进行简化。
（2）格林（Green）定理或高斯（Gauss）定理

A A A
（2-97）

 )d   ( A cos   B cos   C cos  )ds
S
x y z
其中 A，B，C 为  中和 S 上的连续函数， S 为闭域  的界面， ，， 为界面 S 的外
法线 n 和 x，y，z 轴之间的方向角。





(

（2）格林定理的形式之一

 U Vd  
2





(

U V U V U V
V


)d   U ds S
x x y y z z
n

其中 V n 为 V 对外法线方向 n 的导数，  2 

（2-98）

2
2
2
 2  2 。
x 2 y
z

这一公式证明很容易，因为

V V x V y V z V
V
V



 cos   cos   cos 
n x n y n z n x
y
z
利用分部积分对（2-98）式右边第一项进行运算，以其中第一项为例，有





U

 2V
U V
V
d   d   U cos ds
2
 x x
S
x
x

整理后即得到（2-98）式。
（3）格林定理





(U 2V  V 2U )d   (U
S

V
U
V
)ds
n
n

（2-99）

该式可以由（2-98）式进行证明。
在使用了这些定理之后，我们可以证明下列常见的欧拉方程。
（2）泛函

[ w( x, y, z )]   F ( x, y, z, w,


为极值的必要条件是 δ  0 ，其欧拉方程为

42

w w w
,
, )dxdydz
x y z

（2-100）

F  F
 F
 F
 (
) (
) (
)0
w x wx
y w y
z wz

（2-101）

w
w
w
, wy 
, wz 
，其边界条件为 w( x, y, z ) 在  的表面上为已知，即在
x
y
z
边界上 δw  0 。
其中 wx 

（2）泛函

w w  2 w  2 w  2 w
（2-102）
[ w( x, y)]   F ( x, y, w,
,
,
,
,
)dxd y
S
x y x 2 y 2 xy
为极值的必要条件是 δ  0 ，其欧拉方程为
F  F
 F
 2 F
2
F
 2 F
 (
) (
) 2 (
)
(
) 2 (
)0
w x wx
y w y
xy wxy
x wxx
y w yy
（2-103）

w
w
 w
 w
 w
, wy 
, wxx  2 , wxy 
, w yy  2 。其边界条件为 w( x, t ) 和
x
y
xy
x
y
w
δw
 0。
在边界 C 上为已知， n 为外向法线，也即在边界 C 上 δw  0 ，
n
n
2

其中 wx 

2

2

（3）泛函

[ w( x, y, z, t )]  

t2

t1





F ( x, y, z, t , w,

w w w w
,
,
, )dxdydzdt
x y z t

（2-104）

为极值的必要条件是 δ  0 ，其欧拉方程为

F  F
 F
 F
 F
 (
) (
) (
) (
)
w x wx
y w y
z wz
t wt

（2-105）

w
w
w
w
, wy 
, wz 
, wt 
。其边界条件为 w( x, y, z, t ) 在  的表面 S
x
y
z
t
上 已 知 ， 即 在 边 界 S 上 无 论 在 (t1 , t 2 ) 内 任 何 时 间 ， δw  0 ， 其 起 始 和 终 止 条 件 为 w( x, y, z, t1 ) 和 w( x, y, z, t 2 ) 为已知，即当 t  t 2 ,t 2 时，  中的任意点 δw  0 。
其中 wx 

（4）泛函

[ w( x, y, t )]  

t2

t1

w w  2 w  2 w  2 w w
 S F ( x, y, t, w, x , y , x 2 , y 2 , xy , t )dxdydt
（2-106）

