1

Capítulo I
2

¿De que se trata esto?
 En pocas palabras, la econometría consiste en la

aplicación estadística matemática a la información económica para dar soporte empírico a los modelos construidos por la economía y de ese modo obtener resultados significativos

3

¿Cuál es su utilidad?
1.

Nos permite probar teorías económicas, vale decir, se busca examinar las relaciones que existen entre distintas variables explicativas y variables explicadas
Los econometristas al identificar relaciones entre variables en el tiempo, pueden predecir y/o pronosticar valores probables de estas, por ejemplo, el valor promedio de las ventas en años posteriores.

2.

3.

Una vez formulados los modelos econométricos, es posible diseñar políticas

4

Aspectos importantes
 La econometría y la economía no son unívocos, esto es,

no se debe vincular la economía exclusivamente con la econometría en lo relativo a teorías económicas. Es importante desligarse del paradigma de la ocupación de la econometría.
 Existe la economía del crimen, de la salud, del deporte,

que llevan el nombre por la supuesta racionalidad de las personas y la disyuntiva costo-beneficio.

5

 Es útil para formular políticas públicas y para evaluar

su impacto en la ciudadanía, también proyecciones y estimaciones de ventas.

para

 Por consiguiente, podemos usar la econometría tanto

en el sector público como en el sector privado ya que presenta un bagaje de alternativas para mejorar los índices de gobernabilidad en el sector público y otorga ventajas para los negocios y poder aumentar las ventas.

6

Modelos Econométricos
 ¿Cuál es la diferencia entre un modelo económico (o científico) y un modelo econométrico?
 El modelo económico es una expresión matemática

simplificada de una determinada teoría económica. Por ejemplo, el consumo según la teoría Keynesiana:

Ct = δ + βYt

(1)

¿Qué característica presenta este modelo? ¿Es un modelo determinista? ¿Porqué?

7

En cambio el modelo econométrico presenta especificaciones pertinentes y necesarias para su tratamiento empírico. Revisando en caso del consumo (1), el modelo econométrico se expresa como:
Ct = δ + βYt + εt (2)

Donde C, representa una variable aleatoria. ¿Qué implica la inclusión del término ε en el modelo?

8

Metodología de la econometría
1.- Planteamiento de la teoría o hipótesis: Se esboza una teoría que implique la utilización de variables que busquen encontrar una explicación hacia algún fenómeno o comportamiento particular del individuo.
 Las variables que empleamos en la elaboración de un

modelo econométrico pueden ser o bien observables o variables no observables.

variables

9

Las variables observables las podemos clasificar de la siguiente manera:
 Variables endógenas: Son las variables que intentamos

explicar en un modelo mediante el uso de otras variables. El modelo (2) representa un modelo uniecuacional ya que presenta una sola variable endógena que en ese caso es el Consumo. No obstante, se pueden utilizar más de una variable endógena, como es el caso de las ecuaciones simultáneas. También son denominadas variables regresadas o explicadas. Estas variables pueden ser cuantitativas o cualitativas, tema que se vera con posterioridad.

10

 Variables Exógenas: Son las variables explicativas del

modelo y se escriben a la derecha. En el caso del modelo (2), Y , que representa el ingreso, es una variable exógena. En ocasiones se denotan como X1t,X2t,Xkt. También son denominadas regresoras o variables explicativas. Pueden subdividirse en variables exógenas puras o retardadas. Las primeras son las que se determinan por fuera del modelo (como el ingreso Y). Mientras que las segundas son variables endógenas y exógenas pero que aparecen en periodos de tiempo anteriores al del modelo. Al igual que las variables endógenas, estas variables pueden ser cuantitativas o cualitativas.

11

En el caso de las variables no observables:
Son todas las variables para las cuales no podemos obtener observaciones por diferentes motivos. Son variables aleatorias con propiedades probabilísticas bien definidas que reciben el nombre de “perturbaciones aleatorias” o términos de error. Es lo que diferencia un modelo económico determinista de un modelo econométrico aleatorio. Se denotan generalmente como μ o también ε.

12

2.- Especificación del modelo matemático: Y = β 1 + β2X donde: Y = Variable dependiente, explicada, endógena X = Variable independiente, explicativa, exógena β1 = Intersección o Intercepto β2 =Pendiente (3)

Esta relación puede escribirse como una función:

y = f (X1, X2)
13

 Por ejemplo:

En el caso de la delincuencia, es decir, en la economía de la delincuencia, podríamos expresar la siguiente función: y = f (X1, X2, X3, X4, X5, X6) ó si se desea, de una forma más precisa ID = f (MJH, Det, Des, DI, NP, Esc) La función muestra una relación entre ID = índice de la delincuencia (tasa de delincuencia) con MJH = tasa mujeres jefas de hogar; Det = detenciones; Des = tasa de desempleo; DI = distribución del ingreso; NP = número de policías (contingente) y Esc = tasa de escolaridad. ¿Podemos explicar el índice de delincuencia considerando sólo estas variables?
14

3.- Especificación del modelo econométrico: al observar la anterior especificación, percibimos que no nos es de gran utilidad dado que supone la existencia de una relación exacta o determinista entre las variables endógena y exógena. Sin embargo, las relaciones entre las variables son inexactas. Para dar cabida a relaciones inexactas entre variables, el econometrista modificará la función determinista y escribirá el modelo de la siguiente manera:

Y = β1 + β2X +µ

(4)

En la ecuación (4) se entenderá µ como un término que puede representar todos aquellos factores que afectan a alguna variable endógena, pero que no son consideradas en el modelo de manera explícita.
15

Ejemplo:

Yi = β1 + β2X2i + β3δ3i + µi
Donde: Y: índice de masa muscular adolescente X: precio de las comidas rápidas δ: Un vector de variables dummy (e.g., edad, raza)

(5)

Lo que se puede apreciar en (5) es que se ha agregado el término de perturbación estocástico puesto que como se mencionó anteriormente existen variables que pueden afectar el comportamiento aleatorio de una persona y que no son medibles (variables de orden sicológica), o bien no se pueden recopilar por dificultad. En este caso, piense en el ingreso de los jóvenes, precio bienes sustitutos, etc.
16

4.- Obtención de información: Ya tengo listo mi modelo… lo he especificado de una manera adecuada y estoy listo para probar hipótesis sobre la teoría. ¿Qué pasa si no puedo encontrar los datos de alguna variable importante para desarrollar el modelo?

Esta etapa no puede ser menospreciada ya que supone el sustento para la elaboración del modelo econométrico, sin los datos no podemos probar ninguna relación o establecer alguna teoría.

17

5.- Estimación del modelo econométrico: una vez se han recopilado los datos, se calculan y encuentran los estimadores o parámetros. En el anterior, sería el estimar β1 β2 y β3 de la ecuación (5). Así, conociendo los parámetros es posible conocer cuánto influye la variación de X sobre Y.

