Reglas de Conteo

Introducción: En la teoría de probabilidad debemos conocer el conjunto de todos los posibles resultados básicos de un experimento o proceso generador de resultados, incluyendo sus características y frecuencias absolutas o número de veces que se encuentra cada resultado básico en ese conjunto. Ese conjunto se conoce como el espacio muestral o población y cada resultado básico constituye un punto muestral de ese conjunto. Por ejemplo, el proceso generador de tirar un dado tiene seis posibles resultados básicos: un hoyito, dos hoyitos, tres hoyitos, cuatro hoyitos, cinco hoyitos y seis hoyitos. Esos seis resultados básicos constituyen el conjunto conocido como el espacio muestral y es un espacio sencillo y fácil de enumerar. Otro ejemplo sencillo y fácil de enumerar es la tirada de una moneda cuyos posibles resultados son solo dos: cara o cruz. Sin embargo, hay situaciones en que enumerar y contar los resultados básicos de ciertos experimentos resultan complicados. Por ejemplo, tirar seis dados y cuatro monedas simultáneamente daría un total de 746,496 de resultados básicos los que requeriría un gran esfuerzo enumerarlos todos. Además, no es fácil reconocer cómo se obtuvo la cifra de 746,496. Otros posibles casos difíciles son: extraer cinco cartas al azar de un juego de cartas americanas, que te distribuyan un as y una carta de cara en un juego de “blackjack”, obtener cinco dobles en una mano de siete dominós, que al escoger cinco firmas de un total de 100, tres empleen a más de 20 personas, y otros. En este escrito presentaremos cómo podemos calcular los puntos muestrales que generan diferentes procesos generadores de resultados. Explicaremos las distintas fórmulas para obtenerlos y las funciones del programa Excel que nos ahorran el tiempo de computarlos.

Regla Multiplicativa: Esta regla aplica cuando se realiza un experimento que envuelve más de una variable que genera los eventos como el que mencionamos arriba de tirar seis dados y cuatro monedas, su versión general es como sigue: Si una variable puede generar n1 resultados básicos y otra variable puede generar n2 resultados básicos, y si los resultados básicos entre las variables son independientes entre sí, el número de resultados básicos (N) de realizar un experimento simultáneo, o en sucesión, de ambas variables vendrá dado por el producto de n1 y n2, expresado simbólicamente: N = (n1) (n2)
Por ejemplo, tirar un dado y una moneda simultáneamente o en sucesión daría 12 puntos muestrales: N = 6(2) = 12
La siguiente ilustración sirve para visualizar los resultados básicos o puntos muestrales: Esto es porque el dado tiene seis posibles resultados básicos y la moneda dos y el posible resultado del dado no afecta el de la moneda y viceversa. En el caso mencionado arriba de seis dados y cuatro monedas el total de resultados básicos sería el siguiente: N = (6) (6) (6) (6) (6) (6) (2) (2) (2) (2) = (66) (24) = (46,656)(16) = 746,496
Obsérvese que los primeros seis seises se refieren a los resultados básicos que puede generar cada uno de los dados y los cuatro doces finales se refieren a los resultados básicos que puede generar cada una de las monedas. El orden en que están los valores no importa ya que la multiplicación es conmutativa. Aunque enumerar estos puntos es prácticamente imposible vale la pena visualizarlos mentalmente. Por ejemplo, cada resultado básico resultante del experimento tendría 10 elementos, seis correspondientes a las caras de los dados y cuatro al de las monedas; uno de ellos podría ser: [1, 4, 3, C, X, 6, C, 1, X, 5], donde C representa cara y X cruz; como ese hay 746,495 adicionales y distintos en el espacio muestral.

Regla de Permutaciones: Cuando el interés del investigador es conocer el espacio muestral que generará un arreglo de n elementos tomados x a la vez y el orden en que se arreglan los elementos importa se conoce como permutaciones de los elementos. La fórmula para calcular el número de permutaciones de n elementos tomado x a la vez es la siguiente: P_x^n = n!/(n-x)!
Ejemplo:
Un profesor va a escoger tres de cinco estudiantes para sentarlos en tres sillas en un orden aleatorio; ¿de cuántas maneras puede hacerlo? P_3^5 = 5!/ (5-3)! = 5*4*3*2!/2! = 60
Explicación:
El profesor tiene cinco formas para escoger el primer estudiante, cuatro para escoger el segundo y tres para el tercero. Veamos utilizando el diagrama de ramas denotando los cinco estudiantes como A, B, C, E y D, y suponiendo que el primer estudiante escogido aleatoriamente es el A:

A B C D E

C D E B D E B C E B C D

De esta forma obtenemos doce posibles órdenes de sacar los tres estudiantes empezando con el A:

ABC, ABD, ABE, ACB, ACD, ACE, ADB, ADC, ADE, AEB, AEC y AED

Pero, asimismo, podríamos obtener doce posibles órdenes si empezáramos con B, C y D y E lo cual totalizarían las 60 permutaciones; estas serían las siguientes: ABC, ABD, ABE, ACB, ACD, ACE, ADB, ADC, ADE, AEB, AEC y AED BAC, BAD, BAE, BCA, BCE, BCD, BDA, BDC, BDE, BEA, BEC y BED CAB, CAD, CAE, CBA, CBD, CBE, CDA, CDB, CDE, CEA, CEB y CED DAB, DAC, DAE, DBA, DBC, DBE, DCA, DCB, DCE, DEA, DEB y DEC EAB, EAC, EAD, EBA, EBC, EBD, ECA, ECB, ECD, EDA, ADB y EDC

Otro ejemplo importante es cuando deseamos saber de cuántas maneras podemos arreglar n elementos tomados todos a la vez. Esto viene dado por la siguiente fórmula: P_n^n= n!/(n-n)!= n!/o! = n(n-1)(n-2)…(1)

Ejemplo:
Usted quiere ordenar 3 libros en un estante; ¿de cuántas maneras puede hacerlo? P_3^3= 3!/(3-3)!= 3!/o!= 3! = 3*2*1=6

Explicación:

Suponga que los libros se titulan A, B y C.

El primer lugar en el estante lo puede ocupar cualquiera de los libros. Primer Lugar en Estante A B C
El segundo lugar en el estante lo puede ocupar cualquiera de los libros que no se escogió para el primero: Segundo Lugar en Estante A B C Primer Lugar

B C A C A B Segundo Lugar
El tercer lugar en el estante lo puede ocupar cualquiera de los libros que no se escogió para el primero ni el segundo lugar. A B C Primer Lugar

B C A C A B Segundo Lugar

C B C A B A Tercer Lugar
Los siguientes son los puntos muestrales finales:
ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Regla de Combinaciones: Cuando el interés del investigador es conocer el espacio muestral que generará arreglar n elementos tomados x a la vez donde la composición del ordenamiento es lo que interesa y no el orden se conoce como las combinaciones de los elementos. La fórmula correspondiente e a esta situación es la siguiente: C_x^n = P_x^n/x! = n!/x!(n-x)!

Ejemplo:
Un profesor va a escoger aleatoriamente tres de cinco estudiantes para formar un grupo de trabajo; ¿de cuántas maneras puede hacerlo?

C_3^5 = 5!/3!2! = 5*4*3/3*2 = 10

Explicación:

Como para formar un grupo de trabajo no importa el orden en que se escojan, sino su composición, este es un caso de combinación. Cada grupo de tres estudiantes pueden permutarse 3!=6 veces, pero como sólo nos interesa una de estas permutaciones, ya que el orden no importa, debemos dividir entre 3!=6 el número de permutaciones para dejar tan sólo una combinación de los elementos; de esa forma se obtiene la fórmula.

Para ilustrar este hecho vallamos a las 60 permutaciones anteriores y eliminemos las que contienen los mismos elementos (sombreadas en rojo) y dejemos sólo uno de éstas: ABC, ABD, ABE, ACB, ACD, ACE, ADB, ADC, ADE, AEB, AEC y AED BAC, BAD, BAE, BCA, BCE, BCD, BDA, BDC, BDE, BEA, BEC y BED CAB, CAD, CAE, CBA, CBD, CBE, CDA, CDB, CDE, CEA, CEB y CED DAB, DAC, DAE, DBA, DBC, DBE, DCA, DCB, DCE, DEA, DEB y DEC EAB, EAC, EAD, EBA, EBC, EBD, ECA, ECB, ECD, EDA, ADB y EDC

Como podemos constatar, sólo que dan diez combinaciones; las restantes cincuenta son permutaciones de estas diez.

Ejercicios:
Determine si las siguientes situaciones son permutaciones o combinaciones y su valor. Ordenar 8 personas en una fila. Sentar seis personas en diez sillas. Ordenar 13 personas en una fila pero Juan debe ocupar el primer puesto, Ana el puesto del medio y Pedro el último puesto. Escoger 5 cartas de un juego de cartas americano. Establecer cinco sucursales idénticas de banco de entre 12 pueblos, no más de una sucursal en los pueblos escogidos. Establecer una clínica ambulatoria o un hospital entre ocho posibles localidades, sólo una de éstas en cada localidad escogida. El total de números de cuatro dígitos que pueden formarse de los numerales del cero al siete sin que se repitan números.