为极值的必要条件是 δ  0 ，其欧拉方程为

F  F
 F
 F
 (
) (
) (
)
w x wx
y w y
t wt

 2 F
 2 F
2
F
(
) 2 (
)
(
)0
2
xy wxy
x wxx
y w yy

（2-107）

w
w
w
2w
2w
2w
, wy 
, wt 
, wxx  2 , wxy 
, w yy  2 。其边界条件为
其中 wx 
x
y
t
xy
x
y
w
w( x, y, t ) 和
在 边 界 C 上 是 已 知 的 ， 即 在 边 界 C 上 不 论 t1  t  t 2 内 那 个 时 间 ，
n
 δw  δw  0 ，其起始和终止条件为 w( x, y, t1 ) ， w( x, y, t 2 ) 为已知，即在 t  t1 , t  t 2
n
时 S 上任意点的 δw  0 。
43

下面列出几个常见的例子。
【例 2-4】 泛函

w 2
w
w
（2-108）
)  ( ) 2  ( ) 2 ]dxdydz

x
y
z
的变分极值问题。由上式取极值必要条件 δ  0 ，可得到欧拉方程
2w 2w 2w
（2-109）


0
x 2 y 2 z 2
这是三维的拉普拉斯方程， w( x, y, z ) 在边界 S 上的值为给定的，即有 δw  0 。
   [(

【例 2-5】 泛函

   [(


w 2
w
w
)  ( ) 2  ( ) 2  2w( x, y, z )]dxdydz
x
y
z

（2-110）

的变分极值问题。给出的欧拉方程是三维泊桑方程

2w 2w 2w


 ( x, y, z )
x 2 y 2 z 2 w( x, y, z ) 在边界 S 上的值为已知的，即有 δw  0 。

（2-111）

【例 2-6】 泛函

1 

D
2w
2w
2w 2
[( 2 ) 2  ( 2 ) 2  2(
) ]dxdy   q( x, y) wdxdy
S
2  S x
xy
y

（2-112a）

D
2w
2w
[( 2 ) 2  ( 2 ) 2 ]dxdy   q( x, y ) wdxdy
S
2  S x
y

（2-112b）

或泛函

2 
或泛函

D
2w 2w 2
2w 2w
2w 2
 3   {( 2  2 )  2(1  )[ 2
(
) ]}dxdy   q( x, y) wdxdy
S
2 S x
xy
y
x y 2
（2-112c）
其中 D 为抗弯刚度，  为泊桑比， q( x, y ) 为平板所受的横向分布载荷。
以上三式的变分极值条件，都给出同一个四阶欧拉方程

D 2  2 w  D(

4w
4w
4w
 2 2 2  4 )  q( x, y )
x 4
x y
y

（2-113）

以上三个泛函都被用于板弯曲问题。
但必须指出，
这三个泛函虽然给出了相同的欧拉方
程，却代表着不同的边界条件。
考虑式（2-112a）表示的泛函。首先对式（2-112a）进行变分，

 2 w  2 δw  2 w  2 δw
 2 w  2 δw δ 1  D  [ 2
 2
2
]dxdy   qδwdxdy （2-114）
S x
S
xy xy
x 2
y y 2
利用分部积分，等号右边第一、二、三项可分解为

 2 w  2 δw   2 w δw
 3w
4w
 ( 2
)  ( 3 δw)  4 δw
x x x
x x
x 2 x 2
x
2
2
2
3
 w  δw   w δw
  w
4w
 ( 2
)  ( 3 δw)  4 δw
y y y
y y
y 2 y 2
y
 2 w  2 δw   2 w δw
 3w
4w
 (
)  ( 2 δw)  2 2 δw
xy xy x xy y
y x y
x y
或