6.- Prueba de hipótesis: suponiendo que el modelo ajustado es una aproximación razonable de la realidad, se formulan criterios para ver si los parámetros calculados concuerdan con las expectativas de la teoría. Con estos resultados podemos confirmar o refutar las teorías económicas (o de otra índole) con base en la evidencia muestral que recopilamos. Este paso es conocido como inferencia estadística o prueba de hipótesis, donde analizamos la significancia de los parámetros.

18

7.- Proyección: Si el modelo confirma la hipótesis o la teoría, se puede utilizar para predecir o proyectar el valor futuro de la variable en cuestión. Es de gran interés para algunos centros de investigación pronosticar algún fenómeno en particular, por lo que etapa nos permite pronosticar o bien la media o un valor individual. 8.- Fines del modelo: Uso del modelo con fines políticos, es decir, fines de control para poder realizar políticas públicas por un gobierno o la elección de políticas económicas, como también cambiar la orientación de un negocio, para aumentar las ventas o conseguir un elevado número de compradores.
19

Tipos de datos
1.

Datos de corte transversal: se denotan con el subíndice i :

20

2.

Datos de serie de tiempo, se escriben con el subíndice t:

21

3.

Datos de panel : son observaciones de una variable para distintas unidades económicas a lo largo del tiempo, es decir, es la combinación de datos temporales y de corte transversal:

22

Capítulo II
23

Análisis de Regresión
El análisis de regresión trata del estudio de la dependencia de la variable dependiente, respecto a una o más variables ( las llamadas variables explicativas o exógenas), con el propósito de estimar y/o predecir la media o valor poblacional de la variable dependiente, Y.
 Relaciones Estadísticas v/s Relaciones determinísticas
 Regresión v/s causalidad  Regresión v/s correlación

24

 Ejemplo tradicional:

En este ejemplo, la población se compone por 60 personas separadas en 10 grupos o subpoblaciones de Y. Acá hay 10 valores fijos de X y los correspondientes valores de Y. Además, se puede apreciar en la ultima fila los promedios que se expresan como medias condicionales E(YX)

25

 A estos valores medios los conocemos como los valores

esperados condicionales en vista de que dependen de los valores dados a la variable X. Se anota en forma simbólica como E (Y/X). Así, saber el nivel de ingreso nos permite predecir mejor el valor medio del gasto de consumo que si no supiéramos esa información.
 Se puede vislumbrar que a pesar de la variabilidad del gasto

en consumo para cada grupo de ingreso, en promedio el consumo semanal se incrementa en la misma medida que el ingreso.

26

Función de Regresión Poblacional
 Volvamos al ejemplo, recuerde que cada media condicional

E (Y/Xi) era función de Xi, donde Xi era un valor dado de X.

 Esta función denota únicamente que el valor esperado de la

distribución de Y dada Xi está relacionada funcionalmente con Xi. Es decir, nos dice cómo la media o respuesta promedio de Y varía con X.

27

¿Qué forma toma f (Xi)?
Como no podemos observar toda la población, ésta es una pregunta empírica. Una manera de enfrentar este problema es asumir una forma lineal. Por tanto, si se supone que la relación entre X e Y es lineal se tiene la siguiente función lineal:

E (Y/Xi) = β1 + β2Xi
Donde β1 y β2 son parámetros no conocidos pero fijos que se denominan coeficientes de regresión.

28

Linealidad
Podemos hablar de linealidad tanto en los parámetros como en las variables. Si nos fijamos en las variables:

E (Y/Xi) = β1 + β2Xi2 2. E (Y/Xi) = β1 + β2Xi
1.

¿Cuál de los casos es lineal?
No obstante, en econometría cuando hablemos de regresión lineal, nos referiremos a los parámetros (y no a las X). Por ejemplo, el modelo: β1 + β2Xi3, es un modelo de regresión lineal (en los parámetros).
29

Especificación Estocástica
De acuerdo al ejemplo de ingresos y gasto semanal, el promedio sigue un patrón lineal, pero: ¿Que pasa a nivel individual? En la tabla se puede ver que existe una dispersión en los datos a nivel individuales de la variable dependiente alrededor de la media, pues no se puede esperar que todas la observaciones de Yi sean iguales al promedio condicional a Xi.

30

Por lo tanto, podemos expresar la desviación de Yi individual alrededor de su valor esperado:

µi = Yi - E (Y/Xi) Yi = E (Y/Xi) + µi

(6) (7)

 Donde en (6), la desviación µi es una variable aleatoria que

toma valores positivos o negativos. Se conoce como perturbación estocástica o término de error estocástico.

31

¿Cual es la relevancia de µi ?
¿Por qué no se introducen ciertas variables (no incluidas) en el modelo?
 Es posible que el investigador ignore la existencia de

variables que afectan el comportamiento de Y, también puede suceder que no esté seguro sobre la variación que puede tener Y con la inclusión de una variable.  No se dispone de información cuantitativa de las variables explicativas  Recoge los posibles errores de observación que podríamos cometer
32

Función de Regresión Muestral
El problema del economista es que no puede observar todas las variables ni toda la población de datos. Por lo tanto se enfrenta a una muestra de valores de Y que corresponden a algunos valores fijos de X. Por lo tanto al no contar con todos los datos se debe “estimar”.

Dicho de otra manera, debido a fluctuaciones muestrales pueden ser consideradas en el mejor de los casos sólo como una aproximación de la verdadera regresión poblacional (RP). La FRM se expresa como:

(8)

33

Recordando que la FRP es :

Yi = β1 + β2Xi + µi
Pero cómo esta no se conoce o no es observable directamente, se establece una estimación en base a una muestra: (9) Por tanto:

34

Diferencias entre FRP y FRM

35

 Importante: El residual no es lo mismo que el término de

perturbación estocástico, el residual viene a ser la distancia entre el punto de datos y la línea estimada, el término de error es la distancia entre el punto de datos y la línea verdadera. Nunca conoceremos el valor del término de error porque tampoco conocemos β1 y β2, el intercepto y la pendiente. En general una línea estimada será mejor si produce residuales más pequeños, significará que está más cerca de los datos y que tenderá a la línea verdadera. Por tanto, lo que buscamos es escoger la línea estimada que produce los residuales más pequeños.

36

Estimación
 Se quiere obtener una regresión muestral lo más cercana

posible de la real, se busca que la suma de los residuos sea la menor posible.

 Al realizar esta sumatoria se le esta dando el mismo peso a

todos los errores. Además algunos pueden ser negativos y otros positivos, provocando que la suma sea muy pequeña incluso si existe una gran dispersión de los errores en torno al valor observado.
37

Estimación :Mínimos cuadrados ordinarios
 Tomando la ecuación de los residuos:

 Se eleva al cuadrado:

(10)
 Luego, para encontrar los estimadores

lo que hacemos es diferenciarlos parcialmente derivando (10).