44

 2 w  2 δw   2 w δw
 3w
4w
 (
) ( δw)  2 2 δw
xy xy y xy x
x xy 2
x y

（2-115）

合并（2-115）各式，可得

 2 w  2 δw  2 w  2 δw
 2 w  2 δw
 2
2

xy xy
x 2 x 2
y y 2
  2 w δw  2 w δw
  2 w δw  2 w δw
[ 2

] [
 2
]
x x x xy y
y xy x
y y
  2
  2
（2-116）
[(  w)δw] 
[(  w)δw]
x x
y y

( 2  2 w)δw 

根据格林公式（2-79）式，有




C



S

{

S

{

{[

  2 w w  2 w w
  2 w  2 w w
[ 2

] [

]}dxdy 
x x x xy y
y xy y 2 y

 2 w w  2 w w
 2 w w  2 w w

] sin   [
 2
] cos }ds
xy x
x 2 x xy y
y y

  2 w
  2 w
[
w]  [
w]}dxdy 
x x
y y



C

{

（2-117）

 2 w
 2 w sin   cos }δwds
x
y

（2-118）
在边界 C 上，如果 w 已知，即 δw  0 ，即（2-118）式等号右边边界围线积分等于零。
如果周边 C 上 w 为已知的，
那么 w n 也一定是已知的，
在边界 C 上， w ＝0， (δw) n 。

δ
现在证明式（2-117）等号右边边界围线积分等于零，为了
证明这点，
我们引进 (n, s) 边界正交坐标
（图 2-4）坐标 dx ，
，

dy ， ds ， dn 之间的变换关系如（2-82）和（2-83）式。
这里  是 s 的函数，即   (s) ，而且有

 1
，
（2-119）
0

s  s
n
其中  s 为边界曲线的曲率半径，当曲率中心在 S 域内部时

图 2-4 边界正交坐标

为正，在外侧时为负。于是利用（2-83）式后，可以证明

2w
2w
 w
 w
 w
( ) sin   cos   ( ) sin   ( ) cos  
2
n x
xy
x x
y x
x

（2-120）

同样，可以证明

2w
2w
 w sin   2 cos  
( )
xy
n y
y

（2-121）

于是（2-117）式中被积函数可以写成

 2 w δw  2 w δw
 2 w δw  2 w δw

) sin   (
 2
) cos 
xy y
x 2 x xy y
y y
 w δw  w δw
（2-122）

( )
 ( )
n x x n y y
 
 w  w
这里必须指出，我们不能把（2-82）（2-83）式的
、
, 直接代入 ( ), ( ) 来计
x y
n x n y
w w
算（2-122）式，因为（2-82）式所表示的
，是在周边 C 上的导数极限，它们只是 s
,
x y
(

45

的函数，它们对法线 n 的导数一定等于零。
（2-122）式中的
附近的

 w  w
( ), ( ) 应该是边界线
n x n y

 w  w
( ), ( ) 在 n  0 时的极限，即
n x n y
 w
 w 
( ) | c  Lim ( ) n 0 n x 
n x
 w
 w 
( ) | c  Lim ( ) n 0 n y 
n y


（2-123）

*

让我们取边界正交坐标 (n, s ) ，这一坐标不在边界 C 上，如图 2-4。同样有以下关系




 cos  *  sin  
x
n 
s




 sin  *  cos 
y
n 
s


*

在s 上

（2-124）

且

s 


*
 s  n s
s

（2-125）

所以

Lim n 0


 w

w
w
( )  Lim { s cos   sin } n 0 n   n s
n x
n
s
 Lim{[ n 0

[

s  2w
s
w
2w

]  cos   2 sin }
 s  n ns ( s  n) 2 s
n

 2 w 1 w
2w

] cos   2 sin 
ns  s s
n

同样，得

 w
 2 w 1 w
2w
Lim ( )  [

] sin   2 cos  n 0 n y
ns  s s
n
于是（2-122）式可以化为

[

 w δw  w δw
( )
 ( )
]c 
n x x n y y
{[

 2 w 1 w
2w
δw
δw

] cos   2 sin }( cos   sin ) 
ns  s s
s
n
n

 2 w 1 w
2w
δw
δw
{[

] sin   2 cos }( sin   cos )
ns  s s
s
n
n
(


 2 w 1 w δw  2 w δw

)(
) 2
ns  s s s
n n

  2 w 1 w
3w
 1 w
 2 w δw
[(

)δw]  [

]δw  2
s ns  s s
ns 2 s  s s
n n

（2-126）

而且，根据边界的封锁性，我们有 i   2 w 1 w
 2 w 1 w
[(

)δw]ds   (

) k δwk
c s ns  s s
ns  s s k 1

46

（2-127）

 2 w 1 w

) k δwk 代表边界 C 上第 k 角点的增值量（注意 C 的方向走向，k 角点
ns  s s
增量顺序）
，这里假设共有 i 个不连续角点， δwk 为 k 角点的 δw 值。
其中 (