38

 De este modo encontramos el intercepto:

(11)
 Y luego, reemplazando valores obtenemos la pendiente:

(12)
 O también expresado como:

(13)

39

Ejemplo
 Calcular los parámetros para poder establecer la ecuación de la

regresión entre el Maíz (variable Y) y el Fertilizante (variable X): 1º Dada una tabla debemos calcular las sumatorias y luego estimar los promedios. 2º Posteriormente habrá que calcular los desvíos y las sumatorias necesarias para estimar los parámetros.

40

 Una vez obtenidos los valores en rojo, pasamos a calcular la

pendiente:

41

 Recordando que:

 Obtenemos:

 Por lo tanto el valor de la pendiente es aproximadamente

1.66.

42

 Una vez que contamos con el valor de la pendiente, podemos

calcular el intercepto:

 La regresión puede ser expresada del siguiente modo:

 ¿Cómo se interpretan los coeficientes obtenidos? ¿Qué implica

una pendiente de 1.66 en este ejemplo?

43

Precisión de los estimadores
 Como se sabe que los mínimos cuadrados estimados son

función de los datos muestrales, en consecuencia, son variables aleatorias que sus valores cambiarán en función de cada muestra, es decir, puesto que es probable que los datos cambien entre una muestra y otra, los valores estimados cambiarán. Por consiguiente, se requiere de alguna medida de precisión de los estimadores β1 y β2. Dicho de otra manera, se quiere saber algo sobre la variabilidad muestral de estos estimadores.

44

 Las varianzas de los parámetros son:

 Y sus errores estándar:

45

Bondad del Ajuste
 Se denota por R2 y dice que proporción de la variación en la

variable dependiente está siendo explicada por la variable explicativa. Se encuentra entre 0 y 1. Entre más cercano a 1, mejor será el R2.
 Para encontrar la bondad de ajuste, sabemos que:

(14)

46

 Elevando (14) al cuadrado:

(15)
 Las magnitudes de (15) se definen como:

STC = SEC + SRC donde: STC = Suma total de cuadrados SEC = Suma explicada de cuadrados SRC = Suma residual de cuadrados
47

 Se puede demostrar que la variación total en la variable

dependiente (y) puede ser expresada en términos de la variación explicada y la variación no explicada. Se define como coeficiente de determinación R2:

 Análogamente:

48

 Algunos aspectos importantes de R2 : 1.

El coeficiente es una cantidad no negativa, por tanto, si el cálculo de R2 entrega resultados negativos es porque algún error se ha cometido. El R2 que se conoce como el coeficiente de determinación, indica el porcentaje de la variación total de la variable dependiente que es explicada por la variable independiente y por lo tanto es una medida de la bondad del ajuste de los modelos econométricos. Sus límites son 0 y 1. Un R2 de 1 significa un ajuste perfecto. Un R2 de 0 significa que no hay relación alguna entre la variable explicativa X e Y.

2.

3.

49

Supuestos del modelo clásico de regresión
1º El modelo de regresión es lineal en los parámetros:
Yi = β1 + β2Xi + µi 2º Los valores de X son fijos en muestreo repetido. Más técnicamente X se supone no estocástica. 3º El valor medio de la perturbación µi es igual a cero: E (µi/Xi) = 0

4º Homocedasticidad: dado el valor de X, la varianza de µi, es la misma para todas las observaciones:

50

5º No existe autocorrelación entre las perturbaciones. Dados dos valores cualesquiera de X, sean Xi y Xj, la correlación entre µi y µj es cero:

6º El modelo tiene que estar correctamente especificado, esto implica que no existan errores con la inclusión de variables o la exclusión de variables. 7º No hay multicolinealidad perfecta, es decir, no hay relaciones lineales entre las variables explicativas.

51

Ejercicios
1. Especifique y estime un modelo econométrico que explique el consumo agregado Ci en función del ingreso disponible Yi, de acuerdo a la información como datos de corte transversal que se entrega. Explique sus resultados en términos de la teoría económica (n = 10):

∑Yi = 1700

∑Ci = 1110

∑CiYi = 205500 ∑Yi2 = 322000 ∑Ci2 = 132100

52

a) Especifique la regresión y exprese lo que se espere de la

teoría. b) Calcule los parámetros de la regresión e interprete, ¿se condice la teoría con los resultados? c) Calcule el coeficiente de determinación del modelo d) Calcule los errores estándar de los parámetros

53

2.- De acuerdo al siguiente modelo de regresión escogido para una investigación empírica: InIVt = θ1 + θ2 InUt + µi. Donde IV corresponde al índice de vacantes de empleo y U a la tasa de desempleo. A priori se espera que θ2 sea negativa. Suponiendo que los supuestos de regresión se cumplen la regresión estimada es:

In IVt = 7.3084 + 1.5375InUt + µi
R2 = 0.95 y n = 24.

Explique los resultados.
54

Capítulo III

55

Supuesto de normalidad
La regresión lineal normal clásica supone que cada µi está normalmente distribuida con:

Media: Varianza Cov (µi, µj)

E (µi) = 0 E [µi – E(µi)]2 = E(µi2) = σ2 E{[ µi – E(µi)][ µj – E(µj)]} = E (µi, µj) = 0

Estos supuestos pueden expresarse en forma más compacta como:
Esta expresión significa, que µi está distribuido normalmente, con media cero y varianza constante u homocedástica.
56

Intervalos de confianza

 Tal intervalo se conoce como intervalo de confianza; a (1 – α) se

le denomina como coeficiente de confianza y a (0 < α < 1) se le conoce como el nivel de significancia (generalmente del 5%).

57

 Para poder realizar el intervalo de confianza de β2 se hace lo

siguiente:

 También se puede escribir como:

 Para el intercepto, el intervalo es similar, esto es:

58

 ¿Cuál es la relevancia de los errores estándar en los

intervalos?
 ¿Cuáles son las consecuencias de una inadecuada

estimación sobre los errores estándar (o sobre sus varianzas?
 ¿Cuál es la interpretación que hacemos de un intervalo

dado al nivel de significancia de 0.05?

59

Prueba de Hipótesis
 El contraste de hipótesis es una técnica de inferencia

estadística para juzgar si una propiedad que se supone cumple una población estadística es compatible con lo observado en una muestra de la población, vale decir, se busca demostrar que los resultados obtenidos son significativos, que se ajusten a la realidad lo mejor posible.
 Para ello, en los test de hipótesis se confrontan dos

hipótesis, una llamada hipótesis nula que denotamos con H0 y otra llamada hipótesis alternativa (o alterna) denotada con H1.