最后，从（2-117）式导出

  2 w δw  2 w δw
  2 w δw  2 w δw
 S {x [ x 2 x  xy y ]  y [ xy x  y 2 y ]}dxdy  i  2 w δw
3w
 1 w
 2 w 1 w
c{ n 2 n  [ ns 2  s  s s ]δw}ds   ( ns   s s ) k δwk k 1

（2-128）

同样，利用（2-83）式中的第二式，我们可以从（2-118）式证明



S

[

  2 w
  2 w
 2 w
(
w)  ( δw)]dxdy   δwds c
x x
y y
n

（2-129）

最后，得  1 的极值（必要）条件

 2 w δw ds 
S
c
n 2 n i  2 w 1 w

2w
 1 w

) δwk  0 （2-130）
D[ ( 2 w  2 ) 
]δwds  D (
c n
ns  s s k
s  s s
s
k 1

δ1   ( D 2  2 w  q)δwdxdy   D

如果在边界 C 上， w 和 w n 为已知，包括边界为固定的，则有

δw  0, δwk  0

δw
0
n




在角点k  1,2, i上

在边界C上

（2-131）

从（2-130）式中利用（2-131）的条件，利用变分法的预备定理，就得到欧拉方程，这里为
板的平衡方程为
（2-132）
D 2  2 w  q  0
如果在边界 C 的一部分 C1 上， w 和 w n 都是未知的，在 C1 边界上 w 和 w n 均不
等于零，它们可以是任选的。利用变分法预备定理，则在 C1 上必须满足的条件为



2w
 1 w
( 2 w  2 ) 
 0
n
s  s s
s

（2-133）
 (在 C1 边界上)
2
 w

0
2

 n

如果在角点 k1 上， w 也是未知的，则在那里 δw 不等于零，利用变分法的预备定理，在 k1 角
点上必须满足角点条件

(

 2 w 1 w

)k  0
ns  s s 1

(在角点 k1 上)

（2-134）

像（2-133）及（2-134）的条件，称之为自然边界条件。
凡变分法中因边界值事先未给定而由驻值要求所引起的必须满足的边界条件，
统称为自
然边界条件。例如（2-133）式就是在（2-112a）式的泛函变分中，因一部分边界 C1 上的 w 和

w n 未知，而必须满足的两个自然边界条件。
对另外两个泛函  2 和  3 所代表的自然边界条件，读者可自行推导。以上问题的详细
论述，可参阅文献[1]。
【例 2-7】 梁的弯曲振动问题。梁弯曲振动时，梁的弹性变形能 U 为

47

U

1 l
2w
EJ ( 2 ) 2 dx
2 0
x

（2-135）

1 w 2
( ) dx
02
t

（2-136）

梁的动能为

T 

l

其中  为梁单位长度的质量， w( x, t ) 为梁的弯曲挠度。根据哈密顿原理， w( x, t ) 由 t2 δA  δ  (T  U )dt  0

（2-137）

t1

决定，即 t2 l
1 t2 l w 2
2w 2
w δw
 2 w  2 δw δA  δ   [( )  EJ ( 2 ) ]dxdt    [
 EJ 2
]dxdt
t1
0
2 t1 0
t
t t
x
x x 2
因为 w( x, t1 ), w( x, t 2 ) 已知，所以 δw( x, t1 )  δw( x, t 2 )  0 ，于是 t 2 l w δw t2 l 
w
d w

dxdt    [ ( δw)  ( )δw]dxdt 
 t1  0 t t t1 0 t
t
dt t t2 2
2
t2 l  w l  w t2 l  w