60

Procedimiento práctico para validar estadísticamente los parámetros
Paso 1.- Postulación de la hipótesis: la prueba t permite evaluar si el parámetro es significativamente distinto a algún valor planteado, usualmente cero. Por lo tanto la hipótesis nula para esta prueba es:

Paso 2.- Construcción del estadígrafo de prueba: se anota la fórmula que se utiliza para encontrar el valor t. Para ello, es necesario contar con los valores estimados.

61

Para encontrar el valor crítico se debe buscar en la tabla t Student, considerando los grados de libertad que se estén utilizando (conocer n y k):

El nivel de significancia que se usa generalmente es =0.05 lo que corresponde a un 5% en término de porcentaje. Sin embargo, en ocasiones se utiliza =0.1 porque el otro nivel entregaba valores insignificantes.
62

Paso 3.- Criterio de decisión:

63

Gráficamente se tiene que en la zona de 95% es donde aceptamos la hipótesis nula, y en las dos regiones del 2.5 (ya que la prueba de t considera α/2 y trabajamos con α = 5%) se acepta la hipótesis alterna:

64

Análisis de Varianza
 Considere la siguiente tabla:

 Recuerde que: STC = SEC + SRC, que es equivalente a

65

 Dada la tabla ANOVA se establece la siguiente variable F:

 Esta distribución F cuenta con 1 y (n -2) grados de libertad

(g de l) en el numerador y denominador respectivamente. En esta ocasión, se tendrá que buscar el valor crítico en la tabla F de Fisher con los grados de libertad mencionados y luego realizar la contrastación con el valor F calculado.

66

Predicción y/o Pronóstico
 Cuando se han estimado los parámetros y se han probado los

parámetros mediante las pruebas de significancia, procedemos a calcular valores futuros de interés para la variable en estudio del modelo econométrico. En econometría hablamos de dos tipos de predicción en base a las regresiones muestrales: 1º Predicción Media: corresponde a la predicción del valor de la media condicional de Y correspondiente a un valor escogido de X, por ejemplo X0. 2º Predicción individual: es la predicción de un valor individual de Y correspondiente a X0.
67

Predicción Media
Generalmente se utiliza que Xo = 100 y luego se busca predecir E (Y/X0 = 100). Con esto podemos demostrar que la regresión (que se está pronosticando) proporciona la estimación puntual de esta predicción media.
1º Lo primero que se debe hacer es reemplazar el valor escogido ( en este caso 100) en la regresión (más bien en la X). De esta manera obtendremos un valor estimado futuro de Y.

68

2º Habrán diferencias que surjan entre los valores estimados y los poblacionales, que nos darán alguna idea sobre el error de predicción o de pronóstico, para evaluar este error, es necesario encontrar la desviación:

 Para hacer pruebas de hipótesis acerca de tal valor,

utilizamos el intervalo:

69

Predicción Individual
 A diferencia de la predicción media, el interés de los pronósticos

individuales está justamente en predecir un valor individual de Y, digamos Y0 correspondiente a un valor dado X, entonces su varianza es:

70

Interpretación de la regresión
 ¿Cómo interpretamos el intercepto de un modelo de

regresión simple? ¿Su valor siempre es importante?
 ¿Qué nos indica el coeficiente de la pendiente en la

regresión? ¿Nos referimos a una variación por unidad?
 ¿Cómo se interpretan los coeficientes mediante los

conceptos de elasticidad? ¿Es necesario contar con alguna expresión matemática?

71

Ejemplo
 Si no piden estimar un modelo con los datos de la tabla anterior,

pero probando ahora su significancia y bondad del ajuste:

72

 Como se habrá notado, con los datos de la tabla anterior podíamos

calcular los parámetros, pero ahora necesitamos calcular la precisión de los estimadores:

73

 Sabiendo que:

 Entonces tenemos:

SRC = ∑µi2 = 47.3056 STC = ∑yi2 = 1634

74

 De acuerdo con las magnitudes: STC = SEC + SRC, sólo nos falta

obtener la suma explicada, ¿cómo lo hacemos? Hay dos maneras: 1º Reorganizando:

SEC = STC – SRC SEC = 1634 – 47.305 SEC = 1586.69 2º Calculando de acuerdo a la fórmula de la SEC:

75

 Una vez que contamos con estos resultados, es posible

calcular R2:

 Se puede corroborar utilizando la otra fórmula alternativa

entregada para calcular el coeficiente de determinación, dado que se cuenta con el valor de la SRC para hacerlo.

76

 Para decidir sobre la significancia de los parámetros precisamos del

valor de sus errores estándar: 1º Calcular la varianza de µ:

2º Calcular las varianzas de los estimadores:

77

 Análogamente:

Una vez estimados las varianzas y errores estándar nos es posible realizar los test de hipótesis y de esa manera probar la significancia de los parámetros.

78

1º Planteamiento de hipótesis

2º Escribiendo el estadístico de prueba

79

3º Finalmente, decidimos:

Considerando que

, se tiene que tt = 2.306:

16.6 > 2.306

13.7 > 2.306

 ¿Son significantes nuestros parámetros de la regresión estimada?  ¿Cómo expresamos los resultados obtenidos y como los

interpretamos?

80

Ejercicio
1.

Se entrega la siguiente regresión que enseña el índice de remuneraciones y la productividad de los trabajadores en una empresa:

a) Calcule los valores restantes y diga si es significante b) Calcule el coeficiente de determinación, con n = 38

81

Capítulo I
82

Regresión Múltiple
 A diferencia del modelo lineal simple, un modelo de

regresión lineal múltiple, tal como dice su nombre, considera más de una variable explicativa, es decir, X1i, X2i, X2i, X3i, …., Xki, que dependerá exclusivamente del criterio del investigador o de la teoría que se haya propuesto.
 Por ejemplo un modelo que añade 2 variables más al lineal

simple: Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + β4X4i + µi

83

 En el modelo de regresión múltiple se algunos de los

supuestos del modelo de regresión lineal simple. ¿Cuáles son esos supuestos?
 ¿Cómo interpretamos el modelo de regresión? El modelo se

explica como el valor esperado o la obtención de la media condicional de Y condicionado a los valores dados o fijos de las variables X2 y X3(en el caso de dos variables explicativas).
 ¿Cómo se explican y/o describen los coeficientes en la

regresión?

84

Coeficiente determinación múltiple
 A diferencia del modelo simple, el coeficiente de determinación, en

este caso, nos ayuda a conocer el la proporción de la variación en Y explicada por las variables X2 y X3 conjuntamente.
 Sin embargo, ¿Qué pasa al incluir tantas variables en un modelo? El

R2 presenta un problema con un mayor número de variables ya que el coeficiente de determinación es una función no decreciente del número de variables explicativas.
 ¿Cómo? Analice las

magnitudes.

85

 Lo que se sugiere es que al comparar dos modelos de

regresión con la misma variable dependiente pero con un número distinto de variables explicativas, se debe tener cuidado al escoger el modelo con el coeficiente de determinación más elevado.
 Si usted debe escoger entre un modelo con un R2, de 92%

frente a otro modelo con R2 = 65%. ¿Qué modelo explica de mejor forma su variable endógena? ¿Cuál debiese ser nuestra conclusión?

86

 Entonces, para poder comparar entre modelos econométricos se

debe considerar la inclusión del número de variables explicativas. Para poder comparar modelos econométricos sin problemas por el número de variables se utiliza el coeficiente de determinación ajustado:

 Donde el término ajustado expresa la utilización de los grados de

libertad, que en definitiva, nos sirven para balancear la inclusión de un mayor número de variables

87

Prueba de hipótesis sobre un coeficiente de regresión
 Se puede utilizar la prueba t para demostrar una hipótesis sobre

cualquier coeficiente de regresión parcial individual.
 La diferencia en el caso de utilizar, por ejemplo, dos variables

explicativas, es que se mantiene constante X3 y se utiliza la misma prueba t que se describió con anterioridad.
 La otra diferencia en relación a la regresión lineal simple, es que

en este caso cambian los grados de libertad que se utilizan, ya que se consideran todos los parámetros.

88

Prueba de significancia global del modelo
 La prueba de significancia global es una de las partes más sustanciales

en la construcción de un modelo econométrico ya que se requiere satisfacer su significancia, ¿De que nos sirve un modelo insignificante?
 El estadístico que usamos en este caso es el F con (k-1) y (n-k)

grados de libertad, este estadístico nos permite probar la hipótesis de que ninguna de las variables explicativas conjuntamente ayuda a explicar la variación de Y alrededor de su media.
 ¿Cuál es la metodología para probar la significancia del modelo

conjunto?
89

Para ejemplificar todo esto, véase un modelo de regresión múltiple con k variables:

Yi = β1 + β2X2i + β3X3i +… + βkXki + µi
Paso 1.- Construir la hipótesis nula y la alterna; si consideremos 3 variables explicativas en el modelo (k = 4, ya que se agrega el intercepto):

90

Paso 2.- Establecer el estadígrafo de prueba, en este caso el estadígrafo F:

Paso 3.- Para efectos de la regresión múltiple, el criterio de decisión se plantea del siguiente modo: se calcula el estadístico F y se contrasta con el valor crítico de F, las decisiones son análogas a las de la prueba t, esto es, habrá significancia de parámetros cuando el F calculado sea mayor al de tabla (se va a rechazar la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna). Es decir:

91

 Es posible encontrar una relación entre el

coeficiente de determinación múltiple y el estadístico F, con una nueva fórmula:

 Es posible notar en la relación entre R2 y F ya que cuando el

coeficiente de determinación aumenta, mayor será el valor de F. Asimismo, cuando R2 = 0, F tendrá el mismo valor. Nótese que cuando R2 = 1, F se volverá infinito. ¿Qué más podemos decir sobre esta relación?

92

Contribución incremental de una nueva variable
Para analizar la incorporación de nuevas variables se utilizan generalmente dos métodos:
1º Método “Forward”: Se inicia con una variable y se analiza la incorporación de nuevas variables al modelo. 2º Método “Backward”: Se inicia con todas las variables y se analiza la extracción de variables que no sirven en el modelo.

93

 Recordar: Al incluir,

modificar la forma funcional, o extraer variables para presentar un mejor modelo, se puede transformar en un error de especificación, el que es un gran problema para la econometría y que será abordado posteriormente. modelo se utiliza una prueba Fisher, definiendo la siguiente función (usando el método forward):

 Para evaluar la contribución incremental de nuevas variables al

 O de forma análoga:

94

Test de Chow
 Cuando utilizamos en un modelo variables que involucren series de

tiempo, tal vez suceda que haya un cambio estructural en la relación entre la regresada (variable Y) y las regresoras. ¿Cómo se podría testear que una crisis económica provocó un cambio importante en la demanda de créditos de consumo en una economía? Verbigracia ¿cómo se podría testear que una crisis económica provocó un cambio importante en la demanda de créditos de consumo en una economía?
 Cuando existen quiebres estructurales que provoca cierto hecho (en

su mayoría económico puesto que se trabaja con series de tiempo) que termina modificando alguna variable, se ha elaborado la prueba de Chow.
95

 Tómese la siguiente información como ejemplo:

96

 Junto con esta información, se sabe que el año 1982 se sufrió una

crisis económica en Estados Unidos, que pudo haber afectado la relación entre el ahorro y el ingreso disponible de esa economía. ¿Cómo probamos esto? Divida los periodos como sigue:

1.- Período 1970-1981: Yt = 1 + 2Xt + u1t 2.- Período 1982-1995: Yt = φ1 + φ2Xt + u2t 3.- Período 1970-1995: Yt = ω1 + ω2Xt + ut

n1 = 12 n2 = 14 n = (n1+ n2) = 26

 Ahora, se debe proceder a estimar las regresiones especificadas:

97

 Los resultados son:

 ¿Qué conclusiones podemos rescatar?

98

 La metodología para la prueba de Chow es la siguiente:

Paso 1.- Obtener la suma de los residuos al cuadrado (SRC3 o SRCR) de la regresión que considera los 2 períodos sumados. Es decir, el total de la muestra. Paso 2.- Obtener la suma de los residuos al cuadrado (SRC1) de la regresión que considera el primer período. Es decir, la primera parte de la muestra. Paso 3.- Obtener la suma de los residuos al cuadrado (SRC2) de la regresión que considera el segundo período. Es decir, la segunda parte de la muestra.
99

Paso 4.- Con esta información podemos obtener lo que se llama suma de los residuos al cuadrado no restringida (SRCNR). SRCNR = SRC1 + SRC2 con g de l = (n1 + n2)

Paso 5.- Ahora, se debe calcular el estadístico F de la siguiente forma:

La hipótesis nula corresponde a que las regresiones en los períodos analizados son estadísticamente las mismas, es decir, no existe cambio estructural. Por lo que la hipótesis alterna es la presencia de un quiebre estructural en el modelo. ¿Qué concluimos en este caso?
100

Enfoque matricial del modelo múltiple
 Cuando se comienza a trabajar con modelos múltiples , resulta

complicado y tedioso estimar los parámetros por la cantidad de cálculos que se deben realizar, por tanto, se enseña la manera matricial para estimar dichos parámetros:
 Recuerde la regresión múltiple:

 Podemos expresar la misma relación, ordenado de manera matricial:

101

 Esto es:

 Por consiguiente, podemos resumir este orden matricial de una forma

más precisa aún: y = Xβ + µ
102

 Para encontrar los parámetros y demás resultados de manera

matricial, se debe calcular lo siguiente:

 Si nos detenemos a observar, debemos calcular:

- (X’X) - X’y - (X’X)-1
103

Ejemplo
 Estimar los parámetros de la siguiente tabla:

 Debemos recordar agregar la columna referente a la constante.