（2-138）

δw dl     2 δwdxdt     2 δwdxdt
 0  t  t t1 0 t1 0
t
t

1

因为 w(0, t ), w(l , t ), wx (0, t ), wx (l , t ) 已知，所以

δw(0, t )  δw( L, t )  0 ，



δw(0, t )  δw(l , t )  0
x
x

（2-139）

于是 t2 l

t1

0

 

[ EJ

t2 l 
 2 w  2 δw
 2 w δw
]dxdt    { [ EJ 2
]
t1
0 x
x 2 x 2
x x
 
2w
2
2w
[ ( EJ 2 )δw]  2 ( EJ 2 )δw}dxdt
x x
x
x
x
2
2
t2 l 
 w
 
( EJ 2 )δwdxdt 
2
t1
0 x
x
l

  2 w δw 

2w
 t1  EJ x 2 x  x ( EJ x 2 )δw dt

0
2
2 t2 l 
 w
 
( EJ 2 )δwdxdt
2
t1
0 x
x
t2

（2-140）

最后，得

δA  

t2 t1 2w 2
2w
 0 [ t 2  x 2 ( EJ x 2 )]δwdxdt l （2-141）

根据变分法预备定理，得梁的振动方程



2w 2
2w
 2 ( EJ 2 )  0
t 2  x
x

如果 EJ 为常数，上式可以写成

4w  2w

0
x 4 EJ x 2

如果端点条件 w 及 w x 为未定的，则我们有相应的自然边界条件
（2）

w
0
t

（当 t  t1 及 t  t 2 ）

48

（2-142）

2w
0
x 2

2w
( EJ 2 )  0
x
x

（2）
（3）

（当 x  0 及 x  l ）
（当 x  0 及 x  l ）

（2-143a,b,c）

显然，
（2-143a）式之（2）相当于起始及终结速度为零；
（2）相当于梁两端弯矩为零；
（2）
与（3）相加在一起，表示自由端的条件；单独（3）表示在端点处剪力为零。
【例 2-8】 薄板弯曲振动问题。设薄板的抗弯刚度为 D ，横向位移为 w( x, y, t ) ，泊桑
比为  。弯矩 M x , M y 及扭矩 M xy 与位移的关系式分别为

2w
2w 
  2 )
x 2
y 
2w
2w 

M x   D( 2   2 )
x
y 
2w 
M xy   D(1  )

xy 

M x   D(

板的弯曲应变能等于

U   

1
2w
2w
2w
( M x 2  M y 2  2M xy
)dxdy 
S 2
xy
x
y

1
2w 2w
2w 2 2w 2w
{D( 2  2 )  2(1  )[(
)  2
]}dxdy
2  S
xy
x
y
x y 2

（2-144）

板的动能为

T

1
w 2
 S ( x, y)( t ) dxdy
2

（2-145）

根据哈密顿原理，其泛函为

1 t2
w 2
 t1 [ S ( x, y)( t ) dxdy]dt 
2
2
1 t2
 w 2w
2w 2 2w 2w
{D( 2  2 ) 2  2(1  )[(
)  2
]}dxdydt （2-146）
2  t1  S
xy
x
y
x y 2 t2 A   (T  U )dt  t1 其变分为

2w
]δwdxdydt  t1  S
t 2 t2  2 w δw
D[ 2 w  (1  ) 2 ] dsdt 
 t1  C
n n t2 
2w
 1 w
D{ [ 2 w  (1  ) 2 ]  (1  )
}δwdsdt 
 t1  C n
s  s s
s

δA   

t2

[ D 2  2 w  

i t2 w  2
 2 w 1 w

( x, y )  dxdy   (1  ) D(

) k δwk dt
 S  t1 t  t1
ns  s s

k 1 t 0
如果边界上 w 及

（2-147）

w
已知，并 w( x, y, t1 ) 及 w( x, y, t 2 ) 为已知，上式最后可导出板的振动方
n

程

49

D 2 2 w  
如果在边界上 w 及

2w
0
t 2

w
不是已给的，则有相应的自然边界条件。
n

50