104

 Entonces, ordenando tenemos:

105

 Ahora, seguimos con:

 Simplificando los resultados, obtenemos:

106

 De este modo, los coeficientes son:

 ¿Y la precisión de estos estimadores? ¿Cómo la calculamos? Para

ello empleamos la matriz de varianzas-covarianzas:

107

 Para obtener dicha matriz, hay que tener los siguientes valores:

 Es decir, necesitamos la varianza homocedástica del error, la que

obtenemos de la siguiente manera:

 Recordemos también:

108

 Por consiguiente, en nuestro caso tenemos:

 Simplificando, encontramos que SRC = 13.6704, por lo tanto:

109

Ejercicio en Excel

110

Ejercicio
1.- Se estimo un modelo que pretende explicar el salario anual (w), medido en miles de dólares (desde 1980 al 2007), en función de la experiencia laboral (ex) y el nivel de educación (ed), ambas medidas en años. Los resultados son los siguientes:

a)

¿Son consistentes los signos de los parámetros con la teoría?. Comente

b) Interprete la bondad del ajuste del modelo c)

Evalúe la significancia individual y conjunta del modelo.(establezca claramente, el estadístico de prueba, la distribución de probabilidad y el criterio de decisión
111

Capítulo II
112

Variables Cualitativas
 Las variables cuantitativas no son las únicas que pueden

afectar la variación de Y. Existen influencias que son de naturaleza cualitativa y que también afectan el comportamiento de Y. Por ejemplo, entre las variables cualitativas podemos mencionar la raza, la religión, sexo, tipo de educación, tipo de gobierno, políticas económicas, etc.
 En las regresiones, se pueden elaborar relaciones con variables

cualitativas solamente o una conjunción de variables cualitativas y cuantitativas. Al primer modelo se le conoce como ANOVA (análisis de varianza) y al segundo ANCOVA (análisis de covarianza).
113

ANOVA
 Cuando usamos solamente variables cualitativas, estas indican la

presencia o ausencia de una cualidad o atributo, tal como femenino o masculino, negro o blanco. Para desarrollar esto, se elaboran variables artificiales que toman los valores 0 y 1, donde 1 indica la presencia de una cualidad y 0 la ausencia de esa cualidad. Así, se puede indicar con 1 a los hombres y con 0 a las mujeres, se puede dar el 1 a los de una región y 0 a los pertenecientes a otra zona. Generalmente se les suele llamar variables dicotómicas o dummy.

114

 Por ejemplo, un caso tradicional de los salarios de profesores:

 El punto de corte β1 (en la ecuación alfa) nos muestra el salario

medio de los profesoras, mientras que el coeficiente de la pendiente β2 nos dice cuanto varía el salario medio de los hombres con respecto del de los profesoras. Ya que (β1 + β2) fija la dicotómica de valor 1, y nos muestra el salario medio de los profesores.
 A β2 es más adecuado llamarlo coeficiente del punto de corte

diferencial, porque nos dice en cuanto difiere el valor del punto de corte entre las dos categorías ( en este caso salario entre hombres y mujeres).

115

ANCOVA
 Los modelos ANOVA son bastante útiles, aunque son empleados

generalmente en trabajos de campos de estudio como la sociología, pero para los ámbitos propios de los negocios y las finanzas no son tan utilizados. Para ello, se trabajan con variables cualitativas y cuantitativas conjuntamente.
 Para ejemplificar los modelos ANCOVA, veamos un ejemplo del

gasto en alimentos en hombre y mujeres , pero agregando la variable cuantitativa de la renta después de impuestos Por consiguiente, la regresión se expresa:

Yi = β1 + β2Di + β3Xi + µi
116

 Como se dijo, Y representa el gasto en alimentos, X es la renta

después de impuestos y D = 1 para mujeres y 0 para hombres.

 ¿Qué nos dicen los resultados? ¿Son significantes? ¿Cómo

hacemos la interpretación de los parámetros?
 ¿Qué quiere expresar la regresión?

117

 Recordar: Cuando manipulamos regresiones con variables

cualitativas existe la opción de trabajar con más variables dicotómicas de dos clases o categorías. Por ejemplo una dummy que tenga como categorías áreas geográficas (e.g., Norte, Centro, Sur) o una dummy con niveles de enseñanza (e.g., básica, secundaria y universitaria). Lo importante es tener en cuenta que una vez que vamos más allá de la simple clasificación dicotómica (mujer y hombre, afiliado y no afiliado, trabajador y cesante, negro y blanco, etcétera) se debe tener especial cuidado al especificar cuál es la categoría base puesto que todas las comparaciones serán respecto a dicha categoría de base o referencia.

118

 Estos modelos se pueden ampliar fácilmente para incorporar más de

una variable cualitativa. Analice la siguiente regresión:

 Y tenemos las estimaciones de la regresión:

 ¿Cómo interpretamos la regresión?
119

Ejercicio Excel
 Estabilidad Estructural

120

Ejercicio
1.- Una teoría extendida entre alumnos profesores de una facultad es que las mejores calificaciones académicas son obtenidas por mujeres. Suponiendo que tiene acceso a la siguiente información: i) Calificaciones en la asignatura de Econometría (de 0 a 10) obtenidas por los estudiantes en el primer semestre de 1993; ii) Número de horas que cada uno de ellos ha invertido en la preparación de la asignatura; iii) Si ha asistido o no regularmente a las clases (medido como la relación entre horas de asistencia sobre el total de horas lectivas); iv) Sexo del estudiante.

¿Cómo docimaría si la teoría de los profesores es cierta? ¿Cómo docimaría la hipótesis de que el aprovechamiento de las horas dedicadas al estudio es superior en las mujeres que en los hombres? Especificar el modelo adecuado en cada caso y explique detalladamente el mecanismo de cada contraste propuesto. ¿Hay alguna otra hipótesis que le parezca interesante docimar con estos datos?, ¿Cómo lo haría?
121

Capítulo I
122

Violación de Supuestos
 Al plantear el modelo de regresión se han formulado bastantes

suposiciones, que corresponden a simplificaciones en el tratamiento del problema, sin embargo ¿qué sucede si estos supuestos no se cumplen al formular un modelo econométrico? ¿Podemos seguir utilizando los mismos mecanismos de estimación? Los supuestos eran: 1.- No existe Multicolinealidad 2.- No existe Autocorrelación entre las perturbaciones 3.- Varianza Homocedástica

123

Multicolinealidad
 La multicolinealidad hace referencia al caso en el que dos o

más variables explicativas del modelo de regresión guardan alguna una relación o correlacionadas entre sí, alcanzando una colinealidad imperfecta o perfecta dependiendo de la cercanía que tengan, lo que genera un dificultad para aislar sus efectos individuales sobre la variable dependiente.

124

 Gráficamente, la colinealidad se presenta de la siguiente manera:

125

 Algunas causas por las que se produce:

1.- Restricciones del modelo o en la muestra de la población: Por ejemplo, en la regresión del consumo de electricidad sobre el ingreso (X2) y el tamaño de las viviendas(X3), hay una restricción física en la población puesto que las familias con ingresos más altos generalmente tienen viviendas más grandes que las familias con ingresos más bajos.

2.- Problema de especificación del modelo.
3.- Modelo sobre determinado. Esto sucede cuando el modelo tiene más variables explicativas que el número de observaciones.

126

 ¿Qué consecuencias pueden existir al estimar un modelo con

multicolinealidad? 1.- En el caso de Multicolinealidad imperfecta los estimadores siguen siendo MELI, pero tienen varianzas y covarianzas grandes que hacen difícil la estimación precisa. En multicolinealidad perfecta no se puede obtener una solución única para los coeficientes de regresión individual, lo que produce varianzas y errores estándar infinitos. Por ejemplo, cuando existe una multicolinealidad perfecta entre X1 y X2 tenemos X1 = 2X2 ó X1 = 5 – (1/3) X2. Entonces, cuando dos o más variables explicativas están perfectamente correlacionadas linealmente, será imposible calcular los estimadores MCO de los parámetros.

127

2.- Los intervalos de confianza tenderán a ser mucho más amplios ya que si las varianzas son grandes o un número mayor, conllevará a que los errores estándar incrementen la amplitud de los intervalos de confianza. ¿Es mejor que aceptemos siempre la hipótesis nula? 3.- ¿Qué sucederá con los test de hipótesis?

4.- A pesar de la insignificancia de algunos parámetros en la prueba t, el R2 puede ser alto.

128

 Métodos de Detección:

1.- El clásico caso de multicolinealidad se produce cuando ninguna de las variables explicativas de la regresión MCO es estadísticamente significativa y algunas pueden, incluso tener el signo equivocado, en cambio el coeficiente de determinación múltiple, R2, puede ser elevado (por ejemplo entre 0.7 y 1.0), lo que llevará a rechazar la hipótesis nula de que los parámetros son conjuntamente iguales a cero.

2.- En los casos menos evidentes, resulta más difícil detectar la multicolinealidad. A veces se utilizan elevados coeficientes de correlación parcial simple entre las variables explicativas como una medida de multicolinealidad. Sin embargo, es posible que exista una importante multicolinealidad a pesar que los coeficientes de correlación sean reducidos (menores que 0.5).
129

3.- Realizar las pruebas de FIV y TOL, aunque en la práctica son un poco criticadas. Es importante recalcar que los métodos que se han descrito no son los únicos y no son perfectos. En el caso de la multicolinealidad no se puede hacer mucho al respecto, puesto que la multicolinealidad es un problema específico de una muestra dada sobre la cual el investigador puede no tener mucho control.

¿Y la corrección?

130

Autocorrelación
 La autocorrelación o correlación serial entre las perturbaciones (μi)

se presenta tradicionalmente cuando se trabaja con series de tiempo, puesto que la autocorrelación hace referencia al caso en el que el término de error de un período está correlacionado con el término de error de cualquier otro período.

 Si el término de error de un período está correlacionado con el

término de error del período anterior, estamos ante un caso de autocorrelación de primer orden. Si el término está correlacionado con términos más antiguos, hablamos de segundo orden, tercer orden, suma y sigue.

131

 Simbólicamente, hay evidencia de correlación cuando el término

de error del modelo está correlacionado consigo mismo a través del tiempo (o en el espacio en el caso de datos de corte transversal), esto es:

 Violando el supuesto que se mantenía en el principio:

132

 Ilustrando de mejor manera esta violación del supuesto,

consideremos la tasa de delincuencia regresada sobre la tasa de detenciones en los distintos estados de los Estados Unidos. A priori, se puede pensar que las perturbaciones de cada unidad (en este caso un estado) no debiera tener una correlación con las perturbaciones de las otras unidades, lo que reflejaría el supuesto de no existencia de autocorrelación (espacial en este caso).
 Sin embargo, a posteriori es factible encontrar una correlación

entre las perturbaciones siendo que los incrementos de la tasa de delincuencia de un estado pueda inducir a algunas personas [de otro estado] a delinquir y por tanto, a aumentar la tasa de delincuencia de otro estado.

133

 Algunas causas por las que se produce la autocorrelación:

1.- Sesgo de especificación: la autocorrelación se puede causar cuando se ha cometido un error al momento de especificar el modelo. Existen dos posibles errores: Puede ser por la omisión de variables (esto implica conocer el verdadero modelo con anticipación) o bien por una especificación incorrecta del modelo (e.g., expresarlo con logaritmo).

2.- Relaciones dinámicas (principio de Inercia):
Cuando se habla sobre inercia o lentitud, se entiende que las series de tiempo económicas presentan por lo general un comportamiento cíclico, lo que se traduce en una interdependencia entre las observaciones (e.g., desempleo, IPC, producción).
134

3.- Rezagos
No es poco común encontrar modelos que introduzcan dentro de sus variables explicativas la variable dependiente, pero como variable rezagada, por ejemplo:

Yt = β1 + β2X2t + β3Yt-1 + µt
 ¿Qué son los rezagos?

135

 Detección:

1.- Prueba de Durbin-Watson: es la prueba más utilizada para detectar si existe autocorrelación en algún modelo econométrico. Este estadístico se define como:

 ¿ Qué nos muestra el estadístico?  Para simplificar el cálculo de d, podemos desarrollar la fórmula para

obtener:

136

 Si continuamos simplificando:

 Si definimos Rho como:

 Tenemos el estadístico Durbin-Watson simplificado a :

137

 Entonces, si conocemos el valor de Rho (porque lo otorgan o lo

hemos calculado) y lo reemplazamos en el estadístico DW simplificado, se pasa a tomar una decisión sobre el valor que se obtenga. Asimismo, si calculamos d con la primera fórmula entregada también hay que tomar una decisión sobre ese valor. Para ello, se construye la siguiente figura, que nos ayudará a rechazar o aceptar nuestras hipótesis sobre la evidencia de correlación en el modelo de acuerdo al estadístico DW.

138

 La tabla DW con la que se decide sobre la correlación en el modelo

es la siguiente:

139

 Entonces, de manera más metodológica:

Paso 1.- Postulación de hipótesis

Paso 2.- Estadígrafo de Prueba: En esta ocasión se debe identificar el estadístico (o la fórmula) que se deberá utilizar para rechazar o aceptar las hipótesis postuladas. Por tanto, podemos calcular DW con:

140

Paso 3.- Criterio de decisión

141

1.- Prueba LM (Breusch-Pagan): Esta prueba permite algunas cosas distintas de la prueba DW, como: 1) regresoras no estocásticas, como valores rezagados de la regresada; 2) esquemas autorregresivos de orden mayor, como el AR (1), AR (2) y 3) promedios movibles de términos de error con ruido blanco de orden superior, como εt. La prueba es como sigue: Paso 1.- Se deberán postular La hipótesis nula de esta prueba es:

Esta hipótesis plantea que no existe correlación serial de ningún orden, mientras que la alterna dice lo contrario:

142

Paso 2.- Se debe estimar un modelo mediante MCO y obtener los residuos. Paso 3.- Se debe tomar el residuo como variable endógena y regresarla sobre el vector de la variable Xt y además tomar los valores rezagados de los residuos estimados en el paso 2, es decir, rezagos que se expresan como µt-1, µt-2, µt-p. La cantidad de dichos valores rezagados serán elegidos bajo decisión de la persona a cargo. Si elegimos un esquema autorregresivo AR (2), utilizaremos ρ = 2.

Paso 4.- Una vez estimada la nueva regresión (también regresión auxiliar) se debe calcular su coeficiente de determinación, denotado como .
143

Paso 5.- Calcular el estadígrafo de prueba:

Paso 6.- Finalmente se llega al criterio de decisión sobre la prueba LM. Si el resultado de LM excede el valor crítico del χ2 al nivel de significancia elegido, se puede rechazar la hipótesis nula, es decir, en el modelo, por lo menos una ρ es significativamente de cero, por lo tanto habría evidencia de autocorrelación.

144

Heterocedasticidad
Uno de los supuestos más importantes en la econometría es el de la homocedasticidad o igual varianza (o dispersión) de cada término de perturbación μi. Simbólicamente:

En contraste, en ocasiones cuando la varianza condicional de Y aumenta a medida que X aumenta, las varianzas de µi son distintas para cada observación, vale decir, las varianzas condicionales de µi dejan de ser constantes, simbólicamente se tiene:

145

 Gráficamente, la homocedasticidad se representa como:

146

 Gráficamente, la heterocedasticidad se representa como:

147

 Algunas causas por las que se produce la heterocedasticidad:

1.- Curva de aprendizaje. Existen variables donde la adquisición del conocimiento y la acumulación de experiencia puede afectar (en este caso, disminuir) la cantidad de errores a cometer e incluso la magnitud de ellos. En estos casos, la varianza de los errores no es constante. ¿Por ejemplo?

2.- En ocasiones existen modelos en donde se incluyen variables explicativas que no necesariamente respetan la misma relación con la variable dependiente en cada nivel de X. ¿Por ejemplo?

3.- Mejores técnicas de recolección de datos y factores atípicos que están directamente relacionadas con las observaciones de la regresión, ya que pueden alterar sustancialmente los resultados.
148

 Detección:

Las hipótesis que se utilizan para los test de heterocedasticidad son los siguientes:

Mientas que la hipótesis alterna:

149

1.- Método Gráfico: Para iniciar el procedimiento de testeo de heteroscedasticidad es común en series de tiempo partir con el análisis visual de los residuos, puesto que al asumir que su valor esperado es nulo entonces los cuadrados de estos pueden ser una buena aproximación de la varianza residual.

150

2.- Prueba de Breusch-Pagan-Godfrey (BPG):
Paso 1.- Calcular o estimar mediante MCO los estimadores y posteriormente los residuos µi, con los que es posible considerar una regresión:

Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + µi
Paso 2.- Una vez obtenidos los residuos de la regresión, éstos se elevan al cuadrado y se realiza una ecuación auxiliar donde los residuos se transforman en la variable regresada:

151

Paso 3.- Se debe calcular el coeficiente de determinación de la ecuación auxiliar. Paso 4.- Corresponde entonces testear el estadístico BPG:

donde T corresponde al número de observaciones consideradas en la estimación del modelo auxiliar y (m) al número de parámetros sin considerar el intercepto (en ocasiones expresado k’).
Paso 5.- Por último, se debe reemplazar lo obtenido en la fórmula presentada y así conseguir el estadístico BPG. El criterio de decisión es similar a los utilizados en todos los tipos de testeos.
152

3.- Prueba de White:
Presenta un test que no requiere de antemano listar qué variable o variables son las candidatas a explicar el comportamiento heteroscedastico de los errores. Simplemente considera como potenciales variables explicativas a todas las que están involucradas en el modelo principal. Como ilustración de la idea básica del test, considérese el siguiente modelo de regresión con dos variables explicativas:

153

Paso 1.- Estimar el modelo original para obtener los residuos.
Paso 2.- En base a los residuos obtenidos realizar la siguiente regresión auxiliar:

Se puede vislumbrar que en la regresión auxiliar se hace la regresión de los residuos al cuadrado sobre las variables explicativas o regresoras, sobre sus valores al cuadrado (de las X) y sobre el (los) producto(s) cruzado(s) de las variables explicativas.

154

Paso 3.- Obtener el R2 de la regresión auxiliar

Paso 4.- Utilizando como hipótesis nula la no existencia de heterocedasticidad, o más bien, la presencia de homocedasticidad en el modelo, se realiza el siguiente test:

Paso 5.- Por tanto, si el estadígrafo W calculado es mayor que el Ji cuadrado crítico, entonces se rechaza la hipótesis nula. Es decir, existe heteroscedasticidad en el modelo.

155

Ejercicios
1.- Establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas,
Justifique brevemente su respuesta.
 Cuando hay presencia de autocorrelación, los estimadores MCO son

sesgados e ineficientes.
 La prueba d de Durbin Watson supone que la varianza del término

error es homocedástica.
 Si hay heterocedasticidad, las pruebas convencionales de t son

inválidas
 Entre las consecuencias de la multicolinealdiad, se encuentra que los

intervalos de confianza tienden a ser más amplios, lo que propicia una aceptación más fácil de la hipótesis nula, de este modo, las pruebas t de uno o más coeficientes tienden a ser estadísticamente insignificantes.
156

2.- Se tiene el siguiente modelo econométrico:

 Especificar una ecuación auxiliar en caso de heterocedasticidad.  Ver si el modelo presenta o no heterocedasticidad, cuando el R2

auxiliar es 15% menor que el de la regresión señalada

157

3.- De acuerdo al siguiente modelo econométrico, se le pide:

 Según la Durbin-Watson, ¿Existiría Autocorrelación? Construya la

tabla de regla de decisión, plantee la hipótesis nula y explique. Para esta pregunta considere: dl =0,855 y du = 1,611 (valores al 1% de significancia)
 Considerando los datos, ¿Cuál sería el valor tentativo de Rho ?

158